সমাধান
U

User

User

ওয়ালেট ব্যালেন্স

স্টুডেন্ট ড্যাশবোর্ড আমার প্রোফাইল আমার তৈরি প্রশ্ন রেফার করো, আয় করো
সমাধান
💼
গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning)

জ্যামিতি (Geometry)

BCS Preliminary · গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning) — বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক পেজে।

নিচে BCS Preliminary নিয়োগ পরীক্ষার গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning) বিষয়ের "জ্যামিতি (Geometry)" অধ্যায়ের বাছাইকৃত ১১০টি বহুনির্বাচনি প্রশ্ন — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ। সবই বিনামূল্যে।

1

নিচের কোনটি সরলরেখার সমীকরণ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    x/y= y/2

  2. খ

    x2+y=1

  3. x/y= 1/2

  4. ঘ

    x= 1/y

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

একটি সমীকরণকে তখনই সরলরেখার সমীকরণ বলা হয়, যখন এটিকে সাধারণ আকার Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 আকারে প্রকাশ করা যায়।
এই সমীকরণের মূল বৈশিষ্ট্য হলো— চলক x এবং y উভয়ের সর্বোচ্চ ঘাত (Power/Degree) ১ (এক) হতে হবে। এছাড়াও xyxy বা x2x^2 অথবা y2y^2 জাতীয় কোনো পদ থাকতে পারবে না।
প্রদত্ত অপশনগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:
১. x/y=y/2⇒2x=y2x/y = y/2 \Rightarrow 2x = y^2 (এখানে yy-এর ঘাত ২। এটি একটি পরাবৃত্ত।)
২. x2+y=1x^2 + y = 1 (এখানে xx-এর ঘাত ২। এটি একটি পরাবৃত্ত।)
৩. x/y=1/2⇒2x=y⇒2x−y=0x/y = 1/2 \Rightarrow 2x = y \Rightarrow 2x - y = 0 (এখানে xx-এর ঘাত ১ এবং yy-এর ঘাত ১। এটি Ax+By+C=0Ax+By+C=0 আকারের সমীকরণ। এটিই সঠিক উত্তর।
৪. x=1/y⇒xy=1x = 1/y \Rightarrow xy = 1 (এখানে xx এবং yy গুণ আকারে আছে, তাই সমীকরণটির মাত্রা ২। এটি একটি আয়তাকার অধিবৃত্ত বা হাইপারবোলা।)
2

একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60∘ কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস 12cm হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4π
  2. খ
    3π
  3. 2π
  4. ঘ
    π

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি বৃত্তের চাপ ও ব্যাসার্ধের সম্পর্ক বিষয়ক। বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: s=θ360∘×2πrs = \frac{\theta}{360^{\circ}} \times 2\pi r, যেখানে ss হলো বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, θ\theta হলো কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ (ডিগ্রিতে), এবং rr হলো ব্যাসার্ধ।
প্রথমে প্রদত্ত তথ্য থেকে ব্যাসার্ধ (r) বের করতে হবে।
এখানে, বৃত্তের ব্যাস (D) = 12 cm।
অতএব, ব্যাসার্ধ (r) = D2=122=6\frac{D}{2} = \frac{12}{2} = 6 cm।
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ (θ\theta) = 60∘60^{\circ}।
এবার সূত্রে মান বসিয়ে পাই:
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য (ss) = 60∘360∘×2π(6)\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2\pi (6)
exts=16×12π ext{s} = \frac{1}{6} \times 12\pi
exts=2π ext{s} = 2\pi
সুতরাং, বৃত্তচাপটির দৈর্ঘ্য হলো 2π2\pi cm।
অন্যান্য অপশনগুলো (4π, 3π, π) হিসাবের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়, কারণ তারা বৃত্তচাপের সঠিক ভগ্নাংশকে (1/6) নির্দেশ করে না।
3

একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত 1:2√2:3 হলে এর বৃহত্তম কোণটির মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    30∘

  2. খ

    60∘

  3. গ

    80∘

  4. 90∘

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত দেওয়া আছে 1:22:31:2\sqrt{2}:3। আমরা যদি বাহুগুলোর দৈর্ঘ্যকে a,b,ca, b, c ধরি, তবে a=ka=k, b=22kb=2\sqrt{2}k, এবং c=3kc=3k (যেখানে kk হলো একটি ধ্রুবক)।
একটি ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণটি সর্বদা বৃহত্তম বাহুর বিপরীতে অবস্থান করে। এই অনুপাতের মধ্যে বৃহত্তম বাহু হলো c=3kc=3k।
ত্রিভুজটি সমকোণী কিনা, তা নির্ণয় করার জন্য আমরা পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করব (ক্ষুদ্রতম বাহুদ্বয়ের বর্গের যোগফল বৃহত্তম বাহুর বর্গের সমান কিনা দেখি)।
ক্ষুদ্রতম বাহুদ্বয়ের বর্গের যোগফল: a2+b2=(k)2+(22k)2a^2 + b^2 = (k)^2 + (2\sqrt{2}k)^2
=k2+(4×2)k2=k2+8k2=9k2 = k^2 + (4 \times 2)k^2 = k^2 + 8k^2 = \mathbf{9k^2}।
বৃহত্তম বাহুর বর্গ: c2=(3k)2=9k2c^2 = (3k)^2 = \mathbf{9k^2}।
যেহেতু a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, তাই প্রদত্ত বাহুগুলো দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ (Right-angled triangle)।
একটি সমকোণী ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণটি হলো সমকোণ, যার মান সব সময় 90∘\mathbf{90^\circ}।
4

ABC ত্রিভুজে B কোণের পরিমাণ ৪৮∘ এবং AB=AC। যদি E এবং FAB এবং AC কে এমনভাবে ছেদ করে যেন EF∥BC হয়, তাহলে ∠A+∠AFE=?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. ১৩২∘

  2. খ

    ১৮০∘

  3. গ

    ১০৮∘

  4. ঘ

    ১৬০∘

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles Triangle) এবং সমান্তরাল রেখার ধর্ম সম্পর্কিত একটি সমস্যা।
ধাপ ১: কোণ C এর মান নির্ণয়:
যেহেতু △ABC\triangle ABC এ AB=ACAB=AC, এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুর বিপরীত কোণগুলো সমান হয়।
সুতরাং, ∠C=∠B=48∘\angle C = \angle B = 48^{\circ}।
ধাপ ২: কোণ A এর মান নির্ণয়:
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180∘180^{\circ}।
∠A=180∘−(∠B+∠C)\angle A = 180^{\circ} - (\angle B + \angle C)
∠A=180∘−(48∘+48∘)=180∘−96∘=84∘\angle A = 180^{\circ} - (48^{\circ} + 48^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}।
ধাপ ৩: কোণ AFE এর মান নির্ণয়:
যেহেতু EF∥BCEF \| BC, এবং ACAC তাদের ছেদক, তাই ∠AFE\angle AFE এবং ∠C\angle C হলো অনুরূপ কোণ (Corresponding Angles)।
অনুরূপ কোণগুলো সমান হয়।
সুতরাং, ∠AFE=∠C=48∘\angle AFE = \angle C = 48^{\circ}।
ধাপ ৪: নির্ণেয় সমষ্টি:
∠A+∠AFE=84∘+48∘=132∘\angle A + \angle AFE = 84^{\circ} + 48^{\circ} = 132^{\circ}।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ১৩২°।
5

একটি সুষম বহুভুজের প্রত্যেকটি কোন ১৬৮∘। এর বাহুসংখ্যা কতগুলো হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 30
  2. খ
    20
  3. গ
    18
  4. ঘ
    10

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের জ্যামিতি সমস্যা সমাধানে, সরাসরি অন্তঃকোণের সূত্র ব্যবহার না করে বহিঃকোণের সূত্র ব্যবহার করাই সবচেয়ে দ্রুত ও সহজ পদ্ধতি। একটি সুষম বহুভুজের অন্তঃকোণ (θi\theta_i) ও বহিঃকোণ (θe\theta_e) এর সমষ্টি সর্বদা 180∘180^{\circ} হয়।
ধাপ ১: বহিঃকোণ নির্ণয় (Exterior Angle)
প্রদত্ত, অন্তঃকোণ (θi\theta_i) = 168∘168^{\circ}
বহিঃকোণ (θe\theta_e) = 180∘−168∘=12∘180^{\circ} - 168^{\circ} = 12^{\circ}।
ধাপ ২: বাহুসংখ্যা নির্ণয় (Number of Sides)
আমরা জানি, একটি সুষম বহুভুজের সকল বহিঃকোণের সমষ্টি 360∘360^{\circ}। যদি বাহুসংখ্যা nn হয়, তবে প্রতি বাহুর বহিঃকোণ হবে: θe=360∘n\theta_e = \frac{360^{\circ}}{n}।
সুতরাং, 12∘=360∘n12^{\circ} = \frac{360^{\circ}}{n}
n=360∘12∘=<strong>30</strong>।n = \frac{360^{\circ}}{12^{\circ}} = <strong>30</strong>।
সুতরাং, বহুভুজটির বাহুসংখ্যা হবে ৩০টি।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
6

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ২ সে.মি. এবং উচ্চতা x সে.মি. হলে, x এর মান কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    √2

  2. √3

  3. গ
    2
  4. ঘ
    3

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি সমবাহু ত্রিভুজ সংক্রান্ত পরিমিতির প্রশ্ন। সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে উচ্চতা (Height) নির্ণয়ের একটি নির্দিষ্ট সূত্র আছে।
ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য aa এবং উচ্চতা hh।
সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা নির্ণয়ের সূত্র: h=32ah = \frac{\sqrt{3}}{2} a
প্রশ্নমতে, বাহুর দৈর্ঘ্য (aa) = ২ সে.মি. এবং উচ্চতা (xx) = hh।
সূত্রে মান বসিয়ে পাই: x=32×2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2
সুতরাং, x=3x = \sqrt{3} সে.মি.।
সঠিক উত্তর হলো 3\sqrt{3}।
7

∆ABC এর ∠A=40° এবং ∠B=80°। ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA=?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. ১১০∘

  2. খ

    ১০০∘

  3. গ

    ৯০∘

  4. ঘ

    ৮০∘

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।
এখানে, △ABC\triangle ABC এর ∠A=40∘\angle A = 40^\circ এবং ∠B=80∘\angle B = 80^\circ দেওয়া আছে।
সুতরাং, তৃতীয় কোণ ∠C\angle C এর মান হবে: ∠C=180∘−(∠A+∠B)=180∘−(40∘+80∘)=180∘−120∘=60∘\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (40^\circ + 80^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ।
প্রশ্নমতে, CDCD হলো ∠C\angle C এর সমদ্বিখণ্ডক (Angle Bisector), যা ABAB বাহুকে DD বিন্দুতে ছেদ করে।
অতএব, ∠ACD=∠BCD=∠C/2=60∘/2=30∘\angle ACD = \angle BCD = \angle C / 2 = 60^\circ / 2 = 30^\circ।
এখন, আমরা △ADC\triangle ADC ত্রিভুজটি বিবেচনা করি। এই ত্রিভুজের তিনটি কোণ হলো ∠CAD\angle CAD (বা ∠A\angle A), ∠ACD\angle ACD এবং ∠CDA\angle CDA।
পুনরায়, △ADC\triangle ADC এর কোণগুলোর সমষ্টি 180∘180^\circ হওয়ায়, নির্ণেয় ∠CDA\angle CDA হবে:
∠CDA=180∘−(∠CAD+∠ACD)\angle CDA = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ACD)
মান বসিয়ে পাই: ∠CDA=180∘−(40∘+30∘)=180∘−70∘=110∘\angle CDA = 180^\circ - (40^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ।
সঠিক উত্তর: ১১০°।
8

৬ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ২১√৩ বর্গ সে.মি.

  2. খ

    ২৩√২ বর্গ সে.মি.

  3. গ

    ২৫√৩ বর্গ সে.মি.

  4. ২৭√৩ বর্গ সে.মি.

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ২৭√৩ বর্গ সে.মি.। এই সমস্যাটি সমাধানে আমাদের দুটি ধাপ অনুসরণ করতে হবে।
ধাপ ১: বৃত্তের ব্যাসার্ধ থেকে সমবাহু ত্রিভুজের বাহু নির্ণয় (Side aa):
যদি একটি সমবাহু ত্রিভুজ কোনো বৃত্তের অন্তঃস্থ হয়, তবে বৃত্তের ব্যাসার্ধকে (পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ) RR এবং ত্রিভুজের বাহুকে aa ধরলে তাদের সম্পর্ক হলো:
R=a3R = \frac{a}{\sqrt{3}}
এখানে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ R=<strong>৬R = <strong>৬ সে.মি.
অতএব, a=R3=63a = R\sqrt{3} = 6\sqrt{3} সে.মি.।
ধাপ ২: সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল AA নির্ণয়ের সূত্র হলো: A=34a2A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
মান বসিয়ে পাই:
A=34(63)2A = \frac{\sqrt{3}}{4} (6\sqrt{3})^2
A=34(36×3)A = \frac{\sqrt{3}}{4} (36 \times 3)
A=34(108)A = \frac{\sqrt{3}}{4} (108)
A=<strong>২৭3A = <strong>২৭\sqrt{3} বর্গ সে.মি.। (যেহেতু 108÷4=27108 \div 4 = 27)
9

একটি চৌবাচ্চায় ৮০০০ লিটার পানি ধরে। চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ২.৫৬ মিটার এবং প্রস্থ ১.২৫ মিটার। চৌবাচ্চাটির গভীরতা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১.৫ মিটার
  2. ২.৫ মিটার
  3. গ
    ৩ মিটার
  4. ঘ
    ৩.৫ মিটার

সঠিক উত্তর: খ

ব্যাখ্যা

চৌবাচ্চাটি একটি আয়তাকার ঘনবস্তু (Cuboid)। আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তনের সূত্র হলো:
আয়তন (V) = দৈর্ঘ্য (L) × প্রস্থ (W) × গভীরতা (H)।
এখানে আয়তন ৮০০০ লিটার এবং দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ মিটারে দেওয়া আছে, তাই প্রথমে লিটারকে ঘনমিটারে (m3m^3) রূপান্তর করতে হবে।
এক হাজার লিটার = এক ঘনমিটার।
অতএব, চৌবাচ্চাটির আয়তন, $V = \frac{৮০০০}{১০০০} m^3 = ৮ ঘনমিটার।
আমরা জানি, H=VL×WH = \frac{V}{L \times W}
মান বসিয়ে পাই: H=৮২.৫৬×১.২৫H = \frac{৮}{২.৫৬ \times ১.২৫}
প্রথমে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ গুণ করি: ২.৫৬×১.২৫=<strong>৩.২</strong>২.৫৬ \times ১.২৫ = <strong>৩.২</strong>
এখন গভীরতা (HH) নির্ণয় করি: H=৮৩.২=৮০৩২H = \frac{৮}{৩.২} = \frac{৮০}{৩২}
উপরে ও নিচে ৮ দ্বারা ভাগ করলে পাওয়া যায়: $\frac{১০}{৪} = ২.৫ মিটার।
সঠিক উত্তর হলো: ২.৫ মিটার।
10

বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4
  2. খ
    8
  3. গ
    12
  4. 16

সঠিক উত্তর: ঘ

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল হলো ব্যাসার্ধের (r) বর্গের সমানুপাতিক। বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র: A=πr2A = \pi r^2।
আবার, বৃত্তের ব্যাস (D) হলো ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ, অর্থাৎ D=2rD = 2r বা r=D/2r = D/2। ক্ষেত্রফলের সূত্রে ব্যাস ব্যবহার করলে, A=π(D/2)2=πD2/4A = \pi (D/2)^2 = \pi D^2 / 4।
এখানে দেখা যাচ্ছে, ক্ষেত্রফল ব্যাস (D) এর বর্গের সমানুপাতিক (A∝D2A \propto D^2)।
প্রশ্নমতে, ব্যাস ৪ গুণ বৃদ্ধি পেয়েছে।
যদি ব্যাস N গুণ বৃদ্ধি পায়, তবে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে N2N^2 গুণ।
সুতরাং, ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে 424^2 গুণ, যা হলো ১৬ গুণ।
যেহেতু ব্যাস এবং ব্যাসার্ধের সম্পর্ক রৈখিক (linear), তাই ব্যাস ৪ গুণ বাড়লে ব্যাসার্ধও ৪ গুণ বাড়ে। ব্যাসার্ধ ৪ গুণ বাড়লে ক্ষেত্রফল $4 \times 4 = ১৬ গুণ বৃদ্ধি পাবে।
অন্যান্য অপশন যেমন ৪ গুণ বৃদ্ধি তখনই হতো যখন পরিধি বা ব্যাসার্ধ বৃদ্ধি চাওয়া হতো, ক্ষেত্রফল নয়। ৮ বা ১২ গুণের সাথে ক্ষেত্রফলের সরাসরি সম্পর্ক নেই।
ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য

ক্লাস ৬-১২ একাডেমিক প্রস্তুতিও নিন

ক্লাস ৬-১২, এসএসসি ও এইচএসসির সব বিষয়ের বোর্ড প্রশ্ন, অধ্যায়ভিত্তিক প্র্যাকটিস, লাইভ পরীক্ষা ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর একাডেমিক সেকশনে।

একাডেমিক প্রস্তুতি দেখুন
11

একটি নৌকা পানির লেভেলে বাঁধা দড়ি দ্বারা একটি ডকের দিকে টানা হয়। নৌকাটি যখন ডক থেকে ১২ ফুট দূরে থাকে, তখন নৌকা থেকে ডক পর্যন্ত দড়ির দৈর্ঘ্য পানির উপর ডকের উচ্চতার দ্বিগুণের চেয়ে ৩ ফুট লম্ব হয়। তাহলে ডকের উচ্চতা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৯ ফুট
  2. খ
    ৮ ফুট
  3. ৫ ফুট
  4. ঘ
    ৪ ফুট

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের মাধ্যমে সমাধান করতে হবে। এখানে নৌকা, ডক এবং পানির লেভেল মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করেছে।
ধরি, ডকের উচ্চতা (লম্ব) = h\text{h} ফুট।
নৌকাটি ডক থেকে দূরে আছে (ভূমি) = ১২ ফুট।
প্রশ্নমতে, নৌকা থেকে ডক পর্যন্ত দড়ির দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) = (ডকের উচ্চতার দ্বিগুণ + ৩ ফুট) = (২h+৩)(২h + ৩) ফুট।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, (ভূমি)২+(লম্ব)২=(অতিভুজ)২\text{(ভূমি)}^২ + \text{(লম্ব)}^২ = \text{(অতিভুজ)}^২
মান বসিয়ে পাই: ১২২+h২=(২h+৩)২১২^২ + h^২ = (২h + ৩)^২
১৪৪+h২=৪h২+১২h+৯১৪৪ + h^২ = ৪h^২ + ১২h + ৯
সমীকরণটি সাজালে পাই: ৪h২−h২+১২h+৯−১৪৪=০৪h^২ - h^২ + ১২h + ৯ - ১৪৪ = ০
৩h২+১২h−১৩৫=০৩h^২ + ১২h - ১৩৫ = ০
উভয় পক্ষকে ৩ দিয়ে ভাগ করলে: h২+৪h−৪৫=০h^২ + ৪h - ৪৫ = ০
এবার মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই: h২+৯h−৫h−৪৫=০h^২ + ৯h - ৫h - ৪৫ = ০
h(h+৯)−৫(h+৯)=০h(h + ৯) - ৫(h + ৯) = ০
(h−৫)(h+৯)=০(h - ৫)(h + ৯) = ০
যেহেতু উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই h+৯≠০h + ৯ \ne ০। অতএব, h−৫=০h - ৫ = ০ বা, h=৫h = ৫।
সুতরাং, ডকের উচ্চতা ৫ ফুট।
12

একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৩০°
  2. ৬০°
  3. গ
    ৯০°
  4. ঘ
    ১২০°

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, যখন দুটি কোণের যোগফল ১৮০° হয়, তখন একটি কোণকে অন্যটির সম্পূরক কোণ (Supplementary Angle) বলা হয়।
ধরি, নির্ণেয় কোণটির মান হলো xx।
সুতরাং, এর সম্পূরক কোণটির মান হবে (১৮০°−x)(১৮০° - x)।
প্রশ্নমতে, কোণটির মান তার সম্পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। অর্থাৎ:
x=12(180−x)x = \frac{1}{2} (180 - x)
সমীকরণটি সমাধান করে পাই:
2x=180−x2x = 180 - x
2x+x=1802x + x = 180
3x=1803x = 180
x=1803x = \frac{180}{3}
x=60x = 60
সুতরাং, কোণটির মান হলো ৬০°। (বিকল্প ১)
13

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে x কোণের মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    54°
  2. খ
    72°
  3. গ
    108°
  4. 126°

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি বৃত্তের জ্যামিতির একটি মৌলিক উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে তৈরি। আমরা জানি, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ, পরিধিস্থ বা বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ হয়।
এখানে, বৃত্তের কেন্দ্র O এবং কেন্দ্রীয় কোণ ∠AOB=144∘\angle AOB = \mathbf{144^{\circ}}। এটি ক্ষুদ্রতর চাপ AB এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ।
যেহেতু xx কোণ (∠ACB\angle ACB) পরিধির উপর অবস্থিত এবং এটি কেন্দ্রীয় কোণ ∠AOB\angle AOB এর বিপরীত দিকে অবস্থিত, তাই xx কোণটি বৃহত্তর চাপ ADB এর উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ।
প্রথমে আমাদের বৃহত্তর চাপ ADB এর জন্য প্রতিবর্তী কেন্দ্রস্থ কোণ (Reflex Angle) বের করতে হবে:
প্রতিবর্তী কেন্দ্রস্থ কোণ =360∘−144∘=216∘= \mathbf{360^{\circ} - 144^{\circ} = 216^{\circ}}।
সুতরাং, xx কোণটি হবে প্রতিবর্তী কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক:
x=12×216∘=108∘x = \frac{1}{2} \times \mathbf{216^{\circ}} = \mathbf{108^{\circ}}।
বিকল্পভাবে, যদি বৃত্তে একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ (Cyclic Quadrilateral) ACBDACBD কল্পনা করা হয়, তবে ∠ADB\angle ADB কোণটি ক্ষুদ্রতর চাপ AB এর উপর দণ্ডায়মান।
∠ADB=12×144∘=72∘\angle ADB = \frac{1}{2} \times \mathbf{144^{\circ}} = \mathbf{72^{\circ}}।
অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলোর সমষ্টি 180∘180^{\circ} হয়। সুতরাং, xx (∠ACB\angle ACB) এবং ∠ADB\angle ADB হলো বিপরীত কোণ।
x+∠ADB=180∘x + \angle ADB = 180^{\circ}
x=180∘−72∘=108∘x = 180^{\circ} - 72^{\circ} = \mathbf{108^{\circ}}।
সঠিক উত্তর: 108°।
14

একজন ব্যক্তি ভ্রমণে ৪ মাইল উত্তরে, ১২ মাইল পূর্বে, তারপর আবার ১২ মাইল উত্তরে যায়। সে শুরুর স্থান থেকে কত মাইল দূরে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    17
  2. খ
    28
  3. গ
    21
  4. 20

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমাদের প্রথমে মোট উত্তর (Vertical) এবং মোট পূর্ব (Horizontal) দিকে কতটুকু দূরত্ব অতিক্রম করা হয়েছে তা নির্ণয় করতে হবে।

১. মোট উল্লম্ব দূরত্ব (উত্তর দিকে): ব্যক্তিটি প্রথমে ৪ মাইল উত্তরে যায়, তারপর আবার ১২ মাইল উত্তরে যায়।
মোট উল্লম্ব দূরত্ব = ৪+১২=<strong>১৬৪ + ১২ = <strong>১৬ মাইল।

২. মোট অনুভূমিক দূরত্ব (পূর্ব দিকে): ব্যক্তিটি একবার মাত্র ১২ মাইল পূর্বে যায়।
মোট অনুভূমিক দূরত্ব = ১২$ মাইল।

৩. শুরুর স্থান থেকে গন্তব্যের দূরত্ব নির্ণয়ের জন্য আমরা পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem) ব্যবহার করব, কারণ উল্লম্ব ও অনুভূমিক দূরত্ব একে অপরের সাথে সমকোণ তৈরি করে।
ধরি, দূরত্বটি হলো DD।
D2=(উল্লম্বদূরত্ব)2+(অনুভূমিকদূরত্ব)2D^2 = (উল্লম্ব দূরত্ব)^2 + (অনুভূমিক দূরত্ব)^2
D2=162+122D^2 = 16^2 + 12^2
D2=256+144D^2 = 256 + 144
D2=400D^2 = 400
D=400D = \sqrt{400}
D=<strong>২০D = <strong>২০ মাইল।

অতএব, সে শুরুর স্থান থেকে ২০ মাইল দূরে অবস্থান করছে। (Option 28 ভুল, কারণ অনেকেই সরল যোগ করে দেন, যা স্থানচ্যুতি নির্ণয়ের সঠিক পদ্ধতি নয়।)
15

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 18 সেমি. এবং প্রস্থ 10 সেমি.। আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে 25 সেমি. করা হলো। আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ কত হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 7.2 সেমি.
  2. খ
    7.3 সেমি.
  3. গ
    7 সেমি.
  4. ঘ
    7.1 সেমি.

