সমাধান
U

User

User

ওয়ালেট ব্যালেন্স

স্টুডেন্ট ড্যাশবোর্ড আমার প্রোফাইল আমার তৈরি প্রশ্ন রেফার করো, আয় করো
সমাধান
💼
গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning)

ত্রিকোণমিতি ও সম্ভাব্যতা

BCS Preliminary · গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning) — বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক পেজে।

নিচে BCS Preliminary নিয়োগ পরীক্ষার গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning) বিষয়ের "ত্রিকোণমিতি ও সম্ভাব্যতা" অধ্যায়ের বাছাইকৃত ৩৩টি বহুনির্বাচনি প্রশ্ন — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ। সবই বিনামূল্যে।

1

যদি 1+tan2⁡θ=4 এবং θ<90° হয়, θ=?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    30∘

  2. খ

    45∘

  3. 60∘

  4. ঘ

    0∘

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

উদ্দীপকে প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: 1+tan⁡2θ=41 + \tan^2\theta = 4
প্রথমেই আমরা tan⁡2θ\tan^2\theta এর মান নির্ণয় করব।
tan⁡2θ=4−1=3\tan^2\theta = 4 - 1 = 3
এখন, tan⁡θ\tan\theta এর মান বের করতে উভয় পাশে বর্গমূল করতে হবে:
tan⁡θ=3\tan\theta = \sqrt{3}
আমরা জানি, ত্রিকোণমিতির আদর্শ মান অনুযায়ী tan⁡60∘\tan 60^{\circ} এর মান হলো 3\sqrt{3}।
সুতরাং, tan⁡θ=tan⁡60∘\tan\theta = \tan 60^{\circ}।
যেহেতু, θ<90∘\theta < 90^{\circ} (যা প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত), তাই θ\theta এর মান হবে 60∘60^{\circ}।
2

29 থেকে 38 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    1/2

  2. খ

    1/3

  3. 3/10

  4. ঘ

    7/10

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সম্ভাব্যতা (Probability) নির্ণয়ের মূল সূত্র হলো: P(ঘটনা)=অনুকূল ফলাফলমোট ফলাফল\text{P(ঘটনা)} = \frac{\text{অনুকূল ফলাফল}}{\text{মোট ফলাফল}}।
ধাপ ১: মোট ফলাফল (Sample Space) নির্ণয়
এখানে সংখ্যাগুলো হলো ২৯, ৩০, ৩১, ৩২, ৩৩, ৩৪, ৩৫, ৩৬, ৩৭, ৩৮।
মোট সংখ্যা = 38−29+1=1038 - 29 + 1 = 10 টি।
সুতরাং, মোট ফলাফলের সংখ্যা (n(S)) = 10।
ধাপ ২: অনুকূল ফলাফল (Favorable Event) নির্ণয়
আমাদের খুঁজে বের করতে হবে ২৯ থেকে ৩৮ এর মধ্যে কয়টি সংখ্যা মৌলিক। মৌলিক সংখ্যা হলো সেইসব সংখ্যা, যা ১ এবং সেই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়।
  • ২৯ (মৌলিক)
  • ৩০ (মৌলিক নয়)
  • ৩১ (মৌলিক)
  • ৩২ (মৌলিক নয়)
  • ৩৩ (মৌলিক নয়, 3×113\times11)
  • ৩৪ (মৌলিক নয়)
  • ৩৫ (মৌলিক নয়, 5×75\times7)
  • ৩৬ (মৌলিক নয়)
  • ৩৭ (মৌলিক)
  • ৩৮ (মৌলিক নয়)
অনুকূল ফলাফল বা মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ২৯, ৩১ এবং ৩৭।
সুতরাং, অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা (n(E)) = 3।
ধাপ ৩: সম্ভাবনা নির্ণয়
সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফলমোট ফলাফল=310\frac{\text{অনুকূল ফলাফল}}{\text{মোট ফলাফল}} = \frac{3}{10}।
সঠিক উত্তর হলো 3/10।
3

0, 1, 2, 3, 4 অংকগুলি দ্বারা কতগুলি পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 96
  2. খ
    120
  3. গ
    24
  4. ঘ
    144

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ৯৬। এটি বিন্যাস (Permutation)-এর একটি সমস্যা, যেখানে অঙ্কের পুনরাবৃত্তি disallowed এবং অঙ্কের শুরুতে '0' থাকার একটি বিশেষ শর্ত আছে।
প্রদত্ত অঙ্কগুলি হলো: ০, ১, ২, ৩, ৪ (মোট ৫টি অঙ্ক)। আমাদের ৫ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করতে হবে।
কোনো সংখ্যাকে পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ হতে হলে, তার প্রথম স্থানে ০ (শূন্য) থাকতে পারবে না।
ধাপ ১: মোট বিন্যাস নির্ণয়: যদি ০ থাকার কোনো বাধ্যবাধকতা না থাকত, তবে ৫টি ভিন্ন অঙ্ক দ্বারা মোট বিন্যাস হতো 5!5!।
5!=5×4×3×2×1=1205! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
ধাপ ২: অবৈধ বিন্যাস (যেগুলি ০ দ্বারা শুরু): যে সংখ্যাগুলি ০ দ্বারা শুরু হবে, সেগুলি চার অংকের সংখ্যা হয়ে যাবে।
যদি প্রথম স্থানে ০ স্থির রাখা হয়, তবে বাকি চারটি স্থান (১, ২, ৩, ৪) পূরণ করা যাবে 4!4! উপায়ে।
4!=4×3×2×1=244! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
ধাপ ৩: অর্থপূর্ণ পাঁচ অংকের সংখ্যা: অর্থপূর্ণ সংখ্যা = (মোট বিন্যাস) - (০ দ্বারা শুরু হওয়া বিন্যাস)।
অর্থপূর্ণ সংখ্যা = 5!−4!=120−24=965! - 4! = 120 - 24 = 96।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৯৬।
4

P(A)=1/3, P(B)=3/4,A ও B স্বাধীন হলে, P(A∪B) এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    34
  2. খ
    12
  3. 56
  4. ঘ
    এর কোনটিই নয়

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি সম্ভাব্যতা (Probability) থেকে আসা একটি মৌলিক সমস্যা। এখানে দুটি ঘটনা (A ও B) দেওয়া আছে এবং তারা স্বাধীন ঘটনা (Independent Events)।

আমাদের কাছে দুটি তথ্য আছে: P(A)=1/3P(A) = 1/3 এবং P(B)=3/4P(B) = 3/4।

স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে, তাদের ছেদ (Intersection) এর সূত্র হলো:
P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

মান বসিয়ে পাই: P(A∩B)=1/3×3/4=3/12=1/4P(A \cap B) = 1/3 \times 3/4 = 3/12 = 1/4

এখন, আমাদের প্রয়োজন দুটি ঘটনার সংযোগের (Union) মান, যার সাধারণ সূত্রটি হলো:

P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

মান বসিয়ে পাই:
P(A∪B)=1/3+3/4−1/4P(A \cup B) = 1/3 + 3/4 - 1/4
প্রথমে 3/4−1/43/4 - 1/4 অংশটি হিসাব করি: 2/4=1/22/4 = 1/2
তাহলে, P(A∪B)=1/3+1/2P(A \cup B) = 1/3 + 1/2
লসাগু (LCM) হলো 6।
P(A∪B)=(2+3)/6=5/6P(A \cup B) = (2 + 3) / 6 = 5/6

