বীজগণিত ও জ্যামিতি

সঠিক উত্তর: 24ab

প্রদত্ত রাশি, $9a^2 + 16b^2$
$= (3a)^2 + (4b)^2$
আমরা জানি, $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$
পূর্ণবর্গ রাশি হতে হলে প্রয়োজন $= 2 \times 3a \times 4b = 24ab$.
সুতরাং, $24ab$ যোগ করলে রাশিটি $(3a + 4b)^2$ হবে।

সঠিক উত্তর: $১৩৫^\circ$

দুটি কোণের সমষ্টি $১৮০^\circ$ হলে তাদের একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ (Supplementary Angle) বলে।

সুতরাং, $৪৫^\circ$ এর সম্পূরক কোণ = $১৮০^\circ - ৪৫^\circ = ১৩৫^\circ$।

সঠিক উত্তর: $8, -7$

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: $a^2 - a - 56 = 0$
বা, $a^2 - 8a + 7a - 56 = 0$ [মিডল টার্ম ব্রেকআপ]
বা, $a(a - 8) + 7(a - 8) = 0$
বা, $(a - 8)(a + 7) = 0$
হয়, $a - 8 = 0 \Rightarrow a = 8$
অথবা, $a + 7 = 0 \Rightarrow a = -7$
$\therefore a = 8, -7$

সঠিক উত্তর: ১৩ : ১২ : ৫

সমাধান: সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলো পীথাগোরাসের উপপাদ্য $(অতিভুজ)^২ = (লম্ব)^২ + (ভূমি)^২$ মেনে চলে।
এখানে অপশন (d) তে:
$(১৩)^২ = ১৬৯$
$(১২)^২ + (৫)^২ = ১৪৪ + ২৫ = ১৬৯$
যেহেতু দুই পক্ষ সমান, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

সঠিক উত্তর: 314 বর্গ সে.মি।

দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস, $d = ২০$ সে.মি
$\therefore$ ব্যাসার্ধ, $r = \frac{২০}{২} = ১০$ সে.মি

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$
$= ৩.১৪১৬ \times (১০)^২$
$= ৩.১৪১৬ \times ১০০$
$= ৩১৪.১৬$ বর্গ সে.মি

যা ৩১৪ এর কাছাকাছি।

সঠিক উত্তর: ৪০ সে.মি

দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় $a = ১০$ সে.মি এবং $b = ২০$ সে.মি।
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২} \times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা
= $\frac{১}{২} \times ১০ \times ২০$ বর্গ সে.মি
= $১০০$ বর্গ সে.মি।

প্রশ্নমতে, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $১০০$ বর্গ সে.মি।
ধরি, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $x$।
$\therefore x^2 = ১০০$
বা, $x = \sqrt{১০০} = ১০$ সে.মি।

$\therefore$ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = $৪x = ৪ \times ১০ = ৪০$ সে.মি।

সঠিক উত্তর: 9

সমাধান:
দেওয়া আছে,
$a + b = 3$
$ab = 2$

আমরা জানি,
$a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$
$= (3)^3 - 3 \times 2 \times 3$
$= 27 - 18$
$= 9$

সঠিক উত্তর: $(x + 2) (3x - 5)$

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = $3x^2 + x - 10$

মিডল টার্ম ব্রেক (Middle Term Break) করতে হবে:
$3 \times (-10) = -30$
এমন দুটি সংখ্যা নিতে হবে যাদের গুণফল $-30$ এবং যোগফল $+1$। সংখ্যা দুটি হলো $+6$ এবং $-5$।

$\therefore 3x^2 + 6x - 5x - 10$
$= 3x(x + 2) - 5(x + 2)$
$= (x + 2)(3x - 5)$

ধরি, কোণটির মান $x$।

আমরা জানি, দুটি কোণের সমষ্টি $90^\circ$ হলে তাদেরকে একে অপরের পূরক কোণ বলে।
সুতরাং, কোণটির পূরক কোণ $= (90^\circ - x)$।

প্রশ্নমতে,
$x = \frac{1}{2}(90^\circ - x)$
$\Rightarrow 2x = 90^\circ - x$
$\Rightarrow 2x + x = 90^\circ$
$\Rightarrow 3x = 90^\circ$
$\Rightarrow x = \frac{90^\circ}{3} =$ 30°

