গণিত (পাটিগণিত ও বীজগণিত)

মনে করি, বালতির ধারণ ক্ষমতা $x$ লিটার।
প্রশ্নমতে, $\frac{১}{৩}x - ৫ = \frac{১}{৬}x$
$\Rightarrow \frac{১}{৩}x - \frac{১}{৬}x = ৫$
$\Rightarrow \frac{২x - x}{৬} = ৫$
$\Rightarrow \frac{x}{৬} = ৫$
$\therefore x = ৩০$

মনে করি, ক্রয়মূল্য $৫$ টাকা এবং বিক্রয়মূল্য $৮$ টাকা।
$\therefore$ শতকরা লাভ = $\frac{(৮ - ৫)}{৫} \times ১০০$
= $\frac{৩}{৫} \times ১০০$
= ৬০%।

দেয়া আছে, $x = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ (বড় সংখ্যাটি আগে লিখলে সুবিধা হয়)
$\therefore \frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$
$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}$
$= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{1}{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3})$

প্রদত্ত রাশি, $\frac{x^2 - 2}{x} = x - \frac{2}{x}$
$= (\sqrt{5} + \sqrt{3}) - 2 \cdot \frac{1}{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3})$
$= \sqrt{5} + \sqrt{3} - (\sqrt{5} - \sqrt{3})$
$= \sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{5} + \sqrt{3}$
= $2\sqrt{3}$।

দেয়া আছে, $f(x) = x^2 - 5x + 6$
$\therefore f(x) = 0$
$\Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0$
$\Rightarrow x^2 - 3x - 2x + 6 = 0$
$\Rightarrow x(x - 3) - 2(x - 3) = 0$
$\Rightarrow (x - 3)(x - 2) = 0$
$\therefore x =$ $2, 3$

প্রথম বৃত্তটির ব্যাস = ৬ সে.মি.
$\therefore$ প্রথম বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = $\frac{৬}{২}$ = ৩ সে.মি.
দ্বিতীয় বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = ৪ সে.মি.
যেহেতু বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তাই তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে তাদের ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।
$\therefore$ দূরত্ব = $(৩ + ৪)$ সে.মি. = ৭ সে.মি.।

এখানে, $a + \frac{4}{a} = 4$
$\Rightarrow \frac{a^{2}+4}{a} = 4$
$\Rightarrow a^{2} - 4a + 4 = 0$
$\Rightarrow a^{2} - 2.a.2 + 2^{2} = 0$
$\Rightarrow (a-2)^{2} = 0$
$\therefore a = 2$
$\therefore \frac{a}{a^{2}+a-2} = \frac{2}{2^{2}+2-2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি (\%) = $\left(A+B+\frac{AB}{100}\right)\%$
$= \left(10+10+\frac{10\times 10}{100}\right)\% = 21\%$

ধরি, ত্রিভুজের বাহুগুলো যথাক্রমে $x, x$ ও $\sqrt{2}x$
আমরা জানি, $\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2ab}$ [বৃহত্তম বাহু, $c = \sqrt{2}x$]
$\Rightarrow \cos C = \frac{x^{2} + x^{2} - (\sqrt{2}x)^{2}}{2.x.x}$
$\Rightarrow \cos C = 0$
$\Rightarrow \cos C = \cos 90^{\circ}$
$\therefore C = 90^{\circ}$

ধরি, $x$ যোগ করতে হবে।
$\therefore \left(\frac{5}{6} \text{ এর } \frac{6}{7} \div \frac{1}{7}\right) + x = 1$

এখানে, বেগ = ৯৬ কি.মি./ঘণ্টা = $(৯৬ \times \frac{৫}{১৮})$ মি./সে
সময় = ১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড
$\therefore$ অতিক্রান্ত দূরত্ব = বেগ $\times$ সময়
$\Rightarrow$ ট্রেনের দৈর্ঘ্য + সেতুর দৈর্ঘ্য = $(৯৬ \times \frac{৫}{১৮}) \times ৬০$
$\Rightarrow$ ট্রেনের দৈর্ঘ্য + ৯০০ = ১৬০০
$\therefore$ ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১৬০০ - ৯০০ = ৭০০ মিটার।

দেওয়া আছে,
$a + b = 4$
$a - b = 2$
আমরা জানি,
$ab = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$
$= \left(\frac{4}{2}\right)^2 - \left(\frac{2}{2}\right)^2$
$= 2^2 - 1^2$
$= 4 - 1$
$=$ 3

ধরি, তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে $x, x+1, x+2$
প্রশ্নমতে,
$x + (x + 1) + (x + 2) = 120$
$\Rightarrow 3x + 3 = 120$
$\Rightarrow 3x = 117$
$\therefore x = 39$
$\therefore$ বৃহত্তম সংখ্যাটি $= x + 2 = 39 + 2 =$ ৪১

