General Math

সমাধান:

প্রদত্ত সংখ্যাটি $৬,৫৫৯$। এর বর্গমূল নির্ণয় করার চেষ্টা করি:

৮০ এর বর্গ = $৮০ \times ৮০ = ৬৪০০$

৮১ এর বর্গ = $৮১ \times ৮১ = ৬৫৬১$

এখানে, $৬৪০০ < ৬,৫৫৯ < ৬৫৬১$।

সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হতে হলে পরবর্তী পূর্ণবর্গ সংখ্যা ৬৫৬১ এর সমান হতে হবে।

$\therefore$ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = $৬৫৬১ - ৬,৫৫৯ =$ ২।

সমাধান:

এটি ১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি।

স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির সূত্র: $S = \frac{n(n+1)}{2}$

এখানে, শেষ পদ $n = ৯৯$

$\therefore S = \frac{৯৯(৯৯+১)}{২}$

$= \frac{৯৯ \times ১০০}{২}$

$= ৯৯ \times ৫০$

$=$ ৪,৯৫০

সমাধান:

ধরি, ঐ ব্যক্তির মোট আয় = $x$ টাকা।

প্রশ্নমতে,

$\frac{x}{২} - \frac{x}{৩} = ৫,০০০$

$\Rightarrow \frac{৩x - ২x}{৬} = ৫,০০০$

$\Rightarrow \frac{x}{৬} = ৫,০০০$

$\Rightarrow x = ৫,০০০ \times ৬$

$\therefore x =$ ৩০,০০০ টাকা।

সমাধান:

প্রদত্ত রাশি,

$= (x^{p-q})^{p+q} \times (x^{q-r})^{q+r} \times (x^{r-p})^{r+p}$

$= x^{(p-q)(p+q)} \times x^{(q-r)(q+r)} \times x^{(r-p)(r+p)}$

আমরা জানি, $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

$= x^{p^2-q^2} \times x^{q^2-r^2} \times x^{r^2-p^2}$

সূচকের নিয়মে গুণ থাকলে পাওয়ার যোগ হয়:

$= x^{p^2-q^2+q^2-r^2+r^2-p^2}$

$= x^0$

$=$ 1

সঠিক উত্তর: 4

ব্যাখ্যা:
প্রশ্নটিতে মুদ্রণজনিত ভুল আছে, এটি মূলত $x^3 - \frac{1}{x^3}$ হবে।
দেওয়া আছে, $x-\frac{1}{x}=1$
আমরা জানি,
$x^3 - \frac{1}{x^3} = (x-\frac{1}{x})^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} (x-\frac{1}{x})$
$= (1)^3 + 3 \cdot 1 \cdot (1)$
$= 1 + 3$
$= 4$

সঠিক উত্তর: ২৮

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি সংখ্যা $\times$ অপর সংখ্যা = ল.সা.গু $\times$ গ.সা.গু
$\Rightarrow$ অপর সংখ্যা = $\frac{\text{ল.সা.গু} \times \text{গ.সা.গু}}{\text{একটি সংখ্যা}}$
$= \frac{84 \times 7}{21}$
$= 4 \times 7$
$= 28$

সঠিক উত্তর: ৪৫০০

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
মোট ছাত্রের $3\% = 135$ জন
$\therefore$ মোট ছাত্রের $1\% = \frac{135}{3}$ জন
$\therefore$ মোট ছাত্রের $100\% = \frac{135 \times 100}{3} = 45 \times 100 = 4500$ জন।

সঠিক উত্তর: $\frac{1}{\sqrt{6}}$

সমাধান:
দেওয়া আছে, $\cos 45^{\circ} = \sqrt{3} A$
আমরা জানি, $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\therefore \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} A$
বা, $A = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}$
$\therefore A = \frac{1}{\sqrt{6}}$

সঠিক উত্তর: $\frac{-3}{2}$

সমাধান:
$4^{x+4} = 32$
বা, $(2^2)^{x+4} = 2^5$ [উভয় পাশে বেস ২ করা হলো]
বা, $2^{2x+8} = 2^5$
বা, $2x+8 = 5$ [বেস সমান হলে পাওয়ার সমান হয়]
বা, $2x = 5-8$
বা, $2x = -3$
$\therefore x = -\frac{3}{2}$

