Geometry & Trigonometry (জ্যামিতি ও ত্রিকোণমিতি)

সঠিক উত্তর: ৭০৪।

সমাধান:
চাকাটি ১ বার ঘুরে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।
আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি $= 2\pi r$
এখানে, ব্যাসার্ধ $r =$ ২২.৪ সে.মি.
$n$ বার ঘুরে অতিক্রম করবে $= n \times 2\pi r$ একক
$\therefore$ ৫০০ বার ঘুরে অতিক্রম করবে $= ৫০০ \times 2 \times \frac{২২}{৭} \times ২২.৪$ সে.মি.
$= ১০০০ \times ২২ \times ৩.২$ সে.মি.
$= ৭০৪০০$ সে.মি.
আমরা জানি, ১০০ সে.মি. = ১ মিটার
$\therefore$ অতিক্রান্ত দূরত্ব $= \frac{৭০৪০০}{১০০}$ মিটার $= ৭০৪$ মিটার।

ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা, $s = \frac{২৬+২৪+১০}{২} = ৩০$

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{৩০(৩০-২৬)(৩০-২৪)(৩০-১০)}$ বর্গ সে.মি. $= \sqrt{১৪,৪০০}$ বর্গ সে.মি. $= ১২০$ বর্গ সে.মি.।

ঘনক আকৃতির বাক্সের আয়তন $= a^৩ = ৩^৩ = ২৭$ ঘনমিটার।

$\tan\theta = \sqrt{৪}$
$\Rightarrow \tan^২\theta = (\sqrt{৪})^২$
$\Rightarrow \sec^২\theta - ১ = ৪$
$\Rightarrow \sec^২\theta = ৫$
$\therefore \sec\theta = \sqrt{৫}$ (এটি সঠিক, কিন্তু অপশনে ভুলবশত $\tan\theta = \sqrt{৮}$ ধরে সমাধান করা হয়েছে।)

বইয়ের সমাধান অনুযায়ী: $\tan\theta = \sqrt{৮}$
$\Rightarrow \tan^২\theta = ৮$
$\Rightarrow \sec^২\theta - ১ = ৮$
$\Rightarrow \sec^২\theta = ৯$
$\therefore \sec\theta = ৩$

আমরা জানি, ১ ফুট $= ১২$ ইঞ্চি
$\therefore ১$ বর্গফুট $= (১২)^২$ বর্গ ইঞ্চি $= ১৪৪$ বর্গ ইঞ্চি।

সঠিক উত্তর: প্রবৃদ্ধ কোণ।

যে কোণের পরিমাপ $180^{\circ}$ (দুই সমকোণ) অপেক্ষা বড় এবং $360^{\circ}$ (চার সমকোণ) অপেক্ষা ছোট, তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex angle) বলে।
যেহেতু $260^{\circ}$ কোণটি $180^{\circ}$ এর চেয়ে বড় এবং $360^{\circ}$ এর চেয়ে ছোট, তাই এটি একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।

বর্গাকৃতির ক্ষেত্রের পরিসীমা, $4a = 44$ মিটার
$\therefore$ বাহুর দৈর্ঘ্য, $a = 11$ মিটার
$\therefore$ ক্ষেত্রফল, $a^2 = (11)^2$ বর্গ মিটার = $121$ বর্গ মিটার

এখানে,

অর্ধপরিসীমা, $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{3 + 4.5 + 5.5}{2} \text{ cm} = \frac{13}{2} \text{ cm} = 6.5 \text{ cm}$

$\therefore$ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$

$= \sqrt{6.5(6.5 - 3)(6.5 - 4.5)(6.5 - 5.5)}$

$= \sqrt{6.5 \times 3.5 \times 2 \times 1}$

$= \sqrt{45.5} = 6.75 \text{ cm}^2$