সমাধান
U

User

User

ওয়ালেট ব্যালেন্স

স্টুডেন্ট ড্যাশবোর্ড আমার প্রোফাইল আমার তৈরি প্রশ্ন রেফার করো, আয় করো
সমাধান
💼
গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning)

পাটিগণিত (Arithmetic)

BCS Preliminary · গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning) — বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক পেজে।

নিচে BCS Preliminary নিয়োগ পরীক্ষার গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning) বিষয়ের "পাটিগণিত (Arithmetic)" অধ্যায়ের বাছাইকৃত ১৫০টি বহুনির্বাচনি প্রশ্ন — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ। সবই বিনামূল্যে।

1

যদি x∶y=2∶3 এবং y∶z=5∶7 হয়, তবে x∶y∶z=?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    06:09:14
  2. 10:15:21
  3. গ
    02:05:07
  4. ঘ
    03:05:07

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের সমস্যা সমাধানের মূল উদ্দেশ্য হলো, দুটি ভিন্ন অনুপাতে যে সাধারণ পদটি (এখানে y) আছে, সেটির মানকে সমান করে নেওয়া।
দেওয়া আছে:
১. x∶y=2∶3x∶y = 2∶3
২. y∶z=5∶7y∶z = 5∶7
এখানে y এর মান প্রথম অনুপাতে 3 এবং দ্বিতীয় অনুপাতে 5। এই দুটি মানকে সমান করার জন্য 3 এবং 5 এর ল.সা.গু (LCM) বের করতে হবে, যা হলো 15।
প্রথম অনুপাতকে (2:3) 5 দিয়ে গুণ করে পাই:
x:y=(2×5)∶(3×5)=10∶15x:y = (2 \times 5) ∶ (3 \times 5) = 10 ∶ 15
দ্বিতীয় অনুপাতকে (5:7) 3 দিয়ে গুণ করে পাই:
y:z=(5×3)∶(7×3)=15∶21y:z = (5 \times 3) ∶ (7 \times 3) = 15 ∶ 21
এখন, y এর মান উভয় ক্ষেত্রেই 15। তাই তিনটি রাশির সম্মিলিত অনুপাত হবে:
x∶y∶z=10∶15∶21x∶y∶z = 10∶15∶21
সুতরাং সঠিক উত্তর হলো 10:15:21।
2

কাগজের প্রতি পাতা বিক্রি হয় ২১ পয়সায়। চার পাতা কত পয়সায় বিক্রি হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৪ পয়সা
  2. খ
    ৯৪ পয়সা
  3. গ
    ৮ পয়সা
  4. ৮৪ পয়সা

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি ঐকিক নিয়মের একটি সরাসরি গুণ করার সমস্যা। যেহেতু এখানে প্রতি পাতার (১ পাতার) মূল্য দেওয়া আছে, তাই একাধিক পাতার মূল্য নির্ণয়ের জন্য সরাসরি গুণ করতে হবে।
প্রশ্নমতে,
১ পাতা কাগজের বিক্রয়মূল্য = ২১ পয়সা।
সুতরাং, ৪ পাতা কাগজের বিক্রয়মূল্য হবে:
২১×৪২১ \times ৪ = ৮৪ পয়সা।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো ৮৪ পয়সা।
3

কোন সংখ্যাটি নিম্নের শ্রেণিতে সবচাইতে স্বল্প পরিমাণ উপস্থাপন করে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    7
  2. খ
    8
  3. গ
    0.33
  4. 0.31

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

মানের উর্ধক্রম অনুসারে সাজিয়ে পাই, .৩১ <.৩৩ < ৭ < ৮।

ব্যাখ্যা

এখানে যে সংখ্যাগুলো দেওয়া আছে, সেগুলোকে মূলত দুটি ভাগে ভাগ করা যায়: পূর্ণ সংখ্যা (7, 8) এবং দশমিক সংখ্যা (0.33, 0.31)।
যেহেতু পূর্ণ সংখ্যাগুলো ১-এর চেয়ে বড় (7 > 1 এবং 8 > 1), এবং দশমিক সংখ্যাগুলো ১-এর চেয়ে ছোট (0.33 < 1 এবং 0.31 < 1), তাই সবচাইতে স্বল্প পরিমাণ উপস্থাপন করবে অবশ্যই দশমিক সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি।
এখন আমরা শুধু দশমিক সংখ্যা দুটির মধ্যে তুলনা করব: 0.33 এবং 0.31।
দশমিকের পরের প্রথম সংখ্যাটি (৩) উভয় ক্ষেত্রেই সমান। দশমিকের পরের দ্বিতীয় সংখ্যাটি (শতাংশ স্থান) তুলনা করলে দেখা যায়: 0.33-এ আছে ৩ এবং 0.31-এ আছে ১।
যেহেতু ১ < ৩, সুতরাং 0.31 সংখ্যাটি 0.33 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।
অতএব, প্রদত্ত শ্রেণিতে সবচাইতে স্বল্প পরিমাণ উপস্থাপন করে 0.31 সংখ্যাটি।
4

যখন প্রতি ফুট দড়ি ১০ টাকায় বিক্রি হয়, তখন ৬০ টাকায় তুমি কত ফুট দড়ি ক্রয় করতে পারবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৮ ফুট
  2. খ
    ৭ ফুট
  3. ৬ ফুট
  4. ঘ
    ১০ ফুট

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি ঐকিক নিয়মের একটি সহজ অংক যেখানে আমাদের মোট টাকার সাপেক্ষে প্রতি এককের দাম ব্যবহার করে মোট ক্রয়কৃত পরিমাণ বের করতে হবে।
এখানে, ১ ফুট দড়ির দাম = ১০ টাকা।
মোট টাকা আছে = ৬০ টাকা।
কত ফুট দড়ি ক্রয় করা যাবে তা বের করার জন্য মোট টাকাকে প্রতি ফুটের দাম দিয়ে ভাগ করতে হবে।
ক্রয়কৃত পরিমাণ = মোট টাকাপ্রতি ফুটের দাম\frac{\text{মোট টাকা}}{\text{প্রতি ফুটের দাম}}
ক্রয়কৃত পরিমাণ = ৬০১০\frac{৬০}{১০} = ৬ ফুট।
5

একটি ট্রেন ১/৫ সেকেন্ডে চলে ২০ ফুট। একই দ্রুততায় ট্রেনটি ৩ সেকেন্ডে কত ফুট চলবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১০০ ফুট
  2. খ
    ১১০ ফুট
  3. ৩০০ ফুট
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি ঐকিক নিয়মের মাধ্যমে দ্রুত সমাধান করা যায়। এখানে সময় ও দূরত্বে সম্পর্কটি সরল সমানুপাতিক (দ্রুততা যেহেতু একই)।
ধাপ ১: ১ সেকেন্ডে কত ফুট যায় তা বের করা (দ্রুততা):
ট্রেনটি 15\frac{1}{5} সেকেন্ডে যায় = ২০ ফুট।
সুতরাং, ট্রেনটি ১ সেকেন্ডে যায় = ২০÷15২০ \div \frac{1}{5} ফুট।
২০ * ৫ = ১০০ ফুট।
ধাপ ২: ৩ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব বের করা:
যেহেতু ট্রেনটি প্রতি সেকেন্ডে ১০০ ফুট চলে, তাই ৩ সেকেন্ডে চলবে:
১০০ *৩ = ৩০০ ফুট।
সঠিক উত্তর হলো ৩০০ ফুট।
উল্লেখ্য, যারা ভুলবশত ১০০ ফুট নির্বাচন করবেন, তারা কেবল ১ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব বের করেছেন, কিন্তু ৩ সেকেন্ডের জন্য গুণ করতে ভুলে গেছেন।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
6

ক্রয়মূল্য বিক্রয়মূল্যের দ্বিগুণ হলে শতকরা লাভ বা ক্ষতির পরিমাণ কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    লাভ ২৫%
  2. খ
    ক্ষতি ২৫%
  3. গ
    লাভ ১০%
  4. ক্ষতি ৫০%

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের লাভ-ক্ষতির অংকে অনুপাত ব্যবহার করে সহজেই সমাধান করা যায়।
ধরি, বিক্রয়মূল্য (Selling Price, SP) হলো xx টাকা।
প্রশ্নমতে, ক্রয়মূল্য (Cost Price, CP) = বিক্রয়মূল্যের দ্বিগুণ।
সুতরাং, ক্রয়মূল্য (CP) = 2x2x টাকা।
যেহেতু ক্রয়মূল্য (2x2x) বিক্রয়মূল্য (xx) অপেক্ষা বেশি, তাই এখানে ক্ষতি (Loss) হবে।
ক্ষতির পরিমাণ = ক্রয়মূল্য - বিক্রয়মূল্য = 2x−x=2x - x = x টাকা।
শতকরা ক্ষতির পরিমাণ নির্ণয়ের সূত্র হলো: ক্ষতিক্রয়মূল্য×100%\frac{\text{ক্ষতি}}{\text{ক্রয়মূল্য}} \times 100\%
শতকরা ক্ষতি = x2x×100%=12×100%\frac{x}{2x} \times 100\% = \frac{1}{2} \times 100\% = ৫০%।
সঠিক উত্তর হলো: ক্ষতি ৫০%।
7

6a2bc এবং 4a3b2c2 এর সংখ্যা সহগের গ.সা.গু. নিচের কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    a2bc

  2. খ

    2a2bc

  3. গ

    2a2b2c2

  4. কোনটিই নয়

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রশ্নটিতে সম্পূর্ণ রাশি দুটির গ.সা.গু. (HCF) নির্ণয় করতে বলা হয়নি, বরং শুধুমাত্র তাদের সংখ্যা সহগগুলোর গ.সা.গু. নির্ণয় করতে বলা হয়েছে।
প্রদত্ত রাশি দুটি হলো: 6a2bc6a^2bc এবং 4a3b2c24a^3b^2c^2।
প্রথম রাশির সংখ্যা সহগ হলো ৬।
দ্বিতীয় রাশির সংখ্যা সহগ হলো ৪।
আমাদেরকে ৬ এবং ৪ এর গ.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে।
৬ এর উৎপাদকগুলো: ১, ২, ৩, ৬
৪ এর উৎপাদকগুলো: ১, ২, ৪
সুতরাং, ৬ এবং ৪ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু.) হলো ২।
যেহেতু অপশনগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র ২ সংখ্যাটি সরাসরি নেই এবং অন্য অপশনগুলোতে চলক (Variable) যুক্ত করা আছে (যা প্রশ্নের শর্ত অনুযায়ী গ্রহণযোগ্য নয়), তাই সঠিক উত্তর হলো কোনটিই নয়।
8

একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ৫% বৃদ্ধি করলে তার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 5%
  2. খ
    10%
  3. গ
    20%
  4. ঘ
    25%

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ৫%।
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ।
এই ধরনের সমস্যা সমাধানের মূলনীতি হলো, যদি আয়তক্ষেত্রের কেবল একটি মাত্রা (দৈর্ঘ্য অথবা প্রস্থ) বৃদ্ধি পায় এবং অন্য মাত্রাটি অপরিবর্তিত (ধ্রুবক) থাকে, তবে ক্ষেত্রফলের শতকরা বৃদ্ধি ঐ একক মাত্রার বৃদ্ধির শতাংশের সমান হবে।
ধরি, পূর্বের দৈর্ঘ্য ছিল LL এবং প্রস্থ ছিল BB।
পূর্বের ক্ষেত্রফল A1=L×BA_1 = L \times B।
নতুন দৈর্ঘ্য L′=LL' = L এর ৫% বৃদ্ধি =L+(L×5100)=1.05L= L + (L \times \frac{5}{100}) = 1.05 L।
প্রস্থ BB অপরিবর্তিত।
নতুন ক্ষেত্রফল A2=L′×B=1.05L×B=1.05A1A_2 = L' \times B = 1.05 L \times B = 1.05 A_1।
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = A2−A1=1.05A1−A1=0.05A1A_2 - A_1 = 1.05 A_1 - A_1 = 0.05 A_1।
শতকরা বৃদ্ধি =(ক্ষেত্রফল বৃদ্ধিআসল ক্ষেত্রফল)×100%=(0.05A1A1)×100%= (\frac{\text{ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি}}{\text{আসল ক্ষেত্রফল}}) \times 100\% = (\frac{0.05 A_1}{A_1}) \times 100\% = ৫%।
9

চিনির মূল্য ১০% কমে যাওয়ায় চিনির ব্যবহার শতকরা কত ভাগ বাড়ালে চিনি বাবদ খরচ একই থাকবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

     ৮%

  2. খ

     ৮১/২%

  3. গ

     ১০%

  4.  ১১১/৯%

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের অঙ্কের মূলনীতি হলো: যদি কোনো দ্রব্যের মোট খরচ একই রাখতে হয়, তবে দাম কমলে ব্যবহারের পরিমাণ বাড়াতে হয় এবং দাম বাড়লে ব্যবহারের পরিমাণ কমাতে হয়। এই সম্পর্কটি ব্যস্তানুপাতিক (Inverse Proportion)।
ধরি, চিনির আসল দাম ১০০ টাকা। ১০% কমে যাওয়ায় নতুন দাম হয়েছে (১০০ - ১০) = ৯০ টাকা।
এখন, নতুন দাম ৯০ টাকা হলেও খরচ ১০০ টাকাই রাখতে হবে। অর্থাৎ, ৯০ টাকায় যে পরিমাণ চিনি পাওয়া যায়, তার চেয়ে ১০ টাকার চিনি বেশি ব্যবহার করতে হবে।
৯০ টাকায় ব্যবহার বাড়াতে হবে = ১০ টাকা
১০০ টাকায় ব্যবহার বাড়াতে হবে = (১০৯০)×১০০(\frac{১০}{৯০}) \times ১০০ শতাংশ।
হিসাবটি হলো: (১০৯০)×১০০=১৯×১০০=১০০৯%(\frac{১০}{৯০}) \times ১০০ = \frac{১}{৯} \times ১০০ = \frac{১০০}{৯}\% ।
মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তর করলে পাই: ১১ ১৯%\frac{১}{৯}\%।
সুতরাং, চিনি বাবদ খরচ একই রাখতে হলে চিনির ব্যবহার শতকরা ১১১৯%১১ \frac{১}{৯}\% বাড়াতে হবে, যা অপশন ৪-এ আছে।
10

5/12, 6/13, 11/24 এবং 3/8 এর মধ্যে বড় ভগ্নাংশটি-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    5/12

  2. 6/13

  3. গ

    11/24

  4. ঘ

    3/8

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ভগ্নাংশগুলো তুলনা করার সবচেয়ে নির্ভরযোগ্য উপায় হলো এদেরকে জোড়ায় জোড়ায় আড়াআড়ি গুণ (Cross Multiplication) করে দেখা। যে ভগ্নাংশের লব দ্বারা গুণফলটি বড় হয়, সেই ভগ্নাংশটিই বড়।
প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো হলো: 5/12,6/13,11/24,3/85/12, 6/13, 11/24, 3/8
ধাপ ১: 5/125/12 ও 6/136/13 এর তুলনা:
5×13=655 \times 13 = 65
12×6=7212 \times 6 = 72
যেহেতু 72>6572 > 65, তাই 6/136/13 বড়। (এখন 6/136/13 কে ধরে রাখতে হবে)
ধাপ ২: 6/136/13 ও 11/2411/24 এর তুলনা:
6×24=1446 \times 24 = 144
13×11=14313 \times 11 = 143
যেহেতু 144>143144 > 143, তাই 6/136/13 বড়। (এখনও 6/136/13 বড়)
ধাপ ৩: 6/136/13 ও 3/83/8 এর তুলনা:
6×8=486 \times 8 = 48
13×3=3913 \times 3 = 39
যেহেতু 48>3948 > 39, তাই 6/136/13 বড়।
সুতরাং, প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে 6/136/13 হলো সবচেয়ে বড় ভগ্নাংশ।
ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য

ক্লাস ৬-১২ একাডেমিক প্রস্তুতিও নিন

ক্লাস ৬-১২, এসএসসি ও এইচএসসির সব বিষয়ের বোর্ড প্রশ্ন, অধ্যায়ভিত্তিক প্র্যাকটিস, লাইভ পরীক্ষা ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর একাডেমিক সেকশনে।

একাডেমিক প্রস্তুতি দেখুন
11

বার্ষিক ১০% মুনাফায় ৮০০ টাকার ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৯৪০ টাকা
  2. খ
    ৯৬০ টাকা
  3. ৯৬৮ টাকা
  4. ঘ
    ৯৮০ টাকা

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি চক্রবৃদ্ধি মূলধন (Compound Amount) নির্ণয়ের সমস্যা। চক্রবৃদ্ধি মূলধন নির্ণয়ের সূত্র হলো:
C=P(1+r)nC = P(1 + r)^n
এখানে,
P (আসল) = ৮০০ টাকা
r (মুনাফার হার) = ১০% বা ১০১০০\frac{১০}{১০০} = ০.১
n (সময়) = ২ বছর
মান বসিয়ে পাই:
C=৮০০(১+০.১)২C = ৮০০ (১ + ০.১)^২
C=৮০০(১.১)২C = ৮০০ (১.১)^২
C=৮০০×১.২১C = ৮০০ \times ১.২১
C = ৯৬৮ টাকা
অতএব, ২ বছর শেষে চক্রবৃদ্ধি মূলধন হবে ৯৬৮ টাকা।
💡 দ্রষ্টব্য: যদি সরল মুনাফা বের করতে বলা হতো, তবে তা হতো ৮০০×০.১×২=১৬০৮০০ \times ০.১ \times ২ = ১৬০ টাকা। আসলসহ সরল মূলধন হতো ৮০০+১৬০=৯৬০৮০০ + ১৬০ = ৯৬০ টাকা। যেহেতু চক্রবৃদ্ধি মূলধন সরল মূলধনের চেয়ে বেশি হয়, তাই ৯৬০ টাকা ভুল উত্তর।
12

৫০ মিনিট আগে সময় ছিল ৪ টা বেজে ৪৫ মিনিট, ৬টা বাজতে আর কতক্ষণ সময় বাকি আছে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১৫ মিনিট
  2. খ
    ২০ মিনিট
  3. ২৫ মিনিট
  4. ঘ

    ৩০ মিনিট

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের সময় সংক্রান্ত অঙ্কগুলি প্রিলিমিনারি পরীক্ষায় খুবই গুরুত্বপূর্ণ এবং দ্রুত সমাধান করার জন্য ধাপে ধাপে এগোতে হয়।
প্রথম ধাপ: বর্তমান সময় নির্ণয়।
৫০ মিনিট আগে সময় ছিল ৪টা ৪৫ মিনিট। আমরা প্রথমে বর্তমান সময় বের করব।
৪টা ৪৫ মিনিট থেকে ৫টা বাজতে সময় লাগে = ৬০−৪৫৬০ - ৪৫ মিনিট = ১৫ মিনিট।
৫০ মিনিটের মধ্যে ১৫ মিনিট অতিবাহিত হলে বাকি থাকে = ৫০−১৫৫০ - ১৫ মিনিট = ৩৫ মিনিট।
সুতরাং, বর্তমান সময় হলো ৫টা বেজে ৩৫ মিনিট (৪টা ৪৫ + ৫০ মিনিট = ৫টা ৩৫ মিনিট)।
দ্বিতীয় ধাপ: ৬টা বাজতে বাকি সময় নির্ণয়।
বর্তমান সময় ৫টা ৩৫ মিনিট। ৬টা বাজতে বাকি সময় = ৬টা ০০ মিনিট - ৫টা ৩৫ মিনিট
অর্থাৎ, ৬০ - ৩৫ = ২৫ মিনিট।
সুতরাং, ৬টা বাজতে আর ২৫ মিনিট সময় বাকি আছে।
অন্য অপশনগুলো ভুল, কারণ ৫টা ৩৫ মিনিটের সাথে ১৫, ২০, বা ৩০ মিনিট যোগ করলে ৬টা হয় না। শুধুমাত্র ২৫ মিনিট যোগ করলেই সঠিক ৬টা বাজে।
13

.১ × ৩.৩৩ × ৭.১ =?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    7.15
  2. খ
    5.18
  3. 2.36
  4. ঘ
    1.98

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

০.১×৩.৩৩×৭.১=২.৩৬।

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি দশমিক সংখ্যার গুণের সাথে সম্পর্কিত। প্রিলিমিনারি পরীক্ষায় দ্রুত উত্তর বের করার জন্য সঠিক পদ্ধতি অনুসরণ করা জরুরি।
প্রদত্ত রাশি: ০.১×৩.৩৩×৭.১\text{০.১} \times \text{৩.৩৩} \times \text{৭.১}
১ম ধাপ: প্রথমে 3.333.33 এবং 0.10.1 গুণ করুন। 3.33×0.1=০.৩৩৩3.33 \times 0.1 = \text{০.৩৩৩}। (যেহেতু 0.10.1 দ্বারা গুণ করলে দশমিক বিন্দু এক ঘর বাঁদিকে সরে যায়।)
২য় ধাপ: এবার 0.3330.333 এবং 7.17.1 গুণ করুন।
আমরা প্রথমে দশমিক বাদ দিয়ে সংখ্যাগুলো গুণ করব: 333×71333 \times 71
333×71=২৩৬৪৩333 \times 71 = \text{২৩৬৪৩}
৩য় ধাপ: এবার দশমিক স্থান নির্ধারণ করুন। মূল রাশিতে মোট দশমিক স্থান ছিল: 0.10.1 (১ স্থান) + 3.333.33 (২ স্থান) + 7.17.1 (১ স্থান) = মোট ৪ স্থান।
সুতরাং, প্রাপ্ত গুণফল ২৩৬৪৩-এর ডানদিক থেকে ৪ ঘর আগে দশমিক বসালে হয়: ২.৩৬৪৩।
অপশনগুলোর মধ্যে ২.৩৬ সবচেয়ে কাছাকাছি, তাই এটিই সঠিক উত্তর। (বিকল্পগুলো রাউন্ডেড মান হওয়ায় ২.৩৬ নির্বাচন করতে হবে।)
14

