পাটিগণিত

প্রদত্ত ধারাটির প্রতিটি পদের পার্থক্য সমান।

পার্থক্য নির্ণয়:
$২১২ - ১৭৯ =$ ৩৩
$১৭৯ - ১৪৬ =$ ৩৩
$১৪৬ - ১১৩ =$ ৩৩

সুতরাং, পরবর্তী সংখ্যাটি হবে আগের সংখ্যা থেকে ৩৩ কম।
অতএব, নির্ণেয় সংখ্যা: $১১৩ - ৩৩ =$ ৮০

দেওয়া আছে:
প্রাথমিক লোকসংখ্যা ($M_1$) = ৩০ জন
মোট সময় = ২০ দিন
১০ দিন কাজ করার পর লোক চলে যায়।

অবশিষ্ট কাজ:
৩০ জন লোকের জন্য কাজ বাকি আছে = $২০ - ১০ =$ ১০ দিনের।

অবশিষ্ট লোক:
নতুন লোকসংখ্যা ($M_2$) = $৩০ - ১০ =$ ২০ জন।

ঐকিক নিয়ম:
৩০ জন লোক কাজটি করতে পারে ১০ দিনে
১ জন লোক কাজটি করতে পারে ($৩০ \times ১০$) দিনে
২০ জন লোক কাজটি করতে পারে $\frac{৩০ \times ১০}{২০}$ দিনে

$\therefore$ সময় লাগবে = $১৫$ দিন।

সঠিক উত্তর: ৪ টি

দেওয়া আছে,
$১৫$ টি ছাগলের মূল্য = $৩$ টি গরুর মূল্য
$\therefore ১$ টি ছাগলের মূল্য = $\frac{৩}{১৫}$ টি গরুর মূল্য
$\therefore ২০$ টি ছাগলের মূল্য = $\frac{৩ \times ২০}{১৫}$ টি গরুর মূল্য
$= \frac{৬০}{১৫} = ৪$ টি গরুর মূল্য।

সঠিক উত্তর: ১ মিনিট

১০টি বানর ১০টি কলা খায় ১ মিনিটে
$\therefore$ ১টি বানর ১টি কলা খায় ১ মিনিটে (কারণ বানর কমলে কাজও কমছে, সময় একই থাকবে)
$\therefore$ ৫০টি বানর ৫০টি কলা খাবে ১ মিনিটে (একই হারে)।

সঠিক উত্তর: ৫০

৫টি সংখ্যার সমষ্টি = $৪৬ \times ৫ = ২৩০$

প্রথম ৪টি সংখ্যার সমষ্টি = $৪৫ \times ৪ = ১৮০$

$\therefore$ ৫ম সংখ্যাটি = $২৩০ - ১৮০ =$ ৫০

সঠিক উত্তর: 0.012

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি: $0.1 \times 0.03 \times 4.0$
সাধারণ গুণ করি: $1 \times 3 \times 4 = 12$
দশমিকের পরে মোট ঘর সংখ্যা:
- $0.1$ এ ১টি
- $0.03$ এ ২টি
- $4.0$ এ ১টি (কিন্তু পূর্ণসংখ্যা ৪ ধরলে ০টি, তবে প্রশ্নে $4.0$ থাকলে ১টি ধরা হয়, কিন্তু মানের ক্ষেত্রে $4.0 = 4$। তাই মোট ঘর সংখ্যা ১ + ২ = ৩টি।)
সুতরাং, গুণফলের ডানদিক থেকে ৩ ঘর বামে দশমিক বসবে।
$\therefore$ গুণফল = $0.012$

সঠিক উত্তর: $(x - 2)$

সমাধান:
১ম রাশি: $x^3 - 2x^2 = x^2(x - 2)$
২য় রাশি: $x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x + 2)(x - 2)$
৩য় রাশি: $xy - 2y = y(x - 2)$
তিনটি রাশির সাধারণ উৎপাদক (Common Factor) হলো $(x - 2)$।
$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু = $(x - 2)$

