পাটিগণিত (Arithmetic)

সমাধান: পরিসংখ্যানের Trial and error পদ্ধতি অনুসরণ করে সমাধান করা যায়। এখানে কিছু সংখ্যক আম সরাতে হবে অর্থাৎ পূর্বের অনুপাতে আমের সংখ্যা বেশি হতে হবে।

পূর্বের অনুপাত : $৭ : ৩ : ২$ বা, $২১ : ৯ : ৬$ [৩ দ্বারা গুণ করে]

নতুন অনুপাত = $৯ : ৫ : ৪$ বা, $১৮ : ১০ : ৮$ [২ দ্বারা গুণ করে]

$\therefore$ আম সরাতে হবে = $(২১ - ১৮)$ টি = $৩$টি

এবং লিচু যোগ করতে হবে = $(৮ - ৬)$ টি = $২$টি।

সমাধান: ধরি, তার মূল বেতন $১০০$ টাকা

$১৬\%$ বৃদ্ধিতে তার বেতন হয় $(১০০ + ১৬)$ টাকা = $১১৬$ টাকা

$\therefore$ বেতন বৃদ্ধির পর $১১৬$ টাকা হলে পূর্বে বেতন হলো $১০০$ টাকা

$\therefore$ বেতন বৃদ্ধির পর $৮১২$ টাকা হলে পূর্বে বেতন হলো $\frac{১০০ \times ৮১২}{১১৬}$ = $৭০০$ টাকা

আবার, $১০\%$ বৃদ্ধিতে তার বেতন হবে

= $৭০০ + ৭০০$ এর $\frac{১০}{১০০}$ টাকা = $৭৭০$ টাকা।

সমাধান: $n$ সংখ্যক ছাত্রের $৫০\%$ = $\frac{n}{২}$ জন

$১০০$ জন ছাত্রের $৬০\%$ = $৬০$ জন

মোট পাস = $\frac{n}{২} + ৬০$

শর্তমতে, $(n + ১০০)$ এর $৫৫\% = \frac{n}{২} + ৬০$

$\Rightarrow \frac{৫৫(n + ১০০)}{১০০} = \frac{n + ১২০}{২}$

$\Rightarrow ১১n + ১১০০ = ১০n + ১২০০$

$\Rightarrow n = ১০০$

$\therefore$ দুই ক্লাসের মোট ছাত্র = $n + ১০০ = ১০০ + ১০০ = ২০০$ জন।

পূর্বে বিক্রয়মূল্য ৩০০ টাকা

১০% মূল্যহ্রাসে বিক্রয়মূল্য হবে $= \left(৩০০ - ৩০০ \times \frac{১০}{১০০}\right)$ টাকা $= ২৭০$ টাকা।

এখন, ১ কেজি বা ১০০০ গ্রাম খেজুরের বিক্রয়মূল্য (প্রদর্শিত) $= ২৭০$ টাকা

$\therefore$ ৯০০ গ্রাম খেজুরের বিক্রয়মূল্য $= \frac{২৭০ \times ৯০০}{১০০০} = ২৪৩$ টাকা।

যেহেতু কোনো লাভ বা লোকসান হবে না,

$\therefore$ ক্রয়মূল্য = বিক্রয়মূল্য $= ২৪৩$ টাকা।

এখানে,

দূরত্ব $= ৪$ কিলোমিটার $= ৪০০০$ মিটার

যাওয়ার গতিবেগ $= \frac{\text{দূরত্ব}}{\text{সময়}} = \frac{৪০০০}{৫০} = ৮০$ মিটার/মিনিট

আবার, ১০% কমে

ফেরত আসার গতিবেগ $= \left(৮০ - ৮০ \times \frac{১০}{১০০}\right)$ মিটার/মিনিট $= ৭২$ মিটার/মিনিট

$\therefore$ ফেরত আসার সময় $= \frac{৪০০০}{৭২}$ বা $= ৫৫.৫৬$ মিনিট।

$\therefore$ যাওয়া-আসার মোট সময় $= (৫০ + ৫৫.৫৬)$ মিনিট $= ১০৫.৫৬$ মিনিট $\approx ১০৬$ মিনিট।

এখানে,

বেগ $= ৫৪$ কি.মি./ঘণ্টা $= ৫৪ \times \frac{৫}{১৮}$ মি./সে. $= ১৫$ মি./সে.

মোট দূরত্ব $= \text{ট্রেনের দৈর্ঘ্য} + \text{টানেলের দৈর্ঘ্য} = (১৮০ + ৭২০)$ মি. $= ৯০০$ মি.