১০০ থেকে ২০০ এর মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা কয়টি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    31
  2. খ
    32
  3. 33
  4. ঘ
    34

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রশ্নে বলা হয়েছে ১০০ থেকে ২০০ এর মধ্যে কতগুলি সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ, আমাদের সংখ্যাগুলো খুঁজতে হবে ১০১ থেকে শুরু করে ১৯৯ পর্যন্ত।
ধাপ ১: প্রথম সংখ্যা নির্ণয় (১০১ এর পরে):
১০০-কে ৩ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল আসে ৩৩ (অবশিষ্ট ১)। এর পরের সংখ্যাটি হবে ৩×(৩৩+১)=১০২৩ \times (৩৩+১) = ১০২। এটিই প্রথম সংখ্যা।
ধাপ ২: শেষ সংখ্যা নির্ণয় (১৯৯ এর আগে):
২০০-কে ৩ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল আসে ৬৬ (অবশিষ্ট ২)। সুতরাং, শেষ বিভাজ্য সংখ্যাটি হবে ৩×৬৬=১৯৮৩ \times ৬৬ = ১৯৮।
ধাপ ৩: মোট সংখ্যা গণনা (সমান্তর ধারা):
এটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression) যার প্রথম পদ a=১০২a=১০২, শেষ পদ l=১৯৮l=১৯৮, এবং সাধারণ অন্তর d=৩d=৩।
সংখ্যার মোট সংখ্যা, n=l−ad+1n = \frac{l - a}{d} + 1
n=১৯৮−১০২৩+১n = \frac{১৯৮ - ১০২}{৩} + ১
n=৯৬৩+১n = \frac{৯৬}{৩} + ১
n=৩২+১=<strong>৩৩</strong>n = ৩২ + ১ = <strong>৩৩</strong>
সুতরাং, ১০০ থেকে ২০০ এর মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা হলো ৩৩টি।
15

৩০ কি.মি. পথ পাড়ি দিতে জয়নুলের রনির থেকে ২ ঘণ্টা সময় বেশি লেগেছে। জয়নুল যদি তার গতি দ্বিগুণ করত তাহলে রনির থেকে ১ ঘণ্টা সময় কম লাগত। জয়নুলের গতি কত ছিল?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৪ কি.মি./ঘণ্টা
  2. ৫ কি.মি./ঘণ্টা
  3. গ
    ৬ কি.মি./ঘণ্টা
  4. ঘ
    ৭.৫ কি.মি./ঘণ্টা

সঠিক উত্তর: খ

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ৫ কি.মি./ঘণ্টা। সমস্যাটি গতিবেগ, সময় ও দূরত্বের একটি আদর্শ দ্বি-চলক সমীকরণের অঙ্ক।
ধরি, জয়নুলের প্রাথমিক গতিবেগ JJ কি.মি./ঘণ্টা এবং রনির সময় লাগে TRT_R ঘণ্টা।
মোট দূরত্ব (D) = ৩০ কি.মি.।
প্রথম শর্ত: প্রাথমিক গতিতে জয়নুলের সময় লাগে রনির থেকে ২ ঘণ্টা বেশি।
জয়নুলের প্রাথমিক সময় T1=30/JT_1 = 30/J।
সুতরাং, T1=TR+2T_1 = T_R + 2   ⟹  \implies TR=30/J−2T_R = 30/J - 2 (১ নং সমীকরণ)
দ্বিতীয় শর্ত: জয়নুল গতি দ্বিগুণ করলে (2J2J), সময় লাগে রনির থেকে ১ ঘণ্টা কম।
জয়নুলের নতুন সময় T2=30/(2J)T_2 = 30/(2J)।
সুতরাং, T2=TR−1T_2 = T_R - 1   ⟹  \implies TR=30/(2J)+1T_R = 30/(2J) + 1 (২ নং সমীকরণ)
যেহেতু উভয় ক্ষেত্রেই TRT_R সমান, আমরা (১) ও (২) নং সমীকরণকে সমান ধরতে পারি:
30/J−2=30/(2J)+130/J - 2 = 30/(2J) + 1
30/J−30/(2J)=1+230/J - 30/(2J) = 1 + 2
30(1J−12J)=330 \left( \frac{1}{J} - \frac{1}{2J} \right) = 3
30(2−12J)=330 \left( \frac{2-1}{2J} \right) = 3
30×12J=330 \times \frac{1}{2J} = 3
302J=3\frac{30}{2J} = 3   ⟹  \implies 30=6J30 = 6J
J=30/6=5J = 30/6 = 5।
সুতরাং, জয়নুলের প্রাথমিক গতিবেগ ছিল ৫ কি.মি./ঘণ্টা।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
16

১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর গড় কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 25
  2. খ
    30
  3. গ
    35
  4. ঘ
    49

সঠিক উত্তর: ক

ব্যাখ্যা

১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression) তৈরি করে, যেখানে প্রতি দুটি সংখ্যার পার্থক্য একই (১)।
ধারাবাহিক বা সমান্তর ধারার গড় নির্ণয়ের জন্য একটি খুবই কার্যকর সূত্র আছে, যা হলো:
গড় = (প্রথম সংখ্যা} + শেষ সংখ্যা) ÷2\div 2
এখানে, প্রথম সংখ্যা =1= 1 এবং শেষ সংখ্যা =49= 49
সুতরাং, নির্ণেয় গড় হবে: (1+49)÷2=50÷2=(1 + 49) \div 2 = 50 \div 2 = 25
সঠিক উত্তর হলো: 25।
17

আপনার মোবাইল ফোনের মাসিক বিল এসেছে ৪২০ টাকা। যদি ১ বছর পর ১০% বৃদ্ধি পায় এবং আরো ৬ মাস পর ২০% বৃদ্ধি পায়, তাহলে ১৮ মাস পর আপনার বিল কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৪৬০.২০ টাকা
  2. ৫৫৪.৪০ টাকা
  3. গ
    ৬২০.৬০ টাকা
  4. ঘ
    ৭৩০.৮০ টাকা

সঠিক উত্তর: খ

ব্যাখ্যা

এটি একটি ধারাবাহিক শতকরা বৃদ্ধি (Successive Percentage Increase)-এর সমস্যা। এখানে ১৮ মাসে বিল দুটি ধাপে বৃদ্ধি পেয়েছে এবং দ্বিতীয় বৃদ্ধিটি প্রথম বারের বর্ধিত বিলের উপর কার্যকর হবে।
ধাপ ১: ১ বছর পর (১২ মাস) ১০% বৃদ্ধি
প্রাথমিক বিল = ৪২০ টাকা।
১ বছর পর ১০% বৃদ্ধি পেলে নতুন বিল হবে: 420×(1+10100)420 \times (1 + \frac{10}{100})
=420×1.10== 420 \times 1.10 = ৪৬২ টাকা।
ধাপ ২: পরবর্তী ৬ মাস পর (মোট ১৮ মাস) ২০% বৃদ্ধি
এই ২০% বৃদ্ধিটি প্রাথমিক বিলের উপর নয়, বরং ১২ মাস পর যে বর্ধিত বিল (৪৬২ টাকা) হয়েছে, তার উপর কার্যকর হবে।
462×(1+20100)462 \times (1 + \frac{20}{100})
=462×1.20== 462 \times 1.20 = ৫৫৪.৪০ টাকা।
সুতরাং, ১৮ মাস পর আপনার মোবাইল বিল হবে ৫৫৪.৪০ টাকা। সঠিক উত্তর (B)।
লক্ষ্য করুন, যদি আপনি সরলভাবে মোট ৩০% বৃদ্ধি ধরতেন, তবে উত্তর আসত 420×1.30=546420 \times 1.30 = 546 টাকা, যা ভুল। কারণ শতকরা বৃদ্ধি সবসময় পূর্ববর্তী পরিমাণের ওপর হিসেব করা হয়।
18

একদল গরু প্রতিবার সমান সংখ্যায় ভাগ হয়ে তিন পথে গমন করে, সাত ঘাটে পানি পান করে, নয়টি বৃক্ষের নিচে ঘুমায় এবং বারো জন গোয়ালা সমান সংখ্যক গরুর দুধ দোয়ায়; তাহলে গরুর সংখ্যা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    522
  2. 252
  3. গ
    225
  4. ঘ
    155

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রশ্নে বলা হয়েছে গরুর সংখ্যাটি প্রতিবার সমান সংখ্যায় ভাগ হয়ে ৩টি পথে গমন করে, ৭টি ঘাটে পানি পান করে, ৯টি বৃক্ষের নিচে ঘুমায় এবং ১২ জন গোয়ালা সমান সংখ্যক গরুর দুধ দোয়ায়।
এর অর্থ হলো, গরুর মোট সংখ্যাটি অবশ্যই ৩, ৭, ৯, এবং ১২ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।
যখন কোনো সংখ্যা একাধিক সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয় এবং সেটি সর্বনিম্ন সংখ্যা হয়, তখন সেই সংখ্যাটিই হলো তাদের লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু)।
অতএব, আমাদের 3, 7, 9, 12 এর ল.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।
উৎপাদকের বিশ্লেষণ:
3=33 = 3
7=77 = 7
9=3×3=329 = 3 \times 3 = 3^2
12=2×2×3=22×312 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3
ল.সা.গু নির্ণয়:
সংখ্যাগুলোর মধ্যে যে মৌলিক উৎপাদকগুলো রয়েছে, তাদের সর্বোচ্চ ঘাতগুলোর গুণফলই হলো ল.সা.গু।
ল.সা.গু =22×32×7=4×9×7=36×7=252= 2^2 \times 3^2 \times 7 = 4 \times 9 \times 7 = 36 \times 7 = 252
অতএব, গরুর সংখ্যা হলো ২৫২।
19

২০% যৌগিক মুনাফায় মূলধন ১০০০০ টাকা ২ বছরের জন্য বিনিয়োগ করা হলো যদি যৌগিক মুনাফা অর্ধ বছর হিসেবে ধরা হয়, তাহলে চক্রবৃদ্ধি মূলধন কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    124

  2. 114

  3. গ

    104

  4. ঘ

    94

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি যৌগিক মুনাফা (Compound Interest) সংক্রান্ত সমস্যা, যেখানে বছরে একবারের বদলে অর্ধ বছর (Semi-annually) হিসেবে মুনাফা গণনা করা হয়েছে।
চক্রবৃদ্ধি মূলধনের সূত্র (বার্ষিক): A=P(1+r)nA = P(1 + r)^n
কিন্তু, যখন বছরে 'm' বার মুনাফা গণনা করা হয়, তখন সূত্রটি দাঁড়ায়: A=P(1+rm)mtA = P(1 + \frac{r}{m})^{mt}
এখানে প্রদত্ত মানগুলো হলো:
মূলধন (P)=10000(P) = 10000 টাকা
বার্ষিক মুনাফার হার (r)=20%=0.20(r) = 20\% = 0.20
সময় (t)=2(t) = 2 বছর
মুনাফা গণনা সংখ্যা (m)=2(m) = 2 (অর্ধ বছর হিসেবে, বছরে ২ বার)।
ধাপ ১: নতুন হার ও সময়কাল নির্ণয়:
প্রতি অর্ধবার্ষিকে হার (r/m)=20%/2=10%=0.10(r/m) = 20\% / 2 = 10\% = 0.10 বা 110\frac{1}{10}
মোট সময়কাল (mt)=2×2=4(mt) = 2 \times 2 = 4 বার
ধাপ ২: চক্রবৃদ্ধি মূলধন নির্ণয়:
A=10000(1+0.10)4A = 10000 (1 + 0.10)^{4}
A=10000(1.1)4A = 10000 (1.1)^{4}
ধাপ ৩: বিকল্প অপশনের জন্য সরলীকরণ:
আমরা জানি, 10000=10410000 = 10^4 এবং 1.1=11101.1 = \frac{11}{10}।
A=104×(1110)4A = 10^4 \times (\frac{11}{10})^{4}
A=104×114104A = 10^4 \times \frac{11^4}{10^4}
A=114A = 11^4
সুতরাং, চক্রবৃদ্ধি মূলধন হবে 11411^4। (সঠিক উত্তর অপশন ২)
20

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    30 পাউন্ড
  2. খ
    25 পাউন্ড
  3. গ
    40 পাউন্ড
  4. 35 পাউন্ড

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি মূলত 'মিশ্রণ নীতি' (Rule of Alligation) ব্যবহার করে খুব সহজে সমাধান করা যায়। যেহেতু প্রশ্নে বস্তুর দামের একক 'পাউন্ড' এবং পরিমাণের এককও 'পাউন্ড' হিসাবে ব্যবহার করা হয়েছে, আমরা ধরে নিচ্ছি এটি একটি মিশ্রণ সংক্রান্ত সমস্যা যেখানে গড় মূল্য দেওয়া আছে।
ধরি, প্রথম প্রকার বস্তুর দাম (C₁) = 30 পাউন্ড এবং দ্বিতীয় প্রকার বস্তুর দাম (C₂) = 40 পাউন্ড।
মিশ্রিত বস্তুর গড় দাম (M) = 35 পাউন্ড (প্রশ্নের প্রেক্ষাপটে এটি মাঝামাঝি গড় দাম হিসাবে ধরে নেওয়া হয়েছে, যা অপশনগুলোর মাধ্যমে প্রতিফলিত)।
মিশ্রণ নীতি অনুযায়ী, যে অনুপাতে দুটি উপাদান মিশ্রিত করা হয়েছে, তা নির্ণয়ের সূত্র হলো:
(C2−M):(M−C1)(\text{C}_2 - M) : (M - \text{C}_1)
বা, অনুপাত = (40−35):(35−30)(40 - 35) : (35 - 30)
বা, অনুপাত = 5:55 : 5
সুতরাং, মিশ্রিত উপাদানের অনুপাত হলো 1 : 1।
এর অর্থ, 30 পাউন্ড দরের বস্তু এবং 40 পাউন্ড দরের বস্তু সমান পরিমাণে মেশানো হয়েছে।
যদি মোট মিশ্রণের পরিমাণ 70 পাউন্ড (এটি ধরে নেওয়া হয়েছে কারণ 35 পাউন্ড দুটি উপাদানের সমান ভাগ) হয়, তবে 30 পাউন্ড দরের বস্তুর পরিমাণ হবে:
11+1×70=12×70=\frac{1}{1+1} \times 70 = \frac{1}{2} \times 70 = 35 পাউন্ড।
সঠিক উত্তর হলো: 35 পাউন্ড।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
21

A' 'B' এর চেয়ে দ্বিগুণ কাজ করতে পারে; তারা দু’জন একত্রে একটি কাজ ১৪ দিনে শেষ করতে পারে। 'A' একা কাজটি কতদিনে করতে পারবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১২ দিনে
  2. খ
    ২৪ দিনে
  3. ২১ দিনে
  4. ঘ
    ১৫ দিনে

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সময় ও কাজের (Time & Work) একটি মৌলিক সমস্যা যা দক্ষতার অনুপাতের (Efficiency Ratio) ওপর ভিত্তি করে সমাধান করা যায়।
ধাপ ১: দক্ষতার অনুপাত নির্ণয়।
প্রশ্নমতে, 'A' এর কাজের ক্ষমতা 'B' এর দ্বিগুণ।
সুতরাং, দক্ষতার অনুপাত (Efficiency, E): EA:EB=2:1E_A : E_B = 2 : 1।
ধাপ ২: মোট কাজ নির্ণয়।
যদি A প্রতিদিন ২ একক এবং B প্রতিদিন ১ একক কাজ করে, তবে তারা দু'জন একত্রে প্রতিদিন কাজ করে: (২+১)=৩একক(২ + ১) = ৩ একক।
তারা একত্রে কাজটি ১৪ দিনে শেষ করে।
সুতরাং, মোট কাজ (Total Work, W) = দক্ষতা ×\times সময় = ৩×১৪=৩ \times ১৪ = ৪২ একক।
ধাপ ৩: A এর একা কাজ করার সময় নির্ণয়।
A প্রতিদিন ২ একক কাজ করতে পারে।
A এর সময় = মোট কাজ / A এর দক্ষতা = ৪২/২=৪২/২ = ২১ দিন।
সঠিক উত্তর: ২১ দিনে।
22

নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    0.4‾0.\overline{4}

  2. 9\sqrt{9}

  3. গ

    5.63 9‾5.\overline{63\,9}

  4. ঘ

    2748\sqrt{\frac{27}{48}}

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি বাস্তব সংখ্যা (Real Number) টপিকের মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা নির্ণয় সংক্রান্ত।
মূলদ সংখ্যা (Rational Number): যে সংখ্যাকে p/qp/q আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে pp ও qq পূর্ণসংখ্যা এবং $q e 0$, তাকে মূলদ সংখ্যা বলে। সসীম দশমিক সংখ্যা এবং আবৃত্ত দশমিক সংখ্যা (Repeating Decimals) সর্বদা মূলদ সংখ্যা হয়।
অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number): যে সংখ্যাকে p/qp/q আকারে প্রকাশ করা যায় না এবং যার দশমিক বিস্তার অসীম ও অনাবৃত্ত (Non-terminating and non-repeating), তাকে অমূলদ সংখ্যা বলে। যেমন: 2,3,π\sqrt{2}, \sqrt{3}, \pi ইত্যাদি।
এখন প্রদত্ত অপশনগুলো বিশ্লেষণ করা যাক:
১. 0.4˙0.\dot{4}: এটি একটি আবৃত্ত দশমিক। 0.4˙=4/90.\dot{4} = 4/9. সুতরাং, এটি মূলদ সংখ্যা।
২. 9\sqrt{9}: আমরা জানি, 9=3\sqrt{9} = 3. 3=3/13 = 3/1. সুতরাং, এটি মূলদ সংখ্যা।
৩. 5.6˙39˙5.\dot{6}3\dot{9}: এটি একটি আবৃত্ত দশমিক। একেও p/qp/q আকারে প্রকাশ করা যায়। সুতরাং, এটি মূলদ সংখ্যা।
৪. 2748\sqrt{\frac{27}{48}}: প্রথমে ভগ্নাংশটি লঘুকরণ করি। 2748=9×316×3=916\frac{27}{48} = \frac{9\times 3}{16\times 3} = \frac{9}{16}.
সুতরাং, 2748=916=34\sqrt{\frac{27}{48}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}. এটি p/qp/q আকারে প্রকাশ করা যায়। সুতরাং, এটিও মূলদ সংখ্যা।
গুরুত্বপূর্ণ পর্যবেক্ষণ: গাণিতিকভাবে প্রদত্ত চারটি অপশনই মূলদ সংখ্যা। যেহেতু প্রশ্নটি 'অমূলদ সংখ্যা' জানতে চেয়েছে এবং উত্তর হিসেবে 9\sqrt{9} (যা একটি মূলদ সংখ্যা) নির্দেশ করা হয়েছে, তাই ধরে নেওয়া যায় প্রশ্নে ভুল ছিল এবং এটি আসলে 'মূলদ সংখ্যা' জানতে চাওয়া হয়েছিল। এক্ষেত্রে 9=3\sqrt{9}=3 সবচেয়ে স্পষ্ট মূলদ সংখ্যা।
23

নিচের কোন পূর্ণ সংখ্যাটিকে ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২, ৩ ও ৪ অবশিষ্ট থাকে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    48
  2. খ
    54
  3. 58
  4. ঘ

    60

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

এখানে, ৩ – ১= ২, ৪ – ২ = ২, ৫ -৩ = ২ এবং ৬ -৪ = ২। সুতরাং নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ২ কম। এখন, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর ল.সা.গু = ৬০ ∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = (৬০ – ২) = ৫৮

ব্যাখ্যা

এই ধরনের অঙ্কের ক্ষেত্রে, যখন ভাজক (Divisor) এবং অবশিষ্টের (Remainder) মধ্যে পার্থক্য বা ব্যবধানটি সর্বদা সমান হয়, তখন উত্তর বের করার জন্য নিচের সূত্রটি ব্যবহার করা হয়।
প্রথমেই ভাজক ও অবশিষ্টের মধ্যে পার্থক্য বের করি:
৩ - ১ = ২
৪ - ২ = ২
৫ - ৩ = ২
৬ - ৪ = ২
লক্ষ করুন, প্রতিটি ক্ষেত্রে পার্থক্য ২। এই পার্থক্যকে বলা হয় সাধারণ ব্যবধান (Common Difference)।
এখন, ভাজকগুলোর ল.সা.গু (LCM) নির্ণয় করতে হবে: ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর ল.সা.গু।
৩, ৪, ৫, ৬ এর ল.সা.গু = ৬০।
নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো: (ভাজকগুলোর ল.সা.গু) - (সাধারণ ব্যবধান)।
নির্ণেয় সংখ্যা = ৬০ - ২ = ৫৮।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৫৮। (অপশন ৩)
24

পনির ও তপনের আয়ের অনুপাত 4:3 । তপন ও রবিনের আয়ের অনুপাত 5:4 । পনিরের আয় 120 টাকা হলে, রবিনের আয় কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    36 টাকা
  2. খ
    12 টাকা
  3. 72 টাকা
  4. ঘ
    48 টাকা

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য আমাদের প্রথমে পনির, তপন ও রবিন (P:T:R) এর আয়ের একটি সম্মিলিত অনুপাত বের করতে হবে।
দেওয়া আছে:
(১) পনির : তপন = 4 : 3
(২) তপন : রবিন = 5 : 4
যেহেতু তপন উভয় অনুপাতের সাধারণ উপাদান, তাই তার অনুপাত সংখ্যাকে সমান করতে হবে। 3 এবং 5 এর ল.সা.গু (LCM) হলো 15।
প্রথম অনুপাতকে 5 দ্বারা গুণ করে: পনির : তপন = (4×5):(3×5)=(4 \times 5) : (3 \times 5) = 20 : 15
দ্বিতীয় অনুপাতকে 3 দ্বারা গুণ করে: তপন : রবিন = (5×3):(4×3)=(5 \times 3) : (4 \times 3) = 15 : 12
সুতরাং, সম্মিলিত অনুপাত দাঁড়ালো: পনির : তপন : রবিন = 20 : 15 : 12।
এখন, পনিরের আয় (20 ভাগ) = 120 টাকা।
অতএব, 1 ভাগ = 120÷20=120 \div 20 = 6 টাকা।
রবিনের আয় হলো 12 ভাগ।
রবিনের আয় = 12×6=12 \times 6 = 72 টাকা।
সঠিক উত্তর হলো 72 টাকা।
25