সঠিক উত্তর: ৫ বছর।

দেওয়া আছে,
পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়সের সমষ্টি = $৪০$ বছর।
১০ বছর পর তাদের বয়সের সমষ্টি হবে = $৪০ + (১০ \times ২) = ৬০$ বছর।

১০ বছর পর বয়সের অনুপাত = $৩ : ১$
অনুপাতের যোগফল = $৩ + ১ = ৪$

১০ বছর পর পুত্রের বয়স = $\frac{৬০}{৪} \times ১ = ১৫$ বছর।

$\therefore$ পুত্রের বর্তমান বয়স = $১৫ - ১০ =$ ৫ বছর।

সঠিক উত্তর: ৪৬.৮।

সমাধান:
$৭২০$ এর $৬.৫\% = ৭২০ \times \frac{৬.৫}{১০০}$

$= ৭২ \times \frac{৬.৫}{১০}$

$= ৭২ \times ০.৬৫$

$=$ ৪৬.৮

সঠিক উত্তর: $১.২৫$

আসুন মানগুলো দশমিকে রূপান্তর করে তুলনা করি:
ক) $\frac{১৫}{১৫} = ১$
খ) $\frac{১}{১৫} \approx ০.০৬৭$
গ) $১.২৫$
ঘ) $০.৯৫$

স্পষ্টতই, $১.২৫$ সবার চেয়ে বড়।
$\therefore ১.২৫ > ১ > ০.৯৫ > ০.০৬৭$

সঠিক উত্তর: ৫০০ টাকা

বিস্তারিত সমাধান:
৮% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = $(১০০ - ৮)$ বা ৯২%
৮% লাভে বিক্রয়মূল্য = $(১০০ + ৮)$ বা ১০৮%

বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = $(১০৮ - ৯২)\%$ = ১৬%
প্রশ্নমতে,
১৬% = ৮০ টাকা
$\therefore ১\% = \frac{৮০}{১৬}$ টাকা
$\therefore ১০০\% = \frac{৮০ \times ১০০}{১৬} = ৫০০$ টাকা।

সুতরাং, ঘড়িটির ক্রয়মূল্য ৫০০ টাকা।

৯% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = $(১০০ - ৯) = ৯১$ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ৯১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
$\therefore$ বিক্রয়মূল্য ৪৫৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = $\frac{১০০ \times ৪৫৫}{৯১} =$ ৫০০ টাকা।

এখন, ৮% লাভে বিক্রয় করতে হবে।
৮% লাভে বিক্রয়মূল্য = $(১০০ + ৮) = ১০৮$ টাকা।
ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য ১০৮ টাকা
$\therefore$ ক্রয়মূল্য ৫০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = $\frac{১০৮ \times ৫০০}{১০০} = ১০৮ \times ৫ =$ ৫৪০ টাকা।

ধরি, ১ থেকে $x$ বিয়োগ করলে বিয়োগফল ০ হবে।

প্রশ্নমতে,
$1 - x = 0$
$\Rightarrow x = 1$

সুতরাং, নির্ণেয় সংখ্যাটি +১।

১ হতে ২০ এর মধ্যে ৮টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। যথা:
$২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭$ এবং $১৯$।

সঠিক উত্তর: ৫০

ব্যাখ্যা:
দেওয়া আছে,
আসল, $P = ৫০০০$ টাকা
সময়, $n = ২$ বছর
মুনাফার হার, $r = ১০\% = \frac{১০}{১০০} = ০.১$

আমরা জানি,
সরল মুনাফা, $I = Pnr$
$= ৫০০০ \times ২ \times ০.১ = ১০০০$ টাকা

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা, $C = P(১+r)^n - P$
$= ৫০০০(১ + ০.১)^২ - ৫০০০$
$= ৫০০০(১.১)^২ - ৫০০০$
$= ৫০০০ \times ১.২১ - ৫০০০$
$= ৬০৫০ - ৫০০০ = ১০৫০$ টাকা

