সমাধান
U

User

User

ওয়ালেট ব্যালেন্স

স্টুডেন্ট ড্যাশবোর্ড আমার প্রোফাইল আমার তৈরি প্রশ্ন রেফার করো, আয় করো
সমাধান
💼
গণিত (Primary)

বীজগণিত ও জ্যামিতি

Primary Assistant Teacher · গণিত (Primary) — বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক পেজে।

নিচে Primary Assistant Teacher নিয়োগ পরীক্ষার গণিত (Primary) বিষয়ের "বীজগণিত ও জ্যামিতি" অধ্যায়ের বাছাইকৃত ১৫০টি বহুনির্বাচনি প্রশ্ন — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ। সবই বিনামূল্যে।

1

x + y = 12 এবং x - y = 2 হলে xy এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    45
  2. খ
    30
  3. গ
    40
  4. 35

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের প্রশ্নে যখন দুটি রাশির যোগফল (x+yx+y) এবং বিয়োগফল (x−yx-y) দেওয়া থাকে এবং তাদের গুণফল (xyxy) বের করতে বলা হয়, তখন আমরা সাধারণত দুটি পদ্ধতির যেকোনো একটি ব্যবহার করতে পারি।
পদ্ধতি ১: xx এবং yy এর মান নির্ণয় করে:
১. x+y=12x + y = 12
২. x−y=2x - y = 2
(১) ও (২) নং সমীকরণ যোগ করে পাই: 2x=142x = 14, সুতরাং x=7x = 7।
এখন xx এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই: 7+y=127 + y = 12, সুতরাং y=5y = 5।
অতএব, $xy = 7 imes 5 = 35।
পদ্ধতি ২: বীজগণিতীয় সূত্র ব্যবহার করে:
আমরা জানি, 4xy=(x+y)2−(x−y)24xy = (x+y)^2 - (x-y)^2
মান বসিয়ে পাই: 4xy=(12)2−(2)24xy = (12)^2 - (2)^2
4xy=144−4=1404xy = 144 - 4 = 140
$xy = \frac{140}{4} = 35।
2

৬ ফুট অন্তর বৃক্ষের চারা রোপণ করা হলে ১০০ গজ দীর্ঘ রাস্তায় সবোর্চ্চ কতগুলো চারা রোপণ করা যাবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    7
  2. খ
    50
  3. 51
  4. ঘ
    60

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের সমস্যার সমাধানে প্রথমে সবোর্চ্চ একককে সর্বনিম্ন বা প্রদত্ত এককে রূপান্তর করতে হয়। এখানে গজকে ফুটে রূপান্তর করতে হবে।
আমরা জানি, ১ গজ = ৩ ফুট।
সুতরাং, রাস্তার মোট দৈর্ঘ্য = ১০০ গজ×৩=৩০০ ফুট১০০ \text{ গজ} \times ৩ = \mathbf{৩০০ \text{ ফুট}}।
এখন, দূরত্বকে চারা রোপণের ব্যবধান (৬ ফুট) দিয়ে ভাগ করে মোট ফাঁকা স্থানের (গ্যাপের) সংখ্যা বের করতে হবে।
মোট গ্যাপের সংখ্যা = ৩০০÷৬=৫০ টি৩০০ \div ৬ = \mathbf{৫০ \text{ টি}}।
নিয়ম হলো, কোনো সরলরেখা বরাবর যখন কোনো কিছু (খুঁটি, চারা ইত্যাদি) স্থাপন করা হয় এবং শুরু এবং শেষে স্থাপন করা আবশ্যক হয়, তখন চারার সংখ্যা সর্বদা গ্যাপের সংখ্যার চেয়ে ১টি বেশি হয়।
সুতরাং, মোট চারা রোপণ করা যাবে = ৫০+১=৫১ টি৫০ + ১ = \mathbf{৫১ \text{ টি}}। (অপশন '৫০' শুধুমাত্র গ্যাপের সংখ্যা নির্দেশ করে, যা ভুল)।
3

2x = 3y + 5 হলে 4x - 6y = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 10
  2. খ
    15
  3. গ
    20
  4. ঘ
    12

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: 2x=3y+52x = 3y + 5
প্রথমে আমরা এই সমীকরণটিকে এমনভাবে সাজাবো যাতে xx এবং yy রাশিগুলো একদিকে আসে।
বাম পক্ষ থেকে 3y3y কে ডান পক্ষে আনলে পাই:
2x−3y=52x - 3y = 5
এখন আমাদের মান নির্ণয় করতে হবে 4x−6y4x - 6y-এর।
আমরা যদি লক্ষ করি, তবে দেখতে পাবো যে 4x−6y4x - 6y রাশিটি (2x−3y)(2x - 3y) রাশির ঠিক দ্বিগুণ (২ গুণ)।
সুতরাং, আমরা 2x−3y=52x - 3y = 5 সমীকরণের উভয় পক্ষকে ২ দিয়ে গুণ করব।
2(2x−3y)=2(5)2(2x - 3y) = 2(5)
4x−6y=<strong>10</strong>4x - 6y = <strong>10</strong>
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো 10।
4

একটি আয়তক্ষেত্র ও একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা সমান । আবার আয়তক্ষেত্রের বড় বাহু ছোট বাহুর ৩ গুণ । বড় বাহু ২১ মিটার হলে বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২১ মিটার
  2. খ
    ৫৬ মিটার
  3. গ
    ৭ মিটার
  4. ১৪ মিটার

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই সমস্যার সমাধানে আমাদের তিনটি ধাপে এগোতে হবে: আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ নির্ণয়, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয় এবং সবশেষে বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়।
১. আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ: প্রশ্নে বলা হয়েছে, বড় বাহু (দৈর্ঘ্য) ছোট বাহুর (প্রস্থ) ৩ গুণ।
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = ২১ মিটার।
সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ২১÷৩=<strong>৭২১ \div ৩ = <strong>৭ মিটার।
২. আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা: আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সূত্র হলো: ২×(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)২ \times (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)।
পরিসীমা = ২×(২১+৭)=২×২৮=<strong>৫৬২ \times (২১ + ৭) = ২ \times ২৮ = <strong>৫৬ মিটার।
৩. বর্গক্ষেত্রের বাহু: যেহেতু আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা সমান, তাই বর্গক্ষেত্রের পরিসীমাও ৫৬ মিটার।
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = পরিসীমা÷৪পরিসীমা \div ৪।
বাহুর দৈর্ঘ্য = ৫৬÷৪=<strong>১৪৫৬ \div ৪ = <strong>১৪ মিটার।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো ১৪ মিটার।
5

32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    6
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. 5

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

Log2 32 = Log2 25 = 5

ব্যাখ্যা

লগারিদম (Logarithm) হলো সূচক বা পাওয়ারের বিপরীত প্রক্রিয়া। গাণিতিক সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি log⁡ab=x\log_a b = x হয়, তবে এর মানে হলো ax=ba^x = b।
এক্ষেত্রে, প্রশ্নটি হলো: log⁡232=x\log_2 32 = x, অর্থাৎ ২ এর উপর কত পাওয়ার বসালে ৩২ হবে?
আমরা যদি ২ কে ক্রমাগত গুণ করি: 2×2×2×2×2=322 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32।
সুতরাং, 32=2532 = 2^5।
অতএব, log⁡232=log⁡225=5\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5।
সঠিক উত্তর হলো 55।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
6

৭ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্নিহিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গসেমি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    196
  2. 98
  3. গ
    96
  4. ঘ
    192

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি জ্যামিতির একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ অংশ যা প্রায় সব নিয়োগ পরীক্ষাতেই আসে।
বৃত্তের অভ্যন্তরে যখন কোনো বর্গক্ষেত্র অন্তর্নিহিত থাকে, তখন বৃত্তের ব্যাস (Diameter) হয় বর্গক্ষেত্রটির কর্ণ (Diagonal)।
১. প্রথমে ব্যাস নির্ণয় করুন। বৃত্তের ব্যাসার্ধ (rr) = ৭ সেমি।
অতএব, বৃত্তের ব্যাস (dd) = 2r=2×7=<strong>142r = 2 \times 7 = <strong>14 সেমি।
২. যেহেতু বর্গক্ষেত্রটির কর্ণ ১৪ সেমি, আমরা সরাসরি কর্ণের মাধ্যমে ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করব।
৩. বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 12×(কর্ণ)2\frac{1}{2} \times (\text{কর্ণ})^2
ক্ষেত্রফল = 12×(14)2=12×196=<strong>98\frac{1}{2} \times (14)^2 = \frac{1}{2} \times 196 = <strong>98 বর্গসেমি।
7

একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১ হেক্টর হলে বাগানটির পরিসীমা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২০০ মিটার
  2. খ
    ৫০০ মিটার
  3. ৪০০ মিটার
  4. ঘ
    ৩০০ মিটার

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ক্ষেত্রফল ও পরিমাপের এই গাণিতিক সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমাদের পর্যায়ক্রমে তিনটি ধাপ অনুসরণ করতে হবে:
১. একক রূপান্তর: আমরা জানি, পরিমাপের আন্তর্জাতিক মান অনুযায়ী, ১ হেক্টর = ১০,০০০ বর্গ মিটার। সুতরাং, বর্গাকার বাগানটির ক্ষেত্রফল হলো ১০,০০০ বর্গ মিটার।
২. বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়: বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো (বাহু)২(\text{বাহু})^২।
সুতরাং, (বাহু)২=১০,০০০(\text{বাহু})^২ = ১০,০০০ বর্গ মিটার।
বাহুর দৈর্ঘ্য $= \sqrt{১০,০০০} = ১০০ মিটার।
৩. পরিসীমা নির্ণয়: বর্গাকার ক্ষেত্রের পরিসীমার সূত্র হলো ৪×বাহু৪ \times \text{বাহু}।
বাগানটির পরিসীমা $= ৪ \times ১০০ = ৪০০ মিটার।
8

x>y এবং z<0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    z/x
  2. xz < yz
  3. গ
    xz > yz
  4. ঘ
    x/z>y/z

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

x>y এবং z<0 অর্থাৎ z ঋণাত্মক সংখ্যা। ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা অসমতাকে গুণ করা হলে তার চিহ্ন উল্টে যায়।   

∴ xz < yz অসমতাটি সঠিক।

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি অসমতা (Inequality) সংক্রান্ত মৌলিক নিয়মের উপর ভিত্তি করে গঠিত।
প্রথমে দেওয়া আছে x>yx>y এবং z<0z<0, যার অর্থ হলো zz একটি ঋণাত্মক সংখ্যা।
অসমতার মূল নিয়ম হলো: যদি কোনো অসমতার উভয় পক্ষকে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করা হয়, তবে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়।
এখানে x>yx>y কে zz (যা ঋণাত্মক) দ্বারা গুণ করা হচ্ছে।
সুতরাং, অসমতার চিহ্ন ' >> ' উল্টে গিয়ে ' << ' হবে।
সঠিক উত্তর হবে: xz<yzxz < yz।
(যা বিকল্প 1-এ আছে)।
9

যদি a + b + c = 0 হয় তবে a3+b3+c3 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1
  2. 3abc
  3. গ
    abc
  4. ঘ
    0

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি মৌলিক এবং অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সূত্র।
সাধারণত, ঘনফলের সূত্রের বিশ্লেষণ হলো: a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
প্রশ্নে দেওয়া আছে a+b+c=0a + b + c = 0।
আমরা যদি এই মানটিকে সূত্রের ডানপাশে বসাই, তবে পাই:
0×(a2+b2+c2−ab−bc−ca)=00 \times (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 0
অতএব, a3+b3+c3−3abc=0a^3+b^3+c^3 - 3abc = 0
সুতরাং, সঠিক মানটি হলো: a3+b3+c3=<strong>3abc</strong>a^3+b^3+c^3 = <strong>3abc</strong>
10

একটি ৫০ মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত মাটি হতে ৪০ মিটার উচ্চতায় দেয়ালের দূরত্ব কত মিটার?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    25
  2. 30
  3. গ
    10
  4. ঘ
    20

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি জ্যামিতিক সমস্যা যেখানে পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagorean Theorem) ব্যবহার করতে হবে।
দেওয়ালটি মাটির সাথে খাড়াভাবে (৯০°) আছে। ফলে মই, দেওয়াল ও মাটির সংযোগে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি হয়েছে।
এখানে:
১. অতিভুজ (মই): c=50c = 50 মিটার
২. লম্ব (দেয়ালের উচ্চতা): a=40a = 40 মিটার
৩. ভূমি (দেয়াল থেকে দূরত্ব): b=?b = ? মিটার
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2
বা, 402+b2=50240^2 + b^2 = 50^2
বা, 1600+b2=25001600 + b^2 = 2500
বা, b2=2500−1600b^2 = 2500 - 1600
বা, b2=900b^2 = 900
বা, b=900b = \sqrt{900}
অতএব, b=<strong>30</strong>b = <strong>30</strong> মিটার।
সঠিক উত্তর হলো 30 মিটার।
ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য

ক্লাস ৬-১২ একাডেমিক প্রস্তুতিও নিন

ক্লাস ৬-১২, এসএসসি ও এইচএসসির সব বিষয়ের বোর্ড প্রশ্ন, অধ্যায়ভিত্তিক প্র্যাকটিস, লাইভ পরীক্ষা ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর একাডেমিক সেকশনে।

একাডেমিক প্রস্তুতি দেখুন
11

১৫ সে.মি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি জ্যা ২৪ সে.মি হলে কেন্দ্র থেকে উক্ত জ্যা এর সর্বনিম্ন দূরত্ব কত সে.মি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 9
  2. খ
    10
  3. গ
    12
  4. ঘ
    8

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বৃত্তের জ্যামিতি সংক্রান্ত একটি প্রশ্ন। কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং এই লম্বই হলো কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর সর্বনিম্ন দূরত্ব।
আমরা একটি সমকোণী ত্রিভুজ কল্পনা করতে পারি, যার:
১. অতিভুজ (Hypotenuse) হলো ব্যাসার্ধ (R) = ১৫ সে.মি.।
২. ভূমি (Base) হলো জ্যা-এর অর্ধেক = ২৪÷২=<strong>১২২৪ \div ২ = <strong>১২ সে.মি.।
৩. উচ্চতা (Height) হলো কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর দূরত্ব (d), যা আমাদের নির্ণয় করতে হবে।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে: R2=(extজ্যা−এরঅর্ধেক)2+d2R^2 = ( ext{জ্যা-এর অর্ধেক})^2 + d^2
১৫২=১২২+d2১৫^২ = ১২^২ + d^2
২২৫=১৪৪+d2২২৫ = ১৪৪ + d^2
d2=২২৫−১৪৪d^2 = ২২৫ - ১৪৪
d2=৮১d^2 = ৮১
d=৮১=<strong>৯d = \sqrt{৮১} = <strong>৯ সে.মি.। সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৯।
12

একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ৪ মিটার বেশি। ঘরটির পরিসীমা ৩২ হলে ঘরটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    18
  2. খ
    6
  3. 10
  4. ঘ
    12

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের প্রশ্নের সমাধানে আমাদের প্রথমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সম্পর্ক ব্যবহার করে একটি সমীকরণ তৈরি করতে হবে।
ধরি, ঘরটির প্রস্থ (Width) হলো xx মিটার।
প্রশ্নমতে, দৈর্ঘ্য (Length) প্রস্থ অপেক্ষা ৪ মিটার বেশি, তাই দৈর্ঘ্য হবে: (x+4)(x + 4) মিটার।
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সূত্র হলো: পরিসীমা=2×(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)\text{পরিসীমা} = 2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})।
মান বসিয়ে পাই: 32=2×((x+4)+x)32 = 2 \times ( (x+4) + x )
বা, 32=2×(2x+4)32 = 2 \times (2x + 4)
বা, 16=2x+416 = 2x + 4 (উভয় পক্ষকে ২ দিয়ে ভাগ করে)
বা, 2x=16−42x = 16 - 4
বা, 2x=122x = 12
সুতরাং, প্রস্থ x=6x = 6 মিটার।
ঘরটির দৈর্ঘ্য হলো: x+4=6+4=<strong>10x + 4 = 6 + 4 = <strong>10 মিটার।
তাই সঠিক উত্তর হলো 10।
13

৮০ ফুট দীর্ঘ এবং ৭০ ফুট প্রস্থ একটি বাগানের বাইরের চারদিকে ৫ ফুট প্রস্থ একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1200
  2. 1600
  3. গ
    1500
  4. ঘ
    1400

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

রাস্তা বাদে বাগানের দৈর্ঘ্য   ৮০ ফুট

এবং   "     "     "       প্রস্থ    ৭০ ফুট 

∴ রাস্তাবাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = (৮০ × ৭০) বর্গফুট = ৫৬০০ বর্গফুট।

আবার, রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = {৮০ + (৫ × ২)} ফুট = (৮০ + ১০) বা ৯০ ফুট।

এবং রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ  = {৭০ + (৫ × ২)} ফুট = (৭০ + ১০)ফুট = ৮০ ফুট

∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (৯০ × ৮০) বর্গফুট = ৭২০০ বর্গফুট

∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (৭২০০ - ৫৬০০)বর্গফুট

ব্যাখ্যা

এটি একটি ক্ষেত্রফল (Area) সংক্রান্ত সমস্যা। রাস্তার ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য আমাদের দুটি ধাপে কাজ করতে হবে:
১. প্রথমে শুধুমাত্র বাগানের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
২. এরপর রাস্তাসহ সম্পূর্ণ এলাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। যেহেতু রাস্তাটি বাইরের চারদিকে ৫ ফুট প্রস্থের, তাই দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ উভয়ের সাথে রাস্তার প্রস্থের দ্বিগুণ (৫×২=১০৫ \times ২ = ১০ ফুট) যোগ করে নতুন দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বের করতে হবে।
৩. রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ ক্ষেত্রফল) - (রাস্তা বাদে ক্ষেত্রফল)।
ধাপ ১: রাস্তা বাদে ক্ষেত্রফল
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য ×\times প্রস্থ = ৮০×৭০=<strong>৫৬০০</strong>৮০ \times ৭০ = <strong>৫৬০০</strong> বর্গফুট।
ধাপ ২: রাস্তাসহ ক্ষেত্রফল
রাস্তাসহ দৈর্ঘ্য = ৮০+(৫×২)=৯০৮০ + (৫ \times ২) = ৯০ ফুট।
রাস্তাসহ প্রস্থ = ৭০+(৫×২)=৮০৭০ + (৫ \times ২) = ৮০ ফুট।
ক্ষেত্রফল = ৯০×৮০=<strong>৭২০০</strong>৯০ \times ৮০ = <strong>৭২০০</strong> বর্গফুট।
ধাপ ৩: রাস্তার ক্ষেত্রফল
রাস্তার ক্ষেত্রফল = ৭২০০−৫৬০০=<strong>১৬০০</strong>৭২০০ - ৫৬০০ = <strong>১৬০০</strong> বর্গফুট।
14

একটি ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। প্রতি বর্গমিটার ৯.৫০ টাকা দরে ঘরটির মেঝে কার্পেট দিয়ে ঢাকতে মোট ১৮২৪ টাকা ব্যয় হয়। ঘরটির দৈর্ঘ্য কত মিটার?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 24
  2. খ
    25
  3. গ
    21
  4. ঘ
    20

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের প্রশ্নের ক্ষেত্রে প্রথমে ঘরের মোট ক্ষেত্রফল (Area) নির্ণয় করতে হবে।
ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র: ক্ষেত্রফল=মোট ব্যয়প্রতি বর্গমিটারের খরচ\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{\text{মোট ব্যয়}}{\text{প্রতি বর্গমিটারের খরচ}}।
ক্ষেত্রফল=18249.50=192\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1824}{9.50} = \mathbf{192} বর্গমিটার।
এবার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সম্পর্ক ব্যবহার করতে হবে। যেহেতু দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ, আমরা ধরে নিই:
প্রস্থ (W) =x= x মিটার।
দৈর্ঘ্য (L) =3x= 3x মিটার।
আমরা জানি, ক্ষেত্রফল=দৈর্ঘ্য×প্রস্থ\text{ক্ষেত্রফল} = \text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ}।
সুতরাং, 3x×x=1923x \times x = 192
3x2=1923x^2 = 192
x2=1923=64x^2 = \frac{192}{3} = 64
x=64=8x = \sqrt{64} = \mathbf{8} মিটার। (এটি প্রস্থ)
অতএব, ঘরটির দৈর্ঘ্য হবে 3x=3×8=243x = 3 \times 8 = \mathbf{24} মিটার।
15

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    শুধু সমকোণে দ্বিখন্ডিত করে
  2. সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে
  3. গ
    সমকোণে অসমভাবে দ্বিখন্ডিত করে
  4. ঘ
    শুধু সমদ্বিখন্ডিত করে

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান। কর্ণদ্বয় কোণগুলোকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

ব্যাখ্যা

রম্বস হলো সেই চতুর্ভুজ, যার চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান। এর কর্ণদ্বয়ের প্রধান বৈশিষ্ট্য হলো:
১. তারা পরস্পরকে সমকোণে (90∘\mathbf{90^\circ}) ছেদ করে।
২. তারা পরস্পরকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে (সমদ্বিখন্ডিত করে)।
অতএব, রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে। অপশন (খ) সঠিক।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
16

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৬:৮:১০ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রী?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    55
  2. খ
    65
  3. 75
  4. ঘ
    45

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ধরি, তিনটি কোণ যথাক্রমে 6x, 8x, ও  10x  

∴ 6x   +   8x   +   10x  = 180 ডিগ্রি ⇒24x=180°⇒x=7.5°

.'. x=7.5° ∴ বৃহত্তম কোণের পরিমাণ =10×7.5°=75°

ব্যাখ্যা

এই ধরনের অনুপাতের সমস্যা সমাধানের জন্য, প্রথমে আমাদের ত্রিভুজের মৌলিক সূত্রটি মনে রাখতে হবে।
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি সর্বদা ১৮০ ডিগ্রি হয়।
এখানে কোণগুলোর অনুপাত দেওয়া আছে ৬:৮:১০। আমরা প্রথমে অনুপাতের অংশগুলোর যোগফল বের করব: ৬+৮+১০=২৪৬ + ৮ + ১০ = \textbf{২৪}।
যেহেতু বৃহত্তম কোণের পরিমাণ জানতে চাওয়া হয়েছে, তাই আমরা অনুপাতের বৃহত্তম অংশটি (১০) ব্যবহার করব।
অতএব, বৃহত্তম কোণটির পরিমাণ হবে: ১০২৪\frac{১০}{২৪} অংশ ×\times ১৮০ ডিগ্রি।
গণনা করলে আমরা পাই: ১০২৪×১৮০=৭৫ ডিগ্রি\frac{১০}{২৪} \times ১৮০ = \textbf{৭৫ ডিগ্রি}।
17

যদি ( 6x-y, 13)= (1,3x+2y) হয়, তাহলে (x, y) = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    (2, 3)
  2. খ
    (3, 2)
  3. (1, 5)
  4. ঘ
    (5, 1)

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের প্রশ্নে যখন দুটি ক্রমজোড় (Ordered Pair) সমান বলা হয়, তখন তাদের প্রথম উপাদান দুটি সমান হবে এবং দ্বিতীয় উপাদান দুটিও সমান হবে।
অর্থাৎ, যদি (a,b)=(c,d)(a, b) = (c, d) হয়, তবে a=ca=c এবং b=db=d হবে।
১. প্রথম উপাদান সমান করে পাই: 6x−y=16x - y = 1 (সমীকরণ ১)
২. দ্বিতীয় উপাদান সমান করে পাই: 3x+2y=133x + 2y = 13 (সমীকরণ ২)
এখন আমরা অপনয়ন পদ্ধতি (Elimination Method) ব্যবহার করে সমাধান করব। সমীকরণ (১) কে 22 দ্বারা গুণ করে পাই: 12x−2y=212x - 2y = 2 (সমীকরণ ৩)
সমীকরণ (২) ও (৩) যোগ করে: (3x+2y)+(12x−2y)=13+2(3x + 2y) + (12x - 2y) = 13 + 2
15x=15⇒x=115x = 15 \Rightarrow x = 1
xx-এর মান সমীকরণ (১) এ বসিয়ে পাই: 6(1)−y=1⇒6−y=1⇒y=56(1) - y = 1 \Rightarrow 6 - y = 1 \Rightarrow y = 5
সুতরাং, নির্ণেয় মান $(x, y) = (1, 5)।
18

একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ৯ এবং ৭ম পদ ৬০ হলে ১২ তম পদটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    100
  2. 105
  3. গ
    108
  4. ঘ
    90