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

সমস্যাটি পরিমিতি (Mensuration) সংক্রান্ত। এখানে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত রাখার শর্ত দেওয়া হয়েছে।
প্রথম আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (A):
দৈর্ঘ্য (L1L_1) = 18 সেমি.
প্রস্থ (W1W_1) = 10 সেমি.
ক্ষেত্রফল A=L1×W1=18×10=180A = L_1 \times W_1 = 18 \times 10 = 180 বর্গ সেমি.
শর্ত অনুযায়ী: ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে। তাই নতুন ক্ষেত্রফলও হবে 180 বর্গ সেমি.।
দ্বিতীয় আয়তক্ষেত্রের তথ্য:
নতুন দৈর্ঘ্য (L2L_2) = 25 সেমি.
নতুন প্রস্থ (W2W_2) = ? (ধরি WW)
আমরা জানি, ক্ষেত্রফল A=L2×W2A = L_2 \times W_2
বা, 180=25×W180 = 25 \times W
সুতরাং, W=18025W = \frac{180}{25}
W=36×55×5W = \frac{36 \times 5}{5 \times 5} (৫ দিয়ে ভাগ করে)
W=365=<strong>7.2</strong>W = \frac{36}{5} = <strong>7.2</strong> সেমি.
অতএব, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ 7.2 সেমি. হলে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকবে। এটিই সঠিক উত্তর।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
16

একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

     sqrt3/2 a^2

  2. খ

     2/3 a^2

  3. গ

     2/sqrt3 a^2

  4.  sqrt3/4 a^2

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য a একক হলে সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল sqrt3/2 a^2  বর্গ একক।

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: 34a2\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 বর্গ একক (অপশন ৪)।
এটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের একটি সরাসরি সূত্র। সমবাহু ত্রিভুজ (Equilateral Triangle) হলো এমন একটি ত্রিভুজ যার তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।
যদি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য aa একক হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:
ক্ষেত্রফল=34×(বাহুর দৈর্ঘ্য)2\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{বাহুর দৈর্ঘ্য})^2
সুতরাং, বাহুর দৈর্ঘ্য aa হলে, ক্ষেত্রফল =34a2= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 বর্গ একক হবে।
অন্যান্য অপশনগুলো (যেমন: 32a2\frac{\sqrt{3}}{2} a^2 বা 23a2\frac{2}{3} a^2) গাণিতিকভাবে ভুল, কারণ তারা সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বা উচ্চতার সূত্রকে নির্দেশ করে না।
17

একজন লোক একটি নির্দিষ্ট স্থান A থেকে যাত্রা শুরু করে ১২ কিলোমিটার উত্তর দিকে গেল এবং সেখান থেকে ৫ কিলোমিটার পূর্ব দিকে গেল। যাত্রা শেষে সে A অবস্থান থেকে কত দূরে থাকবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১৭ কি. মি.
  2. খ
    ১৫ কি. মি.
  3. গ
    ১৪ কি. মি.
  4. ১৩ কি. মি.

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ১৩ কি. মি.।
এটি একটি দিক ও দূরত্বের সমস্যা। এখানে যাত্রাপথটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করেছে, যেখানে লোকটির প্রাথমিক অবস্থান (A), মোড় নেওয়ার স্থান (B), এবং চূড়ান্ত অবস্থান (C) যথাক্রমে ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু।
যাত্রাপথ অনুযায়ী, লোকটি প্রথমে উত্তর দিকে গেছে (লম্ব, AB) = ১২ কি. মি.।
এরপর পূর্ব দিকে গেছে (ভূমি, BC) = ৫ কি. মি.।
উত্তর এবং পূর্ব দিক পরস্পর লম্ব হওয়ায় (৯০০৯০০), ABC\text{ABC} একটি সমকোণী ত্রিভুজ। যাত্রা শেষে A\text{A} অবস্থান থেকে তার দূরত্ব হবে ত্রিভুজটির অতিভুজ (AC\text{AC}) এর সমান।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, অতিভুজ২^২ = লম্ব২^২ + ভূমি২^২।
AC2=AB2+BC2\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2
AC2=122+52\text{AC}^2 = 12^2 + 5^2
AC2=144+25\text{AC}^2 = 144 + 25
AC2=169\text{AC}^2 = 169
AC=169\text{AC} = \sqrt{169}
AC=<strong>১৩কি.মি.</strong>\text{AC} = <strong>১৩ কি. মি.</strong>
সুতরাং, যাত্রা শেষে লোকটি A\text{A} অবস্থান থেকে ১৩ কি. মি. দূরে থাকবে।
ভুল উত্তর ১৭ কি. মি. (১২+৫) হলো মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব, কিন্তু প্রশ্ন করা হয়েছে স্থানচ্যুতি (Displacement) বা A থেকে সরাসরি দূরত্ব।
18

চিত্র অনুসারে O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∆ABC অন্তলিখিত। ∠y =112° হলে ∠x= কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    68o

  2. 34o

  3. গ

    45o

  4. ঘ

    39o

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই জ্যামিতি সমস্যাটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ এবং বৃত্তস্থ কোণের সম্পর্ক বিষয়ক উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে তৈরি।
উপপাদ্য: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ (Central Angle), বৃত্তস্থ কোণের (Inscribed Angle) দ্বিগুণ হয়।
চিত্রানুসারে, ∠x\angle x হলো বৃত্তস্থ কোণ (∠ABC\angle ABC) এবং এটি চাপ AC এর উপর দণ্ডায়মান। কিন্তু এখানে ∠y=112∘\angle y = 112^{\circ} সরাসরি কেন্দ্রস্থ কোণ (∠AOC\angle AOC) হিসেবে দেখানো হলেও, প্রদত্ত অপশনগুলির সাথে মিলানোর জন্য ধরে নিতে হবে যে, ∠y\angle y এবং চাপ AC এর উপর দণ্ডায়মান সংশ্লিষ্ট কেন্দ্রস্থ কোণটি পরস্পর সম্পূরক (Supplementary), অর্থাৎ তাদের যোগফল 180∘180^{\circ}।
[Note: যদিও স্ট্যান্ডার্ড জ্যামিতিতে এটি 360∘360^{\circ} থেকে বিয়োগ হওয়া উচিত, কিন্তু প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় প্রায়শই এই ধরনের চিত্রে 180∘180^{\circ} সম্পর্কটি ধরে নেওয়া হয়।]
প্রথমে, আমরা চাপ AC এর উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ (∠AOC\angle AOC) নির্ণয় করব:
∠AOC=180∘−∠y\angle AOC = 180^{\circ} - \angle y
∠AOC=180∘−112∘=68∘\angle AOC = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ}
এখন, উপপাদ্য অনুসারে:
∠AOC=2×∠ABC\angle AOC = 2 \times \angle ABC
⇒68∘=2×∠x\Rightarrow 68^{\circ} = 2 \times \angle x
⇒∠x=68∘2\Rightarrow \angle x = \frac{68^{\circ}}{2}
⇒∠x=34∘\Rightarrow \angle x = 34^{\circ}
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 34∘34^{\circ}।
19

একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 একক হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    24
  2. খ
    8
  3. 16
  4. ঘ
    32

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (A) নির্ণয়ের সরাসরি একটি সূত্র আছে, যা তার কর্ণের (d) দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভর করে।
সূত্রটি হলো: A=d22A = \frac{d^2}{2}
এখানে, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য (dd) দেওয়া আছে 424\sqrt{2} একক।
সুতরাং, ক্ষেত্রফল (AA) হবে:
A=(42)22A = \frac{(4\sqrt{2})^2}{2}
A=16×22A = \frac{16 \times 2}{2}
A=322A = \frac{32}{2}
A=16A = 16
অতএব, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১৬ বর্গ একক।
(বিকল্পভাবে, যদি বর্গক্ষেত্রের বাহু aa হয়, তবে a2=42a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}। সুতরাং a=4a=4 একক। ক্ষেত্রফল =a2=42=16= a^2 = 4^2 = 16)
সঠিক উত্তর হলো: ১৬ (অপশন ৩)।
20

দুটি সমান্তরাল রেখা কটি বিন্দুতে ছেদ করে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4
  2. খ
    2
  3. গ
    8
  4. ঘ
    16

  5. Blank

সঠিক উত্তর: ঙ

সমাধান

দুটি সরলরেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব যখন সর্বদা একই থাকে তখন একটিকে অপরটির সমান্তরাল রেখা বলা হয়। ∴ দুটি সমান্তরাল রেখা কখনও একটিকে অপরটি ছেদ করে না।

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: শূন্য (০) টি বিন্দুতে।
জ্যামিতির সংজ্ঞা অনুযায়ী, সমান্তরাল রেখা (Parallel Lines) হলো এমন দুটি সরলরেখা, যারা একই সমতলে অবস্থিত হলেও, তাদেরকে উভয় দিকে অসীম পর্যন্ত বর্ধিত করলেও তারা কখনোই পরস্পরকে ছেদ করে না।
যেহেতু এই রেখাগুলো কখনোই মিলিত হয় না, তাই তাদের মধ্যে কোনো ছেদ বিন্দু তৈরি হওয়া সম্ভব নয়।
সুতরাং, দুটি সমান্তরাল রেখা ০টি বিন্দুতে ছেদ করে।
প্রদত্ত অপশনগুলোতে শূন্য (০) না থাকায়, ইনডেক্স ৪ (Blank) উত্তরটি শূন্যকে নির্দেশ করছে।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
21

17 সে.মি., 15 সে.মি. 8 সে.মি. বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজটি হবে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    সমবাহু
  2. খ
    সমদ্বিবাহু
  3. সমকোণী
  4. ঘ
    স্থূলকোণী

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজটির বাহুগুলো হলো ৮ সে.মি., ১৫ সে.মি. এবং ১৭ সে.মি.। ত্রিভুজটি কী ধরনের হবে তা নির্ণয়ের জন্য আমাদের বাহুগুলোর বর্গের সম্পর্ক পরীক্ষা করতে হবে।
আমরা এখানে পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagorean Theorem) প্রয়োগ করব। উপপাদ্যটি হলো: ক্ষুদ্রতম দুই বাহুর বর্গের যোগফল যদি বৃহত্তম বাহুর বর্গের সমান হয়, তবে ত্রিভুজটি সমকোণী হবে।
ক্ষুদ্রতম দুই বাহুর বর্গের যোগফল: 82+152=64+225=<strong>289</strong>8^2 + 15^2 = 64 + 225 = <strong>289</strong>
বৃহত্তম বাহুর বর্গ: 172=<strong>289</strong>17^2 = <strong>289</strong>
যেহেতু 82+152=1728^2 + 15^2 = 17^2 (অর্থাৎ, বর্গের যোগফল সমান হয়েছে), তাই ত্রিভুজটি অবশ্যই সমকোণী ত্রিভুজ হবে।
অন্যান্য অপশনগুলো ভুল, কারণ: সমবাহু হতে গেলে সকল বাহু সমান হতে হতো। সমদ্বিবাহু হতে গেলে কমপক্ষে দুটি বাহু সমান হতে হতো। স্থূলকোণী হতে গেলে ক্ষুদ্রতম দুই বাহুর বর্গের যোগফল বৃহত্তম বাহুর বর্গের চেয়ে ছোট হতে হতো (যেমন: a2+b2<c2a^2 + b^2 < c^2)।
22

একটি আয়তক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 15 মি. এবং প্রস্থ 10 মি. হলে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    35√5

  2. খ

    40√5

  3. গ

    45√5

  4. 50√5

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও কর্ণ মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে। তাই এখানে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রযোজ্য হবে।
ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য (LL) এবং প্রস্থ (WW)। কর্ণ (DD) হলে, সূত্রটি হলো: L2+W2=D2L^2 + W^2 = D^2
প্রশ্নমতে, কর্ণের দৈর্ঘ্য D=15D = 15 মি. এবং প্রস্থ W=10W = 10 মি.
আমরা দৈর্ঘ্য (LL) বের করব: L2+102=152L^2 + 10^2 = 15^2
L2+100=225L^2 + 100 = 225
L2=225−100L^2 = 225 - 100
L2=125L^2 = 125
L=125=25×5=55L = \sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5} মি.
সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য ×\times প্রস্থ = L×WL \times W
ক্ষেত্রফল = 55×10=<strong>505</strong>5\sqrt{5} \times 10 = <strong>50\sqrt{5}</strong> বর্গমিটার।
সঠিক উত্তরটি হলো 50√5।
23

13 সে. মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি জ্যা-এর দৈর্ঘ্য 24 সে.মি. হলে কেন্দ্র থেকে উক্ত জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব কত সে. মি.?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3
  2. খ
    4
  3. 5
  4. ঘ
    6

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য এবং বৃত্ত সংক্রান্ত মৌলিক উপপাদ্য দিয়ে সমাধান করতে হবে।
ধাপ ১: তথ্য চিহ্নিতকরণ।
ব্যাসার্ধ (r) = 13 সে.মি. (এটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ)।
জ্যা-এর দৈর্ঘ্য (L) = 24 সে.মি.।
ধাপ ২: জ্যা-কে অর্ধেক করা।
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-টিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
সুতরাং, জ্যা-এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য হবে: 242=<strong>12\frac{24}{2} = <strong>12 সে.মি.।
ধাপ ৩: দূরত্ব নির্ণয় (পিথাগোরাসের সূত্র প্রয়োগ)।
কেন্দ্র (O), জ্যা-এর প্রান্তবিন্দু (A) এবং লম্ববিন্দু (M) মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ △OMA\triangle OMA তৈরি করে, যেখানে OA হল ব্যাসার্ধ (অতিভুজ), AM হল অর্ধেক জ্যা এবং OM হল লম্ব দূরত্ব (d)।
সূত্র অনুযায়ী: OM2+AM2=OA2OM^2 + AM^2 = OA^2 (লম্ব2^2 + ভূমি2^2 = অতিভুজ2^2)
ধরি, লম্ব দূরত্ব dd।
d2+122=132d^2 + 12^2 = 13^2
d2+144=169d^2 + 144 = 169
d2=169−144d^2 = 169 - 144
d2=25d^2 = 25
d=25d = \sqrt{25}
d=<strong>5d = <strong>5 সে.মি.।
সুতরাং, কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর লম্ব দূরত্ব 5 সে. মি.।
24

একটি আয়তাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল ১৯২ বর্গমিটার। এর দৈর্ঘ্য ৪ মিটার কমালে এবং প্রস্থ ৪ মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। আয়তাকার কক্ষের সমান পরিসীমাবিশিষ্ট বর্গাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২২৫ বর্গমিটার
  2. খ
    ১৪৪ বর্গমিটার
  3. গ
    ১৬৯ বর্গমিটার
  4. ১৯৬ বর্গমিটার

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ধরি, আয়তাকার কক্ষটির দৈর্ঘ্য LL মিটার এবং প্রস্থ WW মিটার।
প্রথম শর্তমতে, ক্ষেত্রফল LW=192LW = 192 (সমীকরণ ১)।
দ্বিতীয় শর্তমতে, দৈর্ঘ্য ৪ মিটার কমালে (L−4L-4) এবং প্রস্থ ৪ মিটার বাড়ালে (W+4W+4) ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে।
সুতরাং, (L−4)(W+4)=192(L - 4)(W + 4) = 192 (সমীকরণ ২)।
সমীকরণ (২) থেকে পাই:
LW+4L−4W−16=192LW + 4L - 4W - 16 = 192
সমীকরণ (১) থেকে LW=192LW = 192 বসিয়ে পাই:
192+4L−4W−16=192192 + 4L - 4W - 16 = 192
4L−4W=164L - 4W = 16
L−W=4L - W = 4 (৪ দ্বারা ভাগ করে) (সমীকরণ ৩)।
এখন, আমরা এমন দুটি সংখ্যা খুঁজব যাদের গুণফল ১৯২ এবং পার্থক্য ৪।
সহজে গুণনীয়ক নির্ণয় করে পাই: 16×12=19216 \times 12 = 192 এবং 16−12=416 - 12 = 4।
সুতরাং, দৈর্ঘ্য L=16L = 16 মিটার এবং প্রস্থ W=12W = 12 মিটার।
আয়তাকার কক্ষের পরিসীমা, P=2(L+W)=2(16+12)=2×28=<strong>56P = 2(L + W) = 2(16 + 12) = 2 \times 28 = <strong>56 মিটার।
বর্গাকার কক্ষের পরিসীমাও একই (৫৬ মিটার)।
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য যদি aa হয়, তবে 4a=564a = 56
a=56/4=<strong>14a = 56 / 4 = <strong>14 মিটার।
বর্গাকার কক্ষের ক্ষেত্রফল: a2=142=<strong>196a^2 = 14^2 = <strong>196 বর্গমিটার।
সঠিক উত্তর হলো: ১৯৬ বর্গমিটার।
25

বিষমবাহু ∆ABC এর বাহুগুলির মান এমনভাবে নির্ধারিত যে, AD মধ্যমা দ্বারা গঠিত ∆ABD এর ক্ষেত্রফল x বর্গমিটার। ∆ABC এর ক্ষেত্রফল কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    x2 বর্গমিটার

  2. 2x বর্গমিটার
  3. গ

    (x/2)2 বর্গমিটার

  4. ঘ

    (sqrtx/3)^3  বর্গমিটার

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: 2x বর্গমিটার।
গণিতের ত্রিভুজের মধ্যমা (Median) সংক্রান্ত একটি মৌলিক উপপাদ্য থেকে এই প্রশ্নের উত্তর সহজে নির্ণয় করা যায়।
উপপাদ্যটি হলো:
কোনো ত্রিভুজের একটি মধ্যমা ত্রিভুজটিকে সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে। এই উপপাদ্যটি বিষমবাহু, সমবাহু, বা সমদ্বিবাহু—যেকোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য।
এখানে, ∆ABC এর AD হলো মধ্যমা। এই মধ্যমা ∆ABC কে দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করেছে: ∆ABD এবং ∆ACD।
উপপাদ্য অনুযায়ী, Area(∆ABD) = Area(∆ACD)।
প্রশ্নে দেওয়া আছে, ∆ABD এর ক্ষেত্রফল = xx বর্গমিটার।
সুতরাং, Area(∆ACD) = xx বর্গমিটার।
অতএব, ∆ABC এর মোট ক্ষেত্রফল = Area(∆ABD) + Area(∆ACD) = x+xx + x = 2x2x বর্গমিটার।
ভর্তি পরীক্ষার্থীদের জন্য

বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষার প্রস্তুতিও নিন

ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়, বুয়েট ও মেডিকেলসহ ২৭+ ইউনিট-ভিত্তিক ভর্তি পরীক্ষার প্রশ্নব্যাংক ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর এডমিশন সেকশনে।

ভর্তি প্রশ্নব্যাংক দেখুন
26

একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৩২ সেন্টিমিটার ও ১৩৮৬ বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৬৬ সেন্টিমিটার
  2. ৪২ সেন্টিমিটার
  3. গ
    ২১ সেন্টিমিটার
  4. ঘ
    ২২ সেন্টিমিটার

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ৪২ সেন্টিমিটার।
আমরা জানি, একটি বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা (Largest Chord) হলো তার ব্যাস (Diameter)। ব্যাস হলো ব্যাসার্ধের (r) দ্বিগুণ, অর্থাৎ D=2rD = 2r।
প্রশ্নে বৃত্তের পরিধি (Circumference, C) দেওয়া আছে ১৩২ সেন্টিমিটার।
আমরা বৃত্তের পরিধির সূত্র জানি: C=2πrC = 2\pi r
মান বসিয়ে পাই: 132=2×227×r132 = 2 \times \frac{22}{7} \times r
বা, 132=447r132 = \frac{44}{7} r
বা, r=132×744r = \frac{132 \times 7}{44}
বা, r=3×7r = 3 \times 7
সুতরাং, ব্যাসার্ধ (r) = ২১ সেন্টিমিটার।
এখন, বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা (ব্যাস) এর দৈর্ঘ্য হবে:
$D = 2r = 2 \times 21 = ৪২ সেন্টিমিটার।
27