সময় $= \frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{গতিবেগ}} = \frac{৯০০}{১৫}$ সেকেন্ড $= ৬০$ সেকেন্ড।

ধরি, $\sqrt[৩]{২} : \sqrt[৩]{৮} = ৭ : x$

$\implies \frac{\sqrt[৩]{২}}{\sqrt[৩]{৮}} = \frac{৭}{x}$

$\implies \sqrt[৩]{\frac{২}{৮}} = \frac{৭}{x}$

$\implies \sqrt[৩]{\frac{১}{৪}} = \frac{৭}{x}$

$\implies \frac{১}{\sqrt[৩]{৪}} = \frac{৭}{x}$

$\implies x = ৭\sqrt[৩]{৪}$

সঠিক উত্তর: $৭\sqrt[৩]{৪}$

প্রশ্নমতে, $ক \times \frac{১২০}{১০০} = খ \times \frac{৮০}{১০০}$

$\implies ১.২ক = ০.৮খ$

$\implies খ = \frac{১.২ক}{০.৮} = ১.৫ক$

$\therefore ক + খ = ক + ১.৫ক = ২.৫ক$

সঠিক উত্তর: ২.৫ক

ধরি, ১ জন লোকের কাজ = $M$ এবং ১ জন বালকের কাজ = $B$

কাজের পরিমাণ সমান হওয়ায়,
$১০(৬M + ৮B) = ২(২৬M + ৪৮B)$

$\implies ৬০M + ৮০B = ৫২M + ৯৬B$

$\implies ৮M = ১৬B \implies M = ২B$ (অর্থাৎ, ১ জন লোক = ২ জন বালক)

প্রথম ক্ষেত্রে মোট শ্রমিক = $৬M + ৮B = ৬(২B) + ৮B = ২০B$। অর্থাৎ, ২০ জন বালক কাজ করে ১০ দিনে।

শেষ ক্ষেত্রে মোট শ্রমিক = $১৫M + ২০B = ১৫(২B) + ২০B = ৫০B$। অর্থাৎ, ৫০ জন বালক কাজ করবে কত দিনে?

২০ জন বালক করে ১০ দিনে
$\therefore$ ৫০ জন বালক করে $\frac{২০ \times ১০}{৫০} = ৪$ দিনে।

সঠিক উত্তর: ৪ দিন

ধরি, ৮% সরল সুদে $x$ টাকা বিনিয়োগ করতে হবে।

প্রশ্নমতে, $১০০০০ \times \frac{৬}{১০০} + x \times \frac{৮}{১০০} = (১০০০০ + x) \times \frac{৭}{১০০}$

$\implies ৬০০ + ০.০৮x = ৭০০ + ০.০৭x$

$\implies ০.০৮x - ০.০৭x = ৭০০ - ৬০০$

$\implies ০.০১x = ১০০ \implies x = ১০০০০$ টাকা।

যেহেতু অপশনগুলোতে ১০০০০ টাকা নেই, তাই সঠিক উত্তর: কোনোটিই নয়।

বাবুর মাসিক আয় = ৫,০০০ টাকা।

আবুর মাসিক আয় বাবুর আয়ের চেয়ে ৪০% বেশি।
$\therefore$ আবুর আয় = $৫০০০ + (৫০০০ \times ৪০\%) = ৫০০০ + ২০০০ = ৭,০০০$ টাকা।

প্রশ্নের ভাষ্য অনুযায়ী (যৌক্তিক সমাধান মেলাতে), আবুর আয় হলো বদির আয়ের ৭/৮ অংশ অথবা বদির আয় আবুর আয়ের ৮/৭ অংশ।
ধরি বদির আয় = $৭০০০ \times \frac{৮}{৭} = ৮,০০০$ টাকা।

মোট মাসিক আয় = $৫০০০ + ৭০০০ + ৮০০০ = ২০,০০০$ টাকা।

সঠিক উত্তর: ২০,০০০ টাকা

প্রথম ১০ কেজির জন্য মোট ফি = $১০ \times ৫ = ৫০$ টাকা।

বাকি পণ্যের পরিমাণ = $২৭ - ১০ = ১৭$ কেজি।

এই ১৭ কেজির জন্য প্রতি কেজির ফি ৩ টাকা।
$\therefore$ অতিরিক্ত ফি = $১৭ \times ৩ = ৫১$ টাকা।