সঠিক উত্তর: 15

সমাধান:
ধরি, চতুর্থ সমানুপাতী = $x$
সমানুপাতের নিয়ম অনুযায়ী,
১ম রাশি : ২য় রাশি = ৩য় রাশি : ৪র্থ রাশি
বা, $\frac{2}{5} = \frac{6}{x}$
বা, $2x = 5 \times 6$
বা, $2x = 30$
$\therefore x = 15$

সঠিক উত্তর: $5n+3$

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, ১ম পদ $a = 8$
সাধারণ অন্তর $d = 13 - 8 = 5$
আমরা জানি, সমান্তর ধারার $n$-তম পদ = $a + (n-1)d$
$= 8 + (n-1)5$
$= 8 + 5n - 5$
$= 5n + 3$

সঠিক উত্তর: $\frac{4}{11}$

সমাধান:
১০ থেকে ২০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = $20 - 10 + 1 = 11$ টি।
এই সীমার মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: $11, 13, 17, 19$
অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা = $4$ টি।
$\therefore$ নির্ণেয় সম্ভাবনা = $\frac{\text{অনুকূল ফলাফল}}{\text{মোট ফলাফল}} = \frac{4}{11}$

সঠিক উত্তর: $30^{\circ}$

সমাধান:
দেওয়া আছে, $\cos\theta - \sin 2\theta = 0$
বা, $\cos\theta - 2\sin\theta\cos\theta = 0$ [সূত্র: $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$]
বা, $\cos\theta (1 - 2\sin\theta) = 0$
হয় $\cos\theta = 0 \Rightarrow \theta = 90^{\circ}$ (অপশনে নেই)
অথবা, $1 - 2\sin\theta = 0$
বা, $2\sin\theta = 1$
বা, $\sin\theta = \frac{1}{2}$
বা, $\sin\theta = \sin 30^{\circ}$
$\therefore \theta = 30^{\circ}$

সঠিক উত্তর: উপবৃত্ত

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: $3x^2 + 4y^2 = 12$
উভয় পক্ষকে ১২ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$\frac{3x^2}{12} + \frac{4y^2}{12} = 1$
$\therefore \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$
যা $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ আকারের, যেখানে $a \neq b$।
এটি একটি উপবৃত্ত (Ellipse) এর সমীকরণ।

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$

সুতরাং, অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \pi r^2$

এখানে ব্যাসার্ধ, $r = 28$

$\therefore$ ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times 28 \times 28$

$= 11 \times 4 \times 28$

$= 1232 \text{ sq cm}$

বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।

সুতরাং, উৎপন্ন কোণ = $90^{\circ}$ বা $\frac{\pi}{2}$ রেডিয়ান।

ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের (Medians) সমষ্টি তার পরিসীমা (Perimeter) অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হয়।

সম্পর্কটি হলো: $3 \times$ (বাহুগুলোর সমষ্টি) $> 4 \times$ (মধ্যমাগুলোর সমষ্টি)। অর্থাৎ মধ্যমাগুলোর যোগফল পরিসীমার চেয়ে ছোট।

আমরা জানি, $I = Pnr$

এখানে,
আসল, $P = 50,000$ টাকা
সুদ, $I = 2,000$ টাকা
সময়, $n = 1$ বছর
সুদের হার, $r = ?$

প্রশ্নমতে,
$50000 \times 1 \times r = 2000$

$r = \frac{2000}{50000}$

$r = \frac{2}{50} = \frac{4}{100} = 4\%$

সঠিক উত্তর ৮:০০।

আমরা জানি, ঘড়ির কাঁটার কোণ নির্ণয়ের সূত্র: $\theta = |30H - 5.5M|$

অপশন টেস্ট:

• (c) ৮:০০ এর ক্ষেত্রে: $M = 0, H = 8$
  কোণ = $|30 \times 8 - 5.5 \times 0| = |240 - 0| = 240^{\circ}$
  প্রবৃদ্ধ কোণ ২৪০ হলে, ছোট কোণটি হবে: $360^{\circ} - 240^{\circ} = 120^{\circ}$।

অথবা, সহজভাবে: ৮টা বাজে মিনিটের কাঁটা ১২-তে এবং ঘন্টার কাঁটা ৮-এ থাকে। এদের মধ্যে ব্যবধান ৪টি ঘরের (৮, ৯, ১০, ১১, ১২)।
প্রতি ঘরের কোণ = $30^{\circ}$
$\therefore$ মোট কোণ = $4 \times 30^{\circ} = 120^{\circ}$।

দেওয়া আছে,
পিতা ও মাতার বয়সের গড় = ৪৫ বছর
$\therefore$ পিতা ও মাতার বয়সের সমষ্টি = $৪৫ \times ২ = ৯০$ বছর।

