বীজগণিত (Algebra)

সমাধান: $২ক^২ - ১৬ক + ৮ = ০$ হলো একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

$\therefore$ মূলদ্বয়ের যোগফল $(ক_১ + ক_২) = -\frac{(-১৬)}{২} = ৮$।

$(ax + 2)(bx + 7) = 15x^2 + cx + 14$

$\Rightarrow abx^2 + (7a + 2b)x + 14 = 15x^2 + cx + 14$

উভয় পাশে $x^2$, $x$-এর সহগ তুলনা করে পাই,

$ab = 15$ ........... (১)

এবং $(7a + 2b) = c$ ........... (২)

(১) নং হতে পাই,

$\because a + b = 8 \Rightarrow b = 8 - a$

$a(8 - a) = 15 \Rightarrow 8a - a^2 = 15 \Rightarrow a^2 - 8a + 15 = 0$

$\Rightarrow a^2 - 5a - 3a + 15 = 0 \Rightarrow (a - 5)(a - 3) = 0$

$\therefore a = 5$ অথবা, $a = 3$

$a = 5$ হলে, $b = 8 - 5 = 3$

$\therefore c = 7 \times 5 + 2 \times 3 = 41$

এবং $a = 3$ হলে, $b = 8 - 3 = 5$

$\therefore c = 7 \times 3 + 2 \times 5 = 31$

ধরি,

৬৫ টাকার খাবার বিক্রি হয়েছিল $x$ টি

$\therefore$ ২০ টাকার খাবার বিক্রি হয়েছিল $(২০৯ - x)$ টি

প্রশ্নমতে, $৬৫x + ২০(২০৯ - x) = ৮,৩৬৫$

$\Rightarrow ৬৫x + ৪,১৮০ - ২০x = ৮,৩৬৫$

$\Rightarrow ৪৫x = ৮,৩৬৫ - ৪,১৮০$

$\Rightarrow x = \frac{৪১৮৫}{৪৫} = ৯৩$

$\therefore$ ৬৫ টাকা মূল্যের খাবার বিক্রি হয়েছিল ৯৩টি।

পূর্ণবর্গ হবে যদি $b^2 = 4ac$ হয়
$\therefore (-Q)^2 = 4 \times 4 \times 16$
$\Rightarrow Q^2 = 256$
$\therefore Q = \sqrt{256} = 16$

আমরা জানি, $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

আমরা জানি, $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

প্রদত্ত রাশি = $a^3 - 9 + (a + 1)^3$
$= a^3 - 9 + a^3 + 3a^2 + 3a + 1$
$= 2a^3 + 3a^2 + 3a - 8$
যেহেতু $(a - 1)$ একটি উৎপাদক, তাই রাশিটিকে $(a - 1)$ আকারে সাজাই:
$= 2a^3 - 2a^2 + 5a^2 - 5a + 8a - 8$
$= 2a^2(a - 1) + 5a(a - 1) + 8(a - 1)$
$= (a - 1)(2a^2 + 5a + 8)$
সুতরাং অপর উৎপাদকটি হলো $2a^2 + 5a + 8$।

দেওয়া আছে, $a^2 - b^2 = 20$; $a + b = 5$

আমরা জানি, $a^2 - b^2 = 20$

$\Rightarrow (a + b)(a - b) = 20$

$\Rightarrow 5(a - b) = 20$ $[\because a + b = 5]$

$\Rightarrow a - b = \frac{20}{5}$

$\therefore a - b = 4$

দেওয়া আছে, $x + y = 5$ এবং $x + 4y = 4$

প্রদত্ত রাশি = $4x^2 + 20xy + 16y^2$

$= 4(x^2 + 5xy + 4y^2)$

$= 4(x^2 + xy + 4xy + 4y^2)$ [মধ্যপদ বিশ্লেষণ বা মিডল টার্ম ব্রেক করে]