$\therefore$ পার্থক্য $= ১০৫০ - ১০০০ =$ ৫০ টাকা।

সঠিক উত্তর: $\frac{২}{৩}$

ব্যাখ্যা:
ভগ্নাংশগুলোর মান দশমিকে প্রকাশ করে পাই:
ক) $০.৩$
খ) $\frac{২}{৩} = ০.৬৬৬...$
গ) $\frac{২}{৫} = ০.৪$
ঘ) $\frac{১}{৫} = ০.২$

স্পষ্টতই, $০.৬৬৬...$ বা $\frac{২}{৩}$ সবার চেয়ে বড়।

সঠিক উত্তর: ১ মিটার = ৩৭.৩৯ ইঞ্চি (এটি ভুল তথ্য)

ব্যাখ্যা:
সঠিক সম্পর্কগুলো হলো:
১. ১ একর = ৪৮৪০ বর্গগজ
২. ১ কিলোমিটার = ০.৬২১ মাইল (প্রায়)
৩. ১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে.মি
কিন্তু, ১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি (প্রায়)। অপশনে দেওয়া আছে ৩৭.৩৯ ইঞ্চি, যা সঠিক নয়।

সঠিক উত্তর: ৪.৫ সেকেন্ড

ধাপ ১: গতিবেগ মিটার/সেকেন্ডে রূপান্তর করি।
$৪৮ \text{ km/h} = ৪৮ \times \frac{৫}{১৮} \text{ m/s} = \frac{৪০}{৩} \text{ m/s}$

ধাপ ২: খুঁটি অতিক্রম করতে ট্রেনটিকে নিজের দৈর্ঘ্যের সমান পথ অতিক্রম করতে হবে।
অতিক্রান্ত দূরত্ব = ৫০ মিটার।

ধাপ ৩: সময় নির্ণয়।
সময় = $\frac{\text{দূরত্ব}}{\text{গতিবেগ}} = \frac{৫০}{\frac{৪০}{৩}} = \frac{৫০ \times ৩}{৪০} = \frac{১৫০}{৪০} = ৩.৭৫$ (Note: Solution in image uses slightly different calculation steps or rounding, let's re-verify: $48 \times 1000 / 3600 = 40/3$. Time = $50 / (40/3) = 150/40 = 3.75$ sec.
Wait, let's check the options again. The image solution shows calculation: $60+0 / (48 \times 5/18) = 60 \times 3 / 40 = 4.5$ sec.
CORRECTION: প্রশ্নের টেক্সটে ট্রেনের দৈর্ঘ্য '৫০ মিটার' কিন্তু সমাধান অংশে এবং সাধারণ প্রশ্নে এটি '৬০ মিটার' হিসেবে সলভ করা হয়েছে (ছবিতে Solution অংশে $d_1 = 60$ লেখা)। প্রশ্নপত্রে টাইপো থাকতে পারে, কিন্তু উত্তরের সাথে মিলতে হলে দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার হতে হবে। যদি ৫০ হয় তবে উত্তর ৩.৭৫। যেহেতু অপশনে ৪.৫ আছে, তাই দৈর্ঘ্য ৬০ মিটার ধরেই অঙ্কটি করা হয়েছে।)

সঠিক সমাধান (৬০ মিটার ধরে):
$t = \frac{৬০ \times ১৮}{৪৮ \times ৫} = \frac{১০৮০}{২৪০} = ৪.৫$ সেকেন্ড।

সঠিক উত্তর: ০.০২৫

দেওয়া আছে,
ভাজক = $০.৫$
শর্তমতে, ভাজক = $১০ \times$ ভাগফল
বা, $০.৫ = ১০ \times$ ভাগফল
$\therefore$ ভাগফল = $\frac{০.৫}{১০} = ০.০৫$

আমরা জানি,
ভাজ্য = ভাজক $\times$ ভাগফল (ভাগশেষ উল্লেখ না থাকলে ০)
$\therefore$ ভাজ্য = $০.৫ \times ০.০৫ = ০.০২৫$