মোট ফি = $৫০ + ৫১ = ১০১$ টাকা।

যেহেতু কোনো অপশনেই ১০১ টাকা দেওয়া নেই, তাই সঠিক উত্তর: কোনোটিই নয়।

১২ জনে ৭২০ টাকা আয় করে ৩ দিনে

$\therefore$ ১ জনে ৭২০ টাকা আয় করে $(৩ \times ১২)$ দিনে

$\therefore$ ৯ জনে ৭২০ টাকা আয় করে $\frac{৩ \times ১২}{৯} = ৪$ দিনে।

ঐ সময়ে অর্থাৎ ৮ দিনে,

৩০ সের ছোলা খায় ৬টি ঘোড়া

$\therefore$ ১ সের ছোলা খায় $\frac{৬}{৩০}$ টি ঘোড়া

$\therefore$ ২৫ সের ছোলা খায় $\frac{৬ \times ২৫}{৩০} = ৫$টি ঘোড়া।

৫০০০ টাকার ৫ বছরের সুদ ১০০ টাকা

$\therefore$ ১ টাকার ৫ বছরের সুদ $\frac{১০০}{৫০০০}$ টাকা

$\therefore$ ২০০০ টাকার ৫ বছরের সুদ $\frac{১০০ \times ২০০০}{৫০০০} = ৪০$ টাকা

Note: প্রশ্নানুসারে সঠিক উত্তর ৪০ টাকা, যা অপশনে দেওয়া নেই।

$\frac{১}{১০}$ টাকায় লাভ হয় $\frac{১}{৪০}$ টাকা

$\therefore$ ১ টাকায় লাভ হয় $\left(\frac{১}{৪০} \times \frac{১০}{১}\right)$ বা $\frac{১০}{৪০}$ টাকা

$\therefore$ ১০০ টাকায় লাভ হয় $\frac{১০ \times ১০০}{৪০} = ২৫$ টাকা।

সুতরাং, শতকরা লাভের হার ২৫%।

আমরা জানি, ২ ঘণ্টা = $(২ \times ৬০)$ মিনিট = ১২০ মিনিট।

$\frac{২}{৩}$ মিনিটে উৎপাদন করে ১টি পণ্য

$\therefore$ ১ মিনিটে উৎপাদন করে $\frac{৩}{২}$ টি পণ্য

$\therefore$ ১২০ মিনিটে উৎপাদন করে $\frac{৩ \times ১২০}{২} = ১৮০$টি পণ্য।

যেহেতু প্রত্যেকবার ৬ অবশিষ্ট থাকবে, তাই নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে $(১০২ - ৬) = ৯৬$ এবং $(১৮৬ - ৬) = ১৮০$-এর গ.সা.গু.।

এখন ৯৬ এবং ১৮০ এর গ.সা.গু নির্ণয় করি:

$৯৬ = ২ \times ২ \times ২ \times ২ \times ২ \times ৩$

$১৮০ = ২ \times ২ \times ৩ \times ৩ \times ৫$

উভয় সংখ্যার সাধারণ মৌলিক উৎপাদকগুলো হলো: $২, ২$ এবং $৩$।

$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু = $২ \times ২ \times ৩ = ১২$।

দশমিকের পরের অঙ্কগুলো বিবেচনা করি:

এখানে, $০.০০৬ < ০.০৬ < ০.৫ < ০.৬$

$\therefore$ ০.৬ সংখ্যাটি বৃহত্তম।

$১০০ \times ০.১২ = ১০০ \times \frac{১২}{১০০} = ১২$

প্রথম ৩ ঘণ্টায় অতিক্রান্ত দূরত্ব = $(৩ \times ৫০) = ১৫০$ মাইল।

বাকি সময় = $(৪ - ৩) = ১$ ঘণ্টা।

বাকি দূরত্ব = $(১৮০ - ১৫০) = ৩০$ মাইল।

সুতরাং, শেষ ১ ঘণ্টায় তাকে ৩০ মাইল অতিক্রম করতে হবে।

অতএব, শেষ ঘণ্টায় তার বেগ হবে ৩০ মাইল/ঘণ্টা।

সকাল ৭টা থেকে বিকাল ৩টা পর্যন্ত মোট সময় = ৮ ঘণ্টা।

গড় গতিবেগ = $\frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{মোট সময়}} = \frac{৩০০}{৮} =$ ৩৭.৫ কি.মি./ঘণ্টা।

১টি ডিমের ক্রয়মূল্য = $৮$ টাকা
১২০০টি ডিমের মোট ক্রয়মূল্য = $১২০০ \times ৮ = ৯৬০০$ টাকা

ডিম পচে গেল = $১২০০ \times \frac{১}{৩} = ৪০০$ টি
অবশিষ্ট ভালো ডিম = $১২০০ - ৪০০ = ৮০০$ টি