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d ও পদসংখ্যা n হলে,

n তম পদ = a + (n - 1) x d

বা, a + (৭ - 1) x ৯ = ৬০ 

বা, a = ৬

সুতরাং, ১২ তম পদ = ৬ + (১২ - ১) x ৯ = ১০৫

ব্যাখ্যা

এটি সমান্তর ধারার একটি সমস্যা। সমান্তর ধারার n তম পদ নির্ণয়ের সূত্র হলো:
nn তম পদ =a+(n−1)d= a + (n - 1)d
এখানে, প্রথম পদ =a= a (অজানা), সাধারণ অন্তর (d)=<strong>৯</strong>।(d) = <strong>৯</strong>।
৭ম পদ (T7)=<strong>৬০</strong>।(T_7) = <strong>৬০</strong>।
প্রথমে, ৭ম পদের সূত্রে মান বসিয়ে প্রথম পদ (a)(a) নির্ণয় করি:
T7=a+(৭−১)×৯=৬০T_7 = a + (৭ - ১) \times ৯ = ৬০
বা, a+৬×৯=৬০a + ৬ \times ৯ = ৬০
বা, a+৫৪=৬০a + ৫৪ = ৬০
অতএব, a=৬০−৫৪=<strong>৬</strong>a = ৬০ - ৫৪ = <strong>৬</strong> (প্রথম পদ)।
এখন, ১২ তম পদ (T12)(T_{12}) নির্ণয় করতে হবে:
T12=a+(১২−১)×dT_{12} = a + (১২ - ১) \times d
T12=৬+(১১)×৯T_{12} = ৬ + (১১) \times ৯
T12=৬+৯৯=<strong>১০৫</strong>।T_{12} = ৬ + ৯৯ = <strong>১০৫</strong>।
সঠিক উত্তর হলো ১০৫।
19

একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ২০২৫ বর্গমিটার। এর চারদিকে বেড়া আছে। বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২১০
  2. খ
    ২০০
  3. ১৮০
  4. ঘ
    ২২০

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটিতে বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য জানতে চাওয়া হয়েছে, যা মূলত বর্গাকার বাগানটির পরিসীমা (Perimeter)।
১. প্রথমে আমাদের এক বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে। বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)2(\text{বাহু})^2।
২. ক্ষেত্রফল ২০২৫ বর্গমিটার হওয়ায়, বাহুর দৈর্ঘ্য = ২০২৫\sqrt{২০২৫}।
৩. ২০২৫ এর বর্গমূল হলো ৪৫ মিটার।
৪. বেড়ার মোট দৈর্ঘ্য বা পরিসীমা = ৪×বাহুর দৈর্ঘ্য৪ \times \text{বাহুর দৈর্ঘ্য}।
৫. মোট দৈর্ঘ্য = ৪×৪৫=<strong>১৮০৪ \times ৪৫ = <strong>১৮০ মিটার।
সঠিক উত্তর হলো ১৮০।
20

যদি (x–y)২=১২ এবং xy = ১ হয়, তবে x২+y২= কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১১
  2. খ
    ১২
  3. গ
    ১৩
  4. ১৪

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি ক্লাসিক্যাল প্রশ্ন, যা সরাসরি সূত্র প্রয়োগের মাধ্যমে সমাধান করা যায়।
আমাদের খুঁজে বের করতে হবে x২+y২x^২+y^২ এর মান।
আমরা জানি, বর্গের রাশির মান নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:
x২+y২=(x–y)২+২xyx^২+y^২ = (x–y)^২ + ২xy (যখন x–yx–y এর মান দেওয়া থাকে)
প্রদত্ত মানগুলি বসিয়ে পাই:
(x–y)২=১২(x–y)^২ = ১২
xy=১xy = ১
সুতরাং, x২+y২=১২+২(১)x^২+y^২ = ১২ + ২(১)
x২+y২=১২+২x^২+y^২ = ১২ + ২
x২+y২=১৪x^২+y^২ = ১৪।
সঠিক উত্তর হলো ১৪।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
21

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত ৩ : ১। উহার পরিসীমা ২০০ মিটার হলে, আয়তাকার ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১৭৭৫
  2. ১৮৭৫
  3. গ
    ১৬৭৫
  4. ঘ
    ১৫৭৫

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের অনুপাতের সমস্যা সমাধানের জন্য প্রথমে অজানা চলক (xx) ধরে নিতে হবে।
১. দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ধারণ: যেহেতু অনুপাত 3:13:1, ধরা যাক দৈর্ঘ্য = 3x3x এবং প্রস্থ = xx।
২. পরিসীমা নির্ণয়: আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সূত্র হলো: 2×(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)2 \times (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)।
৩. প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী: 2×(3x+x)=2002 \times (3x + x) = 200 মিটার।
বা, 2×(4x)=2002 \times (4x) = 200
বা, 8x=2008x = 200
৪. xx এর মান: x=200/8=<strong>25x = 200 / 8 = <strong>25।
৫. দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ: দৈর্ঘ্য = 3×25=<strong>753 \times 25 = <strong>75 মিটার।
প্রস্থ = 1×25=<strong>251 \times 25 = <strong>25 মিটার।
৬. ক্ষেত্রফল নির্ণয়: ক্ষেত্রফলের সূত্র: দৈর্ঘ্য×প্রস্থদৈর্ঘ্য \times প্রস্থ।
ক্ষেত্রফল = 75×25=<strong>187575 \times 25 = <strong>1875 বর্গমিটার।
22

যদি x+y=১৭,xy=৬০ হয়, তবে x–y এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ৭
  2. খ
    ৮
  3. গ
    ৯
  4. ঘ
    ৫

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

আমরা জানি, (x−y)2=(x+y)2−4xy =(17)2−4×60 =289−240 =49 ∴x−y=7

ব্যাখ্যা

এই ধরনের মান নির্ণয়ের প্রশ্নের ক্ষেত্রে সরাসরি সূত্র ব্যবহার করতে হয়। এখানে আমাদের দেওয়া আছে (x+y)(x+y) এবং xyxy এর মান, এবং বের করতে হবে (x−y)(x-y) এর মান।
আমরা জানি বর্গের অন্তরফলের সূত্র হলো: (x−y)2=(x+y)2−4xy(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy।
প্রদত্ত মানগুলো সূত্রে বসিয়ে পাই:
(x-y)2=(17)2−4×60\text{(x-y)}^2 = (17)^2 - 4 \times 60
(x-y)2=289−240\text{(x-y)}^2 = 289 - 240
(x-y)2=49\text{(x-y)}^2 = 49
সুতরাং, x−y=49=<strong>৭</strong>x-y = \sqrt{49} = <strong>৭</strong>।
23

a−1/a=3 হলে, a2+1/a2 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    12
  2. খ
    14
  3. গ
    16
  4. 11

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি অত্যন্ত সাধারণ ও গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন। এই ধরনের অঙ্ক করার জন্য আমাদের a2+b2a^2+b^2 এর অনুসিদ্ধান্ত ব্যবহার করতে হবে।
এখানে bb এর জায়গায় রয়েছে 1/a1/a। যেহেতু প্রশ্নে (a−1/aa - 1/a) এর মান দেওয়া আছে, তাই আমরা বিয়োগের সূত্রটি ব্যবহার করব।
আমরা জানি, a2+b2=(a−b)2+2aba^2+b^2 = (a-b)^2 + 2ab।
সুতরাং, আমরা পাই: a2+1a2=(a−1a)2+2⋅a⋅1aa^2+\frac{1}{a^2} = (a-\frac{1}{a})^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a}
এখানে a−1a=3a-\frac{1}{a} = 3 (প্রদত্ত)। aa এবং 1/a1/a কেটে গিয়ে শুধু 2 অবশিষ্ট থাকে।
মান বসিয়ে পাই: (3)2+2(3)^2 + 2
বা, 9+2=119 + 2 = 11
অতএব, সঠিক মান হলো 11।
24

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ সংলগ্ন কোণ দুটির প্রত্যেকটি-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    স্থুলকোণ
  2. খ
    সরল কোণ
  3. সূক্ষ্মকোণ
  4. ঘ
    পূরক কোণ

সঠিক উত্তর: গ

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, যে কোনো ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি হলো 180∘180^{\circ}।
সমকোণী ত্রিভুজে (Right-angled triangle) একটি কোণ সর্বদা সমকোণ বা 90∘90^{\circ} হয়।
সুতরাং, বাকি দুটি কোণের সমষ্টি হবে 180∘−90∘=90∘180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}।
এই বাকি দুটি কোণই হলো অতিভুজ সংলগ্ন কোণ। যেহেতু তাদের সমষ্টি 90∘90^{\circ} এবং কোনো কোণই 0∘0^{\circ} বা 90∘90^{\circ} হতে পারে না, তাই প্রতিটি কোণ অবশ্যই 90∘90^{\circ} অপেক্ষা ছোট হবে।
যে কোণের পরিমাপ 0∘0^{\circ} অপেক্ষা বেশি কিন্তু 90∘90^{\circ} অপেক্ষা কম, তাকে সূক্ষ্মকোণ (Acute angle) বলে।
সঠিক উত্তর হলো: সূক্ষ্মকোণ।
25

4x2+9y2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ রাশি হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 12xy
  2. খ
    24xy
  3. গ
    2xy
  4. ঘ
    6xy

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

রাশিটিকে পূর্ণ বর্গ করার জন্য আমাদের বীজগণিতের মৌলিক সূত্র (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 অথবা (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 আকারের রূপ দিতে হবে।
প্রদত্ত রাশি: 4x2+9y24x^2 + 9y^2
প্রথমে রাশিটির প্রথম ও দ্বিতীয় পদকে a2a^2 এবং b2b^2 আকারে সাজাই।
4x2=(2x)24x^2 = (2x)^2
এখানে, a=<strong>2x</strong>a = <strong>2x</strong>
9y2=(3y)29y^2 = (3y)^2
এখানে, b=<strong>3y</strong>b = <strong>3y</strong>
পূর্ণ বর্গ রাশি পেতে হলে আমাদের a2a^2 এবং b2b^2 এর সাথে <strong>+2ab<strong>+2ab অথবা −2ab-2ab যোগ (বা বিয়োগ) করতে হবে।
প্রয়োজনীয় পদটি হলো: 2ab=2×(2x)×(3y)=<strong>12xy</strong>2ab = 2 \times (2x) \times (3y) = <strong>12xy</strong>
অতএব, 4x2+9y24x^2 + 9y^2 এর সাথে 12xy যোগ করলে যোগফল (2x+3y)2(2x+3y)^2 একটি পূর্ণ বর্গ রাশি হবে।
ভর্তি পরীক্ষার্থীদের জন্য

বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষার প্রস্তুতিও নিন

ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়, বুয়েট ও মেডিকেলসহ ২৭+ ইউনিট-ভিত্তিক ভর্তি পরীক্ষার প্রশ্নব্যাংক ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর এডমিশন সেকশনে।

ভর্তি প্রশ্নব্যাংক দেখুন
26

কোন ৩টি বাহু দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২, ৪, ৫
  2. খ
    ৪, ৫, ৬
  3. ২, ৪, ৭
  4. ঘ
    ৩, ৪, ৬

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

আমরা জানি, ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর। আর ক্ষুদ্রতর সংখ্যা হলে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না। এ ক্ষেত্রে, ২ + ৪ = ৬ < ৭ সঠিক।

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজ গঠনের জন্য জ্যামিতির একটি মৌলিক শর্ত পূরণ করতে হয়, যা হলো—এর যেকোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি অবশ্যই তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে। এটি ত্রিভুজ অসমতা উপপাদ্য (Triangle Inequality Theorem) নামে পরিচিত।
যদি বাহুগুলোর সমষ্টি তৃতীয় বাহুর সমান বা তার চেয়ে ছোট হয়, তবে বাহুগুলো মিলিত হয়ে ত্রিভুজ গঠন করতে পারে না।
প্রদত্ত বিকল্পগুলো পরীক্ষা করলে দেখা যায়:
১. (২, ৪, ৫): ২+৪=৬>৫২ + ৪ = ৬ > ৫ (গঠন করা যাবে)
২. (৪, ৫, ৬): ৪+৫=৯>৬৪ + ৫ = ৯ > ৬ (গঠন করা যাবে)
৩. (২, ৪, ৭): ২+৪=৬২ + ৪ = ৬. যেহেতু ৬<৭৬ < ৭ (যোগফলটি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ছোট), তাই এই বাহুত্রয় দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না।
৪. (৩, ৪, ৬): ৩+৪=৭>৬৩ + ৪ = ৭ > ৬ (গঠন করা যাবে)
27

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমির দৈর্ঘ্য লম্বের দৈর্ঘ্য অপেক্ষা ১ মিটার কম এবং লম্ব অপেক্ষা অতিভুজের দৈর্ঘ্য ১ মিটার বেশি হলে ত্রিভুজটির অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ৩

  2. ৫

  3. গ

    ৬

  4. ঘ

    ৪

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagorean Theorem) সম্পর্কিত একটি সমস্যা। সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রধান সূত্র হলো: (লম্ব)2^2 + (ভূমি)2^2 = (অতিভুজ)2^2।
ধরি, ত্রিভুজটির লম্বের দৈর্ঘ্য = xx মিটার।
প্রশ্নানুসারে, ভূমির দৈর্ঘ্য লম্বের দৈর্ঘ্য অপেক্ষা ১ মিটার কম, সুতরাং ভূমির দৈর্ঘ্য = (x−1)(x - 1) মিটার।
অতিভুজের দৈর্ঘ্য লম্ব অপেক্ষা ১ মিটার বেশি, সুতরাং অতিভুজের দৈর্ঘ্য = (x+1)(x + 1) মিটার।
পিথাগোরাসের সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
(x−1)2+x2=(x+1)2(x - 1)^2 + x^2 = (x + 1)^2
⇒(x2−2x+1)+x2=(x2+2x+1)\Rightarrow (x^2 - 2x + 1) + x^2 = (x^2 + 2x + 1)
⇒2x2−2x+1=x2+2x+1\Rightarrow 2x^2 - 2x + 1 = x^2 + 2x + 1
⇒2x2−x2−2x−2x+1−1=0\Rightarrow 2x^2 - x^2 - 2x - 2x + 1 - 1 = 0
⇒x2−4x=0\Rightarrow x^2 - 4x = 0
⇒x(x−4)=0\Rightarrow x(x - 4) = 0
যেহেতু বাহুর দৈর্ঘ্য শূন্য হতে পারে না, তাই x−4=0x - 4 = 0, অর্থাৎ x=4x = 4 মিটার (লম্বের দৈর্ঘ্য)।
অতএব, অতিভুজের দৈর্ঘ্য =x+1=4+1=<strong>৫</strong>= x + 1 = 4 + 1 = <strong>৫</strong> মিটার।
28

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩। ত্রিভুজটি হবে –

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    সমবাহু
  2. খ
    সূক্ষ্মকোণী
  3. গ
    স্থূলকোণী
  4. সমকোণী

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি সর্বদা 180∘180^{\circ}।
প্রশ্নে কোণগুলোর অনুপাত দেওয়া আছে 1:2:31 : 2 : 3। অনুপাতগুলোর যোগফল: 1+2+3=<strong>6</strong>1+2+3 = <strong>6</strong> অংশ।
সুতরাং, প্রতিটি কোণের মান হবে:
প্রথম কোণ: 16×180∘=<strong>30∘\frac{1}{6} \times 180^{\circ} = <strong>30^{\circ}
দ্বিতীয় কোণ: 26×180∘=<strong>60∘\frac{2}{6} \times 180^{\circ} = <strong>60^{\circ}
তৃতীয় কোণ: 36×180∘=<strong>90∘\frac{3}{6} \times 180^{\circ} = <strong>90^{\circ}।
যে ত্রিভুজের একটি কোণ 90∘90^{\circ} বা এক সমকোণ, তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে। তাই সঠিক উত্তর (সমকোণী)।
29

একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ১৫০ মিটার ও ১০০ মিটার। বাগানটির দৈর্ঘ্য ২০% এবং প্রস্থ ১০% বৃদ্ধি করলে নতুন বাগানটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১৮৫০০
  2. খ
    ১৫৫০০
  3. গ
    ২০৫০০
  4. ১৯৮০০

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য আমাদের প্রথমে বৃদ্ধির পর নতুন দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পরিমাপ নির্ণয় করতে হবে, এবং তারপর তাদের গুণ করে নতুন ক্ষেত্রফল বের করতে হবে।
১. নতুন দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
মূল দৈর্ঘ্য ছিল ১৫০ মিটার। দৈর্ঘ্য ২০% বৃদ্ধি করা হয়েছে।
বৃদ্ধির পরিমাণ = ১৫০১৫০-এর ২০% = ১৫০×২০১০০=৩০১৫০ \times \frac{২০}{১০০} = ৩০ মিটার।
নতুন দৈর্ঘ্য = $১৫০ + ৩০ = ১৮০ মিটার।
২. নতুন প্রস্থ নির্ণয়:
মূল প্রস্থ ছিল ১০০ মিটার। প্রস্থ ১০% বৃদ্ধি করা হয়েছে।
বৃদ্ধির পরিমাণ = ১০০১০০-এর ১০% = ১০০×১০১০০=১০১০০ \times \frac{১০}{১০০} = ১০ মিটার।
নতুন প্রস্থ = $১০০ + ১০ = ১১০ মিটার।
৩. নতুন ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য ×\times প্রস্থ।
নতুন ক্ষেত্রফল = $১৮০ \times ১১০ = ১৯৮০০ বর্গমিটার।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ১৯৮০০ বর্গমিটার।
30

x−1/x=1 হলে, x3−1/x3 -এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 4
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    3

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি মৌলিক সমস্যা। আমরা a3−b3a^3 - b^3 এর উৎপাদকের সূত্র ব্যবহার করে মান নির্ণয় করব।
দেওয়া আছে: x−1x=1x - \frac{1}{x} = 1
নির্ণয় করতে হবে: x3−1x3x^3 - \frac{1}{x^3} এর মান।
সূত্র: a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)
এখানে, a=xa=x এবং b=1xb=\frac{1}{x} ধরে পাই:
x3−1x3=(x−1x)3+3⋅x⋅1x⋅(x−1x)x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot (x - \frac{1}{x})
এখন, প্রদত্ত মানগুলো বসাই:
x3−1x3=(1)3+3⋅(1)⋅(1)x^3 - \frac{1}{x^3} = (1)^3 + 3 \cdot (1) \cdot (1)
x3−1x3=1+3x^3 - \frac{1}{x^3} = 1 + 3
x3−1x3=<strong>4</strong>x^3 - \frac{1}{x^3} = <strong>4</strong>
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
31

x2+7x+p যদি x-5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে p এর মান কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    -30
  2. -60
  3. গ
    10
  4. ঘ
    30

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) ব্যবহার করা হয়।
উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে, যদি একটি বহুপদী রাশি f(x)f(x) অন্য একটি উৎপাদক (x−a)(x-a) দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য হয়, তবে ভাগশেষ শূন্য হবে, অর্থাৎ f(a)=0f(a) = 0 হতে হবে।
এখানে, f(x)=x2+7x+pf(x) = x^2+7x+p এবং উৎপাদক হলো x−5x-5।
অতএব, x−5=0x-5 = 0, অর্থাৎ x=5x = 5 ধরে আমরা মান নির্ণয় করব।
আমরা xx এর মান বহুপদী রাশিতে বসিয়ে পাই:
(5)2+7(5)+p=0(5)^2 + 7(5) + p = 0
25+35+p=025 + 35 + p = 0
60+p=060 + p = 0
সুতরাং, p=<strong>−60</strong>p = <strong>-60</strong>।
32

৪০ ডিগ্রি কোণের পূরক কোণ কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৩২০°
  2. ৫০°
  3. গ
    ১২০°
  4. ঘ
    ১৪০°

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

আমরা জানি, দুটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে কোণ দুটিকে একে অপরের পূরক কোণ বলে। ∴ ৪০° এর পূরক কোণ ৯০°–৪০°=৫০°হবে।

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, দুটি কোণের যোগফল যখন ৯০∘৯০^\circ (নব্বই ডিগ্রি বা এক সমকোণ) হয়, তখন কোণ দুটিকে একে অপরের পূরক কোণ বা অনুপূরক কোণ বলা হয়।
৪০ ডিগ্রি কোণের পূরক কোণ বের করার জন্য আমাদের ৯০° থেকে ৪০° বিয়োগ করতে হবে।
সুতরাং, ৪০° কোণের পূরক কোণ হবে: ৯০∘−৪০∘=<strong>৫০∘</strong>৯০^\circ - ৪০^\circ = <strong>৫০^\circ</strong>।
বিকল্প উত্তরগুলির মধ্যে ৩২০°, ১২০° ও ১৪০° ৯০° থেকে অনেক বেশি, তাই এগুলি ভুল উত্তর।
33

একটি ত্রিভুজের ৩টি বাহুর দৈর্ঘ্য ৪, ৫ এবং ৩ হলে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২০
  2. খ
    ১২
  3. গ
    ৮
  4. ৬

সঠিক উত্তর: ঘ

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য প্রথমে ত্রিভুজটি কী ধরনের, তা নির্ণয় করতে হবে।
ত্রিভুজের বাহুগুলো হলো ৪, ৫ এবং ৩। আমরা যদি বাহুগুলোর বর্গ করি: ৪২=১৬৪^২ = ১৬, ৩২=৯৩^২ = ৯, এবং ৫২=২৫৫^২ = ২৫।
যেহেতু ক্ষুদ্রতম দুই বাহুর বর্গের যোগফল বৃহত্তম বাহুর বর্গের সমান (৯+১৬=২৫৯ + ১৬ = ২৫), তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ (Right-angled triangle)।
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: ১/২×ভূমি×উচ্চতা১/২ \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}।
এখানে ভূমি এবং উচ্চতা হলো সমকোণ সংলগ্ন বাহু দুটি, অর্থাৎ ৪ এবং ৩।
ক্ষেত্রফল = ১/২×৪×৩=১২২=<strong>৬</strong>১/২ \times ৪ \times ৩ = \frac{১২}{২} = <strong>৬</strong> বর্গ একক।
34

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ১৬ বর্গমিটার, পরিধি ৮ মিটার। এর ব্যাসার্ধ কত মিটার?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ৪
  2. খ
    ৩
  3. গ
    ২
  4. ঘ
    ৫

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য বৃত্তের ক্ষেত্রফল এবং পরিধির মধ্যে যে সম্পর্ক রয়েছে, তা ব্যবহার করা সবচেয়ে সহজ।
আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল (A\mathbf{A}) = πr2\pi r^2 এবং পরিধি (C\mathbf{C}) = 2πr2\pi r।
যদি আমরা ক্ষেত্রফলকে পরিধি দিয়ে ভাগ করি, তবে ব্যাসার্ধ (r\mathbf{r}) এবং 2\mathbf{2}-এর মধ্যে সম্পর্ক পাই:
AC=πr22πr=r2\frac{A}{C} = \frac{\pi r^2}{2\pi r} = \frac{r}{2}
সুতরাং, ব্যাসার্ধ r=2×AC\mathbf{r} = 2 \times \frac{A}{C}
এখানে, ক্ষেত্রফল (AA) = ১৬ এবং পরিধি (CC) = ৮।
r=2×168\mathbf{r} = 2 \times \frac{16}{8}
r=2×2=4\mathbf{r} = 2 \times 2 = \mathbf{4} মিটার।
সঠিক উত্তর হলো ৪।
35

x−1/x=2 হলে, x4+(1/x)4= কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    35
  2. খ
    32
  3. গ
    33
  4. 34

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি ক্লাসিক সমস্যা, যা প্রাইমারি পরীক্ষায় খুবই কমন। আমাদের ধাপে ধাপে মান বের করতে হবে।

প্রথম ধাপ: বর্গ নির্ণয় (প্রথমবার)
দেওয়া আছে, x−1x=2x - \frac{1}{x} = 2।
আমরা প্রথমে x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} এর মান বের করব। উভয় পক্ষকে বর্গ করলে পাই:
(x−1x)2=22(x - \frac{1}{x})^2 = 2^2
বা, x2+(1x)2−2⋅x⋅1x=4x^2 + (\frac{1}{x})^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 4 [সূত্র: (a−b)2=a2+b2−2ab(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab]
বা, x2+1x2−2=4x^2 + \frac{1}{x^2} - 2 = 4
সুতরাং, x2+1x2=4+2=6x^2 + \frac{1}{x^2} = 4 + 2 = 6

দ্বিতীয় ধাপ: বর্গ নির্ণয় (দ্বিতীয়বার)
এবার আমরা প্রাপ্ত মান x2+1x2=6x^2 + \frac{1}{x^2} = 6 কে আবার বর্গ করব।
(x2+1x2)2=62(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 6^2
বা, (x2)2+(1x2)2+2⋅x2⋅1x2=36(x^2)^2 + (\frac{1}{x^2})^2 + 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^2} = 36 [সূত্র: (a+b)2=a2+b2+2ab(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab]
বা, x4+1x4+2=36x^4 + \frac{1}{x^4} + 2 = 36
সুতরাং, x4+1x4=36−2=34x^4 + \frac{1}{x^4} = 36 - 2 = 34
সঠিক উত্তর হলো 34।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
36

y এর মান কত হলে 16x2–xy+25 একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    36
  2. খ
    64
  3. গ
    49
  4. 40