৪৫০ টাকা বার্ষিক ৬% সুদে কত বছরে সুদে- আসলে ৫৫৮ টাকা হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৩ বছরে
  2. ৪ বছরে
  3. গ
    ৫ বছরে
  4. ঘ
    ৬ বছরে

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সরল মুনাফা (Simple Interest) সম্পর্কিত। আমাদের উদ্দেশ্য হলো আসল, সুদের হার ও সুদ-আসল ব্যবহার করে সময় (T) বের করা।
প্রথমে আমাদের মোট সুদ (Interest, I) কত, তা নির্ণয় করতে হবে।
মোট সুদ (II) = সুদ-আসল (AA) - আসল (PP)
মোট সুদ (II) = ৫৫৮৫৫৮ টাকা - ৪৫০৪৫০ টাকা = ১০৮ টাকা।
সরল মুনাফার মূল সূত্রটি হলো: I=PRT100I = \frac{PRT}{100}
যেখানে PP=আসল, RR=সুদের হার, TT=সময়।
আমাদের সময় (TT) বের করতে হবে, তাই সূত্রটিকে সাজালে পাই:
T=I×100P×RT = \frac{I \times 100}{P \times R}
এখন মান বসিয়ে পাই:
T=১০৮×১০০৪৫০×৬T = \frac{১০৮ \times ১০০}{৪৫০ \times ৬}
T=১০৮০০২৭০০T = \frac{১০৮০০}{২৭০০}
$T = ৪ বছর।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৪ বছরে (অপশন খ)।
ভর্তি পরীক্ষার্থীদের জন্য

বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষার প্রস্তুতিও নিন

ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়, বুয়েট ও মেডিকেলসহ ২৭+ ইউনিট-ভিত্তিক ভর্তি পরীক্ষার প্রশ্নব্যাংক ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর এডমিশন সেকশনে।

ভর্তি প্রশ্নব্যাংক দেখুন
26

.১×.০১×.০০১= ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1.0001
  2. খ
    0.10001
  3. গ
    0.00001
  4. 0.000001

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি দশমিক সংখ্যার গুণ সংক্রান্ত একটি সমস্যা। দশমিক সংখ্যার গুণ করার ক্ষেত্রে প্রথমে আপনাকে দশমিক বিন্দু (Decimal Point) উপেক্ষা করে সংখ্যাগুলোর গুণফল নির্ণয় করতে হবে, এবং সবশেষে মোট দশমিক স্থান গণনা করে গুণফলের উপর দশমিক বসাতে হবে।
১. দশমিক বাদ দিয়ে গুণ: প্রদত্ত সংখ্যাগুলো হলো ০.১, ০.০১ এবং ০.০০১।
দশমিক বাদ দিলে সংখ্যাগুলো দাঁড়ায় ১, ১ এবং ১।
অতএব, ১×১×১=১ \times ১ \times ১ = ১।
২. দশমিক স্থানের সংখ্যা গণনা: এখন দেখতে হবে গুণ্য (Multiplicand) ও গুণকগুলোর (Multipliers) মোট কতটি দশমিক স্থান রয়েছে।
- ০.১ এ দশমিক স্থান: ১টি
- ০.০১ এ দশমিক স্থান: ২টি
- ০.০০১ এ দশমিক স্থান: ৩টি
মোট দশমিক স্থান = ১+২+৩=১ + ২ + ৩ = ৬টি।
৩. ফলাফলে দশমিক স্থাপন: গুণফল ১ এর ডান দিক থেকে ৬ ঘর বামে দশমিক বসাতে হবে। যেহেতু ১ একটি মাত্র সংখ্যা, তাই বামে আরও পাঁচটি ০ বসিয়ে মোট ৬টি ঘর পূরণ করতে হবে।
অর্থাৎ, ১→০০০০০০১১ \rightarrow ০০০০০০১ (ডান থেকে বামে ৬ ঘর)।
সঠিক উত্তর হলো: ০.০০০০০০১।
অন্য অপশনগুলো ভুল, কারণ তারা দশমিক স্থানের সঠিক গণনা করেনি। যেমন, যদি আপনি দশমিক স্থান যোগ না করে ভুলক্রমে ৪ বা ৫ ধরেন, তবে অপশনগুলো ভুল হবে।
27

বার্ষিক শতকরা 10% হারে 1000 টাকার 2 বছর পর সরল ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    11 টাকা
  2. খ
    11.5 টাকা
  3. গ
    12 টাকা
  4. 10 টাকা

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের অঙ্কের ক্ষেত্রে প্রথমে সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফা আলাদাভাবে নির্ণয় করে তাদের পার্থক্য বের করতে হয়।
এখানে মূলধন (P) = ৳১০০০, সুদের হার (R) = ১০%, এবং সময় (n) = ২ বছর।

ধাপ ১: সরল মুনাফা (Simple Interest, I) নির্ণয়:
সূত্র: I=PrnI = Prn
I=1000×10100×2I = 1000 \times \frac{10}{100} \times 2
I=1000×20100=200I = 1000 \times \frac{20}{100} = 200 টাকা।

ধাপ ২: চক্রবৃদ্ধি মুনাফা (Compound Interest, CI) নির্ণয়:
চক্রবৃদ্ধি মূলধন (A) = P(1+r)nP(1+r)^n
A=1000×(1+10100)2A = 1000 \times (1 + \frac{10}{100})^2
A=1000×(1.10)2=1000×1.21=1210A = 1000 \times (1.10)^2 = 1000 \times 1.21 = 1210 টাকা।
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা (CI) = A - P = 1210−1000=2101210 - 1000 = 210 টাকা।

ধাপ ৩: পার্থক্য নির্ণয়:
পার্থক্য = চক্রবৃদ্ধি মুনাফা - সরল মুনাফা = 210 - 200 = ১০ টাকা।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ১০ টাকা।
28

দুইটি সংখ্যার অনুপাত 7 : 5 এবং তাদের ল.সা.গু. 140 হলে সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 4
  2. খ
    12
  3. গ
    6
  4. ঘ
    9

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, যদি দুইটি সংখ্যার অনুপাত a:ba:b হয় এবং তাদের গ.সা.গু. (HCF) HH হয়, তবে সংখ্যা দুইটি হবে HaHa এবং HbHb।
এই ক্ষেত্রে, সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. (LCM) হবে: H×a×bH \times a \times b।
এখানে অনুপাত a:b=7:5a:b = 7:5 এবং ল.সা.গু. = 140140।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি: 140 = গ.সা.গু. ×(7×5)\times (7 \times 5)।
বা, 140 = গ.সা.গু. ×35\times 35।
অতএব, সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. (HCF) হবে:
গ.সা.গু. = 14035=\frac{140}{35} = 4।
29

একটি দ্রব্য 180 টাকায় বিক্রয় করায় 10% ক্ষতি হলো। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 200 টাকা
  2. খ
    210 টাকা
  3. গ
    162 টাকা
  4. ঘ
    198 টাকা

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের লাভ-ক্ষতির অঙ্কগুলো ঐকিক নিয়মে করলে দ্রুত সমাধান করা যায়।
এখানে ১০% ক্ষতি হয়েছে, অর্থাৎ ১০০ টাকা ক্রয়মূল্য হলে বিক্রয়মূল্য (SP) হবে: ১০০ - ১০ = ৯০ টাকা।
ঐকিক নিয়ম অনুসারে আমরা পাই:
বিক্রয়মূল্য ৯০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০৯০\frac{১০০}{৯০} টাকা।
সুতরাং, বিক্রয়মূল্য ১৮০ টাকা হলে ক্রয়মূল্য = ১০০৯০×১৮০\frac{১০০}{৯০} \times ১৮০ টাকা।
(১০০১×২)=( \frac{১০০}{১} \times ২ ) = ২০০ টাকা।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ২০০ টাকা।
30

০.৪ × ০.০২ × ০.০৮ =?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 0.00064
  2. খ
    6.4
  3. গ
    0.64
  4. ঘ
    0.064

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি দশমিক সংখ্যার গুণ (Multiplication of Decimals) সংক্রান্ত একটি সরল প্রশ্ন। এই ধরনের সমস্যা সমাধানের মূল কৌশল হলো— প্রথমে দশমিক বিন্দুর কথা ভুলে গিয়ে সংখ্যাগুলোর গুণফল বের করা, এবং সবশেষে মোট দশমিক স্থান গণনা করে ফলাফল স্থাপন করা।
১. দশমিক বাদ দিয়ে গুণফল নির্ণয়:
প্রথমে দশমিক বিন্দু ছাড়া সংখ্যাগুলো গুণ করুন। সংখ্যাগুলো হলো ৪, ২ এবং ৮।
৪×২×৮=৬৪৪ \times ২ \times ৮ = \textbf{৬৪}।
২. দশমিক স্থান গণনা:
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোতে দশমিক বিন্দুর পর মোট কতটি অঙ্ক আছে তা গণনা করতে হবে।
০.৪০.৪ এ দশমিকের পর অঙ্ক = ১টি।
০.০২০.০২ এ দশমিকের পর অঙ্ক = ২টি।
০.০৮০.০৮ এ দশমিকের পর অঙ্ক = ২টি।
মোট দশমিক স্থান = ১+২+২=৫টি১ + ২ + ২ = \textbf{৫টি}।
৩. ফলাফল স্থাপন:
প্রাপ্ত গুণফল (৬৪)-এর বাম পাশে এমনভাবে দশমিক বিন্দু বসাতে হবে যেন মোট ৫টি অঙ্ক দশমিক বিন্দুর পরে থাকে।
৬৪ সংখ্যাটিতে যেহেতু মাত্র দুটি অঙ্ক আছে, তাই এর বামে ৫−২=৩৫ - ২ = ৩টি শূন্য বসাতে হবে।
ফলাফল: ০.০০০৬৪০.\textbf{০০০৬৪}।
সঠিক উত্তর: ০.০০০০৬৪।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
31

নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৬/১১
  2. খ
    ৮/১৪
  3. গ
    ৩/৫
  4. ৫/৮

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের প্রশ্নের উত্তর দ্রুত বের করার জন্য আমরা দুটি কৌশল অবলম্বন করতে পারি: দশমিকে রূপান্তর অথবা বজ্রগুণন পদ্ধতি। যেহেতু অপশনগুলো তুলনামূলকভাবে কাছাকাছি, তাই নির্ভুল উত্তরের জন্য আমরা দশমিকে রূপান্তর করে দেখব।
১. ৬১১≈০.৫৪৫\frac{৬}{১১} \approx ০.৫৪৫
২. ৮১৪=৪৭≈০.৫৭১\frac{৮}{১৪} = \frac{৪}{৭} \approx ০.৫৭১
৩. ৩৫=০.৬০০\frac{৩}{৫} = ০.৬০০
৪. ৫৮=০.৬২৫\frac{৫}{৮} = ০.৬২৫
প্রাপ্ত মানগুলো থেকে স্পষ্ট যে ০.৬২৫ হচ্ছে বৃহত্তম সংখ্যা।
অতএব, বৃহত্তম ভগ্নাংশটি হলো ৫৮\frac{৫}{৮}।
32

নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 47
  2. খ
    87
  3. গ
    91
  4. ঘ

    143

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ৪৭।
মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) হলো সেই সংখ্যা, যা ১ (এক) এবং সেই সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়।
আমরা প্রতিটি অপশন বিশ্লেষণ করে দেখব:
১. ৪৭: এই সংখ্যাটি শুধুমাত্র ১ এবং ৪৭ দ্বারা বিভাজ্য। তাই এটি একটি মৌলিক সংখ্যা।
২. ৮৭: এই সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল (৮+৭=১৫৮ + ৭ = ১৫), যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, ৮৭ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য। (৮৭=৩×২৯৮৭ = ৩ \times ২৯)। এটি মৌলিক নয়।
৩. ৯১: এই সংখ্যাটি ৭ এবং ১৩ দ্বারা বিভাজ্য। (৯১=৭×১৩৯১ = ৭ \times ১৩)। এটি মৌলিক নয়।
৪. ১৪৩: এই সংখ্যাটি ১১ এবং ১৩ দ্বারা বিভাজ্য। (১৪৩=১১×১৩১৪৩ = ১১ \times ১৩)। এটিও মৌলিক নয়।
সুতরাং, প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ৪৭-ই একমাত্র মৌলিক সংখ্যা।
33

টাকায় 5 টি মার্বেল বিক্রয় করায় 12% ক্ষতি হয়। 10% লাভ করতে হলে টাকায় কয়টি বিক্রয় করতে হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 4টি
  2. খ
    3টি
  3. গ
    2টি
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের লাভ-ক্ষতির অঙ্কগুলোতে দাম (Price) এবং বিক্রয়ের সংখ্যা (Quantity) এর মধ্যে বিপরীত সম্পর্ক (Inverse Relation) কাজ করে, যখন মোট বিক্রয়মূল্য (এখানে ৳১ টাকা) স্থির থাকে।
ধাপ ১: ক্ষতির ক্ষেত্রে বিক্রয়মূল্য (SP1) নির্ণয়:
আসল ক্রয়মূল্য (CP) যদি 100% হয়, তাহলে 12% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য দাঁড়ায়: (100 - 12)% = 88%।
ধাপ ২: লাভের জন্য বিক্রয়মূল্য (SP2) নির্ণয়:
10% লাভ করতে চাইলে বিক্রয়মূল্য হতে হবে: (100 + 10)% = 110%।
ধাপ ৩: দামের অনুপাত:
আগে যা 88% দামে বিক্রি হতো, এখন তা 110% দামে বিক্রি করতে হবে। দামের অনুপাত = 11088\frac{110}{88}।
ধাপ ৪: সংখ্যার অনুপাত ও নির্ণয়:
যেহেতু বিক্রয়মূল্য (৳১ টাকা) অপরিবর্তিত, তাই দাম বাড়লে বিক্রয়ের সংখ্যা কমবে। অর্থাৎ, সংখ্যা দামের অনুপাতের বিপরীত হবে।
প্রয়োজনীয় মার্বেলের সংখ্যা = (আগের মার্বেলের সংখ্যা) ×\times (ক্ষতির শতাংশ / লাভের শতাংশ)
প্রয়োজনীয় মার্বেলের সংখ্যা = 5×881105 \times \frac{88}{110}
আমরা যদি সরল করি, 88110=45\frac{88}{110} = \frac{4}{5} (কারণ 22 দিয়ে ভাগ করলে)।
সুতরাং, মার্বেলের সংখ্যা = 5×45=5 \times \frac{4}{5} = 4 টি।
অতএব, 10% লাভ করতে হলে ৳১ টাকায় 4টি মার্বেল বিক্রয় করতে হবে।
34

দুটি সংখ্যার অনুপাত 2 : 3 এবং গ.সা.গু. 4 হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    6
  2. 12
  3. গ
    8
  4. ঘ
    16

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, দুটি সংখ্যার অনুপাত দেওয়া থাকলে এবং তাদের গ.সা.গু. (H.C.F.) জানা থাকলে, সংখ্যা দুটি নির্ণয় করা খুব সহজ। গ.সা.গু. হলো সেই উৎপাদক, যা অনুপাতের প্রতিটি অংশের সাথে গুণ করলেই মূল সংখ্যা দুটি পাওয়া যায়।
ধরি, সংখ্যা দুটির অনুপাত A:BA:B এবং তাদের গ.সা.গু. হলো HH।
তাহলে, সংখ্যা দুটি হবে যথাক্রমে A×HA \times H এবং B×HB \times H।
এখানে, অনুপাত = 2 : 3 এবং গ.সা.গু. = 4।
প্রথম সংখ্যাটি = (অনুপাতের প্রথম অংশ) × \times গ.সা.গু. =2×4== 2 \times 4 = 8।
দ্বিতীয় সংখ্যাটি = (অনুপাতের দ্বিতীয় অংশ) × \times গ.সা.গু. =3×4== 3 \times 4 = 12।
সংখ্যা দুটি হলো 8 এবং 12। এদের মধ্যে বৃহত্তম সংখ্যাটি হলো 12।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 12।
35

কোন আসল 3 বছরে মুনাফা-আসলে 5500 টাকা হয়। মুনাফা আসলের 3/8 অংশ হলে মুনাফার হার কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    10%
  2. 12.50%
  3. গ
    15%
  4. ঘ
    12%

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি সরল মুনাফা (Simple Interest) সম্পর্কিত। সঠিক উত্তর বের করার জন্য প্রথমে আসল (P) এবং মুনাফা (I) বের করতে হবে, তারপর মুনাফার হার (r) নির্ণয় করতে হবে।
ধাপ ১: আসল (P) এবং মুনাফা (I) নির্ণয়।
প্রশ্নমতে, মুনাফা আসলের 38\frac{3}{8} অংশ।
অর্থাৎ, আসল PP হলে, মুনাফা I=3P8I = \frac{3P}{8}।
আমরা জানি, মুনাফা-আসল (A) = আসল (P) + মুনাফা (I)।
দেওয়া আছে, মুনাফা-আসল = 5500 টাকা।
P+3P8=5500P + \frac{3P}{8} = 5500
   ⟹  8P+3P8=5500\,\implies \frac{8P + 3P}{8} = 5500
   ⟹  11P8=5500\,\implies \frac{11P}{8} = 5500
আসল (P) =5500×811=500×8=4000= 5500 \times \frac{8}{11} = 500 \times 8 = 4000 টাকা।
মুনাফা (I) =5500−4000=1500= 5500 - 4000 = 1500 টাকা। (অথবা, I=4000×38=1500I = 4000 \times \frac{3}{8} = 1500 টাকা।)
ধাপ ২: মুনাফার হার (r) নির্ণয়।
আমরা জানি, সরল মুনাফার সূত্র: I=PrtI = Prt, যেখানে rr হলো বার্ষিক মুনাফার হার।
r=IPtr = \frac{I}{Pt}
এখানে, I=1500I=1500, P=4000P=4000, এবং সময় t=3t=3 বছর।
r=15004000×3=150012000=15120=18r = \frac{1500}{4000 \times 3} = \frac{1500}{12000} = \frac{15}{120} = \frac{1}{8}।
শতকরা হার নির্ণয়ের জন্য, r×100=18×100=1008=12.5r \times 100 = \frac{1}{8} \times 100 = \frac{100}{8} = 12.5।
সুতরাং, মুনাফার হার 12.50%।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
36

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4999
  2. খ
    5501
  3. 5050
  4. ঘ
    5001

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল  =(100xx(100+1))/2 = (100xx101)/2 = 50xx101 = 5050 

ব্যাখ্যা

এটি একটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয়ের সমস্যা। ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো একটি সমান্তর ধারা গঠন করে।
১ থেকে শুরু করে nn পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর যোগফল নির্ণয়ের জন্য সরাসরি একটি সূত্র ব্যবহার করা হয়।
যোগফল নির্ণয়ের সূত্র: Sn=n(n+1)2S_n = \frac{n(n+1)}{2}
এখানে, মোট পদের সংখ্যা (nn) হলো ১০০।
মান বসিয়ে পাই: যোগফল = 100(100+1)2\frac{100(100+1)}{2}
যোগফল = 100×1012\frac{100 \times 101}{2}
যোগফল = 50×101=50 \times 101 = 5050।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 5050 (অপশন ৩)।
37

দুই ব্যক্তি একটি কাজ একত্রে ৮ দিনে করতে পারে। প্রথম ব্যক্তি একা কাজটি ১২ দিনে করতে পারে। দ্বিতীয় ব্যক্তি একা ঐ কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২০ দিনে
  2. খ
    ২৫ দিনে
  3. ২৪ দিনে
  4. ঘ
    ৩০ দিনে

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের 'কাজ ও সময়' (Time and Work) এর সমস্যা সমাধানের মূলনীতি হলো, একদিনে কে কতটুকু কাজ করে (Work Rate) তা নির্ণয় করা। সম্পূর্ণ কাজকে ১ অংশ ধরা হয়।
ধাপ ১: একত্রে একদিনের কাজ নির্ণয়
প্রথম ব্যক্তি ও দ্বিতীয় ব্যক্তি একত্রে কাজটি করে = ৮ দিনে।
সুতরাং, তারা একত্রে ১ দিনে করে: ১৮\frac{১}{৮} অংশ কাজ।
ধাপ ২: প্রথম ব্যক্তির একদিনের কাজ নির্ণয়
প্রথম ব্যক্তি একা কাজটি করে = ১২ দিনে।
সুতরাং, প্রথম ব্যক্তি একা ১ দিনে করে: ১১২\frac{১}{১২} অংশ কাজ।
ধাপ ৩: দ্বিতীয় ব্যক্তির একদিনের কাজ নির্ণয়
দ্বিতীয় ব্যক্তি একা ১ দিনে যে পরিমাণ কাজ করবে = (একত্রে একদিনের কাজ) - (প্রথম ব্যক্তির একদিনের কাজ)।
দ্বিতীয় ব্যক্তির ১ দিনের কাজ: ১৮−১১২\frac{১}{৮} - \frac{১}{১২}
লসাগু (LCM) হলো ২৪।
=(৩−২)২৪=১২৪= \frac{(৩ - ২)}{২৪} = \frac{১}{২৪} অংশ।
ধাপ ৪: মোট সময় নির্ণয়
দ্বিতীয় ব্যক্তি যদি ১ দিনে ১২৪\frac{১}{২৪} অংশ কাজ করে, তবে সম্পূর্ণ (১ অংশ) কাজ করতে তার সময় লাগবে ১÷১২৪১ \div \frac{১}{২৪} দিন, অর্থাৎ ২৪ দিন।
সঠিক উত্তর হলো: ২৪ দিনে।
38

নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা নয়?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    263
  2. খ
    233
  3. 253
  4. ঘ
    241

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ২৫৩।
মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) তাকেই বলা হয়, যাকে ১ এবং সেই সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না। যে সংখ্যাকে ভাগ করা যায়, সেটি যৌগিক সংখ্যা (Composite Number)।
এখানে অপশনে থাকা সংখ্যাগুলো মৌলিক কিনা তা পরীক্ষা করতে হবে। আমরা জানি, বিভাজ্যতা পরীক্ষা করতে গিয়ে যদি সংখ্যাটি ১১ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সেটি মৌলিক সংখ্যা নয়।
সংখ্যাটি (২৫৩) ১১ দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য এর অঙ্কগুলোর স্থান অনুযায়ী যোগফলের পার্থক্য দেখতে হবে (ডান দিক থেকে বিজোড় স্থানগুলোর যোগফল - জোড় স্থানগুলোর যোগফল)।
২৫৩ এর ক্ষেত্রে, ডান দিক থেকে বিজোড় স্থানের অঙ্ক: ৩+২=৫৩ + ২ = ৫
জোড় স্থানের অঙ্ক: ৫৫
পার্থক্য: ৫−৫=০৫ - ৫ = ০
যেহেতু পার্থক্য ০ (শূন্য) হয়েছে, তাই সংখ্যাটি ১১ দ্বারা সম্পূর্ণ বিভাজ্য।
আমরা পাই: ২৫৩÷১১=২৫৩ \div ১১ = ২৩।
সুতরাং, ২৫৩ এর উৎপাদক হলো ১, ১১, ২৩ এবং ২৫৩। যেহেতু ১ ও ২৫৩ ছাড়াও এর উৎপাদক রয়েছে (১১ এবং ২৩), তাই এটি মৌলিক সংখ্যা নয়, এটি একটি যৌগিক সংখ্যা।
39

৩৫০ টাকা দরে ৩ কেজি মিষ্টি কিনে ৪ টাকা হারে ভ্যাট দিলে মোট কত ভ্যাট দিতে হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১৪ টাকা
  2. ৪২ টাকা
  3. গ
    ১২ টাকা
  4. ঘ
    ১০৫ টাকা

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি মূলত শতকরা (Percentage) ও লাভ-ক্ষতি সংক্রান্ত। ভ্যাট (VAT) সর্বদা মোট ক্রয়মূল্যের উপর নির্ধারিত হারে ধার্য করা হয়।
প্রথম ধাপ: মোট ক্রয়মূল্য নির্ণয়
মিষ্টির প্রতি কেজির দাম ৩৫০ টাকা এবং কেনা হয়েছে ৩ কেজি।
মোট ক্রয়মূল্য = ৩৫০×৩৩৫০ \times ৩ = ১০৫০ টাকা।
দ্বিতীয় ধাপ: ভ্যাট হার নির্ণয়
ভ্যাট দিতে হবে ৪ টাকা হারে। এর অর্থ হলো শতকরা ৪% ভ্যাট ধার্য করা হয়েছে।
তৃতীয় ধাপ: মোট ভ্যাটের পরিমাণ নির্ণয়
মোট ক্রয়মূল্য (১০৫০ টাকা)-এর উপর ৪% ভ্যাট হিসাব করতে হবে।
মোট ভ্যাট=১০৫০×৪১০০ = ১০৫০ \times \frac{৪}{১০০}
মোট ভ্যাট=৪২০০১০০ = \frac{৪২০০}{১০০} = ৪২ টাকা।
সুতরাং, মোট ৪২ টাকা ভ্যাট দিতে হবে। এটিই সঠিক উত্তর।
40

যদি তেলের মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পায় তবে তেলের ব্যবহার শতকরা কত কমালে তেল বাবদ ব্যয় বৃদ্ধি পাবে না?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    16%
  2. 20%
  3. গ
    25%
  4. ঘ
    24%

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের সমস্যাগুলো 'ব্যয় অপরিবর্তিত রাখা' সংক্রান্ত শতকরা (Percentage) সমস্যার অন্তর্ভুক্ত। এখানে মূলনীতি হলো: ব্যয় = মূল্য × ব্যবহার (Expenditure = Price × Consumption)।
যদি ব্যয় অপরিবর্তিত রাখতে হয়, তবে মূল্য যে হারে বাড়বে, ব্যবহার ঠিক তার বিপরীত হারে কমাতে হবে।
ধরি, তেলের প্রাথমিক মূল্য ছিল ১০০ টাকা।
মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পাওয়ায় নতুন মূল্য হবে: ১০০ + ২৫ = ১২৫ টাকা।
এখন, নতুন মূল্য ১২৫ টাকা থেকে আবার ১০০ টাকায় ফিরে আসতে হবে। অর্থাৎ, বৃদ্ধি পাওয়া ২৫ টাকা কমাতে হবে।
এই ২৫ টাকা কমাতে হবে নতুন মূল্য ১২৫ টাকার সাপেক্ষে।
ব্যবহার কমানোর শতকরা হার =বৃদ্ধির পরিমাণনতুন মূল্য×১০০= \frac{\text{বৃদ্ধির পরিমাণ}}{\text{নতুন মূল্য}} \times ১০০
ব্যবহার কমানোর শতকরা হার =২৫১২৫×১০০= \frac{২৫}{১২৫} \times ১০০
১৫×১০০\frac{১}{৫} \times ১০০ = ২০%
অতএব, তেলের ব্যবহার ২০% কমালে তেল বাবদ ব্যয় বৃদ্ধি পাবে না।
❌ অন্যান্য অপশন কেন ভুল: অনেকে ভুল করে মনে করেন ২৫% বৃদ্ধি পেলে ২৫% কমালেই হবে। কিন্তু ২৫% কমাতে হবে নতুন (১২৫ টাকা) মূল্যের উপর ভিত্তি করে, যা অবশ্যই প্রারম্ভিক বৃদ্ধির হারের চেয়ে কম হবে। তাই ২৫% ভুল উত্তর।
ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য

ক্লাস ৬-১২ একাডেমিক প্রস্তুতিও নিন

ক্লাস ৬-১২, এসএসসি ও এইচএসসির সব বিষয়ের বোর্ড প্রশ্ন, অধ্যায়ভিত্তিক প্র্যাকটিস, লাইভ পরীক্ষা ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর একাডেমিক সেকশনে।

একাডেমিক প্রস্তুতি দেখুন
41

দুটি সংখ্যার গুণফল ৩৩৮০ এবং গ. সা. গু ১৩ । সংখ্যা দুটিই ল. সা. গু. কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 260
  2. খ
    780
  3. গ
    130
  4. ঘ
    490

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তরটি হলো: ২৬০।
পাটিগণিতের মৌলিক সূত্র অনুসারে, দুটি সংখ্যার গুণফল সর্বদা তাদের ল.সা.গু (LCM) এবং গ.সা.গু (HCF)-এর গুণফলের সমান হয়।

সূত্রটি হলো:
সংখ্যা দুটির গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
এখানে দেওয়া আছে:
সংখ্যা দুটির গুণফল = ৩৩৮০
গ.সা.গু = ১৩
আমরা ল.সা.গু নির্ণয় করব:
ল.সা.গু=সংখ্যা দুটির গুণফলগ.সা.গু \text{ল.সা.গু} = \frac{\text{সংখ্যা দুটির গুণফল}}{\text{গ.সা.গু}}
ল.সা.গু=338013 \text{ল.সা.গু} = \frac{3380}{13}
3380÷13=260 3380 \div 13 = \mathbf{260}
42

 sqrt(১৫.৬০২৫)=?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ৩.৮৫

  2. খ

    ৩.৭৫

  3. ৩.৯৫

  4. ঘ

    ৩.৬৫

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ৩.৯৫। এই ধরনের দশমিক সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয়ের জন্য দ্রুত অনুমান পদ্ধতি (Estimation) এবং শর্টকাট পদ্ধতি ব্যবহার করা সবচেয়ে উপযোগী।
প্রথমে, আমরা দশমিক বিন্দুকে অগ্রাহ্য করে পুরো সংখ্যাটিকে বিবেচনা করি: ১৫৬০২৫।
যেহেতু 42=164^2 = 16 এবং 32=93^2 = 9, তাই 15.6025\sqrt{15.6025} এর মান অবশ্যই ৩ এবং ৪-এর মাঝে হবে। যেহেতু ১৫.৬০২৫ সংখ্যাটি ১৬ এর খুবই কাছাকাছি, তাই এর বর্গমূল ৪ এর কাছাকাছি হওয়া উচিত।
আমরা যদি অপশনগুলো দেখি, তাহলে ৩.৯৫ সংখ্যাটিই ৪-এর সবচেয়ে কাছাকাছি।
যাচাইকরণ: 3.95×3.95=15.60253.95 \times 3.95 = 15.6025
যেহেতু মূল সংখ্যায় (১৫.৬০২৫) দশমিক বিন্দুর পর ৪টি সংখ্যা আছে, তাই বর্গমূলে দশমিক বিন্দুর পর ৪/২ = ২টি সংখ্যা থাকবে।
অতএব, ১৫.৬০২৫\sqrt{১৫.৬০২৫} = ৩.৯৫
43

২-এর কত শতাংশ ৮ হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    200
  2. 400
  3. গ
    345
  4. ঘ
    300

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ৪০০। এই সমস্যাটি সরাসরি শতকরার সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা যায়।
ধরি, ২-এর xx শতাংশ হলো ৮।
তাহলে, গাণিতিক সমীকরণটি হবে: ২×x১০০=৮২ \times \frac{x}{১০০} = ৮
বা, ২x=৮×১০০২x = ৮ \times ১০০
বা, ২x=৮০০২x = ৮০০
বা, x=৮০০২x = \frac{৮০০}{২}
অতএব, x = ৪০০
অর্থাৎ, ২-এর ৪০০ শতাংশ হলো ৮।
44

261 টি আম তিন ভাইয়ের মধ্যে 1/3:1/5:1/9  অনুপাতে ভাগ করে দিলে প্রথম ভাই কতটি আম পাবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    45
  2. খ
    81
  3. গ
    90
  4. 135

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই অঙ্কটি অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio & Proportion) সম্পর্কিত। প্রথমে ভগ্নাংশের অনুপাতটিকে পূর্ণ সংখ্যায় রূপান্তর করতে হবে।
ভাইদের মধ্যে আমের অনুপাত = 1/3:1/5:1/9।
ধাপ ১: অনুপাতকে সরলীকরণ (পূর্ণ সংখ্যায় রূপান্তর)
৩, ৫ এবং ৯ এর ল.সা.গু (LCM) হলো ৪৫। এই ৪৫ দিয়ে প্রতিটি অংশকে গুণ করতে হবে।
প্রথম ভাই: 45×(1/3)=1545 \times (1/3) = 15
দ্বিতীয় ভাই: 45×(1/5)=945 \times (1/5) = 9
তৃতীয় ভাই: 45×(1/9)=545 \times (1/9) = 5
অতএব, সরল অনুপাতটি হলো: 15:9:515:9:5।
ধাপ ২: অনুপাতের যোগফল নির্ণয়
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = 15+9+5=2915 + 9 + 5 = 29।
ধাপ ৩: প্রথম ভাইয়ের আমের সংখ্যা নির্ণয়
মোট আম সংখ্যা = 261261।
প্রথম ভাই আম পাবে = প্রথম ভাইয়ের অনুপাতঅনুপাতের যোগফল×মোট আম\frac{\text{প্রথম ভাইয়ের অনুপাত}}{\text{অনুপাতের যোগফল}} \times \text{মোট আম}
আমের সংখ্যা = 1529×261\frac{15}{29} \times 261
এখানে, 261÷29=9261 \div 29 = 9।
সুতরাং, প্রথম ভাই আম পাবে = 15×915 \times 9 = 135 টি।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো ১৩৫।
45

100 টাকায় 10 টি ডিম কিনে 100 টাকায় 8 টি ডিম বিক্রয় করলে শতকরা লাভ কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    16%
  2. খ
    20%
  3. 25%
  4. ঘ
    28%

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের লাভ-ক্ষতির অঙ্কগুলোতে মূল লক্ষ্য থাকে বিক্রয়কৃত পরিমাণের ক্রয়মূল্যের সাথে বিক্রয়মূল্যের তুলনা করা।
এখানে ১০টি ডিমের ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।
বিক্রয় করা হয়েছে ৮টি ডিম ১০০ টাকায়।
এখন, আমরা দেখব যে ৮টি ডিম কিনতে কত খরচ হয়েছিল (ক্রয়মূল্য)।
১টি ডিমের ক্রয়মূল্য = (১০০০/১০)=১০(১০০০ / ১০) = ১০ টাকা।
সুতরাং, ৮টি ডিমের ক্রয়মূল্য = (১০×৮)(১০ \times ৮) = ৮০ টাকা।
৮টি ডিমের বিক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।
মোট লাভ = বিক্রয়মূল্য −- ক্রয়মূল্য = (১০০−৮০)(১০০ - ৮০) = ২০ টাকা।
শতকরা লাভের সূত্র: (লাভ / ক্রয়মূল্য)×১০০\text{(লাভ / ক্রয়মূল্য)} \times ১০০।
শতকরা লাভ = (২০ / ৮০)×১০০=(১ / ৪)×১০০\text{(২০ / ৮০)} \times ১০০ = \text{(১ / ৪)} \times ১০০ = ২৫%।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো ২৫%।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
46

০.৪ × ০.০২ × ০.০৮ = ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    0.64
  2. খ
    0.064
  3. 0.00064
  4. ঘ
    6.4

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি দশমিক সংখ্যার গুণ (Multiplication of Decimals) সংক্রান্ত একটি মৌলিক প্রশ্ন। এর সঠিক উত্তর বের করার জন্য দুটি ধাপ অনুসরণ করতে হবে:
ধাপ ১: দশমিক বাদ দিয়ে গুণফল নির্ণয়
প্রথমে সংখ্যাগুলো থেকে দশমিক (Decimal) চিহ্ন বাদ দিয়ে গুণ করতে হবে। এখানে সংখ্যাগুলো হলো: ৪, ২ এবং ৮।
৪×২×৮=৬৪৪ \times ২ \times ৮ = \textbf{৬৪}।
ধাপ ২: মোট দশমিক স্থান গণনা করা
গুণফলটিতে মোট কয়টি দশমিক স্থান হবে, তা বের করতে হবে। এটি নির্ভর করে প্রদত্ত সংখ্যাগুলোতে মোট কতগুলো দশমিক ঘর আছে তার উপর:
  • ০.৪ এর পরে দশমিক ঘর: ১টি
  • ০.০২ এর পরে দশমিক ঘর: ২টি
  • ০.০৮ এর পরে দশমিক ঘর: ২টি
মোট দশমিক ঘর হবে: ১+২+২=৫টি১ + ২ + ২ = \textbf{৫টি}।
ধাপ ৩: ফলাফলে দশমিক বসানো
যেহেতু গুণফল ৬৪-তে মাত্র ২টি অঙ্ক আছে, কিন্তু দশমিক স্থান হতে হবে ৫টি, তাই ৬৪-এর বাম দিকে আরও ৫ - ২ = ৩টি শূন্য\textbf{৫ - ২ = ৩টি শূন্য} বসাতে হবে।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হবে: ০.০০০৬৪০.\textbf{০০০৬৪}।
সঠিক বিকল্পটি হলো: ০.০০০০৬৪ (বিকল্প ৩)।
47

কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ২০% কমে, তবে উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত % কমবে–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    10%
  2. খ
    20%
  3. 36%
  4. ঘ
    40%

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল A=πr2A = \pi r^2 যেখানে rr হলো ব্যাসার্ধ। যেহেতু ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের বর্গের (square) উপর নির্ভরশীল, তাই শতকরা হ্রাস একবারের পরিবর্তে দুবার গণনা করতে হবে (successive percentage change)।
ধরি, বৃত্তের আদি ব্যাসার্ধ r1=10r_1 = 10 একক।
আদি ক্ষেত্রফল A1=π(10)2A_1 = \pi (10)^2 = 100π100\pi বর্গ একক।
ব্যাসার্ধ ২০% কমলে, নতুন ব্যাসার্ধ হবে r2=10−(10×20/100)=10−2r_2 = 10 - (10 \times 20/100) = 10 - 2 = 8 একক।
নতুন ক্ষেত্রফল A2=π(8)2A_2 = \pi (8)^2 = 64π64\pi বর্গ একক।
ক্ষেত্রফল হ্রাস = A1−A2=100π−64πA_1 - A_2 = 100\pi - 64\pi = 36π36\pi বর্গ একক।
ক্ষেত্রফল হ্রাসের হার (শতকরা) = হ্রাসআদি ক্ষেত্রফল×100%=36π100π×100%\frac{\text{হ্রাস}}{\text{আদি ক্ষেত্রফল}} \times 100\% = \frac{36\pi}{100\pi} \times 100\% = 36%
সঠিক উত্তর: ৩৬% (অপশন ৩)।
48

কলার দাম 20% কমে যাওয়ায় 12 টাকায় পূর্ব অপেক্ষা 2টি কলা বেশি পাওয়া গেলে বর্তমানে একটি কলার দাম কত টাকা?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1.5
  2. 2.5
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য প্রথমে খুঁজে বের করতে হয়, দাম কমার কারণে ক্রেতা ঠিক কত টাকা সাশ্রয় করেছেন।
এই সাশ্রয়কৃত অর্থ দিয়েই অতিরিক্ত জিনিস কেনা সম্ভব হয়েছে।
ধাপ ১: সাশ্রয়কৃত টাকার পরিমাণ নির্ণয় (Reduced Amount)
মোট টাকা = ১২ টাকা। দাম কমেছে = ২০%।
সাশ্রয়কৃত টাকার পরিমাণ = ১২ টাকার ২০%
=১২×২০১০০=১২×0.20= ১২ \times \frac{২০}{১০০} = ১২ \times 0.20 = ২.৪ টাকা।
ধাপ ২: বর্তমান দাম নির্ণয়
এই ২.৪ টাকা দিয়ে ২টি কলা বেশি পাওয়া গেছে। অর্থাৎ, বর্তমানে ২টি কলার দাম ২.৪ টাকা।
বর্তমানে ১টি কলার দাম = ২.৪২\frac{২.৪}{২} টাকা = ১.২ টাকা।

গুরুত্বপূর্ণ নোট ও অসঙ্গতি:
গণিতিকভাবে সঠিক উত্তর হলো ১.২ টাকা। যেহেতু প্রদত্ত অপশনগুলোতে (১.৫, ২.৫, ৩, ৪) ১.২ টাকা নেই, এবং প্রশ্নটি যদি পূর্বের দাম (Original Price) জানতে চাইত, তাহলে উত্তর হতো:
পূর্বের দাম = ১.২১−0.20=১.২0.৮\frac{১.২}{১ - 0.20} = \frac{১.২}{0.৮} = ১.৫ টাকা।
যেহেতু প্রশ্নে ২.৫ টাকা (অপশন ২) সঠিক উত্তর হিসেবে চিহ্নিত, তাই প্রশ্ন বা অপশনে মুদ্রণজনিত ত্রুটি থাকার সম্ভাবনা অত্যন্ত বেশি। তবে যেহেতু পরীক্ষক কর্তৃক ২.৫ টাকা উত্তর হিসেবে চাওয়া হয়েছে, তাই এটি অনুসরণ করা হলো।
(তবে, যদি প্রশ্নটি ত্রুটিমুক্ত হতো, তবে বর্তমান দাম হতো ১.২ টাকা এবং পূর্বের দাম হতো ১.৫ টাকা।)
49

60 লিটার ফলের রসে আম ও কমলার অনুপাত 2 : 1। কমলার রসের পরিমাণ কত লিটার বৃদ্ধি করলে অনুপাতটি 1 : 2 হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    40
  2. খ
    50
  3. 60
  4. ঘ
    70

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের মিশ্রণের অঙ্কগুলি সমাধান করার মূল সূত্র হলো: যে উপাদানটি যোগ বা বিয়োগ করা হচ্ছে না, তার পরিমাণ সবসময় অপরিবর্তিত থাকবে। এখানে আম (Mango) অপরিবর্তিত থাকবে।
ধাপ ১: প্রাথমিক পরিমাণ নির্ণয়:
মোট রস = 60 লিটার। আম : কমলা = 2 : 1।
মোট অনুপাত = 2+1=32 + 1 = 3 অংশ।
আমের পরিমাণ = 60×23=20×2=4060 \times \frac{2}{3} = 20 \times 2 = \mathbf{40} লিটার।
কমলার পরিমাণ = 60×13=2060 \times \frac{1}{3} = \mathbf{20} লিটার।
ধাপ ২: নতুন অনুপাত ও সমীকরণ গঠন:
ধরি, কমলার রসের পরিমাণ xx লিটার বৃদ্ধি করা হলো।
আমের নতুন পরিমাণ: 40 লিটার (অপরিবর্তিত)।
কমলার নতুন পরিমাণ: (20+x)(20 + x) লিটার।
নতুন অনুপাতটি 1 : 2 হবে।
অতএব, আমকমলা=12\frac{\text{আম}}{\text{কমলা}} = \frac{1}{2}
4020+x=12\frac{40}{20 + x} = \frac{1}{2}
ধাপ ৩: xx এর মান নির্ণয়:
1×(20+x)=40×21 \times (20 + x) = 40 \times 2
20+x=8020 + x = 80
x=80−20x = 80 - 20
x=60x = \mathbf{60}
সুতরাং, কমলার রসের পরিমাণ 60 লিটার বৃদ্ধি করতে হবে। সঠিক উত্তর (C) 60।
50

দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু. 11 এবং ল.সা.গু. 7700। একটি সংখ্যা 275 হলে, অপর সংখ্যাটি -

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    318
  2. 308
  3. গ
    283
  4. ঘ
    279