সঠিক উত্তর: ২০

ধাপ ১: ৫ দিন কাজ হয়ে গেছে, তাই ৩০ জন শ্রমিকের জন্য অবশিষ্ট কাজ আছে $(১৫ - ৫) = ১০$ দিনের।

ধাপ ২: ১০ জন শ্রমিক চলে যাওয়ায় অবশিষ্ট শ্রমিক = $৩০ - ১০ = ২০$ জন।

ধাপ ৩: ঐকিক নিয়ম:
৩০ জন কাজটি করতে পারে ১০ দিনে
১ জন কাজটি করতে পারে $(৩০ \times ১০)$ দিনে
$\therefore$ ২০ জন কাজটি করতে পারে $\frac{৩০ \times ১০}{২০} = ১৫$ দিনে।

ধাপ ৪: সর্বমোট সময় = প্রথমে কাজ হয়েছে ৫ দিন + বাকি কাজ ১৫ দিন = $৫ + ১৫ = ২০$ দিন।

সঠিক উত্তর: ৪৫, ১৫

ধাপ ১: ১০ বছর পূর্বে দুইজনের বয়সের সমষ্টি ছিল ৪০ বছর।
বর্তমানে দুইজনের বয়স বেড়েছে $১০ + ১০ = ২০$ বছর।
$\therefore$ বর্তমান বয়সের সমষ্টি = $৪০ + ২০ = ৬০$ বছর।

ধাপ ২: অনুপাত ৩ : ১। অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = $৩ + ১ = ৪$।

ধাপ ৩: পিতার বর্তমান বয়স = $৬০ \times \frac{৩}{৪} = ৪৫$ বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স = $৬০ \times \frac{১}{৪} = ১৫$ বছর।

সঠিক উত্তর: ৭৫ মাইল/ঘন্টা

দেওয়া আছে,
যাওয়ার দূরত্ব = ১০ মাইল, গতিবেগ = ৫০ মাইল/ঘন্টা।
যাওয়ার সময় = $\frac{\text{দূরত্ব}}{\text{গতিবেগ}} = \frac{১০}{৫০} = \frac{১}{৫}$ ঘন্টা = $\frac{১}{৫} \times ৬০ = ১২$ মিনিট।

শর্তমতে, মোট সময় = ২০ মিনিট।
সুতরাং, ফেরত আসার সময় = ২০ - ১২ = ৮ মিনিট = $\frac{৮}{৬০} = \frac{২}{১৫}$ ঘন্টা।

ফেরত আসার দূরত্ব একই (১০ মাইল)।
$\therefore$ ফেরত আসার গতিবেগ = $\frac{\text{দূরত্ব}}{\text{সময়}} = \frac{১০}{\frac{২}{১৫}} = ১০ \times \frac{১৫}{২} =$ ৭৫ মাইল/ঘন্টা।

সঠিক উত্তর: ৬

বিস্তারিত সমাধান:
মিতা ১ দিনে করে কাজটির $\frac{1}{10}$ অংশ
রিতা ১ দিনে করে কাজটির $\frac{1}{15}$ অংশ
তারা একত্রে ১ দিনে করে = $\left(\frac{1}{10} + \frac{1}{15}\right)$ অংশ
$= \frac{3 + 2}{30}$ অংশ
$= \frac{5}{30}$ অংশ
$= \frac{1}{6}$ অংশ

$\therefore$ তারা একত্রে সম্পূর্ণ কাজটি করবে ৬ দিনে।

সঠিক উত্তর: ৫

বালিকার সংখ্যা হবে ১২৫ এবং ১৪৫ এর গ.সা.গু (HCF)।

১২৫ = $5 \times 5 \times 5$
১৪৫ = $5 \times 29$

উভয় সংখ্যার সাধারণ উৎপাদক বা গ.সা.গু = $5$।
সুতরাং, ৫ জন বালিকাকে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে।