লাভ বা ক্ষতি না হতে হলে, অবশিষ্ট ৮০০টি ডিমের মোট বিক্রয়মূল্য হতে হবে মূল ক্রয়মূল্যের সমান অর্থাৎ ৯৬০০ টাকা।
সুতরাং, প্রতিটি ডিমের বিক্রয়মূল্য হবে = $\frac{৯৬০০}{৮০০}$ টাকা = $১২$ টাকা।

দেওয়া আছে,

$১ \text{ সপ্তাহ} = ৭ \text{ দিন}$

সুতরাং, $৪ \text{ সপ্তাহ} = ৪ \times ৭ = ২৮ \text{ দিন}$

ঐকিক নিয়মে পাই,

$৫$ দিনে মোটরসাইকেল তৈরি হয় $২৪৫০$টি

$\therefore ১$ দিনে তৈরি হয় $\frac{২৪৫০}{৫}$টি

$\therefore ২৮$ দিনে তৈরি হয় $\frac{২৪৫০ \times ২৮}{৫} =$ ১৩৭২০টি

সঠিক উত্তর: ১৩৭২০টি

আমরা জানি, তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = $১০০$

প্রথমে $৫$ ও $৭$-এর ল.সা.গু. বের করতে হবে।

$৫$ ও $৭$-এর ল.সা.গু. = $৫ \times ৭ = ৩৫$

এখন, $১০০$-এর সাথে এমন একটি সংখ্যা যোগ করতে হবে যা $৩৫$ দ্বারা বিভাজ্য।

আমরা জানি, $৩৫ \times ৩ = ১০৫$

সুতরাং, যোগ করতে হবে = $(১০৫ - ১০০) =$ ৫

উপাত্তগুলোকে ছোট থেকে বড় ক্রমানুসারে সাজালে পাই: $৮, ১০, ১৪, ১৬, ১৬, ২০$

এখানে উপাত্তের সংখ্যা, $n = ৬$, যা একটি জোড় সংখ্যা।

আমরা জানি, $n$ জোড় হলে,

মধ্যক = $\frac{\frac{n}{২}\text{-তম পদ} + (\frac{n}{২} + ১)\text{-তম পদ}}{২}$

$\therefore$ মধ্যক = $\frac{৩\text{-তম পদ} + ৪\text{-তম পদ}}{২}$

$= \frac{১৪ + ১৬}{২} = \frac{৩০}{২} =$ ১৫

সর্বোচ্চ সাইজের বর্গাকার টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের গ.সা.গু. এর সমান।

এখানে, দৈর্ঘ্য = $১২০$ ফুট এবং প্রস্থ = $৭০$ ফুট।

$১২০$ ও $৭০$-এর গ.সা.গু. নির্ণয় করি:

$৭০ \div ১২০$ এর ক্ষেত্রে,

$১২০ = ৭০ \times ১ + ৫০$

$৭০ = ৫০ \times ১ + ২০$

$৫০ = ২০ \times ২ + ১০$

$২০ = ১০ \times ২ + 0$

যেহেতু সর্বশেষ ভাজক $১০$, তাই গ.সা.গু. = $১০$।

অতএব, টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে ১০ ফুট।

আমরা জানি, ৫ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = $৯৯৯৯৯$

প্রথমে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু. নির্ণয় করি:

$৭, ১১, ২১, ২৩$-এর ল.সা.গু. = $৭ \times ১১ \times ৩ \times ২৩ = ৫৩১৩$

এখন, $৫৩১৩$ দ্বারা $৯৯৯৯৯$ কে ভাগ করলে,

$৯৯৯৯৯ = ৫৩১৩ \times ১৮ + ৪৩৬৫$

যেহেতু ভাগশেষ $৪৩৬৫$, তাই ৫ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা থেকে এটি বিয়োগ করতে হবে।

নির্ণেয় সংখ্যা = $৯৯৯৯৯ - ৪৩৬৫ =$ ৯৫৬৩৪

দেওয়া আছে,

বইয়ের ক্রয়মূল্য = $১২০$ টাকা

বিক্রয়মূল্য = $১০০$ টাকা

যেহেতু ক্রয়মূল্য $>$ বিক্রয়মূল্য, তাই ক্ষতি হয়েছে।

ক্ষতি = $(১২০ - ১০০) = ২০$ টাকা

শতকরা ক্ষতি = $\frac{\text{ক্ষতি}}{\text{ক্রয়মূল্য}} \times ১০০\%$

$= \frac{২০}{১২০} \times ১০০\% =$ ১৬.৬৭%

নোট: অপশনে সঠিক উত্তর নেই। সঠিক উত্তর হবে ১৬.৬৭% ক্ষতি। অপশন (খ)-এ 'লাভ' এবং 'টাকা' উল্লেখ থাকায় সেটি ভুল।