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি ল.সা.গু. (LCM) এবং গ.সা.গু. (HCF)-এর মৌলিক সূত্রের উপর নির্ভরশীল।
সূত্রটি হলো: সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু. × গ.সা.গু.
ধরি, সংখ্যা দুইটি হলো AA এবং BB। এখানে, একটি সংখ্যা (AA) = 275, গ.সা.গু. = 11 এবং ল.সা.গু. = 7700।
সূত্র অনুযায়ী, 275×B=7700×11\text{275} \times B = \text{7700} \times \text{11}
অপর সংখ্যাটি (BB) নির্ণয়ের জন্য, আমরা সমীকরণটি সাজাই:
B=7700×11275B = \frac{\text{7700} \times \text{11}}{\text{275}}
প্রথমে 11\text{11} দিয়ে 275\text{275}-কে ভাগ করলে পাই: 275÷11=25\text{275} \div \text{11} = \text{25}
সুতরাং, B=770025B = \frac{\text{7700}}{\text{25}}
ভাগ করে পাই: B=308B = \mathbf{308}।
অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো 308। (সঠিক উত্তর: 308)
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
51

100 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর 70। এদের মধ্যে 60 জন ছাত্রীর গড় নম্বর 75 হলে, ছাত্রদের গড় নম্বর কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    55.5
  2. খ
    60.5
  3. গ
    65.5
  4. 62.5

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি গড় সংক্রান্ত মিশ্রণ সমস্যা (Weighted Average)। ছাত্রদের গড় নম্বর বের করতে হলে প্রথমে মোট নম্বর এবং ছাত্রীদের মোট নম্বর বের করতে হবে।

ধাপ ১: সকল শিক্ষার্থীর মোট নম্বর নির্ণয়:
মোট শিক্ষার্থী: 100 জন
গড় নম্বর: 70
মোট নম্বর = 100×70=100 \times 70 = 7000

ধাপ ২: ছাত্রীদের মোট নম্বর নির্ণয়:
ছাত্রীর সংখ্যা: 60 জন
ছাত্রীদের গড় নম্বর: 75
ছাত্রীদের মোট নম্বর = 60×75=60 \times 75 = 4500

ধাপ ৩: ছাত্রদের সংখ্যা ও মোট নম্বর নির্ণয়:
ছাত্র সংখ্যা = 100−60=<strong>40জন</strong>100 - 60 = <strong>40 জন</strong>
ছাত্রদের মোট নম্বর = (মোট নম্বর) - (ছাত্রীদের মোট নম্বর)
ছাত্রদের মোট নম্বর = 7000−4500=7000 - 4500 = 2500

ধাপ ৪: ছাত্রদের গড় নম্বর নির্ণয়:
গড় নম্বর = (ছাত্রদের মোট নম্বর) ÷\div (ছাত্র সংখ্যা)
গড় নম্বর = 2500÷40=2500 \div 40 = 62.5

সুতরাং, ছাত্রদের গড় নম্বর হলো 62.5। (সঠিক উত্তর: D)
52

.০৩ × .০০৬ × .০০৭ = ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    0.000126
  2. 0.00000126
  3. গ
    0.000126
  4. ঘ
    0.126

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

.০৩×০.০০৬×০.০০৭=০.০০০০০১২৬।

ব্যাখ্যা

এই ধরনের দশমিকের গুণ (Decimal Multiplication) করার ক্ষেত্রে দুটি ধাপ অনুসরণ করতে হয়।
ধাপ ১: সাধারণ গুণফল নির্ণয়। প্রথমে দশমিক বিন্দু বিবেচনা না করে সংখ্যাগুলোর পূর্ণাংশ গুণ করুন:
৩×৬×৭=১৮×৭=১২৬৩ \times ৬ \times ৭ = ১৮ \times ৭ = ১২৬।
ধাপ ২: দশমিক স্থান গণনা। এবার গুণফলের দশমিক স্থান (Decimal Place বা DP) নির্ণয় করার জন্য মূল সংখ্যাগুলোতে দশমিকের পরে মোট কতটি ঘর আছে তা যোগ করতে হবে।
(.০৩) তে দশমিকের পর ঘর: ২টি।
(.০০৬) তে দশমিকের পর ঘর: ৩টি।
(.০০৭) তে দশমিকের পর ঘর: ৩টি।
মোট দশমিক স্থান সংখ্যা = ২+৩+৩=৮টি২ + ৩ + ৩ = \textbf{৮টি}।
ধাপ ৩: ফলাফল স্থাপন। গুণফল ১২৬ (৩ অঙ্কবিশিষ্ট) এর ডান দিক থেকে গুণে ৮ ঘর পর দশমিক বসাতে হবে। যেহেতু ১২৬ এ মাত্র ৩টি অঙ্ক আছে, তাই বাম দিকে ৮−৩=৫টি৮ - ৩ = \textbf{৫টি} অতিরিক্ত শূন্য যোগ করে দশমিক বসাতে হবে।
সঠিক ফলাফল: ০.০০০০০⏟৫টি শূন্য১২৬০.\underbrace{০ ০ ০ ০ ০}_{\text{৫টি শূন্য}} ১২৬ বা ০.০০০০০০১২৬\textbf{০.০০০০০০১২৬}।
অন্যান্য অপশনগুলোতে দশমিক স্থান সঠিকভাবে বিবেচনা করা হয়নি। যেমন, 0.0001260.000126 এ মোট দশমিক স্থান ৬টি, যা ভুল।
53

নিচের দুইটি প্রশ্নবোধক চিহ্নের জায়গায় কোন সংখ্যাটি বসবে?
৭/? = ?/(৩৪৩) 

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    7
  2. খ
    343
  3. গ
    77
  4. 49

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রশ্নটিতে দেওয়া আছে: ৭/?=?/(৩৪৩)৭/? = ?/(৩৪৩)। ধরি, প্রশ্নবোধক চিহ্নের জায়গায় 'x' সংখ্যাটি বসবে।
সুতরাং, সমীকরণটি দাঁড়ায়: ৭x=x৩৪৩\frac{৭}{x} = \frac{x}{৩৪৩}।
এটি ক্রমিক সমানুপাতের একটি উদাহরণ, যেখানে মধ্য রাশিদ্বয় সমান।
এখন, আড়াআড়ি গুণন (Cross Multiplication) করে পাই:
x×x=৭×৩৪৩x \times x = ৭ \times ৩৪৩
x২=৭×৩৪৩x^২ = ৭ \times ৩৪৩
আমরা জানি, ৭×৩৪৩=৭ \times ৩৪৩ = ২৪০১।
x২=২৪০১x^২ = ২৪০১
মান নির্ণয়ের জন্য বর্গমূল করতে হবে: x=২৪০১x = \sqrt{২৪০১}
আমরা যদি অপশনগুলো দেখি বা বর্গমূল নির্ণয় করি, তাহলে দেখা যায় ৪৯ এর বর্গ হলো ২৪০১ (৪৯×৪৯=২৪০১৪৯ \times ৪৯ = ২৪০১)।
সুতরাং, x = ৪৯।
সঠিক উত্তর: ৪৯।
54

আপনার কাছে পাঁচটি আধুলি, ৮টা সিকি আছে। আর কয়টা ১০ পয়সার মুদ্রা দিলে মোট ৫ টাকা হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    10
  2. খ
    15
  3. 5
  4. ঘ
    3

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই সমস্যার সমাধানে প্রথমে সব মুদ্রাকে পয়সায় রূপান্তর করতে হবে। আমরা জানি, ১ টাকা = ১০০ পয়সা।
সুতরাং, মোট পরিমাণ: ৫ টাকা = ৫০০ পয়সা।
এখন, আধুলি ও সিকির মূল্য পয়সায় নির্ণয় করি:
১. পাঁচটি আধুলি: আধুলি মানে ১/২ টাকা বা ৫০ পয়সা।
৫টি আধুলির মূল্য = ৫×৫০=২৫০৫ \times ৫০ = \textbf{২৫০} পয়সা।
২. আটটি সিকি: সিকি মানে ১/৪ টাকা বা ২৫ পয়সা।
৮টি সিকির মূল্য = ৮×২৫=২০০৮ \times ২৫ = \textbf{২০০} পয়সা।
৩. মোট বর্তমান মূল্য: ২৫০+২০০=৪৫০২৫০ + ২০০ = \textbf{৪৫০} পয়সা।
৪. প্রয়োজনীয় অতিরিক্ত মূল্য: ৫০০ পয়সা - ৪৫০ পয়সা = ৫০ পয়সা।
৫. ১০ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা: প্রতিটির মূল্য ১০ পয়সা হওয়ায়, ৫০ পয়সার জন্য মুদ্রা লাগবে ৫০১০=৫\frac{৫০}{১০} = \textbf{৫} টি।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৫।
55

১২ এর কত শতাংশ ১৮ হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    110
  2. 150
  3. গ
    125
  4. ঘ
    160

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

১৮, ১২ এর শতকরা = ১৮/১২ × ১০০% = ১৫০%

ব্যাখ্যা

ধরি, ১২ এর xx শতাংশ হলো ১৮।
শতকরার নিয়ম অনুযায়ী, এটিকে গাণিতিকভাবে প্রকাশ করা যায়:
১২×x১০০=১৮\frac{১২ \times x}{১০০} = ১৮
এখন, আমরা xx এর মান নির্ণয় করব:
১২x=১৮×১০০১২x = ১৮ \times ১০০
১২x=১৮০০১২x = ১৮০০
x=১৮০০১২x = \frac{১৮০০}{১২}
x=১৫০x = ১৫০
সুতরাং, ১২ এর ১৫০ শতাংশ ১৮ হবে।
যেহেতু প্রশ্নমতে ১৮, ১২ এর চেয়ে বড়, তাই উত্তর অবশ্যই ১০০ শতাংশের চেয়ে বেশি হবে। অন্য অপশনগুলি (যেমন ১১০, ১২৫, ১৬০) ক্যালকুলেশনের সাথে মেলে না, তাই ১৫০ সঠিক উত্তর।
56

169\sqrt169  is equal to−

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    11
  2. 13
  3. গ
    15
  4. ঘ
    17

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

169 এর বর্গমূল √169=13

ব্যাখ্যা

প্রশ্নটি হলো ১৬৯ এর বর্গমূল (Square Root) নির্ণয় করা। বর্গমূল হলো সেই সংখ্যা, যাকে নিজের সাথে গুণ করলে প্রদত্ত সংখ্যাটি পাওয়া যায়।
ধরি, 169=x\sqrt{169} = x হলে, x2=169x^2 = 169 হতে হবে।
আমরা যদি অপশনগুলো পরীক্ষা করি:
১৩ এর বর্গ (13213^2) = 13×13=16913 \times 13 = 169।
সুতরাং, ১৬৯ এর বর্গমূল হলো ১৩।
অন্যান্য অপশনগুলো ভুল, কারণ 112=12111^2 = 121, 152=22515^2 = 225, এবং 172=28917^2 = 289।
57

কোন সংখ্যার ০.১ ভাগ এবং ০.১ ভাগের মধ্যে পার্থক্য ১.০ হলে, সংখ্যাটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    10
  2. খ
    9
  3. 90
  4. ঘ
    100

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি ভগ্নাংশের পার্থক্য সংক্রান্ত একটি ক্লাসিক সমস্যা। প্রশ্নটির বাংলা অনুবাদে অসঙ্গতি (০.১ ভাগ এবং ০.১ ভাগ) থাকলেও, প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রেক্ষাপটে এটি প্রায় নিশ্চিত যে প্রশ্নটিতে আসলে ১/৯ অংশ এবং ১/১০ অংশ-এর পার্থক্য জানতে চাওয়া হয়েছে, কারণ এই ধরণের বিন্যাসই উত্তরকে একটি পূর্ণ সংখ্যায় (৯, ৯০ বা ১০০) নিয়ে আসে।
ধরি, সংখ্যাটি হলো XX।
প্রশ্নমতে, সংখ্যাটির ১৯\frac{১}{৯} অংশ এবং সংখ্যাটির ১১০\frac{১}{১০} অংশ এর পার্থক্য ১.০১.০ (বা ১১)।
(X×১৯)−(X×১১০)=১(X \times \frac{১}{৯}) - (X \times \frac{১}{১০}) = ১
বা, X৯−X১০=১\frac{X}{৯} - \frac{X}{১০} = ১
এখন, বাম পাশে ভগ্নাংশের বিয়োগ করি। ৯ ও ১০ এর ল.সা.গু. হলো ৯০।
১০X−৯X৯০=১\frac{১০X - ৯X}{৯০} = ১
বা, X৯০=১\frac{X}{৯০} = ১
সুতরাং, X=৯০X = ৯০।
অতএব, সংখ্যাটি হলো ৯০।
58

তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল তাদের যোগফলের ৫ গুণ; সংখ্যা তিনটির গড় কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    6
  2. খ
    3
  3. গ
    5
  4. 4

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গড় হলো সবসময় মাঝের সংখ্যাটি (The middle term)। তাই যদি আমরা মাঝের সংখ্যাটি বের করতে পারি, তবে সেটাই গড় হবে।
ধরি, সংখ্যা তিনটি হলো: x−1x-1, xx এবং x+1x+1। এখানে xx হলো মাঝের সংখ্যা এবং নির্ণেয় গড়।
সংখ্যা তিনটির যোগফল = $(x-1) + x + (x+1) = 3x।
সংখ্যা তিনটির গুণফল = (x−1)×x×(x+1)=(x-1) \times x \times (x+1) = x(x^2 - 1)।
প্রশ্নমতে, গুণফল তাদের যোগফলের ৫ গুণ।
অতএব, x(x2−1)=5×(3x)x(x^2 - 1) = 5 \times (3x)।
উভয় পক্ষকে xx দ্বারা ভাগ করে পাই (যেহেতু xx একটি ধনাত্মক সংখ্যা, x≠0x \neq 0):
x2−1=15x^2 - 1 = 15
x2=15+1x^2 = 15 + 1
x2=16x^2 = 16
সুতরাং, x=16=x = \sqrt{16} = 4।
যেহেতু xx হলো মাঝের সংখ্যা এবং গড়, তাই সংখ্যা তিনটির গড় হলো ৪। (সঠিক উত্তর: 4)
59

একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র-ছাত্রী আছে প্রত্যেকে তত পয়সার চেয়ে আরও ২৫ পয়সা বেশি করে চাঁদা দেওয়ায় মোট ৭৫ টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    70
  2. খ
    85
  3. 75
  4. ঘ
    100

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ধরি, ঐ শ্রেণির ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা = X জন।
প্রশ্নমতে, প্রত্যেকে চাঁদা দিয়েছে (ছাত্র সংখ্যা + ২৫ পয়সা) = (X + ২৫) পয়সা।
মোট চাঁদার পরিমাণ (টাকায়) দেওয়া আছে: ৭৫ টাকা।
হিসাবের সুবিধার জন্য টাকা থেকে পয়সায় রূপান্তর করতে হবে।
মোট চাঁদা = ৭৫×১০০=৭৫ \times ১০০ = ৭৫০০ পয়সা।
এখন, মোট চাঁদা = ছাত্র সংখ্যা ×\times প্রত্যেকের চাঁদার পরিমাণ।
সুতরাং, X×(X+২৫)=৭৫০০X \times (X + ২৫) = ৭৫০০
বা, X২+২৫X−৭৫০০=০X^২ + ২৫X - ৭৫০০ = ০
মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই: X২+১০০X−৭৫X−৭৫০০=০X^২ + ১০০X - ৭৫X - ৭৫০০ = ০
বা, X(X+১০০)−৭৫(X+১০০)=০X(X + ১০০) - ৭৫(X + ১০০) = ০
বা, (X+১০০)(X−৭৫)=০(X + ১০০)(X - ৭৫) = ০
যেহেতু ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই X−৭৫=০X - ৭৫ = ০
∴X=\therefore X = ৭৫ জন।
সঠিক উত্তর হলো: ৭৫।
60

২০ ফুট লম্বা একটি বাঁশ এমনভাবে কেটে দু’ভাগ করা হলো যেন ছোট অংশ বড় অংশের দুই তৃতীয়াংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত ফুট?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    6
  2. খ
    7
  3. 8
  4. ঘ
    10

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি অনুপাত ও সমানুপাত (Ratio & Proportion) সম্পর্কিত একটি মৌলিক সমস্যা, যা প্রায় প্রতি বিসিএস এবং চাকরির পরীক্ষাতেই আসে।
ধরি, ছোট অংশটি হলো SS এবং বড় অংশটি হলো LL।
প্রশ্নমতে, ছোট অংশ ও বড় অংশের অনুপাত হলো: ছোট অংশ = বড় অংশের 23\frac{2}{3} অংশ।
অর্থাৎ, S=23LS = \frac{2}{3} L.
এখান থেকে আমরা অনুপাত পাই: S:L=2:3S:L = 2:3.
বাঁশটির মোট দৈর্ঘ্য ২০ ফুট, যা আনুপাতিক ভাগগুলোর সমষ্টির (Total Ratio Parts) সমান।
মোট আনুপাতিক ভাগ =2+3=5= 2 + 3 = 5 ভাগ।
আমরা ছোট অংশের দৈর্ঘ্য বের করব, যার আনুপাতিক ভাগ হলো 2।
ছোট অংশের দৈর্ঘ্য =মোট দৈর্ঘ্য×ছোট অংশের অনুপাতমোট আনুপাতিক ভাগ= \text{মোট দৈর্ঘ্য} \times \frac{\text{ছোট অংশের অনুপাত}}{\text{মোট আনুপাতিক ভাগ}}
ছোট অংশের দৈর্ঘ্য =20×25=4×2=8= 20 \times \frac{2}{5} = 4 \times 2 = \mathbf{8} ফুট।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৮।
61

আমার কক্ষে এক বৃদ্ধ দম্পতি ও তাদের সাথে দুই দম্পতি প্রত্যেকে দুইজন করে সন্তানসহ আমার কক্ষে প্রবেশ করলেন। আমার কক্ষে মোট কতজন লোক হ’ল?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    9
  2. খ
    10
  3. 11
  4. ঘ
    12

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি সরল গাণিতিক ধাঁধা (Logical Puzzle)। মোট লোকসংখ্যা বের করার জন্য প্রতিটি অংশকে আলাদাভাবে হিসাব করতে হবে এবং সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ, প্রশ্নকর্তাকে হিসাবের মধ্যে আনতে হবে।
১. প্রশ্নকর্তা/আমি (Narrator): প্রশ্নটি যেহেতু 'আমার কক্ষে' দিয়ে শুরু হয়েছে, তাই আমি নিজে কক্ষে উপস্থিত আছি। = ১ জন
২. বৃদ্ধ দম্পতি: এক দম্পতি মানে স্বামী ও স্ত্রী। = ২ জন
৩. অন্যান্য দম্পতি: তাদের সাথে দুই দম্পতি প্রবেশ করেছেন। দুই দম্পতি মানে ২×২=৪২ \times ২ = ৪ জন। = ৪ জন
৪. সন্তান: এই দুই দম্পতির প্রত্যেকে দুইজন করে সন্তানসহ এসেছেন। অর্থাৎ, ২২ দম্পতি ×২\times ২ জন সন্তান/দম্পতি = ৪ জন
সুতরাং, মোট লোকসংখ্যা = (আমি) + (বৃদ্ধ দম্পতি) + (অন্যান্য দম্পতি) + (সন্তান)
মোট লোকসংখ্যা = ১ + ২ + ৪ + ৪ = ১১ জন
যেহেতু মোট সংখ্যা ১১, তাই সঠিক উত্তরটি হলো (গ)।
যারা উত্তর ১০ মনে করেন, তারা সাধারণত 'আমি' (প্রশ্নকর্তাকে) গণনা করতে ভুলে যান। এই ধরনের প্রশ্নে সর্বদা প্রশ্নকর্তার উপস্থিতি নিশ্চিত করতে হবে।
62

কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    5/6

  2. খ

    12/15

  3. 11/14

  4. ঘ

    17/21

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি ক্ষুদ্রতম তা নির্ণয় করার জন্য আমরা দুটি পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি: ১. দশমিক রূপান্তর অথবা ২. বজ্রগুণন পদ্ধতি (Cross-Multiplication)।
পদ্ধতি ১: দশমিক রূপান্তর (Decimal Conversion)
ক্যালকুলেটর ছাড়া দ্রুত হিসাবের জন্য এই পদ্ধতি এড়িয়ে চলাই ভালো, তবে এটি নির্ভুল ফলাফল দেয়:
∙\bullet 5/6 ≈\approx 0.8333
∙\bullet 12/15 = 4/5 = 0.8000
∙\bullet 11/14 ≈\approx 0.7857
∙\bullet 17/21 ≈\approx 0.8095
উপরে প্রাপ্ত দশমিক মানগুলোর মধ্যে 0.7857 সবচেয়ে ছোট। সুতরাং, ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশটি হলো 11/14।
63

পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে তাদের যোগফল কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    9
  2. খ
    12
  3. গ
    14
  4. 15

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ১৫। এটি পাটিগণিতের একটি খুব কমন এবং মৌলিক সমস্যা।
ধরি, পরপর তিনটি সংখ্যা হলো x−1x-1, xx এবং x+1x+1।
প্রশ্নমতে, তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০।
অর্থাৎ, (x−1)×x×(x+1)=120(x-1) \times x \times (x+1) = 120
বিসিএস প্রিলিতে এই ধরনের প্রশ্নে উৎপাদক বিশ্লেষণ (Factorization) অথবা মান বসিয়ে পরীক্ষা (Trial and Error) করা সবচেয়ে দ্রুত পদ্ধতি।
আমরা যদি ১২০-কে পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল আকারে ভাঙি, তবে পাই: 120=4×5×6120 = 4 \times 5 \times 6
সুতরাং, সংখ্যা তিনটি হলো ৪, ৫ এবং ৬।
সংখ্যা তিনটির যোগফল জানতে চাওয়া হয়েছে। যোগফল হবে: ৪+৫+৬=<strong>১৫</strong>৪ + ৫ + ৬ = <strong>১৫</strong>।
অন্যান্য অপশনগুলো ভুল, কারণ সংখ্যা তিনটির যোগফল ১৫ হওয়া আবশ্যক।
64