আসল + ৫ বছরের মুনাফা = ৬০০ টাকা

আসল + ৩ বছরের মুনাফা = ৪৬০ টাকা

-----------------------------------

$\therefore$ ২ বছরের মুনাফা = ১৪০ টাকা

১ বছরের মুনাফা = $\frac{১৪০}{২} = ৭০$ টাকা

৩ বছরের মুনাফা = $৭০ \times ৩ = ২১০$ টাকা

$\therefore$ আসল = $৪৬০ - ২১০ =$ ২৫০ টাকা

এখন, ২৫০ টাকার ১ বছরের মুনাফা ৭০ টাকা।

$\therefore$ ১০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা (হার) = $\frac{৭০ \times ১০০}{২৫০} =$ ২৮%

২ এবং ৩২ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো:

২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯ এবং ৩১।

মোট মৌলিক সংখ্যা = ১১টি।

সঠিক উত্তর: ৩৫ টাকা

দেওয়া আছে,
৮টি কমলার ক্রয়মূল্য = ২০০ টাকা
∴ ১টি কমলার ক্রয়মূল্য = $\frac{২০০}{৮} = ২৫$ টাকা

এখন, ৪০% লাভে প্রতিটি কমলার বিক্রয়মূল্য
= ২৫ এর ১৪০% = $২৫ \times \frac{১৪০}{১০০} =$ ৩৫ টাকা।

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু $\times$ গ.সা.গু
$\Rightarrow$ অপর সংখ্যাটি $\times$ ১২ = ২৪ $\times$ ৮
$\Rightarrow$ অপর সংখ্যাটি = $\frac{২৪ \times ৮}{১২}$
$\Rightarrow$ অপর সংখ্যাটি = $২ \times ৮ =$ ১৬

সতর্কতা: প্রশ্নে মুদ্রণ প্রমাদ থাকতে পারে। প্রদত্ত উপাত্ত অনুযায়ী উত্তর মেলে না। তবে সাধারণ নিয়মে সমাধান নিচে দেওয়া হলো।

আসল + ৫ বছরের মুনাফা = ৬০০ টাকা
আসল + ৩ বছরের মুনাফা = ৪৬০ টাকা
-----------------------------------
বিয়োগ করে, ২ বছরের মুনাফা = ১৪০ টাকা
$\therefore$ ১ বছরের মুনাফা = ৭০ টাকা
$\therefore$ ৩ বছরের মুনাফা = $৩ \times ৭০ = ২১০$ টাকা
আসল = $৪৬০ - ২১০ = ২৫০$ টাকা।
মুনাফার হার = $\frac{\text{সুদ} \times ১০০}{\text{আসল} \times \text{সময়}} = \frac{২১০ \times ১০০}{২৫০ \times ৩} = ২৮\%$।
কিন্তু অপশনে ২৮% নেই।

বি.দ্র: যদি প্রশ্নে ৩ বছরের মুনাফাসহ ৫৬০ টাকা থাকত (৪৬০ এর বদলে), তবে উত্তর হতো ৪% (অপশন b)। রেলওয়ে পরীক্ষায় এই প্রশ্নটি প্রায়ই আসে যেখানে সংখ্যাটি ৫৬০ থাকে।

সঠিক উত্তর: ২০%

বিস্তারিত সমাধান:
ধরি, আপেলের পূর্বমূল্য ১০০ টাকা।
২৫% বৃদ্ধিতে বর্তমান মূল্য = $(১০০ + ২৫) =$ ১২৫ টাকা।

খরচ অপরিবর্তিত রাখতে হলে, বর্তমান ১২৫ টাকার ব্যবহার কমিয়ে ১০০ টাকার সমান করতে হবে।
অর্থাৎ, ব্যবহার কমাতে হবে = $(১২৫ - ১০০) =$ ২৫ টাকার।

এখন,
১২৫ টাকায় কমাতে হবে ২৫ টাকা
$\therefore ১$ টাকায় কমাতে হবে $\frac{২৫}{১২৫}$ টাকা
$\therefore ১০০$ টাকায় কমাতে হবে $\frac{২৫ \times ১০০}{১২৫} = ২০$ টাকা।

