পাটিগণিত (Arithmetic)

৪৩ থেকে ৬০ পর্যন্ত ৪ টি মৌলিক সংখ্যা আছে। যথা: ৪৩,৪৭,৫৩,৫৯

৪১ থেকে ৯০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯। মোট ১২টি।

৭০ থেকে ৮০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ৭১, ৭৩, ৭৯। মোট ৩টি।

৯০ থেকে ১০০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কেবল ১টি। সেটি হলো ৯৭।

১০০ এর চেয়ে বড় এবং ১৫০ থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ১০১, ১০৩, ১০৭, ১০৯, ১১৩, ১২৭, ১৩১, ১৩৭, ১৩৯, ১৪৯। মোট ১০টি।

৩০ ও ৪০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৩১
৩০ ও ৪০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৩৭
ব্যবধান = ৩৭ - ৩১ = ৬

৩০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৭৯
৩০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৩১
পার্থক্য = ৭৯ - ৩১ = ৪৮

৩০ থেকে ৯০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৮৯
৩০ থেকে ৯০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৩১
অন্তর = ৮৯ - ৩১ = ৫৮

৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৭৯
৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৬১
অন্তর = ৭৯ - ৬১ = ১৮

এখানে একক স্থানীয় অঙ্ক ৯ অর্থ শেষের অঙ্কটি ৯ হতে হবে। ১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত এরকম সংখ্যা আছে মোট ৫টি। যেমন: ১৯, ২৯, ৩৯, ৪৯, এবং ৫৯ কিন্তু এদের মধ্যে ৩৯ ও ৪৯ মৌলিক নয়। তাই মৌলিক সংখ্যা তিনটি ১৯, ২৯ এবং ৫৯ এর যোগফল হবে = ১৯+২৯+৫৯ = ১০৭

১৫ থেকে ৬৫ পর্যন্ত একক স্থানে ৯ আছে এমন মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ১৯, ২৯, ৫৯।
সমষ্টি = ১৯ + ২৯ + ৫৯ = ১০৭

১ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণফল = ২ × ৩ × ৫ × ৭ = ২১০

তিনটি মৌলিক সংখ্যা যদি ৭, ১১, ১৩ হয়, এদের গুণফল = ৭ × ১১ × ১৩ = ১০০১। ∴ প্রথম মৌলিক সংখ্যাটি = ৭

মৌলিক সংখ্যা তিনটির যোগফল = ১৯.৬৭ × ৩ = ৫৯.০১ ≈ ৫৯
সুতরাং অপশন চেক করে দেখা যায়,
ক. ১৭+১৯+২৩ = ৫৯; খ. ১৩+১৭+১৯ = ৪৯; গ. ১৯+২৩+২৯ = ৭১; ঘ. ২৩+২৯+৩১ = ৮৩।
সঠিক উত্তর: ১৭, ১৯, ২৩।

$12 = 2 \times 6$; $14 = 2 \times 7$; $15 = 3 \times 5$; এবং $13 = 13 \times 1$

যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

সুতরাং মৌলিক সংখ্যা = ১৩

এখানে,
$65 = 5 \times 13$
$81 = 9 \times 9$
$63 = 7 \times 9$

কিন্তু ৪৩ কে ১ এবং ৪৩ ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না।

সুতরাং ৪৩ একটি মৌলিক সংখ্যা।

এখানে,
$91 = 7 \times 13$
$87 = 3 \times 29$
$63 = 7 \times 9$

কিন্তু ৫৯ কে ১ এবং ৫৯ ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না।

সুতরাং ৫৯ একটি মৌলিক সংখ্যা।

$23 = 1 \times 23$;
$21 = 3 \times 7$;
$19 = 19 \times 1$;
এবং $17 = 17 \times 1$