আবার,
পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় = ৩৬ বছর
$\therefore$ তিনজনের বয়সের সমষ্টি = $৩৬ \times ৩ = ১০৮$ বছর।

$\therefore$ পুত্রের বয়স = (তিনজনের সমষ্টি) - (পিতা ও মাতার সমষ্টি)
$= ১০৮ - ৯০ = ১৮$ বছর।

ধরি, সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য = ১ অংশ।
পানিতে আছে = ০.৮০ অংশ।
$\therefore$ পানির উপরে আছে = $(১ - ০.৮০)$ অংশ = ০.২০ অংশ।

প্রশ্নমতে,
০.২০ অংশ = ৪ মিটার
$\therefore$ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = $\frac{৪}{০.২০}$ মিটার
$= \frac{৪০০}{২০} = ২০$ মিটার।

এখানে,
বিক্রয়মূল্য = ৩৮০ টাকা
ক্ষতি = ২০ টাকা
আমরা জানি,
ক্রয়মূল্য = বিক্রয়মূল্য + ক্ষতি
= ৩৮০ + ২০ = ৪০০ টাকা

এখন,
ক্ষতির হার = $\frac{\text{ক্ষতি}}{\text{ক্রয়মূল্য}} \times ১০০\%$
= $\frac{২০}{৪০০} \times ১০০\%$
= $৫\%$

আমরা জানি,
১ বিলিয়ন = ১,০০০ মিলিয়ন

প্রশ্নমতে,
১ বিলিয়নের $\frac{১}{৫}$ ভাগ
= $১০০০ \times \frac{১}{৫}$ মিলিয়ন
= ২০০ মিলিয়ন

ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) অনুযায়ী,
ধরি, $f(x) = x^3 - x^2$
ভাজক = $x - 2$

ভাগশেষ হবে $f(2)$ এর মান।
$\therefore f(2) = (2)^3 - (2)^2$
= $8 - 4$
= $4$

৫০০ এর ১২.৫%
= $৫০০ \times \frac{১২.৫}{১০০}$
= $৫ \times ১২.৫$
= ৬২.৫০

আমরা জানি,
$4ab = (a+b)^2 - (a-b)^2$
বা, $4ab = (5)^2 - (3)^2$
বা, $4ab = 25 - 9$
বা, $4ab = 16$
$\therefore ab = \frac{16}{4} = 4$

দেওয়া আছে,
$2^{4x-12} = 16$
বা, $2^{4x-12} = 2^4$ [উভয় পক্ষের ভিত্তি সমান]
বা, $4x - 12 = 4$
বা, $4x = 4 + 12$
বা, $4x = 16$
$\therefore x = 4$

প্রদত্ত রাশি = $x^3 - x$
= $x(x^2 - 1)$
= $x(x^2 - 1^2)$
= $x(x+1)(x-1)$

মোট ছাত্র = ৬০ জন
ফেল করেছে = ৪২ জন
পাস করেছে = ৬০ - ৪২ = ১৮ জন

পাসের হার = $\frac{১৮}{৬০} \times ১০০\%$
= $\frac{৩}{১০} \times ১০০\%$
= $৩০\%$

২ থেকে ১৫ পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যাগুলো হলো:
৩, ৫, ৭, ৯, ১১, ১৩, ১৫

এখানে মোট সংখ্যা, n = ৭ (যা বিজোড় সংখ্যা)।
মধ্যক = $\frac{n+1}{2}$ তম পদ
= $\frac{৭+১}{২}$ তম পদ
= ৪র্থ পদ

ক্রম অনুসারে সাজালে ৪র্থ পদটি হলো ৯।

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°।
ধরি, একটি কোণ A এবং অপর দুটি কোণ B ও C।
প্রশ্নমতে, $A = B + C$
আবার, $A + B + C = 180^{\circ}$
বা, $A + A = 180^{\circ}$ [মান বসিয়ে]
বা, $2A = 180^{\circ}$
$\therefore A = 90^{\circ}$
যেহেতু ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ বা ৯০°, তাই ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।

১৮০° এর চেয়ে বড় এবং ৩৬০° এর চেয়ে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle) বলে।
যেহেতু ২৫৩° কোণটি ১৮০° অপেক্ষা বড় এবং ৩৬০° অপেক্ষা ছোট, তাই এটি একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।