সঠিক উত্তর: ১০

দেওয়া আছে,
৫টি সংখ্যার সমষ্টি = ১০০

১ম ও ২য় সংখ্যার গড় = ২০
$\therefore$ ১ম ও ২য় সংখ্যার সমষ্টি = $২০ \times ২ =$ ৪০

৩য় ও ৪র্থ সংখ্যার সমষ্টি = ৫০

প্রথম ৪টি সংখ্যার সমষ্টি = $৪০ + ৫০ =$ ৯০

$\therefore$ ৫ম (শেষ) সংখ্যাটি = $১০০ - ৯০ =$ ১০

ধরি, সংখ্যা দুটি $5x$ ও $7x$।

প্রশ্নমতে, গ.সা.গু $x = 4$

সংখ্যা দুটি হলো: $5 \times 4 = 20$ এবং $7 \times 4 = 28$

এখন, $20$ ও $28$ এর ল.সা.গু বের করি:

$4 \mid 20, 28$

$\quad 5, 7$

$\therefore$ ল.সা.গু = $4 \times 5 \times 7 = 140$

সঠিক উত্তর: 140

বর্গক্ষেত্রের বাহু বৃদ্ধির ফলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির সূত্র:

বৃদ্ধি $\% = A + B + \frac{A \times B}{100}$

এখানে, $A = 10$ এবং $B = 10$

$\therefore$ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = $10 + 10 + \frac{10 \times 10}{100} \%$

= $20 + 1 = 21\%$

এখানে,
আসল, $P = 15000$ টাকা
মুনাফার হার, $r = 6\% = \frac{6}{100} = 0.06$
সময়, $n = 3$ বছর

আমরা জানি,
সবৃদ্ধিমূল $C = P(1+r)^n$
$= 15000(1 + 0.06)^3$
$= 15000(1.06)^3$
$= 15000 \times 1.191016$
$= 17865.24$ টাকা

সুতরাং, চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = $C - P$
$= 17865.24 - 15000$
= 2865.24 টাকা

সঠিক উত্তর: ১৬৮৯৯

প্রশ্নমতে, প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর সাথে ১ যোগ করলে কোনটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে তা বের করতে হবে।

অপশন (গ) ১৬৮৯৯ এর সাথে ১ যোগ করলে হয় ১৬৯০০।
আমরা জানি, $১৩০ \times ১৩০ = ১৬৯০০$।
সুতরাং, ১৬৯০০ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

সঠিক উত্তর: $৬\frac{১}{৪}\%$ কমেছে

এ ধরণের অঙ্কের ক্ষেত্রে শর্টকাট সূত্র: $\left(A + B + \frac{A \times B}{100}\right)\%$

এখানে, বৃদ্ধি $A = +২৫$ এবং হ্রাস $B = -২৫$
$\therefore$ শতকরা পরিবর্তন $= \left(২৫ - ২৫ + \frac{২৫ \times -২৫}{১০০}\right)\%$
$= 0 - \frac{৬২৫}{১০০}\% = -৬.২৫\% = -৬\frac{১}{৪}\%$

ঋণাত্মক মান নির্দেশ করে যে শেয়ারের দাম কমেছে। সুতরাং, $৬\frac{১}{৪}\%$ কমেছে।

সঠিক উত্তর: $x - 5$

[নোট: প্রশ্নে প্রথম রাশিতে $3$ এর স্থলে $30$ হবে।]

১ম রাশি $= x^2 - 11x + 30$
$= x^2 - 6x - 5x + 30$
$= x(x - 6) - 5(x - 6) = (x - 6)(x - 5)$

২য় রাশি $= x^3 - 4x^2 - 2x - 15$
$= x^3 - 5x^2 + x^2 - 5x + 3x - 15$
$= x^2(x - 5) + x(x - 5) + 3(x - 5)$
$= (x - 5)(x^2 + x + 3)$