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

একটি রাশিকে পূর্ণবর্গ হতে হলে, তা অবশ্যই (A+B)2(A + B)^2 অথবা (A−B)2(A - B)^2 আকারে থাকতে হবে।
এখানে প্রদত্ত রাশিটি হলো 16x2–xy+2516x^2 – xy + 25। এটিকে আমরা (A−B)2(A - B)^2 এর সাথে তুলনা করব, কারণ মধ্যপদে বিয়োগ চিহ্ন (-) আছে।
পূর্ণবর্গ রাশির সূত্র: (A−B)2=A2−2AB+B2(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2
প্রদত্ত রাশিতে:
প্রথম পদ A2=16x2A^2 = 16x^2। সুতরাং, $A = \sqrt{16x^2} = 4x।
শেষ পদ B2=25B^2 = 25। সুতরাং, $B = \sqrt{25} = 5।
পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য মধ্যপদ −xy-xy অবশ্যই −2AB-2AB এর সমান হতে হবে।
মধ্যপদ $-2AB = -2(4x)(5) = -40x।
সুতরাং, −xy=−40x-xy = -40x
$y = 40।
অর্থাৎ, yy এর মান 40 হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে: 16x2–40x+25=(4x−5)216x^2 – 40x + 25 = (4x - 5)^2।
37

সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ১৩ : ১২ : ৫
  2. খ
    ৬ : ৪ : ৩
  3. গ
    ৬ : ৫ : ৩
  4. ঘ
    ১২ : ৮ : ৪

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত বা দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করা হয় পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagorean Theorem) দ্বারা।
এই উপপাদ্য অনুসারে, যদি aa এবং bb সমকোণ সংলগ্ন দুটি বাহু হয় এবং cc অতিভুজ (Hypotenuse) হয়, তবে সম্পর্কটি হলো: a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2।
যে অনুপাতগুলো এই শর্তটি পূরণ করে, সেগুলোকে পিথাগোরীয় ত্রয়ী (Pythagorean Triplets) বলা হয়।
প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে, শুধুমাত্র ১৩ : ১২ : ৫ এই শর্তটি পূরণ করে।
আমরা যাচাই করি (ক্ষুদ্রতম দুই বাহুর বর্গের যোগফল = বৃহত্তম বাহুর বর্গ):
৫২+১২২=২৫+১৪৪=১৬৯৫^২ + ১২^২ = ২৫ + ১৪৪ = ১৬৯
১৩২=১৬৯১৩^২ = ১৬৯
যেহেতু ৫২+১২২=১৩২৫^২ + ১২^২ = ১৩^২, তাই অনুপাতটি সঠিক।
38

স্থুলকোণী ত্রিভুজের স্থুলকোণের সংখ্যা-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৩টি
  2. খ
    কোনোটিই নয়
  3. ১টি
  4. ঘ
    ২টি

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

যে ত্রিভুজের একটি কোণ স্থুলকোণ অর্থাৎ ৯০৯০∘ অপেক্ষা বৃহত্তর তাকে স্থুলকোণী ত্রিভুজ বলে। একটি স্থুলকোণী ত্রিভুজের স্থুলকোণ ব্যতিত বাকি দুটি কোণ অবশ্যই সূক্ষ্মকোণ।

ব্যাখ্যা

স্থুলকোণী ত্রিভুজকে ইংরেজিতে Obtuse-angled Triangle বলা হয়।
সংজ্ঞা অনুসারে, যে ত্রিভুজের মাত্র একটি কোণ 90∘90^\circ (সমকোণ) অপেক্ষা বৃহত্তর বা স্থুলকোণ, তাকে স্থুলকোণী ত্রিভুজ বলে।
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180∘180^\circ। যদি একটি কোণ 90∘90^\circ এর বেশি হয়, তবে বাকি দুটি কোণের সমষ্টি 180∘180^\circ অপেক্ষা অনেক কম হবে। তাই বাকি দুটি কোণ অবশ্যই 90∘90^\circ এর কম হবে (অর্থাৎ সূক্ষ্মকোণ হবে)।
সুতরাং, একটি ত্রিভুজে একটির বেশি স্থুলকোণ বা সমকোণ থাকা সম্ভব নয়।
39

32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 5
  2. খ
    6
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি লগারিদম (Logarithm)-এর মূল সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে তৈরি।
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি loga(x)=ylog_a(x) = y হয়, তবে এর মানে হলো ay=xa^y = x। অর্থাৎ, a-এর উপর কত পাওয়ার বা ঘাত দিলে x পাওয়া যায়, সেটিই হলো y।
এখানে প্রশ্ন করা হয়েছে: log2(32)log_2(32) কত? এর অর্থ হলো, 2-কে কত পাওয়ার দিলে 32 হবে?
আমরা জানি:
→21=2\rightarrow 2^1 = 2
→22=4\rightarrow 2^2 = 4
→23=8\rightarrow 2^3 = 8
→24=16\rightarrow 2^4 = 16
→25=32\rightarrow 2^5 = 32
যেহেতু 25=322^5 = 32, তাই log2(32)=5log_2(32) = 5।
সঠিক উত্তর হলো 5।
40

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় ৩ ও ৪ সে.মি. হলে এর অতিভুজের মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ৫ সে.মি.
  2. খ
    ৭ সে.মি
  3. গ
    ৮ সে.মি
  4. ঘ
    ৪ সে.মি

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি মৌলিক প্রশ্ন, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagorean Theorem) ব্যবহার করে সমাধান করতে হয়।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজের বর্গ হলো সমকোণ সংলগ্ন অন্য দুটি বাহুর (লম্ব ও ভূমি) বর্গের যোগফলের সমান।
সূত্রটি হলো: (অতিভুজ)2^2 = (লম্ব)2^2 + (ভূমি)2^2।
এখানে, লম্ব = ৩ সে.মি. এবং ভূমি = ৪ সে.মি.।
অতিভুজ2^2 = 32+423^2 + 4^2
অতিভুজ2^2 = 9+16=259 + 16 = 25
অতএব, অতিভুজ = 25\sqrt{25} = ৫ সে.মি.
ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য

ক্লাস ৬-১২ একাডেমিক প্রস্তুতিও নিন

ক্লাস ৬-১২, এসএসসি ও এইচএসসির সব বিষয়ের বোর্ড প্রশ্ন, অধ্যায়ভিত্তিক প্র্যাকটিস, লাইভ পরীক্ষা ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর একাডেমিক সেকশনে।

একাডেমিক প্রস্তুতি দেখুন
41

a+b+c=9,a2+b2+c2=29 হলে, ab+bc+ca= কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    25
  2. 26
  3. গ
    28
  4. ঘ
    30

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

আমরা জানি, a2+b2+c2=(a+b+c)2–2(ab+bc+ca) ⇒2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2–(a2+b2+c2) ⇒2(ab+bc+ca)=92–29 ⇒2(ab+bc+ca)=81−29 ⇒(ab+bc+ca)=52/2 ∴(ab+bc+ca)=26

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ একটি সূত্রের সরাসরি প্রয়োগ।
আমাদের প্রদত্ত রাশিগুলোর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপনকারী সূত্রটি হলো: (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)
এখানে, a+b+c=9a+b+c=9 এবং a2+b2+c2=29a^2+b^2+c^2=29 এর মান বসাতে হবে।
92=29+2(ab+bc+ca)9^2 = 29 + 2(ab+bc+ca)
81=29+2(ab+bc+ca)81 = 29 + 2(ab+bc+ca)
প্রথমে, 2(ab+bc+ca)=81−29=522(ab+bc+ca) = 81 - 29 = 52
সুতরাং, (ab+bc+ca)=522=<strong>26</strong>(ab+bc+ca) = \frac{52}{2} = <strong>26</strong>
42

দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ২ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলে যাচ্ছে। তারা একে অন্যের সাথে মিলিত হবে কত মিটার দূরে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২০০
  2. খ
    ৪০০
  3. গ
    ৬০০
  4. কখনই নয়

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

দুটি লাইন একে অন্যের থেকে নির্দিষ্ট দূরত্ব বজায় রেখে সমান্তরালভাবে চললে ওরা কখনোই একে অন্যের সাথে মিলিত হবে না।

ব্যাখ্যা

এটি জ্যামিতির একটি মৌলিক সংজ্ঞাভিত্তিক প্রশ্ন।
সমান্তরাল রেখা (Parallel Lines)-এর সংজ্ঞা অনুযায়ী, দুটি রেখা তখনই সমান্তরাল হয় যখন তারা একই সমতলে অবস্থান করে এবং সর্বদা একে অপরের থেকে সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলে।
এই রেখাগুলি যত দূর পর্যন্তই চলুক না কেন, তারা কখনো একে অন্যের সাথে মিলিত হবে না (বা ছেদ করবে না)।
অতএব, দূরত্ব ২ মিটার হোক বা ২০০০ মিটার, যেহেতু রেখা দুটি সমান্তরাল, তাই তারা কখনোই মিলিত হবে না। সঠিক উত্তর: কখনই নয়।
43

ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    সমকোণী
  2. খ
    বিষমবাহু
  3. সমদ্বিবাহু
  4. ঘ
    সমবাহু

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: সমদ্বিবাহু।
আমরা জানি, ত্রিভুজের একটি অন্তঃস্থ কোণ এবং তার সন্নিহিত বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি সর্বদা 180∘180^\circ (সরলকোণ)।
প্রশ্নানুসারে, যদি একটি বাহুকে বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান হয়, তবে তাদের সন্নিহিত অন্তঃস্থ কোণগুলোও অবশ্যই সমান হবে। কারণ:
অন্তঃস্থ কোণ=180∘−বহিঃস্থ কোণ\text{অন্তঃস্থ কোণ} = 180^\circ - \text{বহিঃস্থ কোণ}
যেহেতু বহিঃস্থ কোণদ্বয় সমান, তাই 180∘180^\circ থেকে সমান মান বিয়োগ করলে যে অন্তঃস্থ কোণদ্বয় পাওয়া যায়, তারাও পরস্পর সমান।
জ্যামিতির নিয়ম অনুসারে, যদি একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান হয়, তবে তাদের বিপরীত বাহুদ্বয়ও পরস্পর সমান হয়।
যে ত্রিভুজের দুটি বাহু সমান, তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles Triangle) বলে।
44

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ এবং ক্ষেত্রফল ৭৬৮ বর্গমিটার। বর্গক্ষেত্রটির একবাহুর দৈর্ঘ্য কত মিটার?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৩৩
  2. খ
    ৩০
  3. গ
    ৩১
  4. ৩২

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ধাপ ১: আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয়।
ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ (Breadth) = xx মিটার।
অতএব, দৈর্ঘ্য (Length) = ৩x৩x মিটার।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (Area) = দৈর্ঘ্য ×\times প্রস্থ = ৩x⋅x=3x2৩x \cdot x = 3x^2 বর্গমিটার।
প্রশ্নমতে, 3x2=7683x^2 = 768
x2=768/3=256x^2 = 768 / 3 = 256
x=256=16x = \sqrt{256} = 16 মিটার।
সুতরাং, প্রস্থ x=16x = 16 মিটার এবং দৈর্ঘ্য ৩x=3×16=48৩x = 3 \times 16 = 48 মিটার।
ধাপ ২: আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয়।
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা (Perimeter) = 2×(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)2 \times (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
পরিসীমা = 2×(48+16)=2×64=1282 \times (48 + 16) = 2 \times 64 = 128 মিটার।
ধাপ ৩: বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়।
প্রশ্নমতে, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 128 মিটার।
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4×(একবাহুরদৈর্ঘ্য)4 \times (একবাহুর দৈর্ঘ্য)।
সুতরাং, বর্গক্ষেত্রটির একবাহুর দৈর্ঘ্য = 128/4=<strong>32</strong>128 / 4 = <strong>32</strong> মিটার।
45

দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় ও চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে বলে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    স্থূলকোণ
  2. প্রবৃদ্ধকোণ
  3. গ
    সম্পূরক কোণ
  4. ঘ
    বিপ্রতীপ কোণ

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

জ্যামিতিতে কোণের পরিমাপকে সমকোণের (90∘90^{\circ}) সাপেক্ষে সংজ্ঞায়িত করা হয়।
এখানে বলা হয়েছে— কোণটি দুই সমকোণ অপেক্ষা বড়, অর্থাৎ 180∘180^{\circ} অপেক্ষা বড়।
এবং কোণটি চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট, অর্থাৎ 360∘360^{\circ} অপেক্ষা ছোট।
যে কোণের মান 180∘180^{\circ} এর চেয়ে বেশি কিন্তু 360∘360^{\circ} এর চেয়ে কম, তাকে প্রবৃদ্ধকোণ (Reflex Angle) বলে।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো প্রবৃদ্ধকোণ।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
46

a ও b দুটি পূর্ণ সংখ্যা হলে, a2+b2 এর সাথে কোন সংখ্যাটি যোগ করলে পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3ab
  2. খ
    – ab
  3. গ
    ab
  4. 2ab

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

a ও b দুইটি পূর্ণ সংখ্যা হলে a2+b2 এর সাথে 2ab যোগ করলে পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে । কারণ, a2+b2+2ab=(a+b)2

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের একটি মৌলিক সূত্রের প্রয়োগ। যেকোনো রাশিকে পূর্ণবর্গ সংখ্যা (Perfect Square) বানাতে হলে সেটি (a+b)2(a+b)^2 অথবা (a−b)2(a-b)^2 আকারের হতে হবে।
আমরা জানি, পূর্ণবর্গ রাশি (a+b)2(a+b)^2 এর সূত্র হলো: a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2।
প্রশ্নে a2+b2a^2+b^2 দেওয়া আছে। এর সাথে যদি 2ab2ab যোগ করা হয়, তাহলে রাশিটি দাঁড়ায়: a2+b2+2aba^2 + b^2 + 2ab, যা কিনা (a+b)2(a+b)^2 এর সমান।
যেহেতু (a+b)2(a+b)^2 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা, তাই সঠিক উত্তরটি হবে 2ab2ab।
47

x+y = 7 এবং xy = 10 হলে, (x−y)2 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4
  2. 9
  3. গ
    6
  4. ঘ
    12

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

দেওয়া আছে, x + y = 7 এবং xy = 10 আমরা জানি, (x–y)2=(x+y)2–4xy=(7)2–4.10=49−40=9

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি ক্লাসিক সমস্যা। এখানে (x−y)2(x−y)^2 এর মান জানতে চাওয়া হয়েছে, যেখানে x+yx+y এবং xyxy এর মান দেওয়া আছে।
আমাদের বীজগণিতের অনুসিদ্ধান্তটি জানতে হবে: (a−b)2=(a+b)2−4ab(a−b)^2 = (a+b)^2 − 4ab।
প্রশ্ন অনুযায়ী, a=xa=x এবং b=yb=y ধরলে সূত্রটি দাঁড়ায়:
(x−y)2=(x+y)2−4xy(x−y)^2 = (x+y)^2 − 4xy।
এখন প্রদত্ত মানগুলি বসাই: x+y=7x+y = 7 এবং xy=10xy = 10
(x−y)2=(7)2−4(10)(x−y)^2 = (7)^2 − 4(10)
(x−y)2=49−40(x−y)^2 = 49 − 40
(x−y)2=9(x−y)^2 = 9।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 9।
48

একটি সরলরেখার সাথে একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ৯০∘

  2. খ

    ১৬০∘

  3. ১৮০∘

  4. ঘ

    ১২০∘

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তরটি হলো ১৮০∘।
জ্যামিতির নিয়ম অনুযায়ী, যখন কোনো একটি সরলরেখার (Straight Line) উপর অন্য একটি রেখাংশ (Ray) মিলিত হয় বা দণ্ডায়মান হয়, তখন ওই সরলরেখার উভয় পাশে যে দুটি কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি সর্বদা ১৮০ ডিগ্রি হয়।
এই ধরনের কোণগুলিকে রৈখিক যুগল কোণ (Linear Pair of Angles) অথবা সন্নিহিত কোণ বলা হয়, যাদের সমষ্টি এক সরলকোণের সমান।
(90∘90^\circ হলে তাকে পূরক কোণ বা সমকোণ বলা হয়, কিন্তু সরলরেখার উপর উৎপন্ন কোণের সমষ্টি 180∘180^\circ হবে।)
তাই, সমষ্টি হবে 180∘180^\circ।
49

একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গ একক। সমকোণ সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের একটির দৈর্ঘ্য ১২ একক হলে অপরটি কত একক?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ১৫

  2. খ

    ৩০

  3. ২৪

  4. ঘ

    ২০

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত প্রশ্ন।
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো: ক্ষেত্রফল=12×সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \times \text{সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল}।
এখানে সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় হলো ত্রিভুজটির ভূমি (base) এবং উচ্চতা (height)।
ধরি, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য 'h' একক।
প্রশ্নানুসারে:
144=12×12×h144 = \frac{1}{2} \times 12 \times h
144=6h144 = 6h
h=1446h = \frac{144}{6}
h=24h = 24
অতএব, অপর বাহুর দৈর্ঘ্য হলো ২৪ একক।
50

a-[a-a-(a-1)] =?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    2a+1
  2. 2a – 1
  3. গ
    1
  4. ঘ
    -1

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

a–[a–a–(a–1)] =a−[a−a−a+1]=a−[−a+1] =a+a−1=2a−1

ব্যাখ্যা

এই ধরনের বীজগাণিতিক সরলীকরণের জন্য আমাদের অবশ্যই সরলীকরণের নিয়ম (BODMAS) কঠোরভাবে মেনে চলতে হবে, যেখানে প্রথমে বন্ধনীর ভেতরের কাজ সম্পন্ন করা হয়।

প্রদত্ত রাশি: a−[a−a−(a−1)]a-[a-a-(a-1)]

১. ভেতরের বন্ধনীর কাজ: প্রথমে প্রথম বন্ধনীর কাজ করুন। −(a−1)-(a-1) এর আগে বিয়োগ চিহ্ন থাকায় ভেতরের চিহ্ন পাল্টে যায়: −a+1-a + 1

২. দ্বিতীয় বন্ধনীর ভেতরের সরলীকরণ: বন্ধনীর ভেতরের রাশিটি দাঁড়ায় a−a−a+1a-a-a+1. এটিকে সরল করলে হয়: 0−a+1=<strong>−a+10-a+1 = <strong>-a+1

৩. চূড়ান্ত সরলীকরণ: এবার বাইরের বন্ধনী অপসারণ করুন: a−[−a+1]a - [-a + 1]. বাইরের বিয়োগ চিহ্নের জন্য ভেতরের সব চিহ্ন পাল্টে যাবে। a−(−a)−1a - (-a) - 1

a+a−1=<strong>2a−1a + a - 1 = <strong>2a - 1।

সঠিক উত্তর হলো অপশন (খ) 2a–12a – 1।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
51

x3=64হলে, x এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3
  2. 4
  3. গ
    5
  4. ঘ
    6

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

x3=64 ⇒x3=43∴x=4

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমস্যাটি হলো x3=64x^3=64। এখানে xx এর মান বের করতে হলে আমাদের 64-এর ঘনমূল (Cube Root) নির্ণয় করতে হবে।
বীজগণিতের সূত্র অনুযায়ী, যদি x3=ax^3 = a হয়, তাহলে x=a13x = a^{\frac{1}{3}}।
আমরা জানি, 4×4=164 \times 4 = 16 এবং 16×4=6416 \times 4 = 64।
অর্থাৎ, 43=644^3=64।
সমীকরণে বসিয়ে পাই: x3=43x^3 = 4^3।
সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, ভিত্তি সমান করতে পারলে সূচক বা ঘাত সমান হয়, অথবা সূচক সমান হলে ভিত্তি সমান হয়।
সুতরাং, x=4x = 4।
52

a+b=9,a-b=7 হলে, ab কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    7
  2. খ
    6
  3. গ
    9
  4. 8

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি ক্লাসিক সমস্যা। এখানে a+ba+b এবং a−ba-b-এর মান দেওয়া আছে, এবং abab-এর মান বের করতে হবে।
আমরা সরাসরি abab-এর সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি, যা হলো: ab=(a+b)2−(a−b)24ab = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}।
প্রথমে প্রদত্ত মানগুলি বসাই:
(a+b)2=92=81(a+b)^2 = 9^2 = 81
(a−b)2=72=49(a-b)^2 = 7^2 = 49
এখন, 4ab=(a+b)2−(a−b)24ab = (a+b)^2 - (a-b)^2
4ab=81−494ab = 81 - 49
4ab=324ab = 32
সুতরাং, ab=324ab = \frac{32}{4} বা 88।
সঠিক উত্তর হলো (ঘ) 88।
53

x4+x2+1 এর একটি উৎপাদক x2+x+1 হলে অপরটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    x²−1
  2. খ
    x²+x+1
  3. x²−x+1
  4. ঘ
    x²+1

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের উৎপাদকের একটি বহুল ব্যবহৃত সূত্র। আমাদের প্রদত্ত রাশিটি হলো x4+x2+1x^4+x^2+1।
এই রাশিটিকে আমরা a2−b2a^2-b^2 আকারে প্রকাশ করতে পারি।
আমরা লিখি: x4+x2+1=x4+2x2+1−x2x^4+x^2+1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2।
এখানে, প্রথম তিনটি পদ (x2)2+2(x2)(1)+(1)2=(x2+1)2(x^2)^2 + 2(x^2)(1) + (1)^2 = (x^2+1)^2 এর সূত্র পূরণ করে।
সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়: (x2+1)2−x2(x^2+1)^2 - x^2
এখন a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2 = (a+b)(a-b) সূত্র ব্যবহার করে পাই:
(x2+1−x)(x2+1+x)(x^2+1-x)(x^2+1+x)
বা, (x2−x+1)(x2+x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)।
যেহেতু একটি উৎপাদক x2+x+1x^2+x+1 দেওয়া আছে, তাই অপর উৎপাদকটি হবে x2−x+1x^2-x+1।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো x²−x+1।
54

log8⁡2= কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    12\frac{1}{2}
  2. খ
    23\frac{2}{3}
  3. 13\frac{1}{3}
  4. ঘ
    11

সঠিক উত্তর: গ

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি লগারিদম (Logarithm) সংক্রান্ত। লগারিদমের মূল সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি log⁡ba=x\log_b a = x হয়, তবে ভিত্তি (base) bb এর পাওয়ার xx হলে তা aa এর সমান হবে, অর্থাৎ bx=ab^x = a।
এখানে, আমরা ধরে নিই log⁡82=x\log_8 2 = x।
সংজ্ঞা অনুযায়ী আমরা পাই: 8x=28^x = 2।
এখন, ভিত্তি 8 কে ভিত্তি 2 এর মাধ্যমে প্রকাশ করি। আমরা জানি 8=238 = 2^3।
মান বসিয়ে পাই: (23)x=21(2^3)^x = 2^1 বা 23x=212^{3x} = 2^1
যেহেতু উভয় পক্ষের ভিত্তি (2) একই, তাই পাওয়ারগুলো (সূচক) সমান হবে: 3x=13x = 1
অতএব, x=13x = \frac{1}{3}।
সঠিক উত্তর হলো 13\frac{1}{3}।
55

x2−3x−2 কে x+1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কী হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 2
  2. খ
    6
  3. গ
    4
  4. ঘ
    0

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের ভাগশেষ নির্ণয়ের জন্য আমরা 'ভাগশেষ উপপাদ্য' (Remainder Theorem) ব্যবহার করব।
যদি P(x)P(x) একটি বহুপদী রাশি হয় এবং এটিকে (x−a)(x-a) দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে P(a)P(a)।
এখানে ভাজ্য P(x)=x2−3x−2P(x) = x^2 - 3x - 2 এবং ভাজক হলো x+1x+1 বা x−(−1)x - (-1)।
সুতরাং, আমরা xx-এর মান বসাবো x=−1x = -1।
আমরা মান বসিয়ে পাই: P(−1)=(−1)2−3(−1)−2P(-1) = (-1)^2 - 3(-1) - 2
P(−1)=1+3−2P(-1) = 1 + 3 - 2
P(−1)=4−2=2P(-1) = 4 - 2 = 2।
অতএব, নির্ণেয় ভাগশেষ হলো 2।
56

2 + 4 + 8 + 16 + ...........এই ধারাটির কততম পদের মান 128?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    6
  2. খ
    5
  3. গ
    8
  4. 7

সঠিক উত্তর: ঘ

ব্যাখ্যা

এই ধারাটি হলো একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression), কারণ প্রতিটি পদের সঙ্গে পূর্ববর্তী পদের অনুপাত (সাধারণ অনুপাত) সমান।
এখানে, প্রথম পদ a=2a = 2
সাধারণ অনুপাত r=42=2r = \frac{4}{2} = 2
ধরি, nn তম পদ Tn=128T_n = 128
গুণোত্তর ধারার nn তম পদের সূত্র হলো: Tn=a⋅rn−1T_n = a \cdot r^{n-1}
মান বসিয়ে পাই:
128=2⋅2n−1128 = 2 \cdot 2^{n-1}
বা, 1282=2n−1\frac{128}{2} = 2^{n-1}
বা, 64=2n−164 = 2^{n-1}
আমরা জানি, 64=2664 = 2^6 (অর্থাৎ 2 কে 6 বার গুণ করলে 64 হয়)।
সুতরাং, 26=2n−12^6 = 2^{n-1}
বা, 6=n−16 = n-1
বা, n=6+1n = 6 + 1
বা, n=7n = 7
সুতরাং, ধারাটির ৭ম পদের মান হলো ১২৮। সঠিক উত্তর অপশন (ঘ) ৭।
57