এখানে ২১ সংখ্যাটি ১ এবং ২১ ছাড়াও ৩ ও ৭ দ্বারা বিভাজ্য।

সুতরাং মৌলিক সংখ্যা নয় = ২১

জোড় মৌলিক সংখ্যা শুধুমাত্র ১টি।

সেটি হলো ২।

১ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা আছে মোট ৪টি।

যথা: ২, ৩, ৫ এবং ৭।

১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা আছে ৮টি।

যথা: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭ ও ১৯।

১ হতে ৩০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা আছে ১০টি।

যথা: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩ ও ২৯।

আমরা জানি, ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৫টি।

আবার, ১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৮টি।

সুতরাং ২০ থেকে ১০০ এর মধ্যবর্তী মৌলিক সংখ্যা = (২৫ - ৮) = ১৭টি।

১ থেকে ৫০ পর্যন্ত (অর্থাৎ ৫০ এর চেয়ে ছোট) মৌলিক সংখ্যা আছে ১৫টি।

যথা: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭।

২ এবং ৩২ এর 'মধ্যে' বলায় প্রান্তীয় সংখ্যা ২ বাদ যাবে।

সুতরাং ২ থেকে ৩২ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১।

অতএব, মোট ১০টি।

২৫ থেকে ৫৫ এর মধ্যে মোট মৌলিক সংখ্যা আছে = ৭টি।

যথা: ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭ ও ৫৩।

অপশনগুলো পরীক্ষা করলে দেখা যায়:
২৬৭ এর অঙ্কগুলোর যোগফল $২ + ৬ + ৭ = ১৫$, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
অর্থাৎ, $২৬৭ = ৩ \times ৮৯$।
যেহেতু এটি ৩ এবং ৮৯ দ্বারা বিভাজ্য, তাই এটি মৌলিক সংখ্যা নয়। বাকি সংখ্যাগুলো (১৭৩, ৩৫৩, ৪০১) মৌলিক সংখ্যা।

যেসব সংখ্যার গ.সা.গু ১, তাদেরকে পরস্পর সহ-মৌলিক (Co-prime) সংখ্যা বলে।
অপশনগুলোর মধ্যে (ঘ) এর ৫২ ও ৯৭ সংখ্যাটির মধ্যে ৯৭ সংখ্যাটি মৌলিক হওয়ায় ৫২ ও ৯৭ এর গ.সা.গু ১। কারণ এদের মধ্যে কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
তাই এরা পরস্পর সহ-মৌলিক।

দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. ১ হলে তারা পরস্পর সহ-মৌলিক।
শুধুমাত্র অপশন (ঘ) এর ১২ ও ১৭ সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. ১।
তাই এই দুটিই সংখ্যা পরস্পর সহ-মৌলিক সংখ্যা।

দুটি সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল 1 হলে তারা co-prime বা সহ-মৌলিক।
প্রশ্নে প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র a তে প্রদত্ত 2 এবং 3 এর গ.সা.গু (H.C.F) 1। তাই উত্তর a।

Co-prime numbers have a Highest Common Factor (H.C.F) of 1.
a) H.C.F. of 16, 62 is 2;
b) H.C.F. of 18, 25 is 1;
c) H.C.F. of 21, 35 is 7;
d) H.C.F. of 23, 92 is 23 (since $23 \times 4 = 92$).
So option b is the right answer.

৫৫৫ সংখ্যাটিতে ডানদিক থেকে অঙ্কের অবস্থান হিসাব করলে:
প্রথম ৫ হলো এককের ঘরে, এর স্থানীয় মান $৫ \times ১ = ৫$
দ্বিতীয় বা মাঝের ৫ হলো দশকের ঘরে, এর স্থানীয় মান $৫ \times ১০ = ৫০$
তৃতীয় ৫ হলো শতকের ঘরে, এর স্থানীয় মান $৫ \times ১০০ = ৫০০$
সুতরাং, মাঝের ৫-এর স্থানীয় মান ৫০।

ক. উত্তর নয়। কারণ $x, y$ একটি জোড় আরেকটি বিজোড় হলে যোগফল বিজোড় হবে।

খ. উত্তর নয়। কারণ $x, y$ এর জোড় বিজোড় হওয়া না হওয়ার উপর $x+y+1$ জোড় নাকি বিজোড় তা নির্ভর করছে।