ধরি, ঘড়িটির ক্রয়মূল্য = $x$ টাকা।

ক্ষতি = $(x - ১৫০)$ টাকা।

শতকরা ক্ষতি = $\frac{x - ১৫০}{x} \times ১০০\%$

শর্তমতে, কমপক্ষে শতকরা ২০ টাকা ক্ষতি হয়। অর্থাৎ, শতকরা ক্ষতি $\ge ২০$

$\frac{x - ১৫০}{x} \times ১০০ \ge ২০$

$\Rightarrow ১০০x - ১৫০০০ \ge ২০x$

$\Rightarrow ৮০x \ge ১৫০০০$

$\Rightarrow x \ge ১৮৭.৫$

অর্থাৎ, ঘড়িটির ক্রয়মূল্য কমপক্ষে ১৮৭.৫ টাকা হতে হবে।

যেহেতু প্রশ্নে বলা হয়েছে "কোনটি ঘড়িটির ক্রয়মূল্য হতে পারে না?", তাই ১৮৭.৫ এর চেয়ে ছোট যেকোনো মূল্যই সঠিক উত্তর। অপশন (ক), (খ), এবং (গ) তিনটিই ১৮৭.৫ এর চেয়ে ছোট।

নোট: প্রশ্নে 'হতে পারে না' এর স্থলে 'হতে পারে' থাকলে সঠিক উত্তর হতো ১৯০ টাকা (অপশন ঘ)। তাই প্রশ্নটি ত্রুটিযুক্ত।

ধরি, যৌগে অক্সিজেনের পরিমাণ = $O$, কার্বনের পরিমাণ = $C$, এবং হাইড্রোজেনের পরিমাণ = $H$

প্রথম শর্তমতে, $H = \frac{O}{২} \Rightarrow O = ২H$

দ্বিতীয় শর্তমতে, $H = \frac{C}{৩} \Rightarrow C = ৩H$

অতএব, $H : O : C = H : ২H : ৩H = ১ : ২ : ৩$

অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = $১ + ২ + ৩ = ৬$

যৌগের মোট ভর = $১৮০$ গ্রাম

সুতরাং, যৌগে হাইড্রোজেনের পরিমাণ = $১৮০ \times \frac{১}{৬} =$ ৩০ গ্রাম।

ধরি, তিনটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা যথাক্রমে $(x - ২), x$ এবং $(x + ২)$।

প্রশ্নমতে,

$(x - ২) + x + (x + ২) = ৫৭$

$\Rightarrow ৩x = ৫৭$

$\Rightarrow x = ১৯$

তাহলে, ১ম সংখ্যা = $১৯ - ২ = ১৭$

২য় সংখ্যা = $১৯$

৩য় সংখ্যা = $১৯ + ২ =$ ২১

সুতরাং, ৩য় সংখ্যাটি হলো ২১।

এখানে, তিনজনের মোট মূলধন = (২০,০০০ + ৩০,০০০ + ৪০,০০০) = ৯০,০০০ টাকা।
রহিম, করিম ও সাকিবের মূলধনের অনুপাত = ২০,০০০ : ৩০,০০০ : ৪০,০০০ = ২ : ৩ : ৪
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ২ + ৩ + ৪ = ৯
শতকরা ৩০ টাকা লাভ অর্থাৎ মোট লাভ = ৯০,০০০ এর ৩০% = ২৭,০০০ টাকা।
সুতরাং, সাকিবের লাভের পরিমাণ = $২৭,০০০ \times \frac{৪}{৯} =$ ১২,০০০ টাকা।

ধরি, সংখ্যাটি $x$।
প্রশ্নমতে, $x - x$ এর $৪০\% = ৩০$
$\Rightarrow x - \frac{৪০x}{১০০} = ৩০$
$\Rightarrow \frac{১০০x - ৪০x}{১০০} = ৩০$
$\Rightarrow \frac{৬০x}{১০০} = ৩০$
$\Rightarrow x = \frac{৩০ \times ১০০}{৬০} = ৫০$
নির্ণেয় সংখ্যাটি ৫০।

৩ বছর পূর্বে মায়ের বয়স ছিল = ২৭ বছর।
বর্তমানে মায়ের বয়স = (২৭ + ৩) = ৩০ বছর।
৫ বছর পর মায়ের বয়স হবে = (৩০ + ৫) = ৩৫ বছর।

৩ বছর পূর্বে মেয়ের বয়স ছিল = ২ বছর।
বর্তমানে মেয়ের বয়স = (২ + ৩) = ৫ বছর।
৫ বছর পর মেয়ের বয়স হবে = (৫ + ৫) = ১০ বছর।