$= 4\{x(x + y) + 4y(x + y)\}$

$= 4(x + y)(x + 4y)$

মান বসিয়ে পাই,

$= 4 \times 5 \times 4 = 80$

সমাধান:

ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) অনুসারে, কোনো বহুপদী রাশি $f(x)$ যদি $(x - c)$ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে $f(c) = 0$ হবে।

এখানে রাশিটি $x + 2$ দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$ বসিয়ে সমীকরণটির মান শূন্য হবে।

প্রদত্ত রাশি: $f(x) = 3x^2 + ax + a + 3$
তাহলে, $f(-2) = 3(-2)^2 + a(-2) + a + 3 = 0$
$\Rightarrow 3(4) - 2a + a + 3 = 0$
$\Rightarrow 12 - a + 3 = 0$
$\Rightarrow 15 - a = 0$
$\Rightarrow a = 15$

সুতরাং, $a$ এর মান 15।

ব্যাখ্যা:

প্রদত্ত রাশি: $4x^4 + 1$ এর উৎপাদক

$= (2x^2)^2 + 2 \cdot 2x^2 \cdot 1 + 1^2 - 4x^2$

$= (2x^2 + 1)^2 - (2x)^2$

$= (2x^2 + 1 + 2x)(2x^2 + 1 - 2x)$

$= (2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)$

ব্যাখ্যা:

মনে করি, আলুর পরিমাণ $x$ এবং টমেটোর পরিমাণ $y$।

প্রশ্নমতে, $12(0.24x + 0.76y) = 6.52(x + y)$

$\Rightarrow 2.88x + 9.12y = 6.52x + 6.52y$

$\Rightarrow 6.52x - 2.88x = 9.12y - 6.52y$

$\Rightarrow 3.64x = 2.6y$

$\Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{2.6}{3.64}$

$\therefore x:y = 5:7$

যেহেতু মোট সবজি ১২টি, তাই আলুর সংখ্যা হবে ৫টি এবং টমেটোর সংখ্যা ৭টি।

প্রদত্ত রাশি, $9^x + 9^x + 9^x$
$= 3 \times 9^x$ (যেহেতু ৩টি $9^x$ যোগ করা হয়েছে)
$= 3^1 \times (3^2)^x$
$= 3^1 \times 3^{2x}$
$= 3^{2x+1}$ (সূচকের গুণের নিয়মানুযায়ী ভিত্তি এক হলে পাওয়ার যোগ হয়)

প্রদত্ত রাশি, $x^2 - y^2 + 2y - 1$
$= x^2 - (y^2 - 2y + 1)$ (মাইনাস কমন নিয়ে)
$= x^2 - (y - 1)^2$ (যেহেতু $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$)
$= \{x + (y - 1)\}\{x - (y - 1)\}$ ($a^2 - b^2$ এর সূত্র প্রয়োগ করে)
$= (x + y - 1)(x - y + 1)$
এখানে একটি উৎপাদক $x + y - 1$ দেওয়া আছে, তাই অপর উৎপাদকটি হলো $x - y + 1$।

ধরি, বাস্তব সংখ্যাটি $x$।
সংখ্যাটির বিপরীত সংখ্যা = $\frac{1}{x}$
প্রশ্নমতে, $\frac{1}{x} - x = 3x$
$\Rightarrow \frac{1}{x} = 3x + x$
$\Rightarrow \frac{1}{x} = 4x$
$\Rightarrow 4x^2 = 1$
$\Rightarrow x^2 = \frac{1}{4}$
$\therefore x = \pm\frac{1}{2}$
যেহেতু অপশনে ধনাত্মক মান দেওয়া আছে, তাই উত্তর হবে $\frac{1}{2}$ বা $১/২$।

দেওয়া আছে,
$\frac{x}{x^2 - 3x + 1} = 1$
$\Rightarrow x = x^2 - 3x + 1$ (আড়গুণন করে)
$\Rightarrow x^2 - 3x - x + 1 = 0$
$\Rightarrow x^2 - 4x + 1 = 0$
$\Rightarrow x^2 + 1 = 4x$
উভয়পক্ষকে $x$ দ্বারা ভাগ করে পাই,
$\frac{x^2 + 1}{x} = \frac{4x}{x}$
$\Rightarrow \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} = 4$
$\therefore x + \frac{1}{x} = 4$