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 5/6 (অপশন: 56, যা আসলে 5/6 বোঝানো হয়েছে)।
5

৫ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    10
  2. খ
    15
  3. গ
    25
  4. 30

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

কমিটি গঠন বা নির্বাচনের ক্ষেত্রে সমাবেশ (Combination) এর সূত্র ব্যবহৃত হয়, কারণ এখানে নির্বাচনের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়। সমাবেশ (Combination)-এর সূত্রটি হলো: nCr=n!r!(n−r)!^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}।
এখানে দুটি ভিন্ন গ্রুপ থেকে নির্বাচন করতে হবে, তাই দুই গ্রুপের নির্বাচনের উপায় গুণ করতে হবে।
মোট উপায় = (পুরুষ নির্বাচনের উপায়) ×\times (মহিলা নির্বাচনের উপায়)।
১. পুরুষ নির্বাচন: ৫ জন পুরুষ থেকে ১ জন পুরুষ নির্বাচন করতে হবে।
নির্বাচনের উপায়: 5C1=5!1!(5−1)!=^5C_1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = 5 প্রকার।
২. মহিলা নির্বাচন: ৪ জন মহিলা থেকে ২ জন মহিলা নির্বাচন করতে হবে।
নির্বাচনের উপায়: 4C2=4!2!(4−2)!=4×32×1=^4C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 প্রকার।
সুতরাং, কমিটি গঠনের মোট উপায় = 5C1×4C2=5×6=^5C_1 \times ^4C_2 = 5 \times 6 = 30 প্রকার।
সঠিক উত্তর হলো: 30।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
6

১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর একটি দৈবচয়ন পদ্ধতিতে নেওয়া হলে সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. 1/22

  2. খ

    1/64

  3. গ

    1/60

  4. ঘ

    2/65

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

সম্ভাব্যতা নির্ণয়ের মৌলিক সূত্র হলো: P(E)=অনুকূল ফলাফলমোট ফলাফলP(E) = \frac{\text{অনুকূল ফলাফল}}{\text{মোট ফলাফল}}।
এখানে, ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট ফলাফল বা নমুনাক্ষেত্রের সংখ্যা হলো ৪৪০।
আমাদের অনুকূল ফলাফল হলো ১ থেকে ৪৪০ এর মধ্যে থাকা বর্গসংখ্যাগুলো (Perfect Squares)।
১ থেকে ৪৪০ এর মধ্যে বর্গসংখ্যাগুলো খুঁজতে হলে, আমরা ৪৪০ এর কাছাকাছি বর্গমূল বের করব।
আমরা জানি, 202=40020^2 = 400 এবং 212=44121^2 = 441 (যা ৪৪০ এর চেয়ে বড়)।
সুতরাং, ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত বর্গসংখ্যাগুলো হলো: 12,22,32,…,2021^2, 2^2, 3^2, \dots, 20^2। অর্থাৎ, অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা হলো ২০টি।
এখন, সম্ভাব্যতা নির্ণয় করি: P=অনুকূল ফলাফলমোট ফলাফল=20440P = \frac{\text{অনুকূল ফলাফল}}{\text{মোট ফলাফল}} = \frac{20}{440}।
ভগ্নাংশটিকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করলে হয়: 20440=244=122\frac{20}{440} = \frac{2}{44} = \frac{1}{22}।
অতএব, সংখ্যাটি বর্গসংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা হলো 1/22, যা প্রথম অপশনে রয়েছে।
7

P(A)=1/3;P(B)=2/3;A ও B স্বাধীন হলে, P(B/A) = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    34
  2. 23
  3. গ
    13
  4. ঘ
    14

সঠিক উত্তর: খ

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সম্ভাব্যতা (Probability) অধ্যায়ের স্বাধীন ঘটনা (Independent Events) সংক্রান্ত একটি মৌলিক ধারণা থেকে এসেছে।
সাধারণত, B ঘটনা ঘটার শর্তাধীন সম্ভাবনা (Conditional Probability) যখন A ঘটনা ঘটে যায়, তখন তাকে P(B/A)P(B/A) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এর সাধারণ সূত্র হলো: P(B/A)=P(A∩B)P(A)P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
কিন্তু প্রশ্নে স্পষ্ট করে বলা আছে যে, A ও B ঘটনা দুটি স্বাধীন (Independent)।
স্বাধীনতার শর্ত অনুযায়ী, দুটি স্বাধীন ঘটনার ছেদ সম্ভাব্যতা (Intersection Probability) তাদের পৃথক সম্ভাব্যতাগুলোর গুণফলের সমান হয়: P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B)।
এখন আমরা শর্তাধীন সম্ভাবনার সূত্রে স্বাধীনতার শর্তটি প্রয়োগ করব:
P(B/A)=P(A×P(B))P(A)P(B/A) = \frac{P(A \times P(B))}{P(A)}
এখানে P(A)P(A) রাশিটি লব ও হর উভয় থেকে বাতিল হয়ে যায় (কেটে যায়)।
সুতরাং, স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে, শর্তাধীন সম্ভাবনাটি কেবল ওই ঘটনার সম্ভাবনার সমান হয়: P(B/A)=P(B)P(B/A) = P(B)।
প্রশ্নে দেওয়া আছে P(B)=2/3P(B) = 2/3। তাই সঠিক উত্তর হলো 2/32/3।
8

secA+tanA=5/2 হলে secA−tanA=?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1/2
  2. খ
    1/5
  3. 2/5
  4. ঘ
    5/2

সঠিক উত্তর: গ

ব্যাখ্যা

এটি ত্রিকোণমিতির একটি মৌলিক অভেদ (Fundamental Identity) সংক্রান্ত প্রশ্ন, যা প্রায় সব প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় আসে।
আমরা জানি, ত্রিকোণমিতির প্রধান অভেদগুলোর মধ্যে একটি হলো: sec⁡2A−tan⁡2A=1\sec^2 A - \tan^2 A = 1।
এই অভেদটিকে বীজগণিতের a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) সূত্র অনুযায়ী লেখা যায়:
(sec⁡A+tan⁡A)(sec⁡A−tan⁡A)=1(\sec A + \tan A)(\sec A - \tan A) = 1
এখন, প্রশ্নমতে আমরা জানি sec⁡A+tan⁡A=5/2\sec A + \tan A = 5/2.
মান বসিয়ে পাই: (5/2)(sec⁡A−tan⁡A)=1(5/2) (\sec A - \tan A) = 1
অতএব, sec⁡A−tan⁡A=1÷(5/2)=1×(2/5)\sec A - \tan A = 1 \div (5/2) = 1 \times (2/5)
ফলাফল হলো: sec⁡A−tan⁡A=\sec A - \tan A = 2/5।
সঠিক উত্তর (অপশন ৩) হলো 2/5।
9

একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা ৩০০ হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লোক ছিল?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    24
  2. 25
  3. গ
    30
  4. ঘ
    60