গ. উত্তর নয়। কারণ $x, y$ দুটিই বিজোড় সংখ্যা হলে তার গুণফল বিজোড় হবে, এবং $2$ যোগ করলেও বিজোড়ই থেকে যাবে।

ঘ. এটাই উত্তর: কারণ $x$ এর মান জোড় বা বিজোড় যা-ই হোক না কেন, তার সাথে $2$ গুণ করলে উত্তরটি জোড় হবে।

ধরি, দুটি বিজোড় সংখ্যা হলো $x=3$ ও $y=1$। তাহলে অপশনগুলো যাচাই করি:

ক. $x+y+1 = 3+1+1 = 5$ (বিজোড়)

খ. $xy = 3 \times 1 = 3$ (বিজোড়)

গ. $xy+2 = 3 \times 1 + 2 = 5$ (বিজোড়)

ঘ. $x+y = 3+1 = 4$ (জোড়) = এটিই উত্তর।

দুইটি বিজোড় সংখ্যাকে যেকোনো জোড় সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে তাদের যোগফল অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে।

যেমন, ধরি $a=3$ এবং $b=5$।

তাহলে, $2a+4b = 2 \times 3 + 4 \times 5 = 6 + 20 = 26$, যা একটি জোড় সংখ্যা।

জোড় সংখ্যার সাথে জোড় সংখ্যা যোগ, বিয়োগ বা গুণ করলে তা জোড়-ই থাকে। তাই $ক \times খ = কখ$ = জোড়।

তাই এদের সাথে বিজোড় সংখ্যা যোগ করলে তা বিজোড় হবে। সুতরাং অপশন (খ)-তে প্রদত্ত কখ+১ = বিজোড়।

আমরা জানি যেকোনো সংখ্যার সাথে জোড় সংখ্যা গুণ করলে তা জোড় হয়ে যায়। তাই এখানে $2n$ অবশ্যই জোড় সংখ্যা।

আবার যদি $2n$ জোড় সংখ্যা হয় তাহলে তার সাথে আরেকটি জোড় সংখ্যা যোগ করলে জোড়ই থাকবে। কিন্তু বিজোড় সংখ্যা যোগ করলে তা বিজোড় হয়ে যাবে। তাই $2n+3$ অবশ্যই বিজোড় হবে।

মনে রাখবেন কখনো কোন অক্ষর দিয়ে সংখ্যা গঠন করতে বলা হলে সংখ্যাটির স্থানীয় মান গুণ করে দিতে হবে।

একক স্থানীয় অংক = $x$, এর মান = $x \times 1 = x$

দশক স্থানীয় অংক = $y$, এর মান = $y \times 10 = 10y$

শতক স্থানীয় অংক = $z$, এর মান = $z \times 100 = 100z$

সুতরাং, সংখ্যাটি হবে = $100z + 10y + x$

$০$ দ্বারা কোন সংখ্যা শুরু হয় না। তাই ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বানানোর ক্ষেত্রে ১ প্রথমে বসিয়ে তারপর ০ বসাতে হবে।

তাই ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে $১০২৩$ এবং বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে $৩২১০$।

$\therefore$ পার্থক্য = $৩২১০ - ১০২৩ = ২১৮৭$

$০, ১, ২, ৩$ ও $৪$ দ্বারা গঠিত পাঁচ অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = $৪৩২১০$

এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = $১০২৩৪$

$\therefore$ যোগফল = $৪৩২১০ + ১০২৩৪ = ৫৩৪৪৪$

$২, ০, ৮, ২$ অংকগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যথাক্রমে = $৮২২০$ এবং $২০২৮$

$\therefore$ সংখ্যাদ্বয়ের গড় = $\frac{৮২২০ + ২০২৮}{২} = \frac{১০২৪৮}{২} = ৫১২৪$

তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = $৯৯৯$

তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = $১০০$

$\therefore$ যোগফল = $৯৯৯ + ১০০ = ১০৯৯$

তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = $৯৯৯$

তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = $১০০$

$\therefore$ পার্থক্য = $৯৯৯ - ১০০ = ৮৯৯$

পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = $১০০০০$

চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = $৯৯৯৯$

$\therefore$ অন্তর বা পার্থক্য = $১০০০০ - ৯৯৯৯ = ১$

পাঁচ অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = $৯৯৯৯৯$

পাঁচ অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = $১০০০০$

যোগফল = $৯৯৯৯৯ + ১০০০০ = ১০৯৯৯৯$

$\therefore$ যোগফল হতে $১$ কম = $১০৯৯৯৯ - ১ = ১০৯৯৯৮$

যে সকল সংখ্যাকে $p/q$ আকারে (যেখানে $p, q$ পূর্ণসংখ্যা এবং $q \neq 0$) প্রকাশ করা যায় না, তাদেরকে অমূলদ সংখ্যা বলে। $\sqrt{2}$ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, তাই এর বর্গমূল একটি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক সংখ্যা। সুতরাং, এটি একটি অমূলদ সংখ্যা।

যেকোনো মৌলিক সংখ্যা $p$ কখনও পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে পারে না। আর আমরা জানি, পূর্ণবর্গ নয় এমন যেকোনো সংখ্যার বর্গমূল সর্বদা একটি অমূলদ সংখ্যা হয়। তাই $\sqrt{p}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

$7$ একটি মৌলিক সংখ্যা এবং এটি কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়। পূর্ণবর্গ নয় এমন সংখ্যার বর্গমূল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা হয়। তাই $\sqrt{7}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

এখানে $5.5 = \frac{55}{10}$, $\frac{5}{3}$ এবং $\frac{1}{4}$ তিনটিই ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়, তাই এগুলো মূলদ সংখ্যা। কিন্তু $3$ পূর্ণবর্গ না হওয়ায় $\sqrt{3}$ একটি অমূলদ সংখ্যা।

অপশনগুলো যাচাই করি:
ক. $\sqrt[3]{8} = \sqrt[3]{2^3} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2$; যা একটি পূর্ণসংখ্যা বা মূলদ সংখ্যা।
অন্যান্য অপশনগুলোতে ১২, ১৮, ২৭ পূর্ণবর্গ নয়, তাই তাদের বর্গমূল অমূলদ।

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র অপশন (ঘ) কে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়।
$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{48}} = \frac{\sqrt{9 \times 3}}{\sqrt{16 \times 3}} = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{4}$
যেহেতু এটি একটি ভগ্নাংশ, তাই এটি একটি মূলদ সংখ্যা।

অমূলদ সংখ্যা হচ্ছে যাদেরকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না।
এখানে, $0.\dot{4} = \frac{4}{9}$
$\sqrt{9} = 3 = \frac{3}{1}$
$5.6\dot{3}\dot{9} = \frac{5639-5}{999} = \frac{5634}{999}$
এবং, $\sqrt{\frac{27}{48}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$
যেহেতু সবগুলোকেই ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যাচ্ছে তাই সবগুলোই মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ এখানে কোন অমূলদ সংখ্যা নেই।

অপশন (ক), (খ) এবং (গ) তে সংখ্যাগুলো একটি নির্দিষ্ট নিয়মে আবর্তিত হচ্ছে বা সসীম, তাই সেগুলোতে পৌনঃপুনিক চিহ্ন ব্যবহার করে ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায় (এরা মূলদ)।
কিন্তু অপশন (ঘ) তে $1.1010010001..$ সংখ্যাটিতে দশমিকের পরের অংশ অসীম এবং কোনো নির্দিষ্ট নিয়মে আবর্তিত হচ্ছে না (শূন্যের সংখ্যা ক্রমশ বাড়ছে)। তাই এটি একটি অমূলদ সংখ্যা।

যেকোনো বৃত্তের পরিধি এবং ব্যাসের অনুপাতকে $\pi$ (পাই) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
বৃত্তের পরিধি : বৃত্তের ব্যাস = $2\pi r : 2r = \frac{2\pi r}{2r} = \pi = 3.1415926.........$
যেহেতু $\pi$ এর মান অসীম এবং অনাবৃত্ত, তাই এটি একটি অমূলদ সংখ্যা।