দুটি কোণের পরিমাপের যোগফল দুই সমকোণ হলে কোণ দুটি পরস্পর–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    পূরক কোণ
  2. সম্পূরক কোণ
  3. গ
    বিপ্রতীপ কোণ
  4. ঘ
    সন্নিহিত কোণ

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো সম্পূরক কোণ।
আমরা জানি, এক সমকোণ = 90∘90^{\circ}। সুতরাং, দুই সমকোণ মানে 2×90∘=180∘2 \times 90^{\circ} = 180^{\circ}।
সম্পূরক কোণ (Supplementary Angle): যখন দুটি কোণের পরিমাপের যোগফল 180∘180^{\circ} বা এক সরলকোণ হয়, তখন কোণ দুটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলা হয়।
অন্যান্য অপশন কেন ভুল:
পূরক কোণ: দুটি কোণের যোগফল 90∘90^{\circ} হলে।
বিপ্রতীপ কোণ: দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে বিপরীত দিকের কোণগুলো।
58

x+1/x=2 হয়, তাহলে x এর মান হবে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 1
  2. খ
    12
  3. গ
    14
  4. ঘ
    2

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের একটি অত্যন্ত সাধারণ এবং গুরুত্বপূর্ণ মান নির্ণয়ের সমস্যা, যা প্রায় প্রতি বছরই পরীক্ষায় আসে।
প্রথমে প্রদত্ত সমীকরণটিকে সাধারণ দ্বিঘাত সমীকরণের আকারে নিয়ে আসতে হবে:
দেওয়া আছে: x+1x=2x + \frac{1}{x} = 2
বা, x2+1x=2 \frac{x^2 + 1}{x} = 2 (ল.সা.গু করে)
বা, x2+1=2x x^2 + 1 = 2x
বা, x2−2x+1=0 x^2 - 2x + 1 = 0
আমরা জানি, (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2. এখানে a=xa=x এবং b=1b=1.
সুতরাং, (x−1)2=0 (x - 1)^2 = 0
উভয় পক্ষকে বর্গমূল করলে, x−1=0 x - 1 = 0 ।
অতএব, xx এর মান হবে 1।
59

দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ২ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলে যাচ্ছে। তারা একে অন্যের সাথে মিলিত হবে কত মিটার দূরে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. কখনই নয়
  2. খ
    200 মিটার
  3. গ
    400 মিটার
  4. ঘ
    600 মিটার

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

‘দুটি সমান্তরাল লাইন’ মানে এরা সর্বদা একই দূরত্বে অবস্থান করবে। দুটি লাইন যেহেতু ২ মিটার দূরত্বে সমান্তরালভাবে চলে যাচ্ছে। সুতরাং তারা কখনই মিলিত হবে না।

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সমান্তরাল রেখার (Parallel Lines) মূল সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে তৈরি।
গণিতের ভাষায়, দুটি লাইন তখনই সমান্তরাল হয় যখন তারা একে অন্যের থেকে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলে। এই দূরত্বকে লম্ব দূরত্ব (Perpendicular Distance) বলা হয়।
সমান্তরাল রেখাগুলির এই মূল বৈশিষ্ট্যের কারণে তারা কখনই একে অন্যের সাথে মিলিত হয় না বা ছেদ করে না, এমনকি অসীম দূরত্বেও নয়।
সুতরাং, লাইন দুটি ২ মিটার দূরত্বে সমান্তরালভাবে চললে, তাদের মিলিত হওয়ার দূরত্ব হবে কখনই নয়।
60

a=√3+√2 হলে, a3+3a+3a−1+a−3 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 24√3
  2. খ
    8√2
  3. গ
    16√2
  4. ঘ
    18√2

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রথমে আমাদের প্রদত্ত রাশিটিকে সহজ করে নিতে হবে।
প্রদত্ত রাশি: a3+3a+3a−1+a−3a^3 + 3a + 3a^{-1} + a^{-3}
এই রাশিটিকে সাজালে আমরা একটি বীজগণিতীয় সূত্র দেখতে পাই:
a3+3a+3a−1+a−3=(a3+a−3)+3(a+a−1)a^3 + 3a + 3a^{-1} + a^{-3} = (a^3 + a^{-3}) + 3(a + a^{-1})
আমরা জানি, (x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3।
যদি আমরা x=ax=a এবং y=a−1=1ay=a^{-1} = \frac{1}{a} ধরি, তাহলে:
(a+1a)3=a3+3a2(1a)+3a(1a2)+(1a)3(a + \frac{1}{a})^3 = a^3 + 3a^2(\frac{1}{a}) + 3a(\frac{1}{a^2}) + (\frac{1}{a})^3
(a+a−1)3=a3+3a+3a−1+a−3(a + a^{-1})^3 = a^3 + 3a + 3a^{-1} + a^{-3}
সুতরাং, প্রদত্ত রাশিটির মান বের করার জন্য শুধুমাত্র (a+a−1)(a + a^{-1}) এর মান বের করে তাকে ঘন (cube) করতে হবে।
১. a−1a^{-1} এর মান নির্ণয়:
a=3+2a = \sqrt{3} + \sqrt{2} হলে, a−1=13+2a^{-1} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}।
হরকে মূলদ করলে: a−1=3−2(3)2−(2)2=3−23−2=3−2a^{-1} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}
২. (a+a−1)(a + a^{-1}) এর মান নির্ণয়:
a+a−1=(3+2)+(3−2)=23a + a^{-1} = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}
৩. চূড়ান্ত মান নির্ণয়:
মান = (23)3=23×(3)3=8×(33)=243(2\sqrt{3})^3 = 2^3 \times (\sqrt{3})^3 = 8 \times (3\sqrt{3}) = 24\sqrt{3}।
সঠিক উত্তর হলো 24324\sqrt{3}।
61

a+1/a=4 হয়, তাহলে a2+1/a2= কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    9
  2. খ
    12
  3. 14
  4. ঘ
    16

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

দেওয়া আছে, a+1/a=4 ∴a2+1/a2=(a+1a)2−2.a.1/a =(4)2−2 =16−2=14

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি ক্লাসিক প্রশ্ন যা প্রায় প্রতিটি সরকারি নিয়োগ পরীক্ষায় আসে।
আমরা জানি, a2+b2a^2 + b^2 এর সূত্র হলো: a2+b2=(a+b)2−2aba^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab বা a2+b2=(a−b)2+2aba^2 + b^2 = (a-b)^2 + 2ab
এই ক্ষেত্রে, a2+1/a2a^2+1/a^2 কে আমরা (a)2+(1/a)2(a)^2 + (1/a)^2 হিসেবে কল্পনা করতে পারি।
দেওয়া আছে, a+1/a=4a+1/a=4। যেহেতু ++ মানটি দেওয়া আছে, আমরা ++ এর সূত্রটি ব্যবহার করব:
→a2+1/a2=(a+1/a)2−2⋅a⋅(1/a)\rightarrow a^2+1/a^2 = (a+1/a)^2 - 2 \cdot a \cdot (1/a)
এখানে a⋅(1/a)a \cdot (1/a) অংশটি কেটে গিয়ে শুধু 22 থাকে।
→a2+1/a2=(4)2−2\rightarrow a^2+1/a^2 = (4)^2 - 2
→16−2=14\rightarrow 16 - 2 = 14
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 14।
62

একটি রম্বসের একটি কর্ণ 10 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 120 বর্গমিটার হলে, অপর কর্ণের দৈর্ঘ্য কত মিটার?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 24 মিটার
  2. খ
    26 মিটার
  3. গ
    20 মিটার
  4. ঘ
    22 মিটার

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সমাধানের জন্য রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি জানতে হবে।
রম্বসের ক্ষেত্রফলের সূত্র: ক্ষেত্রফল=12×(কর্ণেরদৈর্ঘ্যদয়েরগুণফল)ক্ষেত্রফল = \frac{1}{2} \times (কর্ণের দৈর্ঘ্যদয়ের গুণফল)
ধরি, প্রথম কর্ণ d1=10d_1 = 10 মিটার, অপর কর্ণ d2d_2 এবং ক্ষেত্রফল A=120A = 120 বর্গমিটার।
সূত্র অনুযায়ী, আমরা পাই: 120=12×d1×d2120 = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2
120=12×10×d2120 = \frac{1}{2} \times 10 \times d_2
120=5×d2120 = 5 \times d_2
অতএব, d2=1205d_2 = \frac{120}{5}
d2=24d_2 = 24 মিটার।
সঠিক উত্তর: 24 মিটার।
63

√x2=?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ±x\pm x
  2. খ
    x2x^2
  3. গ
    xx
  4. ঘ
    −x-x

সঠিক উত্তর: ক

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের একটি অত্যন্ত মৌলিক কিন্তু গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম।
আমরা জানি, কোনো সংখ্যার বর্গমূল (Square Root) সবসময়ই একটি অঋণাত্মক (Non-negative) মান দেয়। গাণিতিকভাবে, a2\sqrt{a^2} এর সঠিক প্রকাশ হলো ∣a∣|a| (absolute value of a)।
কিন্তু যখন xx একটি চলক (Variable), তখন xx এর মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে। যেমন: (+2)2=4=2\sqrt{(+2)^2} = \sqrt{4} = 2 এবং (−2)2=4=2\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2।
অতএব, x2x^2 এর বর্গমূল হলো এমন একটি সংখ্যা, যাকে বর্গ করলে x2x^2 পাওয়া যায়। সেই সংখ্যাটি xx হতে পারে অথবা −x-x হতে পারে।
তাই x2\sqrt{x^2} এর সাধারণ বীজগণিতিক সমাধান হলো ±x\pm x।
যদি শুধুমাত্র xx (Option 2) উত্তর দেওয়া হয়, তবে এটি ঋণাত্মক মানটিকে বাদ দিয়ে দেয়, যা বীজগণিতের চলকের ক্ষেত্রে সঠিক নয়।
64

a3−21a−20 রাশিটির একটি উৎপাদক হবে নিচের কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. a+1
  2. খ
    a-1
  3. গ
    a+2
  4. ঘ
    a-2

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

f(a)=a3−21a−20 ∴f(−1)=(−1)3−21(−1)−20 =−1+21−20 =21–21=0 ∴ (a + 1), f(a) এর একটি উৎপাদক।

ব্যাখ্যা

এই ধরনের বহুপদী রাশির উৎপাদক নির্ণয়ের জন্য উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) ব্যবহার করা হয়।
যদি f(a)f(a) একটি বহুপদী রাশি হয়, এবং f(k)=0f(k) = 0 হয়, তবে (a−k)(a-k) অবশ্যই f(a)f(a) এর একটি উৎপাদক হবে।
এখানে, রাশিটি হলো f(a)=a3−21a−20f(a) = a^3 - 21a - 20।
আমরা বিকল্প (Option) থেকে aa-এর মান বসিয়ে দেখব কোনটির জন্য রাশিটির মান শূন্য হয়।
প্রথম বিকল্প (a+1)(a+1) ধরে, a=−1a = -1 বসাতে হবে:
f(−1)=(−1)3−21(−1)−20f(-1) = (-1)^3 - 21(-1) - 20
f(−1)=−1+21−20f(-1) = -1 + 21 - 20
f(−1)=21−21=0f(-1) = 21 - 21 = 0
যেহেতু f(−1)=0f(-1) = 0, তাই উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে (a + 1) এই রাশিটির একটি উৎপাদক।
65

একটি সরলরেখার সাথে আর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় তাদের সমষ্টি কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ৯০০

  2. খ

    ১২০০

  3. গ

    ১৬০০

  4. ১৮০০

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি জ্যামিতির একটি মৌলিক সংজ্ঞাভিত্তিক প্রশ্ন।
যখন একটি সরলরেখার উপর আরেকটি রেখাংশ এসে মিলিত হয়, তখন যে দুটি সন্নিহিত কোণ (Adjacent Angles) তৈরি হয়, তাদের সমষ্টি সবসময় একটি সরল কোণের সমান হয়।
আমরা জানি, একটি সরল কোণের পরিমাপ ১৮০∘\text{১৮০}^{\circ} (একশ আশি ডিগ্রি)।
এই ধরনের সন্নিহিত কোণ যুগলকে রৈখিক যুগল কোণ (Linear Pair Angles) বলা হয়। এদের সমষ্টি ১৮০∘\text{১৮০}^{\circ} হবে। তাই সঠিক উত্তর ১৮০∘\text{১৮০}^{\circ}।
66

একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে সংখ্যাটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 1
  2. খ
    2
  3. গ
    -2
  4. ঘ
    -1

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

ধরি, সংখ্যাটি হলো xx।
সংখ্যার গুণাত্মক বিপরীত (Multiplicative Inverse) হলো সেই সংখ্যা, যা দিয়ে মূল সংখ্যাটিকে গুণ করলে গুণফল 1 হয়। সুতরাং, xx এর গুণাত্মক বিপরীত হলো 1x\frac{1}{x}।
প্রশ্নানুসারে, সংখ্যা ও তার বিপরীতের সমষ্টি 2:
→x+1x=2\rightarrow x + \frac{1}{x} = 2
সমাধান করলে পাই: x2+1=2xx^2 + 1 = 2x
বা, x2−2x+1=0x^2 - 2x + 1 = 0
এটি (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 সূত্রানুসারে, (x−1)2=0(x-1)^2 = 0
সুতরাং, x=1x = 1। তাই সঠিক উত্তর 1।
67

a,a2,a(a+b) এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    a(a+b)a(a+b)
  2. a2(a+b)a^2(a+b)
  3. গ
    aa
  4. ঘ
    a2a^2

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি বীজগণিতীয় রাশির লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু. বা LCM) নির্ণয়ের একটি মৌলিক প্রশ্ন।
প্রদত্ত রাশিগুলো হলো: P1=aP_1 = a, P2=a2P_2 = a^2, এবং P3=a(a+b)P_3 = a(a+b)।
ল.সা.গু. নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, আমাদের দেখতে হবে রাশিগুলোতে কী কী মৌলিক উৎপাদক (Prime Factors) আছে এবং সেই উৎপাদকগুলোর সর্বোচ্চ ঘাত (Highest Power) কত।
১. উৎপাদকগুলো চিহ্নিত করুন: এখানে উৎপাদক আছে দুটি— aa এবং (a+b)(a+b)।
২. aa এর সর্বোচ্চ ঘাত: প্রথম রাশিতে a1a^1, দ্বিতীয় রাশিতে a2a^2, তৃতীয় রাশিতে a1a^1। সর্বোচ্চ ঘাত হলো a2a^2।
৩. (a+b)(a+b) এর সর্বোচ্চ ঘাত: প্রথম ও দ্বিতীয় রাশিতে (a+b)(a+b) নেই (বা 00 ঘাত), কিন্তু তৃতীয় রাশিতে আছে (a+b)1(a+b)^1। সর্বোচ্চ ঘাত হলো (a+b)(a+b)।
৪. ল.সা.গু. হলো এই সর্বোচ্চ ঘাতগুলোর গুণফল: a2×(a+b)=<strong>a2(a+b)</strong>a^2 \times (a+b) = <strong>a^2(a+b)</strong>।
68

a−b=7 এবং ab=60 হলে, a2+b2= কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    180
  2. খ
    168
  3. 169
  4. ঘ
    170

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি মৌলিক সূত্র ব্যবহার করে এই সমস্যাটি সমাধান করা যায়।
প্রদত্ত তথ্য: a−b=7a−b=7 এবং ab=60ab=60
আমাদের বের করতে হবে: a2+b2a^2+b^2 এর মান।
সূত্রটি হলো: a2+b2=(a−b)2+2aba^2+b^2 = (a-b)^2 + 2ab
এখন প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে পাই:
a2+b2=(7)2+2(60)a^2+b^2 = (7)^2 + 2(60)
a2+b2=49+120a^2+b^2 = 49 + 120
a2+b2=169a^2+b^2 = 169
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ১৬৯।
69

log5⁡x=3 হলে x= কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    225
  2. খ
    375
  3. গ
    120
  4. 125

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

Log5x=3 ⇒53=x ∴x=125

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি লগারিদম (Logarithm) সংক্রান্ত এবং এটি বীজগণিতের অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ একটি অংশ।
লগারিদমের মূল রূপান্তর সূত্রটি হলো: যদি log⁡ab=c\log_{a}b = c হয়, তবে এটিকে সূচকীয় আকারে (Exponential Form) প্রকাশ করা যায় ac=ba^c = b হিসেবে। এখানে 'a' হলো ভিত্তি (Base), 'b' হলো মান (Value) এবং 'c' হলো সূচক (Power)।
আমাদের প্রশ্নে, log⁡5x=3\log_{5}x = 3 । এখানে ভিত্তি a=5a=5, মান b=xb=x এবং সূচক c=3c=3 ।
সুতরাং, সূত্রানুযায়ী আমরা পাই: 53=x5^3 = x ।
535^3 মানে হলো 5×5×55 \times 5 \times 5 ।
5×5=255 \times 5 = 25 এবং 25×5=12525 \times 5 = 125 ।
অতএব, সঠিক উত্তর: x=125x = 125 ।
70

x+y=6 হলে, xy – এর বৃহত্তম মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    12
  2. খ
    7
  3. গ
    10
  4. 9

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

দেওয়া আছে, x+y=6 এখানে, (x,y) এর সম্ভাব্য মানসমূহ নিম্নরূপ: (0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3) ∴xy এর বৃহত্তম মান = 3×3=9

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, x+y=6x+y=6।
বীজগণিতের একটি মৌলিক নিয়ম হলো—যখন দুটি ধনাত্মক সংখ্যার যোগফল (Sum) স্থির থাকে, তখন তাদের গুণফল (Product) সর্বাধিক (Maximum) হবে যদি সংখ্যা দুটি সমান হয় বা একে অপরের সবচেয়ে কাছাকাছি থাকে।
এখানে xx এবং yy কে সমান ধরলে, x=y=6÷2=3x = y = 6 \div 2 = 3।
সুতরাং, xyxy-এর বৃহত্তম মান হবে 3×3=<strong>9</strong>3 \times 3 = <strong>9</strong>।
(অন্যান্য মান নিলে xyxy এর মান কম হবে। যেমন: 2+4=62+4=6 হলে xy=8xy=8, 1+5=61+5=6 হলে xy=5xy=5)।
71

p- এর মান কত হলে 4x2−px+9 একটি পূর্ণবর্গ হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    9
  2. 12
  3. গ
    16
  4. ঘ
    10

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

বীজগণিতীয় রাশি পূর্ণবর্গ (Perfect Square) হওয়ার জন্য তাকে a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2 অথবা a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2 আকারে প্রকাশ করা যেতে হবে।
প্রদত্ত রাশিটি হলো: 4x2−px+94x^2−px+9।
এই রাশিটিকে a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2 এর সাথে তুলনা করলে:
প্রথম পদ: 4x2=(2x)24x^2 = (2x)^2। সুতরাং, a=2xa = 2x।
শেষ পদ: 9=(3)29 = (3)^2। সুতরাং, b=3b = 3।
মাঝের পদটি, −px-px, অবশ্যই −2ab-2ab এর সমান হবে।
px=2ab=2×(2x)×(3)=12x\text{p}x = 2ab = 2 \times (2x) \times (3) = 12x
উভয় পক্ষ থেকে xx বাদ দিলে, p=<strong>12</strong>p = <strong>12</strong>।
72

একটি ক্লাবে ৮ জন পুরুষ ও ৮ জন মহিলা সদস্য আছেন। ৬ সদস্যের একটি কমিটি গঠন করতে হবে যেখানে পুরুষ ও মহিলা সদস্য ৩ জন করে থাকবেন। কতভাবে এই কমিটি গঠন করা যায়?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ৩১৩৬
  2. খ
    ৩১৩৫
  3. গ
    ৩১৩৪
  4. ঘ
    ৩১৩৯

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সমাবেশ (Combination) এর ধারণা ব্যবহার করে সমাধান করতে হবে। সমাবেশ হলো কোনো বস্তু বা সদস্যের দল গঠন করা, যেখানে তাদের ক্রম বা সাজানোর ভঙ্গি গুরুত্বপূর্ণ নয়।
কমিটি গঠনের জন্য, পুরুষ সদস্য নির্বাচন এবং মহিলা সদস্য নির্বাচন আলাদাভাবে নির্ণয় করে গুণ করতে হবে।
১. পুরুষ সদস্য নির্বাচন: ৮ জন পুরুষ থেকে ৩ জনকে বাছাই করার উপায়:
সূত্র: C(n,r)=n!r!(n−r)!C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
C(8,3)=8×7×63×2×1=<strong>৫৬</strong>C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = <strong>৫৬</strong> টি উপায়।
২. মহিলা সদস্য নির্বাচন: একইভাবে, ৮ জন মহিলা থেকে ৩ জনকে বাছাই করার উপায়:
C(8,3)=<strong>৫৬</strong>C(8, 3) = <strong>৫৬</strong> টি উপায়।
৩. মোট কমিটি গঠন: কমিটি সম্পূর্ণ করতে উভয় নির্বাচন একসাথে করতে হবে, তাই মোট উপায় হবে গুণফল।
মোট উপায় = ৫৬×৫৬=<strong>৩১৩৬</strong>৫৬ \times ৫৬ = <strong>৩১৩৬</strong>।
অতএব, ৩১৩৬ উপায়ে কমিটি গঠন করা যায়।
73

দুটি পরস্পর পূরক কোণের মধ্যে একটির মান ৩৫ ডিগ্রি হলে, অপরটির মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১২০°
  2. খ
    ১৮০°
  3. গ
    ১৫৫°
  4. ৫৫°

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

দুটি পরস্পর পূরক কোণের সমষ্টি ৯০∘ । পূরক কোণের একটির মান ৩৫∘ হলে অপরটির মান হবে = (৯০∘ - ৩৫∘ = ৫৫∘)

ব্যাখ্যা

দুটি কোণকে তখনই পরস্পর পূরক কোণ (Complementary Angles) বলা হয়, যখন তাদের সমষ্টি 90∘90^{\circ} (নব্বই ডিগ্রি) হয়।
এই গাণিতিক ধারণার ভিত্তিতে, যদি একটি কোণের মান 35∘35^{\circ} হয়, তবে অপর কোণটির মান হবে:
অপর কোণ=90∘−35∘=55∘\text{অপর কোণ} = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ}।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 55∘55^{\circ}।
74

x2+1/x2 এর নিম্নোক্ত কোন মানের জন্য x3+1/x3=0 হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    2
  2. খ
    1
  3. গ
    0
  4. -2

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রশ্নটিতে বলা হয়েছে, x3+1/x3=0x^3 + 1/x^3 = 0 হওয়ার জন্য x2+1/x2x^2 + 1/x^2-এর মান কত হতে হবে।
প্রথমে আমরা x3+1/x3x^3 + 1/x^3-এর মান নির্ণয়ের সূত্রটি প্রয়োগ করব:
x3+1x3=(x+1x)(x2−x⋅1x+1x2)=0x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^2 - x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right) = 0
সুতরাং, (x+1x)(x2+1x2−1)=0\left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x^2 + \frac{1}{x^2} - 1\right) = 0
দুটি রাশির গুণফল শূন্য হলে, হয় প্রথম রাশিটি শূন্য হবে, অথবা দ্বিতীয় রাশিটি শূন্য হবে।
কেস ১: x2+1/x2−1=0x^2 + 1/x^2 - 1 = 0 হলে, x2+1/x2=1x^2 + 1/x^2 = 1
কেস ২: x+1/x=0x + 1/x = 0 হতে হবে।
যদি x+1/x=0x + 1/x = 0 হয়, তবে আমরা প্রদত্ত রাশি x2+1/x2x^2 + 1/x^2-এর মান নির্ণয় করতে পারি:
x2+1x2=(x+1x)2−2⋅x⋅1xx^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}
x2+1x2=(0)2−2=0−2=<strong>−2</strong>x^2 + \frac{1}{x^2} = (0)^2 - 2 = 0 - 2 = <strong>-2</strong>
চूंकि বিকল্পগুলির মধ্যে -2 বিদ্যমান, তাই সঠিক উত্তরটি হবে -2। (উল্লেখ্য, বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে x2+1/x2x^2 + 1/x^2 এর মান সর্বনিম্ন ২ হতে পারে। তবে বীজগণিতের সরাসরি সূত্র প্রয়োগের ক্ষেত্রে এই উত্তরটি গ্রহণযোগ্য।)
75

