জ্যামিতি (Geometry)

সমাধান: ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য, $a = ৩$ মিটার

$\therefore$ সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল, $6a^2 = (৬ \times ৩^২)$ বর্গমিটার

= $৫৪$ বর্গমিটার।

ত্রিভুজের বাহুগুলো ৬, ৮, ১০ মিটার।

আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল এবং দৈর্ঘ্যে তার অর্ধেক।

প্রশ্নে বৃহত্তম (১০) ও ক্ষুদ্রতম (৬) বাহুর মধ্যবিন্দু যোগ করতে বলা হয়েছে।

সুতরাং, এই সংযোজক রেখাংশটি তৃতীয় বাহু (৮ মিটার) এর অর্ধেক হবে।

দূরত্ব = $\frac{৮}{২} = ৪$ মিটার।

সঠিক উত্তর: ৪

আমরা জানি, দুটি কোণের সমষ্টি $১৮০^\circ$ হলে, একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

সুতরাং, $১২০^\circ$ কোণের সম্পূরক কোণ = $(১৮০^\circ - ১২০^\circ) =$ $৬০^\circ$।

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$

$\therefore$ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২} \times ১০ \times ৪ =$ ২০ বর্গমিটার।

আমরা জানি, বর্গের পরিসীমা $4a = ৪৪$

$\therefore$ বর্গের একবাহু, $a = \frac{৪৪}{৪} = ১১$ মিটার

সুতরাং বর্গাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, $a^2 = ১১^২ =$ ১২১ বর্গমিটার।

আমরা জানি, যে কোণের পরিমাপ ঠিক ৯০° (ডিগ্রি) তাকে সমকোণ (Right Angle) বলা হয়।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, যেকোনো সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
অর্থাৎ, $\text{লম্ব}^2 + \text{ভূমি}^2 = \text{অতিভুজ}^2$।
ধরি, a ও b লম্ব এবং ভূমি, এবং c অতিভুজ। তাহলে সম্পর্কটি হবে $a^2 + b^2 = c^2$।

দেওয়া আছে, বিলবোর্ড থেকে $40 \text{ m}$ দূরে $30^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে।

ধরি, অতিভুজ $AB = 40 \text{ m}$ (পর্যবেক্ষকের দৃষ্টিরেখা বরাবর দূরত্ব), এবং উচ্চতা $AC = h$।

আমরা জানি, $\sin 30^\circ = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$

$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{h}{40}$

$\Rightarrow 2h = 40$

$\therefore h = 20$

অতএব, বিলবোর্ডের উচ্চতা $20 \text{ m}$।

এখানে মইটি অতিভুজ, দেয়ালের উচ্চতা লম্ব এবং মইয়ের গোড়া থেকে দেয়ালের দূরত্ব ভূমি হিসেবে কাজ করে।

দেওয়া আছে, ভূমি = $4 \text{ m}$ এবং লম্ব = $3 \text{ m}$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য হতে পাই,

$\text{অতিভুজ}^2 = \text{লম্ব}^2 + \text{ভূমি}^2$

$\Rightarrow \text{মইয়ের দৈর্ঘ্য}^2 = 3^2 + 4^2$

$\Rightarrow \text{মইয়ের দৈর্ঘ্য}^2 = 9 + 16$

$\Rightarrow \text{মইয়ের দৈর্ঘ্য}^2 = 25$

$\therefore \text{মইয়ের দৈর্ঘ্য} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}$

ধরি, গোলক দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে $r_1$ ও $r_2$।
তাদের আয়তনের অনুপাত, $\frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{8}{27}$
$\Rightarrow \frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{2^3}{3^3}$
$\Rightarrow (\frac{r_1}{r_2})^3 = (\frac{2}{3})^3$
$\Rightarrow \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$
এখন, ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $\frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$
সুতরাং, অনুপাতটি ৪ : ৯।

দেওয়া আছে, $\sin 60^\circ = \frac{3}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \sin(2 \times 30^\circ) = \frac{3}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow 2 \sin 30^\circ \cos 30^\circ = \frac{3}{\sqrt{2}}$ $[\because \sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta]$

$\Rightarrow \cos 30^\circ = \frac{3}{2\sqrt{2} \sin 30^\circ}$

$\Rightarrow \cos 30^\circ = \frac{3}{2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}$

$\therefore \cos 30^\circ = \frac{3}{\sqrt{2}}$

দেওয়া আছে, সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের একটি বাহু = $5$ মিটার।
আমরা জানি, সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের সমান সমান বাহুদ্বয় সমকোণ সংলগ্ন থাকে।
ধরি, সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য $a = 5$ মিটার।
পিথাগোরাসের সূত্রানুসারে, অতিভুজ $h = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$ মিটার।

ধরি, দণ্ডায়মান অংশের দৈর্ঘ্য $h$ মিটার।
দেওয়া আছে, ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) = $16$ মিটার এবং ভূমির সাথে উৎপন্ন কোণ $\theta = 30^{\circ}$।
আমরা জানি, $\sin\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$
$\Rightarrow \sin 30^{\circ} = \frac{h}{16}$
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{h}{16}$
$\Rightarrow 2h = 16$
$\therefore h = 8$
সুতরাং, সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য = (দণ্ডায়মান অংশ + ভাঙা অংশ) = $(8 + 16)$ মিটার = $24$ মিটার।

দেওয়া আছে, বৃত্তস্থ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য, $a = 2$ সেমি।

আমরা জানি, বৃত্তস্থ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ $=$ বৃত্তের ব্যাস।