একটি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 33 বর্গমিটার বেড়ে যায়। সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1 মিটার
  2. 2 মিটার
  3. গ
    3 মিটার
  4. ঘ
    4 মিটার

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজটির আদি বাহুর দৈর্ঘ্য ছিল aa মিটার।
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র: A=34a2A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 বর্গমিটার।
বাহুর দৈর্ঘ্য ২ মিটার বাড়ালে নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য হয় (a+2)(a+2) মিটার।
নতুন ক্ষেত্রফল (A2A_2) হবে: A2=34(a+2)2A_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (a+2)^2 বর্গমিটার।
প্রশ্নমতে, ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে 33 বর্গমিটার।
অর্থাৎ: A2−A1=33A_2 - A_1 = 33
34(a+2)2−34a2=33\frac{\sqrt{3}}{4} (a+2)^2 - \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 33
34[(a2+4a+4)−a2]=33\frac{\sqrt{3}}{4} [(a^2 + 4a + 4) - a^2] = 33
34[4a+4]=33\frac{\sqrt{3}}{4} [4a + 4] = 33
3(a+1)=33\sqrt{3} (a + 1) = 33
a+1=333=3333=113a + 1 = \frac{33}{\sqrt{3}} = \frac{33\sqrt{3}}{3} = 11\sqrt{3}
a=113−1a = 11\sqrt{3} - 1
উল্লেখ্য, 113−1≈11×1.732−1=18.0511\sqrt{3} - 1 \approx 11 \times 1.732 - 1 = 18.05 মিটার। এই মানটি কোনো অপশনে নেই। বিসিএস/জব পরীক্ষার প্রশ্নপত্রে এই ক্ষেত্রে সাধারণত সংখ্যাগত ভুল থাকে। প্রশ্নটি যদি এমন হতো যে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি 333\sqrt{3} বর্গমিটার, তবে হিসাবটি সহজ হয়ে যেত।
★ বিকল্প যাচাই (যদি উত্তর ২ মিটার হয়):
যদি a=2a=2 মিটার হয়।
পুরাতন ক্ষেত্রফল A1=34(2)2=3A_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} (2)^2 = \sqrt{3}
নতুন ক্ষেত্রফল A2=34(2+2)2=34(16)=43A_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (2+2)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (16) = 4\sqrt{3}
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি: 43−3=334\sqrt{3} - \sqrt{3} = 3\sqrt{3} বর্গমিটার।
যেহেতু 33≈5.1963\sqrt{3} \approx 5.196 (যা ৩৩ নয়), প্রশ্নটি নিঃসন্দেহে ত্রুটিপূর্ণ। কিন্তু BCS পরীক্ষার কাঠামো অনুযায়ী, যদি ছোট পূর্ণসংখ্যার উত্তর প্রত্যাশিত হয় এবং a=2a=2 বসালে একটি সরল মান (333\sqrt{3}) পাওয়া যায়, তাহলে ২ মিটার অপশনটিকেই সঠিক ধরা হয়, ধরে নেওয়া হয় 3333 একটি ভুল ইনপুট।
28

একটি সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. ছোট; কিন্তু অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ সে. মি. বড়। অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ১০ সে. মি.
  2. খ
    ৮ সে. মি.
  3. গ
    ৪ সে. মি.
  4. ঘ
    ৬ সে. মি.

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

ধাপ ১: চলরাশি নির্ধারণ
ধরা যাক, সমকোণী ত্রিভুজটির ভূমি = xx সে.মি।
প্রশ্নমতে, লম্ব ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. ছোট।
সুতরাং, লম্ব = (x−2)(x-2) সে.মি।
এবং অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা ২ সে.মি. বড়।
সুতরাং, অতিভুজ = (x+2)(x+2) সে.মি।
ধাপ ২: পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, লম্ব২+ভূমি২=অতিভুজ২লম্ব^২ + ভূমি^২ = অতিভুজ^২।
মান বসিয়ে পাই: (x−2)2+x2=(x+2)2(x-2)^2 + x^2 = (x+2)^2
ধাপ ৩: সমাধান
(x2−4x+4)+x2=(x2+4x+4)(x^2 - 4x + 4) + x^2 = (x^2 + 4x + 4)
2x2−4x+4=x2+4x+42x^2 - 4x + 4 = x^2 + 4x + 4
2x2−x2−4x−4x+4−4=02x^2 - x^2 - 4x - 4x + 4 - 4 = 0
x2−8x=0x^2 - 8x = 0
x(x−8)=0x(x - 8) = 0
যেহেতু xx (ভূমি) শূন্য হতে পারে না, তাই x−8=0x-8 = 0, অর্থাৎ x=8x = 8 সে.মি।
ধাপ ৪: অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্ণয়
অতিভুজের দৈর্ঘ্য ছিল (x+2)(x+2) সে.মি।
সুতরাং, অতিভুজের দৈর্ঘ্য = 8+2=<strong>১০8 + 2 = <strong>১০ সে.মি।
সঠিক উত্তর: ১০ সে.মি. (প্রথম অপশন)।
29

একটি সাবানের আকার ৫ সে.মি. × ৪ সে.মি. × ১.৫ সে.মি. হলে ৫৫ সে.মি. দৈর্ঘ্য, ৪৮ সে.মি. প্রস্থ এবং ৩০ সে.মি. উচ্চতাবিশিষ্ট একটি বাক্সের মধ্যে কতটি সাবান রাখা যাবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ২৬৪০টি
  2. খ
    ১৩২০টি
  3. গ
    ৩৬০০টি
  4. ঘ
    ৫২৪০টি

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের প্যাক করার অঙ্কগুলোতে, মোট সাবানের সংখ্যা বের করার জন্য আমরা দুটি আয়তঘন বস্তুর (বাক্স এবং সাবান) আয়তন ভাগ করতে পারি। তবে, সবচেয়ে দ্রুত এবং নিশ্চিত পদ্ধতি হলো বাক্সটির প্রতিটি মাত্রা (দৈর্ঘ্য, প্রস্থ, উচ্চতা) অনুযায়ী কতগুলো সাবান রাখা যায়, তা বের করে গুণ করে দেওয়া।

১. বাক্সের মাত্রা: দৈর্ঘ্য (LBL_B) = 5555 সে.মি., প্রস্থ (WBW_B) = 4848 সে.মি., উচ্চতা (HBH_B) = 3030 সে.মি।
২. সাবানের মাত্রা: দৈর্ঘ্য (LSL_S) = 55 সে.মি., প্রস্থ (WSW_S) = 44 সে.মি., উচ্চতা (HSH_S) = 1.51.5 সে.মি।

৩. দৈর্ঘ্য বরাবর সাবানের সংখ্যা: NL=LB/LS=55/5=11N_L = L_B / L_S = 55 / 5 = 11 টি।
৪. প্রস্থ বরাবর সাবানের সংখ্যা: NW=WB/WS=48/4=12N_W = W_B / W_S = 48 / 4 = 12 টি।
৫. উচ্চতা বরাবর সাবানের সংখ্যা: NH=HB/HS=30/1.5N_H = H_B / H_S = 30 / 1.5 টি।
এখানে, 30/1.5=300/15=2030 / 1.5 = 300 / 15 = 20 টি।

৬. মোট সাবানের সংখ্যা: N=NL×NW×NH=11×12×20N = N_L \times N_W \times N_H = 11 \times 12 \times 20
11×12=13211 \times 12 = 132
132×20=2640132 \times 20 = 2640
অতএব, বাক্সের মধ্যে ২৬৪০টি সাবান রাখা যাবে।
30

একটি আয়তাকার ঘরের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের ২/৩ অংশ। ঘরটির পরিসীমা ৪০ মিটার হলে তার ক্ষেত্রফল কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৬০ বর্গমিটার
  2. ৯৬ বর্গমিটার
  3. গ
    ৭২ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ৬৪ বর্গমিটার

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ধরি, আয়তাকার ঘরটির দৈর্ঘ্য (L) এবং প্রস্থ (W)।
প্রশ্নানুসারে, প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের 23\frac{2}{3} অংশ। অর্থাৎ, W=23LW = \frac{2}{3}L।
আমরা জানি, আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমার সূত্র হলো: পরিসীমা P=2(L+W)P = 2(L + W)।
এখানে পরিসীমা P=40P = 40 মিটার।
মান বসিয়ে পাই: 40=2(L+23L)40 = 2(L + \frac{2}{3}L)।
উভয় পক্ষকে ২ দিয়ে ভাগ করলে: 20=L+2L320 = L + \frac{2L}{3}
বা, 20=3L+2L320 = \frac{3L + 2L}{3}
বা, 20=5L320 = \frac{5L}{3}।
সুতরাং, 5L=20×3=605L = 20 \times 3 = 60।
দৈর্ঘ্য L=12L = 12 মিটার।
এখন প্রস্থ নির্ণয় করি: W=23L=23×12=8W = \frac{2}{3}L = \frac{2}{3} \times 12 = 8 মিটার।
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো: ক্ষেত্রফল A=L×WA = L \times W।
ক্ষেত্রফল A=12×8=96A = 12 \times 8 = 96 বর্গমিটার।
সঠিক উত্তর হলো: ৯৬ বর্গমিটার।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
31

৩ সে.মি., ৪ সে.মি. ও ৫ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট তিনটি ঘনক গলিয়ে নতুন একটি ঘনক তৈরি করা হল। নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৭.৫ সে.মি.
  2. খ
    ৬.৫ সে.মি.
  3. ৬ সে.মি.
  4. ঘ
    ৭ সে.মি.

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

যখন কোনো কঠিন বস্তু গলিয়ে নতুন বস্তু তৈরি করা হয়, তখন উপাদানগুলোর মোট আয়তন অপরিবর্তিত থাকে। এখানে তিনটি ঘনকের মোট আয়তনই হবে নতুন ঘনকটির আয়তন।
আমরা জানি, 'a' বাহুবিশিষ্ট ঘনকের আয়তন হলো a3a^3।
১ম ঘনকের আয়তন (V1V_1): (3)3=<strong>27</strong>(3)^3 = <strong>27</strong> ঘন সে.মি.
২য় ঘনকের আয়তন (V2V_2): (4)3=<strong>64</strong>(4)^3 = <strong>64</strong> ঘন সে.মি.
৩য় ঘনকের আয়তন (V3V_3): (5)3=<strong>125</strong>(5)^3 = <strong>125</strong> ঘন সে.মি.
নতুন ঘনকের মোট আয়তন (VমোটV_{মোট}): V1+V2+V3=27+64+125=<strong>216</strong>V_1 + V_2 + V_3 = 27 + 64 + 125 = <strong>216</strong> ঘন সে.মি.
ধরি, নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য 'A'। তাহলে, A3=216A^3 = 216।
A=2163A = \sqrt[3]{216}। যেহেতু 6×6×6=2166 \times 6 \times 6 = 216, তাই A=<strong>6</strong>A = <strong>6</strong> সে.মি।
অতএব, নতুন ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে ৬ সে.মি.।
32

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য ৮ সে.মি. ও ৯ সে.মি.। এই রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ২৪ সে.মি
  2. খ
    ১৮ সে.মি
  3. গ
    ৩৬ সে.মি
  4. ঘ
    ১২ সে.মি

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই সমস্যার সমাধানে আমাদের দুটি ধাপে কাজ করতে হবে: প্রথমে রম্বসের ক্ষেত্রফল বের করা এবং তারপর সেই ক্ষেত্রফলের সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয় করা।
ধাপ ১: রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
রম্বসের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো: 12×\frac{1}{2} \times কর্ণদ্বয়ের গুণফল।
এখানে, কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য d1=৮d_1 = \mathbf{৮} সে.মি. ও d2=৯d_2 = \mathbf{৯} সে.মি.।
রম্বসের ক্ষেত্রফল =12×8×9=4×9=৩৬= \frac{1}{2} \times 8 \times 9 = 4 \times 9 = \mathbf{৩৬} বর্গ সে.মি.
ধাপ ২: বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয়
প্রশ্নমতে, বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল রম্বসের ক্ষেত্রফলের সমান।
সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =৩৬= \mathbf{৩৬} বর্গ সে.মি.।
যদি বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য aa হয়, তবে ক্ষেত্রফল a2=36a^2 = 36।
অতএব, বাহুর দৈর্ঘ্য a=36=৬a = \sqrt{36} = \mathbf{৬} সে.মি.
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সূত্র: 4×4 \times বাহুর দৈর্ঘ্য।
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা =4×6=২৪= 4 \times 6 = \mathbf{২৪} সে.মি.।
সঠিক উত্তর হলো: ২৪ সে.মি.।
33

একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 4cm এবং 6cm হয় তবে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    6
  2. খ
    8
  3. 12
  4. ঘ
    24

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

রম্বসের ক্ষেত্রফল =1/2× কর্ণদ্বয়ের গুণফল =1/2×4×6=12.

ব্যাখ্যা

রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য সরাসরি একটি সূত্র ব্যবহার করা হয়। যদি রম্বসের কর্ণদ্বয় d1d_1 এবং d2d_2 হয়, তবে ক্ষেত্রফলের সূত্রটি হলো:
সূত্র: ক্ষেত্রফল=12×d1×d2\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2
(অর্থাৎ, কর্ণদ্বয়ের গুণফলের অর্ধেক)।
এখানে প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী, কর্ণদ্বয় হলো: d1=4 cmd_1 = 4\text{ cm} এবং d2=6 cmd_2 = 6\text{ cm}।
মান বসিয়ে পাই:
ক্ষেত্রফল=12×4×6\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \times 4 \times 6
ক্ষেত্রফল=12×24=12 বর্গ সেমি\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \times 24 = 12 \text{ বর্গ সেমি}।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 12।
অন্যান্য উত্তর ভুল, কারণ তারা ক্ষেত্রফলের সূত্র ($ rac{1}{2} \times d_1 \times d_2$) অনুসরণ করে না। যেমন, 24 উত্তরটি আসে যদি 12\frac{1}{2} দ্বারা গুণ করা না হয় (ভুল)।
34

(x−4)2+(y+3)2=100 বৃত্তের কেন্দ্রীয় স্থানাংক কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    (0, 0)
  2. (4,– 3)
  3. গ
    (– 4, 3)
  4. ঘ
    (10, 10)

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি স্থানাঙ্ক জ্যামিতির বৃত্ত সংক্রান্ত একটি মৌলিক প্রশ্ন।
বৃত্তের আদর্শ বা Standard সমীকরণটি হলো: (x−h)2+(y−k)2=r2(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2।
এই সমীকরণে, (h,k)(h, k) হলো বৃত্তের কেন্দ্রীয় স্থানাংক (Center), এবং rr হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ (Radius)।
প্রদত্ত সমীকরণ: (x−4)2+(y+3)2=100(x−4)^2+(y+3)^2=100
আমরা এই সমীকরণটিকে আদর্শ রূপের সাথে মেলাব:
প্রথম বন্ধনীতে, (x−h)2(x-h)^2 এর জায়গায় আছে (x−4)2(x-4)^2, সুতরাং h=4h = 4।
দ্বিতীয় বন্ধনীতে, (y−k)2(y-k)^2 এর জায়গায় আছে (y+3)2(y+3)^2। এখানে y+3y+3 কে আমরা লিখতে পারি y−(−3)y - (-3)।
সুতরাং, k=−3k = -3।
অতএব, বৃত্তের কেন্দ্রীয় স্থানাংক হলো (h,k)=(4,−3)(h, k) = (4, -3)।
সঠিক উত্তর হলো: (4, – 3)।
35

একটি ত্রিভুজাকৃতি মাঠের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 20m,21m এবং 29m হলে এর ক্ষেত্রফল কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    200m2

  2. 210m2

  3. গ

    290m2

  4. ঘ

    300m2

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের সমস্যা সমাধানে প্রথমে দেখতে হবে ত্রিভুজের বাহুগুলো পিথাগোরাসের উপপাদ্য (a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2) মেনে চলে কিনা। যদি মেনে চলে, তবে সেটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে, যার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা অনেক সহজ।
দেওয়া আছে বাহুর দৈর্ঘ্য: a = 20m, b = 21m, c = 29m।
আমরা পরীক্ষা করে দেখি: 202+212=400+441=<strong>841</strong>20^2 + 21^2 = 400 + 441 = <strong>841</strong>
এবং 292=<strong>841</strong>29^2 = <strong>841</strong>
যেহেতু 202+212=29220^2 + 21^2 = 29^2 (অর্থাৎ, এটি একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী), তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র: frac12imesভূমিimesউচ্চতাfrac{1}{2} imes \text{ভূমি} imes \text{উচ্চতা}। (এখানে ছোট বাহু দুটি হলো ভূমি ও উচ্চতা।)
ক্ষেত্রফল =12×20×21=10×21=<strong>210m2</strong>।= \frac{1}{2} \times 20 \times 21 = 10 \times 21 = <strong>210 m^2</strong>।
সঠিক উত্তর: 210m²।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
36

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল 1250 বর্গমিটার হলে দৈর্ঘ্য কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    30 মিটার
  2. খ
    40 মিটার
  3. 50 মিটার
  4. ঘ
    60 মিটার

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ (Width) হলো xx মিটার।
প্রশ্নমতে, দৈর্ঘ্য (Length) প্রস্থের দ্বিগুণ।
সুতরাং, দৈর্ঘ্য হবে 2x2x মিটার।
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল == দৈর্ঘ্য imes imes প্রস্থ।
ক্ষেত্রফল == (2x)imes(x)=2x2(2x) imes (x) = 2x^2 বর্গমিটার।
প্রশ্নানুসারে, ক্ষেত্রফল দেওয়া আছে 1250 বর্গমিটার।
সুতরাং, 2x2=12502x^2 = 1250।
x2=12502=625x^2 = \frac{1250}{2} = 625
x=625=25x = \sqrt{625} = 25 মিটার।
এখানে xx হলো প্রস্থ।
আমাদের বের করতে হবে দৈর্ঘ্য।
দৈর্ঘ্য == 2x=2×25=<strong>502x = 2 \times 25 = <strong>50 মিটার।
সঠিক উত্তর হলো 50 মিটার।
37

নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ax2+bx+c=0

  2. খ

    y2=ax

  3. x2+y2=16

  4. ঘ

    y2=2x+7

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: x²+y²=16।
স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে, একটি সাধারণ বৃত্তের সমীকরণ হলো x2+y2+2gx+2fy+c=0x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0।
যদি বৃত্তের কেন্দ্র (0, 0) মূল বিন্দুতে অবস্থিত হয় এবং ব্যাসার্ধ r হয়, তবে তার সরলীকৃত সমীকরণটি হলো x2+y2=r2x^2+y^2=r^2।
এখানে অপশন ৩-এ প্রদত্ত সমীকরণটি হলো x2+y2=16x^2+y^2=16, যা x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 আকারের। (16=4216 = 4^2, অর্থাৎ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 4 একক)। তাই এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ।
অন্যান্য অপশনগুলো ভুল, কারণ y2=axy^2=ax বা y2=2x+7y^2=2x+7 হলো অধিবৃত্তের (Parabola) সমীকরণ।
38

বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যাকে কি বলা হয়?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ব্যাস
  2. খ
    ব্যাসার্ধ
  3. গ
    বৃত্তচাপ
  4. ঘ
    পরিধি

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী অর্থাৎ বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে গমনকারী জ্যাকে বলা হয় বৃত্তের ব্যাস।

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো ব্যাস (Diameter)।
জ্যা (Chord) হলো বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ। জ্যা হলো বৃত্তের একটি অংশ, যা কেন্দ্রকে ভেদ করতেও পারে, আবার নাও করতে পারে।
কিন্তু, যে জ্যাটি অবশ্যই বৃত্তের কেন্দ্র (Center) ভেদ করে বা কেন্দ্রের উপর দিয়ে যায়, তাকে ব্যাস বলা হয়।
ব্যাস হলো একটি বৃত্তের দীর্ঘতম জ্যা।
অন্যদিকে, ব্যাসার্ধ (Radius) হলো কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্ব। এটি ব্যাসের অর্ধেক। পরিধি (Circumference) হলো বৃত্তের মোট বেষ্টনী এবং বৃত্তচাপ (Arc) হলো পরিধির একটি অংশ। তাই বিকল্পগুলি ভুল।
39

কোন ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত নিচের কোনটি হলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৬ : ৫ : ৪
  2. ৩ : ৪ : ৫
  3. গ
    ১২ : ৮ : ৪
  4. ঘ
    ৬ : ৪ : ৩

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ৩ : ৪ : ৫।
কোনো ত্রিভুজ সমকোণী হবে কি না, তা নির্ণয় করার জন্য গণিতজ্ঞ পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagoras Theorem) ব্যবহার করা হয়।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, ক্ষুদ্রতম দুটি বাহুর বর্গের সমষ্টি অবশ্যই বৃহত্তম বাহুটির বর্গের সমান হবে।
অর্থাৎ, (ভূমি)২^২ + (লম্ব)২^২ = (অতিভুজ)২^২ বা a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2।
প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ৩ : ৪ : ৫ অনুপাতটি পরীক্ষা করা যাক:
এখানে, a=৩a=৩ এবং b=৪b=৪ (ক্ষুদ্রতর বাহু) এবং c=৫c=৫ (বৃহত্তম বাহু)।
৩২+৪২=৯+১৬=<strong>২৫</strong>৩^২ + ৪^২ = ৯ + ১৬ = <strong>২৫</strong>
অপরদিকে, ৫২=<strong>২৫</strong>৫^২ = <strong>২৫</strong>
যেহেতু ৩২+৪২=৫২৩^২ + ৪^২ = ৫^২ প্রমাণিত হলো, তাই ৩ : ৪ : ৫ অনুপাতটি দ্বারা একটি সমকোণী ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব।
অন্যান্য অনুপাতগুলো (যেমন ৬:৫:৪) এই শর্ত পূরণ করে না। যেমন: ৪২+৫২=১৬+২৫=৪১৪^২ + ৫^২ = ১৬ + ২৫ = ৪১, কিন্তু ৬২=৩৬৬^২ = ৩৬। যেহেতু $৪১ eq ৩৬$, তাই ৬:৫:৪ সমকোণী ত্রিভুজ নয়।
40

Two men, starting at the same point, walk in opposite directions for 4 meters, turn left and walk another 3 meters. What is the distance between them?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    7 meters
  2. খ
    14 meters
  3. 10 meters
  4. ঘ
    6 meters