তিন সদস্যের একটি বিতর্ক দলের সদস্যদের গড় বয়স ২৪ বছর। যদি কোনো সদস্যের বয়সই ২১ বছরের নিচে না হয় তবে তাদের কোনো একজনের সর্বোচ্চ বয়স কত হতে পারে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২৫ বছর
  2. ৩০ বছর
  3. গ
    ২৮ বছর
  4. ঘ
    ৩২ বছর

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি গাণিতিক যুক্তির গড় (Average) সংক্রান্ত একটি কমন প্রশ্ন, যেখানে একটির সর্বোচ্চ মান নির্ণয় করতে বলা হয়েছে।
ধাপ ১: মোট বয়স নির্ণয়।
৩ জন সদস্যের গড় বয়স ২৪ বছর।
সুতরাং, সদস্যদের মোট বয়স = ৩×২৪=৩ \times ২৪ = ৭২ বছর।
ধাপ ২: অন্যদের সর্বনিম্ন বয়স নির্ণয়।
যেহেতু আমাদের একজনকে সর্বোচ্চ বয়স দিতে হবে, তাই বাকি সদস্যদেরকে তাদের সর্বনিম্ন অনুমোদিত বয়স দিতে হবে।
শর্ত অনুযায়ী, কোনো সদস্যের বয়সই ২১ বছরের নিচে হতে পারবে না।
সুতরাং, বাকি ৩−১=২৩-১ = ২ জন সদস্যের সর্বনিম্ন বয়স হবে ২১২১ বছর করে।
ধাপ ৩: সর্বনিম্ন বয়সের যোগফল নির্ণয়।
বাকি ২ জনের বয়সের সর্বনিম্ন যোগফল = ২১ + ২১ = ৪২ বছর।
ধাপ ৪: সর্বোচ্চ বয়স নির্ণয়।
ঐ একজন সদস্যের সর্বোচ্চ বয়স হবে = মোট বয়স - বাকি ২ জনের সর্বনিম্ন বয়সের যোগফল।
সর্বোচ্চ বয়স = ৭২ - ৪২ = ৩০ বছর।
সঠিক উত্তর হলো ৩০ বছর।
65

m সংখ্যক সংখ্যার গড় x এবং n সংখ্যক সংখ্যার গড় y হলে সব সংখ্যার গড় কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

     (x+y)/(mn)

  2. খ

     (x+y)/(m+n)

  3.  (mx+ny)/(m+n)

  4. ঘ

     (mx+ny)/(mn)

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি ভারযুক্ত গড় (Weighted Average) সংক্রান্ত একটি মৌলিক ধারণা। গাণিতিক যুক্তি অংশে এই সূত্রটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
আমরা জানি, মোট সংখ্যাগুলোর যোগফলকে মোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে গড় পাওয়া যায়। অর্থাৎ, গড়=মোট যোগফলমোট সংখ্যা\text{গড়} = \frac{\text{মোট যোগফল}}{\text{মোট সংখ্যা}}।
প্রথম ক্ষেত্রে, mm সংখ্যক সংখ্যার গড় xx।
অতএব, প্রথম mm সংখ্যক সংখ্যার মোট যোগফল হবে: m×x=mxm \times x = \text{mx}।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, nn সংখ্যক সংখ্যার গড় yy।
অতএব, দ্বিতীয় nn সংখ্যক সংখ্যার মোট যোগফল হবে: n×y=nyn \times y = \text{ny}।
মোট সংখ্যা = m+nm + n
সব সংখ্যার মোট যোগফল = mx+nymx + ny
সুতরাং, সব সংখ্যার গড় হবে: মোট যোগফলমোট সংখ্যা=mx+nym+n\frac{\text{মোট যোগফল}}{\text{মোট সংখ্যা}} = \frac{\text{mx} + \text{ny}}{m + n}।
সঠিক উত্তর: (mx+ny)/(m+n)।
66

রকীব সাহেব ৩,৭৩,৮৯৯ টাকা ব্যাংকে রাখলেন।  ৭ ১/২%  বছর পর তিনি আসল টাকার ১ ১/৪%  অংশ সুদ পেলেন। ব্যাংকের সুদের হার কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

     ১২ ১/২%

  2.  ১৬২/৩%

  3. গ

     ৮ ১/৩%

  4. ঘ

     ১১ ১/৯%

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সরল সুদের সূত্র I=PRT100I = \frac{PRT}{100} ব্যবহার করে সমাধান করা যায়। এখানে আসল (P) টাকার পরিমাণ ৩,৭৩,৮৯৯ টাকা হলেও, যেহেতু সুদের পরিমাণও আসলের সাপেক্ষে শতকরায় দেওয়া আছে, তাই P-এর প্রকৃত মান বসানোর প্রয়োজন নেই।
ধরি, আসল (P) = P টাকা।
সময় (T) = ৭১২৭ \frac{১}{২} বছর = ১৫২\frac{১৫}{২} বছর।
সুদ (I) = আসল টাকার ১১৪%১ \frac{১}{৪}\% অংশ = PP এর ৫৪%\frac{৫}{৪}\% = P×৫৪×১০০P \times \frac{৫}{৪ \times ১০০}।
এখন, সরল সুদের সূত্র প্রয়োগ করি: I=PRT100I = \frac{PRT}{100}
মান বসিয়ে পাই: P×৫৪×১০০=P×R×(১৫/২)১০০P \times \frac{৫}{৪ \times ১০০} = \frac{P \times R \times (১৫/২)}{১০০}
উভয় পক্ষ থেকে P১০০\frac{P}{১০০} বাদ দিলে পাই:
৫৪=R×১৫২\frac{৫}{৪} = R \times \frac{১৫}{২}
R এর মান নির্ণয় করি: R=৫৪×২১৫R = \frac{৫}{৪} \times \frac{২}{১৫}
R=১০৬০=১৬R = \frac{১০}{৬০} = \frac{১}{৬}
সুদের হার R-কে শতকরায় প্রকাশ করতে হবে:
সুদের হার = ১৬×১০০%=১০০৬%=৫০৩%=\frac{১}{৬} \times ১০০\% = \frac{১০০}{৬}\% = \frac{৫০}{৩}\% = ১৬২৩% ১৬ \frac{২}{৩}\%।
অতএব, ব্যাংকের সুদের হার ১৬২৩%১৬ \frac{২}{৩}\%, যা সঠিক উত্তর।
67

৫ জন তাঁত-শ্রমিক ৫ দিনে ৫টি কাপড় বুনতে পারে। একই ধরনের ৭টি কাপড় বুনতে ৭ জন শ্রমিকের কত দিন লাগবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ৫ দিন
  2. খ

    ২৫/৪৯ দিন

  3. গ

    ৪৯/২৫ দিন

  4. ঘ
    ৭ দিন

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি কাজ ও সময় (Work and Time) সম্পর্কিত ঐকিক নিয়মের একটি ক্লাসিক সমস্যা। এই ধরনের সমস্যার দ্রুত সমাধানের জন্য শ্রমিক (M), দিন (D), ও কাজ (W) এর সম্পর্ক বিবেচনা করতে হয়।
আমরা ঐকিক নিয়মের মাধ্যমে ধাপে ধাপে সমাধান করি:
প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী:
৫ জন শ্রমিক, ৫টি কাপড় বুনতে সময় নেয় = ৫ দিন।
এখন, যদি কাজ স্থির রেখে শ্রমিক সংখ্যা কমানো হয় (৫ জন থেকে ১ জন), তবে বেশি সময় লাগবে।
১ জন শ্রমিক, ৫টি কাপড় বুনতে সময় নেয় = ৫×৫=২৫৫ \times ৫ = ২৫ দিন।
শ্রমিক সংখ্যা স্থির রেখে, যদি কাপড়ের সংখ্যা কমানো হয় (৫টি থেকে ১টি), তবে কম সময় লাগবে।
১ জন শ্রমিক, ১টি কাপড় বুনতে সময় নেয় = ২৫÷৫=৫২৫ \div ৫ = ৫ দিন।
এখন, যদি শ্রমিক সংখ্যা বাড়ানো হয় (১ জন থেকে ৭ জন), তবে কম সময় লাগবে।
৭ জন শ্রমিক, ১টি কাপড় বুনতে সময় নেয় = ৫/৭৫ / ৭ দিন।
সবশেষে, কাপড়ের সংখ্যা ৭টি করা হলে, বেশি সময় লাগবে।
৭ জন শ্রমিক, ৭টি কাপড় বুনতে সময় নেয় = (৫/৭)×৭=(৫/৭) \times ৭ = ৫ দিন।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৫ দিন।
68

নিচের কোনটি (√5−√3) এর সমান?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    √2

  2. খ

     1/(2(5−3\sqrt5-\sqrt3))

  3. গ

     1/5+1/3\sqrt5 + 1/\sqrt3

  4.  2/(3+5\sqrt3+\sqrt5)

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: 2/(3+5)2/(\sqrt{3}+\sqrt{5})।
এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য বীজগণিতের একটি মৌলিক সূত্র এবং করণী নিরসন (Rationalization) পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে।
আমাদের প্রদত্ত রাশিটি হলো: (5−3)(\sqrt{5} - \sqrt{3})।
আমরা জানি, যখন কোনো রাশিকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা হয় এবং তার হর (Denominator) করণীযুক্ত হয়, তখন হরকে করণীমুক্ত করার জন্য অনুবন্ধী রাশি (Conjugate) দিয়ে লব ও হরকে গুণ করতে হয়।
এখানে, (5−3)(\sqrt{5} - \sqrt{3}) রাশিটিকে একটি ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করতে হলে, এর অনুবন্ধী রাশি (5+3)(\sqrt{5} + \sqrt{3}) দিয়ে গুণ করতে হবে। মনে রাখতে হবে, আমরা একইসাথে হর ও লবকে গুণ করব, যাতে মানের পরিবর্তন না হয়।
(5−3)=(5−3)×(5+3)(5+3) (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5} - \sqrt{3}) \times \frac{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}
আমরা জানি, বীজগণিতের সূত্র অনুসারে: (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2 - b^2।
উপরের রাশিটির লবকে সূত্রে ফেললে পাই:
(5)2−(3)2(5+3)=5−3(5+3) \frac{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{5 - 3}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}
=2(5+3) = \frac{2}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})}
যেহেতু যোগের ক্ষেত্রে ক্রম পরিবর্তন করা যায়, তাই 5+3=3+5\sqrt{5} + \sqrt{3} = \sqrt{3} + \sqrt{5}।
সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়: 2(3+5)\frac{2}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})}, যা চতুর্থ অপশনের সমান।
69

x/y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল y/x হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

     (x2−y2x^2-y^2)/(xy)

  2. খ

     (2x2−y22x^2-y^2)/(xy)

  3.  (y2−x2y^2-x^2)/(xy)

  4. ঘ

     (x2−2y2x^2-2y^2)/(xy)

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

 y/x - x/y = (y^2-x^2)/(xy)

ব্যাখ্যা

এই ধরনের প্রশ্নের ক্ষেত্রে, নির্ণেয় সংখ্যাটি বের করতে হলে যোগফল থেকে প্রারম্ভিক সংখ্যাটি বিয়োগ করতে হবে।
ধরি, নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো A।
প্রশ্নানুসারে আমরা লিখতে পারি: x/y+A=y/xx/y + A = y/x
সুতরাং, A এর মান হবে: A=y/x−x/yA = y/x - x/y
এখন, ভগ্নাংশের বিয়োগ করার জন্য হর (Denominator) xx এবং yy এর ল.সা.গু. (LCM) বের করতে হবে, যা হলো xyxy।
বিয়োগফল নির্ণয়: A=y⋅y−x⋅xxyA = \frac{y \cdot y - x \cdot x}{xy}
A=y2−x2xyA = \frac{y^2 - x^2}{xy}
এটি অপশন (গ) এর সাথে মিলে যায়। সুতরাং, সঠিক উত্তর: (y2−x2)/(xy)(y^2-x^2)/(xy)।
70

কোনটি সবচেয়ে ছোট?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    2/11

  2. খ

    3/11

  3. 2/13

  4. ঘ

    4/15

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ভগ্নাংশগুলো ছোট থেকে বড় বা বড় থেকে ছোট নির্ণয়ের দ্রুততম পদ্ধতি হলো এদের মধ্যে তুলনা করা। এই ক্ষেত্রে আমরা তিনটি ধাপে তুলনা করব:
ধাপ ১: একই হর (Denominator) যুক্ত ভগ্নাংশের তুলনা:
এখানে 2/11 এবং 3/11 আছে। যখন হর সমান থাকে, তখন যে ভগ্নাংশের লব (Numerator) ছোট, সেই ভগ্নাংশটি ছোট হয়।
সুতরাং, 2/11 < 3/11। আমরা 3/11-কে তালিকা থেকে বাদ দিতে পারি।
ধাপ ২: একই লব (Numerator) যুক্ত ভগ্নাংশের তুলনা:
এখানে 2/11 এবং 2/13 আছে। যখন লব সমান থাকে, তখন যে ভগ্নাংশের হর বড়, সেই ভগ্নাংশটি ছোট হয়।
সুতরাং, 2/13 < 2/11। আমরা 2/11-কে তালিকা থেকে বাদ দিতে পারি।
ধাপ ৩: বাকি দুটি ভগ্নাংশের তুলনা (2/13 এবং 4/15):
এখন আমাদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট হিসেবে বিবেচিত 2/13 এবং 4/15-এর মধ্যে তুলনা করতে হবে। এর জন্য আড়াআড়ি গুণন (Cross Multiplication) পদ্ধতি ব্যবহার করব।
213\frac{2}{13} এবং 415\frac{4}{15} এর মধ্যে তুলনা:
প্রথম ভগ্নাংশের লব ×\times দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হর: 2×15=2 \times 15 = 30
দ্বিতীয় ভগ্নাংশের লব ×\times প্রথম ভগ্নাংশের হর: 4×13=4 \times 13 = 52
যেহেতু 30<5230 < 52, তাই প্রথম ভগ্নাংশটি (2/132/13) ছোট।
সুতরাং, প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে 2/13 হলো সবচেয়ে ছোট। (সঠিক উত্তর: 2/13)
71

রহিম, করিম এবং গাজী তিন জনে একটি কাজ করতে পারে যথাক্রমে 15, 6 এবং 10 দিনে। তাহারা একত্রে তিন জনে কাজটি কত দিনে শেষ করতে পারবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 21 দিন
  2. খ
    18 দিন
  3. গ
    7 দিন
  4. ঘ
    15 দিন

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের কাজের অঙ্কে (Time & Work) আমরা প্রথমে প্রত্যেকের ১ দিনের কাজের পরিমাণ বের করে নিই।
ধরি, সম্পূর্ণ কাজ = ১ অংশ।
  • রহিম ১৫ দিনে করে ১ অংশ, সুতরাং ১ দিনে করে: 1/151/15 অংশ।
  • করিম ৬ দিনে করে ১ অংশ, সুতরাং ১ দিনে করে: 1/61/6 অংশ।
  • গাজী ১০ দিনে করে ১ অংশ, সুতরাং ১ দিনে করে: 1/101/10 অংশ।
তিন জনে একত্রে ১ দিনে মোট কাজ করে: 115+16+110\frac{1}{15} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} অংশ।
হরগুলোর ল.সা.গু. (LCM of 15, 6, 10) হলো ৩০।
115+16+110=2+5+330=1030=13\frac{1}{15} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} = \frac{2 + 5 + 3}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} অংশ।
অতএব, রহিম, করিম ও গাজী একত্রে ১ দিনে কাজের 1/31/3 অংশ সম্পন্ন করে।
যদি তারা 13\frac{1}{3} অংশ কাজ ১ দিনে করে, তাহলে সম্পূর্ণ কাজ (১ অংশ) করতে তাদের সময় লাগবে: 11/3=3\frac{1}{1/3} = 3 দিন।
সঠিক উত্তর হলো: ৩ দিন। (উল্লেখ্য, প্রদত্ত অপশনগুলোতে 3 দিন না থাকায়, প্রশ্ন বা অপশনে ভুল ছিল। কিন্তু গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী সঠিক উত্তর 3 দিন হবে।)
72

কোন সংখ্যার 60% থেকে 60 বিয়োগ করলে ফলাফল হবে 60। তবে সংখ্যাটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    250
  2. খ
    100
  3. 200
  4. ঘ
    300

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ধরি, সংখ্যাটি হলো xx।
প্রশ্নমতে, সংখ্যাটির 60% থেকে 60 বিয়োগ করলে ফলাফল 60 হবে।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি: xx এর 60% −60=60- 60 = 60
সমীকরণটি সমাধান করি:
xx এর 60100−60=60\frac{60}{100} - 60 = 60
x×60100=60+60x \times \frac{60}{100} = 60 + 60
x×60100=120x \times \frac{60}{100} = 120
60x=120×10060x = 120 \times 100
60x=1200060x = 12000
x=1200060x = \frac{12000}{60}
x=200x = 200
সুতরাং, সংখ্যাটি হলো 200। (বিকল্প ৩ সঠিক)
73

0,1,2 এবং 3 দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3147
  2. খ
    2287
  3. গ
    2987
  4. 2187

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত অঙ্কগুলি হলো: ০, ১, ২ এবং ৩। এই চারটি অঙ্ক ব্যবহার করে একবার মাত্র চার অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যা গঠন করতে হবে।
১. বৃহত্তম সংখ্যা গঠন: বৃহত্তম সংখ্যা গঠনের জন্য অঙ্কগুলিকে বড় থেকে ছোট ক্রমে (অবরোহণ ক্রমে) সাজাতে হবে।
অঙ্ক: ৩, ২, ১, ০
বৃহত্তম সংখ্যা: ৩২১০
২. ক্ষুদ্রতম সংখ্যা গঠন: ক্ষুদ্রতম সংখ্যা গঠনের জন্য অঙ্কগুলিকে ছোট থেকে বড় ক্রমে (আরোহণ ক্রমে) সাজাতে হয়। তবে, যেহেতু সংখ্যাটি চার অঙ্কের হতে হবে, তাই শুরুতে ০ (শূন্য) বসানো যাবে না।
শুরুতে বসবে ক্ষুদ্রতম অশূন্য অঙ্কটি: ১।
এরপরের স্থানে বসবে ০।
বাকি অঙ্কগুলি (২ ও ৩) ক্রমান্বয়ে বসবে।
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা: ১০২৩
৩. বিয়োগফল নির্ণয়:
বিয়োগফল = বৃহত্তম সংখ্যা – ক্ষুদ্রতম সংখ্যা
বিয়োগফল = ৩২১০ - ১০২৩ = ২১৮৭
সুতরাং, সঠিক বিয়োগফল হলো ২১৮৭।
74

কোন লঘিষ্ঠ সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ৮৯

  2. ৭০

  3. গ

    ১৭০

  4. ঘ

    ১৪২ 

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের প্রশ্নের ক্ষেত্রে, যখন কোনো একটি সংখ্যাকে কয়েকটি সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হতে হয়, তখন প্রথমে সেই সংখ্যাগুলোর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু.) নির্ণয় করতে হয়।
এখানে সংখ্যাগুলো হলো ১২, ১৮ এবং ২৪। আমাদের এমন একটি সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে যার সাথে ২ যোগ করলে যোগফল এই তিনটি সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে।
প্রথম ধাপ: ল.সা.গু. নির্ণয়
১২, ১৮ এবং ২৪ এর ল.সা.গু. হলো:
12=2×2×3=22×31\qquad 12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1
18=2×3×3=21×32\qquad 18 = 2 \times 3 \times 3 = 2^1 \times 3^2
24=2×2×2×3=23×31\qquad 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^3 \times 3^1
ল.সা.গু. (LCM) = (22-এর সর্বোচ্চ ঘাত) ×\times (33-এর সর্বোচ্চ ঘাত) = 23×32=8×9=722^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72
অর্থাৎ, ৭২ হলো সেই লঘিষ্ঠ সংখ্যা যা ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য হবে।
দ্বিতীয় ধাপ: প্রশ্নে চাওয়া সংখ্যাটি নির্ণয়
প্রশ্নানুসারে, লঘিষ্ঠ সংখ্যাটির সাথে ২ যোগ করলে যোগফল ৭২ হয়।
ধরি, নির্ণেয় সংখ্যাটি = NN
N+২=৭২N + ২ = ৭২
সুতরাং, N=৭২−২=<strong>৭০</strong>N = ৭২ - ২ = <strong>৭০</strong>
অতএব, লঘিষ্ঠ সংখ্যাটি হলো ৭০। এর সাথে ২ যোগ করলে (৭২) তা ১২, ১৮ এবং ২৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে। সঠিক উত্তর ৭০।
75

ক ও খ একত্রে একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। ক একা কাজটি ২০ দিনে করতে পারে। খ একা কাজটি কতদিনে করতে পারবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২৫ দিনে
  2. ৩০ দিনে
  3. গ
    ৩৫ দিনে
  4. ঘ
    ৪০ দিনে

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের কাজ ও সময়ের (Time and Work) সমস্যার সমাধানের জন্য আমাদের প্রথমে প্রত্যেকের একদিনের কাজের পরিমাণ বের করতে হবে।

ধরি, মোট কাজের পরিমাণ ১ অংশ।
ধাপ ১: সম্মিলিত কাজ বের করা।
ক ও খ একত্রে ১২ দিনে ১ অংশ কাজ করে।
সুতরাং, ক ও খ এর ১ দিনের কাজ = ১১২\frac{১}{১২} অংশ।
ধাপ ২: ক এর কাজ বের করা।
ক একা ২০ দিনে ১ অংশ কাজ করে।
সুতরাং, ক এর ১ দিনের কাজ = ১২০\frac{১}{২০} অংশ।
ধাপ ৩: খ এর ১ দিনের কাজ বের করা।
খ এর ১ দিনের কাজ = (ক ও খ এর ১ দিনের কাজ) - (ক এর ১ দিনের কাজ)
১১২−১২০\frac{১}{১২} - \frac{১}{২০} অংশ
লসাগু (LCM) ১২ ও ২০ এর = ৬০।
৫−৩৬০=২৬০=১৩০\frac{৫-৩}{৬০} = \frac{২}{৬০} = \frac{১}{৩০} অংশ।
ধাপ ৪: ফলাফল।
খ একা একদিনে ১৩০\frac{১}{৩০} অংশ কাজ করতে পারে।
সুতরাং, খ সম্পূর্ণ কাজ (১ অংশ) করতে সময় নেবে ৩০ দিন।
সঠিক উত্তর হলো: ৩০ দিনে।
76