সুতরাং ৫ বছর পর তাদের বয়সের অনুপাত হবে = ৩৫ : ১০ = ৭ : ২।

১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯।
গণনা করে দেখা যায়, মোট মৌলিক সংখ্যা আছে ৮টি।

অপশনগুলো বিশ্লেষণ করি:
ক) ৯১ = ৭ $\times$ ১৩ (মৌলিক নয়)
খ) ৮৭ = ৩ $\times$ ২৯ (মৌলিক নয়)
গ) ৬৩ = ৭ $\times$ ৯ (মৌলিক নয়)
ঘ) ৫৯ সংখ্যাটির ১ এবং ৫৯ ছাড়া অন্য কোনো উৎপাদক নেই। তাই এটি মৌলিক সংখ্যা।

A, B, C একত্রে 1 ঘণ্টায় পূর্ণ করে = $\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{10} - \frac{1}{20}\right)$ অংশ

$= \left(\frac{4+2-1}{20}\right)$ অংশ

$= \left(\frac{6-1}{20}\right)$ অংশ

$= \frac{5}{20}$ অংশ

$= \frac{1}{4}$ অংশ।

$\therefore$ সম্পূর্ণ পূর্ণ করে 4 ঘণ্টায়।

দেওয়া আছে, A ট্রাকের বেগ 70 km/hr ও B ট্রাকের বেগ 50 km/hr এবং ট্রাক দুটি 300 km দূরে অবস্থিত।

মনে করি, $t$ সময়ে ট্রাক দুটি সাক্ষাৎ করবে।

প্রশ্নমতে, $70t + 50t = 300$

$\Rightarrow 120t = 300$

$\therefore t = 2.5$

12 জন পুরুষ 1 দিনে করে কাজটির $\frac{1}{24}$ অংশ।

এবং 12 জন মহিলা 1 দিনে করে কাজটির $\frac{1}{12}$ অংশ।

তারা একত্রে 1 দিনে করে = $\left(\frac{1}{24} + \frac{1}{12}\right)$ অংশ

$= \frac{1+2}{24}$ অংশ $= \frac{3}{24}$ অংশ $= \frac{1}{8}$ অংশ।

$\therefore$ তারা একত্রে পুরো কাজটি সম্পন্ন করতে পারবে 8 দিনে।

দেওয়া আছে, $8\%$ লাভে বিক্রয়মূল্য = $Tk. (100 + 8) = Tk. 108$

বিক্রয়মূল্য $Tk. 108$ হলে ক্রয়মূল্য $Tk. 100$

বিক্রয়মূল্য $Tk. 1$ হলে ক্রয়মূল্য $Tk. \frac{100}{108}$

বিক্রয়মূল্য $Tk. 810$ হলে ক্রয়মূল্য $Tk. \frac{100 \times 810}{108} = Tk. 750$

মনে করি, ক্রয়মূল্য $100$ টাকা।

$20\%$ লাভে বিক্রয়মূল্য = $(100 + 20)$ টাকা = $120$ টাকা।

আবার, $20\%$ ছাড়ে বিক্রয়মূল্য = $(100 - 20)$ টাকা = $80$ টাকা।

এখন, তালিকা মূল্য বা Marked Price = $\frac{120}{80} \times 100$ টাকা = $150$ টাকা।

$\therefore$ শতকরা তালিকা মূল্য বৃদ্ধি = $(150 - 100)$ টাকা = $50$ টাকা বা $50\%$।

দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ফলাফল সংখ্যা = $6 \times 6 = 36$

যোগফল $6$ আসার অনুকূল ফলাফলগুলো হলো: $(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)$

অর্থাৎ, অনুকূল ঘটনা সংখ্যা = $5$

সুতরাং নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = $\frac{\text{অনুকূল ঘটনা}}{\text{মোট ঘটনা}} = \frac{5}{36}$

সমাধান:

যে সংখ্যাগুলো 8 এবং 18 উভয়ের গুণিতক, সেগুলো অবশ্যই 8 এবং 18 এর ল.সা.গু (LCM) এর গুণিতক হবে।

8 এবং 18 এর ল.সা.গু নির্ণয়:
$8 = 2^3$
$18 = 2 \times 3^2$
ল.সা.গু = $2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72$

এখন, 10,000 এর চেয়ে ছোট 72 এর গুণিতক সংখ্যা বের করতে হবে।
$10000 \div 72 = 138.88...$

যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হতে হবে, তাই সর্বোচ্চ পূর্ণসংখ্যাটি হবে 138।
সুতরাং, ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা 138 টি।

সমাধান:

আমরা জানি,
একটি সংখ্যা $\times$ অপর সংখ্যা = সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু $\times$ গ.সা.গু