যে কোন জোড় সংখ্যাকে জোড় অথবা বিজোড় যে কোন সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে গুণফলটি অবশ্যই জোড় হবে। প্রশ্নে প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে $7n + 3$ তে $7n$ অবশ্যই একটি জোড় সংখ্যা (কেননা $n =$ জোড়) যার সাথে $3$ (বিজোড়) যোগ করলে তা অবশ্যই বিজোড় হবে। কিন্তু জোড় হতে পারবে না।

সংখ্যা ৩টির প্রথম সংখ্যাটি জোড় সংখ্যা দিয়ে শুরু হলে, $৪, ৫, ৬$ এরকম হবে। যাদের যোগফল $৪+৫+৬ = ১৫$ (বিজোড়)। এখানে শুরুর ও শেষের সংখ্যাটি অবশ্যই জোড় হবে।
আবার সংখ্যা ৩টির প্রথম সংখ্যাটি বিজোড় দিয়ে শুরু হলে $৫, ৬, ৭$ এদের যোগফল $= ৫+৬+৭ = ১৮$ (জোড়)।
যেহেতু প্রথম শর্তটি প্রশ্নের সাথে মিলে গেছে তাই উত্তর হবে ঘ (জোড়, জোড়)।

যদি কয়েকটি সংখ্যার মধ্যে যে কোন একটি জোড় সংখ্যা থাকে তাহলে সবগুলোর গুণফল জোড় হবে। তাই ৫টি সংখ্যার গুণফল বিজোড় হতে হলে ৫টি সংখ্যার ১টিও জোড় হওয়া যাবে না বরং সবগুলোই (৫টিই) বিজোড় হতে হবে।

$m$ ও $n$ বিজোড় সংখ্যা। ধরি, $m=1$ এবং $n=3$।
ক. $mn = 1 \times 3 = 3$ (বিজোড়)
খ. $mn+1 = 3+1 = 4$ (জোড়)
গ. $mn+2 = 3+2 = 5$ (বিজোড়)
ঘ. $mn+4 = 3+4 = 7$ (বিজোড়)
অতএব, সঠিক উত্তর $mn+1$।

$x$ ও $y$ দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা। ধরি, $x=2$ এবং $y=4$।
ক. $x^2 = 2^2 = 4$ (জোড়)
খ. $y^2 = 4^2 = 16$ (জোড়)
গ. $x^2+1 = 2^2+1 = 4+1 = 5$ (বিজোড়)
ঘ. $y^2+4 = 4^2+4 = 16+4 = 20$ (জোড়)
অতএব, $x^2+1$ বিজোড়।

কয়েকটি সংখ্যার গুণফল বিজোড় হতে হলে সংখ্যাগুলোর সবগুলোকেই বিজোড় হতে হয়। যদি একটি সংখ্যাও জোড় হয়, তবে পুরো গুণফল জোড় হয়ে যায়। যেহেতু তিনটি সংখ্যার গুণফল বিজোড়, তাই তিনটি সংখ্যার সবগুলোই, অর্থাৎ ৩টি সংখ্যাই বিজোড় হবে।

যেহেতু ক্রমিক সংখ্যা ৫টির যোগফল = ৫৩৫ সুতরাং গড় = $৫৩৫ \div ৫ = ১০৭$।
তাহলে সংখ্যা পাঁচটি = ১০৫, ১০৬, ১০৭, ১০৮ এবং ১০৯
সুতরাং সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি হচ্ছে = ১০৯

সংখ্যা তিনটির গড় = $১৭৭ \div ৩ = ৫৯$ ই হলো মধ্যম সংখ্যা।
$\therefore$ সংখ্যা তিনটি হবে ৫৭, ৫৯ ও ৬১। যেখানে ৫৯ই মধ্যম সংখ্যা।