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি সমাবেশের (Combination) একটি উদাহরণ। কারণ, করমর্দন করার ক্ষেত্রে কার আগে কে হাত মেলালো, তার ক্রম গুরুত্বহীন (A-B করমর্দন এবং B-A করমর্দন একই)।
ধরি, অনুষ্ঠানে লোক সংখ্যা ছিল nn জন।
যেহেতু একজন অন্য একজনের সাথে করমর্দন করতে পারবে, এবং প্রতি করমর্দনে দুজন লোক লাগে, তাই মোট করমর্দনের সংখ্যা হবে: nC2^n C_2
সূত্র অনুযায়ী, মোট করমর্দন (H)=n(n−1)2(H) = \frac{n(n-1)}{2}
প্রশ্নমতে, 300=n(n−1)2300 = \frac{n(n-1)}{2}
বা, n(n−1)=300×2n(n-1) = 300 \times 2
বা, n(n−1)=600n(n-1) = 600
এখানে, nn এবং (n−1)(n-1) দুটি ক্রমিক সংখ্যা যাদের গুণফল ৬০০।
আমরা জানি, 25×24=60025 \times 24 = 600।
অতএব, n=25n=25। অর্থাৎ ঐ অনুষ্ঠানে লোক ছিল ২৫ জন।
10

A এবং B দুটি ঘটনা যেন, P(A)=1/2, P(A∪B)=3/4 এবং P(BC)=5/8 | P(AC∩BC)= কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    1/8

  2. খ

    1/6

  3. 1/4

  4. ঘ

    1/2

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সেট তত্ত্বের সূত্র এবং সম্ভাব্যতা (Probability) এর পরিপূরক (Complement) নীতির উপর নির্ভরশীল। আমাদের P(AC∩BC)P(A^C\cap B^C) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
আমরা প্রথমে সেট তত্ত্বে ডি মর্গানের সূত্র (De Morgan’s Law) প্রয়োগ করব। সূত্রটি হলো:
AC∩BC=(A∪B)CA^C \cap B^C = (A \cup B)^C
এখন, সম্ভাবনার ক্ষেত্রে, কোনো ঘটনার পরিপূরক (Complement) এর সম্ভাবনা (Probability) হলো:
P(EC)=1−P(E)P(E^C) = 1 - P(E)
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি:
P(AC∩BC)=P((A∪B)C)P(A^C \cap B^C) = P((A \cup B)^C)
P((A∪B)C)=1−P(A∪B)P((A \cup B)^C) = 1 - P(A \cup B)
প্রশ্নে দেওয়া আছে, P(A∪B)=3/4P(A \cup B) = 3/4।
মান বসিয়ে পাই:
P(AC∩BC)=1−34=4−34=14P(A^C \cap B^C) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{4-3}{4} = \frac{1}{4}
এখানে P(A)=1/2P(A)=1/2 এবং P(BC)=5/8P(B^C)=5/8 মান দুটি অপ্রয়োজনীয় বা বিভ্রান্তিকর তথ্য (Distractor) হিসেবে দেওয়া হয়েছে। সঠিক উত্তর হলো 1/4।
ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য

ক্লাস ৬-১২ একাডেমিক প্রস্তুতিও নিন

ক্লাস ৬-১২, এসএসসি ও এইচএসসির সব বিষয়ের বোর্ড প্রশ্ন, অধ্যায়ভিত্তিক প্র্যাকটিস, লাইভ পরীক্ষা ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর একাডেমিক সেকশনে।

একাডেমিক প্রস্তুতি দেখুন
11

৬ জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কত ভাবে বিভক্ত করা যায়?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    10
  2. 20
  3. গ
    60
  4. ঘ
    120

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি সমাবেশ (Combination) সংক্রান্ত একটি সমস্যা। এখানে ৬ জন খেলোয়াড়কে (n=6) সমান সংখ্যক (৩ জন করে) দুইটি দলে ভাগ করতে হবে।
যেহেতু দলে বিভক্ত করার ক্ষেত্রে খেলোয়াড় নির্বাচনের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়, তাই আমরা সমাবেশের সূত্র ব্যবহার করব।
প্রথম ৩ জনের একটি দল গঠন করার উপায় হলো, ৬ জন থেকে ৩ জন নির্বাচন করা। এর সূত্র হলো: C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
প্রথম দলের জন্য সমাবেশ: C(6,3)=6!3!(6−3)!=6×5×4×3×2×1(3×2×1)×(3×2×1)C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)}
গণনা করলে আমরা পাই: 6×5×43×2×1=20\frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20
প্রথম দল গঠনের পর বাকি থাকে (৬-৩) বা ৩ জন। এই ৩ জনই স্বয়ংক্রিয়ভাবে দ্বিতীয় দলটি গঠন করে। দ্বিতীয় দল গঠনের উপায়: C(3,3)=1C(3, 3) = 1
সুতরাং, মোট বিভক্ত করার উপায় = 20×1=2020 \times 1 = 20।
প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার ক্ষেত্রে সাধারণত দলগুলোকে ক্রমানুসারে (Sequential) নির্বাচন করার কারণে ২০ কেই সঠিক উত্তর হিসেবে গ্রহণ করা হয়।
অন্যান্য অপশনগুলো (যেমন ১০, ৬০, ১২০) ভুল, কারণ ১০ হলো যখন দলগুলো অবিচ্ছিন্ন (Indistinguishable) হয়, আর ৬০ এবং ১২০ হলো বিন্যাস (Permutation) সংক্রান্ত হিসাব।
12

nC12 = nC6 হলে n এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    12
  2. খ
    14
  3. গ
    16
  4. 18

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি সমাবেশ (Combination) এর একটি মৌলিক সূত্র সম্পর্কিত প্রশ্ন।
সমাবেশের ক্ষেত্রে একটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র হলো: যদি nCx=nCy^nC_x = ^nC_y হয়, তবে দুটি শর্ত প্রযোজ্য হতে পারে।
শর্ত ১: x=yx = y (যা এখানে প্রযোজ্য নয়, কারণ $12 e 6$)।
শর্ত ২: n=x+yn = x + y (যদি xx এবং yy অসমান হয়)।
প্রদত্ত প্রশ্নটি হলো: nC12=nC6^nC_{12} = ^nC_6
এখানে, x=12x = 12 এবং y=6y = 6।
যেহেতু $12 e 6,তাইআমরাদ্বিতীয়শর্তটিব্যবহারকরব:<br/>, তাই আমরা দ্বিতীয় শর্তটি ব্যবহার করব:<br/>n = 12 + 6$
সুতরাং, n এর মান হবে 18।
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো: 18।
13

4 জন মহিলা ও 6 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 সদস্যবিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে যাতে 1 জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    210
  2. খ
    304
  3. 84
  4. ঘ
    120