এটি একটি স্বাভাবিক সংখ্যার ধারা।

সূত্র: $1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$

এখানে, $n = 99$।
$\therefore$ সমষ্টি = $\frac{99(99+1)}{2}$
$= \frac{99 \times 100}{2}$
$= 99 \times 50$
$=$ 4950

দেওয়া আছে, $x + \frac{1}{x} = 4$

প্রদত্ত রাশি = $x^3 + \frac{1}{x^3}$
আমরা জানি, $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$
$= (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})$
$= (4)^3 - 3(4)$
$= 64 - 12$
$=$ 52

দেওয়া আছে,
$a^2 - a - 56 = 0$
$\Rightarrow a^2 - 8a + 7a - 56 = 0$ [মিডল টার্ম ব্রেক আপ]
$\Rightarrow a(a - 8) + 7(a - 8) = 0$
$\Rightarrow (a - 8)(a + 7) = 0$

হয়,
$a - 8 = 0 \Rightarrow a = 8$
অথবা,
$a + 7 = 0 \Rightarrow a = -7$

$\therefore a = 8, -7$

দেওয়া আছে,
অতিভুজ = ১৩ সে.মি.
ভূমি = ১২ সে.মি.

আমরা জানি,
$(\text{লম্ব})^2 + (\text{ভূমি})^2 = (\text{অতিভুজ})^2$
$\Rightarrow (\text{লম্ব})^2 + ১২^২ = ১৩^২$
$\Rightarrow (\text{লম্ব})^2 = ১৬৯ - ১৪৪ = ২৫$
$\therefore \text{লম্ব} = \sqrt{২৫} = ৫$ সে.মি.

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা (লম্ব)}$
$= \frac{১}{২} \times ১২ \times ৫$
$= ৩০ \text{ বর্গ সে.মি.}$

সঠিক উত্তর: ৬০ মিটার

ব্যাখ্যা:
ধরি, প্রস্থ $= ক$ মিটার
দৈর্ঘ্য $= ১.৫ক = \frac{৩ক}{২}$ মিটার

প্রশ্নমতে,
দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $= ২১৬$
$\Rightarrow \frac{৩ক}{২} \times ক = ২১৬$
$\Rightarrow ৩ক^২ = ২১৬ \times ২ = ৪৩২$
$\Rightarrow ক^২ = ১৪৪$
$\therefore ক = ১২$

প্রস্থ $= ১২$ মিটার
দৈর্ঘ্য $= ১২ \times ১.৫ = ১৮$ মিটার

পরিসীমা $= ২($দৈর্ঘ্য $+$ প্রস্থ$)$
$= ২(১৮ + ১২) = ২ \times ৩০ =$ ৬০ মিটার।

সঠিক উত্তর: ৬০

বিস্তারিত সমাধান:
ধরি, ময়ুর সংখ্যা = $x$
এবং হরিণ সংখ্যা = $y$

প্রশ্নমতে,
$x + y = 80$ .........(i)
$2x + 4y = 200$ (যেহেতু ময়ুরের ২ পা ও হরিণের ৪ পা)
বা, $x + 2y = 100$ .......(ii)

(ii) নং হতে (i) বিয়োগ করে পাই,
$y = 20$

তাহলে, ময়ুর সংখ্যা $x = 80 - 20 =$ 60 টি।

সঠিক উত্তর: ৯

বিস্তারিত সমাধান:
ধরি, ছোট বিজোড় সংখ্যাটি = $x$
বড় বিজোড় সংখ্যাটি = $x + 2$

প্রশ্নমতে,
$(x+2)^2 - x^2 = 40$
বা, $x^2 + 4x + 4 - x^2 = 40$
বা, $4x = 36$
বা, $x = 9$

সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি ৯।

সঠিক উত্তর: 9

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি = $\log_{10} 1000 \times \log_2 8$

$= \log_{10} (10^3) \times \log_2 (2^3)$
$= 3 \log_{10} 10 \times 3 \log_2 2$
$= 3 \times 1 \times 3 \times 1$ [যেহেতু $\log_a a = 1$]
$= 9$