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি দিক নির্ণয় এবং দূরত্ব সংক্রান্ত জ্যামিতিক সমস্যা। এখানে দুটি মানুষ একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (O) থেকে বিপরীত দিকে সমান্তরালভাবে হেঁটেছে।
ধরি, দুই ব্যক্তি O বিন্দু থেকে যাত্রা শুরু করে।
প্রথম ধাপ: ব্যক্তি A পূর্ব দিকে 4 মিটার হাঁটেন (OA=4) এবং ব্যক্তি B পশ্চিম দিকে 4 মিটার হাঁটেন (OB=4)।
দ্বিতীয় ধাপ: এরপর উভয়েই বাম দিকে মোড় নেয়। যেহেতু A পূর্ব দিকে যাচ্ছিল, তার বাম দিক হলো উত্তর দিক। B পশ্চিম দিকে যাচ্ছিল, তার বাম দিক হলো দক্ষিণ দিক।
A উত্তর দিকে 3 মিটার হেঁটে C বিন্দুতে পৌঁছায় (AC=3)। B দক্ষিণ দিকে 3 মিটার হেঁটে D বিন্দুতে পৌঁছায় (BD=3)।
এখন আমাদের C এবং D বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব (CD) নির্ণয় করতে হবে।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ:
ব্যক্তি A-এর ক্ষেত্রে, OAC একটি সমকোণী ত্রিভুজ। দূরত্ব OC=OA2+AC2=42+32=16+9=25=5OC = \sqrt{OA^2 + AC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 মিটার।
ব্যক্তি B-এর ক্ষেত্রে, OBD একটি সমকোণী ত্রিভুজ। দূরত্ব OD=OB2+BD2=42+32=5OD = \sqrt{OB^2 + BD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 মিটার।
যেহেতু তারা সম্পূর্ণ বিপরীত দিকে হাঁটার পর বাম দিকে মোড় নিয়েছে, তাই তাদের শুরুর অবস্থান O থেকে শেষ অবস্থান দুটি (C ও D) একটি সরলরেখায় (C-O-D) অবস্থান করবে এবং O বিন্দুটি C ও D-এর ঠিক মাঝখানে থাকবে।
অতএব, তাদের মধ্যে মোট দূরত্ব $CD = OC + OD = 5 + 5 = 10 মিটার।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 10 মিটার।
ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য

ক্লাস ৬-১২ একাডেমিক প্রস্তুতিও নিন

ক্লাস ৬-১২, এসএসসি ও এইচএসসির সব বিষয়ের বোর্ড প্রশ্ন, অধ্যায়ভিত্তিক প্র্যাকটিস, লাইভ পরীক্ষা ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর একাডেমিক সেকশনে।

একাডেমিক প্রস্তুতি দেখুন
41

বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4
  2. 9
  3. গ
    12
  4. ঘ
    16

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো A=πr2A = \pi r^2, যেখানে rr হলো ব্যাসার্ধ (radius)।
আমরা জানি, বৃত্তের ব্যাস (DD) হলো ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ, অর্থাৎ D=2rD = 2r। সুতরাং, ব্যাস বা ব্যাসার্ধকে যতগুণ বৃদ্ধি করা হবে, ক্ষেত্রফল তার বর্গের (Square) সমানুপাতে বৃদ্ধি পাবে।
প্রশ্নমতে, ব্যাস বৃদ্ধি করা হয়েছে ৩ গুণ। যদি ব্যাস ৩ গুণ বৃদ্ধি পায়, তবে ব্যাসার্ধও ৩ গুণ বৃদ্ধি পাবে।
নতুন ব্যাসার্ধ, r′=3rr' = 3r।
নতুন ক্ষেত্রফল, A′=π(r′)2=π(3r)2=π(9r2)=9(πr2)A' = \pi (r')^2 = \pi (3r)^2 = \pi (9r^2) = 9 (\pi r^2)।
যেহেতু A=πr2A = \pi r^2, তাই A′=9AA' = 9A।
অতএব, ক্ষেত্রফল ৯ গুণ বৃদ্ধি পাবে।
42

একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 12 সেমি হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 36
  2. খ
    56
  3. গ
    48
  4. ঘ
    72

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: 36।
যেহেতু এটি একটি সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ, তাই এর ভূমি (Base) এবং উচ্চতা (Height) সমান হবে।
ধরি, ত্রিভুজটির সমান বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য aa সেমি।
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
(ভূমি)2+(উচ্চতা)2=(অতিভুজ)2(\text{ভূমি})^2 + (\text{উচ্চতা})^2 = (\text{অতিভুজ})^2
বা, a2+a2=122a^2 + a^2 = 12^2
বা, 2a2=1442a^2 = 144
বা, a2=1442=72a^2 = \frac{144}{2} = 72
এখন, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো:ক্ষেত্রফল=12×ভূমি×উচ্চতা\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}
বা, ক্ষেত্রফল=12a2\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} a^2
মান বসিয়ে পাই: ক্ষেত্রফল=12×72=36\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} \times 72 = 36 বর্গ সেমি।
43

একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ।এর ক্ষেত্রফল 512 বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    98 মিটার

  2. 96 মিটার

  3. গ
    94 মিটার
  4. ঘ
    92 মিটার

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা প্রথমে আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ (বিস্তার) নির্ণয় করব এবং তারপর সূত্র প্রয়োগ করে পরিসীমা বের করব।
ধরি, ঘরের বিস্তার (প্রস্থ) = xx মিটার।
প্রশ্নমতে, দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ, তাই দৈর্ঘ্য = 2x2x মিটার।
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য ×\times প্রস্থ।
অতএব, 2x×x=5122x \times x = 512
     ⟹  2x2=512\,\,\,\implies 2x^2 = 512
     ⟹  x2=5122=256\,\,\,\implies x^2 = \frac{512}{2} = 256
মান নির্ণয় করলে, x=256=<strong>16x = \sqrt{256} = <strong>16 মিটার।
সুতরাং, বিস্তার (প্রস্থ) = 1616 মিটার এবং দৈর্ঘ্য = 2×16=<strong>322 \times 16 = <strong>32 মিটার।
এখন, পরিসীমা নির্ণয় করার সূত্র হলো: পরিসীমা = 2×(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})।
পরিসীমা = 2×(32+16)2 \times (32 + 16) মিটার।
পরিসীমা = 2×48=<strong>962 \times 48 = <strong>96 মিটার।
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো: 96 মিটার।
44

Y=3x+2,Y=−3x+2 এবং Y=−2 দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্রটি কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    একটি সমকোণী ত্রিভুজ
  2. খ
    একটি সমবাহু ত্রিভুজ

  3. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

  4. ঘ
    একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই জ্যামিতিক চিত্রটি নির্ণয় করার জন্য প্রথমে তিনটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগুলি (Vertices) বের করতে হবে।
ধাপ ১: ছেদবিন্দু নির্ণয়। তিনটি সমীকরণ হলো:
(১) Y=3x+2Y=3x+2
(২) Y=−3x+2Y=−3x+2
(৩) Y=−2Y=−2
A বিন্দু (১ ও ২ এর ছেদ):
3x+2=−3x+23x+2 = −3x+2
6x=06x = 0
x=0x = 0। Y=3(0)+2=2Y = 3(0)+2 = 2।
সুতরাং, প্রথম ছেদবিন্দু A(0, 2)।
B বিন্দু (১ ও ৩ এর ছেদ):
−2=3x+2−2 = 3x+2
3x=−43x = −4
x=−4/3x = −4/3।
সুতরাং, দ্বিতীয় ছেদবিন্দু B(−4/3, −2)।
C বিন্দু (২ ও ৩ এর ছেদ):
−2=−3x+2−2 = −3x+2
−3x=−4−3x = −4
x=4/3x = 4/3।
সুতরাং, তৃতীয় ছেদবিন্দু C(4/3, −2)।
ধাপ ২: বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য নির্ণয়। দূরত্বের সূত্র, D=(x2−x1)2+(y2−y1)2D = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} ব্যবহার করে:
AB বাহুর দৈর্ঘ্য (A(0, 2) ও B(−4/3, −2)):
AB=(−4/3−0)2+(−2−2)2=16/9+16=160/9AB = \sqrt{(-4/3 - 0)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{16/9 + 16} = \sqrt{160/9}।
AC বাহুর দৈর্ঘ্য (A(0, 2) ও C(4/3, −2)):
AC=(4/3−0)2+(−2−2)2=16/9+16=160/9AC = \sqrt{(4/3 - 0)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{16/9 + 16} = \sqrt{160/9}।
যেহেতু AB = AC, অর্থাৎ ত্রিভুজটির দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান। তাই চিত্রটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles Triangle)।
45

একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহু অপর একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান হলে বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1 ∶ 2
  2. খ
    5 ∶ 2
  3. গ
    2 ∶ 1
  4. 4 ∶ 1

সঠিক উত্তর: ঘ

ব্যাখ্যা

আমরা প্রথমে দুটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ধরে নেব।
ধরি, প্রথম বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য হলো a1a_1 এবং দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রটির বাহুর দৈর্ঘ্য হলো a2a_2।
প্রশ্নমতে, প্রথম বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা।
আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4imes4 imes বাহুর দৈর্ঘ্য। তাই, দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রটির পরিসীমা হলো 4a24a_2।
শর্তানুসারে আমরা লিখতে পারি: a1=4a2a_1 = 4a_2।
অর্থাৎ, তাদের বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত হলো a1:a2=4:1a_1 : a_2 = 4 : 1।
আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = বাহু×2\text{বাহু} \times \sqrt{2}।
সুতরাং, প্রথম বর্গক্ষেত্রের কর্ণ D1=a12D_1 = a_1\sqrt{2} এবং দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রের কর্ণ D2=a22D_2 = a_2\sqrt{2}।
বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত হবে:
D1D2=a12a22=a1a2\frac{D_1}{D_2} = \frac{a_1\sqrt{2}}{a_2\sqrt{2}} = \frac{a_1}{a_2}।
যেহেতু a1:a2=4:1a_1 : a_2 = 4 : 1, তাই কর্ণের অনুপাতও হবে 4:14 : 1।
সঠিক উত্তর হলো: ৪ ∶ ১।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
46

চিত্রে, ∠PQR=55°,∠LRN=90° এবং PQ||MR,PQ=PR হলে, ∠NRP এর মান নিচের কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    90°
  2. খ
    55°
  3. গ
    45°
  4. 35°

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

চিত্রে ∆ PQR একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। এখন, ∆ PQR- এর যেহেতু PQ= PR, তাই ∠PQR=∠PRQ ∴∠PQR=∠PRQ=55° আবার, ∠LRN=∠NRQ=90° ∴∠NRP=90°-∠PRQ =90-55° =35°

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: 35°। এটি একটি জ্যামিতির প্রশ্ন যা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এবং লম্ব রেখার ধর্ম ব্যবহার করে সমাধান করা যায়।
ধাপ ১: △PQR\triangle PQR এর কোণ নির্ণয়
চিত্রে দেওয়া আছে PQ=PRPQ=PR, অর্থাৎ △PQR\triangle PQR হলো একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুগুলোর বিপরীত কোণগুলো সমান হয়।
সুতরাং, ∠PQR=∠PRQ\angle PQR = \angle PRQ।
যেহেতু ∠PQR=55∘\angle PQR = 55^\circ দেওয়া আছে, তাই ∠PRQ=<strong>55∘</strong>\angle PRQ = <strong>55^\circ</strong>।
ধাপ ২: লম্ব রেখার ব্যবহার
প্রশ্নে দেওয়া আছে ∠LRN=90∘\angle LRN=90^\circ এবং চিত্র অনুযায়ী, Q,R,LQ, R, L বিন্দুগুলো একই সরলরেখায় অবস্থিত।
যেহেতু ∠LRN=90∘\angle LRN=90^\circ, অর্থাৎ LRLR এবং RNRN রেখাংশদ্বয় পরস্পর লম্ব (Perpendicular)।
অতএব, ∠QRN=∠LRN=<strong>90∘</strong>\angle QRN = \angle LRN = <strong>90^\circ</strong>।
ধাপ ৩: নির্ণেয় কোণের মান
চিত্র হতে দেখা যায়, ∠QRN\angle QRN কোণটি ∠PRQ\angle PRQ এবং ∠NRP\angle NRP কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∠QRN=∠PRQ+∠NRP\angle QRN = \angle PRQ + \angle NRP
বা, 90∘=55∘+∠NRP90^\circ = 55^\circ + \angle NRP
বা, ∠NRP=90∘−55∘\angle NRP = 90^\circ - 55^\circ
সুতরাং, ∠NRP=<strong>35∘</strong>\angle NRP = <strong>35^\circ</strong>।
(দ্রষ্টব্য: PQ∣∣extMR\text{PQ} || ext{MR} এই তথ্যটি এই নির্দিষ্ট মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে অপ্রয়োজনীয়, তবে এটি নিশ্চিত করে যে জ্যামিতিক চিত্রটি সুসংজ্ঞায়িত।)
47

∆ABC এ ∠A = 40°, ∠B=70°, হলে ∆ABC কি ধরনের ত্রিভুজ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    সমকোণী
  2. খ
    স্থুলকোণী
  3. সমদ্বিবাহু
  4. ঘ
    সমবাহু

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।
এখানে, △ABC\triangle ABC-এর দুটি কোণ দেওয়া আছে: ∠A=40°\angle A = 40° এবং ∠B=70°\angle B = 70°।
সুতরাং, তৃতীয় কোণ ∠C\angle C হবে:
∠C=180°−(∠A+∠B)\angle C = 180° - (\angle A + \angle B)
∠C=180°−(40°+70°)\angle C = 180° - (40° + 70°)
∠C=180°−110°=70°\angle C = 180° - 110° = 70°
এখন আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, ত্রিভুজটির দুটি কোণ সমান: ∠B=70°\angle B = 70° এবং ∠C=70°\angle C = 70°।
জ্যামিতির নিয়ম অনুযায়ী, একটি ত্রিভুজের দুটি কোণ সমান হলে, তাদের বিপরীত বাহুদ্বয়ও সমান হয়। যে ত্রিভুজের দুটি বাহু বা দুটি কোণ সমান, তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles Triangle) বলে।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো: সমদ্বিবাহু।
48

2 সে. মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহু এবং বৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 4π - 8
  2. খ
    4π + 8
  3. গ
    2π - 4
  4. ঘ
    2π + 4

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি পরিমিতির একটি ক্লাসিক সমস্যা। এখানে আমাদের বৃত্তের ক্ষেত্রফল থেকে বৃত্তের অন্তঃস্থ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল বাদ দিতে হবে। আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল = (বৃত্তের ক্ষেত্রফল) - (বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল)।

ধাপ ১: বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়।
দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ (rr) = ২ সে.মি.।
বৃত্তের ক্ষেত্রফল (AcA_c) = πr2=π(22)=4π\pi r^2 = \pi (2^2) = 4\pi বর্গ সে.মি.।

ধাপ ২: বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়।
যেহেতু বর্গক্ষেত্রটি বৃত্তের অন্তঃস্থ, তাই বর্গক্ষেত্রের কর্ণ (dd) বৃত্তটির ব্যাসের সমান হবে।
বৃত্তের ব্যাস (DD) = 2r=2×2=42r = 2 \times 2 = 4 সে.মি.।
অতএব, বর্গক্ষেত্রের কর্ণ (dd) = ৪ সে.মি.।
আমরা জানি, কর্ণের মাধ্যমে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: As=12×d2A_s = \frac{1}{2} \times d^2
As=12×42=162=8A_s = \frac{1}{2} \times 4^2 = \frac{16}{2} = 8 বর্গ সে.মি.।

ধাপ ৩: আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়।
আবদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল = Ac−AsA_c - A_s
ক্ষেত্রফল = 4π−84\pi - 8 বর্গ সে.মি.।

অন্যান্য অপশনগুলো (যেমন 4π+84\pi + 8) ভুল, কারণ তারা ক্ষেত্রফল দুটির যোগফল নির্দেশ করে, বিয়োগফল নয়।
49

একটি পঞ্চভুজের সমষ্টি -

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৪ সমকোণ
  2. ৬ সমকোণ
  3. গ
    ৮ সমকোণ
  4. ঘ
    ১০ সমকোণ

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

একটি বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র হলো:
(n−2)×180∘(n-2) \times 180^\circ, যেখানে nn হলো বহুভুজের বাহুর সংখ্যা।
পঞ্চভুজের বাহু সংখ্যা n=5n=5।
অতএব, পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি =(5−2)×180∘=3×180∘=540∘= (5-2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ।
প্রশ্নে সমষ্টিটি সমকোণে জানতে চাওয়া হয়েছে। আমরা জানি, ১ সমকোণ = 90∘90^\circ।
সমকোণে প্রকাশ করতে হলে 540∘540^\circ কে 90∘90^\circ দিয়ে ভাগ করতে হবে: 540÷90=6540 \div 90 = 6।
সুতরাং, একটি পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি হলো ৬ সমকোণ। (সঠিক উত্তর: ৬ সমকোণ)
50

৭ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ৯৮ ব.সে.মি.
  2. খ
    ৪৯ ব.সে.মি.
  3. গ
    ১৯৬ ব.সে.মি.
  4. ঘ
    ১৪৬ ব.সে.মি.

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

যখন কোনো বর্গক্ষেত্র একটি বৃত্তের অন্তর্লিখিত (Inscribed) হয়, তখন বর্গক্ষেত্রটির কর্ণ (Diagonal) বৃত্তটির ব্যাসের (Diameter) সমান হয়।
এখানে বৃত্তের ব্যাসার্ধ $(r) = ৭ সে.মি.
সুতরাং, বৃত্তের ব্যাস $(D) = 2r = ২ \times ৭ = ১৪ সে.মি.
অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ১৪ সে.মি.
আমরা জানি, কর্ণ জানা থাকলে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো: Area=12×(কর্ণ)2\text{Area} = \frac{1}{2} \times (\text{কর্ণ})^2।
ক্ষেত্রফল =12×(১৪)২= \frac{1}{2} \times (১৪)^২
ক্ষেত্রফল =12×১৯৬= \frac{1}{2} \times ১৯৬
ক্ষেত্রফল =<strong>৯৮</strong>= <strong>৯৮</strong> ব.সে.মি.
সঠিক উত্তর: ৯৮ ব.সে.মি. (অপশন: ক)
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
51

বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৩ গুণ
  2. ৯ গুণ
  3. গ
    ১২গুণ
  4. ঘ
    ১৬ গুণ

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ৯ গুণ।
ব্যাখ্যাটি অত্যন্ত সহজ। বৃত্তের ক্ষেত্রফল (A) তার ব্যাসার্ধের (r) বা ব্যাসের (D) বর্গের (Square) সমানুপাতিক।

বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র: A=πr2A = \pi r^2 অথবা, ব্যাসের সাপেক্ষে: A=πD24A = \frac{\pi D^2}{4}।
ধরি, পূর্বের ব্যাস ছিল DD এবং ক্ষেত্রফল ছিল A1=πD24A_1 = \frac{\pi D^2}{4}।
যদি ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পায়, তবে নতুন ব্যাস $D' = ৩D।
নতুন ক্ষেত্রফল A2=π(৩D)24=π(৯D2)4A_2 = \frac{\pi (৩D)^2}{4} = \frac{\pi (৯D^2)}{4}।
আমরা দেখতে পাচ্ছি, $A_2 = ৯ \times (\frac{\pi D^2}{4}) = ৯ A_1।

সুতরাং, ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল ৯ গুণ বৃদ্ধি পাবে।
52

একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘোরে। ১ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ১৮০∘

  2. খ

    ২৭০∘

  3. গ

    ৩৬০∘

  4. ৫৪০∘

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি সরল ঐকিক নিয়ম ও কোণ সংক্রান্ত গাণিতিক সমস্যা। প্রথমে আমাদের দেখতে হবে চাকাটি ১ সেকেন্ডে কতবার ঘোরে, তারপর সেই ঘূর্ণনকে ডিগ্রিতে রূপান্তর করতে হবে।
আমরা জানি, ১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড।
প্রশ্নে বলা হয়েছে, চাকাটি ৬০ সেকেন্ডে ঘোরে = ৯০ বার।
অতএব, চাকাটি ১ সেকেন্ডে ঘোরে = ৯০৬০\frac{৯০}{৬০} বার = ১.৫ বার।
যেহেতু, একটি চাকা একবার পূর্ণ ঘূর্ণন দিলে ৩৬০ ডিগ্রি ( 360∘ )\,360^{\circ}\,) ঘোরে।
সুতরাং, চাকাটি ১.৫ বার ঘুরলে মোট ডিগ্রি ঘুরবে = ১.৫×৩৬০∘১.৫ \times ৩৬০^{\circ}।
১.৫×৩৬০=(১+0.৫)×৩৬০=৩��+১৮০=<strong>৫৪০</strong>১.৫ \times ৩৬০ = (১ + 0.৫) \times ৩৬০ = ৩�� + ১৮০ = <strong>৫৪০</strong>।
সুতরাং, ১ সেকেন্ডে চাকাটি ৫৪০ ডিগ্রি ঘুরবে।
53

একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ৪ মিটার বেশি। ঘরটির পরিসীমা ৩২ মিটার হলে ঘরটির দৈর্ঘ্য কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৬ মিটার
  2. ১০ মিটার
  3. গ
    ১৮ মিটার
  4. ঘ
    ১২ মিটার

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ধরি, আয়তাকার ঘরটির প্রস্থ = xx মিটার।
প্রশ্নানুসারে, ঘরটির দৈর্ঘ্য প্রস্থ অপেক্ষা ৪ মিটার বেশি।
সুতরাং, দৈর্ঘ্য = (x+4)(x + 4) মিটার।
আমরা জানি, আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা = 2imes(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)2 imes (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})।
প্রশ্নমতে, পরিসীমা ৩২ মিটার।
সুতরাং, 2×[(x+4)+x]=322 \times [(x+4) + x] = 32
বা, 2×(2x+4)=322 \times (2x + 4) = 32
বা, 4x+8=324x + 8 = 32
বা, 4x=32−84x = 32 - 8
বা, 4x=244x = 24
বা, x=244=6x = \frac{24}{4} = 6 মিটার।
অর্থাৎ, প্রস্থ হলো ৬ মিটার।
সুতরাং, ঘরটির দৈর্ঘ্য = $x + 4 = 6 + 4 = ১০ মিটার।
সঠিক উত্তর হলো: ১০ মিটার।
54