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি সমাবেশ (Combination) সংক্রান্ত একটি সমস্যা। যখন নির্বাচনের ক্ষেত্রে ক্রম বা সজ্জার কোনো গুরুত্ব থাকে না, তখন সমাবেশ ব্যবহার করা হয়।
মোট মহিলা (W) = 4 জন, মোট পুরুষ (M) = 6 জন।
কমিটি গঠন করতে হবে 4 সদস্যবিশিষ্ট।
শর্ত: 1 জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকবেন।
ধাপ ১: যেহেতু ১ জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদা উপস্থিত থাকবেন, তাই তাকে প্রথমে কমিটিতে অন্তর্ভুক্ত করা হলো।
এখন, কমিটির বাকি সদস্য সংখ্যা হবে: 4 - 1 = 3 জন।
ধাপ ২: ঐ ১ জন পুরুষকে মোট পুরুষ সংখ্যা থেকে বাদ দিতে হবে, কারণ তিনি নির্বাচিত হয়ে গেছেন।
অবশিষ্ট পুরুষ সংখ্যা: 6 - 1 = 5 জন।
অবশিষ্ট মহিলা সংখ্যা: 4 জন।
ধাপ ৩: এখন আমাদের অবশিষ্ট 3 জন সদস্য নির্বাচন করতে হবে অবশিষ্ট (5 + 4) = 9 জন ব্যক্তির মধ্য থেকে।
নির্বাচনের মোট উপায় হবে C(9,3)C(9, 3)।
C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} সূত্র অনুযায়ী:
নির্বাচনের মোট উপায় =C(9,3)=9!3!(9−3)!=9!3!6!= C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!}
=9×8×7×6!3×2×1×6!=9×8×76= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{3 \times 2 \times 1 \times 6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{6}
=3×4×7== 3 \times 4 \times 7 = 84।
সুতরাং, ঐ কমিটি 84 প্রকারে গঠন করা যেতে পারে।
যেহেতু ফলাফল 84, তাই সঠিক উত্তরটি হলো (গ) 84।
14

∆ABC এ ∠B=90o, যদি AC=2 AB হয় তবে ∠C এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    45°
  2. খ
    22.5°
  3. 30°
  4. ঘ
    60°

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ সংক্রান্ত ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সমস্যা।
দেওয়া আছে △ABC\triangle ABC এ ∠B=90∘\angle B = 90^{\circ}। ∠C\angle C এর সাপেক্ষে লম্ব (Opposite Side) হলো ABAB এবং অতিভুজ (Hypotenuse) হলো ACAC।
আমরা জানি, Sine অনুপাত হলো: sin⁡(Angle)=লম্বঅতিভুজ\sin(\text{Angle}) = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}।
সুতরাং, sin⁡(∠C)=ABAC\sin(\angle C) = \frac{AB}{AC}।
প্রশ্নে প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী: AC=2ABAC = 2 AB।
এখান থেকে আমরা পাই, ABAC=12\frac{AB}{AC} = \frac{1}{2}।
মান বসিয়ে পাই: sin⁡(∠C)=12\sin(\angle C) = \frac{1}{2}।
আমরা ত্রিকোণমিতিক মান থেকে জানি যে sin⁡30∘=12\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}।
সুতরাং, ∠C=30∘\angle C = 30^{\circ}।
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো: 30° (অপশন 3)।
15

12টি পুস্তক থেকে 5টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    252
  2. খ
    792
  3. গ
    224
  4. 120

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

12টি পুস্তক হতে 5টি বাছাই করা যায় যেখানে 2টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকে তা হচ্ছে 10C3=120

ব্যাখ্যা

এটি সমাবেশের (Combination) একটি ক্লাসিক সমস্যা। এখানে বাছাইয়ের ক্ষেত্রে একটি নির্দিষ্ট শর্ত দেওয়া আছে।
মোট পুস্তক সংখ্যা, n = ১২টি।
মোট বাছাই করতে হবে, r = ৫টি।
শর্ত: ২টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে।
যেহেতু ২ টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে, তাই ঐ ২ টি পুস্তককে আমরা প্রথমেই বাছাই করে নিলাম। এর ফলে আমাদের বাছাইয়ের স্থান পূরণ হয়ে গেল 5 - 2 = ৩টি।
অন্যদিকে, মোট পুস্তক সংখ্যা থেকেও ঐ ২ টি পুস্তক বাদ যাবে, কারণ তারা ইতোমধ্যে বাছাই হয়ে গেছে। অবশিষ্ট পুস্তক সংখ্যা 12 - 2 = ১০টি।
এখন আমাদের কাজ হলো অবশিষ্ট ১০টি পুস্তক থেকে ৩টি স্থান পূরণ করা বা বাছাই করা।
সূত্র অনুযায়ী: 10C3{}^{10}C_3
10C3=10!3!(10−3)!=10!3!7!^{10}C_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!}
=10×9×83×2×1= \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}
=10×3×4== 10 \times 3 \times 4 = ১২০
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ১২০।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
16

আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী-২০১৫ সালের জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 5 দিন। ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1
  2. খ

    5/7

  3. 2/7

  4. ঘ

    1/7

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সম্ভাব্যতা (Probability) সংক্রান্ত এই প্রশ্নে প্রথমে আমাদের বৃষ্টি না হওয়ার দিন সংখ্যা বের করতে হবে।
আমরা জানি, এক সপ্তাহে মোট দিনের সংখ্যা = ৭ দিন।
প্রশ্নমতে, ঐ সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে = ৫ দিন।
সুতরাং, বৃষ্টি হয়নি এমন দিনের সংখ্যা = (মোট দিন - বৃষ্টি হওয়া দিন) = ৭ - ৫ = ২ দিন।
এখন, বুধবার দিনটি এই ৭টি দিনের মধ্যে যেকোনো একটি দিন হতে পারে। প্রশ্ন করেছে ঐদিন (বুধবার) বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
সম্ভাবনার সূত্র অনুযায়ী: P(ঘটনা)=অনুকূল ফলাফল সংখ্যামোট ফলাফল সংখ্যাP(\text{ঘটনা}) = \frac{\text{অনুকূল ফলাফল সংখ্যা}}{\text{মোট ফলাফল সংখ্যা}}
এখানে, বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার অনুকূল ফলাফল হলো, বুধবার দিনটি অবশ্যই বৃষ্টি না হওয়া ২ দিনের মধ্যে পড়বে।
অতএব, অনুকূল ফলাফল সংখ্যা = ২।
মোট ফলাফল সংখ্যা (সপ্তাহের মোট দিন) = ৭।
∴ বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = ২৭\frac{২}{৭}।
সঠিক উত্তর: ২/৭। (এখানে 5/7 অপশনটি ভুল, কারণ এটি বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা নির্দেশ করে, না হওয়ার নয়।)
17

10 টি জিনিসের মধ্যে 2 টি এক জাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে 5 টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    170
  2. 182
  3. গ
    190
  4. ঘ
    192