মান বসিয়ে পাই:
$96 \times \text{অপর সংখ্যা} = 288 \times 12$
$\Rightarrow \text{অপর সংখ্যা} = \frac{288 \times 12}{96}$
$\Rightarrow \text{অপর সংখ্যা} = \frac{288}{8}$ (যেহেতু $96 \div 12 = 8$)
$\Rightarrow \text{অপর সংখ্যা} = 36$

সুতরাং, অপর সংখ্যাটি 36।

সমাধান:

শ্রেণিতে মোট উপস্থিত লোকের সংখ্যা = 224 জন।
এর মধ্যে ছাত্র-ছাত্রী বাদে অন্য লোক আছে = 1 (শিক্ষক) + 1 (প্রশাসক) + 30 (evaluators/পরিদর্শক) = 32 জন।

তাহলে, মোট পুরুষ ও মহিলা ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা = $224 - 32 = 192$ জন।

দেওয়া আছে, ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত = $13 : 19$
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = $13 + 19 = 32$

অতএব, পুরুষ ছাত্রের সংখ্যা = $192 \times \frac{13}{32}$
$= 6 \times 13$
$= 78$ জন।

সমাধান:

মনে করি, ৫ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল $5x$ বছর এবং পুত্রের বয়স ছিল $x$ বছর।

তাহলে, বর্তমানে পিতার বয়স = $(5x + 5)$ বছর
বর্তমানে পুত্রের বয়স = $(x + 5)$ বছর

২ বছর পরে পিতার বয়স হবে = $(5x + 5 + 2) = (5x + 7)$ বছর
২ বছর পরে পুত্রের বয়স হবে = $(x + 5 + 2) = (x + 7)$ বছর

শর্তমতে,
$5x + 7 = 3(x + 7)$
$\Rightarrow 5x + 7 = 3x + 21$
$\Rightarrow 5x - 3x = 21 - 7$
$\Rightarrow 2x = 14$
$\Rightarrow x = 7$

বর্তমানে পিতার বয়স = $5(7) + 5 = 35 + 5 = 40$ বছর
বর্তমানে পুত্রের বয়স = $7 + 5 = 12$ বছর

বর্তমানে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত = $40 : 12 = 10 : 3$

সমাধান:

ট্রেনটি একটি টানেল অতিক্রম করতে চাইলে তাকে নিজের দৈর্ঘ্য এবং টানেলের দৈর্ঘ্য উভয়ের সমান দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে।

মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + টানেলের দৈর্ঘ্য
$= 220 + 260 = 480$ মিটার।

দেওয়া আছে, ট্রেনের বেগ = $45$ km/hr
একে m/s এ রূপান্তর করতে $\frac{5}{18}$ দিয়ে গুণ করতে হবে।
বেগ = $45 \times \frac{5}{18}$ m/s
$= 5 \times \frac{5}{2}$ m/s (৯ দিয়ে কাটাকাটি করে)
$= \frac{25}{2}$ m/s

আমরা জানি, সময় = $\frac{\text{দূরত্ব}}{\text{বেগ}}$
সময় = $\frac{480}{\frac{25}{2}}$
$= 480 \times \frac{2}{25}$
$= \frac{960}{25} = 38.4$ সেকেন্ড।

যেহেতু অপশনে 38.4 নেই, তাই নিকটবর্তী মান 38 sec সঠিক উত্তর হিসেবে গণ্য হবে।

৩ জন সদস্যের গড় বয়স = ২৪ বছর।
সুতরাং, ৩ জনের মোট বয়স = $(৩ \times ২৪) =$ ৭২ বছর।
শর্তমতে, কোনো সদস্যের বয়স ২১ বছরের নিচে নয়।
একজনের সর্বোচ্চ বয়স বের করতে হলে, বাকি ২ জনের বয়স সর্বনিম্ন ধরতে হবে।
২ জনের সর্বনিম্ন মোট বয়স = $(২১ \times ২) =$ ৪২ বছর।
সুতরাং, একজনের সর্বোচ্চ বয়স = $(৭২ - ৪২) =$ ৩০ বছর।

রশির মোট দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার।
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = $৩ + ৭ + ১০ =$ ২০।
দীর্ঘতম অংশের অনুপাত = ১০।
সুতরাং, দীর্ঘতম অংশটির দৈর্ঘ্য = $৪০ \times \frac{১০}{২০} =$ ২০ মিটার।