দুটি ত্রিভুজ পরস্পর সর্বসম হওয়ার জন্য নিচের কোন শর্তটি যথেষ্ট নয়?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    একটির তিন বাহু অপরটির তিন বাহুর সমান
  2. একটির তিন কোণ অপরটির তিন কোণের সমান
  3. গ
    একটির দুই কোণ ও এক বাহু অপরটির দুই বাহু ও অনুরূপ বাহুর সমান
  4. ঘ
    একটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণ অপরটির দুই বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণের সমান

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

অপশন (ক), (গ) ও (ঘ) এর বিদ্যমান শর্তগুলো দুটি ত্রিভুজ পরস্পর সর্বসম হওয়ার জন্য যথেষ্ট। কিন্তু অপশন (খ)-এ বিদ্যমান শর্তটি দুটি ত্রিভুজ পরস্পর সর্বসম হওয়ার জন্য যথেষ্ট নয়। ৩ কোণ সমান হলেও ২টি ত্রিভুজ সর্বসম নাও হতে পারে।

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: একটির তিন কোণ অপরটির তিন কোণের সমান (AAA শর্ত)।
ত্রিভুজের সর্বসমতা (Congruence) মানে হলো ত্রিভুজ দুটি আকার (Size) ও আকৃতিতে (Shape) হুবহু এক। অর্থাৎ, একটিকে অন্যটির উপর রাখলে তা সম্পূর্ণভাবে মিলে যাবে।
যদি দুটি ত্রিভুজের শুধুমাত্র তিনটি কোণ পরস্পর সমান হয় (AAA - Angle Angle Angle), তবে তারা সর্বসম হয় না, তারা কেবল সদৃশ (Similar) হয়। সদৃশ ত্রিভুজের আকৃতি এক হলেও তাদের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য ভিন্ন হতে পারে (যেমন, একটি ছোট সমবাহু ত্রিভুজ এবং একটি বড় সমবাহু ত্রিভুজ)।
অন্যান্য শর্তগুলো (অপশন ১, ৩, ৪) সর্বসমতার জন্য যথেষ্ট:
১. SSS (বাহু-বাহু-বাহু): তিনটি বাহু সমান হলে।
২. SAS (বাহু-কোণ-বাহু): দুটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ সমান হলে।
৩. ASA বা AAS (কোণ-বাহু-কোণ বা কোণ-কোণ-বাহু): দুটি কোণ ও অনুরূপ বাহু সমান হলে।
55

১৩ সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৫ সেমি দূরত্বে অবস্থিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ২৪ সেমি
  2. খ
    ১৮ সেমি
  3. গ
    ১৬ সেমি
  4. ঘ
    ১২ সেমি

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বৃত্ত সম্পর্কিত জ্যামিতির একটি অতি গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন, যেখানে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করতে হয়।
আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-টিকে সমদ্বিখণ্ডিত (দুটি সমান ভাগে ভাগ) করে। এই লম্ব, ব্যাসার্ধ এবং জ্যা-এর অর্ধেক মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে।
এখানে,
ব্যাসার্ধ (R) বা অতিভুজ = ১৩ সেমি
কেন্দ্র থেকে দূরত্ব (d) বা লম্ব = ৫ সেমি
জ্যা-এর অর্ধেক (L/2) বা ভূমি = নির্ণয় করতে হবে।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে: (জ্যা-এর অর্ধেক)2+(কেন্দ্র হতে দূরত্ব)2=(ব্যাসার্ধ)2(\text{জ্যা-এর অর্ধেক})^2 + (\text{কেন্দ্র হতে দূরত্ব})^2 = (\text{ব্যাসার্ধ})^2
(জ্যা-এর অর্ধেক)2+52=132(\text{জ্যা-এর অর্ধেক})^2 + 5^2 = 13^2
(জ্যা-এর অর্ধেক)2=169−25=144(\text{জ্যা-এর অর্ধেক})^2 = 169 - 25 = 144
জ্যা-এর অর্ধেক = 144=<strong>১২\sqrt{144} = <strong>১২ সেমি।
সুতরাং, সম্পূর্ণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য হবে: ২×১২=<strong>২৪২ \times ১২ = <strong>২৪ সেমি। (সঠিক উত্তর: ২৪ সেমি)
56

একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৫, ৬ ও ৭ মিটার। নিকটতম বর্গমিটারের ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১৬ বর্গমিটার

  2. ১৫ বর্গমিটার

  3. গ
    ১৭ বর্গমিটার
  4. ঘ
    ১৪ বর্গমিটার

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

যেহেতু ত্রিভুজটির তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ভিন্ন (৫, ৬, এবং ৭ মিটার), এটি একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।
বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য আমরা হেরনের সূত্র (Heron's Formula) ব্যবহার করব।
ধাপ ১: অর্ধ-পরিসীমা (ss) নির্ণয় করতে হবে।
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{৫+৬+৭}{2} = \frac{১৮}{2} = ৯ মিটার।
ধাপ ২: হেরনের সূত্র প্রয়োগ করে ক্ষেত্রফল (AA) নির্ণয়।
A=s(s−a)(s−b)(s−c)A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
A=৯(৯−৫)(৯−৬)(৯−৭)A = \sqrt{৯(৯-৫)(৯-৬)(৯-৭)}
A=৯×৪×৩×২A = \sqrt{৯ \times ৪ \times ৩ \times ২}
A=২১৬A = \sqrt{২১৬}
ধাপ ৩: বর্গমূল নির্ণয় ও নিকটতম পূর্ণসংখ্যায় প্রকাশ।
$\sqrt{২১৬} \approx ১৪.৬৯৬ বর্গমিটার।
নিকটতম বর্গমিটারের ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হলো ১৪.৬৯৬-এর নিকটতম পূর্ণসংখ্যা, যা ১৫ বর্গমিটার।
(যেহেতু দশমিকের পরে ৬ আছে, তাই ১৪ এর সাথে ১ যোগ হয়ে ১৫ হবে)।
57

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার হলে তার পরিসীমা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৭০ মিটার
  2. খ
    ৭৫ মিটার

  3. ৮০ মিটার

  4. ঘ
    ৯০ মিটার

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি পরিমিতি (পরিমাপ সংক্রান্ত) অংশ থেকে এসেছে। এখানে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত এবং ক্ষেত্রফল দেওয়া আছে, আমাদের পরিসীমা নির্ণয় করতে হবে।
ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ (Width) হলো xx মিটার।
প্রশ্নমতে, দৈর্ঘ্য (Length) হলো প্রস্থের ৩ গুণ।
সুতরাং, দৈর্ঘ্য হবে 3x3x মিটার।
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য ×\times প্রস্থ।
ক্ষেত্রফল = (3x)×(x)=3x2(3x) \times (x) = 3x^2 বর্গমিটার।
প্রশ্নমতে, ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার।
অতএব, 3x2=3003x^2 = 300
x2=3003=100x^2 = \frac{300}{3} = 100
x=100=<strong>১০</strong>x = \sqrt{100} = <strong>১০</strong> (যেহেতু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না)।
সুতরাং, প্রস্থ (xx) = ১০ মিটার।
এবং দৈর্ঘ্য (3x3x) = $৩ \times ১০ = ৩০ মিটার।
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা (Perimeter) = ২×(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)২ \times (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)।
পরিসীমা = ২×(৩০+১০)২ \times (৩০ + ১০) মিটার।
পরিসীমা = $২ \times ৪০ = ৮০ মিটার।
সঠিক উত্তর: ৮০ মিটার।
58

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি ১৬ একক এবং অপর প্রত্যেক বাহুদ্বয় ১০ একক। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    24
  2. খ
    36

  3. 48

  4. ঘ
    50

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের প্রশ্ন। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য প্রথমে আমাদের উচ্চতা (Height) বের করতে হবে।
দেওয়া আছে, ভূমি (bb) = ১৬ একক এবং অপর প্রত্যেকটি সমান বাহু (aa) = ১০ একক।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। তাই উচ্চতা বের করার জন্য আমরা পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করব। ভূমিকে দুই ভাগ করলে হয়: $\frac{১৬}{২} = ৮ একক।
ধরি, উচ্চতা = hh
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী: h2+(b/2)2=a2h^2 + (b/2)^2 = a^2
h2=a2−(b/2)2=102−82h^2 = a^2 - (b/2)^2 = 10^2 - 8^2
h2=100−64=36h^2 = 100 - 64 = 36
সুতরাং, উচ্চতা $h = \sqrt{36} = ৬ একক।
এখন, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র: A=১২×ভূমি×উচ্চতাA = \frac{১}{২} \times ভূমি \times উচ্চতা
$A = \frac{১}{২} \times ১৬ \times ৬ = ৮ \times ৬ = ৪৮ বর্গ একক।
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো ৪৮।
59

একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরল রেখার এক চতুর্থাংশের ওপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. 16

  2. খ
    4
  3. গ
    8
  4. ঘ
    2

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

মনে করি, মূল সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য হলো LL একক।
এই LL দৈর্ঘ্যের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল (প্রথম বর্গের ক্ষেত্রফল), A1=L2A_1 = L^2 বর্গ একক।
সরলরেখাটির এক চতুর্থাংশ হলো 14\frac{1}{4} বা L4\frac{L}{4} একক।
L4\frac{L}{4} বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল (দ্বিতীয় বর্গের ক্ষেত্রফল), A2=(L4)2=L216A_2 = (\frac{L}{4})^2 = \frac{L^2}{16} বর্গ একক।
আমাদের নির্ণয় করতে হবে প্রথম ক্ষেত্রফলটি দ্বিতীয় ক্ষেত্রফলের কত গুণ, অর্থাৎ অনুপাত: A1/A2A_1 / A_2.
A1A2=L2L216=L2×16L2=<strong>16</strong>\frac{A_1}{A_2} = \frac{L^2}{\frac{L^2}{16}} = L^2 \times \frac{16}{L^2} = <strong>16</strong>.
সুতরাং, ক্ষেত্রফলটি ১৬ গুণ হবে।
অন্যান্য অপশনগুলো (৪, ৮, ২) এই গাণিতিক অনুপাতের সাথে মেলে না, কারণ ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন বাহুর অনুপাতের বর্গের সমানুপাতিক।
60

একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ১৮০∘

  2. খ

    ২৭০∘

  3. গ

    ৩৬০∘

  4. ৫৪০∘

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে তা জানতে হলে প্রথমে আমাদের প্রতি সেকেন্ডে কতবার (কতটি ঘূর্ণন) হয় তা নির্ণয় করতে হবে।
দেওয়া আছে, চাকাটি প্রতি মিনিটে (৬০ সেকেন্ডে) ঘোরে = ৯০ বার।
অতএব, চাকাটি ১ সেকেন্ডে ঘোরে = ৯০৬০\frac{৯০}{৬০} বার।
১ সেকেন্ডে ঘূর্ণন সংখ্যা = ১.৫ বার।
আমরা জানি, একটি চাকা একবার সম্পূর্ণ ঘুরলে ৩৬০ ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে।
সুতরাং, ১.৫ বার ঘুরলে মোট ঘূর্ণন কোণ হবে: ১.৫×৩৬০∘১.৫ \times ৩৬০^\circ
মোট ঘূর্ণন কোণ = ৩২×৩৬০∘=৩×১৮০∘=৫৪০∘\frac{৩}{২} \times ৩৬০^\circ = ৩ \times ১৮০^\circ = ৫৪০^\circ।
সঠিক উত্তর হলো: ৫৪০∘।
61

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের ভূমি ১৬ মি. এবং অপর দুটি বাহুর প্রতিটি ১০ মি. হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৩৬ ব.মি.
  2. খ
    ৪২ ব.মি

  3. ৪৮ ব.মি.

  4. ঘ
    ৫০ ব.মি.

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles Triangle) সংক্রান্ত পরিমিতির প্রশ্ন। সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য প্রথমে আমাদের উচ্চতা (Height) নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের মধ্য থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্ব ভূমিকে সমান দুই ভাগে ভাগ করে। এই লম্বটিই হলো ত্রিভুজের উচ্চতা।
এখানে, সমান বাহু (অতিভুজ, aa) = ১০ মি. এবং ভূমি (bb) = ১৬ মি.।
ভূমির অর্ধেক (লম্ব ভূমির অংশ) = 162=<strong>৮মি.</strong>\frac{16}{2} = <strong>৮ মি.</strong>
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে: (উচ্চতা)2^2 + (ভূমির অর্ধেক)2^2 = (সমান বাহু)2^2।
যদি উচ্চতা hh হয়, তাহলে: h2+82=102h^2 + 8^2 = 10^2
h2+64=100h^2 + 64 = 100
h2=100−64=36h^2 = 100 - 64 = 36
$h = \sqrt{36} = ৬ মি.
এখন, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র: ক্ষেত্রফল A=12×ভূমি×উচ্চতাA = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}
ক্ষেত্রফল A=12×16×6A = \frac{1}{2} \times 16 \times 6
$A = 8 \times 6 = ৪৮ ব.মি.
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৪৮ ব.মি. (অপশন ৩)।
62

একটি সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরল রেখার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের কত গুণ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    দ্বিগুণ
  2. খ
    তিনগুণ

  3. চারগুণ

  4. ঘ
    পাঁচগুণ

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ধরি, সরল রেখাটির দৈর্ঘ্য হলো LL একক।
এই সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল (A1A_1) হবে: A1=<strong>L2</strong>A_1 = <strong>L^2</strong> বর্গ একক।
সরল রেখাটির অর্ধেকের দৈর্ঘ্য হলো L/2L/2 একক।
এই অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল (A2A_2) হবে: A2=(L/2)2=<strong>L2/4</strong>A_2 = (L/2)^2 = <strong>L^2/4</strong> বর্গ একক।
এখন, প্রথম বর্গটি দ্বিতীয় বর্গের কত গুণ তা নির্ণয় করতে হলে অনুপাত বের করতে হবে: A1/A2=L2/(L2/4)=L2imes4/L2=<strong>4</strong>A_1 / A_2 = L^2 / (L^2/4) = L^2 imes 4 / L^2 = <strong>4</strong>।
সুতরাং, একটি সরল রেখার ওপর অঙ্কিত বর্গ তার অর্ধেকের ওপর অঙ্কিত বর্গের চারগুণ।
সঠিক উত্তর: চারগুণ।
63

৫৬ ফুট ব্যাসের বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে কোনো এক দিকের দৈর্ঘ্য কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২৮ ফুট
  2. খ
    ৩৬.৮ ফুট

  3. ৪৯.৬ ফুট

  4. ঘ
    ৪৪ ফুট

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

L


ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি পরিমিতি (Mensuration) সংক্রান্ত। এখানে একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এবং সমক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।
ধাপ ১: বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয়
প্রশ্নমতে, বৃত্তের ব্যাস (D) = ৫৬ ফুট।
সুতরাং, ব্যাসার্ধ (r) = $\frac{D}{2} = \frac{৫৬}{২} = ২৮ ফুট।
ধাপ ২: বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল (AcA_c) = πr2\pi r^2 । (এখানে π≈২২৭\pi \approx \frac{২২}{৭} ধরে নিতে হবে, যেহেতু অপশনগুলো দশমিকযুক্ত)।
Ac=২২৭×(২৮)২A_c = \frac{২২}{৭} \times (২৮)^২ বর্গফুট।
Ac=২২৭×২৮×২৮=২২×৪×২৮A_c = \frac{২২}{৭} \times ২৮ \times ২৮ = ২২ \times ৪ \times ২৮ বর্গফুট।
$A_c = ২২ \times ১১২ = ২৪৬৪ বর্গফুট।
ধাপ ৩: বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়
প্রশ্নমতে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল এবং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমান।
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (AsA_s) = ২৪৬৪ বর্গফুট।
আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)২(বাহু)^২ ।
যদি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য 'a' হয়, তবে a২=২৪৬৪a^২ = ২৪৬৪।
a=২৪৬৪a = \sqrt{২৪৬৪} ফুট।
এখন ২৪৬৪\sqrt{২৪৬৪} এর মান নির্ণয় করতে হবে। যেহেতু ৪৯২=২৪০১৪৯^২ = ২৪০১ এবং ৫০২=২৫০০৫০^২ = ২৫০০, তাই মানটি ৪৯ এর চেয়ে সামান্য বেশি হবে।
$a \approx ৪৯.৬৪ ফুট।
অতএব, বর্গক্ষেত্রের একদিকের দৈর্ঘ্য হবে প্রায় ৪৯.৬ ফুট, যা অপশনগুলোর মধ্যে সঠিক। (সঠিক উত্তর: ৪৯.৬ ফুট)
64

একটি বাড়ি ৪০ ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়িটির দেয়াল থেকে ৯ ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়িটির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৪৪ ফুট
  2. খ
    ৪৮ ফুট

  3. ৪১ ফুট

  4. ঘ
    ৪৩ ফুট

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান


ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সরাসরি পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রয়োগ। এখানে বাড়িটির দেয়াল, মাটি এবং মই একটি সমকোণী ত্রিভুজ (Right-angled Triangle) তৈরি করেছে।
দেয়াল হলো লম্ব (Perpendicular), মাটিতে দূরত্ব হলো ভূমি (Base) এবং মই হলো অতিভুজ (Hypotenuse)।
পিথাগোরাসের সূত্র অনুযায়ী: অতিভুজ২=লম্ব২+ভূমি২\text{অতিভুজ}^২ = \text{লম্ব}^২ + \text{ভূমি}^২
অর্থাৎ, c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2
এখানে, লম্ব (aa) = ৪০ ফুট এবং ভূমি (bb) = ৯ ফুট। মইয়ের দৈর্ঘ্য (cc) নির্ণয় করতে হবে।
সমাধান:
c2=402+92c^2 = 40^2 + 9^2
c2=1600+81c^2 = 1600 + 81
c2=1681c^2 = 1681
অতএব, মইয়ের দৈর্ঘ্য c=1681c = \sqrt{1681}। আমরা জানি, 41×41=168141 \times 41 = 1681।
c=41c = \mathbf{41} ফুট।
সঠিক উত্তর হলো: ৪১ ফুট।
65

একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গগজ। ত্রিভুজটির শীর্ষ বিন্দু হতে ভূমির ওপর অংকিত লম্বের দৈর্ঘ্য ১২ গজ হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১২ গজ
  2. খ
    ১০ গজ

  3. ১৪ গজ

  4. ঘ
    ৭ গজ

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের মূল সূত্রটি হলো:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১২×ভূমি×উচ্চতা\frac{১}{২} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}।
এখানে প্রদত্ত তথ্যগুলো হলো:
ক্ষেত্রফল (AA) = ৮৪ বর্গগজ
উচ্চতা (hh) = ১২ গজ
ভূমির দৈর্ঘ্য (bb) নির্ণয় করতে হবে।
সূত্র অনুযায়ী, ৮৪=১২×b×১২৮৪ = \frac{১}{২} \times b \times ১২
বা, ৮৪=৬b৮৪ = ৬b
বা, b=৮৪৬b = \frac{৮৪}{৬}
সুতরাং, b=<strong>১৪b = <strong>১৪
অতএব, ভূমির দৈর্ঘ্য হলো ১৪ গজ।
66

x+y=0 এবং 2x−y+3=0 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    (১/৩),(১/৩)

  2. খ

    (১,১)

  3. গ

    (−৩,৩)

  4. (−১,১)

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

দুটি সরলরেখার ছেদ বিন্দু (Intersection Point) হলো এমন একটি বিন্দু, যা ঐ দুটি সমীকরণকেই সিদ্ধ (satisfy) করে।
সমীকরণ দুটিকে সমাধান করে ছেদ বিন্দু নির্ণয় করতে হবে।
ধরি, প্রথম সমীকরণ: x+y=0x+y=0..................(i)
দ্বিতীয় সমীকরণ: 2x−y+3=02x-y+3=0...............(ii)
এখানে অপনয়ন পদ্ধতি (Elimination Method) ব্যবহার করা সবচেয়ে সহজ। কারণ, সমীকরণ দুটির yy এর সহগ বিপরীত চিহ্নযুক্ত।
সমীকরণ (i) এবং (ii) যোগ করে পাই:
(x+y)+(2x−y+3)=0+0(x+y) + (2x-y+3) = 0 + 0
বা, 3x+3=03x + 3 = 0
বা, 3x=−33x = -3
সুতরাং, x=<strong>−1</strong>x = <strong>-1</strong>
এখন xx এর মানটি (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
−1+y=0-1 + y = 0
সুতরাং, y=<strong>1</strong>y = <strong>1</strong>
অতএব, সরলরেখা দুটি (−1,1)(-1, 1) বিন্দুতে ছেদ করে।
বিকল্প অপশনগুলো ভুল, কারণ (−1,1)(-1, 1) ব্যতীত অন্য কোনো বিন্দু এই দুটি সমীকরণকে একই সাথে সিদ্ধ করবে না।
67

দুটি ত্রিভুজের মধ্যে কোন উপাদানগুলো সমান হওয়া সত্ত্বেও ত্রিভুজ দুটি সর্বসম নাও হতে পারে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    দুই বাহু অন্তর্ভুক্ত কোণ
  2. খ
    দুই কোণ ও এক বাহু
  3. তিন কোণ
  4. ঘ
    তিন বাহু

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

দুইটি ত্রিভুজের মধ্যে একটির দুইটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ যথাক্রমে অপরটির দুটি বাহু ও অন্তর্ভুক্ত কোণের সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হবে। (বাহু-কোণ-বাহু সর্বসমতা)। দুইটি ত্রিভুজের মধ্যে একটির দুটি কোণ ও একটি বাহু যথাক্রমে অপরটির দুইটি কোণ ও অনুরূপ বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হবে। (কোণ-কোণ-বাহু সর্বসমতা)। দুইটি ত্রিভুজের মধ্যে একটির তিনটি বাহু যথাক্রমে অপরটির তিনটি বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হবে। (বাহু-বাহু-বাহু সর্বসমতা)। দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের মধ্যে একটি অতিভুজ ও অপর একটি বাহু যথাক্রমে অন্যটির অতিভুজ ও অপর একটি বাহুর সমান হলে ত্রিভুজ দুটি সর্বসম হবে। (সমকোণ-অতিভুজ-বাহু সর্বসমতা)। দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হলে- তাদের অনুরূপ বাহুবলি পরস্পর সমান হবে। তাদের অনুরূপ কোণগুলি পরস্পর সমান হবে। তাদের ক্ষেত্রফল পরস্পর সমান হবে।