সংখ্যা ৩টির মধ্যম পদ = $\frac{\text{সংখ্যাগুলোর সমষ্টি}}{\text{পদ সংখ্যা}} = \frac{\text{সংখ্যাগুলোর সমষ্টি}}{৩}$
সংখ্যাগুলোর সমষ্টি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে মধ্যম সংখ্যাটি পূর্ণ সংখ্যা হবে। কিন্তু প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ২৯, ৪৬ এবং ৯২ সংখ্যাত্রয় ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়। শুধু ৫৭ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য, সুতরাং উত্তর: ৫৭।

দেয়া আছে সংখ্যা ৩টির যোগফল ৩৩,
$\therefore$ গড় = $৩৩ \div ৩ = ১১$
তাহলে সংখ্যা তিনটি হবে ১০, ১১, ১২
সুতরাং সংখ্যা তিনটির গুণফল = $১০ \times ১১ \times ১২ = ১৩২০$

লিখিত সমাধান:
ধরি, সংখ্যাগুলো যথাক্রমে, $x, x+1, x+2, x+3$ এবং $x+4$
প্রশ্নমতে, $x + x+1 + x+2 + x+3 + x+4 = 100$
$\Rightarrow 5x + 10 = 100$
$\Rightarrow 5x = 90$
$\therefore x = 18$
$\therefore$ প্রথম সংখ্যা = ১৮ ও শেষ সংখ্যা = $১৮ + ৪ = ২২$
সুতরাং সংখ্যা দুটির গুণফল ($১৮ \times ২২$) = ৩৯৬

ধরি, একটি বিজোড় সংখ্যা $x$ এবং পরবর্তী বিজোড় সংখ্যা $x + ২$।
প্রশ্নমতে, $x + (x + ২) = ১৬$
$\Rightarrow ২x + ২ = ১৬$
$\Rightarrow ২x = ১৪$
$\Rightarrow x = ৭$
অতএব, সংখ্যা দুটি হলো ৭ এবং $(৭ + ২) = ৯$।
সঠিক উত্তর: ৭, ৯

তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গড় = $১২৩ \div ৩ = ৪১$, যা মধ্যবর্তী সংখ্যা।
তাহলে সংখ্যা তিনটি হলো ৪০, ৪১, ৪২।
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুটি হলো ৪০ এবং ৪১।
এদের গুণফল = $৪০ \times ৪১$ = ১৬৪০

যেহেতু ৯টি ধারাবাহিক সংখ্যার গড় ০ তাহলে তাদের মাঝের সংখ্যাটি হবে ০।
পরবর্তী ৪টি সংখ্যা ০ থেকে বড় অর্থাৎ ১, ২, ৩ এবং ৪ এবং পূর্ববর্তী ৪টি সংখ্যা ০ এর থেকে ছোট, অর্থাৎ ঋণাত্মক যেমন: -১, -২, -৩ ও -৪।
যেহেতু শেষ ৪টি সংখ্যা হলো ১, ২, ৩ এবং ৪ এখন এদের গড় হবে $\frac{১+২+৩+৪}{৪} = \frac{১০}{৪} = ২.৫$।
সঠিক উত্তর: ২.৫

গড় ৪০০ আবার সংখ্যাগুলো বিজোড়, এবং মোট সংখ্যা ৮ টি। তাহলে ৪টি সংখ্যা হবে ৪০০ থেকে ছোট আর ৪টি ৪০০ থেকে বড়।

৪০০ এর চেয়ে ছোট ৪টি ধারাবাহিক বিজোড় সংখ্যা হলো: ৩৯৩, ৩৯৫, ৩৯৭, ৩৯৯।

সুতরাং, সবথেকে ছোট সংখ্যাটি ৩৯৩।

ধরি, প্রথম সংখ্যাটি $x$

$\therefore$ ক্রমিক সংখ্যাগুলো যথাক্রমে: $x$, $x+1$, $x+2$, $x+3$, $x+4$, $x+5$

প্রশ্নমতে, $x + x+1 + x+2 = 42$

$\Rightarrow 3x + 3 = 42$

$\Rightarrow 3x = 39 \therefore x = 13$

$\therefore$ শেষ তিনটির যোগফল $= x+3 + x+4 + x+5 = 13+3+13+4+13+5 =$ $51$

এখানে প্রথম ৫টির সমষ্টি ৫৬০ হলে তাদের গড় $560 \div 5 = 112$।

এখন সিরিজটি সাজিয়ে নিন এভাবে ১১০, ১১১, ১১২, ১১৩, ১১৪, শেষ ৫টি হবে ১১৫, ১১৬, ১১৭, ১১৮, ১১৯।