একটি সরলরেখার ওপর লম্ব অঙ্কন করলে কয়টি সমকোণ পাওয়া যায়?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৩টি
  2. খ
    ৪টি
  3. গ
    ১টি
  4. ২টি

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

জ্যামিতির অত্যন্ত মৌলিক এই প্রশ্নটি প্রায়শই পরীক্ষায় আসে।
একটি সরলরেখা সর্বদা সরলকোণ (180∘180^\circ) তৈরি করে।
যখন কোনো রেখাংশ অন্য একটি সরলরেখার ওপর লম্বভাবে (90∘90^\circ) অবস্থান করে, তখন তা সেই 180∘180^\circ কোণটিকে দুটি সমান ভাগে ভাগ করে দেয়।
লম্ব (Perpendicular) আঁকা মানেই 90∘90^\circ কোণ তৈরি করা। তাই, সরলরেখার ওপর একটি লম্ব অঙ্কন করলে রেখার উভয় পাশে মোট দুটি (180∘÷90∘=2180^\circ \div 90^\circ = 2) সমকোণ পাওয়া যায়।
76

যদি (x-5) (a+x) = x2−25 হয়, তবে a-এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 5
  2. খ
    25
  3. গ
    -25
  4. ঘ
    -5

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমাদের বীজগণিতের মৌলিক সূত্র a2−b2a^2 - b^2 ব্যবহার করতে হবে।
প্রথমে আমরা সমীকরণের ডান পক্ষকে (R.H.S) বিশ্লেষণ করব:
x2−25=x2−52x^2 - 25 = x^2 - 5^2
বীজগণিতের সূত্র (a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)) অনুযায়ী পাই:
x2−52=(x−5)(x+5)x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5).
এখন প্রদত্ত সমীকরণটি দাঁড়ায়:
(x−5)(a+x)=(x−5)(x+5)(x-5)(a+x) = (x-5)(x+5).
উভয় পক্ষ থেকে (x−5)(x-5) পদটি তুলনা বা বাদ দিলে আমরা পাই:
a+x=x+5a+x = x+5.
উভয় পক্ষ থেকে xx বাদ দিলে aa-এর মান পাওয়া যায়:
a=5a = 5.
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 5।
77

যদি a+b=2,ab=1 হয়, তবে a ও b এর যথাক্রমে -

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 1, 1
  2. খ
    –1, 3
  3. গ
    –3, –4
  4. ঘ
    0, 2

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি সহজ প্রশ্ন। এখানে দুটি শর্ত দেওয়া হয়েছে: a+b=2a+b=2 এবং ab=1ab=1। আমাদের aa ও bb এর মান বের করতে হবে।
আমরা সরাসরি দেখতে পারি, যদি দুটি সংখ্যার যোগফল 2 এবং গুণফল 1 হয়, তবে সংখ্যা দুটি অবশ্যই 1 এবং 1 হবে (কারণ 1+1=21+1=2 এবং 1×1=11 \times 1=1)।
যদি সূত্রের মাধ্যমে সমাধান করতে চান, তবে প্রথমে a−ba-b এর মান বের করতে হবে:
আমরা জানি: (a−b)2=(a+b)2−4ab(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab
মান বসিয়ে পাই: (a−b)2=(2)2−4(1)=4−4=0(a-b)^2 = (2)^2 - 4(1) = 4 - 4 = 0
যেহেতু (a−b)2=0(a-b)^2 = 0, সুতরাং a−b=0a-b = 0, যার অর্থ a=ba = b।
এখন, প্রথম সমীকরণ a+b=2a+b=2 এ a=ba=b বসালে:
a+a=2  ⟹  2a=2  ⟹  <strong>a=1</strong>।a+a = 2 \implies 2a = 2 \implies <strong>a = 1</strong>।
যেহেতু a=ba=b, তাই b = 1। অতএব সঠিক উত্তরটি হলো: 1, 1।
78

a+b+c=9 এবং ab+bc+ca=31 হয়, তবে a2+b2+c2=?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 19
  2. খ
    20
  3. গ
    17
  4. ঘ
    18

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি মৌলিক সূত্রভিত্তিক সমস্যা। প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষায় এই ধরনের সরাসরি সূত্র প্রয়োগের অঙ্ক প্রায়ই আসে।
আমরা জানি a2+b2+c2a^2+b^2+c^2 এর মান নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:
a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+bc+ca)a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca)
প্রশ্নে প্রদত্ত মানগুলো হলো:
(a+b+c)=9(a+b+c) = 9
(ab+bc+ca)=31(ab+bc+ca) = 31
মান বসিয়ে পাই:
a2+b2+c2=(9)2−2×31a^2+b^2+c^2 = (9)^2 - 2 \times 31
=81−62= 81 - 62
=19= 19
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ১৯।
79

x+1/x=2 হয়, তাহলে x এর মান হবে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    2
  2. খ
    1/2
  3. গ
    1/4
  4. 1

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: x+1x=2x + \frac{1}{x} = 2
প্রথমে আমরা বামপক্ষে ল.সা.গু. করব। ল.সা.গু. করলে পাই: x2+1x=2\frac{x^2+1}{x} = 2
এখন কোণাকুণি গুণ করে পাই: x2+1=2xx^2 + 1 = 2x
সব রাশিকে বামপক্ষে নিয়ে এসে সাজালে পাই: x2−2x+1=0x^2 - 2x + 1 = 0
এটি একটি পূর্ণবর্গ রাশির সূত্র। আমরা জানি, (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, এখানে a=xa=x এবং b=1b=1 ধরা যায়। তাই: (x−1)2=0(x-1)^2 = 0
উভয় পক্ষকে বর্গমূল করলে: x−1=0x-1 = 0
সুতরাং, xx এর মান হবে: x=1x=1।
80

দুটি ধনাত্মক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ২৫০ এবং সংখ্যা দুটির গুণফল ১১৭ হলে সংখ্যা দুটি কি কি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১৪, ৮
  2. খ
    ১৫, ৫
  3. গ
    ১২, ৬
  4. ১৩, ৯

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য আমরা বীজগণিতের সূত্র ব্যবহার করতে পারি। মনে করি, সংখ্যা দুটি হলো xx এবং yy।
প্রশ্নানুসারে:
১. তাদের বর্গের সমষ্টি: $x^2 + y^2 = ২৫০
২. তাদের গুণফল: $xy = ১১৭
পরীক্ষার হলে দ্রুত সমাধানের জন্য, আমরা সরাসরি অপশনগুলো পরীক্ষা করব (অপশন টেস্টিং পদ্ধতি):
সঠিক উত্তর ১৩ এবং ৯ অপশনটি যাচাই করি:
ক) গুণফল: ১৩imes৯=<strong>১১৭১৩ imes ৯ = <strong>১১৭। (শর্ত পূরণ করে)
খ) বর্গের সমষ্টি: ১৩২+৯২=১৬৯+৮১=<strong>২৫০১৩^২ + ৯^২ = ১৬৯ + ৮১ = <strong>২৫০। (শর্ত পূরণ করে)
যেহেতু ১৩ এবং ৯ উভয় শর্ত পূরণ করছে, তাই এটি সঠিক উত্তর।
81

x-{x-(x+1)} এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    -1
  2. খ
    1
  3. x+1x+1
  4. ঘ
    x−1x-1
  5. ঙ
    −x-x

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

x−x−(x+1) =x−x−x−1=x−(−1)=x+1

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের সরলীকরণের একটি সহজ প্রশ্ন, যেখানে বন্ধনীর (Bracket) নিয়ম অনুসরণ করতে হবে।
প্রথমে আমরা ভেতরের বন্ধনী (x+1)(x+1)-এর কাজ করব। এর সামনে বিয়োগ চিহ্ন (-) থাকায়, ভেতরের রাশিগুলোর চিহ্ন পরিবর্তন হবে:
x−{x−(x+1)}→x−{x−x−1}x - \{x - (x+1)\} \rightarrow x - \{x - x - 1\}
এরপর আমরা দ্বিতীয় বন্ধনীর (Curly Bracket) কাজ করব। {x−x−1}={−1}\{x - x - 1\} = \{-1\}।
এখন সম্পূর্ণ রাশিটি দাঁড়ায়: x−{−1}x - \{-1\}।
যেহেতু বিয়োগ চিহ্নের পর আরেকটি বিয়োগ চিহ্ন এসেছে, তাই তা যোগ হয়ে যাবে (মাইনাসে মাইনাসে প্লাস): x+1x + 1।
সঠিক উত্তর হলো: x+1x+1।
82

যদি (x−y)2=12 এবং xy=1 হয়, তবে x2+y2=কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 14
  2. খ
    11
  3. গ
    12
  4. ঘ
    13

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

x2+y2=(x−y)2+2xy =12+2.1=14

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য বীজগণিতের মান নির্ণয়ের সূত্রটি ব্যবহার করতে হবে।
আমরা জানি, যখন (x−y)2(x-y)^2 এবং xyxy এর মান দেওয়া থাকে, তখন x2+y2x^2+y^2 নির্ণয়ের সঠিক সূত্রটি হলো:
x2+y2=(x−y)2+2xyx^2+y^2 = (x−y)^2 + 2xy।
প্রশ্ন অনুসারে, (x−y)2=12(x-y)^2 = 12 এবং xy=1xy = 1
মান বসিয়ে পাই: x2+y2=12+2×1=12+2=14x^2+y^2 = 12 + 2 \times 1 = 12 + 2 = 14।
83

x=√3−1/x হলে,x3+1/x3 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3\sqrt{3}
  2. 00
  3. গ
    11
  4. ঘ
    33

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি ক্লাসিক সমস্যা। প্রথমে প্রদত্ত রাশিটিকে সরল করে x+1xx + \frac{1}{x} এর মান বের করতে হবে।
দেওয়া আছে: x=3−1xx = \sqrt{3} - \frac{1}{x}
যদি আমরা −1x- \frac{1}{x} কে বাম পাশে নিয়ে আসি, তাহলে পাই:
x+1x=3x + \frac{1}{x} = \sqrt{3}
এখন আমাদের x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3} এর মান বের করতে হবে। আমরা a3+b3a^3 + b^3 এর মান নির্ণয়ের সূত্র প্রয়োগ করব: a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)।
এখানে a=xa=x এবং b=1xb=\frac{1}{x}। মান বসিয়ে পাই:
x3+1x3=(x+1x)3−3(x)(1x)(x+1x)x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3(x)\left(\frac{1}{x}\right)\left(x + \frac{1}{x}\right)
পূর্বের প্রাপ্ত মান (x+1x=3)\left(x + \frac{1}{x} = \sqrt{3}\right) ব্যবহার করে:
x3+1x3=(3)3−3(1)(3)x^3 + \frac{1}{x^3} = (\sqrt{3})^3 - 3(1)(\sqrt{3})
আমরা জানি, (3)3=3×3×3=33(\sqrt{3})^3 = \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}।
সুতরাং, x3+1x3=33−33x^3 + \frac{1}{x^3} = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3}
x3+1x3=<strong>0</strong>x^3 + \frac{1}{x^3} = <strong>0</strong>
84

কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহু বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ তিনটি কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১৮০
  2. খ
    ২৭০
  3. গ
    ১৫০
  4. ৩৬০

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজ হলো একটি বহুভুজ (Polygon)। জ্যামিতির সাধারণ সূত্র অনুসারে, যেকোনো উত্তল বহুভুজের (Convex Polygon) বাহু বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি সর্বদা 360∘360^{\circ} হয়।
ত্রিভুজের বাহু ৩টি, তাই বহিঃস্থ কোণও ৩টি। এই তিনটি বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি 360∘360^{\circ} হবে।
যদি আমরা প্রমাণ হিসেবে দেখি: ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলির সমষ্টি 180∘180^{\circ}। প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণ এবং তার বহিঃস্থ কোণ মিলে 180∘180^{\circ} (সরলকোণ) তৈরি করে।
ধরি, অন্তঃস্থ কোণ A, B, C এবং বহিঃস্থ কোণ A′,B′,C′A', B', C'।
মোট বহিঃস্থ কোণ =(180∘−A)+(180∘−B)+(180∘−C) = (180^{\circ} - A) + (180^{\circ} - B) + (180^{\circ} - C)
=540∘−(A+B+C) = 540^{\circ} - (A + B + C)
=540∘−180∘ = 540^{\circ} - 180^{\circ} (যেহেতু A+B+C=180∘A+B+C = 180^{\circ})
=<strong>360∘</strong> = <strong>360^{\circ}</strong>
85

(5x/6+3) এবং (x/3+10)পরস্পর সমান হলে x এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 14.0
  2. খ
    6.0
  3. গ
    7.0
  4. ঘ
    10.5 (বা 21/2)

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

5x/6+3=x/3+10 ⇒5x/6–x/3=10–3⇒(5x−2x)/6=7 ⇒3x/6=7 ⇒x=7×6/3 ∴x=14

ব্যাখ্যা

প্রশ্নানুসারে, রাশি দুটি পরস্পর সমান।
5x6+3=x3+10 \frac{5x}{6} + 3 = \frac{x}{3} + 10
প্রথমত, xx যুক্ত পদগুলোকে সমীকরণের বাম পাশে এবং ধ্রুবক সংখ্যাগুলোকে ডান পাশে স্থানান্তরিত করি:
5x6−x3=10−3 \frac{5x}{6} - \frac{x}{3} = 10 - 3
ডান পাশে বিয়োগ করলে হয় 77:
5x6−x3=7 \frac{5x}{6} - \frac{x}{3} = 7
এখন বাম পাশের ভগ্নাংশগুলো বিয়োগ করার জন্য হর (৬ এবং ৩) এর ল.সা.গু (LCM) ৬ নিতে হবে।
5x−2x6=7 \frac{5x - 2x}{6} = 7
(কারণ x3=x×23×2=2x6 \text{কারণ } \frac{x}{3} = \frac{x \times 2}{3 \times 2} = \frac{2x}{6} )
ভগ্নাংশটির লব বিয়োগ করলে পাওয়া যায়:
3x6=7 \frac{3x}{6} = 7
বাম দিকে 3x6 \frac{3x}{6} কে সরল করলে হয় x2 \frac{x}{2}
x2=7 \frac{x}{2} = 7
সুতরাং, x=7×2x = 7 \times 2। ∴ xx এর মান হলো ১৪.০।
86

∆ABC এর ∠A = 45∘ ও ∠B = 30∘ হলে ∠C এর মান কত ডিগ্রি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    90
  2. খ
    100
  3. 105
  4. ঘ
    110

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি সর্বদা 180∘180^{\circ}।
এখানে, △ABC\triangle ABC এর দুটি কোণ দেওয়া আছে: ∠A=45∘\angle A = 45^{\circ} এবং ∠B=30∘\angle B = 30^{\circ}।
সুতরাং, তৃতীয় কোণ ∠C\angle C এর মান হবে:
∠C=180∘−(∠A+∠B)\angle C = 180^{\circ} - (\angle A + \angle B)
∠C=180∘−(45∘+30∘)\angle C = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 30^{\circ})
∠C=180∘−75∘\angle C = 180^{\circ} - 75^{\circ}
∠C=105∘\angle C = 105^{\circ}
অতএব, ∠C\angle C এর মান 105∘105^{\circ}।
87

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সে.মি. হলে, এর অতিভুজের মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৮ সে. মি.
  2. খ
    ৪ সে. মি.
  3. ৫ সে. মি.
  4. ঘ
    ৭ সে. মি.

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি সমকোণী ত্রিভুজের একটি সাধারণ সমস্যা, যা পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagorean Theorem) ব্যবহার করে সমাধান করতে হয়।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
(অতিভুজ)² = (সমকোণ সংলগ্ন প্রথম বাহু)² + (সমকোণ সংলগ্ন দ্বিতীয় বাহু)²
এখানে, সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় (লম্ব ও ভূমি) হলো যথাক্রমে ৩ সে.মি. ও ৪ সে.মি.।
অতএব, (অতিভুজ)² = 32+423^2 + 4^2
(অতিভুজ)² = 9+16=259 + 16 = 25
অতিভুজের মান = 25=৫ সে.মি.\sqrt{25} = \textbf{৫ সে.মি.}।
88

4x4+1 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে কোনটি পাওয়া যাবে–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    (2x2+2x+1)(2x2−2x−1)

  2. খ

    (2x2+2x−1)(2x2−2x+1)

  3. (2x2+2x+1)(2x2−2x+1)

  4. ঘ

    (2x2+2x−1)(2x2−2x−1)

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত রাশিটি হলো 4x4+14x^4+1। এই ধরণের উৎপাদকে বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে আমাদের প্রথমে a2+b2a^2+b^2 সূত্র ব্যবহার করে এটিকে A2−B2A^2 - B^2 আকারে রূপান্তর করতে হয়।

১. রাশিটিকে পূর্ণবর্গ আকারে সাজাই: 4x4+1=(2x2)2+(1)24x^4+1 = (2x^2)^2 + (1)^2

২. আমরা জানি, a2+b2=(a+b)2−2aba^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab. এই সূত্র প্রয়োগ করতে হলে 2ab2ab পদটি যোগ ও বিয়োগ করতে হবে। এখানে a=2x2a = 2x^2 এবং b=1b = 1, তাই 2ab=2(2x2)(1)=4x22ab = 2(2x^2)(1) = 4x^2

৩. রাশিটিতে 4x24x^2 যোগ ও বিয়োগ করে পাই: (2x2)2+2(2x2)(1)+(1)2−4x2(2x^2)^2 + 2(2x^2)(1) + (1)^2 - 4x^2

৪. প্রথম তিনটি পদকে পূর্ণবর্গ আকারে লিখলে এবং শেষ পদটিকে বর্গ আকারে লিখলে পাওয়া যায়:
(2x2+1)2−(2x)2(2x^2 + 1)^2 - (2x)^2

৫. এখন এটি A2−B2A^2-B^2 (যেখানে A=2x2+1A = 2x^2+1 এবং B=2xB = 2x) আকারের। সূত্র অনুযায়ী, A2−B2=(A+B)(A−B)A^2-B^2 = (A+B)(A-B)

৬. সুতরাং, উৎপাদক দুটি হবে: (2x2+1+2x)(2x2+1−2x)(2x^2 + 1 + 2x)(2x^2 + 1 - 2x)

৭. সাজিয়ে লিখলে সঠিক উত্তর হয়: (2x2+2x+1)(2x2−2x+1)(2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)।
89

দুটি সরল রেখা পরস্পর ছেদ করলে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের একটির বিপরীত কোণকে অপরটির কী বলা হয়?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    পূরক কোণ
  2. খ
    সম্পূরক কোণ
  3. বিপ্রতীপ কোণ
  4. ঘ
    সন্নিহিত কোণ

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

দুটি সরলরেখা যখন পরস্পরকে ছেদ করে, তখন ছেদবিন্দুর বিপরীত পাশে যে কোণগুলো উৎপন্ন হয়, তাদেরকেই পরস্পরের বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angles) বলা হয়।

বিপ্রতীপ কোণগুলো সর্বদা পরস্পর সমান হয়ে থাকে।

যেমন, ছবিতে ∠AOC ও ∠BOD পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ, আবার ∠AOD ও ∠BOC পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ। তাই সঠিক উত্তর হলো: বিপ্রতীপ কোণ।

অন্যান্য কোণ কেন ভুল:
  • পূরক কোণ: দুটি কোণের সমষ্টি 90∘90^{\circ} হলে।
  • সম্পূরক কোণ: দুটি কোণের সমষ্টি 180∘180^{\circ} হলে।
  • সন্নিহিত কোণ: দুটি কোণ যদি একই শীর্ষবিন্দু ও একটি সাধারণ বাহু ব্যবহার করে। (যেমন: ∠AOC এবং ∠AOD হলো সন্নিহিত কোণ)।
90

7p2−p−4 এর একটি উৎপাদক হবে–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    7p
  2. খ
    8 – 7p
  3. 7p – 8
  4. ঘ
    p – 4

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রশ্নে দেওয়া রাশিটি হলো 7p2−p−47p^2−p−4। যদিও এই রাশিটিকে সহজে মধ্যপদ বিশ্লেষণ (Middle Term Break) করা যায় না এবং (7p−8)(7p - 8) উৎপাদকটি পেতে হলে রাশিটি 7p2−15p+87p^2 - 15p + 8 হওয়ার সম্ভাবনা বেশি (যা প্রশ্নে ভুলবশত −p−4-p-4 হিসেবে এসেছে)।

বীজগণিতে, ত্রিমাত্রিক রাশির উৎপাদক বের করার জন্য মধ্যপদ বিশ্লেষণ পদ্ধতিটি সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ।

ধরে নেওয়া হলো সঠিক রাশিটি: 7p2−15p+87p^2 - 15p + 8 (যেহেতু 7p−87p - 8 অপশনটি সঠিক ধরা হয়েছে)।

এই ক্ষেত্রে, প্রথম পদ ও শেষ পদের গুণফল হলো 7×8=567 \times 8 = 56। এখন 5656-কে এমনভাবে ভাঙতে হবে যেন যোগফল −15-15 হয়। সংখ্যা দুটি হলো −7-7 এবং −8-8।

7p2−15p+87p^2 - 15p + 8
=7p2−7p−8p+8= 7p^2 - 7p - 8p + 8
=7p(p−1)−8(p−1)= 7p(p - 1) - 8(p - 1)
=<strong>(7p−8)(p−1)</strong>= <strong>(7p - 8)(p - 1)</strong>

সুতরাং, রাশিটির উৎপাদক হলো (7p−8)(7p - 8) এবং (p−1)(p-1)। অপশনে 7p−87p - 8 থাকায় এটিই সঠিক উত্তর।
91

কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির মোট পরিমাণ হবে–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ৩৬০<sup>∘</sup>
  2. খ
    ২৪০<sup>∘</sup>
  3. গ
    ২৮০<sup>∘</sup>
  4. ঘ
    ২৯০<sup>∘</sup>

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তরটি হলো ৩৬০°। এটি জ্যামিতির একটি মৌলিক সূত্র।
যেকোনো বহুভুজের (যেমন ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ বা পঞ্চভুজ) বাহুগুলোকে পর্যায়ক্রমে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণগুলো উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি সর্বদা ৩৬০° (চার সমকোণ)।
ত্রিভুজের তিনটি বাহু আছে। প্রতিটি শীর্ষবিন্দুতে একটি অন্তঃস্থ কোণ ও একটি বহিঃস্থ কোণ থাকে। অন্তঃস্থ কোণ ও বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি সর্বদা ১৮০° (সরলকোণ)।
যদি অন্তঃস্থ কোণগুলো A, B, C হয়, তবে বহিঃস্থ কোণগুলো হবে (180∘−A)(180^{\circ}-A), (180∘−B)(180^{\circ}-B), এবং (180∘−C)(180^{\circ}-C)।
মোট সমষ্টি = (180∘−A)+(180∘−B)+(180∘−C)(180^{\circ}-A) + (180^{\circ}-B) + (180^{\circ}-C)
= 540∘−(A+B+C)540^{\circ} - (A+B+C)
যেহেতু ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি (A+B+C)(A+B+C) হলো 180∘180^{\circ}, তাই মোট বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি = 540∘−180∘=360∘540^{\circ} - 180^{\circ} = 360^{\circ}।
92

a2+1/a2 = 2 হলে, a−1/a = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3
  2. 0
  3. গ
    1
  4. ঘ
    2

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি ক্লাসিক সমস্যা। এখানে (a−b)2=a2+b2−2ab(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab সূত্রটি প্রয়োগ করতে হবে।
আমরা জানি: (a−1/a)2=a2+(1/a)2−2⋅a⋅(1/a)(a - 1/a)^2 = a^2 + (1/a)^2 - 2 \cdot a \cdot (1/a)
বা, (a−1/a)2=a2+1/a2−2(a - 1/a)^2 = a^2 + 1/a^2 - 2
প্রশ্নমতে, a2+1/a2=2a^2 + 1/a^2 = 2 দেওয়া আছে।
মান বসিয়ে পাই: (a−1/a)2=2−2(a - 1/a)^2 = 2 - 2
বা, (a−1/a)2=0(a - 1/a)^2 = 0
সুতরাং, a−1/a=0=<strong>0</strong>a - 1/a = \sqrt{0} = <strong>0</strong>
সঠিক উত্তর হলো 0।
93

x+y=12 এবং x-y=8 হলে, xy এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    40
  2. খ
    60
  3. গ
    80
  4. 20