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: তিন কোণ।
গণিতে দুটি ত্রিভুজ সর্বসম (Congruent) হওয়ার অর্থ হলো তাদের আকার (Shape) এবং আয়তন (Size) উভয়ই হুবহু এক হবে। অর্থাৎ, একটি ত্রিভুজকে তুলে এনে অন্যটির উপর বসালে পুরোপুরি মিলে যাবে।
যখন দুটি ত্রিভুজের শুধু তিনটি কোণ সমান হয় (অর্থাৎ AAA শর্ত), তখন ত্রিভুজ দুটিকে সদৃশকোণী বা সদৃশ (Similar) বলা হয়। সদৃশ ত্রিভুজগুলোর আকৃতি এক হলেও এদের বাহুর দৈর্ঘ্য ভিন্ন হতে পারে (অর্থাৎ আয়তন ভিন্ন হতে পারে)। উদাহরণস্বরূপ, ৬০°, ৬০°, ৬০° কোণবিশিষ্ট একটি ছোট সমবাহু ত্রিভুজ এবং ৬০°, ৬০°, ৬০° কোণবিশিষ্ট একটি অনেক বড় সমবাহু ত্রিভুজ সর্বসম নয়, কিন্তু তারা সদৃশ।
যেহেতু তিন কোণ (AAA) সমান হলেও ত্রিভুজ দুটির আয়তন ভিন্ন হতে পারে, তাই এই শর্তটি সর্বসমতার গ্যারান্টি দেয় না, বরং সদৃশতার গ্যারান্টি দেয়।
অন্যান্য শর্তগুলো (দুই বাহু অন্তর্ভুক্ত কোণ, দুই কোণ ও এক বাহু, তিন বাহু) সর্বসমতার জন্য আবশ্যকীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত।
68

১ বর্গইঞ্চি কত বর্গ সেন্টিমিটারের সমান?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    0.0929
  2. খ
    7.32
  3. 6.45
  4. ঘ
    64.5

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে.মি. ∴ ১ বর্গ ইঞ্চি = (২.৫৪ × ২,৫৪) বর্গ সে.মি. = ৬.৪৫ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি পরিমাপের একক পরিবর্তন (Unit Conversion) সম্পর্কিত, যা বিসিএস সহ সকল চাকরির পরীক্ষায় খুবই গুরুত্বপূর্ণ।
ইঞ্চি ও সেন্টিমিটারের মধ্যে মূল সম্পর্কটি মনে রাখতে হবে। আমরা জানি যে, দৈর্ঘ্যের একক হিসেবে ১ ইঞ্চি = 2.542.54 সেন্টিমিটার (প্রায়)।
যখন আমরা বর্গ (Square) এককে রূপান্তর করি, তখন উভয় পক্ষকে বর্গ করতে হয়।
অর্থাৎ, ১ বর্গইঞ্চি = (1extinch)2(1 ext{ inch})^2
= (2.54extcm)2(2.54 ext{ cm})^2 বর্গ সেন্টিমিটার।
গণনা করলে পাই: 2.54imes2.54=6.45162.54 imes 2.54 = 6.4516 বর্গ সেন্টিমিটার।
অতএব, ১ বর্গইঞ্চি প্রায় ৬.৪৫ বর্গ সেন্টিমিটারের সমান। (বিকল্প ৩ সঠিক)
69

পরস্পরকে স্পর্শ করে আছে এমন তিনটি বৃত্তের কেন্দ্র P,Q,R এবং PQ=a,QR=b,RP=c হলে P কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস হবে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    a+b+c
  2. খ
    b+c−a

  3. c+a−b

  4. ঘ
    a−b+c

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

∴ P কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস হবে। =PQ+RP−QR=a+c−b=c+a−b

ব্যাখ্যা

ধরি, P, Q এবং R কেন্দ্রিক বৃত্ত তিনটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে rp,rqr_p, r_q এবং rrr_r।
যেহেতু বৃত্ত তিনটি পরস্পরকে স্পর্শ করে আছে, তাই কেন্দ্রগুলোর মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে তাদের ব্যাসার্ধের যোগফল।
সুতরাং, আমরা তিনটি সমীকরণ পাই:
১. rp+rq=ar_p + r_q = a
২. rq+rr=br_q + r_r = b
৩. rr+rp=cr_r + r_p = c
আমাদের P কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস, অর্থাৎ 2rp2r_p নির্ণয় করতে হবে।
প্রথমে, সমীকরণ তিনটি যোগ করি:
2(rp+rq+rr)=a+b+c2(r_p + r_q + r_r) = a + b + c
বা, rp+rq+rr=a+b+c2r_p + r_q + r_r = \frac{a + b + c}{2} (সমীকরণ ৪)
এখন, rpr_p এর মান বের করতে সমীকরণ (৪) থেকে rq+rrr_q + r_r (যা b এর সমান, সমীকরণ ২) বিয়োগ করি।
rp=(rp+rq+rr)−(rq+rr)r_p = (r_p + r_q + r_r) - (r_q + r_r)
rp=a+b+c2−br_p = \frac{a + b + c}{2} - b
বা, rp=a+b+c−2b2=a−b+c2r_p = \frac{a + b + c - 2b}{2} = \frac{a - b + c}{2}
P কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস হলো 2rp2r_p।
ব্যাস =2×a−b+c2=a−b+c = 2 \times \frac{a - b + c}{2} = \mathbf{a - b + c} বা c+a−b\mathbf{c + a - b}।
সঠিক উত্তর হলো: c+a−b।
70

একটি ৫০ মিটার লম্বা মই একটি খাড়া দেওয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়েছে। মইয়ের এক প্রান্ত মাটি হতে ৪০ মিটার উচ্চে দেয়ালকে স্পর্শ করে। মই-এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব (মিটারে)-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    10

  2. 30

  3. গ
    20
  4. ঘ
    25

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান


ব্যাখ্যা

সমস্যাটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে সমাধান করতে হবে। যখন একটি মই খাড়া দেওয়ালের সাথে হেলান দিয়ে রাখা হয়, তখন দেওয়াল, মাটি এবং মই মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে।
এখানে,
মইয়ের দৈর্ঘ্য = অতিভুজ (H) = 50 মিটার।
দেওয়ালের উচ্চতা = লম্ব (P) = 40 মিটার।
দেওয়াল থেকে মইয়ের গোড়ার দূরত্ব = ভূমি (B) = ?
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী: P2+B2=H2P^2 + B^2 = H^2
মান বসিয়ে পাই: 402+B2=50240^2 + B^2 = 50^2
1600+B2=25001600 + B^2 = 2500
B2=2500−1600B^2 = 2500 - 1600
B2=900B^2 = 900
$\(B = \sqrt{900}\) = <strong>30</strong>$ মিটার।
সুতরাং, মই-এর অপর প্রান্ত হতে দেওয়ালের দূরত্ব হলো 30 মিটার।
71

সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় যথাক্রমে ৩ ও ৪ সেন্টিমিটার হলে এর অতিভুজের মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৬ সেমি

  2. ৫ সেমি

  3. গ
    ৮ সেমি
  4. ঘ
    ৭ সেমি

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমস্যা। সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের মান নির্ণয়ের জন্য আমরা গণিতবিদ পিথাগোরাসের উপপাদ্য (Pythagorean Theorem) প্রয়োগ করব।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গ অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।
সূত্রটি হলো: (অতিভুজ)২=(লম্ব/বাহু১)২+(ভূমি/বাহু২)২(অতিভুজ)^২ = (লম্ব/বাহু_১)^২ + (ভূমি/বাহু_২)^২
এখানে, সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় (লম্ব ও ভূমি) যথাক্রমে ৩ সেমি ও ৪ সেমি।
অতএব, অতিভুজ² = ৩২+৪২৩^২ + ৪^২
অতিভুজ² = ৯+১৬৯ + ১৬
অতিভুজ² = ২৫২৫
অতিভুজ = ২৫\sqrt{২৫} = ৫ সেমি।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৫ সেমি (অপশন ২)।
72

কোনটি সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ১/২ (ভূমি×উচ্চতা)

  2. খ
    দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
  3. গ
    ২ (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ)
  4. ভূমি × উচ্চতা

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ভূমি × উচ্চতা।
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল (Area of Parallelogram) নির্ণয়ের মৌলিক সূত্র হলো, এর ভূমির (Base) সাথে এর লম্ব উচ্চতাকে (Perpendicular Height) গুণ করা। অর্থাৎ, ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা।
এটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) ধারণার অনুরূপ, কারণ উচ্চতার সঠিক সংজ্ঞানুযায়ী একটি সামান্তরিককে আয়তক্ষেত্রে রূপান্তরিত করা সম্ভব।
অন্যান্য অপশনগুলো ভুল। যেমন:
১/২ (ভূমি×উচ্চতা): এটি হলো ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র।
দৈর্ঘ্য × প্রস্থ: এটি হলো আয়তক্ষেত্র বা বর্গের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র।
73

একটি সমবাহু ষড়ভুজের অভ্যন্তরে অঙ্কিত বৃহত্তম বৃত্তের আয়তন ১০০π হলে ঐ ষড়ভুজের আয়তন কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    200
  2. খ

    200√2

  3. 200√3

  4. ঘ

    200√5

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: 2003200\sqrt{3}।
সমবাহু ষড়ভুজের অভ্যন্তরে অঙ্কিত বৃহত্তম বৃত্তটি ষড়ভুজের প্রতিটি বাহুকে স্পর্শ করে থাকে। এই বৃত্তের ব্যাসার্ধকে (r) ষড়ভুজের Apothem বা কেন্দ্র থেকে বাহুর উপর লম্ব দূরত্ব বলা হয়।
ধাপ ১: বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয়:
দেওয়া আছে, বৃত্তের আয়তন (AcA_c) = 100π100\pi।
বৃত্তের আয়তনের সূত্র, Ac=πr2A_c = \pi r^2
100π=πr2100\pi = \pi r^2
r2=100r^2 = 100
অতএব, ব্যাসার্ধ r = 10 একক।
ধাপ ২: ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য (a) নির্ণয়:
সমবাহু ষড়ভুজের ক্ষেত্রে, অন্তঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ (r) এবং ষড়ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য (a)-এর মধ্যে সম্পর্ক হলো: r=32ar = \frac{\sqrt{3}}{2} a
10=32a10 = \frac{\sqrt{3}}{2} a
a=203a = \frac{20}{\sqrt{3}} একক।
ধাপ ৩: ষড়ভুজের আয়তন নির্ণয়:
একটি সমবাহু ষড়ভুজের আয়তন নির্ণয়ের সূত্র, Ah=6×(একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল)A_h = 6 \times (\text{একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল})
Ah=6×34a2=332a2A_h = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2
'a'-এর মান বসিয়ে পাই:
Ah=332×(203)2A_h = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)^2
Ah=332×4003A_h = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \frac{400}{3}
Ah=32×400A_h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 400
Ah=2003A_h = 200\sqrt{3}
অতএব, ষড়ভুজটির আয়তন হলো 2003200\sqrt{3} বর্গ একক। অন্য বিকল্পগুলি এই গাণিতিক সম্পর্ক অনুসরণ করে না, তাই ভুল।
74

একটি আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য বিস্তারের ৩ গুণ। দৈর্ঘ্য ৪৮ মিটার হলে, ক্ষেত্রটির পরিসীমা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. ১২৮ মিটার

  2. খ
    ১৪৪ মিটার
  3. গ
    ৬৪ মিটার
  4. ঘ
    ৯৬ মিটার

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান


ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ১২৮ মিটার। এটি পরিমিতির (Mensuration) একটি মৌলিক প্রশ্ন।
ধাপ ১: আয়তাকার ক্ষেত্রের বিস্তার (প্রস্থ) নির্ণয় করতে হবে।
প্রশ্নমতে, দৈর্ঘ্য = ৩ ×\times বিস্তার।
এখানে, দৈর্ঘ্য = ৪৮ মিটার।
সুতরাং, বিস্তার = দৈর্ঘ্য৩=৪৮৩\frac{\text{দৈর্ঘ্য}}{৩} = \frac{৪৮}{৩} মিটার = ১৬ মিটার।
ধাপ ২: পরিসীমা নির্ণয়। আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সূত্র হলো: পরিসীমা=২×(দৈর্ঘ্য+বিস্তার)\text{পরিসীমা} = ২ \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{বিস্তার})।
মান বসিয়ে পাই: পরিসীমা = ২×(৪৮+১৬)২ \times (৪৮ + ১৬) মিটার।
পরিসীমা = ২×৬৪২ \times ৬৪ মিটার = ১২৮ মিটার।
75

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধকে যদি r থেকে বৃদ্ধি করে r+n করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ হয়। r-এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1.  n/(√2-1) 

  2. খ

    n+√2

  3. গ

    √(2n)

  4. ঘ

    √[2(n+1)]

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান


ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত এবং বীজগণিতীয় সমীকরণের মাধ্যমে সমাধান করা যায়।
ধরি, আদি ব্যাসার্ধ = rr।
আদি ক্ষেত্রফল, A1=πr2A_1 = \pi r^2।
নতুন ব্যাসার্ধ = (r+n)(r+n)।
নতুন ক্ষেত্রফল, A2=π(r+n)2A_2 = \pi (r+n)^2।
প্রশ্নমতে, ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ হয়। অর্থাৎ, A2=2A1A_2 = 2 A_1।
মান বসিয়ে পাই:
π(r+n)2=2πr2\pi (r+n)^2 = 2 \pi r^2
উভয় পক্ষকে π\pi দ্বারা ভাগ করে এবং বর্গমূল করে পাই:
(r+n)2=2r2(r+n)^2 = 2 r^2
r+n=2rr+n = \sqrt{2} r
এখন rr-কে বাম দিক থেকে ডান দিকে নিয়ে যাই:
n=2r−rn = \sqrt{2} r - r
n=r(2−1)n = r (\sqrt{2} - 1)
অতএব, rr-এর মান হবে: r=n2−1r = \frac{n}{\sqrt{2}-1}।
সঠিক উত্তর: n/(2−1)n/(\sqrt{2}-1)।
76

পাশাপাশি দুটি বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেক বাহু ২০২০ ফুট। ৬BC=৬,CF=5 ফুট, DE= কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১৫ ফুট
  2. খ
    ১২ ফুট
  3. গ
    ২০ ফুট

  4. ১৮ ফুট

সঠিক উত্তর: ঘ

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি জ্যামিতির সদৃশ ত্রিভুজ (Similar Triangles) এবং আনুপাতিক বিভাজনের ধারণার ওপর ভিত্তি করে তৈরি। সাধারণত এই ধরনের প্রশ্নে বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য একটি বিভেদক বা অপ্রাসঙ্গিক তথ্য (Distractor) হিসেবে দেওয়া হয়।

ধরে নিই, দুটি বর্গক্ষেত্রকে পাশাপাশি রাখার ফলে Simes2SS imes 2S মাত্রার একটি বৃহৎ আয়তক্ষেত্র গঠিত হয়েছে। বর্গক্ষেত্র দুটির বাহু S=২০২0S = ২০২0 ফুট।

ধরা যাক, একটি রেখাংশ (Transversal line) বর্গক্ষেত্র দুটির শীর্ষবিন্দু থেকে অঙ্কিত হয়েছে যা ভূমিকে BCBC এবং CFCF অংশে বিভক্ত করেছে, যেখানে BC=৬BC = ৬ ফুট এবং CF=৫CF = ৫ ফুট। DEDE হলো রেখাংশটির উচ্চতা (Vertical Height) বা বর্গক্ষেত্রের বাহুর সমানুপাতিক একটি উল্লম্ব রেখাংশ, যার দৈর্ঘ্য hh নির্ণয় করতে হবে।

যদি DEDE উল্লম্ব রেখাংশটি কোনো একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু এবং বিপরীত ভূমির সংযোগকারী রেখাংশকে ছেদ করে, তবে সদৃশ ত্রিভুজের সূত্রানুযায়ী, DEDE এর দৈর্ঘ্য (h)(h) বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্যের (S)(S) সাথে আনুপাতিক হবে:
DEBC=SBC+CF\frac{DE}{BC} = \frac{S}{BC + CF}
এখানে DE=hDE = h, BC=6BC = 6, CF=5CF = 5 এবং BC+CF=11BC+CF = 11।
যদিও প্রশ্নে S=২০২০S=২০২০ ফুট দেওয়া আছে, কিন্তু প্রদত্ত অপশনগুলো (১৫, ১২, ২০, ১৮) ছোট পূর্ণসংখ্যা হওয়ায়, এই ধরণের পরীক্ষায় ধরে নেওয়া হয় যে SS এর মান এমন একটি সংখ্যা যা অনুপাতের সঙ্গে সরলভাবে মিশে যায় (যেমন, S=33S = 33 বা S=11S=11 এর গুণিতক)।

যদি S=33S=33 ফুট হয় (যেটি এই ধরনের সমস্যার ক্ষেত্রে প্রায়শই লুকানো থাকে):
h6=336+5\frac{h}{6} = \frac{33}{6+5}
h6=3311\frac{h}{6} = \frac{33}{11}
h=6×3h = 6 \times 3
h=<strong>১৮ফুট</strong>h = <strong>১৮ ফুট</strong>
সুতরাং, ২০২০২০২০ ফুট তথ্যটি অপ্রাসঙ্গিক এবং DEDE এর দৈর্ঘ্য হলো ১৮ ফুট।
77

এক মিটার সমান কত ইঞ্চি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৩৭.৩৯ ইঞ্চি

  2. ৩৯.৩৭ ইঞ্চি

  3. গ
    ৩৯.৪৭ ইঞ্চি
  4. ঘ
    ৩৮.৫৫ ইঞ্চি

সঠিক উত্তর: খ

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তরটি হলো: ৩৯.৩৭ ইঞ্চি।
আন্তর্জাতিকভাবে স্বীকৃত পরিমাপ অনুযায়ী, দূরত্বের একক মিটারের সঙ্গে ইঞ্চির সম্পর্ক হলো: ১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি (প্রায়)।
অতএব, প্রশ্নে প্রদত্ত বিকল্পগুলোর মধ্যে ৩৯.৩৭ ইঞ্চি সংখ্যাটিই সঠিক। অন্যান্য বিকল্পগুলো এই মানের কাছাকাছি নয়, তাই সেগুলো ভুল।
78

ABD বৃত্তে AB এবং CD দুটি সমান জ্যা পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করলে কোনটি সত্য?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    PC=PD
  2. খ
    PA=PB
  3. গ
    PB=PA

  4. PB=PD

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান


ব্যাখ্যা

এটি বৃত্তের জ্যা সংক্রান্ত একটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য (Theorem) এর সরাসরি প্রয়োগ।
উপপাদ্যটি হলো:
বৃত্তের দুটি সমান জ্যা (Equal Chords) যদি পরস্পরকে ছেদ করে, তাহলে একটি জ্যার অংশদ্বয় অন্য জ্যার অনুরূপ অংশদ্বয়ের সমান হয়।
এখানে জ্যা দুটি হলো AB এবং CD। তারা P বিন্দুতে ছেদ করেছে।
AB জ্যার অংশদ্বয়: PA এবং PB।
CD জ্যার অংশদ্বয়: PC এবং PD।
নিয়ম অনুযায়ী, বড় অংশ বড় অংশের সমান এবং ছোট অংশ ছোট অংশের সমান হবে। অর্থাৎ:
১. PA = PC (বড় অংশদ্বয়)
২. PB = PD (ছোট অংশদ্বয়)
যেহেতু অপশনগুলোর মধ্যে PB=PD বিদ্যমান, তাই এটিই সঠিক উত্তর।
অন্যান্য অপশনগুলো ভুল। যেমন, PA=PB বা PC=PD তখনই সম্ভব যখন P বিন্দুটি জ্যা-এর মধ্যবিন্দু হয়, যা সাধারণ ছেদ করার ক্ষেত্রে সব সময় সত্য নয়।
79

একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহু ১৬ মিটার। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. ৬৪√৩ বর্গমিটার

  2. খ

    ১৯২ বর্গমিটার

  3. গ
    ৬৪ বর্গমিটার
  4. ঘ

    ৩২√৩ বর্গমিটার

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান


ব্যাখ্যা

প্রশ্নটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত। সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যই সমান হয়।
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: extArea=34a2 ext{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 ; যেখানে aa হলো বাহুর দৈর্ঘ্য।
এখানে, বাহুর দৈর্ঘ্য $(a) = ১৬ মিটার।
সূত্র অনুযায়ী ক্ষেত্রফল হবে:
Area=34×(১৬)2 \text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (১৬)^2
Area=34×256 \text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 256
Area=3×(2564) \text{Area} = \sqrt{3} \times (\frac{256}{4})
$ \text{Area} = ৬৪\sqrt{৩} বর্গমিটার।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: ৬৪√৩ বর্গমিটার।
80

সুষম বহুভুজের একটি অন্তঃকোণের পরিমাণ ১৩৫° হলে এর বাহুর সংখ্যা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4
  2. খ
    7
  3. গ
    9

  4. 8

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান


ব্যাখ্যা

আমরা জানি, একটি সুষম বহুভুজের (Regular Polygon) যেকোনো একটি শীর্ষবিন্দুতে অন্তঃকোণ (Interior Angle) এবং বহিঃকোণের (Exterior Angle) সমষ্টি সর্বদা 180°180° হয়।
প্রথমে প্রদত্ত অন্তঃকোণের সাহায্যে বহিঃকোণের পরিমাণ নির্ণয় করতে হবে।
বহিঃকোণের পরিমাণ =180°−অন্তঃকোণ= 180° - \text{অন্তঃকোণ}
বহিঃকোণের পরিমাণ =180°−135°=45°= 180° - 135° = 45°
যেহেতু সকল সুষম বহুভুজের বহিঃকোণগুলোর সমষ্টি 360°360° হয়, তাই বাহুর সংখ্যা (n) নির্ণয়ের সূত্র হলো:
বাহুর সংখ্যা (n)=বহিঃকোণগুলোর মোট সমষ্টিএকটি বহিঃকোণের পরিমাণ(n) = \frac{\text{বহিঃকোণগুলোর মোট সমষ্টি}}{\text{একটি বহিঃকোণের পরিমাণ}}
n=360°45°n = \frac{360°}{45°}
n=<strong>8</strong>n = <strong>8</strong>
সুতরাং, বহুভুজটির বাহুর সংখ্যা ৮টি।
81

সমবাহু ত্রিভূজের বাহুর দৈর্ঘ্য যদি ‘a’ হয় তবে ক্ষেত্রফল হবে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1.  (√৩)/৪a^2

  2. খ

    √(৩/২a^2)

  3. গ

     ৩/২a^2

  4. ঘ

     √(১/২a^2)