আমরা জানি গড়কে মোট রাশি দ্বারা গুণ করলে সমষ্টি বের হবে। তাই পরের পাঁচটির গড় ১১৭ এবং সমষ্টি হলো $117 \times 5 =$ $585$।

প্রথম ৩টির প্রতিটি থেকে শেষের ৩টি সংখ্যা ৩ করে বেশি হলে শেষ ৩টির যোগফল হবে $27+(3 \times 3) =$ $36$।

মনে করি, প্রথম বিজোড় পূর্ণ সংখ্যাটি $= x$, এবং দ্বিতীয় বিজোড় পূর্ণ সংখ্যাটি $= x+2$

প্রশ্নমতে, $5x + (x+2)\times 3 = 62$

$\Rightarrow 5x + 3x + 6 = 62$

$\Rightarrow 8x = 56 \therefore x = 7$

$\therefore$ প্রথম বিজোড় পূর্ণসংখ্যা $=$ $7$

ধরি, সবথেকে ছোট সংখ্যাটি $= x$, সুতরাং অপর সংখ্যা দুটি $= x+2$ এবং $x+4$ (জোড় বলায় ২ করে বাড়ছে)

প্রশ্নমতে, $3(x+4) - x = 40$

$\Rightarrow 3x+12 - x = 40$

$\Rightarrow 2x = 28 \therefore x = 14$

সুতরাং বৃহত্তম সংখ্যাটি $= 14+4 =$ $18$

সমাধান: (i) $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6} =$ অমূলদ (ii) $0 = \frac{0}{2} =$ মূলদ (iii) $7$ পূর্ণসংখ্যা কিন্তু পূর্ণবর্গ নয় কিন্তু $\sqrt{7} =$ অমূলদ

সুতরাং i, ii, iii এর সবগুলোই সঠিক।

সমাধান: $(5+\sqrt{7})$ হলো অমূলদ সংখ্যা, কারণ একটি মূলদ ও একটি অমূলদ সংখ্যার যোগফল সর্বদা অমূলদ সংখ্যা।

সমাধান: $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4 =$ মূলদ সংখ্যা। [দুটিই ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হওয়ায় সরাসরি এভাবে লেখা যায়।]

সমাধান:
$\sqrt{-8} \times \sqrt{-2} = \sqrt{-1 \times 8} \times \sqrt{-1 \times 2} = \sqrt{i^2 \times 4 \times 2} \times \sqrt{i^2 \times 2}$ [এখানে $i^2$ একটি কাল্পনিক সংখ্যা ও $i^2 = -1$]
$= i \times 2\sqrt{2} \times i \times \sqrt{2} = i^2 \times 2(\sqrt{2})^2$ [যেহেতু $i^2 = -1$] $= (-1) \times 2 \times 2 = -4$

সমাধান: (খ) $\sqrt{\frac{4}{2}} = \sqrt{2}$, যা একটি অমূলদ সংখ্যা। বাকি অপশনগুলো পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল হওয়ায় সেগুলো মূলদ সংখ্যা।

সমাধান: এখানে $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{2}$ এবং $\sqrt[3]{25}$ কোনোটিই পূর্ণসংখ্যা নয়, তাই সবগুলোই অমূলদ সংখ্যা।

সমাধান: $e$ (নেপিয়ারের ধ্রুবক) এবং $\pi$ (পাই) উভয়ই অমূলদ সংখ্যা। এদের দশমিকে প্রকাশ অসীম ও অনাবৃত্ত।

ধরি, তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে $x-1$, $x$ এবং $x+1$।

প্রশ্নমতে,
$(x-1) \times x \times (x+1) = 210$
আমরা জানি, $5 \times 6 \times 7 = 210$