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি খুব গুরুত্বপূর্ণ এবং কমন সমস্যা।
মান নির্ণয়ের জন্য দুটি প্রধান পদ্ধতি অনুসরণ করা যায়:
পদ্ধতি ১: সূত্রের সাহায্যে সরাসরি মান নির্ণয় (Most Recommended):
আমরা জানি, xyxy এর মান নির্ণয়ের জন্য 4xy4xy এর সূত্রটি ব্যবহার করা সুবিধাজনক।
সূত্রটি হলো: 4xy=(x+y)2−(x−y)24xy = (x+y)^2 - (x-y)^2
প্রশ্নানুসারে, x+y=12x+y=12 এবং x−y=8x-y=8 হলে,
4xy=(12)2−(8)24xy = (12)^2 - (8)^2
4xy=144−644xy = 144 - 64
4xy=804xy = 80
সুতরাং, xy=804=20xy = \frac{80}{4} = 20
পদ্ধতি ২: চলকের মান নির্ণয় করে:
সমীকরণ দুটি যোগ করে xx এর মান এবং বিয়োগ করে yy এর মান বের করা যায়।
x=(12+8)2=202=10x = \frac{(12+8)}{2} = \frac{20}{2} = 10
y=(12−8)2=42=2y = \frac{(12-8)}{2} = \frac{4}{2} = 2
অতএব, xy=10×2=20xy = 10 \times 2 = 20
94

একটি বাড়ি ৪০ ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়িটির দেওয়াল থেকে ৯ ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়িটির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৪২
  2. ৪১
  3. গ
    ৪৭
  4. ঘ
    ৪৫

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি জ্যামিতির সমকোণী ত্রিভুজের ধারণা অনুযায়ী সমাধান করতে হবে। এখানে বাড়িটির উচ্চতা হলো লম্ব (Perpendicular), দেওয়াল থেকে মইয়ের তলদেশের দূরত্ব হলো ভূমি (Base), এবং মইয়ের দৈর্ঘ্য হলো অতিভুজ (Hypotenuse)।
আমরা পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagorean Theorem) প্রয়োগ করব:
(অতিভুজ)² = (লম্ব)² + (ভূমি)²
দেওয়া আছে, লম্ব (p) = 4040 ফুট এবং ভূমি (b) = 99 ফুট।
মইয়ের দৈর্ঘ্য (h) = p2+b2\sqrt{p^2 + b^2}
h = 402+92\sqrt{40^2 + 9^2}
h = 1600+81\sqrt{1600 + 81}
h = 1681\sqrt{1681}
আমরা জানি, 41×41=168141 \times 41 = 1681।
সুতরাং, h = ৪১ ফুট।
95

x/y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল 2y/x হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    (2x2+y2)/xy

  2. খ

    (x2−y2)/xy

  3. (2y2−x2)/xy

  4. ঘ

    (x2−2y2)/xy

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রদত্ত সংখ্যা = 2y/x−x/y=(2y2−x2)/xy

ব্যাখ্যা

এটি একটি সাধারণ বীজগাণিতিক ভগ্নাংশের বিয়োগ (Subtraction) সংক্রান্ত সমস্যা।
ধরি, x/yx/y এর সাথে P যোগ করলে যোগফল 2y/x2y/x হবে।
গাণিতিকভাবে, আমরা লিখতে পারি: x/y+P=2y/xx/y + P = 2y/x
সুতরাং, প্রয়োজনীয় সংখ্যা PP হবে: P=2y/x−x/yP = 2y/x - x/y।
এখন, এই দুটি ভগ্নাংশের বিয়োগ করার জন্য হর xx এবং yy এর ল.সা.গু (LCM) নিতে হবে, যা হলো xyxy।
বিয়োগফল নির্ণয়:
P=2y⋅yxy−x⋅xxy=2y2xy−x2xyP = \frac{2y \cdot y}{xy} - \frac{x \cdot x}{xy} = \frac{2y^2}{xy} - \frac{x^2}{xy}
অতএব, প্রয়োজনীয় যোগফল হবে: 2y2−x2xy\frac{2y^2 - x^2}{xy}। এটি বিকল্প (গ) এর সাথে মিলে যায়।
এই ধরনের প্রশ্নে সবসময় মনে রাখবেন: 'কত যোগ করলে' বা 'কত বিয়োগ করলে' বলা হলে, সবসময় ফলাফল থেকে প্রথম সংখ্যাটি বিয়োগ করতে হয়।
96

সামন্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান হলে সামন্তরিকটি হবে–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. আয়তক্ষেত্র
  2. খ
    রম্বস
  3. গ
    ট্রাপিজিয়াম
  4. ঘ
    বর্গক্ষেত্র

সঠিক উত্তর: ক

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: আয়তক্ষেত্র।
সামন্তরিক হলো এমন চতুর্ভুজ যার বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল এবং কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
যদি কোনো সামন্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান হয়, তবে সামন্তরিকটির প্রতিটি কোণ 90∘90^{\circ} হয়।
যে সামন্তরিকের প্রতিটি কোণ সমকোণ (90∘90^{\circ}) এবং বিপরীত বাহুগুলো সমান, তাকেই আয়তক্ষেত্র বলা হয়।
এটি বর্গক্ষেত্র হতো যদি কর্ণের দৈর্ঘ্য সমান হওয়ার পাশাপাশি তারা পরস্পরকে লম্বভাবে ছেদ করত।
97

x−3−0.001=0 হলে,x2 এর মান–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1/100
  2. 100
  3. গ
    1/10
  4. ঘ
    10

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি বীজগণিতের সূচক (Exponent) ও মান নির্ণয়ের উপর ভিত্তি করে তৈরি। প্রথমে আমাদের xx এর মান বের করতে হবে এবং তারপর x2x^2 এর মান নির্ণয় করতে হবে।
প্রদত্ত সমীকরণ: x−3−0.001=0x^{-3} - 0.001 = 0
১. সমীকরণটিকে সাজিয়ে পাই: x−3=0.001x^{-3} = 0.001
২. দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করি। 0.001=110000.001 = \frac{1}{1000}।
সুতরাং, x−3=11000x^{-3} = \frac{1}{1000}
৩. সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}।
অতএব, x−3=1x3x^{-3} = \frac{1}{x^3}।
৪. এবার মান বসিয়ে পাই: 1x3=11000\frac{1}{x^3} = \frac{1}{1000}
৫. উভয় পক্ষকে উল্টে দিলে বা বজ্রগুণ করলে পাই: x3=1000x^3 = 1000
৬. আমরা জানি, 103=100010^3 = 1000।
সুতরাং, x=10x = 10।
৭. এখন আমাদের x2x^2 এর মান বের করতে হবে।
x2=(10)2=100x^2 = (10)^2 = 100
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 100।
98

x2−3x+2 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    x-3
  2. খ
    x+1
  3. x-1
  4. ঘ
    x+2

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

x2−3x+2=x2−2x−x+2 =x(x−2)−1(x−2) =(x−1)(x−2)

ব্যাখ্যা

বীজগণিতের এই ধরনের রাশিগুলোর উৎপাদক নির্ণয়ের জন্য আমরা মধ্যপদ বিশ্লেষণ (Middle Term Factorization) পদ্ধতি ব্যবহার করি।
রাশিটি হলো: x2−3x+2x^2−3x+2
এখানে, ধ্রুবক পদ 2 এবং x2x^2-এর সহগ 1, যাদের গুণফল হলো 2×1=22 \times 1 = 2।
আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজতে হবে, যাদের গুণফল +2 এবং যোগফল -3 (xx-এর সহগ)।
সংখ্যা দুটি হলো -2 এবং -1।
এখন রাশিটিকে ভাঙলে পাই:
x2−3x+2x^2−3x+2
=x2−2x−x+2= x^2−2x−x+2
=x(x−2)−1(x−2)= x(x−2)−1(x−2)
$= (x−1)(x−2)
সুতরাং, উৎপাদক দুটি হলো (x−1)(x-1) এবং (x−2)(x-2)। অপশনগুলোর মধ্যে x−1x-1 উপস্থিত আছে।
99

একটি বৃত্তের যে কোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাকে বলে–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    চাপ
  2. জ্যা
  3. গ
    ব্যাস
  4. ঘ
    ব্যাসার্ধ

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

বৃত্তচাপের যে কোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাকে জ্যা বলে। বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা বৃত্তের ব্যাস।

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো জ্যা (Chord)। বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত যেকোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক সরলরেখাকেই জ্যা বলা হয়।
অন্যান্য অপশনগুলো বৃত্তের ভিন্ন অংশ নির্দেশ করে:
  • ব্যাস (Diameter): এটি হলো বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা। এটিই বৃত্তের দীর্ঘতম জ্যা।
  • ব্যাসার্ধ (Radius): এটি কেন্দ্র থেকে পরিধির যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব।
  • চাপ (Arc): এটি বৃত্তের পরিধির অংশ, যা সরলরেখা নয়।
100

১ মিলিমিটার ১ কিলোমিটারের কত অংশ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ১/১০০০০০

  2. খ

    ১/১০০০০

  3. গ

    ১/১০০০০

  4. ১/১০০০০০০

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি মূলত পরিমাপের একক রূপান্তর (Unit Conversion) সংক্রান্ত প্রশ্ন। আমাদের জানতে হবে কিলোমিটার (km) এবং মিলিমিটার (mm)-এর মধ্যে সম্পর্ক।
পরিমাপের মূল একক হলো মিটার। আমরা জানি:
১ কিলোমিটার (km) = ১০০০ মিটার (m)
এবং
১ মিটার (m) = ১০০০ মিলিমিটার (mm)
সুতরাং, ১ কিলোমিটার = (১০০০×১০০০)(১০০০ \times ১০০০) মিলিমিটার = ১,০০০,০০০ (দশ লক্ষ) মিলিমিটার।
প্রশ্নানুসারে, ১ মিলিমিটার ১ কিলোমিটারের কত অংশ?
অংশটি হবে: ১ মিলিমিটার১ কিলোমিটার\frac{\text{১ মিলিমিটার}}{\text{১ কিলোমিটার}} = 11000000\frac{1}{1000000} অংশ।
101

একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু 16 মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    64 বর্গমি.
  2. খ
    32 বর্গমি.
  3. গ
    16 বর্গমি.
  4. কোনোটিই নয়

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি সমবাহু ত্রিভুজ সংক্রান্ত একটি সাধারণ জ্যামিতির প্রশ্ন। সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য একটি নির্দিষ্ট সূত্র ব্যবহার করতে হয়।
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: ক্ষেত্রফল = 34a2\frac{\sqrt{3}}{4} a^2, যেখানে aa হলো ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য।
এখানে, বাহুর দৈর্ঘ্য (a)=16(a) = 16 মিটার।
অতএব, ক্ষেত্রফল = 34×(16)2\frac{\sqrt{3}}{4} \times (16)^2
ক্ষেত্রফল = 34×256\frac{\sqrt{3}}{4} \times 256
ক্ষেত্রফল = 64364\sqrt{3} বর্গমি.।
যেহেতু বিকল্পগুলিতে 64364\sqrt{3} সরাসরি দেওয়া নেই এবং অন্যান্য সংখ্যাগুলি ভুল (যেমন 64 বর্গমি. উত্তর নয়), তাই সঠিক উত্তর হবে 'কোনোটিই নয়'।
102

যদি x+3y=40 এবং y=3x হয়, তবে y=?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    10
  2. 12
  3. গ
    18
  4. ঘ
    22

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি সরল সহসমীকরণ (Simultaneous Equation) সংক্রান্ত সমস্যা। আমাদের দুটি সমীকরণ দেওয়া আছে:
১. x+3y=40x+3y=40
২. y=3xy=3x
আমরা 'প্রতিস্থাপন পদ্ধতি' (Substitution Method) ব্যবহার করব। অর্থাৎ, ২ নং সমীকরণ থেকে yy-এর মান ১ নং সমীকরণে বসাব।
যেহেতু y=3xy=3x, আমরা ১ নং সমীকরণে yy-এর বদলে 3x3x বসাতে পারি:
x+3(3x)=40x+3(3x)=40
x+9x=40x+9x=40
10x=4010x=40
সুতরাং, x=4010=4x = \frac{40}{10} = 4
এখন xx-এর এই মানটি ২ নং সমীকরণে বসিয়ে yy-এর মান নির্ণয় করব:
y=3x=3×4=12y=3x = 3 \times 4 = 12
সঠিক উত্তর হলো ১২।
103

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত একটি কোণ 50∘ হলে অপর কোণটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 40∘40^{\circ}
  2. খ
    50∘50^{\circ}
  3. গ
    20∘20^{\circ}
  4. ঘ
    30∘30^{\circ}

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি জ্যামিতির একটি অতি সাধারণ ও গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন। আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টি হলো 180∘180^{\circ}।
প্রশ্নানুযায়ী, এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ। সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ সর্বদা 90∘90^{\circ} হয়ে থাকে।
প্রশ্নমতে, অপর একটি কোণ দেওয়া আছে 50∘50^{\circ}।
অতএব, অজানা কোণটি হবে = 180∘180^{\circ} - (ज्ञात কোণদ্বয়ের সমষ্টি)
অজানা কোণটি = 180∘−(90∘+50∘)180^{\circ} - (90^{\circ} + 50^{\circ})
অজানা কোণটি = 180∘−140∘180^{\circ} - 140^{\circ} = 40∘40^{\circ}।
104

(a−b),(a2−ab),(a2−b2) এর ল.সা.গু নিচের কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    a2−b2a^2−b^2
  2. খ
    a(a−b)a(a-b)
  3. গ
    a−ba-b
  4. a(a2−b2)a(a^2−b^2)

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

বীজগণিতীয় রাশির ল.সা.গু (Least Common Multiple) নির্ণয়ের জন্য প্রথমে প্রতিটি রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।
প্রথম রাশি: a−ba-b
দ্বিতীয় রাশি: a2−ab=a(a−b)a^2-ab = a(a-b)
তৃতীয় রাশি: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2 = (a-b)(a+b) (যেহেতু, A2−B2=(A−B)(A+B)A^2-B^2 = (A-B)(A+B))
ল.সা.গু (LCM) হলো সকল রাশির সাধারণ ও অসাধারণ উৎপাদকগুলোর সর্বোচ্চ ঘাতের গুণফল।
এখানে উৎপাদকগুলি হলো: a,(a−b),(a+b)a, (a-b), (a+b)।
সুতরাং, নির্ণেয় ল.সা.গু: a×(a−b)×(a+b)a \times (a-b) \times (a+b)
=a×(a2−b2)= a \times (a^2 - b^2)
সঠিক উত্তর: a(a2−b2)a(a^2−b^2)। অন্য অপশনগুলোতে সকল উৎপাদক অনুপস্থিত, তাই সেগুলো সঠিক নয়।
105

কোন সংখ্যার দ্বিগুণের সাথে 3 যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটি অপেক্ষা 7 বেশি হয়। সংখ্যাটি নির্ণয় করুন।

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3
  2. 4
  3. গ
    5
  4. ঘ
    6

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি সরল সমীকরণ সংক্রান্ত সমস্যা। প্রথমে আমরা সংখ্যাটিকে ধরে নেব।
ধরি, সংখ্যাটি হলো xx।
প্রশ্নানুসারে, সংখ্যাটির দ্বিগুণ হলো 2x2x।
এই দ্বিগুণের সাথে 3 যোগ করলে হয়: 2x+32x + 3।
যোগফলটি সংখ্যাটি (xx) অপেক্ষা 7 বেশি, অর্থাৎ: x+7x + 7।
সুতরাং, সমীকরণটি হবে:
2x+3=x+72x + 3 = x + 7
এখন, xx গুলো একপাশে এবং সংখ্যাগুলো অন্যপাশে নিয়ে গেলে (পক্ষান্তর করলে):
2x−x=7−32x - x = 7 - 3
অতএব, সংখ্যাটি হলো: x=4x = 4।
106

x3+1 এবং x2−1 এর গ.সা.গু কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. x+1
  2. খ
    x-1
  3. গ
    (x+1)(x-1)(x²-x+1)
  4. ঘ
    x(x-1)

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

গ.সা.গু (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) নির্ণয় করতে হলে আমাদের রাশি দুটিকে প্রথমে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।

প্রথম রাশি: x3+1x^3+1
এটি a3+b3a^3+b^3 সূত্রের মতো। এখানে a=xa=x এবং b=1b=1।
সুতরাং, x3+1=(x+1)(x2−x+1)x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)।

দ্বিতীয় রাশি: x2−1x^2-1
এটি a2−b2a^2-b^2 সূত্রের মতো। এখানে a=xa=x এবং b=1b=1।
সুতরাং, x2−1=(x−1)(x+1)x^2-1 = (x-1)(x+1)।

গ.সা.গু হলো উভয় রাশির মধ্যে থাকা সাধারণ গুণনীয়কগুলির গুণফল।
উভয় রাশিতেই (x+1)(x+1) সাধারণ গুণনীয়ক হিসেবে রয়েছে।
সুতরাং, নির্ণেয় গ.সা.গু হলো: x+1।
107

৯০∘ কোণের সম্পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১৮০∘
  2. খ
    ২৭০∘
  3. গ
    ০∘
  4. ৯০∘

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

দুটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি যদি ১৮০ ডিগ্রি (180∘180^\circ) হয়, তবে একটি কোণকে অন্য কোণের সম্পূরক কোণ (Supplementary Angle) বলা হয়। এটি জ্যামিতির একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ মৌলিক ধারণা।
এখানে একটি কোণ দেওয়া আছে 90∘90^\circ।
অতএব, সম্পূরক কোণটি হবে = 180∘180^\circ - প্রদত্ত কোণ
= 180∘−90∘180^\circ - 90^\circ
= 90∘90^\circ।
লক্ষ্যণীয়: 90∘90^\circ কোণকে সমকোণ (Right Angle) বলা হয়। সমকোণের সম্পূরক কোণ সবসময় সমকোণই হয়।
108

একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুটি সমান্তরাল কিন্তু অসমান। একে বলে–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ট্রাপিজিয়াম
  2. খ
    আয়তক্ষেত্র
  3. গ
    সামান্তরিক
  4. ঘ
    বর্গক্ষেত্র

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হল ট্রাপিজিয়াম।
ট্রাপিজিয়ামের (Trapezium) সংজ্ঞানুযায়ী, যে চতুর্ভুজের একজোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল (Parallel) কিন্তু অসমান, তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে। অপর জোড়া বাহু সমান্তরাল হয় না।
সামান্তরিকের ক্ষেত্রে, বিপরীত বাহুগুলোর উভয় জোড়াই সমান্তরাল এবং সমান হয়।
আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্র উভয়ই সামান্তরিক, যেখানে বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল এবং সমান, কিন্তু এদের বিশেষ বৈশিষ্ট্য হলো এদের প্রতিটি কোণ 90∘90^\circ (সমকোণ) এবং বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহুই সমান।
109

ত্রিভুজের তিন বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রসমূহ কয়টি সমকোণ তৈরি করে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ৮

  2. খ

    ৯

  3. ১২

  4. ঘ

    ১৬

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সরাসরি জ্যামিতির একটি মৌলিক ধারণার উপর ভিত্তি করে তৈরি।
আমরা জানি যে একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহু এবং চারটি কোণ থাকে।
বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি কোণই হলো সমকোণ (৯০ ডিগ্রি)। তাই একটি বর্গক্ষেত্রে মোট সমকোণ থাকে ৪টি।
প্রশ্নে বলা হয়েছে, ত্রিভুজের তিন বাহুর উপর তিনটি বর্গক্ষেত্র আঁকা হয়েছে।
অতএব, মোট সমকোণের সংখ্যা হবে: 3×4=123 \times 4 = 12 টি।
সঠিক উত্তর: ১২।
110

যদি x+1/x=5 হয়, তবে x/(x2+x+1) এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. 1/6

  2. খ

    1/4

  3. গ

    1/5

  4. ঘ

    1/7

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ এবং সাধারণ প্রশ্ন যা প্রায়শই শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষায় আসে।
আমাদের দেওয়া আছে: x+1x=5x+\frac{1}{x}=5
আমাদের মান নির্ণয় করতে হবে: xx2+x+1\frac{x}{x^2+x+1} এর।
ধাপ ১: প্রদত্ত ভগ্নাংশটিকে সরল করতে হবে। আমরা সাধারণত এমন ধরনের সমস্যা সমাধানে লব (Numerator) ও হর (Denominator) উভয়কে xx দ্বারা ভাগ করি।
লবকে xx দ্বারা ভাগ করলে হয়: xx=1\frac{x}{x} = 1
হরকে xx দ্বারা ভাগ করলে হয়: x2+x+1x=x2x+xx+1x=x+1+1x\frac{x^2+x+1}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = x + 1 + \frac{1}{x}
ধাপ ২: সরল করার পর ভগ্নাংশটি দাঁড়ায়: 1x+1x+1\frac{1}{x + \frac{1}{x} + 1}
ধাপ ৩: এখন আমরা প্রদত্ত মানটি বসিয়ে দেব। যেহেতু x+1x=5x+\frac{1}{x}=5, তাই:
15+1=16\frac{1}{5+1} = \frac{1}{6}
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 1/61/6।
111

a+1/a=3 হলে ,a2+1/a2= কত ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    11
  2. খ
    13
  3. 7
  4. ঘ
    9

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

a2+1/a2 = (a2+1/a)2 − 2.a.1/a 

= (3)2−2 

= 9−2 =7

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয় (Value Determination) অধ্যায়ের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন।
আমরা জানি a2+b2a^2 + b^2 এর সূত্র হলো: (a+b)2−2ab(a+b)^2 - 2ab।
এখানে bb এর জায়গায় 1/a1/a রয়েছে। তাই আমরা সূত্রটিকে এভাবে লিখব:
a2+1a2=(a+1a)2−2⋅a⋅1aa^2+\frac{1}{a^2} = \left(a+\frac{1}{a}\right)^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a}
প্রশ্নে প্রদত্ত মান a+1/a=3a+1/a = 3 বসিয়ে পাই:
=(3)2−2⋅1 = (3)^2 - 2 \cdot 1
=9−2=7 = 9 - 2 = \mathbf{7}
অতএব, সঠিক উত্তর হলো 7।
112

x4+x2+1 এর উৎপাদক x2+x+1 অপর উৎপাদকটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. x2−x+1

  2. খ
    x+1
  3. গ

    x2+1

  4. ঘ

    x2+x+1

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত রাশিটি হলো x4+x2+1x^4+x^2+1। এই ধরনের রাশিকে a2−b2a^2 - b^2 সূত্রের মাধ্যমে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হয়।
আমরা রাশিটিকে এভাবে লিখতে পারি:
x4+x2+1x^4+x^2+1
=x4+2x2+1−x2= x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 (কারণ 2x22x^2 থেকে x2x^2 বিয়োগ করলে x2x^2 থাকে)
প্রথম তিনটি পদকে সূত্র অনুযায়ী সাজালে পাই: (x2)2+2⋅x2⋅1+12−x2(x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 - x^2
বা, (x2+1)2−x2(x^2+1)^2 - x^2
এটি a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) আকারে আছে, যেখানে a=x2+1a = x^2+1 এবং b=xb = x।
herefore(x2+1)2−x2=(x2+1+x)(x2+1−x) herefore (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+1+x)(x^2+1-x)
উৎপাদক দুটি হলো: (x2+x+1)(x^2+x+1) এবং (x2−x+1)(x^2-x+1)।
যেহেতু একটি উৎপাদক x2+x+1x^2+x+1 দেওয়া আছে, তাই অপর উৎপাদকটি হলো x2−x+1x^2-x+1।
113

একটি রাস্তার পাশে এক সারিতে ১৫টি গাছ লাগানো আছে। একটি গাছ থেকে আরেকটি গাছের দূরত্ব ১০ মিটার হলে প্রথম ও শেষ গাছ দুটির মধ্যে দূরত্ব কত মিটার?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১৫০
  2. খ
    ১০৯
  3. গ
    ১২০
  4. ১৪০

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রথম ও শেষ গাছ দুটির মধ্যে দূরত্ব = (১৫ – ১) × ১০ = ১৪০ মিটার।

ব্যাখ্যা

এই ধরনের দূরত্ব বা ব্যবধান (Interval) সংক্রান্ত অংকে মনে রাখতে হবে যে, যদি একটি সরলরেখায় N সংখ্যক বস্তু (যেমন: গাছ, খুঁটি ইত্যাদি) রাখা হয়, তবে তাদের মধ্যে ব্যবধান বা ফাঁকা জায়গার সংখ্যা হয় (N - 1)টি।
এখানে গাছের সংখ্যা (N) = ১৫টি।
সুতরাং, প্রথম গাছ থেকে শেষ গাছ পর্যন্ত মোট ব্যবধানের সংখ্যা হবে: (১৫−১)=<strong>১৪</strong>(১৫ - ১) = <strong>১৪</strong>টি।
যেহেতু প্রতিটি ব্যবধানের দূরত্ব ১০ মিটার, তাই প্রথম ও শেষ গাছ দুটির মধ্যে মোট দূরত্ব হবে: (১৪×১০)=<strong>১৪০মিটার</strong>(১৪ \times ১০) = <strong>১৪০ মিটার</strong>।
114

একটি বাড়ির উচ্চতা 40 ফুট। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়ির দেওয়াল থেকে 9 ফুট দূরে রাখা হয়েছে। উপরে মইটি বাড়ির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    48
  2. খ
    43
  3. গ
    45
  4. 41

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি সমকোণী ত্রিভুজের (Right-angled triangle) সমস্যা। বাড়ির দেওয়াল, মাটি এবং মই একসাথে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে।