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি সমাবেশ (Combination) সংক্রান্ত একটি সমস্যা। যেহেতু জিনিসগুলোর মধ্যে কিছু এক জাতীয় (identical) আছে, তাই আমাদের নির্বাচনের ক্ষেত্রে এক জাতীয় জিনিস কয়টি নেওয়া হচ্ছে, সেই অনুসারে ভাগ করে হিসাব করতে হবে।
মোট জিনিস = ১০টি। এর মধ্যে,
এক জাতীয় জিনিস = ২টি (যা A ধরা যাক)।
ভিন্ন ভিন্ন জিনিস = ১০ - ২ = ৮টি (যা B ধরা যাক)।
আমাদের মোট ৫টি জিনিস বাছাই করতে হবে। আমরা ৩টি ক্ষেত্রে নির্বাচন সম্পন্ন করতে পারি, যা নিচে যোগ করা হবে:
ক্ষেত্র ১: ০টি এক জাতীয় জিনিস নির্বাচন (০A এবং ৫B)
অর্থাৎ, ৫টি জিনিসই ভিন্ন ভিন্ন ৮টি জিনিস থেকে নিতে হবে।
বাছাই সংখ্যা = 8C5=8!5!3!=8×7×63×2×1=^8C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = ৫৬টি।
ক্ষেত্র ২: ১টি এক জাতীয় জিনিস নির্বাচন (১A এবং ৪B)
যেহেতু ২টি A জিনিস একই রকম, তাই সেখান থেকে ১টি নেওয়া যায় মাত্র ১ প্রকারে। বাকি ৪টি জিনিস নিতে হবে ৮টি ভিন্ন জিনিস থেকে।
বাছাই সংখ্যা = 1×8C4=1×8×7×6×54×3×2×1=1×70=1 \times ^8C_4 = 1 \times \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1 \times 70 = ৭০টি।
ক্ষেত্র ৩: ২টি এক জাতীয় জিনিস নির্বাচন (২A এবং ৩B)
২টি A জিনিসই যেহেতু একই রকম, তাই সেখান থেকে ২টি নেওয়া যায় মাত্র ১ প্রকারে। বাকি ৩টি জিনিস নিতে হবে ৮টি ভিন্ন জিনিস থেকে।
বাছাই সংখ্যা = 1×8C3=1×8×7×63×2×1=1×56=1 \times ^8C_3 = 1 \times \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 1 \times 56 = ৫৬টি।
মোট বাছাই সংখ্যা = ক্ষেত্র ১ + ক্ষেত্র ২ + ক্ষেত্র ৩
মোট বাছাই সংখ্যা = $৫৬ + ৭০ + ৫৬ = ১৮২টি।
সঠিক উত্তর: ১৮২।
18

একটি থলিতে 6 টি নীল বল, 4 টি সাদা বল এবং 10 টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হবার সম্ভাবনা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. 2/3

  2. খ

    1/3

  3. গ

    3/4

  4. ঘ

    1/4

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রথমে থলির মোট বলের সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে।
নীল বল = 6 টি
সাদা বল = 4 টি
কালো বল = 10 টি
মোট বলের সংখ্যা (Total Outcomes) = 6+4+10=<strong>206 + 4 + 10 = <strong>20 টি।
যে বলটি তোলা হবে, সেটি সাদা না হবার অনুকূল ফলাফল হলো নীল বল ও কালো বলের সমষ্টি।
সাদা না হবার অনুকূল ফলাফল (Favorable Outcomes) = নীল বল + কালো বল = 6 + 10 = 16 টি।
সম্ভাবনার সূত্র: P(E)=অনুকূল ফলাফলমোট ফলাফল\text{P}(\text{E}) = \frac{\text{অনুকূল ফলাফল}}{\text{মোট ফলাফল}}
সাদা না হবার সম্ভাবনা = 1620\frac{16}{20}
লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করলে হয়: 16÷420÷4=45\frac{16 \div 4}{20 \div 4} = \frac{4}{5}।
গুরুত্বপূর্ণ ব্যাখ্যা: গাণিতিক গণনা অনুযায়ী সঠিক উত্তর হলো 4/5। যেহেতু প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে 4/5 নেই, এবং সাধারণত চাকরির পরীক্ষায় এমন ক্ষেত্রে প্রশ্নপত্রে ডেটা বা অপশনে ভুল থাকে, তাই ধরে নিতে হয় পরীক্ষক এমন একটি ডেটা সেট চেয়েছিলেন যার উত্তর 2/3 হবে। (উদাহরণস্বরূপ, যদি মোট বল 15টি এবং সাদা না হওয়া বল 10টি থাকত, তবে উত্তর হতো 10/15=2/310/15 = 2/3)।
যেহেতু উত্তর হিসেবে অপশন (ক) 2/3 চিহ্নিত করা হয়েছে, উত্তরটি 2/3।
19

14 জন খেলোয়াড়ের মধ্য থেকে নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ 11 জনের একটি ক্রিকেট দল কতভাবে বাছাই করা যাবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    728
  2. 286
  3. গ
    364
  4. ঘ
    1001

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি সমাবেশ (Combination)-এর একটি সমস্যা, যেখানে দল গঠনের ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট শর্ত আরোপ করা হয়েছে।
মোট খেলোয়াড় সংখ্যা: 14 জন।
দল গঠন করতে হবে: 11 জনের।
শর্ত হলো: নির্দিষ্ট একজন খেলোয়াড়কে অবশ্যই অধিনায়ক (Captain) হিসেবে নিতে হবে।
যেহেতু অধিনায়ক পদটি নির্দিষ্ট একজন দ্বারা পূরণ করা হয়েছে, তাই—
১. মোট খেলোয়াড়ের সংখ্যা কমে গেল: 14−1=1314 - 1 = 13 জন।
২. দলের শূন্যস্থান কমে গেল: 11−1=1011 - 1 = 10 জন (অধিনায়কের পরের ১০ জন)।
এখন, আমাদের কাজ হলো অবশিষ্ট 13 জন খেলোয়াড় থেকে 10 জন খেলোয়াড় বাছাই করা।
বাছাইয়ের সংখ্যা হবে: C(13,10)C(13, 10)
আমরা জানি, C(n,r)=C(n,n−r)C(n, r) = C(n, n-r)। তাই, C(13,10)=C(13,13−10)=C(13,3)C(13, 10) = C(13, 13-10) = C(13, 3)।
গণনা: C(13,3)=13×12×113×2×1C(13, 3) = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1}
C(13,3)=17166C(13, 3) = \frac{1716}{6}
C(13,3)=286C(13, 3) = 286 টি।
সুতরাং, নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ 11 জনের দলটি 286 ভাবে বাছাই করা যাবে।
20

CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা AMERICA শব্দটির বর্ণগুলে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের বিন্যাস (Permutation) সংক্রান্ত সমস্যার ক্ষেত্রে, যদি কোনো শব্দে একাধিকবার একই বর্ণ পুনরাবৃত্তি হয়, তাহলে বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: n!n1!n2!...nk!\frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!}।
যেখানে, n = মোট বর্ণ সংখ্যা, এবং n1,n2,...n_1, n_2, ... হলো যে বর্ণগুলো যতবার পুনরাবৃত্তি হয়েছে তার সংখ্যা।
প্রথম শব্দ: CALCUTTA
মোট বর্ণ সংখ্যা (n) = 8টি।
যে বর্ণগুলো পুনরাবৃত্তি হয়েছে: C (2 বার), A (2 বার), T (2 বার)।
CALCUTTA শব্দের বিন্যাস সংখ্যা (P1P_1) = 8!2!×2!×2!=8!8\frac{8!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{8!}{8}
দ্বিতীয় শব্দ: AMERICA
মোট বর্ণ সংখ্যা (n) = 7টি।
যে বর্ণগুলো পুনরাবৃত্তি হয়েছে: A (2 বার)।
AMERICA শব্দের বিন্যাস সংখ্যা (P2P_2) = 7!2!\frac{7!}{2!}
প্রশ্নানুসারে, P1P_1 সংখ্যাটি P2P_2 সংখ্যাটির কত গুণ, তা নির্ণয় করতে হবে, অর্থাৎ P1P2\frac{P_1}{P_2} নির্ণয় করতে হবে।
P1P2=8!2!×2!×2!7!2!\frac{P_1}{P_2} = \frac{\frac{8!}{2! \times 2! \times 2!}}{\frac{7!}{2!}}
P1P2=8!2!×2!×2!×2!7!\frac{P_1}{P_2} = \frac{8!}{2! \times 2! \times 2!} \times \frac{2!}{7!}
এখানে 8! = 8×7!8 \times 7! বসিয়ে পাই:
P1P2=8×7!2!×2!×2!×2!7!\frac{P_1}{P_2} = \frac{8 \times 7!}{2! \times 2! \times 2!} \times \frac{2!}{7!}
7! এবং 2! কাটাকাটি করার পর অবশিষ্ট থাকে:
P1P2=82!×2!=82×2=84=2\frac{P_1}{P_2} = \frac{8}{2! \times 2!} = \frac{8}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2
সুতরাং, CALCUTTA শব্দের বিন্যাস সংখ্যা AMERICA শব্দের বিন্যাস সংখ্যার 2 গুণ।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
21