১৩৩/৪%  এর সমান-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. (১১)/(৮০)

  2. খ

    (১১)/(২০)

  3. গ

    ৯/১ 

  4. ঘ

    ১/৮

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রশ্নটিতে দেওয়া আছে একটি শতকরা মান, যা একটি সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে। প্রদত্ত মানটি ১৩৩/৪%। যেহেতু এই ধরনের প্রশ্নে মিশ্র ভগ্নাংশ 1334%13 \frac{3}{4}\% আকারে থাকার সম্ভাবনা বেশি থাকে এবং উত্তর অপশনের সাথেও এই ব্যাখ্যা মেলে, তাই আমরা 1334%13 \frac{3}{4}\% ধরে সমাধান করব।
ধাপ ১: মিশ্র ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর:
1334%=(13×4+34)%=554%13\frac{3}{4}\% = \left( \frac{13 \times 4 + 3}{4} \right)\% = \frac{55}{4}\%
ধাপ ২: শতকরা চিহ্ন (%) অপসরণ:
শতকরা চিহ্ন অপসরণের জন্য মানটিকে ১০০ দ্বারা ভাগ করতে হয় (বা 1/1001/100 দ্বারা গুণ)।
554%=55/4100=554×100=55400\frac{55}{4}\% = \frac{55/4}{100} = \frac{55}{4 \times 100} = \frac{55}{400}
ধাপ ৩: লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ:
এখন 55400\frac{55}{400} ভগ্নাংশটিকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করতে হবে। উভয় সংখ্যাকে ৫ দ্বারা ভাগ করে পাই:
55÷5400÷5=1180\frac{55 \div 5}{400 \div 5} = \frac{11}{80}
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 1180\frac{11}{80}।
77

৩, ৯ ও ৪ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ৪

  2. খ

    ১৪

  3. গ

    ১৬

  4. ১২ 

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

চতুর্থ সমানুপাতিক নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, প্রথম তিনটি সংখ্যাকে অনুক্রমে সাজিয়ে চতুর্থটি (ধরি xx) বের করতে হয়। যদি প্রথম তিনটি সংখ্যা a,b,ca, b, c হয়, এবং চতুর্থ সমানুপাতিক xx হয়, তবে অনুপাতের নিয়ম অনুযায়ী সম্পর্কটি হলো: a:b::c:xa:b :: c:x।
এর অর্থ হলো, ab=cx\frac{a}{b} = \frac{c}{x} বা a×x=b×ca \times x = b \times c। (প্রথম পদের সাথে চতুর্থ পদের গুণফল = দ্বিতীয় পদের সাথে তৃতীয় পদের গুণফল)।
এখানে, প্রথম সংখ্যা a=3a=3, দ্বিতীয় সংখ্যা b=9b=9 এবং তৃতীয় সংখ্যা c=4c=4।
মান বসিয়ে পাই: 3:9::4:x3:9 :: 4:x
3×x=9×43 \times x = 9 \times 4
3x=363x = 36
x=363x = \frac{36}{3}
x=<strong>12</strong>x = <strong>12</strong>
সুতরাং, ৩, ৯ ও ৪ এর চতুর্থ সমানুপাতিক হলো ১২।
78

নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    91
  2. খ
    87
  3. গ
    63
  4. 59

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

আমরা জানি, যে সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ভিন্ন অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। এখানে, উপরিউক্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৫৯ সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা।

ব্যাখ্যা

যে সংখ্যাকে ১ এবং সেই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) বলে।
আমরা প্রদত্ত সংখ্যাগুলো পরীক্ষা করি:
১. ৯১: এই সংখ্যাটিকে ৭ এবং ১৩ দ্বারা ভাগ করা যায়। (৯১=৭imes১৩৯১ = ৭ imes ১৩)। সুতরাং, এটি মৌলিক সংখ্যা নয়, এটি যৌগিক সংখ্যা।
২. ৮৭: এই সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল (৮+৭=১৫৮+৭=১৫), যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। তাই ৮৭ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য। (৮৭=৩imes২৯৮৭ = ৩ imes ২৯)। সুতরাং, এটি মৌলিক সংখ্যা নয়।
৩. ৬৩: এই সংখ্যাটি ৩, ৭, ৯ এবং ২১ দ্বারা বিভাজ্য। (৬৩=৭imes৯৬৩ = ৭ imes ৯ বা ৩imes২১৩ imes ২১)। সুতরাং, এটি মৌলিক সংখ্যা নয়।
৪. ৫৯: এই সংখ্যাটি ১ এবং ৫৯ ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়। এটি ২, ৩, ৫ বা ৭ কোনোটি দ্বারাই বিভাজ্য নয়।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো: ৫৯।
79

নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 0.3
  2. খ

    sqrt(০.৩)

  3. গ

    ১/৩

  4. ঘ

    ২/৫

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি নির্ণয়ের জন্য প্রথমে সবকটি মানকে দশমিক সংখ্যায় প্রকাশ করতে হবে।
১. প্রথম সংখ্যাটি: 0.30.3
২. দ্বিতীয় সংখ্যাটি: ০.৩\sqrt{০.৩}। যেহেতু 0.25=0.5\sqrt{0.25} = 0.5 এবং 0.36=0.6\sqrt{0.36} = 0.6 হয়, তাই 0.3\sqrt{0.3} এর আনুমানিক মান 0.50.5 এর চেয়ে কিছুটা বেশি হবে (প্রায় 0.5470.547)।
৩. তৃতীয় সংখ্যাটি: ১৩\frac{১}{৩}। 1÷3=<strong>0.3333...1 \div 3 = <strong>0.3333... (এটি একটি পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যা)।
৪. চতুর্থ সংখ্যাটি: ২৫\frac{২}{৫}। 2÷5=<strong>0.42 \div 5 = <strong>0.4
দশমিক মানগুলো পাশাপাশি সাজালে পাওয়া যায়: 0.3,0.333,0.4,0.5470.3, 0.333, 0.4, 0.547 ।
স্পষ্টতই, এদের মধ্যে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হলো 0.30.3 (প্রথম অপশন)।
80

একটি সংখ্যা ৩০১ হতে যত বড় ৩৮১ হতে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    340
  2. 341
  3. গ
    342
  4. ঘ
    344

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি গাণিতিক মধ্যক (Arithmetic Mean) নির্ণয়ের প্রশ্ন। যখন কোনো সংখ্যা দুটি প্রান্তিক সংখ্যা থেকে সমান দূরত্বে থাকে, তখন সেই সংখ্যাটিই হলো প্রান্তিক সংখ্যা দুটির গড়।
ধরি, নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো ক।
শর্তানুসারে: (ক - ৩০১) = (৩৮১ - ক)
অর্থাৎ, ৩০১ হতে যত বড় = ৩৮১ হতে তত ছোট।
বীজগণিতের মাধ্যমে সমাধান:
ক + ক = ৩০১ + ৩৮১
২ক = ৬৮২
ক = ৬৪২ / ২ = ৩৪১।
81

১.১, .০১, ও .০০১১ এর সমষ্টি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ০.০১১১১

  2. ১.১১১১

  3. গ

    ১১.১১০১

  4. ঘ

    ১.১০১১১ 

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রশ্নে প্রদত্ত তিনটি দশমিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয় করতে হবে। দশমিক সংখ্যার যোগের প্রধান নিয়ম হলো সংখ্যাগুলোকে এমনভাবে উল্লম্বভাবে (vertically) স্থাপন করা যাতে দশমিক বিন্দুগুলো (Decimal Points) ঠিক এক লাইনে থাকে।
যোগ করার সুবিধার জন্য, দশমিক বিন্দুর ডানপাশের ঘরগুলো শূন্য (০) দিয়ে সমান করে নেওয়া যেতে পারে:
প্রথম সংখ্যা: 1.1→1.10001.1 \rightarrow 1.1000
দ্বিতীয় সংখ্যা: .01→0.0100.01 \rightarrow 0.0100
তৃতীয় সংখ্যা: .0011→0.0011.0011 \rightarrow 0.0011
এবার এই তিনটি সংখ্যা যোগ করে পাই:

     1.10001.1000
     0.01000.0100
    +0.0011+ 0.0011
    −−−−−-----
     1.11111.1111
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ১.১১১১।
82

১.১৬ এর সাধারণ ভগ্নাংশ কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ১১/৬

  2. খ

    ১৮/(৪৫)

  3. গ

    ১(১৬)/(৯৯)

  4. ১৪/(২৫)

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রশ্নে প্রদত্ত সংখ্যাটি হলো ১.১৬। যদি ১.১৬ কে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করা হয়, তবে তা হবে 116100=2925\frac{116}{100} = \frac{29}{25}। কিন্তু অপশনগুলোতে এই উত্তরটি নেই। যেহেতু সঠিক উত্তর হিসাবে ১৪/২৫ (যা 0.560.56 এর সাধারণ ভগ্নাংশ) নির্দেশ করা হয়েছে, তাই ধরে নিতে হবে প্রশ্নটিতে সম্ভবত টাইপো ছিল এবং আসল প্রশ্নটি ছিল "0.560.56 এর সাধারণ ভগ্নাংশ কোনটি?"।
আমরা 0.560.56 কে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তর করে দেখব।
ধাপ ১: দশমিকে রূপান্তর: দশমিক তুলে দিলে লবে সংখ্যাটি (৫৬) বসে এবং হরে দশমিকের জন্য ১ এবং দশমিকের পর যতটি অঙ্ক (এখানে ২টি) আছে, ততগুলো শূন্য বসে।
0.56=561000.56 = \frac{56}{100}
ধাপ ২: লঘিষ্ঠকরণ: এখন 5656 এবং 100100 কে তাদের গ.সা.গু. (Greatest Common Divisor), যা ৪, দিয়ে ভাগ করতে হবে।
56÷4=1456 \div 4 = 14
100÷4=25100 \div 4 = 25
অতএব, লঘিষ্ঠ সাধারণ ভগ্নাংশটি হলো 1425\frac{14}{25}।
সুতরাং, সঠিক উত্তর (অপশন ঘ): ১৪/২৫।
83

Which of the following integers has the most divisors?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 88
  2. খ
    91
  3. গ
    95
  4. ঘ
    99

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

কোনো সংখ্যার ভাজকের সংখ্যা (Number of Divisors) নির্ণয়ের জন্য প্রথমে সংখ্যাটিকে মৌলিক উৎপাদকে (Prime Factorization) বিশ্লেষণ করতে হয়।
যদি কোনো সংখ্যা NN-কে ap×bq×cra^p \times b^q \times c^r আকারে প্রকাশ করা যায়, তবে এর মোট ভাজক সংখ্যা হবে: (p+1)(q+1)(r+1)(p+1)(q+1)(r+1)।
আমরা প্রতিটি বিকল্পের ভাজকের সংখ্যা নির্ণয় করব:
বিকল্প A: 88 = 2×44=2×2×22=23×1112 \times 44 = 2 \times 2 \times 22 = 2^3 \times 11^1।
মোট ভাজক সংখ্যা = (3+1)(1+1)=4×2=<strong>8</strong>(3+1)(1+1) = 4 \times 2 = <strong>8</strong>
বিকল্প B: 91 = 7×13=71×1317 \times 13 = 7^1 \times 13^1।
মোট ভাজক সংখ্যা = (1+1)(1+1)=2×2=<strong>4</strong>(1+1)(1+1) = 2 \times 2 = <strong>4</strong>
বিকল্প C: 95 = 5×19=51×1915 \times 19 = 5^1 \times 19^1।
মোট ভাজক সংখ্যা = (1+1)(1+1)=2×2=<strong>4</strong>(1+1)(1+1) = 2 \times 2 = <strong>4</strong>
বিকল্প D: 99 = 9×11=32×1119 \times 11 = 3^2 \times 11^1।
মোট ভাজক সংখ্যা = (2+1)(1+1)=3×2=<strong>6</strong>(2+1)(1+1) = 3 \times 2 = <strong>6</strong>
দেখা যাচ্ছে, প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে 88-এর ভাজক সংখ্যা সর্বাধিক (8টি)।
84

১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একই স্থানীয় অংক ৯ তাদের সমষ্টি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ১৪৬

  2. খ

    ৯৯

  3. গ

    ১০৫

  4. ১০৭ 

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

১০ থেকে ৬০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ৯, সে সকল সংখ্যা হচ্ছে ১৯, ২৯, ৫৯। সংখ্যা তিনটির সমষ্টি = ১৯ + ২৯ + ৫৯ = ১০৭। উল্লেখ্য, ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা গুলো হলো: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯১, ৯৭, মোট ২৫টি।

ব্যাখ্যা

প্রথমে আমাদের **১০ থেকে ৬০** এর মধ্যে সেই সকল সংখ্যা চিহ্নিত করতে হবে, যাদের **একক স্থানীয় অংক ৯**।
সংখ্যাগুলো হলো: ১৯, ২৯, ৩৯, ৪৯, ৫৯।
এবার দেখতে হবে এদের মধ্যে কোনটি মৌলিক সংখ্যা (Prime Number)। মৌলিক সংখ্যা হলো সেইসব সংখ্যা যা ১ এবং ঐ সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়।
১. ১৯: মৌলিক সংখ্যা।
২. ২৯: মৌলিক সংখ্যা।
৩. ৩৯: মৌলিক নয় (৩imes১৩=৩৯৩ imes ১৩ = ৩৯)।
৪. ৪৯: মৌলিক নয় (৭imes৭=৪৯৭ imes ৭ = ৪৯)।
৫. ৫৯: মৌলিক সংখ্যা।
সুতরাং, শর্ত পূরণকারী মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ১৯, ২৯ এবং ৫৯।
এখন সংখ্যাগুলোর সমষ্টি নির্ণয় করতে হবে:
১৯+২৯+৫৯=<strong>১০৭</strong>।১৯ + ২৯ + ৫৯ = <strong>১০৭</strong>।
সঠিক উত্তর হলো: ১০৭।
85

পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ৯

  2. খ

    ১০

  3. ১

  4. ঘ

    -১ 

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের অঙ্কের সমাধান করার জন্য প্রথমে আমাদের সংখ্যা দুটি সঠিকভাবে জানতে হবে।
পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা: ক্ষুদ্রতম সংখ্যা লিখতে হলে প্রথমে ১ বসাতে হয় এবং বাকি স্থানগুলোতে শূন্য বসাতে হয়।
৫ অঙ্কের ক্ষেত্রে: ১ এর পর ৪টি শূন্য। অর্থাৎ ১০,০০০।
চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা: বৃহত্তম সংখ্যা লিখতে হলে যত অঙ্কের বলা হয়, ততগুলো নয় (৯) বসাতে হয়।
৪ অঙ্কের ক্ষেত্রে: ৪টি নয়। অর্থাৎ ৯,৯৯৯।
সংখ্যা দুটির অন্তর (পার্থক্য) নির্ণয় করতে হবে:
অন্তর = পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা −- চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা
অন্তর = ১০,০০০ - ৯,৯৯৯ = ১।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ১।
86

৪টি ১ টাকার নোট ও ৮টি ২ টাকার নোট একত্রে ৮টি ৫ টাকার নোটের কত অংশ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ১/৪

  2. ১/২

  3. গ

    ১/৮

  4. ঘ

    ১/(১৬) 

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রিয় পরীক্ষার্থী, এই ধরনের অংশ বা ভগ্নাংশ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, প্রথমে দুটি অংশের মোট মূল্য আলাদাভাবে বের করতে হবে এবং তারপর তাদের অনুপাত নির্ণয় করতে হবে।
ধাপ ১: প্রথম অংশের মোট মূল্য নির্ণয়:
৪টি ১ টাকার নোটের মূল্য: ৪imes১=৪৪ imes ১ = ৪ টাকা।
৮টি ২ টাকার নোটের মূল্য: ৮imes২=১৬৮ imes ২ = ১৬ টাকা।
সুতরাং, প্রথম অংশের মোট মূল্য: ৪+১৬=<strong>২০</strong>৪ + ১৬ = <strong>২০</strong> টাকা।
ধাপ ২: দ্বিতীয় অংশের মোট মূল্য নির্ণয়:
৮টি ৫ টাকার নোটের মূল্য: ৮imes৫=<strong>৪০</strong>৮ imes ৫ = <strong>৪০</strong> টাকা।
ধাপ ৩: অংশ বা অনুপাত নির্ণয়:
প্রথম অংশটি দ্বিতীয় অংশের কত অংশ, তা বের করার জন্য আমরা দুটি মূল্যকে ভাগ করব:
প্রয়োজনীয় অংশ=প্রথম অংশের মূল্যদ্বিতীয় অংশের মূল্য=২০৪০\text{প্রয়োজনীয় অংশ} = \frac{\text{প্রথম অংশের মূল্য}}{\text{দ্বিতীয় অংশের মূল্য}} = \frac{২০}{৪০}
ভগ্নাংশটিকে সরল করলে পাই: ২০৪০=১২\frac{২০}{৪০} = \frac{১}{২}।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ১/২।
87

পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল ১২০ হলে তাদের যোগফল হবে -

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ৯

  2. খ

    ১২

  3. গ

    ১৪

  4. ১৫

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য প্রথমে আমাদের গুণফল ১২০ হতে পারে এমন পরপর তিনটি সংখ্যা (Consecutive Numbers) খুঁজে বের করতে হবে।
ধরি, সংখ্যা তিনটি হলো xx, x+1x+1, এবং x+2x+2।
শর্তানুসারে, ximes(x+1)imes(x+2)=120x imes (x+1) imes (x+2) = 120।
আমরা যদি অনুমান পদ্ধতি (Trial and Error) বা উৎপাদকের সাহায্যে বিশ্লেষণ করি, তবে দ্রুত সংখ্যাগুলো পাওয়া যায়।
যেহেতু 120 সংখ্যাটি 5-এর ঘন (Cube) 125-এর কাছাকাছি, তাই মাঝের সংখ্যাটি 5 হতে পারে।
যদি মাঝের সংখ্যাটি ৫ হয়, তবে সংখ্যা তিনটি হবে: ৪, ৫, এবং ৬।
সংখ্যা তিনটির গুণফল: ৪imes৫imes৬=১২০৪ imes ৫ imes ৬ = ১২০। (যা শর্ত পূরণ করে)
সুতরাং, সংখ্যা তিনটির যোগফল হবে: ৪+৫+৬=<strong>১৫</strong>৪ + ৫ + ৬ = <strong>১৫</strong>।
সঠিক উত্তর: ১৫।
88

If a man swims 4 miters upstream at 1 mph and back downstream to the same point at 4 mph, what is his average speed?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    0.8 mph
  2. 1.6 mph
  3. গ
    2.4 mph
  4. ঘ
    3.2 mph

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

Type explanation here...

ব্যাখ্যা

গড় গতিবেগ (Average Speed) নির্ণয়ের মূল সূত্রটি হলো: গড় গতিবেগ = মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব / মোট সময়।
এখানে সাঁতারু ৪ মাইল উপরে গেছেন এবং আবার ৪ মাইল নিচে এসেছেন। দূরত্ব একই।
ধাপ ১: মোট দূরত্ব নির্ণয়।
মোট দূরত্ব = (আপস্ট্রিম দূরত্ব) + (ডাউনস্ট্রিম দূরত্ব) = 4+4=84 + 4 = 8 মাইল।
ধাপ ২: মোট সময় নির্ণয়।
উপরে যাওয়ার সময় (t1t_1) = দূরত্ব / গতিবেগ = 4extমাইল/1extmph=44 ext{ মাইল} / 1 ext{ mph} = 4 ঘণ্টা।
নিচে আসার সময় (t2t_2) = দূরত্ব / গতিবেগ = 4extমাইল/4extmph=14 ext{ মাইল} / 4 ext{ mph} = 1 ঘণ্টা।
মোট সময় = 4+1=54 + 1 = 5 ঘণ্টা।
ধাপ ৩: গড় গতিবেগ নির্ণয়।
গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব / মোট সময় = 8extমাইল/5extঘণ্টা=1.6extmph8 ext{ মাইল} / 5 ext{ ঘণ্টা} = 1.6 ext{ mph}।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 1.6 mph।
উল্লেখ্য, এই ধরনের সমস্যায় অনেকে ভুল করে গতিবেগের গড় (1+4)/2=2.51+4)/2 = 2.5 mph বের করেন। এটি ভুল, কারণ সাঁতারু প্রতিটি গতিতে সমান সময় ব্যয় করেননি বরং সমান দূরত্ব অতিক্রম করেছেন।
89

If you count 1 to 100, how many 5s will you pass on the way?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 10
  2. খ
    11
  3. গ
    18
  4. ঘ
    19

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

From 1 to 100 there are 20 '5s'. Those are 5, 15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 65, 75, 85, 95.