আমরা জানি, সরল মুনাফা $I = \frac{Pnr}{100}$
এখানে, আসল $P =$ ১০০০০ টাকা
সময় $n =$ ৪ বছর
মুনাফার হার $r =$ ১২%
তাহলে, মুনাফা $I = \frac{১০০০০ \times ৪ \times ১২}{১০০}$
$= ১০০ \times ৪৮$
$=$ ৪৮০০ টাকা।

ধরি, ক্রয়মূল্য = $৫x$ টাকা এবং বিক্রয়মূল্য = $৬x$ টাকা।

$\therefore$ লাভ = $\frac{(৬x - ৫x)}{৫x} \times ১০০$ = $\frac{x}{৫x} \times ১০০ = ২০\%$

দেওয়া আছে, ক্রয়মূল্য $C$ টাকা এবং বিক্রয়মূল্য $P$ টাকা।

আমরা জানি, মুনাফা বা লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য

$\therefore$ মুনাফা = $P - C$

১ থেকে ২০ পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যাগুলো হলো ১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১১, ১৩, ১৫, ১৭, ১৯।

এখানে বিজোড় সংখ্যা আছে ১০টি।

$\therefore$ নির্ণেয় গড় = $\frac{১+৩+৫+৭+৯+১১+১৩+১৫+১৭+১৯}{১০}$ = $\frac{১০০}{১০} = ১০$

বিকল্প পদ্ধতি:

১ থেকে ২০ পর্যন্ত বিজোড় সংখ্যা ১০টি।

$\therefore$ এদের যোগফল = $১০^২ = ১০০$

সুতরাং গড় = $\frac{১০০}{১০} = ১০$

১৫ জন লোকের বয়সের সমষ্টি = $(২৯ \times ১৫)$ বছর = ৪৩৫ বছর

দুজনের বয়সের সমষ্টি = $(৫৫ \times ২)$ বছর = ১১০ বছর

এখন, ১৩ জনের বয়স = $(৪৩৫ - ১১০)$ বছর = ৩২৫ বছর।

$\therefore$ ১৩ জনের বয়সের গড় = $\frac{৩২৫}{১৩} = ২৫$ বছর।

ধরি, পুরুষ $M$ এবং মহিলা $W$।

দেওয়া আছে, $৬(৬M + ৫W) = ৮(৪M + ৫W)$

$\Rightarrow ৩৬M + ৩০W = ৩২M + ৪০W$

$\Rightarrow ৪M = ১০W \Rightarrow ২M = ৫W$

এখন, ১ম শর্ত হতে পাই, $(৬M + ৫W) = (৬M + ২M) = ৮M$ করতে পারে ৬ দিনে।

বের করতে হবে, $(৮M + ২০W)$ এর কাজের সময়।

এখানে, $৮M + ২০W = ৮M + ৪(৫W) = ৮M + ৪(২M) = ৮M + ৮M = ১৬M$

৮ জন পুরুষ কাজ করে ৬ দিনে

১ জন পুরুষ কাজ করে $(৮ \times ৬)$ দিনে

$\therefore$ ১৬ জন পুরুষ কাজ করে $\frac{৮ \times ৬}{১৬} = \frac{৪৮}{১৬} = ৩$ দিনে।

ধরি, A পাইপ ট্যাঙ্কটি একা পূরণ করে $p$ ঘণ্টায়।
যেহেতু A পাইপ B পাইপের ১০ ঘণ্টা পূর্বে ট্যাঙ্কটি পূরণ করতে পারে, তাই B পাইপ একা ট্যাঙ্কটি পূরণ করে $(p + 10)$ ঘণ্টায়।
প্রশ্নমতে, A ও B একত্রে ট্যাঙ্কটি পূরণ করে ১২ ঘণ্টায়।
অতএব, $\frac{1}{p} + \frac{1}{p+10} = \frac{1}{12}$
$\Rightarrow \frac{p + 10 + p}{p(p + 10)} = \frac{1}{12}$
$\Rightarrow \frac{2p + 10}{p^2 + 10p} = \frac{1}{12}$
$\Rightarrow p^2 + 10p = 24p + 120$
$\Rightarrow p^2 - 14p - 120 = 0$
$\Rightarrow p^2 - 20p + 6p - 120 = 0$
$\Rightarrow p(p - 20) + 6(p - 20) = 0$
$\Rightarrow (p - 20)(p + 6) = 0$
হয়, $p - 20 = 0 \Rightarrow p = 20$
অথবা, $p + 6 = 0 \Rightarrow p = -6$ [সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই অগ্রহণযোগ্য]
সুতরাং, B পাইপের ট্যাঙ্কটি পূরণ করতে সময় লাগবে = $(p + 10)$ ঘণ্টা = $(20 + 10)$ ঘণ্টা = $30$ ঘণ্টা।