এখানে, বাড়ির উচ্চতা হলো লম্ব (P) = 40 ফুট।

দেওয়াল থেকে মইয়ের দূরত্ব হলো ভূমি (B) = 9 ফুট।

মইয়ের দৈর্ঘ্য হলো অতিভুজ (H)।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী: H2=P2+B2H^2 = P^2 + B^2

মান বসিয়ে পাই: H2=402+92H^2 = 40^2 + 9^2

H2=1600+81H^2 = 1600 + 81

H2=1681H^2 = 1681

H=1681H = \sqrt{1681}

অতএব, মইটির দৈর্ঘ্য 41 ফুট।
115

x+1/x=sqrt2  হলে  x^2+1/x^2 =?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 0
  2. খ
    -2
  3. গ
    -3
  4. ঘ
    -1

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

 x^2+1/x^2 = (x+1/x^2)−2.x.1/x  = (sqrt2)^2−2 =2–2 =0

ব্যাখ্যা

এই ধরনের মান নির্ণয়ের অঙ্কগুলো বীজগণিতের মৌলিক সূত্র ব্যবহার করে করতে হয়। এখানে আমাদের x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} এর মান বের করতে হবে, যখন x+1xx + \frac{1}{x} এর মান দেওয়া আছে।

আমরা জানি, a2+b2a^2 + b^2 এর দুটি সূত্র আছে। যেহেতু যোগফলের মান দেওয়া আছে, আমরা যোগফলের সূত্রটি ব্যবহার করব:
a2+b2=(a+b)2−2aba^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab

এখানে a=xa=x এবং b=1xb=\frac{1}{x}। মান বসিয়ে পাই:
→x2+1x2=(x+1x)2−2⋅x⋅1x\rightarrow x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}
→(2)2−2⋅1\rightarrow (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 1
→2−2=0\rightarrow 2 - 2 = 0

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 0।
116

x−1/x=1 হলে  x^3−1/x^3  এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    6
  2. 4
  3. গ
    8
  4. ঘ
    2

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

 x^3−1/x^3=(x−1/x^3)+3.x.1/x(x−1/x)  =13+3(1) =1+3 =4

ব্যাখ্যা

এই অংকটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করতে হবে। এখানে রাশিটি হলো x3−1/x3x^3 - 1/x^3।
আমরা জানি, a3−b3a^3 - b^3 এর মান নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)।
প্রদত্ত রাশিতে, a=xa=x এবং b=1/xb=1/x।
সুতরাং, x3−1/x3=(x−1/x)3+3⋅x⋅1/x(x−1/x)x^3 - 1/x^3 = (x - 1/x)^3 + 3 \cdot x \cdot 1/x (x - 1/x)।
প্রশ্নে দেওয়া আছে x−1/x=1x - 1/x = 1। এই মানটি বসালে আমরা পাই:
(1)3+3⋅(1)=1+3=4(1)^3 + 3 \cdot (1) = 1 + 3 = 4।
117

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 1250 বর্গমিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 50 মিটার
  2. খ
    60 মিটার
  3. গ
    30 মিটার
  4. ঘ
    40 মিটার

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরণের পরিমাপ সংক্রান্ত প্রশ্নে প্রথমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের মধ্যে সম্পর্কটি বীজগাণিতিক চলরাশি (xx) ধরে নিতে হবে।
ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ (WW) = xx মিটার।
প্রশ্নমতে, দৈর্ঘ্য (LL) প্রস্থের দ্বিগুণ, সুতরাং দৈর্ঘ্য = 2x2x মিটার।
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য imes imes প্রস্থ।
সুতরাং, ক্ষেত্রফল = 2ximesx=2x22x imes x = 2x^2 বর্গমিটার।
প্রশ্নানুসারে, প্রদত্ত ক্ষেত্রফল হলো 1250 বর্গমিটার।
2x2=12502x^2 = 1250
উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করলে, x2=12502=625x^2 = \frac{1250}{2} = 625।
অতএব, x=625=25x = \sqrt{625} = 25 মিটার। (এটি হলো প্রস্থ)
আমাদের কাছে দৈর্ঘ্য জানতে চাওয়া হয়েছে। যেহেতু দৈর্ঘ্য = 2x2x, সুতরাং দৈর্ঘ্য = 2imes25=<strong>502 imes 25 = <strong>50 মিটার।
সঠিক উত্তর হলো 50 মিটার।
118

3/x+4/(x+1)=2  হলে x এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    1
  4. 3

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের সমীকরণ সমাধানের জন্য আমরা প্রথমে বীজগাণিতিক উপায়ে ল.সা.গু করে একটি সরল দ্বিঘাত সমীকরণে নিয়ে আসব, অথবা সরাসরি অপশন টেস্ট (মান বসিয়ে পরীক্ষা) করব।
বীজগাণিতিক সমাধান:
দেওয়া আছে: 3x+4x+1=2\frac{3}{x} + \frac{4}{x+1} = 2
১. ল.সা.গু করে পাই: 3(x+1)+4xx(x+1)=2\frac{3(x+1) + 4x}{x(x+1)} = 2
২. বা, 3x+3+4x=2(x2+x)3x + 3 + 4x = 2(x^2 + x)
৩. বা, 7x+3=2x2+2x7x + 3 = 2x^2 + 2x
৪. দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে সাজিয়ে পাই: 2x2+2x−7x−3=02x^2 + 2x - 7x - 3 = 0
৫. বা, 2x2−5x−3=02x^2 - 5x - 3 = 0
৬. মধ্যপদ বিশ্লেষণ (Middle Term Factor) করে পাই: 2x2−6x+x−3=02x^2 - 6x + x - 3 = 0
৭. বা, 2x(x−3)+1(x−3)=02x(x - 3) + 1(x - 3) = 0
৮. বা, (2x+1)(x−3)=0(2x + 1)(x - 3) = 0
অতএব, x−3=0x - 3 = 0 বা 2x+1=02x + 1 = 0
সুতরাং, x=3x = 3 অথবা x=−1/2x = -1/2। যেহেতু অপশনে 3 আছে, তাই সঠিক উত্তর হবে 3।
119

(x+3)(x−3) কে x2−6 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. -3
  2. খ
    -6
  3. গ
    6
  4. ঘ
    3

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রথমে ভাজ্য বা যে রাশিটিকে ভাগ করা হবে, সেটিকে সরল করতে হবে।
রাশিটি হলো: (x+3)(x−3)(x+3)(x-3)।
এটি বীজগণিতের মৌলিক সূত্র (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 এর রূপে আছে।
সুতরাং, (x+3)(x−3)=x2−32=<strong>x2−9</strong>(x+3)(x-3) = x^2 - 3^2 = <strong>x^2 - 9</strong>। এটি হলো ভাজ্য (Dividend)।
ভাজক (Divisor) হলো: x2−6x^2 - 6।
এখন, আমরা x2−9x^2 - 9 কে x2−6x^2 - 6 দিয়ে ভাগ করব।
(x2−9)=(x2−6)−3(x^2 - 9) = (x^2 - 6) - 3
যেহেতু ভাজ্য == ভাজক ×\times ভাগফল ++ ভাগশেষ।
এখানে, x2−9=1×(x2−6)+(−3)x^2 - 9 = 1 \times (x^2 - 6) + (-3)।
সুতরাং, ভাগফল (Quotient) হলো 1 এবং ভাগশেষ (Remainder) হলো -3।
সঠিক উত্তর: -3।
120

কোনটি সঠিক উত্তর?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. sin⁡1∘=sin⁡179∘\sin 1^{\circ}=\sin 179^{\circ}

  2. খ

    cos⁡1∘=cos⁡179∘\cos 1^{\circ}=\cos 179^{\circ}

  3. গ

    tan⁡1∘=tan⁡179∘\tan 1^{\circ}=\tan 179^{\circ}

  4. ঘ

    sin⁡1∘=sin⁡181∘\sin 1^{\circ}=\sin 181^{\circ}

সঠিক উত্তর: ক

ব্যাখ্যা

এটি ত্রিকোণমিতির চতুর্ভাগ (Quadrant) সম্পর্কিত একটি প্রশ্ন।
দ্বিতীয় চতুর্ভাগে (90∘\mathbf{90^{\circ}} থেকে 180∘\mathbf{180^{\circ}}), সাইন (sin⁡\mathbf{\sin}) ধনাত্মক (Positive) থাকে।
ত্রিকোণমিতির মূল সূত্রটি হলো: sin⁡(180∘−θ)=sin⁡θ\mathbf{\sin (180^{\circ} - \theta) = \sin \theta}।
এখানে θ=1∘\theta = 1^{\circ} ধরলে, sin⁡(180∘−1∘)=sin⁡1∘\mathbf{\sin (180^{\circ} - 1^{\circ}) = \sin 1^{\circ}} হয়।
সুতরাং, sin⁡179∘=sin⁡1∘\mathbf{\sin 179^{\circ} = \sin 1^{\circ}}।
অন্যদিকে, sin⁡181∘\mathbf{\sin 181^{\circ}} তৃতীয় চতুর্ভাগে পড়ে, যেখানে সাইন ঋণাত্মক (Negative) হয়, তাই sin⁡1∘≠sin⁡181∘\sin 1^{\circ} \neq \sin 181^{\circ}।
121

৬৫ ডিগ্রি পূরক কোণের পরিমাণ কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১৩৫ ডিগ্রি
  2. খ
    ১২৫ ডিগ্রি
  3. ২৫ ডিগ্রি
  4. ঘ
    ৩৫ ডিগ্রি

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০ ডিগ্রি হলে তাদের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। ৬৫ ডিগ্রি পূরক কোণের পরিমাণ ৯০৬৫২৫(৯০∘–৬৫∘)=২৫∘।

ব্যাখ্যা

জ্যামিতির অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ একটি সংজ্ঞা হলো পূরক কোণ (Complementary Angle)।
নিয়ম: যখন দুইটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি ৯০ ডিগ্রি (সমকোণ) হয়, তখন একটি কোণকে অন্যটির পূরক কোণ বলা হয়।
অতএব, ৬৫ ডিগ্রির পূরক কোণ হবে ৯০∘৯০^\circ থেকে ৬৫ ডিগ্রিকে বিয়োগ করলে যা পাওয়া যায়।
গণনা: ৯০∘−৬৫∘=<strong>২৫∘৯০^\circ - ৬৫^\circ = <strong>২৫^\circ।
সঠিক উত্তর হলো ২৫ ডিগ্রি।
122

বৃত্তের যে কোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বৃত্তের একটি-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. জ্যা
  2. খ
    চাপ
  3. গ
    ব্যাসার্ধ
  4. ঘ
    ব্যাস

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো জ্যা।
জ্যা (Chord): জ্যামিতির সংজ্ঞা অনুযায়ী, বৃত্তের পরিধির উপরস্থ যে কোনো দুটি বিন্দুকে একটি সরলরেখাংশ দিয়ে যুক্ত করলে সেই রেখাংশটিকে বৃত্তের একটি জ্যা বলা হয়।
এই জ্যা কেন্দ্র দিয়ে যেতেও পারে, আবার নাও যেতে পারে।
অন্য অপশনগুলো কেন ভুল:
১. ব্যাস (Diameter): এটিও জ্যা, তবে এটি কেন্দ্রগামী। এটি বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।
২. ব্যাসার্ধ (Radius): এটি বৃত্তের কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত টানা রেখাংশ। এটি দুটি পরিধির বিন্দুর সংযোজক নয়।
৩. চাপ (Arc): এটি একটি রেখাংশ নয়, বরং এটি বৃত্তের পরিধির অংশ।
123

f(x)=(x−1)2 হলে, f(5) = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    36
  2. 16
  3. গ
    35
  4. ঘ
    28

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

f(x)=(x−1)2 f(5)=(5−1)2 =42=16.

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি ফাংশন (Function) বা অপেক্ষকের মান নির্ণয় সম্পর্কিত। প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষায় বীজগণিতের এই অংশটি খুবই গুরুত্বপূর্ণ।
এখানে ফাংশনটি দেওয়া আছে: f(x)=(x−1)2f(x)=(x−1)^2 ।
আমাদেরকে f(5)f(5) এর মান বের করতে বলা হয়েছে। এর অর্থ হলো, প্রদত্ত ফাংশনের x এর জায়গায় ৫ বসিয়ে হিসাব করতে হবে।
f(5)=(5−1)2f(5) = (5-1)^2
প্রথমে বন্ধনীর ভেতরের বিয়োগ কাজটি করতে হবে: 5−1=45 - 1 = 4।
এরপর ফলাফলটিকে বর্গ করতে হবে: 42=4×4=<strong>16</strong>4^2 = 4 \times 4 = <strong>16</strong>
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ১৬।
124

ত্রিভুজের যে কোনো দুটি মধ্যমা পরস্পর সমান হলে ত্রিভুজটি-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    সমকোণী ত্রিভুজ
  2. খ
    বিষমবাহু ত্রিভুজ
  3. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
  4. ঘ
    সমবাহু ত্রিভুজ

সঠিক উত্তর: গ

ব্যাখ্যা

এটি ত্রিভুজের মধ্যমা সংক্রান্ত একটি গুরুত্বপূর্ণ জ্যামিতিক উপপাদ্য।
উপপাদ্য অনুযায়ী: যদি কোনো ত্রিভুজের দুটি মধ্যমা (Medians) পরস্পর সমান হয়, তবে মধ্যমা দুটির সংশ্লিষ্ট বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যও সমান হবে।
যেহেতু ত্রিভুজটির দুটি বাহু সমান, তাই ত্রিভুজটির সংজ্ঞা অনুযায়ী এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles Triangle)।
125

pm বলতে কী বোঝায়?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    p কে m এর সূচক
  2. m কে p এর সূচক
  3. গ
    p,m এর লগ
  4. ঘ
    p কে m এর ভিত্তি

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

সূচক শব্দের অর্থ হলো Power বা শক্তি। pm কে বলা হয় m কে p এর সূচক। p হলো এখানে (base) ভিত্তি।

ব্যাখ্যা

বীজগণিতে pmp^m এই রাশিটিকে সূচকীয় রাশি বলা হয়।
এখানে, নিচের সংখ্যা pp হলো ভিত্তি বা Base।
উপরের সংখ্যা mm হলো সূচক, ঘাত বা Power।
অর্থাৎ, pp কে mm বার গুণ করা হয়েছে। তাই, pmp^m বলতে বোঝায় mm হলো pp এর সূচক।
বিকল্প ৩ (p,m এর লগ) এবং বিকল্প ৪ (p কে m এর ভিত্তি) সংজ্ঞা অনুযায়ী ভুল।
126

যদি কাঁচ পানি অপেক্ষা ৩.৫ গুণ বেশি ভারী হয়, তবে ৫০ ঘন সেন্টিমিটার কাঁচের ওজন কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১০০ গ্রাম
  2. ১৭৫ গ্রাম
  3. গ
    ৫০০ গ্রাম
  4. ঘ
    ১০০০ গ্রাম

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের ওজন সংক্রান্ত অঙ্কগুলি আপেক্ষিক গুরুত্ব (Specific Gravity) এর ধারণার উপর ভিত্তি করে করা হয়।
আমরা জানি, সাধারণ তাপমাত্রায় ১ ঘন সেন্টিমিটার (সিসি) বিশুদ্ধ পানির ওজন হলো ১ গ্রাম।
প্রশ্নানুসারে, কাঁচ পানি অপেক্ষা ৩.৫ গুণ বেশি ভারী। অর্থাৎ, কাঁচের আপেক্ষিক গুরুত্ব হলো ৩.৫।
সুতরাং, ১ ঘন সে.মি. কাঁচের ওজন হবে: ১গ্রাম×৩.৫=৩.৫১ গ্রাম \times ৩.৫ = ৩.৫ গ্রাম।
অতএব, ৫০ ঘন সে.মি. কাঁচের ওজন হবে: ৫০×৩.৫৫০ \times ৩.৫ গ্রাম = ১৭৫ গ্রাম।
সঠিক উত্তর হলো ১৭৫ গ্রাম।
127

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৬০০ বর্গমিটার। এর পরিসীমা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    200
  2. খ
    172
  3. গ
    180
  4. 160

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমাদের বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এবং পরিসীমার সূত্র জানতে হবে।
১. প্রথমে ক্ষেত্রফল থেকে বাহুর দৈর্ঘ্য (Side) নির্ণয় করতে হবে। বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)২^২
দেওয়া আছে, ক্ষেত্রফল = ১৬০০ বর্গমিটার।
অতএব, বাহু = ১৬০০\sqrt{১৬০০} মিটার। যেহেতু ১৬\sqrt{১৬} = ৪ এবং ১০০\sqrt{১০০} = ১০, তাই বাহুর দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার।
২. এরপর বাহুর দৈর্ঘ্য থেকে পরিসীমা (Perimeter) নির্ণয় করতে হবে। বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = ৪ ×\times বাহুর দৈর্ঘ্য।
পরিসীমা = ৪ ×\times ৪০ মিটার = ১৬০ মিটার।
128

(x−2)(x−3)<0 এর সমাধান সেট কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    x<3
  2. খ
    x>2
  3. 2
  4. ঘ
    কোনটিই নয়

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি অসমতা (Inequality) সংক্রান্ত সমস্যা। যখন দুটি রাশির গুণফল শূন্যের চেয়ে ছোট (নেগেটিভ) হয়, তখন একটি রাশিকে অবশ্যই ধনাত্মক (+) এবং অন্যটিকে ঋণাত্মক (-) হতে হবে।
এখানে উৎপাদক দুটি হলো (x−2)(x-2) এবং (x−3)(x-3)। এদেরকে শূন্য ধরলে ক্রিটিক্যাল পয়েন্ট বা মূল (roots) পাওয়া যায়: x=2x=2 এবং x=3x=3।
যেহেতু (x−2)(x−3)<0(x-2)(x-3) < 0, এর অর্থ হলো উৎপাদক দুটির মধ্যে একটি অবশ্যই বড় এবং অন্যটি অবশ্যই ছোট হবে। আমরা দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করব:
১. যদি (x−2)>0(x-2) > 0 এবং (x−3)<0(x-3) < 0 হয়।
এক্ষেত্রে x>2x > 2 এবং x<3x < 3। এই দুটি শর্তকে একত্রিত করলে পাওয়া যায় 2<x<32 < x < 3।
২. যদি (x−2)<0(x-2) < 0 এবং (x−3)>0(x-3) > 0 হয়।
এক্ষেত্রে x<2x < 2 এবং x>3x > 3। এটি অসম্ভব, কারণ xx একইসাথে ২ এর চেয়ে ছোট এবং ৩ এর চেয়ে বড় হতে পারে না।
অতএব, একমাত্র গ্রহণযোগ্য সমাধান সেট হলো: 2<x<32 < x < 3।
129

একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি ২য় কোণের তিনগুণ এবং ৩য় কোণ যদি ২য় কোণের চেয়ে ৩০ ডিগ্রি বড় হয় তবে কোণটি কত ডিগ্রি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    60
  2. খ
    50
  3. গ
    45
  4. 30

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি ত্রিভুজের কোণ সংক্রান্ত একটি বীজগণিতভিত্তিক সমস্যা। আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি সর্বদা ১৮০ ডিগ্রি হয়।
ধরি, দ্বিতীয় কোণটি হলো xx ডিগ্রি।
তাহলে, প্রথম কোণটি হবে 3x3x ডিগ্রি (তিনগুণ)।
এবং তৃতীয় কোণটি হবে x+30x + 30 ডিগ্রি (৩০ ডিগ্রি বড়)।
সমীকরণটি হবে: 3x+x+(x+30)=1803x + x + (x + 30) = 180
5x+30=1805x + 30 = 180
5x=180−305x = 180 - 30
5x=1505x = 150
x=1505=30x = \frac{150}{5} = 30
যেহেতু x=30x=30, অর্থাৎ দ্বিতীয় কোণটি হলো ৩০ ডিগ্রি।
অন্যান্য কোণ দুটি হলো: 90∘90^\circ এবং 60∘60^\circ। অপশনগুলোর মধ্যে ৩০ সঠিক উত্তর।
130

a + b = 11, a - b = 7 হলে ab = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    15
  2. খ
    16
  3. 18
  4. ঘ
    12

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য বীজগণিতের মান নির্ণয়ের সূত্রটি ব্যবহার করা সবচেয়ে সহজ।
যেহেতু a+ba+b এবং a−ba-b এর মান দেওয়া আছে, আমরা 4ab4ab এর অনুসিদ্ধান্তটি ব্যবহার করব।
অনুসিদ্ধান্ত: 4ab=(a+b)2−(a−b)24ab = (a+b)^2 - (a-b)^2
প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই:
4ab=(11)2−(7)24ab = (11)^2 - (7)^2
4ab=121−494ab = 121 - 49
4ab=724ab = 72
সুতরাং, ab=724=18ab = \frac{72}{4} = 18
সঠিক উত্তর হলো 18।
131

একটি ফুটবলের ব্যাস ১০ ইঞ্চি হলে ফুটবলের আয়তন কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৩১.৪১৬ বর্গ ইঞ্চি
  2. খ
    ৭৮.৫৪ ইঞ্চি
  3. গ
    ৩১৪.১৬ ঘন ইঞ্চি
  4. ৫২৩.৮০ ঘন ইঞ্চি

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ফুটবলকে জ্যামিতির ভাষায় গোলক (Sphere) বলা হয়। তাই আমাদের গোলকের আয়তন (Volume) নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করতে হবে।
প্রথমে আমাদের ব্যাস (Diameter) থেকে ব্যাসার্ধ (Radius, rr) বের করতে হবে।
১. ব্যাসার্ধ নির্ণয়:
ব্যাস, D=১০D = ১০ ইঞ্চি।
ব্যাসার্ধ, r=D/২=১০/২=৫r = D/২ = ১০/২ = ৫ ইঞ্চি।
২. আয়তন নির্ণয়ের সূত্র:
গোলকের আয়তনের সূত্র হলো: V=৪৩πr৩V = \frac{৪}{৩} \pi r^৩
৩. মান বসিয়ে হিসাব:
V=৪৩×(৩.১৪১৬)×(৫)৩V = \frac{৪}{৩} \times (৩.১৪১৬) \times (৫)^৩
V=৪৩×৩.১৪১৬×১২৫V = \frac{৪}{৩} \times ৩.১৪১৬ \times ১২৫
V=১,৫৭০.৮৩≈৫২৩.৬V = \frac{১,৫৭০.৮}{৩} \approx ৫২৩.৬ ঘন ইঞ্চি।
উপরে প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ৫২৩.৮০ ঘন ইঞ্চি হলো নিকটতম এবং সঠিক উত্তর। মনে রাখবেন, আয়তনের একক সবসময় ঘন (Cubic) হয়, তাই 'বর্গ ইঞ্চি' বা শুধু 'ইঞ্চি' যুক্ত অপশনগুলো ভুল হবে।
132

অতিভুজের বিপরীত থাকে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    সরলকোণ
  2. সমকোণ
  3. গ
    সূক্ষ্মকোণ
  4. ঘ
    স্থূলকোণ

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে বলা হয় অতিভুজ।

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সমকোণী ত্রিভুজের মৌলিক সংজ্ঞা সংক্রান্ত।
যে ত্রিভুজের একটি কোণ 90∘90^{\circ} বা এক সমকোণ, তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলে।
সমকোণী ত্রিভুজে 90∘90^{\circ} কোণটির ঠিক বিপরীত বাহুকে অতিভুজ (Hypotenuse) বলা হয়। অতিভুজ হলো ত্রিভুজটির দীর্ঘতম বাহু।
সুতরাং, সংজ্ঞা অনুযায়ী, অতিভুজের বিপরীত দিকে সবসময় সমকোণ (90∘90^{\circ}) অবস্থান করে।
133

a/b=4, a+2b=12 হলে a এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 8
  2. খ
    12
  3. গ
    16
  4. ঘ
    4

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি দুটি সরল সমীকরণ সমাধানের একটি উদাহরণ। এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution Method) সবচেয়ে কার্যকর।
১. প্রথমে প্রথম সমীকরণটিকে সরল করুন: a/b=4a/b = 4।
এখান থেকে আমরা পাই, a=<strong>4b</strong>a = <strong>4b</strong>।
২. এই প্রাপ্ত aa এর মানটি দ্বিতীয় সমীকরণটিতে (a+2b=12a+2b=12) বসিয়ে দিন।
(4b)+2b=12(4b) + 2b = 12
6b=126b = 12
অতএব, $b = 12/6 = 2।
৩. এখন bb এর মান ব্যবহার করে aa এর মান নির্ণয় করুন:
$a = 4b = 4 \times 2 = 8।
সুতরাং, aa এর মান হলো 8।
134

x3−1, x3+1, x4+x2+1 – এর ল.সা.গু.কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. x6−1x^6 - 1
  2. খ
    x6+1x^6 + 1
  3. গ
    x2+1x^2 + 1
  4. ঘ
    x2−1x^2 - 1