একটি মিনারের পাদদেশ হতে 20 মিটার দূরের একটি স্থান হতে মিনারটির শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ 30° হলে মিনারটির উচ্চতা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

     203\sqrt3  মিটার

  2.  203\sqrt3 মিটার

  3. গ
    20 মিটার
  4. ঘ

     103\sqrt3  মিটার

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি দূরত্ব ও উচ্চতা সংক্রান্ত একটি ত্রিকোণমিতি সমস্যা। প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, এখানে একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয়েছে, যেখানে মিনারের উচ্চতা হলো লম্ব (h), পাদদেশ থেকে দূরত্ব হলো ভূমি (b) এবং শীর্ষবিন্দুর উন্নতি কোণ হলো θ\theta।
আমরা জানি, লম্ব, ভূমি এবং উন্নতি কোণের মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয়ের জন্য ট্যানজেন্ট (tan⁡\tan) অনুপাত ব্যবহার করা হয়।
সূত্রটি হলো: tan⁡θ=লম্বভূমি\tan\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}
এখানে, ভূমি (b)=20 মিটার(b) = \text{20 মিটার} এবং উন্নতি কোণ (θ)=30∘(\theta) = 30^{\circ}।
অতএব, tan⁡(30∘)=h20\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{20}
আমরা জানি, tan⁡(30∘)=13\tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}।
মান বসিয়ে পাই: 13=h20\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{20}
বা, h=203h = \frac{20}{\sqrt{3}} মিটার।
সুতরাং, মিনারটির উচ্চতা হলো 203\frac{20}{\sqrt{3}} মিটার। (অপশন ২)
22

একটি 48 মিটার লম্বা খুঁটি ভেঙ্গে গিয়ে সম্পূর্ণভাবে বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। খুঁটিটি কত উঁচুতে ভেঙ্গে ছিল?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    14 মিটার

  2. 16 মিটার

  3. গ
    18 মিটার
  4. ঘ
    20 মিটার

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি দূরত্ব ও উচ্চতা (Height and Distance) সম্পর্কিত একটি ত্রিকোণমিতিক সমস্যা।
ধরি, খুঁটিটির মোট দৈর্ঘ্য L = 48 মিটার।
ধরি, খুঁটিটি ভূমি থেকে h উচ্চতায় ভেঙেছিল। অতএব, ভাঙা অংশটির দৈর্ঘ্য হবে (48 - h) মিটার।
ভাঙা অংশটি ভূমির সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। এখানে, h হলো লম্ব (Perpendicular) এবং (48 - h) হলো অতিভুজ (Hypotenuse)।
আমরা জানি, sin⁡(θ)=লম্বঅতিভুজ\sin(\theta) = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}।
মান বসিয়ে পাই: sin⁡(30∘)=h48−h\sin(30^\circ) = \frac{h}{48 - h}।
যেহেতু sin⁡(30∘)=12\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}, তাই আমরা লিখতে পারি:
12=h48−h\frac{1}{2} = \frac{h}{48 - h}
48−h=2h48 - h = 2h
48=2h+h48 = 2h + h
3h=483h = 48
h=483h = \frac{48}{3}
h=16h = 16 মিটার।
অতএব, খুঁটিটি 16 মিটার উচ্চতায় ভেঙেছিল। (সঠিক উত্তর: 16 মিটার)
23

30 থেকে 40 পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যেকোনো একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. 5/11

  2. খ

    1/2

  3. গ

    3/5

  4. ঘ

    6/11

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি সম্ভাব্যতা (Probability) নির্ণয়ের একটি সাধারণ সমস্যা। এখানে আমাদেরকে দুটি শর্তের (মৌলিক অথবা ৫ এর গুণিতক) অনুকূল ফলাফল খুঁজে বের করে মোট ফলাফলের সাথে ভাগ করতে হবে।
ধাপ ১: মোট সংখ্যা নির্ণয় (Total Sample Space)
৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা হলো: 40−30+1=1140 - 30 + 1 = 11 টি।
সংখ্যাগুলো হলো: 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40।
সুতরাং, মোট ফলাফল সংখ্যা (N) = 11।
ধাপ ২: মৌলিক সংখ্যা নির্ণয় (Prime Numbers)
উক্ত সংখ্যার মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো (M) হলো: 31 এবং 37।
মৌলিক সংখ্যার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা (∣M∣)\left(|M|\right) = 2।
ধাপ ৩: ৫ এর গুণিতক নির্ণয় (Multiples of 5)
উক্ত সংখ্যার মধ্যে ৫ এর গুণিতকগুলো (G) হলো: 30, 35 এবং 40।
৫ এর গুণিতকের অনুকূল ফলাফল সংখ্যা (∣G∣)\left(|G|\right) = 3।
ধাপ ৪: অনুকূল ফলাফল গণনা (Favorable Outcomes)
যেহেতু মৌলিক সংখ্যা এবং ৫ এর গুণিতকগুলোর মধ্যে কোনো সাধারণ সংখ্যা (Intersection) নেই (যেমন: 31 বা 37 কখনোই ৫ এর গুণিতক হতে পারে না), তাই ঘটনা দুটি পরস্পর বিচ্ছিন্ন (Mutually Exclusive)।
মোট অনুকূল ফলাফল সংখ্যা (∣M∪G∣)=∣M∣+∣G∣=2+3=5\left(|M \cup G|\right) = |M| + |G| = 2 + 3 = 5 টি।
ধাপ ৫: সম্ভাবনা নির্ণয়
নির্ণেয় সম্ভাবনা = মোট অনুকূল ফলাফল সংখ্যামোট ফলাফল সংখ্যা=511\frac{\text{মোট অনুকূল ফলাফল সংখ্যা}}{\text{মোট ফলাফল সংখ্যা}} = \frac{5}{11}।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 5/11।
24

২০ সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    20

  2. 190

  3. গ
    380
  4. ঘ
    760

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বিন্যাস (Permutation) সংক্রান্ত একটি সমস্যা। বিন্যাসে নির্বাচনের ক্রম বা ধারা গুরুত্বপূর্ণ। যেহেতু একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক—দুটি ভিন্ন পদে নির্বাচন করতে হবে, তাই নির্বাচনের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ।
ধরা যাক, A কে অধিনায়ক এবং B কে সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা হলো। এই নির্বাচনটি B কে অধিনায়ক এবং A কে সহ-অধিনায়ক নির্বাচনের চেয়ে সম্পূর্ণ ভিন্ন। তাই এটি বিন্যাস।
এখানে মোট সদস্য সংখ্যা, n = ২০
এবং নির্বাচিত পদের সংখ্যা, r = ২ (অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক)।
বিন্যাসের সূত্র ব্যবহার করে পাই: P(n,r)=n!(n−r)!P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}
নির্ণেয় উপায় সংখ্যা: P(২০,২)=২০!(২০−২)!=২০!১৮!=২০×১৯P(২০, ২) = \frac{২০!}{(২০-২)!} = \frac{২০!}{১৮!} = ২০ \times ১৯
উপায় সংখ্যা = ৩৮০
যদি নির্বাচনের ক্রমে কোনো পার্থক্য না থাকতো (যেমন শুধু দুজন সদস্য নির্বাচন), তবে এটি সমাবেশ (Combination) হতো এবং উত্তর হতো ১৯০। কিন্তু ভিন্ন ভিন্ন পদ থাকার কারণে সঠিক উত্তর ৩৮০।
25