দেয়া আছে, $x + y = 4$ এবং $x - y = 3$

$\therefore 8xy = 2 \times 4xy$

$= 2 \{(x + y)^2 - (x - y)^2\}$

$= 2(4^2 - 3^2)$

$= 2(16 - 9)$

$= 2 \times 7$

$= 14$

দেয়া আছে $f(x) = x^2$

$\therefore f(a + b) = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

এবং $f(a - b) = (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

সুতরাং $f(a + b) + f(a - b)$

$= (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2)$

$= 2a^2 + 2b^2$

দেয়া আছে $x^y = 64$

$\therefore x^y = 4^3 \dots\dots (i)$

এখানে, (i) হতে পাই, $x = 4$ এবং $y = 3$

সুতরাং $x + y = 4 + 3 = 7$

মনে করি, $f(x) = x^3 + 6x^2 + 11x + 6$
এখন অপশন থেকে $x$-এর মান বসিয়ে $f(x) = 0$ হলে সেটিই হবে উৎপাদক, অন্যথা উৎপাদক হবে না।
$A. f(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 12 - 12 = 0$
$B. f(-2) = (-2)^3 + 6(-2)^2 + 11(-2) + 6 = -8 + 24 - 22 + 6 = 30 - 30 = 0$
$C. f(-3) = (-3)^3 + 6(-3)^2 + 11(-3) + 6 = -27 + 54 - 33 + 6 = 60 - 60 = 0$
$D. f(-4) = (-4)^3 + 6(-4)^2 + 11(-4) + 6 = -64 + 96 - 44 + 6 = -108 + 102 = -6$
সুতরাং $(x+4)$, $x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ এর উৎপাদক হবে না।

ধরি, মোট ছাত্র $n(U) = ৩০$

ফুটবল খেলে এমন ছাত্র $n(F) = ১৮$

ক্রিকেট খেলে এমন ছাত্র $n(C) = ১৪$

কিছুই খেলে না $n(F \cup C)' = ৫$

আমরা জানি,

$n(U) = n(F) + n(C) - n(F \cap C) + n(F \cup C)'$

$\Rightarrow ৩০ = ১৮ + ১৪ - n(F \cap C) + ৫$

$\Rightarrow ৩০ = ৩৭ - n(F \cap C)$

$\Rightarrow n(F \cap C) = ৩৭ - ৩০$

$\therefore n(F \cap C) = ৭$

অর্থাৎ, উভয় খেলা খেলে ৭ জন।

সমাধান: আমরা জানি, $4ab = (a+b)^2 - (a-b)^2$
$\Rightarrow 4ab = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2$ [মান বসিয়ে]
$\Rightarrow 4ab = 7 - 3 \Rightarrow 4ab = 4 \therefore ab = 1$

সমাধান: আমরা জানি, $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)$
$\Rightarrow 2(ab+bc+ca) = (a+b+c)^2 - (a^2+b^2+c^2)$
$\Rightarrow 2(ab+bc+ca) = (35)^2 - 825$
$\Rightarrow 2(ab+bc+ca) = 1225 - 825$
$\Rightarrow 2(ab+bc+ca) = 400 \therefore ab+bc+ca = 200$

ধরি, ভগ্নাংশের লব $x$ এবং ভগ্নাংশের হর $(17 - x)$
$\therefore$ ভগ্নাংশটি $\frac{x}{17 - x}$
প্রশ্নমতে, $\frac{x + 3}{17 - x} = 1 \Rightarrow x + 3 = 17 - x$
$\Rightarrow x + x = 17 - 3 \Rightarrow 2x = 14 \therefore x = 7$
$\therefore$ নির্ণেয় ভগ্নাংশ $= \frac{7}{17 - 7} = \frac{7}{10}$