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি বীজগণিতীয় ল.সা.গু. (LCM) নির্ণয়ের সমস্যা। ল.সা.গু. হলো রাশিগুলোর সকল উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাতের গুণফল।
প্রথমে রাশিগুলোকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে:
১. x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)
২. x3+1=(x+1)(x2−x+1)x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)
৩. x4+x2+1x^4+x^2+1 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা হলো: <br/>x4+x2+1=(x2+1)2−x2=(x2+1−x)(x2+1+x)<br/>x^4+x^2+1 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2+1-x)(x^2+1+x)
=(x2−x+1)(x2+x+1) = (x^2-x+1)(x^2+x+1)
ল.সা.গু. হবে সকল স্বতন্ত্র উৎপাদকগুলোর গুণফল:
ল.সা.গু. =(x−1)×(x+1)×(x2+x+1)×(x2−x+1)= (x-1) \times (x+1) \times (x^2+x+1) \times (x^2-x+1)
আমরা জানি: (x−1)(x2+x+1)=x3−1 (x-1)(x^2+x+1) = x^3-1
এবং (x+1)(x2−x+1)=x3+1 (x+1)(x^2-x+1) = x^3+1
সুতরাং, ল.সা.গু. =(x3−1)(x3+1)=(x3)2−12=<strong>x6−1</strong>= (x^3-1)(x^3+1) = (x^3)^2 - 1^2 = <strong>x^6 - 1</strong>
135

একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি ৭৫ মিটার এবং উচ্চতা ২০ মিটার। প্রতি বর্গমিটারে ২.০০ টাকা হিসেবে ঘাস লাগাতে কত খরচ হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1250
  2. 1500
  3. গ
    1400
  4. ঘ
    1600

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত একটি সরাসরি প্রশ্ন। ত্রিভুজাকৃতি জমির ঘাস লাগানোর মোট খরচ বের করতে হলে প্রথমে জমিটির মোট ক্ষেত্রফল বের করতে হবে।
১. ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: 12×ভূমি×উচ্চতা\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}।
প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, ভূমি (b) = ৭৫ মিটার এবং উচ্চতা (h) = ২০ মিটার।
ক্ষেত্রফল = 12×৭৫×২০\frac{1}{2} \times ৭৫ \times ২০
=৭৫×১০= ৭৫ \times ১০ (২০-কে ২ দিয়ে ভাগ করে)
$= ৭৫০ বর্গমিটার।
২. মোট খরচ নির্ণয়:
প্রতি বর্গমিটারে খরচ ২.০০ টাকা।
মোট খরচ = মোট ক্ষেত্রফল ×\times প্রতি বর্গমিটার খরচ।
মোট খরচ = $৭৫০ \times ২ = ১৫০০ টাকা।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ১৫০০ টাকা।
136

একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ৭.৫ ফুট হলে, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১২.৭২৫ বর্গফুট
  2. ২৮.১২৫ বর্গফুট
  3. গ
    ৩৬.৫০ বর্গফুট
  4. ঘ
    ৯.৩৭৫ বর্গফুট

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র প্রয়োগের একটি উদাহরণ। যখন কোনো বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য (d) দেওয়া থাকে, তখন ক্ষেত্রফল (A) নির্ণয়ের জন্য সরাসরি সূত্র ব্যবহার করা হয়।
সূত্রটি হলো: ক্ষেত্রফল(A)=d22ক্ষেত্রফল (A) = \frac{d^2}{2}
এখানে কর্ণের দৈর্ঘ্য (d) = ৭.৫ ফুট।
প্রথমে কর্ণের বর্গ (d2d^2) নির্ণয় করতে হবে: ৭.৫×৭.৫=৫৬.২৫৭.৫ \times ৭.৫ = ৫৬.২৫
এরপর বর্গফলকে ২ দিয়ে ভাগ করতে হবে: $\frac{৫৬.২৫}{২} = ২৮.১২৫ বর্গফুট।
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো ২৮.১২৫ বর্গফুট।
137

দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৯ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    70
  2. খ
    80
  3. গ
    90
  4. 100

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি ক্রমিক সংখ্যা এবং বর্গের অন্তর সংক্রান্ত। প্রাইমারি শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষায় এই ধরনের প্রশ্ন খুব কমন।
ধরি, ছোট সংখ্যাটি হলো xx।
যেহেতু সংখ্যা দুটি ক্রমিক, তাই বড় সংখ্যাটি হবে x+1x+1।
প্রশ্নমতে, বড় সংখ্যার বর্গের থেকে ছোট সংখ্যার বর্গ বিয়োগ করলে অন্তর হয় ১৯৯।
সুতরাং, (x+1)2−x2=199(x+1)^2 - x^2 = 199।
আমরা জানি, a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)।
এখানে a=x+1a = x+1 এবং b=xb = x।
(x+1+x)(x+1−x)=199(x+1 + x)(x+1 - x) = 199
(2x+1)(1)=199(2x + 1)(1) = 199
2x=199−12x = 199 - 1
2x=1982x = 198
x=99x = 99 (এটি ছোট সংখ্যা)।
সুতরাং, বড় সংখ্যাটি হলো $x+1 = 99 + 1 = 100।
138

a + b = 5 এবং a - b = 3 হলে ab মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. 4
  4. ঘ
    5

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সূত্রভিত্তিক সমস্যা, যা প্রাইমারি পরীক্ষায় প্রায়শই আসে।
এখানে দুটি রাশির যোগফল (a+b=5)(a+b=5) এবং বিয়োগফল (a−b=3)(a-b=3) দেওয়া আছে। আমাদের abab এর মান বের করতে হবে।
আমরা abab এর মান নির্ণয়ের জন্য সরাসরি সূত্রটি ব্যবহার করব। সূত্রটি হলো: ab=(a+b)2−(a−b)24ab = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}।
মান বসিয়ে পাই: ab=(5)2−(3)24ab = \frac{(5)^2 - (3)^2}{4}।
হিসাব করলে আসে: ab=25−94=164=4ab = \frac{25 - 9}{4} = \frac{16}{4} = 4।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 4।
139

যে চতুর্ভুজের বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয়, তাকে কী বলে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    সামন্তরিক
  2. রম্বস
  3. গ
    ট্রাপিজিয়াম
  4. ঘ
    আয়তক্ষেত্র

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো রম্বস (Rhombus)।
রম্বসের প্রধান বৈশিষ্ট্য হলো—এর চারটি বাহুর দৈর্ঘ্যই পরস্পর সমান এবং বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল। এটি একটি সামন্তরিক, যার সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান।
প্রশ্ন অনুযায়ী, বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল, কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয়। যে চতুর্ভুজের বাহুগুলো সমান কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয়, তাকেই রম্বস বলে।
যদি বাহুগুলো সমান এবং কোণগুলোও সমকোণ হতো, তবে সেটি বর্গক্ষেত্র হতো।
আয়তক্ষেত্রের কোণ সমকোণ, কিন্তু কেবল বিপরীত বাহু সমান। সামন্তরিকের কেবল বিপরীত বাহুগুলো সমান এবং কোণ সমকোণ নয়।
140

২৫৩ ডিগ্রি কোণকে কী কোণ বলে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    সূক্ষ্মকোণ
  2. খ
    স্থূলকোণ
  3. গ
    পূরককোণ
  4. প্রবৃদ্ধকোণ

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

দুই সমকোণ বা ১৮০∘ অপেক্ষা বড় কিন্তু চার সমকোণ বা ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধকোণ বলে।

ব্যাখ্যা

২৫৩ ডিগ্রি কোণটির পরিমাপ হলো ১৮০ ডিগ্রি ({180∘}\{180^\circ\}) এর চেয়ে বড় এবং ৩৬০ ডিগ্রি ({360∘}\{360^\circ\}) এর চেয়ে ছোট।
সংজ্ঞানুযায়ী, যে কোণের পরিমাপ 180∘180^\circ অপেক্ষা বেশি কিন্তু 360∘360^\circ অপেক্ষা কম, তাকে প্রবৃদ্ধকোণ (Reflex Angle) বলে।
অন্যান্য বিকল্পগুলো ভুল, কারণ:
সূক্ষ্মকোণ হলো 90∘90^\circ অপেক্ষা ছোট।
স্থূলকোণ হলো 90∘90^\circ অপেক্ষা বড় কিন্তু 180∘180^\circ অপেক্ষা ছোট।
পূরককোণ হলো দুটি কোণের যোগফল 90∘90^\circ হলে তাদের একে অপরের পূরক বলে।
141

একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৫১২ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ৯৬ মিটার
  2. খ
    ২৫৬ মিটার
  3. গ
    ১২৮ মিটার
  4. ঘ
    ৪৮ মিটার

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

ধরি, আয়তাকার ঘরের বিস্তার বা প্রস্থ (W) হলো WW মিটার।
প্রশ্নমতে, দৈর্ঘ্য (L) হলো বিস্তারের দ্বিগুণ। সুতরাং, দৈর্ঘ্য L=<strong>২W</strong>L = <strong>২W</strong> মিটার।
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য ×\times প্রস্থ।
ক্ষেত্রফল: L×W=512L \times W = 512
বা, (২W)×W=512(২W) \times W = 512
বা, ২W২=512২W^২ = 512
সুতরাং, W২=512২=256W^২ = \frac{512}{২} = 256।
প্রস্থ W=256=<strong>১৬W = \sqrt{256} = <strong>১৬ মিটার।
অতএব, দৈর্ঘ্য L=২×১৬=<strong>৩২L = ২ \times ১৬ = <strong>৩২ মিটার।
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সূত্র: ২×(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)২ \times (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)।
পরিসীমা =২(৩২+১৬)=২×৪৮=<strong>৯৬= ২(৩২ + ১৬) = ২ \times ৪৮ = <strong>৯৬ মিটার।
সঠিক উত্তর হলো অপশন (ক) ৯৬ মিটার।
142

৩ সে.মি., ৪ সে.মি., ও ৫ সে.মি., বাহুবিশিষ্ট তিনটি ঘনক গলিয়ে নতুন একটি ঘনক তৈরি করা হলো। নতুন ঘনক এর বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ৬ সে.মি
  2. খ
    ৭ সে.মি.
  3. গ
    ৭.৫ সে.মি.
  4. ঘ
    ৬.৫ সে.মি.

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

যখন একাধিক বস্তু গলিয়ে বা একসাথে মিশিয়ে নতুন একটি বস্তু তৈরি করা হয়, তখন তাদের **মোট আয়তন (Total Volume)** একই থাকে।
এক্ষেত্রে, তিনটি ঘনক গলিয়ে নতুন একটি ঘনক তৈরি করা হয়েছে। তাই ছোট তিনটি ঘনকের মোট আয়তন = নতুন ঘনকের আয়তন।
আমরা জানি, ঘনকের আয়তনের সূত্র হলো: বাহু3\text{বাহু}^3 বা a3a^3।
প্রথম ঘনক তিনটির বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ৩ সে.মি., ৪ সে.মি., এবং ৫ সে.মি.।
সুতরাং, ঘনকগুলোর মোট আয়তন হবে:
Vমোট=33+43+53V_{\text{মোট}} = 3^3 + 4^3 + 5^3
Vমোট=27+64+125V_{\text{মোট}} = 27 + 64 + 125
Vমোট=216 ঘন সে.মি.V_{\text{মোট}} = \mathbf{216} \text{ ঘন সে.মি.}
ধরি, নতুন ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য SS সে.মি.। তাহলে S3=216S^3 = 216।
S=2163=6 সে.মি.S = \sqrt[3]{216} = \mathbf{6} \text{ সে.মি.}
অতএব, নতুন ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য হলো ৬ সে.মি.।
143

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত উপাত্তকে ১০টি শ্রেণিতে ভাগ করলে ৮ নম্বর শ্রেণিটি নিচের কোনটি হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৮১ - ৯০
  2. খ
    ৮০ - ৯০
  3. ৮৯ - ৯৯
  4. ঘ
    ৮০ - ৯১

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য প্রথমে শ্রেণিব্যবধানের দৈর্ঘ্য (Class Width) নির্ণয় করতে হবে।
ধাপ ১: পরিসর নির্ণয়। উপাত্তের পরিসর (Range) হলো সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মানের পার্থক্য + ১।
এখানে সর্বনিম্ন মান ১ এবং সর্বোচ্চ মান ১০০।
পরিসর = (সর্বোচ্চ মান - সর্বনিম্ন মান) + ১
পরিসর = (100−1)+1=100(100 - 1) + 1 = 100
ধাপ ২: শ্রেণিব্যবধানের দৈর্ঘ্য নির্ণয়। পরিসরকে শ্রেণি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে হবে।
শ্রেণিব্যবধানের দৈর্ঘ্য = পরিসর / শ্রেণি সংখ্যা = 100/10=10100 / 10 = 10।
অর্থাৎ, প্রতিটি শ্রেণির দৈর্ঘ্য অবশ্যই ১০ হতে হবে।
ধাপ ৩: শ্রেণি নির্ণয় (Inclusive Method): যেহেতু উপাত্তগুলো পূর্ণসংখ্যা, তাই শ্রেণিবিন্যাস সাধারণত ১ থেকে শুরু হয়।
১ম শ্রেণি: ১ - ১০ (দৈর্ঘ্য ১০)
২য় শ্রেণি: ১১ - ২০
...
৮ নম্বর শ্রেণি হবে: ৭১ - ৮০ (কারণ সপ্তম শ্রেণি ৬১-৭০ এ শেষ হবে)।
পর্যবেক্ষণ: সঠিক উত্তর ৭১ - ৮০ অপশনে নেই। অপশনে প্রদত্ত ৮৯ - ৯৯ শ্রেণির দৈর্ঘ্য হলো ১১, যা গাণিতিক নিয়মে ভুল। তবে, পরীক্ষার প্রশ্নে প্রায়শই এমন ত্রুটিপূর্ণ অপশন দেওয়া থাকে। যেহেতু প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ৮৯ - ৯৯ (ইনডেক্স ২) সঠিক উত্তর হিসেবে চিহ্নিত করা হয়েছে, তাই এটিকে গ্রহণ করতে হচ্ছে, যদিও এটি গাণিতিকভাবে ত্রুটিপূর্ণ শ্রেণিবিন্যাস নির্দেশ করে।
144

a + b = 5 এবং a – b = 3 হলে ab এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 4
  2. খ
    5
  3. গ
    2
  4. ঘ
    3

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য বীজগাণিতিক সূত্র ব্যবহার করা সবচেয়ে সহজ। আমাদের কাছে (a+b)(a+b) এবং (a−b)(a-b) এর মান দেওয়া আছে এবং abab এর মান বের করতে হবে।
আমরা সরাসরি abab নির্ণয়ের সূত্রটি ব্যবহার করব, যা হলো: ab=(a+b)2−(a−b)24ab = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}।
মান বসিয়ে পাই: ab=(5)2−(3)24ab = \frac{(5)^2 - (3)^2}{4}
হিসাব করলে: ab=25−94=164ab = \frac{25 - 9}{4} = \frac{16}{4}
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 4।
145

কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর উপর অঙ্কিত রেখাকে ঐ ত্রিভুজের কী বলা হয়?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    সমদ্বিখণ্ডক
  2. খ
    অতিভুজ
  3. গ
    লম্ব
  4. মধ্যমা

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো মধ্যমা (Median)।
মধ্যমার সংজ্ঞা: ত্রিভুজের কোনো শীর্ষবিন্দু (Vertex) থেকে তার বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর (Midpoint) ওপর যে সরলরেখা আঁকা হয়, তাকেই ঐ ত্রিভুজের মধ্যমা বলা হয়।
একটি ত্রিভুজে মোট তিনটি মধ্যমা আঁকা যায়।

অন্যান্য অপশন কেন ভুল:
১. লম্ব (Altitude): এটি শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর ৯০° কোণে অঙ্কিত হয়। এটি মধ্যবিন্দুতে নাও যেতে পারে।
২. অতিভুজ (Hypotenuse): এটি শুধুমাত্র সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ৯০° কোণের বিপরীত বাহু। এটি কোনো রেখা নয় যা শীর্ষবিন্দু ও মধ্যবিন্দুকে সংযুক্ত করে।
146

যদি x + 2y = 4 এবং xy = 2 হয়, তবে x = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 2
  2. খ
    0
  3. গ
    12
  4. ঘ
    1

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি দুটি চলকের মান নির্ণয়ের প্রশ্ন। যেহেতু মানগুলো ছোট, তাই সহজে সমাধান করা যায়।
দেওয়া আছে:
১. x+2y=4x + 2y = 4
২. xy=2xy = 2
আমরা যদি অপশনগুলো টেস্ট করি, তবে দ্রুত সমাধান করা সম্ভব। তবে বীজগণিতের নিয়মে সমাধান করলে:
দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে, y=2xy = \frac{2}{x} (যেহেতু x=0x = 0 হতে পারে না, কারণ তাহলে xy=0xy = 0 হতো, কিন্তু দেওয়া আছে xy=2xy = 2)।
এখন yy-এর মান প্রথম সমীকরণে বসাই:
x+2(2x)=4x + 2(\frac{2}{x}) = 4
x+4x=4x + \frac{4}{x} = 4
উভয় পক্ষকে xx দিয়ে গুণ করে পাই:
x2+4=4xx^2 + 4 = 4x
পক্ষান্তর করলে, x2−4x+4=0x^2 - 4x + 4 = 0
এটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি। আমরা জানি a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2
সুতরাং, (x−2)2=0(x - 2)^2 = 0
অতএব, x−2=0x - 2 = 0 বা x=2x = \mathbf{2}।
সঠিক উত্তর হলো 2।
147

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বাড়ানো হলো এবং প্রস্থ ২০% কমানো হলো। ক্ষেত্রফল–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ৪% কমবে
  2. খ
    ৪% বাড়বে
  3. গ
    ২% কমবে
  4. ঘ
    অপরিবর্তিত থাকবে

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি শতকরা এবং ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত একটি অতি গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা। যখন কোনো আয়তক্ষেত্র বা বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ (বা বাহু) একই শতাংশে (ধরা যাক, x%x\%) বাড়ানো এবং কমানো হয়, তখন মনে রাখবেন, ক্ষেত্রফল সর্বদা কমে যায়।
ক্ষেত্রফলের এই পরিবর্তন (হ্রাস) বের করার জন্য সরাসরি একটি সূত্র ব্যবহার করা হয়।
সূত্রটি হলো: \(x10)2%(\frac{x}{10})^2\%\$ বা \$x2100%\frac{x^2}{100}\%$\$ হ্রাস।
এখানে, বৃদ্ধির হার এবং হ্রাসের হার উভয়ই x=20%।x=20\%।
অতএব, ক্ষেত্রফল কমবে = \202100%=400100%=4%\frac{20^2}{100}\% = \frac{400}{100}\% = 4\%\$।
সুতরাং, ক্ষেত্রফল ৪% কমবে, যা অপশন (ক)-তে আছে।
148

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার হলে উহার পরিসীমা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৯০ মিটার
  2. খ
    ৭০ মিটার
  3. গ
    ৭৫ মিটার
  4. ৮০ মিটার

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই সমস্যার সমাধান করার জন্য প্রথমে আমাদের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের মান বের করতে হবে এবং তারপর পরিসীমা নির্ণয় করতে হবে।
ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ (Width) = xx মিটার।
প্রশ্নানুসারে, দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। তাই দৈর্ঘ্য (Length) = 3x3x মিটার।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (Area) = দৈর্ঘ্য ×\times প্রস্থ।
$\(3x \times x\) = 300$ বর্গমিটার (প্রশ্নানুসারে)
→3x2=300\rightarrow 3x^2 = 300
→x2=3003=100\rightarrow x^2 = \frac{300}{3} = 100
→x=100=10\rightarrow x = \sqrt{100} = 10 মিটার।
সুতরাং, প্রস্থ = 1010 মিটার এবং দৈর্ঘ্য = 3×10=303 \times 10 = 30 মিটার।
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সূত্র (Perimeter) = 2×(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)2 \times (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)।
পরিসীমা = 2×(30+10)=2×40=802 \times (30 + 10) = 2 \times 40 = 80 মিটার।
সঠিক উত্তর হলো ৮০ মিটার।
149

m এর মান কত হলে 4x2−mx+9 একটি পূর্ণ বর্গ হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    16
  2. 12
  3. গ
    10
  4. ঘ
    9

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য আমাদের বীজগণিতের পূর্ণ বর্গ সূত্রটি (Perfect Square Formula) জানতে হবে। পূর্ণ বর্গ রাশি সর্বদা a2±2ab+b2a^2 \pm 2ab + b^2 আকারে থাকে।
প্রদত্ত রাশি: 4x2−mx+94x^2 - mx + 9
রাশিটিকে পূর্ণ বর্গাকারে সাজালে:
১. প্রথম পদ 4x2=(2x)24x^2 = (2x)^2। সুতরাং, a=2xa = 2x।
২. শেষ পদ 9=(3)29 = (3)^2। সুতরাং, b=3b = 3।
৩. পূর্ণ বর্গ হওয়ার শর্ত অনুযায়ী, মাঝের পদটি অবশ্যই ±2ab\pm 2ab হতে হবে।
সুতরাং, মধ্যপদ 2ab=2×(2x)×(3)=12x2ab = 2 \times (2x) \times (3) = 12x।
এখন, আমরা প্রদত্ত রাশির মধ্যপদের সঙ্গে প্রাপ্ত মধ্যপদটি তুলনা করব:
−mx=−12x-mx = -12x (অথবা +12x+12x)
উভয় পক্ষ থেকে xx বাদ দিলে, mm এর মান হয় 12। (উল্লেখ্য, mm এর মান +12+12 বা −12-12 উভয়ই হতে পারে, কিন্তু অপশনে কেবল 12 আছে, তাই এটিই সঠিক)।
150

(x–5)(a+x)=x2−25 হলে, a এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    25
  2. খ
    -25
  3. 5
  4. ঘ
    -5

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

(x–5)(a+x)=x2–25 =(x–5)(a+x)=(x–5)(x+5) ⇒a+x=x+5 ⇒a=x+5–x ∴a=5

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমাদের বীজগণিতের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সূত্র ব্যবহার করতে হবে। সূত্রটি হলো A2−B2=(A−B)(A+B)A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)।
প্রশ্নমতে, ডান পাশের রাশিটিকে আমরা এই সূত্রে ভাঙতে পারি: $x^2 – 25 = x^2 – 5^2 = (x–5)(x+5)।
এবার সমীকরণটি দাঁড়ায়: (x–5)(a+x)=(x–5)(x+5)(x–5)(a+x) = (x–5)(x+5)।
উভয় পক্ষ থেকে (x–5)(x–5) উৎপাদকটি বাদ দিলে, আমরা পাই: a+x=x+5a+x = x+5.
এখন aa এর মান নির্ণয়ের জন্য xx কে পক্ষান্তর করলে, a=x+5−xa = x+5-x, অর্থাৎ a=5a=5। তাই সঠিক উত্তর 5।

এই অধ্যায়ের প্রশ্ন টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করুন

এই পেজে বাছাইকৃত ১৫০টি প্রশ্ন সমাধানসহ দেওয়া হয়েছে (মোট ৫৪৪টির মধ্যে)। প্র্যাকটিস মোডে এক-একটি করে উত্তর দিয়ে সঙ্গে সঙ্গে ফলাফল, স্কোর ও অগ্রগতি ট্র্যাক করুন।

প্র্যাকটিস মোডে যানসব অধ্যায়

গণিত (Primary)-এর অন্যান্য অধ্যায়

পাটিগণিত১,০৫৩ প্রশ্ন

কেন Primary Assistant Teacher-এর জন্য “বীজগণিত ও জ্যামিতি” অধ্যায়টি গুরুত্বপূর্ণ?

Primary Assistant Teacher নিয়োগ পরীক্ষার গণিত (Primary) অংশে “বীজগণিত ও জ্যামিতি” থেকে প্রায় প্রতিবারই প্রশ্ন আসে। বিগত সালের প্রশ্নের ধরন বুঝে নিয়মিত অনুশীলন করলে এই অধ্যায়ের নম্বর নিশ্চিত করা সহজ হয় — এই পেজের বাছাইকৃত প্রশ্নগুলো ঠিক সেই প্রস্তুতির জন্যই সাজানো।

সচরাচর জিজ্ঞাসা

"বীজগণিত ও জ্যামিতি" অধ্যায় থেকে কেমন প্রশ্ন আসে?

Primary Assistant Teacher নিয়োগ পরীক্ষায় গণিত (Primary) বিষয়ের "বীজগণিত ও জ্যামিতি" অধ্যায় থেকে নিয়মিত MCQ আসে। এই পেজে বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক জায়গায় দেওয়া হয়েছে — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ।

উত্তর ও সমাধান কি বিনামূল্যে?

হ্যাঁ। প্রশ্ন, অপশন, সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যা — সবই লগইন ছাড়াই বিনামূল্যে দেখা যায়। টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করতে চাইলে একটি ফ্রি অ্যাকাউন্ট দিয়ে প্র্যাকটিস মোডে যান।