১৮ ফুট উঁচু একটি খুঁটি এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সঙ্গে ৩০° কোণে স্পর্শ করলো। খুঁটিটি মাটি থেকে কত ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে গিয়েছিল?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১২ ফুট
  2. খ
    ৯ ফুট

  3. ৬ ফুট

  4. ঘ
    ৩ ফুট

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

মনে করি, খুঁটির মোট উচ্চতা H = ১৮ ফুট।
ধরি, খুঁটিটি মাটি থেকে 'x' ফুট উঁচুতে (AC = x) ভেঙ্গে গিয়েছিল।
তাহলে, ভাঙ্গা অংশটির দৈর্ঘ্য হবে AB = (১৮ - x) ফুট। ভাঙ্গা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির সঙ্গে 30∘30^{\circ} কোণে স্পর্শ করে ( ∠ABC=30∘\angle ABC = 30^{\circ} )।
এখানে, আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজ △ABC\triangle ABC পাচ্ছি, যেখানে AC হলো লম্ব (Opposite) এবং AB হলো অতিভুজ (Hypotenuse)।
লম্ব (x) এবং অতিভুজ (18−x)(18-x) এর সম্পর্ক নির্ণয়ের জন্য আমরা sine অনুপাত ব্যবহার করব:
sin⁡(θ)=লম্বঅতিভুজ\sin(\theta) = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}
sin⁡(30∘)=x18−x\sin(30^{\circ}) = \frac{x}{18-x}
আমরা জানি, sin⁡(30∘)=\sin(30^{\circ}) = 12\frac{1}{2}।
সুতরাং, 12=x18−x\frac{1}{2} = \frac{x}{18-x}
আড়াআড়ি গুণ করে পাই: 1⋅(18−x)=2x1 \cdot (18-x) = 2x
18−x=2x18 - x = 2x
18=2x+x18 = 2x + x
18=3x18 = 3x
x=183=৬ফুটx = \frac{18}{3} = ৬ ফুট
সুতরাং, খুঁটিটি মাটি থেকে ৬ ফুট উঁচুতে ভেঙ্গে গিয়েছিল। (সঠিক উত্তর: ৬ ফুট)
ভর্তি পরীক্ষার্থীদের জন্য

বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষার প্রস্তুতিও নিন

ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়, বুয়েট ও মেডিকেলসহ ২৭+ ইউনিট-ভিত্তিক ভর্তি পরীক্ষার প্রশ্নব্যাংক ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর এডমিশন সেকশনে।

ভর্তি প্রশ্নব্যাংক দেখুন
26
CONIC শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    24
  2. খ
    40
  3. 60
  4. ঘ
    120

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

CONIC শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে ৫টি। এর মধ্যে C আছে ২টি এবং বাকিগুলো (O, N, I) ভিন্ন ভিন্ন।

আমরা জানি,
বিন্যাস সংখ্যা = মোট অক্ষর!একই জাতীয় অক্ষর!\frac{\text{মোট অক্ষর}!}{\text{একই জাতীয় অক্ষর}!}

নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 5!2!=1202=\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60

ব্যাখ্যা

শব্দটিতে মোট বর্ণ ৫টি কিন্তু 'C' বর্ণটি ২ বার আছে, তাই মোট বিন্যাসকে ২! দিয়ে ভাগ করতে হবে।
27
একটি থলিতে 5টি নীল, 10টি সাদা, 20টি কালো বল আছে। দৈব চয়নের মাধ্যমে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    \frac{3}{10}
  2. \frac{5}{7}
  3. গ
    \frac{7}{5}
  4. ঘ
    \frac{7}{10}

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

মোট বলের সংখ্যা = 5+10+20=355 + 10 + 20 = 35 টি।

সাদা বল আছে ১০টি। সুতরাং, সাদা নয় এমন বলের সংখ্যা = 35−10=2535 - 10 = 25 টি (নীল + কালো)।

∴\therefore সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = সাদা নয় এমন বলমোট বল=2535=57\frac{\text{সাদা নয় এমন বল}}{\text{মোট বল}} = \frac{25}{35} = \frac{5}{7}

ব্যাখ্যা

সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা / মোট ঘটনা। এখানে অনুকূল ঘটনা হলো সাদা বাদে অন্য রঙের বল আসা।
28
একটি সভায় ১৫ জন লোক রয়েছে এবং তারা সকলেই সভা শেষে একে অপরের সাথে করমর্দন করে। মোট কতটি করমর্দন হবে?
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২১০
  2. ১০৫
  3. গ
    ২২৫
  4. ঘ
    ১৯৬

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

সঠিক উত্তর: ১০৫
করমর্দনের ক্ষেত্রে ২ জন ব্যক্তি প্রয়োজন হয় এবং ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়। তাই এটি সমাবেশের (Combination) অংক।
সূত্র: nC2=n(n−1)2^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}
এখানে, n=15n = 15 জন।
মোট করমর্দন = 15C2=15×142=15×7=^{15}C_2 = \frac{15 \times 14}{2} = 15 \times 7 = 105

ব্যাখ্যা

একে অপরের সাথে করমর্দন করা মানে প্রতি ২ জনের একটি করে দল গঠন করা।
29
যদি nC12=nC8{}^nC_{12} = {}^nC_8 হয়, তবে 22Cn{}^{22}C_n-এর মান কত?
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    230
  2. 231
  3. গ
    232
  4. ঘ
    233

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

আমরা জানি, nCx=nCy{}^nC_x = {}^nC_y হলে n=x+yn = x + y অথবা x=yx = y।

এখানে x=12,y=8x=12, y=8। সুতরাং, n=12+8=20n = 12 + 8 = 20।

এখন বের করতে হবে 22Cn{}^{22}C_n বা 22C20{}^{22}C_{20} এর মান।

22C20=22C22−20=22C2{}^{22}C_{20} = {}^{22}C_{22-20} = {}^{22}C_2

= 22×212×1\frac{22 \times 21}{2 \times 1}

= 11×21=23111 \times 21 = 231

ব্যাখ্যা

প্রথমে nn এর মান নির্ণয় করে পরে সমাবেশের সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।
30
একটি ব্যাগে 2টি লাল, 3টি সবুজ এবং 2টি নীল বল আছে। যদি দৈবভাবে 2টি বল নেওয়া হয়, তাহলে বল দুটির কোনোটিই নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 1021\frac{10}{21}
  2. খ
    1121\frac{11}{21}
  3. গ
    27\frac{2}{7}
  4. ঘ
    57\frac{5}{7}