সঠিক উত্তর: বর্গক্ষেত্র

ব্যাখ্যা: বর্গক্ষেত্রের ৪টি বাহুই সমান এবং প্রতিটি কোণ ৯০ ডিগ্রি। তাই শুধুমাত্র একটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলেই কম্পাস ও স্কেলের সাহায্যে সহজেই একটি বর্গক্ষেত্র আঁকা সম্ভব।

অন্যান্য চতুর্ভুজ আঁকতে একাধিক উপাত্তের প্রয়োজন হয়।

সঠিক উত্তর: $\frac{৭}{৯}$

শর্টকাট মেথড (অপশন টেস্ট):

অপশন (a) $\frac{৭}{৯}$ নিয়ে পরীক্ষা করি:
১ম শর্ত: লব ও হরের সাথে ১ যোগ করলে = $\frac{৭+১}{৯+১} = \frac{৮}{১০} = \frac{৪}{৫}$ (মিলেছে)।
২য় শর্ত: লব ও হর থেকে ৫ বিয়োগ করলে = $\frac{৭-৫}{৯-৫} = \frac{২}{৪} = \frac{১}{২}$ (মিলেছে)।
সুতরাং সঠিক উত্তর $\frac{৭}{৯}$।

সঠিক উত্তর: ৬০°

ব্যাখ্যা: আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের (পরিধিস্থ কোণ) দ্বিগুণ।

সুতরাং, কেন্দ্রস্থ কোণ = $২ \times$ পরিধিস্থ কোণ

$\Rightarrow$ পরিধিস্থ কোণ = $\frac{\text{কেন্দ্রস্থ কোণ}}{২}$

$\Rightarrow$ পরিধিস্থ কোণ = $\frac{১২০°}{২} =$ ৬০°

সঠিক উত্তর: 24

সমাধান:

আমরা জানি,

$8ab(a^2+b^2) = 4ab \times 2(a^2+b^2)$

এখানে,

$4ab = (a+b)^2 - (a-b)^2 = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 = 7 - 5 = 2$

$2(a^2+b^2) = (a+b)^2 + (a-b)^2 = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{5})^2 = 7 + 5 = 12$

$\therefore$ প্রদত্ত রাশি = $4ab \times 2(a^2+b^2) = 2 \times 12 =$ 24

সঠিক উত্তর: ৪

ধরি, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য $= a$ একক।
সুতরাং, আদি ক্ষেত্রফল $= a^2$ বর্গ একক।

বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করলে নতুন বাহু $= 2a$ একক।
নতুন ক্ষেত্রফল $= (2a)^2 = 4a^2$ বর্গ একক।

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে $= \frac{4a^2}{a^2} =$ ৪ গুণ।

সঠিক উত্তর: 4

প্রদত্ত রাশি: $\sqrt{1}+\sqrt{1}$
আমরা জানি, $\sqrt{1} = 1$

$\therefore$ রাশিটি দাঁড়ায় $= 1 + 1 = 2$

এখন, এর বর্গ নির্ণয় করতে হবে:
বর্গ $= (2)^2 =$ 4

সঠিক উত্তর: ১০২৪

প্রদত্ত ধারা: $2 + 4 + 8 + 16 + ...$
এটি একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression)।

১ম পদ, $a = 2$
সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{4}{2} = 2$

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ $= ar^{n-1}$
$\therefore$ ১০ম পদ $= 2 \times 2^{10-1} = 2 \times 2^9 = 2^{10}$

$2^{10} =$ ১০২৪

সঠিক উত্তর: 1

দেওয়া আছে,
(i) $a+b+c = 12$
(ii) $a+b = 4$
(iii) $a+c = 7$

(i) নং থেকে (ii) নং বিয়োগ করি:
$(a+b+c) - (a+b) = 12 - 4$
$\Rightarrow c = 8$

এখন, (iii) নং সমীকরণে $c$ এর মান বসাই:
$a + 8 = 7$
$\Rightarrow a = 7 - 8 = -1$

$\therefore a^2 = (-1)^2 =$ 1

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $১৮০^{\circ}$।

দেওয়া আছে, দুটি কোণ $৩৫^{\circ}$ ও $৫৫^{\circ}$।

$\therefore$ তৃতীয় কোণটি হবে $= ১৮০^{\circ} - (৩৫^{\circ} + ৫৫^{\circ}) = ১৮০^{\circ} - ৯০^{\circ} =$ $৯০^{\circ}$