জনসংখ্যা বৃদ্ধি ঘটে চক্রবৃদ্ধি আকারে।
এখানে, প্রারম্ভিক জনসংখ্যা, $P = 3,00,000$
বৃদ্ধির হার, $r = \frac{30}{1000} \times 100\% = 3\%$
সময়, $n = 3$ বছর
$\therefore 3$ বছর পর মোট জনসংখ্যা, $C = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n$
$= 3,00,000 \left(1 + \frac{3}{100}\right)^3$
$= 3,00,000 \times \left(\frac{103}{100}\right)^3$
$= 3,00,000 \times \frac{103 \times 103 \times 103}{100 \times 100 \times 100}$
$= 3 \times 103 \times 103 \times 103$
$=$ ৩,২৭,৫১৮ জন।

ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ $= r$ মিটার
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল, $\pi r^2 = 16$ ............. (1)
এবং বৃত্তের পরিধি, $2\pi r = 8$ ................ (2)
(1) $\div$ (2) হতে পাই,
$\frac{\pi r^2}{2\pi r} = \frac{16}{8}$
$\Rightarrow \frac{r}{2} = 2$
$\therefore r = 2 \times 2 =$ ৪

ধরি, শিক্ষকের কাছে মোট বই ছিল $x$ টি
প্রশ্নমতে, $\frac{x}{2} + \frac{x}{4} + \frac{x}{5} + 7 = x$
$\Rightarrow x - \frac{x}{2} - \frac{x}{4} - \frac{x}{5} = 7$
$\Rightarrow \frac{20x - 10x - 5x - 4x}{20} = 7$
$\Rightarrow \frac{20x - 19x}{20} = 7$
$\Rightarrow x = 7 \times 20$
$\therefore x = 140$

প্রতি হালি ডিমের ক্রয়মূল্য ২৫ টাকা
এবং ২ হালি ডিমের ক্রয়মূল্য ৫৬ টাকা
$\therefore ১$ হালি ডিমের বিক্রয়মূল্য $(৫৬ \div ২) = ২৮$ টাকা
$\therefore$ প্রতি হালিতে লাভ হয় $(২৮ - ২৫) = ৩$ টাকা
$\therefore$ শতকরা লাভ হয় $\left(\frac{৩ \times ১০০}{২৫}\right)\% = ১২\%$

$x^2 - x - 12 = 0$
$\Rightarrow x^2 - 4x + 3x - 12 = 0$
$\Rightarrow x(x - 4) + 3(x - 4) = 0$
$\Rightarrow (x + 3)(x - 4) = 0$
$\Rightarrow (x + 3) = 0$ অথবা $x - 4 = 0$
$\therefore x = -3$, $x = 4$
$\therefore$ নির্ণেয় সমীকরণের মূলদ্বয় $-3, 4$

$\text{Log}_{10}(0.01) = \text{Log}_{10}(\frac{1}{100})$
$= \text{Log}_{10}(\frac{1}{10^2})$
$= \text{Log}_{10}(10^{-2})$
$= -2 \text{Log}_{10}(10)$
$= -2 \times 1 = -2$

একটি সরলরেখা যদি দুটি বৃত্তের স্পর্শক হয়, তবে তাকে বৃত্ত দুটির সাধারণ স্পর্শক বলা হয়। দুটি বৃত্ত পরস্পরকে ছেদ বা স্পর্শ না করলে বৃত্ত দুটি সর্বাধিক ৪ টি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়। এর মধ্যে ২টি সরল সাধারণ স্পর্শক এবং ২টি তির্যক সাধারণ স্পর্শক।

ভালো আমের পরিমাণ = $180 - 9 = 171$টি
$180$টি আমের মধ্যে ভালো ছিল = $171$টি
$\therefore 100$টি আমের মধ্যে ভালো ছিল = $\frac{171 \times 100}{180}$টি $= 95$টি।

ধরি, মিশ্রণে বালি ও সিমেন্ট-এর পরিমাণ $4x$ ও $x$ কেজি।
প্রশ্নমতে, $4x + x = 40$
$\Rightarrow 5x = 40$
$\therefore x = 8$
$\therefore$ মিশ্রণে বালির পরিমাণ = $4 \times 8 = 32$ কেজি।

এখানে, $x - \frac{1}{x} = \sqrt{3}$
$\Rightarrow \frac{x^2 - 1}{x} = \sqrt{3}$
$\Rightarrow x^2 - 1 = \sqrt{3}x$
$\therefore x^2 - \sqrt{3}x = 1$

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°।
দেওয়া আছে, $\angle A = 70^\circ$ এবং $\angle B = 20^\circ$
$\therefore \angle C = 180^\circ - (70^\circ + 20^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$।
যেহেতু ত্রিভুজটির একটি কোণ ৯০° এর সমান, তাই ত্রিভুজটি সমকোণী।

আমরা জানি,

$a+1 \overline{)a^3 - 8a - 8(} a^2 - a - 7$
           $a^3 + a^2$
           $(-)$    $(-)$
           ----------------
           $-a^2 - 8a - 8$
           $-a^2 - a$
           $(+)$    $(+)$
           ----------------
                    $-7a - 8$
                    $-7a - 7$
                    $(+)$    $(+)$
                    ----------------
                             $-1$

অর্থাৎ, ভাগশেষ -1।