দেওয়া আছে, $a - \frac{1}{a} = 3$

আমরা জানি, $x^3 - y^3 = (x - y)^3 + 3xy(x - y)$

$\therefore a^3 - \frac{1}{a^3} = \left(a - \frac{1}{a}\right)^3 + 3 \cdot a \cdot \frac{1}{a} \left(a - \frac{1}{a}\right)$

$= (3)^3 + 3 \times 1 \times 3$ [মান বসিয়ে]

$= 27 + 9 = 36$

দেওয়া আছে, $x^2 - 3x + 1 = 0$

$\Rightarrow x^2 + 1 = 3x$

উভয়পক্ষকে $x$ দ্বারা ভাগ করে পাই, $x + \frac{1}{x} = 3$

আমরা জানি, $\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$

$= (3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$

$\therefore x - \frac{1}{x} = \sqrt{5}$

এখন, $\left(x^2 - \frac{1}{x^2}\right) = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x - \frac{1}{x}\right)$

$= 3 \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$

প্রদত্ত রাশি, $3x^2 + x - 10$

এখানে $3 \times (-10) = -30$। এমন দুটি সংখ্যা বের করতে হবে যাদের গুণফল $-30$ এবং যোগফল $+1$ (মাঝের পদের সহগ)। সংখ্যা দুটি হলো $+6$ এবং $-5$।

$= 3x^2 + 6x - 5x - 10$

$= 3x(x + 2) - 5(x + 2)$

$= (x + 2)(3x - 5)$

ধরি, সংখ্যাটি $x$
প্রশ্নমতে, $x - \frac{2x}{3} = 50$
$\Rightarrow \frac{3x - 2x}{3} = 50$
$\Rightarrow \frac{x}{3} = 50$
$\Rightarrow x = 150$
নির্ণেয় সংখ্যাটি: $150$

ধরি, $f(x) = x^2 - 3x - 2$
ভাজক, $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) অনুসারে, ভাগশেষ হবে $f(-1)$।
$f(-1) = (-1)^2 - 3(-1) - 2$
$= 1 + 3 - 2 = 2$
নির্ণেয় ভাগশেষ: $2$

এখানে,
$x + y = 4 \dots (i)$
$x - y = 2 \dots (ii)$
সমীকরণ (i) হতে সমীকরণ (ii) বিয়োগ করে পাই,
$(x + y) - (x - y) = 4 - 2$
$\Rightarrow x + y - x + y = 2$
$\Rightarrow 2y = 2$
$\Rightarrow y = 1$

এখানে,
$2^{x-6} = \frac{1}{64}$
$\Rightarrow 2^{x-6} = \frac{1}{2^6}$
$\Rightarrow 2^{x-6} = 2^{-6}$
উভয়পক্ষের ভিত্তি $2$ সমান হওয়ায়, সূচক সমান হবে।
$\Rightarrow x - 6 = -6$
$\Rightarrow x = -6 + 6$
$\therefore x = 0$

যখন $7^1 = 7$ কে $8$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় $7$
$7^2 = 49$ কে $8$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় $1$
$7^3 = 343$ কে $8$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় $7$
$7^4 = 2401$ কে $8$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় $1$
$7^5 = 16807$ কে $8$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় $7$
অর্থাৎ $7$-এর সূচক (Power) জোড় হলে ভাগশেষ $1$ এবং $7$-এর সূচক বিজোড় হলে ভাগশেষ $7$ হয়।
$\therefore 7^{11}, 7^{111}, 7^{1111}$ প্রত্যেককে $8$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ $7$ পাওয়া যাবে।
$\therefore$ এদের সমষ্টির অতিরিক্ত ভাগশেষ হবে $\frac{7 + 7 + 7}{8}$ বা $\frac{21}{8}$ এর ভাগশেষের সমান।
সুতরাং, নির্ণেয় ভাগশেষ $5$।