যেহেতু একটি কোণ $৯০^{\circ}$, তাই ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রদত্ত রাশি = $4^x + 4^x + 4^x + 4^x$

$= 4 \times 4^x$ [চারটি $4^x$ যোগ করলে $4 \times 4^x$ হয়]

$= 4^{1+x}$ [ভিত্তি এক হলে গুণের সময় পাওয়ার যোগ হয়]

$= (2^2)^{x+1}$

$=$ $2^{2x+2}$

প্রদত্ত রাশি,
$Log_{2}^{\frac{1}{8}}$
$= Log_{2}^{(2)^{-3}}$
$= -3 Log_{2}^{2}$ [সূত্র: $\log_a M^r = r \log_a M$]
$= -3 \times 1$ [সূত্র: $\log_a a = 1$]
$= -3$

যেকোনো ত্রিভুজের (সমবাহু, সমদ্বিবাহু বা বিষমবাহু) তিন কোণের সমষ্টি সর্বদা দুই সমকোণ বা ১৮০°।

বৃত্তের পরিসীমার অনুপাত ব্যাসার্ধের অনুপাতের সমান।
ধরি, ব্যাসার্ধদ্বয় $r_1$ ও $r_2$।
শর্তমতে, $2\pi r_1 : 2\pi r_2 = 1 : 2 \Rightarrow r_1 : r_2 = 1 : 2$
আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল $\pi r^2$।
$\therefore$ ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $\pi r_1^2 : \pi r_2^2 = (r_1)^2 : (r_2)^2 = 1^2 : 2^2 =$ ১ : ৪

প্রদত্ত রাশি: $3x^2 + x - 10$

মিডল টার্ম ব্রেকআপ (Middle Term Breakup) করে পাই:

$= 3x^2 + 6x - 5x - 10$ [এখানে $6x - 5x = x$ এবং $6 \times (-5) = -30$, যা $3 \times (-10)$ এর সমান]

$= 3x(x + 2) - 5(x + 2)$

$= (x + 2)(3x - 5)$

দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ২০ মি. এবং প্রস্থ = ১৬ মি.
$\therefore$ বাগানের ক্ষেত্রফল = $২০ \times ১৬ = ৩২০$ বর্গমি.

রাস্তাটি বাগানের চারপাশে, অর্থাৎ বাইরে অবস্থিত (সাধারণত 'চারপাশে' বলতে বাইরে বোঝায় যদি না 'ভেতরে' উল্লেখ থাকে)। তবে প্রশ্নে 'চারপাশে' বলা হয়েছে, এবং অপশন দেখে বোঝা যায় এটি বাইরের রাস্তা।

রাস্তাসহ দৈর্ঘ্য = $২০ + (২ \times ২) = ২৪$ মি.
রাস্তাসহ প্রস্থ = $১৬ + (২ \times ২) = ২০$ মি.

$\therefore$ রাস্তাসহ মোট ক্ষেত্রফল = $২৪ \times ২০ = ৪৮০$ বর্গমি.

$\therefore$ রাস্তার ক্ষেত্রফল = মোট ক্ষেত্রফল - বাগানের ক্ষেত্রফল
= $৪৮০ - ৩২০ = ১৬০$ বর্গমি.

প্রদত্ত ধারা: $৫ + ৮ + ১১ + ১৪ + ...$

এটি একটি সমান্তর ধারা, যার
প্রথম পদ, $a = ৫$
সাধারণ অন্তর, $d = ৮ - ৫ = ৩$

ধরি, $n$-তম পদ $= ৩৮৩$
আমরা জানি, $n$-তম পদ $= a + (n-1)d$

$\Rightarrow ৫ + (n-1)৩ = ৩৮৩$

$\Rightarrow ৩(n-1) = ৩৮৩ - ৫$

$\Rightarrow ৩(n-1) = ৩৭৮$

$\Rightarrow n-1 = \frac{৩৭৮}{৩} = ১২৬$

$\Rightarrow n = ১২৬ + ১ = ১২৭$

সঠিক উত্তর: ১২০

বিস্তারিত সমাধান:
এখানে প্রদত্ত অঙ্কগুলো হলো: ৮, ৯, ৭, ৬, ৩, ২।
মোট অঙ্ক সংখ্যা, $n = ৬$ টি।
গঠন করতে হবে ৩ অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যা, অর্থাৎ $r = ৩$।