যে চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান কিন্তু কোনো কোণই সমকোণ নয়, তাকে রম্বস বলে।
অন্যদিকে, চারটি বাহু সমান এবং প্রতিটি কোণ সমকোণ হলে তাকে বর্গক্ষেত্র বলে।

দেওয়া আছে,
$(2+x)+3 = 3(x+2)$
$\Rightarrow x + 5 = 3x + 6$
$\Rightarrow x - 3x = 6 - 5$
$\Rightarrow -2x = 1$
$\Rightarrow x = -\frac{1}{2}$
সঠিক উত্তর: $-\frac{1}{2}$

রাশি দুটি হলো $3a$ এবং $5b$।
এখানে সংখ্যা সহগ (Numerical Coefficients) হলো ৩ এবং ৫।
৩ এবং ৫ এর গসাগু হলো ১ (কারণ ৩ ও ৫ উভয়েই মৌলিক সংখ্যা এবং এদের মধ্যে ১ ছাড়া কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই)।
$\therefore$ নির্ণেয় গসাগু = ১।

প্রদত্ত রাশি: $x^2 - x - 42$
মিডল টার্ম ব্রেকআপ (Middle Term Breakup) পদ্ধতিতে:
$= x^2 - 7x + 6x - 42$
$= x(x - 7) + 6(x - 7)$
$= (x - 7)(x + 6)$
বা, $(x + 6)(x - 7)$
সঠিক উত্তর: $(x+6)(x-7)$

দেওয়া আছে, $x - \frac{1}{x} = 7$
প্রদত্ত রাশি = $x^3 - \frac{1}{x^3}$
আমরা জানি, $a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)$
$\therefore x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} (x - \frac{1}{x})$
$= (7)^3 + 3(7)$
$= 343 + 21$
$= 364$
সঠিক উত্তর: ৩৬৪

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা
এখানে, সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় (ভূমি ও উচ্চতা) হলো ৬ সে.মি. ও ৮ সে.মি.।
$\therefore$ ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times 6 \times 8$ বর্গ সে.মি.
= $3 \times 8$ বর্গ সে.মি.
= ২৪ বর্গ সে.মি.।

সঠিক উত্তর: ৫,০০০ টাকা।

দেওয়া আছে:
মুনাফার হার, $r = ৮\frac{১}{২}\% = \frac{১৭}{২}\%$
সময়, $n = ৬$ বছর
মুনাফা, $I = ২,৫৫০$ টাকা
আসল, $P = ?$

আমরা জানি,
$I = \frac{Pnr}{১০০}$
বা, $P = \frac{I \times ১০০}{n \times r}$

মান বসিয়ে পাই:
$P = \frac{২,৫৫০ \times ১০০}{৬ \times \frac{১৭}{২}}$
$= \frac{২,৫৫০ \times ১০০ \times ২}{৬ \times ১৭}$
$= ৫,০০০$ টাকা।

সঠিক উত্তর: ৮৪ টাকা।

১,০৫০ টাকার ৮%
$= ১,০৫০ \times \frac{৮}{১০০}$
$= ১০.৫ \times ৮$
$= ৮৪$ টাকা।

সঠিক উত্তর: ৩৯.৩৭ (প্রায়)।

আমরা জানি, ১ মিটার $\approx ৩৯.৩৭$ ইঞ্চি।

সঠিক উত্তর: ৯.৬ কিলোমিটার।

১ চক্করে অতিক্রম করে = ৪০০ মিটার
সুতরাং, ২৪ চক্করে অতিক্রম করে = $৪০০ \times ২৪$ মিটার
$= ৯,৬০০$ মিটার

আমরা জানি, $১০০০$ মিটার = $১$ কিলোমিটার
$\therefore ৯,৬০০$ মিটার = $\frac{৯৬০০}{১০০০}$ কি.মি.
$= ৯.৬$ কি.মি.