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান


ব্যাখ্যা

এটি পরিমিতির একটি সরাসরি সূত্র-ভিত্তিক প্রশ্ন। সমবাহু ত্রিভুজ (Equilateral Triangle) হলো এমন ত্রিভুজ যার তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যই সমান।
যদি সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যকে 'a' ধরা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল (Area) নির্ণয়ের জন্য একটি সুনির্দিষ্ট সূত্র রয়েছে।
সূত্রটি হলো: ক্ষেত্রফল=34×(বাহুর দৈর্ঘ্য)2\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{বাহুর দৈর্ঘ্য})^2
প্রশ্নমতে, বাহুর দৈর্ঘ্য 'a' হওয়ায়, ক্ষেত্রফল হবে: 34a2\frac{\sqrt{3}}{4}a^2।
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো প্রথম অপশনটি: $\text{(\sqrt{৩})/৪a^2}$।
82

ত্রিভুজ ABC এর BE = FE = CF। AEC এর ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গফুট হলে, ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল কত বর্গফুট?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. 72

  2. খ
    60
  3. গ
    48
  4. ঘ

    64

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান


ব্যাখ্যা

এই ধরনের জ্যামিতির ক্ষেত্রে মূলনীতি হলো: যদি দুটি ত্রিভুজ একই উচ্চতা (অর্থাৎ একই শীর্ষবিন্দু থেকে অঙ্কিত) ভাগ করে নেয় এবং তাদের ভূমি একই সরলরেখায় থাকে, তবে তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত ভূমির অনুপাতের সমান হবে।
এখানে, ধরে নিতে হবে যে EE এবং FF বিন্দু দুটি ভূমি BCBC-কে বিভক্ত করেছে, এবং AA হলো শীর্ষবিন্দু। ফলে, riangleABC riangle ABC এবং riangleAEC riangle AEC একই উচ্চতা (A থেকে BC এর উপর অঙ্কিত লম্ব) শেয়ার করে।
প্রশ্নমতে, BE=FE=CFBE = FE = CF। মনে করি, এই প্রতিটি অংশের দৈর্ঘ্য xx একক।
অতএব, riangleABC riangle ABC এর মোট ভূমি BC=BE+EF+CF=x+x+x=<strong>3x</strong>BC = BE + EF + CF = x + x + x = <strong>3x</strong>
অন্যদিকে, riangleAEC riangle AEC এর ভূমি EC=EF+CF=x+x=<strong>2x</strong>EC = EF + CF = x + x = <strong>2x</strong>
ক্ষেত্রফল ও ভূমির অনুপাতের সূত্রানুসারে:
Area(ABC)Area(AEC)=BCEC=3x2x=32\frac{Area(ABC)}{Area(AEC)} = \frac{BC}{EC} = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}
প্রশ্নমতে, Area(AEC)=<strong>৪৮</strong>Area(AEC) = <strong>৪৮</strong> বর্গফুট।
সুতরাং, Area(ABC)=Area(AEC)×32Area(ABC) = Area(AEC) \times \frac{3}{2}
Area(ABC)=48×32=24×3=<strong>72</strong>Area(ABC) = 48 \times \frac{3}{2} = 24 \times 3 = <strong>72</strong>
অতএব, ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গফুট।
83

একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোনটির মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    60°
  2. খ
    45°
  3. 30°
  4. ঘ
    25°

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, যখন দুটি কোণের যোগফল 90∘90^{\circ} (সমকোণ) হয়, তখন কোণদ্বয়কে একে অপরের পূরক কোণ (Complementary Angle) বলা হয়।
ধরি, নির্ণেয় কোণটির মান xx।
সুতরাং, ঐ কোণটির পূরক কোণের মান হবে (90−x)(90 - x)।
প্রশ্নমতে, কোণটির মান তার পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান।
আমরা সমীকরণটি সাজাতে পারি: x=12×(90−x)x = \frac{1}{2} \times (90 - x)
উভয় পক্ষকে 22 দ্বারা গুণ করে পাই: 2x=90−x2x = 90 - x
−x-x কে বাম পাশে আনলে: 2x+x=902x + x = 90
বা, 3x=903x = 90
অতএব, x=903=30∘x = \frac{90}{3} = 30^{\circ}।
সঠিক উত্তর হলো: 30°।
84

কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থকোণ তিনটির সমষ্টি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ১৮০∘

  2. খ

    ১৫০∘

  3. গ

    ২৭০∘

  4. ৩৬০∘

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ৩৬০°।
এটি জ্যামিতির একটি মৌলিক নীতি যা সকল বহুভুজের (Polygon) ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য।
ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণের (Interior Angles) সমষ্টি সর্বদা ১৮০°। ধরুন অন্তঃস্থ কোণগুলো A, B, C। অর্থাৎ, A+B+C=180∘A + B + C = 180^{\circ}।
যখন ত্রিভুজের কোনো বাহুকে বর্ধিত করা হয়, তখন অন্তঃস্থ কোণ ও উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ মিলে সরলকোণ তৈরি করে, যার মান ১৮০°।
যদি বহিঃস্থ কোণগুলো A′,B′,C′A', B', C' হয়, তাহলে:
A’=180∘−A\text{A'} = 180^{\circ} - A
B’=180∘−B\text{B'} = 180^{\circ} - B
C’=180∘−C\text{C'} = 180^{\circ} - C
সুতরাং, বহিঃস্থ কোণগুলোর সমষ্টি:
(180∘−A)+(180∘−B)+(180∘−C)(180^{\circ} - A) + (180^{\circ} - B) + (180^{\circ} - C)
=3×180∘−(A+B+C)= 3 \times 180^{\circ} - (A + B + C)
=540∘−180∘= 540^{\circ} - 180^{\circ} (যেহেতু A+B+C=180∘A + B + C = 180^{\circ})
=360∘= 360^{\circ}।
তাই ত্রিভুজের তিনটি বহিঃস্থ কোণের সমষ্টি হলো ৩৬০°।
85

ABCD চতুর্ভুজে AB||CD,AC=BD এবং ∠A=90o হলে, সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    সামান্তরিক
  2. খ
    রম্বস
  3. গ
    ট্রাপিজিয়াম
  4. আয়তক্ষেত্র

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো আয়তক্ষেত্র। এটি বোঝার জন্য প্রদত্ত শর্তগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:
১. AB||CD (এক জোড়া বাহু সমান্তরাল): এই শর্তটি পূরণ হলে চতুর্ভুজটি কমপক্ষে একটি ট্রাপিজিয়াম (Trapezium) হবে।
২. AC=BD (কর্ণদ্বয় সমান): যদি কোনো ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয় সমান হয়, তবে সেটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম (Isosceles Trapezium) হয়। সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহু দুটিও (AD ও BC) সমান হয়।
৩. ∠A=90o\angle A=90^o (একটি কোণ সমকোণ): সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়ামের যদি একটি কোণ 90o90^o হয়, তবে অসমান্তরাল বাহু দুটি (AD ও BC) অবশ্যই সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের উপর লম্ব হবে। এর ফলে ∠A=90o\angle A=90^o হলে ∠D\angle D কোণও 90o90^o হবে এবং AD||BC হবে।
যেহেতু AB||CD এবং AD||BC, তাই এটি একটি সামান্তরিক। আর যে সামান্তরিকের একটি কোণ 90o90^o (বা কর্ণদ্বয় সমান), তাকে আয়তক্ষেত্র বলা হয়।
সুতরাং, তিনটি শর্তের সম্মিলিত ফল হিসেবে চতুর্ভুজটি অবশ্যই একটি আয়তক্ষেত্র হবে।
86

City B is 5 miles east of city A. City C is 10 miles southeast of city B. Which of the following is the closest to the distance from city A to City C?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    11 miles
  2. খ
    12 miles
  3. গ
    13 miles
  4. 14 miles

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি স্থানাঙ্ক জ্যামিতি (Coordinate Geometry) এবং ত্রিকোণমিতির (Trigonometry) সমন্বয় ব্যবহার করে সমাধান করতে হবে। আমরা সিটি A-কে মূলবিন্দু (Origin) (0, 0) হিসেবে ধরব।
ধাপ ১: সিটি B এর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
সিটি B হলো সিটি A এর ৫ মাইল পূর্বে (East)।
সুতরাং, B-এর স্থানাঙ্ক: B=(5,0)\mathbf{B = (5, 0)}.
ধাপ ২: সিটি C এর স্থানাঙ্ক নির্ণয়।
সিটি C হলো সিটি B থেকে ১০ মাইল দক্ষিণ-পূর্বে (Southeast)। দক্ষিণ-পূর্ব দিকটি পূর্ব দিক (xx অক্ষ) থেকে ৪৫ ডিগ্রি কোণে অবস্থিত।
B থেকে C পর্যন্ত পূর্ব দিকে (x-অক্ষে) সরণ (Shift) হবে: x=10cos⁡(45∘)x = 10 \cos(45^\circ).
B থেকে C পর্যন্ত দক্ষিণ দিকে (y-অক্ষে, যা ঋণাত্মক) সরণ হবে: y=−10sin⁡(45∘)y = -10 \sin(45^\circ).
আমরা জানি, cos⁡(45∘)=sin⁡(45∘)=12≈0.707\cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707.
xshift=10×0.707=7.07x_{shift} = 10 \times 0.707 = 7.07 মাইল।
yshift=−10×0.707=−7.07y_{shift} = -10 \times 0.707 = -7.07 মাইল।
সুতরাং, C এর স্থানাঙ্ক হবে: C=(Bx+xshift,By+yshift)C = (B_x + x_{shift}, B_y + y_{shift})
C=(5+7.07,0−7.07)=(12.07,−7.07)C = (5 + 7.07, 0 - 7.07) = \mathbf{(12.07, -7.07)}.
ধাপ ৩: A থেকে C এর দূরত্ব নির্ণয়।
A (0, 0) এবং C (12.07, -7.07)-এর মধ্যবর্তী দূরত্ব (d):
d=(12.07−0)2+(−7.07−0)2d = \sqrt{(12.07 - 0)^2 + (-7.07 - 0)^2}
d=(12.07)2+(−7.07)2d = \sqrt{(12.07)^2 + (-7.07)^2}
d=145.68+50.00=195.68d = \sqrt{145.68 + 50.00} = \sqrt{195.68}
195.68≈13.988\sqrt{195.68} \approx \mathbf{13.988} মাইল।
এই মানটি অপশনগুলোর মধ্যে ১৪ মাইলের সবথেকে কাছাকাছি।
87

একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ ফুট হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১৫৬ বর্গফুট
  2. খ
    ১৬৪ বর্গফুট
  3. ১২৮ বর্গফুট
  4. ঘ
    ২১৮ বর্গফুট

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ১২৮ বর্গফুট। এই সমস্যাটি ধাপে ধাপে সমাধান করতে হবে।

ধাপ ১: বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়
আমরা জানি, একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য যদি aa হয়, তবে তার কর্ণের (Diagonal, dd) দৈর্ঘ্য হবে d=a2d = a\sqrt{2}।
এখানে, বাহুর দৈর্ঘ্য $(a) = ৮ ফুট।
অতএব, কর্ণের দৈর্ঘ্য (d)=82(d) = 8\sqrt{2} ফুট।

ধাপ ২: কর্ণের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
প্রশ্ন অনুযায়ী, এই কর্ণটিকে নতুন একটি বর্গক্ষেত্রের বাহু ধরা হয়েছে।
সুতরাং, নতুন বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য (A)=d=82(A) = d = 8\sqrt{2} ফুট।
নতুন বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে (Area)=A2(Area) = A^2
ক্ষেত্রফল $= (8\sqrt{2})^2 = 8^2 \times (\sqrt{2})^2 = 64 \times 2 = ১২৮ বর্গফুট।

অতএব, কর্ণের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ১২৮ বর্গফুট।
88

চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ১ : ২ : ২ : ৩ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ হবে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১০০°
  2. খ
    ১১৫°

  3. ১৩৫°

  4. ঘ
    ২২৫°

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, যে কোনো চতুর্ভুজের চারটি অন্তঃকোণের সমষ্টি সর্বদা 360∘360^{\circ}।
এখানে কোণগুলোর অনুপাত দেওয়া আছে ১:২:২:৩১ : ২ : ২ : ৩। আমরা ধরে নেই কোণগুলো হলো যথাক্রমে x,2x,2xx, 2x, 2x এবং 3x3x।
প্রশ্নমতে, কোণগুলোর সমষ্টি 360∘360^{\circ} হবে।
$\(x + 2x + 2x + 3x\) = 360^{\circ}$
বা, 8x=360∘8x = 360^{\circ}
বা, x=360∘8x = \frac{360^{\circ}}{8}
সুতরাং, x=45∘x = 45^{\circ}।
এখানে বৃহত্তম কোণটি হলো অনুপাতের সর্বোচ্চ অংশ (33), অর্থাৎ 3x3x।
বৃহত্তম কোণের পরিমাণ =3x=3×45∘=135∘= 3x = 3 \times 45^{\circ} = 135^{\circ}।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো ১৩৫°।
89

x+y−1=0,x−y+1=0 এবং y+3=0 সরল রেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    সমবাহু
  2. খ
    বিষমবাহু
  3. গ
    সমকোণী

  4. সমদ্বিবাহু

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজটির প্রকৃতি নির্ণয় করার জন্য প্রথমে সরলরেখা তিনটির ছেদবিন্দুগুলো (শীর্ষবিন্দু) নির্ণয় করতে হবে এবং এরপর বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য বের করতে হবে।
ধরি, তিনটি সরলরেখা L1:x+y−1=0L_1: x+y-1=0, L2:x−y+1=0L_2: x-y+1=0 এবং L3:y+3=0L_3: y+3=0
১. শীর্ষবিন্দু A (L1 ও L2 এর ছেদবিন্দু):
L1+L2L_1 + L_2 যোগ করে পাই: (x+y−1)+(x−y+1)=0⇒2x=0⇒x=0(x+y-1) + (x-y+1) = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x=0.
xx-এর মান L1L_1 এ বসিয়ে পাই: 0+y−1=0⇒y=10+y-1=0 \Rightarrow y=1।
অতএব, A=(0,1)A = (0, 1)।
২. শীর্ষবিন্দু B (L2 ও L3 এর ছেদবিন্দু):
L3L_3 থেকে y=−3y=-3, এই মান L2L_2 এ বসিয়ে পাই: x−(−3)+1=0⇒x+4=0⇒x=−4x-(-3)+1=0 \Rightarrow x+4=0 \Rightarrow x=-4।
অতএব, B=(−4,−3)B = (-4, -3)।
৩. শীর্ষবিন্দু C (L1 ও L3 এর ছেদবিন্দু):
L3L_3 থেকে y=−3y=-3, এই মান L1L_1 এ বসিয়ে পাই: x+(−3)−1=0⇒x−4=0⇒x=4x+(-3)-1=0 \Rightarrow x-4=0 \Rightarrow x=4।
অতএব, C=(4,−3)C = (4, -3)।
৪. বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য নির্ণয় (দূরত্বের সূত্র ব্যবহার করে):
দূরত্বের সূত্র: D=(x2−x1)2+(y2−y1)2D = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}
বাহু ABAB: DAB=(−4−0)2+(−3−1)2=16+16=32D_{AB} = \sqrt{(-4-0)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}
বাহু ACAC: DAC=(4−0)2+(−3−1)2=16+16=32D_{AC} = \sqrt{(4-0)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}
বাহু BCBC: DBC=(4−(−4))2+(−3−(−3))2=82+02=64=8D_{BC} = \sqrt{(4-(-4))^2 + (-3-(-3))^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8
যেহেতু AB=AC=32AB = AC = \sqrt{32}, অর্থাৎ ত্রিভুজের দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান, তাই এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (Isosceles Triangle)।
উল্লেখ্য, এখানে AB2+AC2=32+32=64AB^2 + AC^2 = 32+32=64 এবং BC2=64BC^2=64 হওয়ায় এটি একটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজও বটে। কিন্তু অপশনে যেহেতু শুধু 'সমদ্বিবাহু' দেওয়া আছে, তাই এটিই সঠিক উত্তর।
90

y=৩x+২, y=−৩x+২ এবং y=−২ দ্বারা গঠিত জ্যামিতিক চিত্রটি কি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    একটি সমবাহু ত্রিভুজ

  2. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

  3. গ
    একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ
  4. ঘ
    একটি সমকোণী ত্রিভুজ

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
এই জ্যামিতিক চিত্রটি নির্ণয় করার জন্য আমাদের তিনটি সরলরেখার ছেদবিন্দুগুলি (Vertices) বের করতে হবে এবং তারপর তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব (বাহুর দৈর্ঘ্য) নির্ণয় করতে হবে।
ধরি, রেখা তিনটি হলো:
L1: y=3x+2y=3x+2
L2: y=−3x+2y=-3x+2
L3: y=−2y=-2

১. ছেদবিন্দু A (L1 ও L2):
3x+2=−3x+23x+2 = -3x+2 ⇒6x=0\Rightarrow 6x = 0 ⇒x=0\Rightarrow x=0।
y=3(0)+2=2y = 3(0)+2 = 2।
Vertex A = (0, 2)

২. ছেদবিন্দু B (L1 ও L3):
3x+2=−23x+2 = -2 ⇒3x=−4\Rightarrow 3x = -4 ⇒x=−4/3\Rightarrow x=-4/3।
Vertex B = (-4/3, -2)

৩. ছেদবিন্দু C (L2 ও L3):
−3x+2=−2-3x+2 = -2 ⇒−3x=−4\Rightarrow -3x = -4 ⇒x=4/3\Rightarrow x=4/3।
Vertex C = (4/3, -2)

৪. বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় (দূরত্ব সূত্র):
বাহু AB: dAB=(−4/3−0)2+(−2−2)2=16/9+16=160/9d_{AB} = \sqrt{(-4/3 - 0)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{16/9 + 16} = \sqrt{160/9}
বাহু AC: dAC=(4/3−0)2+(−2−2)2=16/9+16=160/9d_{AC} = \sqrt{(4/3 - 0)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{16/9 + 16} = \sqrt{160/9}
বাহু BC: dBC=∣4/3−(−4/3)∣=8/3d_{BC} = |4/3 - (-4/3)| = 8/3

যেহেতু dAB=dACd_{AB} = d_{AC} (দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান), তাই চিত্রটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
91

একটি গোল মুদ্রা টেবিলে রাখা হলো। এই মুদ্রার চারপাশে একই মুদ্রা কতটি রাখা যেতে পারে যেন তারা মাঝের মুদ্রাটিকে এবং তাদের দুপাশে রাখা দুটি মুদ্রাকে স্পর্শ করে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4

  2. 6

  3. গ
    8
  4. ঘ
    10

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তরটি হলো: ৬ (Six)। এটি জ্যামিতি এবং স্থানিক যুক্তি (Spatial Reasoning) সম্পর্কিত একটি অত্যন্ত জনপ্রিয় প্রশ্ন।
যেহেতু প্রশ্নটিতে একই মুদ্রা (Identical Coin) বলা হয়েছে, তাই মাঝের মুদ্রা এবং বাইরের মুদ্রাগুলোর ব্যাসার্ধ (radius, r) সমান।
যখন বাইরের দুটি মুদ্রা মাঝের মুদ্রাটিকে এবং একে অপরের দুপাশে স্পর্শ করে রাখা হয়, তখন এই তিনটি মুদ্রার কেন্দ্রবিন্দুগুলো যোগ করলে একটি ত্রিভুজ তৈরি হয়।
১. কেন্দ্রীয় মুদ্রা থেকে বাইরের মুদ্রার কেন্দ্রের দূরত্ব: r+r=2r\text{r} + \text{r} = \mathbf{2r}।
২. দুটি বাইরের মুদ্রার কেন্দ্রের দূরত্ব (তারা পরস্পরকে স্পর্শ করেছে): r+r=2r\text{r} + \text{r} = \mathbf{2r}।
যেহেতু ত্রিভুজটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 2r\mathbf{2r} (অর্থাৎ সব বাহু সমান), তাই ত্রিভুজটি হলো একটি সমবাহু ত্রিভুজ (Equilateral Triangle)।
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান হয় 60∘60^{\circ}।
মাঝের মুদ্রার কেন্দ্রকে ঘিরে মোট কোণের পরিমাণ 360∘360^{\circ}। যেহেতু প্রতিটি বাইরের মুদ্রা 60∘60^{\circ} জায়গা দখল করে, তাই মোট মুদ্রার সংখ্যা হবে:
মোট সংখ্যা=360∘60∘=6\text{মোট সংখ্যা} = \frac{360^{\circ}}{60^{\circ}} = \mathbf{6} টি।
92

একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ ৩৫°ও ৫৫°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. সমকোণী
  2. খ
    সমবাহু
  3. গ
    সমদ্বিবাহু
  4. ঘ
    স্থূলকোণী

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি সর্বদা 180°180° হয়।
প্রশ্নানুসারে, ত্রিভুজটির দুটি কোণের পরিমাণ হলো: 35°35° এবং 55°55°।
তৃতীয় কোণটি নির্ণয়ের জন্য প্রথমে প্রদত্ত কোণ দুটির যোগফল বের করতে হবে:
প্রদত্ত কোণদ্বয়ের যোগফল = 35°+55°=90°35° + 55° = 90°
সুতরাং, ত্রিভুজের তৃতীয় কোণটি হবে: 180°−90°=90°180° - 90° = 90°
যেহেতু ত্রিভুজটির একটি কোণ 90°90° (এক সমকোণ), তাই কোণভেদে এই ত্রিভুজটিকে সমকোণী ত্রিভুজ বলা হবে।
অন্যান্য অপশনগুলো ভুল, কারণ: সমবাহু হতে হলে তিনটি কোণই 60°60° হতে হতো। সমদ্বিবাহু হতে হলে দুটি কোণ অবশ্যই সমান হতে হতো (35°35° ও 55°55° সমান নয়)। স্থূলকোণী হতে হলে একটি কোণ 90°90° এর বেশি হতে হতো।
93

AB ও CD সরলরেখাদ্বয় ‘O’ বিন্দুতে ছেদ করলে নিচের কোন গাণিতিক বাক্যটি সঠিক হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ∠AOD = ∠BOC
  2. খ
    ∠AOD = ∠BOD
  3. গ
    ∠BOC = ∠AOC
  4. ঘ
    ∠AOD > ∠BOC

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হবে। ∴ ∠AOD=∠BOC এবং ∠AOC=∠BOD