উভয় রাশির সাধারণ উৎপাদক হলো $(x - 5)$।
$\therefore$ নির্ণেয় গ.সা.গু. $= x - 5$

ধরি, সংখ্যাটি $x$।

প্রশ্নমতে, $\frac{x}{2} = \frac{x}{3} + 17$

$\Rightarrow \frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 17$

$\Rightarrow \frac{3x - 2x}{6} = 17$

$\Rightarrow \frac{x}{6} = 17$

$\therefore x = 17 \times 6 = 102$

শর্টকাট সূত্র: যখন ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্য সমান হয় (যেমন এখানে উভয় ক্ষেত্রে ১ টাকা), তখন,

লাভ $(\%) = \frac{\text{ক্রয়সংখ্যা} - \text{বিক্রয়সংখ্যা}}{\text{বিক্রয়সংখ্যা}} \times 100\%$

$= \frac{3 - 2}{2} \times 100\%$

$= \frac{1}{2} \times 100\% = 50\%$

এটি একটি বিজোড় সংখ্যার বর্গের ধারা।

সূত্র: $1^2 + 3^2 + 5^2 + ........ + (2n-1)^2 = \frac{n(4n^2-1)}{3}$

এখানে শেষ পদ, $2n - 1 = 31 \Rightarrow 2n = 32 \Rightarrow n = 16$

সমষ্টি $= \frac{16(4 \times 16^2 - 1)}{3} = \frac{16(4 \times 256 - 1)}{3} = \frac{16(1024 - 1)}{3} = \frac{16 \times 1023}{3} = 16 \times 341 = 5456$

নোট: প্রশ্নে প্রদত্ত অপশনগুলোতে সঠিক উত্তর (৫৪৫৬) নেই।

নির্ণেয় বালকের সংখ্যা হবে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর গ.সা.গু.।

$125 = 5 \times 5 \times 5$

$145 = 5 \times 29$

সুতরাং ১২৫ ও ১৪৫ এর গ.সা.গু. $= 5$।

অর্থাৎ, ৫ জনকে সমান ভাগে ভাগ করে দেওয়া যাবে।

১২০ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:

$120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5$

$= 4 \times 5 \times 6$

সুতরাং পরপর তিনটি সংখ্যা হলো ৪, ৫ ও ৬।

তাদের যোগফল $= 4 + 5 + 6 = 15$

"যত বড় তত ছোট" ধরনের অঙ্কে সংখ্যাটি বের করার সূত্র হলো প্রদত্ত সংখ্যা দুটির গড়।

সংখ্যাটি $= \frac{301 + 381}{2}$

$= \frac{682}{2} = 341$

ধরি, আয় $= 20x$ এবং ব্যয় $= 15x$

সঞ্চয় $= \text{আয়} - \text{ব্যয়} = 20x - 15x = 5x$

সঞ্চয় আয়ের শতকরা অংশ $= \frac{\text{সঞ্চয়}}{\text{আয়}} \times 100\%$

$= \frac{5x}{20x} \times 100\%$

$= \frac{1}{4} \times 100\% = 25\%$

অপশনগুলো যাচাই করি:

(ক) $105 = 5 \times 21$; এটি যৌগিক সংখ্যা।

(খ) $53$ মৌলিক সংখ্যা, কারণ ১ এবং ৫৩ ছাড়া এর অন্য কোনো গুণনীয়ক নেই।

(গ) $21 = 3 \times 7$; এটি যৌগিক সংখ্যা।

(ঘ) $124$ জোড় সংখ্যা ($2 \times 62$), তাই এটি যৌগিক সংখ্যা।

দেওয়া আছে,
আসল ($P$) = ২০০০ টাকা
সময় ($n$) = ৩ বছর
সুদ-আসল ($A$) = ২৩০০ টাকা

আমরা জানি, মোট সুদ ($I$) = সুদ-আসল - আসল
$I = ২৩০০ - ২০০০ = ৩০০$ টাকা

সূত্রানুসারে, $I = \frac{Pnr}{১০০}$
বা, $৩০০ = \frac{২০০০ \times ৩ \times r}{১০০}$
বা, $r = \frac{৩০০ \times ১০০}{২০০০ \times ৩} = \frac{৩০০০০}{৬০০০} = ৫$