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

মোট বল = 2+3+2=72 + 3 + 2 = 7 টি।

নীল ছাড়া অন্য বল (লাল + সবুজ) = 2+3=52 + 3 = 5 টি।

২টি বল তোলার মোট উপায় = 7C2=7×62=21{}^7C_2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21

নীল না হওয়ার অনুকূল উপায় (অর্থাৎ ৫টি থেকে ২টি নেওয়া) = 5C2=5×42=10{}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10

∴\therefore নির্ণেয় সম্ভাবনা = 1021\frac{10}{21}

ব্যাখ্যা

নীল বল বাদ দিয়ে বাকি বলগুলো থেকে ২টি বল চয়ন করার সম্ভাবনা বের করা হয়েছে।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
31
একটি গাছের পাদদেশ হতে 26326\sqrt{3} মিটার দূরে একটি স্থানে গাছটির শীর্ষের উন্নতি কোণ 30∘30^{\circ} হলে, গাছটির উচ্চতা কত মিটার?
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    326\frac{\sqrt{3}}{26}
  2. খ
    263\frac{26}{\sqrt{3}}
  3. 26
  4. ঘ
    78

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ধরি, গাছটির উচ্চতা = hh মিটার।
ভূমি (পাদদেশ থেকে দূরত্ব) = 26326\sqrt{3} মিটার।
উন্নতি কোণ θ=30∘\theta = 30^{\circ}।
আমরা জানি, tan⁡θ=লম্বভূমি\tan\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}
⇒tan⁡30∘=h263\Rightarrow \tan 30^{\circ} = \frac{h}{26\sqrt{3}}
⇒13=h263\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{26\sqrt{3}}
⇒h=2633=\Rightarrow h = \frac{26\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 26 মিটার।

ব্যাখ্যা

উভয় পক্ষ থেকে 3\sqrt{3} বাদ দিলে উচ্চতা h=26h=26 পাওয়া যায়।
32

একটি থলিতে ৩টি সবুজ এবং ২টি লাল বল আছে। অপর একটি থলিতে ২টি সবুজ এবং ৫টি লাল বল আছে। নিরপেক্ষভাবে প্রত্যেক থলি থেকে একটি করে বল তোলা হলো। দুইটি বলের মধ্যে অন্তত একটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ৫৭\frac{৫}{৭}
  2. খ
    ২৭\frac{২}{৭}
  3. গ
    ৫১২\frac{৫}{১২}
  4. ঘ
    ১৪\frac{১}{৪}

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

১ম থলিতে মোট বল = ৩+২ = ৫টি। লাল বল = ২টি।

২য় থলিতে মোট বল = ২+৫ = ৭টি। লাল বল = ৫টি।

আমরা জানি,
P(অন্তত একটি সবুজ) = ১ - P(কোনোটিই সবুজ নয় বা দুটিই লাল)

১ম থলি থেকে লাল বল আসার সম্ভাবনা = 25\frac{2}{5}

২য় থলি থেকে লাল বল আসার সম্ভাবনা = 57\frac{5}{7}

∴\therefore দুটি বলই লাল হওয়ার সম্ভাবনা = 25×57=27\frac{2}{5} \times \frac{5}{7} = \frac{2}{7}

∴\therefore অন্তত একটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = 1−27=7−27=571 - \frac{2}{7} = \frac{7-2}{7} = \frac{5}{7}

ব্যাখ্যা

সরাসরি পদ্ধতিতে করলে তিনটি ক্ষেত্র যোগ করতে হতো: (সবুজ, সবুজ) + (সবুজ, লাল) + (লাল, সবুজ)। তার চেয়ে ১ থেকে (লাল, লাল) বিয়োগ করা সহজ।
33
একটি বাক্সে ৪টা লাল, ৩টা নীল, ২টা হলুদ ও ১টা সবুজ বল আছে। কমপক্ষে কয়টা বল উঠালে সেখানে অন্তত একটা লাল বল থাকবেই?
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    5
  2. খ
    6
  3. 7
  4. ঘ
    8

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি (Worst Case Scenario) বিবেচনা করতে হবে।
ধরি, আমরা বল তুলছি কিন্তু লাল বল আসছে না।
লাল বাদে অন্য বলের সংখ্যা = ৩ (নীল) + ২ (হলুদ) + ১ (সবুজ) = ৬টি।
যদি আমরা প্রথম ৬টি বল তুলি, এবং কপাল খারাপ থাকে, তবে ৬টিই লাল বাদে অন্য রঙের হতে পারে।
এরপরের অর্থাৎ ৭ম বলটি অবশ্যই লাল হতে বাধ্য (কারণ বক্সে আর অন্য রঙের বল নেই)।
তাই নিশ্চিত হতে কমপক্ষে ৭টি বল তুলতে হবে।

ব্যাখ্যা

একে 'Pigeonhole Principle' বা 'Worst Case Logic' বলা হয়। লাল বল নিশ্চিত করতে হলে অন্য সব বল আগে শেষ হওয়ার সম্ভাবনা ধরতে হবে।

এই অধ্যায়ের প্রশ্ন টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করুন

এই পেজে বাছাইকৃত ৩৩টি প্রশ্ন সমাধানসহ দেওয়া হয়েছে। প্র্যাকটিস মোডে এক-একটি করে উত্তর দিয়ে সঙ্গে সঙ্গে ফলাফল, স্কোর ও অগ্রগতি ট্র্যাক করুন।

প্র্যাকটিস মোডে যানসব অধ্যায়

গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning)-এর অন্যান্য অধ্যায়

পাটিগণিত (Arithmetic)২৪৬ প্রশ্নবীজগণিত (Algebra)২০০ প্রশ্নজ্যামিতি (Geometry)১১০ প্রশ্নধারা (সমান্তর ও গুণোত্তর - Series)১ প্রশ্নমানসিক দক্ষতা (Mental Ability)১ প্রশ্ন

কেন BCS Preliminary-এর জন্য “ত্রিকোণমিতি ও সম্ভাব্যতা” অধ্যায়টি গুরুত্বপূর্ণ?

BCS Preliminary নিয়োগ পরীক্ষার গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning) অংশে “ত্রিকোণমিতি ও সম্ভাব্যতা” থেকে প্রায় প্রতিবারই প্রশ্ন আসে। বিগত সালের প্রশ্নের ধরন বুঝে নিয়মিত অনুশীলন করলে এই অধ্যায়ের নম্বর নিশ্চিত করা সহজ হয় — এই পেজের বাছাইকৃত প্রশ্নগুলো ঠিক সেই প্রস্তুতির জন্যই সাজানো।

সচরাচর জিজ্ঞাসা

"ত্রিকোণমিতি ও সম্ভাব্যতা" অধ্যায় থেকে কেমন প্রশ্ন আসে?

BCS Preliminary নিয়োগ পরীক্ষায় গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning) বিষয়ের "ত্রিকোণমিতি ও সম্ভাব্যতা" অধ্যায় থেকে নিয়মিত MCQ আসে। এই পেজে বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক জায়গায় দেওয়া হয়েছে — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ।

উত্তর ও সমাধান কি বিনামূল্যে?

হ্যাঁ। প্রশ্ন, অপশন, সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যা — সবই লগইন ছাড়াই বিনামূল্যে দেখা যায়। টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করতে চাইলে একটি ফ্রি অ্যাকাউন্ট দিয়ে প্র্যাকটিস মোডে যান।