যেহেতু প্রতিটি অঙ্ক কেবল একবার নেওয়া যাবে, তাই এটি বিন্যাস (Permutation) এর সূত্র হবে।
নির্ণেয় সংখ্যা = $^nP_r = ^6P_3$

$^6P_3 = ৬ \times ৫ \times ৪$
$= ৩০ \times ৪$
$= ১২০$

সঠিক উত্তর: ৫০

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$\text{অতিভুজ}^2 = \text{লম্ব}^2 + \text{ভূমি}^2$

$\Rightarrow \text{অতিভুজ} = \sqrt{40^2 + 30^2}$

$= \sqrt{1600 + 900}$

$= \sqrt{2500}$

$= 50 \text{ সে.মি.}$

সঠিক উত্তর: 60°

দেয়া আছে,
$\frac{\text{CosA} - \text{SinA}}{\text{CosA} + \text{SinA}} = \frac{1 - \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$

যোজন-বিয়োজন করে পাই:
$\frac{(\text{CosA} - \text{SinA}) + (\text{CosA} + \text{SinA})}{(\text{CosA} - \text{SinA}) - (\text{CosA} + \text{SinA})} = \frac{(1 - \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) - (1 + \sqrt{3})}$

$\Rightarrow \frac{2\text{CosA}}{-2\text{SinA}} = \frac{2}{-2\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \frac{\text{CosA}}{-\text{SinA}} = \frac{1}{-\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \text{CotA} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \text{CotA} = \text{Cot} 60^\circ$

$\therefore A = 60^\circ$

সঠিক উত্তর: 11

দেওয়া আছে, $x - \frac{1}{x} = 3$

আমরা জানি,

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x})^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$

$= (3)^2 + 2$

$= 9 + 2$

$=$ 11

১৮০° (দুই সমকোণ) অপেক্ষা বৃহত্তর কিন্তু ৩৬০° (চার সমকোণ) অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle) বলে।

প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে, প্রথম পদ $a = 7$

সাধারণ অন্তর $d = 12 - 7 = 5$

পদ সংখ্যা $n = 30$

আমরা জানি, সমান্তর ধারার সমষ্টি, $S_n = \frac{n}{2}\{2a + (n-1)d\}$

$\therefore S_{30} = \frac{30}{2}\{2 \times 7 + (30-1) \times 5\}$

$= 15 \{14 + 29 \times 5\}$

$= 15 \{14 + 145\}$

$= 15 \times 159$

$= 2385$

সঠিক উত্তর: 2385

দেওয়া আছে, বাহু তিনটি $a=7, b=8, c=9$।

অর্ধপরিসীমা, $s = \frac{7+8+9}{2} = \frac{24}{2} =$ 12 সে.মি.

আমরা জানি, বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$= \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)}$

$= \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3}$

$= \sqrt{720} \approx$ 26.83 বর্গ সে.মি.

আমরা জানি, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:

অতিভুজ$^2$ = লম্ব$^2$ + ভূমি$^2$

অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = অতিভুজ$^2$

= $12^2 + 5^2$

= $144 + 25$

= 169 বর্গ সে.মি.।

দেওয়া আছে, $x - y = 2$ এবং $xy = 24$

আমরা জানি,
$(x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy$

বা, $(x + y)^2 = (2)^2 + 4 \times 24$

বা, $(x + y)^2 = 4 + 96$

বা, $(x + y)^2 = 100$

$\therefore x + y = \pm 10$

আমরা জানি, $\sec^2 A - \tan^2 A = 1$

বা, $(\sec A + \tan A)(\sec A - \tan A) = 1$

বা, $\frac{5}{2} \times (\sec A - \tan A) = 1$

বা, $\sec A - \tan A = \frac{1}{5/2}$

$\therefore \sec A - \tan A = \frac{2}{5}$

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$

শর্তমতে, $\pi r^2 = 314$

বা, $3.14 \times r^2 = 314$

বা, $r^2 = \frac{314}{3.14} = 100$

বা, $r = 10$

$\therefore$ ব্যাস, $d = 2r = 2 \times 10 = 20$ সে.মি.।

সঠিক উত্তর: 110

আমরা জানি,
$a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$