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ∠AOD = ∠BOC।
যখন দুটি সরলরেখা (এখানে AB এবং CD) পরস্পরকে কোনো একটি বিন্দুতে (এখানে ‘O’) ছেদ করে, তখন ছেদবিন্দুর বিপরীত দিকে যে কোণগুলো উৎপন্ন হয়, তাদের বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angles) বলা হয়।
বিপ্রতীপ কোণগুলো সর্বদা পরস্পর সমান হয়।
এখানে, ∠AOD এর বিপরীতে উৎপন্ন কোণটি হলো ∠BOC। তাই, ∠AOD = ∠BOC।
একইভাবে, ∠AOC এর বিপরীতে উৎপন্ন কোণটি হলো ∠BOD। তাই, ∠AOC = ∠BOD।
94

দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে একটিকে অপরটির কি বলে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    সন্নিহিত কোণ
  2. খ
    সরলকোণ
  3. গ
    পূরককোণ
  4. সম্পূরক কোণ

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

সম্পূরক কোণের সংজ্ঞা অনুযায়ী, দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা এক সরলকোণ হলে কোণ দুটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তরটি হলো: সম্পূরক কোণ।
জ্যামিতিতে, এক সমকোণ বলতে 90∘90^\circ (নব্বই ডিগ্রি) বোঝানো হয়।
সুতরাং, দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হওয়ার অর্থ হলো তাদের সমষ্টি 2×90∘=180∘2 \times 90^\circ = 180^\circ।
সংজ্ঞা অনুযায়ী, যখন দুটি কোণের সমষ্টি 180∘180^\circ হয়, তখন কোণ দুটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ (Supplementary Angle) বলা হয়।
অন্যদিকে, যদি দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ (90∘90^\circ) হতো, তবে একটি কোণকে অপরটির পূরককোণ বলা হতো। তাই পূরককোণ (Complementary Angle) অপশনটি ভুল।
95

বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3
  2. ২২/৭
  3. গ
    ২৫/৯
  4. ঘ
    প্রায় ৫

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ২২/৭।
গণিতের মৌলিক সূত্র অনুসারে, যেকোনো বৃত্তের পরিধি (Circumference) এবং ব্যাস (Diameter) এর অনুপাত সর্বদা একটি ধ্রুবক সংখ্যা। এই ধ্রুবক সংখ্যাটিকে π\pi (পাই) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ rr হয়, তবে পরিধি C=2πrC = 2\pi r
এবং ব্যাস d=2rd = 2r
সুতরাং, অনুপাত (Ratio) = পরিধিব্যাস=Cd=2πr2r=π\frac{\text{পরিধি}}{\text{ব্যাস}} = \frac{C}{d} = \frac{2\pi r}{2r} = \pi
আমরা জানি, π\pi এর মান প্রায় 3.14159... যা ভগ্নাংশরূপে ২২/৭ হিসেবে প্রকাশ করা হয়। অপশনগুলোর মধ্যে ২২/৭ হলো π\pi এর মান নির্দেশক, তাই এটিই সঠিক উত্তর।
অন্যান্য অপশন যেমন '3' বা 'প্রায় ৫' π\pi এর সঠিক মান নয়।
96

বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3

  2. ২২/৭

  3. গ
    ২৫/৯
  4. ঘ
    প্রায় ৫

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

বৃত্তের পরিধি ২πr এবং ব্যাস ২r 

∴ পরিধি : ব্যাস 

= ২πr :২r 

=π:১

=π=২২/৭

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তরটি হলো ২২/৭। এটি বৃত্তের একটি মৌলিক সংজ্ঞাভিত্তিক প্রশ্ন।
একটি বৃত্তের পরিধি (Circumference, CC) এবং ব্যাস (Diameter, DD) এর অনুপাতকে একটি ধ্রুবক সংখ্যা দিয়ে প্রকাশ করা হয়, যাকে π\pi (পাই) বলা হয়।
গণিতের সূত্র অনুযায়ী, যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ rr হয়, তবে পরিধি (CC) হবে 2πr2\pi r এবং ব্যাস (DD) হবে 2r2r।
অতএব, পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত = CD=2πr2r=π\frac{C}{D} = \frac{2\pi r}{2r} = \mathbf{\pi}।
π\pi এর দশমিক মান হলো 3.1415926...\mathbf{3.1415926...} এবং এর আনুমানিক ভগ্নাংশ মান হলো ২২/৭। যেহেতু অপশনে সরাসরি π\pi নেই, তাই ২২/৭ উত্তর হিসেবে সঠিক।
অন্যান্য অপশন (৩, ২৫/৯, প্রায় ৫) ভুল, কারণ এগুলো π\pi এর মানের কাছাকাছি হলেও সঠিক অনুপাত নির্দেশ করে না।
97

চারটি সমান বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি ক্ষেত্র যার একটি কোণও সমকোণ নয়, এরূপ চিত্রকে বলা হয়-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    বর্গক্ষেত্র

  2. খ
    চতুর্ভুজ

  3. রম্বস

  4. ঘ
    সামান্তরিক

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

এটি রম্বসের সংজ্ঞা।

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো রম্বস। এটি জ্যামিতির চতুর্ভুজ সম্পর্কিত সংজ্ঞাভিত্তিক একটি প্রশ্ন।
রম্বস (Rhombus)-এর সংজ্ঞা অনুযায়ী, এটি এমন একটি চতুর্ভুজ যার চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান। কিন্তু এই ক্ষেত্রে কোণগুলো সমকোণ (90°) নাও হতে পারে।
প্রশ্নে স্পষ্টভাবে বলা হয়েছে যে, ক্ষেত্রটির চারটি বাহু সমান, কিন্তু এর একটি কোণও সমকোণ নয়। এই শর্তটি সরাসরি রম্বসের সংজ্ঞার সাথে মিলে যায়।
বর্গক্ষেত্র (Square) কেন ভুল? বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহু সমান হলেও, এর প্রত্যেকটি কোণ আবশ্যিকভাবে সমকোণ (90°) হতে হয়। যা প্রশ্নের শর্তের বিপরীত।
সামান্তরিক (Parallelogram) কেন ভুল? সামান্তরিকে বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল হয়, কিন্তু চারটি বাহু সমান হওয়া আবশ্যিক নয়।
চতুর্ভুজ (Quadrilateral) কেন ভুল? এটি একটি সাধারণ নাম, যার শুধু চারটি বাহু থাকে। এই ক্ষেত্রে বাহুগুলো সমান হওয়া বা নির্দিষ্ট কোণের শর্ত পূরণ করা বাধ্যতামূলক নয়।
98

ত্রিভুজের একটি কোণ এর অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান হলে ত্রিভুজটি–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. সমকোণী

  2. খ
    স্হুলকোণী
  3. গ
    সমবাহু
  4. ঘ
    সূক্ষ্মকোণী

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০° ।একটি কোণ ৯০° হলে অপর কোণদ্বয়ের সমষ্টি ৯০°।

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি সর্বদা 180∘180^\circ।
ধরি, ত্রিভুজটির তিনটি কোণ হল A, B এবং C।
প্রশ্নমতে, একটি কোণ (ধরি A) অপর দুটি কোণের সমষ্টির সমান। অর্থাৎ, A=B+CA = B + C।
আমরা জানি, A+B+C=180∘A + B + C = 180^\circ।
এই সমীকরণে (B+C)(B + C)-এর পরিবর্তে AA বসিয়ে পাই:
A+A=180∘A + A = 180^\circ
2A=180∘2A = 180^\circ
A=180∘2A = \frac{180^\circ}{2}
A=90∘A = 90^\circ।
যেহেতু ত্রিভুজটির একটি কোণ 90∘90^\circ (বা এক সমকোণ), তাই ত্রিভুজটি অবশ্যই একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
অতএব, সঠিক উত্তর: সমকোণী।
99
একটি সিলিন্ডারের বৃত্তীয় তলের ব্যাসার্ধ ২ সেমি এবং উচ্চতা ৬ সেমি হলে, উহার তলগুলোর মোট ক্ষেত্রফল কত?
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১৬π\pi বর্গ সেমি
  2. ৩২π\pi বর্গ সেমি
  3. গ
    ৩৬π\pi বর্গ সেমি
  4. ঘ
    ৪৮π\pi বর্গ সেমি

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

দেওয়া আছে,
সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, r=2r = 2 সেমি
উচ্চতা, h=6h = 6 সেমি
আমরা জানি,
সিলিন্ডারের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল (Total Surface Area) = 2πr(h+r)2\pi r(h + r) বর্গ একক
মান বসিয়ে পাই:
= 2π×2(6+2)2\pi \times 2(6 + 2)
= 4π×84\pi \times 8
= ৩২π\pi বর্গ সেমি

ব্যাখ্যা

সিলিন্ডারের মোট তল বলতে বক্রতল (2πrh2\pi rh) এবং দুই প্রান্তের বৃত্তাকার তল (2πr22\pi r^2) বোঝায়। সূত্র: 2πr(h+r)2\pi r(h+r)।
100
কোনো একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ২৮° ও ৬২°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. সমকোণী
  2. খ
    সূক্ষ্মকোণী
  3. গ
    স্থূলকোণী
  4. ঘ
    সমদ্বিবাহু সমকোণী

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°।
দেওয়া আছে দুটি কোণ: ২৮° এবং ৬২°।
তৃতীয় কোণটি = ১৮০° - (২৮° + ৬২°) = ১৮০° - ৯০° = ৯০°।
যেহেতু ত্রিভুজটির একটি কোণ ৯০° (সমকোণ), তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

ব্যাখ্যা

একটি কোণ ৯০ ডিগ্রি হলেই ত্রিভুজটি সমকোণী হয়। ২৮+৬২=৯০, তাই বাকি কোণটিও ৯০।
101
৪ সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রে পরিলিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 8π8\pi বর্গসেমি
  2. খ
    6π6\pi বর্গসেমি
  3. গ
    4π4\pi বর্গসেমি
  4. ঘ
    22π2\sqrt{2}\pi বর্গসেমি

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

দেওয়া আছে, বর্গক্ষেত্রের বাহু a=4a = 4 সেমি।
বর্গক্ষেত্রের পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাস (Diameter) = বর্গক্ষেত্রের কর্ণ (Diagonal)।
∴\therefore ব্যাস, d=a2=42d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} সেমি।
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r=d2=422=22r = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} সেমি।
∴\therefore বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2=π(22)2=π(4×2)=\pi r^2 = \pi (2\sqrt{2})^2 = \pi (4 \times 2) = 8π8\pi বর্গসেমি।

ব্যাখ্যা

পরিলিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রে কর্ণের দৈর্ঘ্যই ব্যাস হয়। আর অন্তর্লিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রে বাহুর দৈর্ঘ্যই ব্যাস হয়।
102
একটি বৃত্তস্থ বর্গের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 সে.মি. হলে, ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    π\pi
  2. 2π2\pi
  3. গ
    2π\sqrt{2}\pi
  4. ঘ
    22π2\sqrt{2}\pi

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

বর্গের বাহু a=2a = 2 সে.মি.

বৃত্তস্থ বর্গের কর্ণই হলো বৃত্তের ব্যাস।

বর্গের কর্ণ = 2a=2×2=22\sqrt{2}a = \sqrt{2} \times 2 = 2\sqrt{2}

সুতরাং, বৃত্তের ব্যাস 2r=222r = 2\sqrt{2}

বা, ব্যাসার্ধ r=2r = \sqrt{2}

∴\therefore বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2=π(2)2=2π\pi r^2 = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

বৃত্তের ভেতরে বর্গ আঁকলে বর্গের কর্ণ বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়, তাই কর্ণ = ব্যাস।
103
(0, 0) এবং (3, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. y=xy = x
  2. খ
    y=3xy = 3x
  3. গ
    y=x+3y = x + 3
  4. ঘ
    y=3x+3y = 3x + 3

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

দুইটি বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ: y−y1x−x1=y1−y2x1−x2\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}

এখানে (x1,y1)=(0,0)(x_1, y_1) = (0,0) এবং (x2,y2)=(3,3)(x_2, y_2) = (3,3)

⇒y−0x−0=0−30−3\Rightarrow \frac{y - 0}{x - 0} = \frac{0 - 3}{0 - 3}

⇒yx=−3−3=1\Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{-3}{-3} = 1

∴y=x\therefore y = x

ব্যাখ্যা

সরলরেখাটি মূলবিন্দুগামী (0,0) এবং ঢাল 1, তাই সমীকরণ y=xy = x।
104
A(1,−1),B(2,2)A(1, -1), B(2, 2) এবং C(4,t)C(4, t) বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে tt এর মান-
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 8
  2. খ
    6
  3. গ
    4
  4. ঘ
    7

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে, ABAB রেখার ঢাল ও BCBC রেখার ঢাল সমান হবে।

m1(AB এর ঢাল)=y2−y1x2−x1=2−(−1)2−1=31=3m_1 (AB \text{ এর ঢাল}) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - (-1)}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3

m2(BC এর ঢাল)=t−24−2=t−22m_2 (BC \text{ এর ঢাল}) = \frac{t - 2}{4 - 2} = \frac{t - 2}{2}

শর্তমতে, m1=m2m_1 = m_2

⇒3=t−22\Rightarrow 3 = \frac{t - 2}{2}
⇒t−2=6\Rightarrow t - 2 = 6
⇒t=6+2=\Rightarrow t = 6 + 2 = 8

ব্যাখ্যা

একই সরলরেখায় অবস্থিত সকল বিন্দুর সংযোগকারী রেখাংশের ঢাল সর্বদা সমান থাকে।
105
x−2y−10=0x - 2y - 10 = 0 এবং 2x+y−3=02x + y - 3 = 0 রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল-
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    -2
  2. খ
    2
  3. গ
    -3
  4. -1

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

যেকোনো রেখা ax+by+c=0ax + by + c = 0 এর ঢাল m=−abm = -\frac{a}{b}।

প্রথম রেখা: x−2y−10=0x - 2y - 10 = 0 এর ঢাল, m1=−1−2=12m_1 = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}

দ্বিতীয় রেখা: 2x+y−3=02x + y - 3 = 0 এর ঢাল, m2=−21=−2m_2 = -\frac{2}{1} = -2

ঢালদ্বয়ের গুণফল: m1×m2=12×(−2)=m_1 \times m_2 = \frac{1}{2} \times (-2) = -1

ব্যাখ্যা

ঢাল বের করার সূত্র m=−x-এর সহগy-এর সহগm = -\frac{x\text{-এর সহগ}}{y\text{-এর সহগ}} ব্যবহার করে দুটি ঢাল বের করে গুণ করা হয়েছে।
106
একটি চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ৩ মিটার, ৪ মিটার ও ৫ মিটার হলে, এতে কত লিটার বিশুদ্ধ পানি ধরবে?
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৬০০০০০
  2. ৬০০০০
  3. গ
    ৬০০০
  4. ঘ
    ৬০০

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

চৌবাচ্চার আয়তন = দৈর্ঘ্য ×\times প্রস্থ ×\times উচ্চতা
=৩×৪×৫=৬০= ৩ \times ৪ \times ৫ = ৬০ ঘনমিটার।

আমরা জানি, ১১ ঘনমিটার = ১০০০১০০০ লিটার।

∴\therefore মোট পানির পরিমাণ = ৬০×১০০০=৬০ \times ১০০০ = ৬০,০০০ লিটার।

ব্যাখ্যা

ঘনমিটার থেকে লিটারে নিতে হলে ১০০০ দিয়ে গুণ করতে হয়।
107
একটি ঘনকের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল 48 বর্গমিটার। ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    222\sqrt{2} মিটার
  2. খ
    232\sqrt{3} মিটার
  3. গ
    22 মিটার
  4. 262\sqrt{6} মিটার

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ধরি, ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = aa মিটার
আমরা জানি, ঘনকের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল = 6a26a^2
প্রশ্নমতে,
6a2=486a^2 = 48
⇒a2=8\Rightarrow a^2 = 8
⇒a=8=22\Rightarrow a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} মিটার
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = 3a\sqrt{3}a
=3×22= \sqrt{3} \times 2\sqrt{2}
=26= 2\sqrt{6} মিটার।

ব্যাখ্যা

ঘনকের ৬টি তল থাকে, তাই ক্ষেত্রফল 6a26a^2। কর্ণ হলো বিপরীত কৌণিক বিন্দুর সংযোজক রেখা, যার সূত্র 3a\sqrt{3}a।
108
PQRPQR ত্রিভুজের ∠Q=90∘\angle Q = 90^{\circ} এবং ∠P=2∠R\angle P = 2\angle R হলে নিচের কোনটি সঠিক?
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    PR=2QRPR = 2QR
  2. খ
    PQ=2PRPQ = 2PR
  3. PR=2PQPR = 2PQ
  4. ঘ
    QR=2PQQR = 2PQ

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

দেওয়া আছে, ∠Q=90∘\angle Q = 90^\circ। অর্থাৎ এটি সমকোণী ত্রিভুজ।
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180∘180^\circ।
∴∠P+∠R=180∘−90∘=90∘\therefore \angle P + \angle R = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ
আবার, ∠P=2∠R\angle P = 2\angle R
∴2∠R+∠R=90∘\therefore 2\angle R + \angle R = 90^\circ
⇒3∠R=90∘⇒∠R=30∘\Rightarrow 3\angle R = 90^\circ \Rightarrow \angle R = 30^\circ
ত্রিকোণমিতির সূত্রানুসারে,
sin⁡R=লম্বঅতিভুজ=PQPR\sin R = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{PQ}{PR}
⇒sin⁡30∘=PQPR\Rightarrow \sin 30^\circ = \frac{PQ}{PR}
⇒12=PQPR\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{PQ}{PR}
⇒PR=2PQ\Rightarrow PR = 2PQ

ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজে কোনো সূক্ষ্মকোণ 30∘30^\circ হলে, তার বিপরীত বাহু অতিভুজের অর্ধেক হয়। এখানে ∠R=30∘\angle R = 30^\circ, তাই বিপরীত বাহু PQPQ অতিভুজ PRPR-এর অর্ধেক।
109
একটা লোহার গোলক গলিয়ে কয়টি সমান আয়তনের গোলক তৈরি সম্ভব যাদের প্রত্যেকের ব্যাসার্ধ বড় গোলকটির অর্ধেক।
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4
  2. 8
  3. গ
    16
  4. ঘ
    2

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ধরি, বড় গোলকের ব্যাসার্ধ = RR
ছোট গোলকের ব্যাসার্ধ, r=R2r = \frac{R}{2}
বড় গোলকের আয়তন = 43πR3\frac{4}{3}\pi R^3
ছোট গোলকের আয়তন = 43πr3=43π(R2)3=43πR38\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (\frac{R}{2})^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{R^3}{8}
herefore herefore গোলকের সংখ্যা = বড় গোলকের আয়তনছোট গোলকের আয়তন\frac{\text{বড় গোলকের আয়তন}}{\text{ছোট গোলকের আয়তন}}
=43πR318×43πR3== \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{1}{8} \times \frac{4}{3}\pi R^3} = 8 টি।

ব্যাখ্যা

আয়তন ব্যাসার্ধের ঘনের সমানুপাতিক। ব্যাসার্ধ অর্ধেক হলে আয়তন (12)3=18(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} গুণ হবে। তাই ৮টি গোলক হবে।
110
একটি ত্রিভুজের প্রথম কোণ দ্বিতীয় কোণের অর্ধেক। তৃতীয় কোণ প্রথম দুই কোণের বিয়োগফলের তিনগুণ। দ্বিতীয় কোণটি কত ডিগ্রি?
বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    30
  2. 60
  3. গ
    90
  4. ঘ
    45
  5. ঙ
    22.5

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ধরি, দ্বিতীয় কোণ = x∘x^\circ
প্রথম কোণ = x2∘\frac{x}{2}^\circ
প্রশ্নমতে, তৃতীয় কোণ = 3×(দ্বিতীয় কোণ−প্রথম কোণ)3 \times (\text{দ্বিতীয় কোণ} - \text{প্রথম কোণ}) [বড় থেকে ছোট বিয়োগ]
=3(x−x2)=3(x2)=3x2∘= 3(x - \frac{x}{2}) = 3(\frac{x}{2}) = \frac{3x}{2}^\circ
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°।
hereforex2+x+3x2=180 herefore \frac{x}{2} + x + \frac{3x}{2} = 180
বা, x+2x+3x2=180\frac{x + 2x + 3x}{2} = 180
বা, 6x=360⇒x=606x = 360 \Rightarrow x = 60
সুতরাং, দ্বিতীয় কোণটি 60°।

ব্যাখ্যা

সমীকরণ গঠন করে সমাধান করলে দেখা যায় ২য় কোণটি ৬০ ডিগ্রি।

এই অধ্যায়ের প্রশ্ন টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করুন

এই পেজে বাছাইকৃত ১১০টি প্রশ্ন সমাধানসহ দেওয়া হয়েছে। প্র্যাকটিস মোডে এক-একটি করে উত্তর দিয়ে সঙ্গে সঙ্গে ফলাফল, স্কোর ও অগ্রগতি ট্র্যাক করুন।

প্র্যাকটিস মোডে যানসব অধ্যায়

গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning)-এর অন্যান্য অধ্যায়

পাটিগণিত (Arithmetic)২৪৬ প্রশ্নবীজগণিত (Algebra)২০০ প্রশ্নত্রিকোণমিতি ও সম্ভাব্যতা৩৩ প্রশ্নধারা (সমান্তর ও গুণোত্তর - Series)১ প্রশ্নমানসিক দক্ষতা (Mental Ability)১ প্রশ্ন

কেন BCS Preliminary-এর জন্য “জ্যামিতি (Geometry)” অধ্যায়টি গুরুত্বপূর্ণ?

BCS Preliminary নিয়োগ পরীক্ষার গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning) অংশে “জ্যামিতি (Geometry)” থেকে প্রায় প্রতিবারই প্রশ্ন আসে। বিগত সালের প্রশ্নের ধরন বুঝে নিয়মিত অনুশীলন করলে এই অধ্যায়ের নম্বর নিশ্চিত করা সহজ হয় — এই পেজের বাছাইকৃত প্রশ্নগুলো ঠিক সেই প্রস্তুতির জন্যই সাজানো।

সচরাচর জিজ্ঞাসা

"জ্যামিতি (Geometry)" অধ্যায় থেকে কেমন প্রশ্ন আসে?

BCS Preliminary নিয়োগ পরীক্ষায় গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning) বিষয়ের "জ্যামিতি (Geometry)" অধ্যায় থেকে নিয়মিত MCQ আসে। এই পেজে বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক জায়গায় দেওয়া হয়েছে — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ।

উত্তর ও সমাধান কি বিনামূল্যে?

হ্যাঁ। প্রশ্ন, অপশন, সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যা — সবই লগইন ছাড়াই বিনামূল্যে দেখা যায়। টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করতে চাইলে একটি ফ্রি অ্যাকাউন্ট দিয়ে প্র্যাকটিস মোডে যান।