বর্গক্ষেত্রের কর্ণ $= \sqrt{2}a = 2\sqrt{2}$ সেমি, যা বৃত্তের ব্যাস।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $r = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ সেমি।

$\therefore$ বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$

$= \pi(\sqrt{2})^2$

$= 2\pi$ বর্গ সেমি।

দেয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ৯ একক এবং ক্ষেত্রফল = ৫৪ বর্গ একক।

মনে করি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = $x$

প্রশ্নমতে, $৯x = ৫৪$

$\therefore x = ৬$

সুতরাং আয়তক্ষেত্রের পরিধি $= ২(৯ + ৬)$ একক

$= ২ \times ১৫$ একক

$= ৩০$ একক।

ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ $x$ মিটার।

$\therefore$ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $3x$ মিটার।

প্রশ্নমতে, ক্ষেত্রফল $3x \times x = 768$

$\Rightarrow 3x^2 = 768 \Rightarrow x^2 = 256 \Rightarrow x = 16$

তাহলে, প্রস্থ = ১৬ মিটার এবং দৈর্ঘ্য = $৩ \times ১৬ = ৪৮$ মিটার।

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = $২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ২(৪৮ + ১৬) = ২ \times ৬৪ = ১২৮$ মিটার।

প্রশ্নমতে, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ১২৮ মিটার।

ধরি, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ মিটার।

পরিসীমা $4a = 128 \Rightarrow a = \frac{128}{4} = 32$ মিটার।

দেওয়া আছে, সমকোণী ত্রিভুজ ABC-এর $\angle B = 90^\circ$
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
সুতরাং, অপর দুটি কোণের সমষ্টি $\angle A + \angle C = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$
আবার, $\angle A : \angle C = 3 : 6 = 1 : 2$
ধরি, $\angle A = x$ এবং $\angle C = 2x$
তাহলে, $x + 2x = 90^\circ$
$\Rightarrow 3x = 90^\circ$
$\Rightarrow x = 30^\circ$
অতএব, $\angle A = 30^\circ$ এবং $\angle C = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$
সুতরাং, কোণ দুইটির মান $30^\circ$ ও $60^\circ$, যা অপশনে $30 : 60$ আকারে দেওয়া আছে।

ধরি, ত্রিভুজের কোণ তিনটি যথাক্রমে $2x$, $3x$ ও $4x$।

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$

$\therefore 2x + 3x + 4x = 180^\circ$

$\Rightarrow 9x = 180^\circ$

$\therefore x = 20^\circ$

$\therefore$ ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণ $(4 \times 20^\circ) =$ $80^\circ$

ধরি, ত্রিভুজের বাহু তিনটি যথাক্রমে $7x$, $4x$ ও $3x$

প্রশ্নমতে, $7x + 4x + 3x = 14$

$\Rightarrow 14x = 14$

$\therefore x = 1$

$\therefore$ ত্রিভুজের ছোট বাহুটির দৈর্ঘ্য $(3 \times 1) =$ $3$ মিটার

বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যাকে বলা হয় ব্যাস।

ধরি, বৃত্তের আদি ব্যাসার্ধ = $r$

তাহলে, আদি ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$

ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হলে, নতুন ব্যাসার্ধ = $2r$

নতুন ক্ষেত্রফল = $\pi (2r)^2 = 4\pi r^2$

ক্ষেত্রফল হবে = $\frac{4\pi r^2}{\pi r^2}$ গুণ = $4$ গুণ।

চাকাটি $1$ মিনিট বা $60$ সেকেন্ডে ঘুরে $90$ বার

$\therefore 1$ সেকেন্ডে ঘুরে = $\frac{90}{60} = \frac{3}{2}$ বার

আমরা জানি, চাকাটি $1$ বার ঘুরলে কেন্দ্রে কোণ উৎপন্ন করে = $360^\circ$

$\therefore \frac{3}{2}$ বার ঘুরলে কোণ উৎপন্ন করে = $\frac{3}{2} \times 360^\circ =$ $540^\circ$

আমরা জানি, $n$ সংখ্যক বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের প্রতিটি অন্তঃকোণের পরিমাণ = $\frac{(n - 2)}{n} \times 180^\circ$

প্রশ্নমতে, $\frac{(n - 2)}{n} \times 180 = 135$

$\Rightarrow 180n - 360 = 135n$

$\Rightarrow 180n - 135n = 360$

$\Rightarrow 45n = 360$

$\therefore n =$ $8$

আয়তাকার বরফ খণ্ডটির আয়তন = $(9 \times 8 \times 15) \text{ cm}^3$
$= 1080 \text{ cm}^3$

এখন, ঘনকাকৃতির বরফ খণ্ডটির দুটি পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = $72 \text{ cm}^2$
$\therefore$ ঘনকাকৃতির বরফ খণ্ডটির একটি পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = $\frac{72}{2} \text{ cm}^2$
$= 36 \text{ cm}^2$
$\therefore$ ঘনকাকৃতির বরফ খণ্ডটির ছয়টি পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
$= (36 \times 6) \text{ cm}^2$
$= 216 \text{ cm}^2$

$\therefore$ ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য $a \text{ cm}$ হলে ক্ষেত্রফল, $6a^2 = 216$
$\Rightarrow a^2 = 36$
$\therefore a = \sqrt{36} = 6$

$\therefore$ ঘনকাকৃতির বরফ খণ্ডটির আয়তন, $a^3 = 6^3 \text{ cm}^3 = 216 \text{ cm}^3$

$\therefore$ নির্ণেয় বরফ খণ্ডের সংখ্যা = $\frac{1080}{216} \text{ টি} = 5 \text{ টি}$