সঠিক উত্তর: ৩ ঘন মিটার।

দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ২ মিটার
প্রস্থ = ১ মিটার ৫০ সে.মি. = $১.৫$ মিটার
উচ্চতা = ১ মিটার

আয়তন = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $\times$ উচ্চতা
$= ২ \times ১.৫ \times ১$ ঘন মিটার
$= ৩$ ঘন মিটার।

সঠিক উত্তর: Note (সঠিক অপশন নেই)।

প্রকৃতপক্ষে $ab$ এর সূত্র হলো: $\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$ যা সরল করলে দাঁড়ায় $\frac{(a+b)^2}{4} - \frac{(a-b)^2}{4}$।

প্রশ্নের অপশন (a)-তে হর (denominator) '4' আছে, যা সূত্রের সাথে মিলে, কিন্তু লবে টাইপিং মিস্টেক থাকতে পারে। পরীক্ষার হলে সাধারণত এমন ক্ষেত্রে কাছাকাছি সঠিক উত্তর (a) দাগানো হয়, কিন্তু গাণিতিকভাবে এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয় কারণ সবগুলোর বিয়োগফল শূন্য।

সঠিক উত্তর: 29।

আমরা জানি,
$(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$

এখানে $a=x, b=\frac{1}{x}$
$\therefore (x + \frac{1}{x})^2 = (x - \frac{1}{x})^2 + 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$
$= (5)^2 + 4$
$= 25 + 4$
$= 29$

সঠিক উত্তর: 1,900 (প্রশ্ন বা সমাধানে অসঙ্গতি আছে)।

বইয়ের সমাধান অনুযায়ী ব্যাখ্যা:
বইয়ের সমাধানে ভুলবশত $x-y$ এর জায়গায় $x+y$ এর মান বসানো হয়েছে এবং সূত্রটি মিশ্রিত করা হয়েছে। তারা হিসাব করেছে:
$10^3 + 3 \times 30 \times 10 = 1000 + 900 = 1900$।
এটি মূলত $x^3+y^3$ এর সূত্রের ভুল প্রয়োগ ($x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$ হবার কথা)।

প্রকৃত গাণিতিক বিশ্লেষণ:
$x^3 - y^3$ এর মান বের করতে হলে $(x-y)$ এর মান প্রয়োজন।
$(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy = 100 - 120 = -20$।
বাস্তব সংখ্যায় কোনো কিছুর বর্গ ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই প্রশ্নটি গাণিতিকভাবে ভুল। তবুও পরীক্ষার হলে অপশন (a) 1900 দাগানোই শ্রেয় যেহেতু এটিই প্রশ্নের 'আকাঙ্ক্ষিত' (ভুল) উত্তর।

সঠিক উত্তর: $(3x + 1) (3x - 4)$।

মিডল টার্ম ব্রেক পদ্ধতি:
$9x^2 - 9x - 4$
এখানে $9 \times (-4) = -36$। আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজতে হবে যাদের গুণফল -36 এবং যোগফল -9। সংখ্যা দুটি হলো -12 এবং +3।

$\therefore 9x^2 - 12x + 3x - 4$
$= 3x(3x - 4) + 1(3x - 4)$
$= (3x - 4)(3x + 1)$

সঠিক উত্তর: $x - 2$।

১ম রাশি: $x^3 - 2x^2 = x^2(x - 2)$
২য় রাশি: $x^2 - 4 = (x)^2 - (2)^2 = (x + 2)(x - 2)$
৩য় রাশি: $xy - 2y = y(x - 2)$

সবগুলোর মধ্যে সাধারণ উৎপাদক (Common Factor) হলো $(x - 2)$।
$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. = $x - 2$

ব্যাখ্যা:
ঐকিক নিয়মের সূত্রানুসারে,
$M_1 D_1 = M_2 D_2$

এখানে,
১ম ক্ষেত্রে লোকসংখ্যা, $M_1 = ৯$ জন
১ম ক্ষেত্রে দিন, $D_1 = ১২$ দিন
অতিরিক্ত ৩ জন নিয়োগ দেওয়ায় ২য় ক্ষেত্রে লোকসংখ্যা, $M_2 = ৯ + ৩ = ১২$ জন
সময় লাগবে, $D_2 = ?$

শর্তমতে,
$১২ \times D_2 = ৯ \times ১২$
বা, $D_2 = \frac{৯ \times ১২}{১২}$
$\therefore D_2 = ৯$ দিন।

সঠিক উত্তর: ৯ দিন।

ব্যাখ্যা:
মনে করি, সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য $= a$ সে.মি.।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী অতিভুজ $= \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

প্রশ্নমতে,
$a\sqrt{2} = ১২$
বা, $a = \frac{১২}{\sqrt{2}} = ৬\sqrt{2}$

আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{১}{২} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$
$= \frac{১}{২} \times a \times a = \frac{১}{২} a^2$
$= \frac{১}{২} \times (৬\sqrt{2})^2$
$= \frac{১}{২} \times (৩৬ \times ২)$
$= \frac{১}{২} \times ৭২$
$= ৩৬$ বর্গ সে.মি.।