সুতরাং, সুদের হার = ৫%

অপশনগুলো পরীক্ষা করে সহজে উত্তর বের করা যায়।

যেহেতু $৪^২ = ১৬$, তাই সংখ্যাটির বর্গমূল ৪-এর খুব কাছাকাছি একটি সংখ্যা হবে।

অপশনগুলোর মধ্যে ৩.৯৫ হলো ৪-এর সবচেয়ে কাছের সংখ্যা।
তাছাড়া, $৩.৯৫ \times ৩.৯৫ = ১৫.৬০২৫$ যা $১৫.৬০২৩$-এর প্রায় সমান।

সুতরাং, $\sqrt{১৫.৬০২৩} \approx$ ৩.৯৫

যেহেতু প্রথম ভাজক (৬৪), দ্বিতীয় ভাজক (৩২) দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য ($৬৪ \div ৩২ = ২$), তাই সরাসরি প্রথম ভাগশেষকে (৬৩) দ্বিতীয় ভাজক (৩২) দিয়ে ভাগ করলেই নির্ণেয় উত্তর পাওয়া যাবে।

অর্থাৎ, $৬৩ \div ৩২$-এর ক্ষেত্রে, $৩২ \times ১ = ৩২$ এবং ভাগশেষ থাকে $৬৩ - ৩২ =$ ৩১।

তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল দেওয়া থাকলে তাদের গড় বের করলে মধ্যবর্তী সংখ্যাটি পাওয়া যায়।

মধ্যম সংখ্যা = $\frac{যোগফল}{৩} = \frac{১২৩}{৩} = ৪১$

যেহেতু সংখ্যাগুলো ক্রমিক, তাই সংখ্যা তিনটি হলো: ৪০, ৪১, ৪২।

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুটি হলো ৪০ এবং ৪১।
তাদের গুণফল = $৪০ \times ৪১ =$ ১৬৪০

$০.৩$ এর $২০\% = ০.৩ \times \frac{২০}{১০০} = ০.৩ \times ০.২ = ০.০৬$

অপশনে সঠিক উত্তর নেই।

ধরি, সংখ্যাটি $x$

প্রশ্নমতে, $x$ এর $৬০\% = ৫১$

$\Rightarrow x \times \frac{৬০}{১০০} = ৫১$

$\Rightarrow x = \frac{৫১ \times ১০০}{৬০} = ৮৫$

আমরা জানি, গ.সা.গু $= \frac{\text{দুটি সংখ্যার গুণফল}}{\text{ল.সা.গু}} = \frac{২১৬}{৩৬} = ৬$

চারটি সমানুপাতিক রাশির ক্ষেত্রে,

মধ্য রাশিদ্বয়ের গুণফল = প্রান্তীয় রাশিদ্বয়ের গুণফল

$\therefore$ মধ্য রাশিদ্বয়ের গুণফল = $৪৮$

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর গড় $= \frac{১০০+১}{২} = \frac{১০১}{২} = ৫০.৫০$

$১০০$ টাকার $১০০\% = ১০০ \times \frac{১০০}{১০০} = ১০০$ টাকা।

ধরি, প্রতিযোগিতার সংখ্যা $= ১০০\%$

শতকরা ফেল করেছে $= (১০০ - ৬০)\% = ৪০\%$

আবার মোট ফেল করেছে $= (৪৫ + ১৫) = ৬০$ জন

শর্তমতে, $৪০\% = ৬০$ জন

$\therefore ১\% = \frac{৬০}{৪০}$ জন

$\therefore ১০০\% = \frac{৬০ \times ১০০}{৪০} = ১৫০$ জন।

১ টন = ১০০০ কেজি $\therefore$ ৫ টন = ৫০০০ কেজি
এক ব্যাগ = ৫০ কেজি $\therefore$ মোট ব্যাগ = $\frac{5000}{50}$ = ১০০টি।