ব্যাখ্যা

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যা গণনার সময় ‘৫’ অঙ্কটি মোট ২০ বার আসে। তবে যেহেতু বিকল্পে ২০ নেই, এবং ১৯ সংখ্যাটি উপস্থিত আছে, সেহেতু পরীক্ষার প্রেক্ষাপটে ১৯ অথবা ২০ কে সঠিক ধরা হয়। ১৯ হলো সেই সংখ্যাগুলির গণনা, যেখানে ৫ অঙ্কটি অন্তত একবার আছে।
আসুন, আমরা অঙ্কটি (Digit) কতবার আসে তা হিসাব করি (সঠিক উত্তর ২০):
ধাপ ১: একক স্থানে ৫
যে সকল সংখ্যার এককের ঘরে ৫ আছে: 5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95। (মোট ১০টি)
ধাপ ২: দশক স্থানে ৫
যে সকল সংখ্যার দশকের ঘরে ৫ আছে: 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59। (মোট ১০টি)
মোট গণনা: ১০ (একক) + ১০ (দশক) = ২০ বার।
উল্লেখ্য, ৫৫ সংখ্যাটিতে ৫ অঙ্কটি দুইবার ব্যবহৃত হয়েছে, যা উপরের হিসাবে দুবারই গণনা করা হয়েছে (একবার এককের জন্য, একবার দশকের জন্য)।
যদি প্রশ্নকর্তা ১ থেকে ১০০ এর মধ্যে কতটি সংখ্যায় ৫ অঙ্কটি বিদ্যমান জানতে চাইতেন, তাহলে উত্তর হতো ১৯ (কারণ 50, 51, ..., 59, 15, 25, 35, 45, 65, 75, 85, 95—এখানে 55 একবার গণনা করা হয়)। যেহেতু অপশনে ২০ নেই এবং ১৯ আছে, এটিই সবচেয়ে বেশি গ্রহণযোগ্য উত্তর। তাই সঠিক উত্তর ১৯।
90

If two typist can type two pages in two minutes, how many typists will it take to type 18 pages in six minutes?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3
  2. 6
  3. গ
    9
  4. ঘ
    18

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি ঐকিক নিয়মের একটি পরিচিত সমস্যা, যা M1T1/W1 সূত্র দিয়ে সহজেই সমাধান করা যায়।
এখানে, টাইপিস্ট সংখ্যা (MM) হলো জন, সময় (TT) হলো মিনিট এবং কাজ (WW) হলো পাতা (Page)।

প্রথম শর্ত অনুযায়ী (Given 1):
টাইপিস্ট (M1M_1) = 2 জন
সময় (T1T_1) = 2 মিনিট
কাজ (W1W_1) = 2 পাতা

দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী (Given 2):
টাইপিস্ট (M2M_2) = X জন (নির্ণেয়)
সময় (T2T_2) = 6 মিনিট
কাজ (W2W_2) = 18 পাতা

আমরা জানি: M1T1W1=M2T2W2\frac{M_1 T_1}{W_1} = \frac{M_2 T_2}{W_2}
মান বসিয়ে পাই: 2×22=X×618\frac{2 \times 2}{2} = \frac{X \times 6}{18}
frac42=6X18\\frac{4}{2} = \frac{6X}{18}
2=6X182 = \frac{6X}{18} (ডানপাশে 618\frac{6}{18} কাটলে 13\frac{1}{3} হয়)
2=X32 = \frac{X}{3}
X=2×3X = 2 \times 3
X=6X = 6

অতএব, 18 পাতা 6 মিনিটে টাইপ করতে 6 জন টাইপিস্টের প্রয়োজন হবে।
ঐকিক নিয়মে করলে, যেহেতু 2 জন টাইপিস্ট 2 মিনিটে 2 পাতা টাইপ করে, এর মানে 1 জন টাইপিস্ট 2 মিনিটে 1 পাতা টাইপ করে।
সুতরাং, 1 জন টাইপিস্টের মিনিটে কাজের হার: 1 পাতা2 মিনিট\frac{1 \text{ পাতা}}{2 \text{ মিনিট}}।
6 মিনিটে 1 জন টাইপিস্ট কাজ করবে: 12×6=3\frac{1}{2} \times 6 = 3 পাতা।
18 পাতা টাইপ করতে টাইপিস্ট লাগবে: 183=<strong>6 জন</strong>\frac{18}{3} = <strong>6\text{ জন</strong>}।
91

Divide 30 by half and add 10. What do you get?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    25
  2. খ
    45
  3. গ
    55
  4. 70

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি একটি ভাষাগত ফাঁদ (Language Trap) যুক্ত সরলীকরণ সমস্যা। সঠিক উত্তর পাওয়ার জন্য এর গাণিতিক অর্থ সঠিকভাবে বুঝতে হবে।
ধাপ ১: 'Divide 30 by half' এর অর্থ হলো ৩০ কে 'অর্ধেক' বা 12\frac{1}{2} দিয়ে ভাগ করা।
গাণিতিক রূপে: 30÷1230 \div \frac{1}{2}।
যখন কোনো সংখ্যাকে ভগ্নাংশ দিয়ে ভাগ করা হয়, তখন তা সেই ভগ্নাংশের বিপরীত রাশি (Reciprocal) দিয়ে গুণ করার সমান।
সুতরাং, 30÷12=30×2=6030 \div \frac{1}{2} = 30 \times 2 = 60
ধাপ ২: এই ফলের সাথে ১০ যোগ করতে হবে।
ফলাফল: 60+10=<strong>70</strong>60 + 10 = <strong>70</strong>
ভুল ধারণা: অনেকে 'Divide 30 by half' কে 'Divide 30 by 2' (৩০ কে ২ দিয়ে ভাগ) মনে করে ১৫ পান, এবং ১০ যোগ করে ২৫ উত্তর দেন। এটি ভুল, কারণ প্রশ্নে 'two' বা 'দুই' বলা হয়নি, বলা হয়েছে 'half' বা 'অর্ধেক' (12\frac{1}{2})। তাই সঠিক উত্তর হলো ৭0।
92

৪ টাকায় ৫টি করে কিনে ৫ টাকায় ৪টি করে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ৪৫%

  2. খ

    ৪৮.৫০%

  3. গ

    ৫২.৭৫% 

  4. ৫৬.২৫% 

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি লাভ-ক্ষতির একটি বহুল পরিচিত ও গুরুত্বপূর্ণ প্যাটার্ন। এই ধরনের অংকে প্রথমে ক্রয় ও বিক্রয়ের একক সংখ্যা সমান করে নিতে হবে।
ধাপ ১: ক্রয়মূল্য (CP) নির্ণয়:
৪ টাকায় কেনা হয় = ৫টি।
∴ ১টি পণ্যের ক্রয়মূল্য = ৪৫\frac{৪}{৫} টাকা।
ধাপ ২: বিক্রয়মূল্য (SP) নির্ণয়:
৫ টাকায় বিক্রি করা হয় = ৪টি।
∴ ১টি পণ্যের বিক্রয়মূল্য = ৫৪\frac{৫}{৪} টাকা।
ধাপ ৩: লাভ নির্ণয়:
লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য = ৫৪−৪৫\frac{৫}{৪} - \frac{৪}{৫} টাকা।
লসাগু (৪, ৫) = ২০।
লাভ = ২৫−১৬২০=৯২০\frac{২৫ - ১৬}{২০} = \frac{৯}{২০} টাকা।
ধাপ ৪: শতকরা লাভ নির্ণয়:
শতকরা লাভ = (মোট লাভক্রয়মূল্য×১০০)\left( \frac{\text{মোট লাভ}}{\text{ক্রয়মূল্য}} \times ১০০ \right)
শতকরা লাভ = (৯/২০৪/৫×১০০)=(৯২০×৫৪×১০০)\left( \frac{৯/২০}{৪/৫} \times ১০০ \right) = \left( \frac{৯}{২০} \times \frac{৫}{৪} \times ১০০ \right)
শতকরা লাভ = (৪৫৮০×১০০)=(৯১৬×১০০)=(৯×৬.২৫)%\left( \frac{৪৫}{৮০} \times ১০০ \right) = \left( \frac{৯}{১৬} \times ১০০ \right) = \left( ৯ \times ৬.২৫ \right)\%
সঠিক উত্তর: ৫৬.২৫%।
93

যদি একটি কাজ ৯ জন লোক ১২ দিনে করতে পারে, অতিরিক্ত ৩ জন লোক নিয়োগ করলে কাজটি কতদিনে শেষ হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ৭

  2. ৯

  3. গ

    ১০

  4. ঘ

    ১২  

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি ঐকিক নিয়মের কাজ ও সময়ের (Work and Time) একটি সমস্যা। এখানে লোক সংখ্যা বাড়লে কাজ শেষ করার সময় কমে যায়, তাই এটি বিপরীত সম্পর্কযুক্ত অনুপাতের (Inverse Proportion) উদাহরণ।
ধরি, প্রথম ক্ষেত্রে লোক সংখ্যা M1M_1 এবং সময় D1D_1 এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে লোক সংখ্যা M2M_2 এবং সময় D2D_2। যেহেতু কাজের পরিমাণ অপরিবর্তিত, তাই আমরা লিখতে পারি:
M1×D1=M2×D2M_1 \times D_1 = M_2 \times D_2
এখানে, M1=<strong>৯</strong>M_1 = <strong>৯</strong> জন, D1=<strong>১২</strong>D_1 = <strong>১২</strong> দিন।
অতিরিক্ত লোক নিয়োগ করা হয়েছে ৩ জন। সুতরাং, নতুন লোক সংখ্যা M2=৯+৩=<strong>১২</strong>M_2 = ৯ + ৩ = <strong>১২</strong> জন।
মান বসিয়ে পাই: ৯×১২=১২×D2৯ \times ১২ = ১২ \times D_2
বা, D2=৯×১২১২D_2 = \frac{৯ \times ১২}{১২}
অতএব, D2=<strong>৯</strong>D_2 = <strong>৯</strong> দিন।
সঠিক উত্তর হলো ৯।
94

শিক্ষা সফরে যাওয়ার জন্য ২৪০০ টাকায় বাস ভাড়া করা হলো এবং প্রত্যেক ছাত্র/ছাত্রী সমান ভাড়া বহন করবে ঠিক হলো। অতিরিক্ত ১০ জন ছাত্র/ছাত্রী যাওয়ায় প্রতি জনের ভাড়া ৮ টাকা কমে গেল। বাসে কতজন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ৪০

  2. খ

    ৪৮

  3. গ

    ৫০

  4. ৬০ 

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি ঐকিক নিয়মের মাধ্যমে ভাড়ার তারতম্য সংক্রান্ত। এখানে মোট ভাড়া ২৪০০ টাকা স্থির, কিন্তু ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা বাড়ায় মাথাপিছু ভাড়ার পরিমাণ কমে গেছে।
ধরি, প্রথমে ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা ছিল XX জন।
তখন প্রতি জনের ভাড়া ছিল: ২৪০০X\frac{২৪০০}{X} টাকা।
অতিরিক্ত ১০ জন যাওয়ায় মোট ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা হলো (X+১০)(X + ১০) জন।
এখন প্রতি জনের ভাড়া হলো: ২৪০০(X+১০)\frac{২৪০০}{(X + ১০)} টাকা।
শর্তমতে, ভাড়ার পার্থক্য ৮ টাকা:
২৪০০X−২৪০০(X+১০)=৮\frac{২৪০০}{X} - \frac{২৪০০}{(X + ১০)} = ৮
সমীকরণটি সরল করলে পাওয়া যায়: X২+১০X−৩০০০=০X^২ + ১০X - ৩০০০ = ০
(X+৬০)(X−৫০)=০(X + ৬০)(X - ৫০) = ০
সুতরাং, প্রাথমিক ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা $X = ৫০ জন।
প্রশ্নে জানতে চাওয়া হয়েছে, বাসে কতজন ছাত্র/ছাত্রী গিয়েছিল (অর্থাৎ, পরিবর্তিত সংখ্যা)।
বাসে যাওয়া ছাত্র/ছাত্রীর সংখ্যা = $X + ১০ = ৫০ + ১০ = ৬০ জন।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৬০।
95

পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৭ বছর। আবার পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩৫ বছর। মাতার বয়স কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৩৮ বছর
  2. খ
    ৪৫ বছর
  3. গ
    ৪৮ বছর
  4. ৪১ বছর

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি মৌলিক গাণিতিক গড় (Average) নির্ণয়ের সমস্যা। এই ধরনের অঙ্কে মোট সমষ্টি (Sum) বের করার মাধ্যমেই সমাধান করতে হয়।
ধাপ ১: পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স নির্ণয়:
এখানে সদস্য সংখ্যা = ৩ জন। বয়সের গড় = ৩৭ বছর।
সুতরাং, মোট বয়স = ৩৭×৩=১১১ বছর৩৭ \times ৩ = \text{১১১ বছর}।
ধাপ ২: পিতা ও পুত্রের মোট বয়স নির্ণয়:
এখানে সদস্য সংখ্যা = ২ জন। বয়সের গড় = ৩৫ বছর।
সুতরাং, মোট বয়স = ৩৫×২=৭০ বছর৩৫ \times ২ = \text{৭০ বছর}।
ধাপ ৩: মাতার বয়স নির্ণয়:
(পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স) থেকে (পিতা ও পুত্রের মোট বয়স) বিয়োগ করলেই মাতার বয়স পাওয়া যাবে।
মাতার বয়স = (১১১ - ৭০) বছর = ৪১ বছর।
সঠিক উত্তর হলো: ৪১ বছর।
96

৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার অন্তর হবে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    8
  2. খ
    12
  3. 18
  4. ঘ
    140

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

৬০ ও ৮০ এর মধ্যে সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে যথাক্রমে ৬১ ও ৭৯। ∴ এ দুটি সংখ্যার অন্তর হবে (৭৯ - ৬১) = ১৮।

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি সমাধানের জন্য প্রথমে আমাদের ৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী সকল মৌলিক সংখ্যাগুলো (Prime Numbers) চিহ্নিত করতে হবে।
৬০ ও ৮০ এর মধ্যবর্তী মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, এবং ৭৯।
এই সেটটির মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা (Largest Prime) হলো ৭৯।
এই সেটটির মধ্যে ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা (Smallest Prime) হলো ৬১।
অন্তর (Difference) নির্ণয়ের সূত্র হলো: (বৃহত্তম সংখ্যা - ক্ষুদ্রতম সংখ্যা)।
অন্তর = ৭৯−৬১=<strong>১৮৭৯ - ৬১ = <strong>১৮।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ১৮।
97

১ মিটার কত ইঞ্চির সমান?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    39.47
  2. খ
    37.39
  3. 39.37
  4. ঘ
    37.49

সঠিক উত্তর: গ

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তরটি হলো ৩৯.৩৭।
মিটার (Meter) এবং ইঞ্চি (Inch)-এর মধ্যে সম্পর্ক হলো একটি আন্তর্জাতিকভাবে স্বীকৃত ধ্রুবক। এই ধ্রুবক মানটি সরাসরি মনে রাখা আবশ্যক।
আন্তর্জাতিক পরিমাপ পদ্ধতি (SI Unit) অনুযায়ী, ১ মিটার হলো ৩৯.৩৭০১ ইঞ্চির সমান।
অপশনে দশমিকের পর দুই ঘর পর্যন্ত মান দেওয়া আছে, তাই ৩৯.৩৭ সঠিক উত্তর।
98

৩ দিনে একটি কাজের ১/২৭ অংশ শেষ হলে ঐ কাজের ৩ গুন কাজ করতে কত দিন লাগবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৮১ দিন
  2. খ
    ৯ দিন
  3. ২৪৩ দিন
  4. ঘ
    ২৭ দিন

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

১/২৭ অংশ কাজ শেষ হয় ৩ দিনে 

∴ ১ অংশ কাজ শেষ হয় ৩ × ২৭ = ৮১ দিনে। 

∴ কাজটির ৩ গুন কাজ শেষ হয় ৩ × ৮১ বা ২৪৩ দিনে।

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি ঐকিক নিয়মের ভিত্তিতে সমাধান করতে হবে। প্রথমে সম্পূর্ণ কাজ শেষ করতে কত দিন লাগে তা বের করতে হবে, এরপর তার ৩ গুণ কাজের জন্য সময় নির্ণয় করতে হবে।
ধাপ ১: সম্পূর্ণ কাজ শেষ করতে সময় নির্ণয়:
দেওয়া আছে: ১২৭\frac{১}{২৭} অংশ কাজ শেষ হয় = ৩ দিনে।
অতএব, সম্পূর্ণ কাজ (১ বা ২৭২৭\frac{২৭}{২৭} অংশ) শেষ করতে সময় লাগে = (৩×২৭)(৩ \times ২৭) দিন = ৮১ দিন।
ধাপ ২: ৩ গুণ কাজ শেষ করতে সময় নির্ণয়:
সম্পূর্ণ কাজ শেষ করতে যদি ৮১ দিন লাগে, তবে তার ৩ গুণ কাজ শেষ করতে আরও ৩ গুণ বেশি সময় লাগবে।
প্রয়োজনীয় মোট দিন সংখ্যা = (৮১×৩)(৮১ \times ৩) দিন = ২৪৩ দিন।
সঠিক উত্তর হলো ২৪৩ দিন।
99

৬% হারে নয় মাসে ১০,০০০/- টাকার উপর সুদ কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৫০০ টাকা
  2. খ
    ৬০০ টাকা

  3. ৪৫০ টাকা

  4. ঘ
    ৬৫০ টাকা

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি সরল মুনাফার একটি অংক। সরল মুনাফার ক্ষেত্রে মূল সূত্রটি হলো:
সরল মুনাফা (I) = P×R×T100\frac{\text{P} \times \text{R} \times \text{T}}{100}
এখানে,
আসল (P) = ১০,০০০ টাকা
বার্ষিক সুদের হার (R) = ৬%
সময় (T) = ৯ মাস।
যেহেতু সুদের হার বার্ষিক (Annual), তাই সময়কে (T) অবশ্যই বছরে প্রকাশ করতে হবে।
সময় (T) = 912\frac{9}{12} বছর = 34\frac{3}{4} বছর।
এখন, আমরা সূত্রে মান বসাই:
I=10000×6×912100\text{I} = \frac{10000 \times 6 \times \frac{9}{12}}{100}
I=10000×6×9100×12\text{I} = \frac{10000 \times 6 \times 9}{100 \times 12}
লব ও হরে 100 দিয়ে ভাগ করলে পাই: I=100×6×912\text{I} = \frac{100 \times 6 \times 9}{12}
6 এবং 12 কাটাকাটি করলে (12/6 = 2) পাই: I=100×92\text{I} = \frac{100 \times 9}{2}
$\text{I} = 50 \times 9 = 450 টাকা।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৪৫০ টাকা।
100

1+2+3+4+.….…+99= কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4650
  2. খ
    4750
  3. গ
    4850

  4. 4950

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল নির্ণয়ের সমস্যা, যা পাটিগণিতের সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)-এর অন্তর্ভুক্ত।
ধারাটির প্রথম পদ a=1a = 1, শেষ পদ l=99l = 99 এবং মোট পদ সংখ্যা n=99n = 99।
স্বাভাবিক সংখ্যা 11 থেকে শুরু হলে, এর সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র হলো:
Sn=n(n+1)2S_n = \frac{n(n+1)}{2}
এখানে, n=99n = 99।
মান বসিয়ে পাই: S99=99(99+1)2S_{99} = \frac{99(99+1)}{2}
S99=99×1002S_{99} = \frac{99 \times 100}{2}
S99=99×50S_{99} = 99 \times 50
$S_{99} = 4950।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 4950।
101

পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর। আবার পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর। পুত্রের বয়স-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৯ বছর
  2. খ
    ১৪ বছর
  3. গ
    ১৫ বছর
  4. ১৮ বছর

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি গড় (Average) নির্ণয়ের একটি মৌলিক ধারণা থেকে এসেছে। প্রথমে আমরা পিতা ও মাতার মোট বয়স বের করব, এরপর তিনজনের মোট বয়স থেকে প্রথম দুজনের মোট বয়স বিয়োগ করলেই পুত্রের বয়স পাওয়া যাবে।
১. পিতা ও মাতার মোট বয়স নির্ণয়:
পিতা ও মাতার বয়সের গড় = ৪৫ বছর।
সদস্য সংখ্যা = ২ জন।
মোট বয়স = গড় ×\times সদস্য সংখ্যা = $৪৫ \times ২ = ৯০ বছর।
২. পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স নির্ণয়:
পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় = ৩৬ বছর।
সদস্য সংখ্যা = ৩ জন।
মোট বয়স = গড় ×\times সদস্য সংখ্যা = $৩৬ \times ৩ = ১০৮ বছর।
৩. পুত্রের বয়স নির্ণয়:
পুত্রের বয়স = (পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স) −- (পিতা ও মাতার মোট বয়স)
পুত্রের বয়স = $১০৮ - ৯০ = ১৮ বছর।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ১৮ বছর।
102

একটি জারে দুধ ও পানির অনুপাত ৫:১। দুধের পরিমাণ যদি পানি অপেক্ষা ৮ লিটার বেশি হয় তবে পানির পরিমাণ কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ২ লিটার
  2. খ
    ৪ লিটার
  3. গ
    ৬ লিটার
  4. ঘ
    ১০ লিটার

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, দুধ ও পানির অনুপাত = ৫ : ১।
ধরি, দুধের পরিমাণ ৫x লিটার এবং পানির পরিমাণ ১x লিটার।
প্রশ্নমতে, দুধের পরিমাণ পানি অপেক্ষা ৮ লিটার বেশি।
অর্থাৎ, তাদের পরিমাণের পার্থক্য হলো ৮ লিটার। আমরা লিখতে পারি: ৫x−১x=৮৫x - ১x = ৮
বা, ৪x=৮৪x = ৮
বা, x=৮৪x = \frac{৮}{৪}
সুতরাং, x=২x = ২।
পানির পরিমাণ হলো ১x১x লিটার, যা ২ লিটার।
সঠিক উত্তর: ২ লিটার। (দুধের পরিমাণ ৫×২=১০৫ \times ২ = ১০ লিটার। পার্থক্য: ১০−২=৮১০ - ২ = ৮ লিটার।)
অন্যান্য অপশনগুলো ভুল, কারণ ৪ লিটার বা ৬ লিটার পানি হলে অনুপাতটি ৫:১ এবং পার্থক্য ৮ লিটার শর্তটি পূরণ করে না।
103

১২ জন শ্রমিক ৩ দিনে ৭২০ টাকা আয় করে। তবে ৯ জন শ্রমিক সমপরিমাণ টাকা আয় করবে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৫ দিনে
  2. ৪ দিনে
  3. গ
    ৬ দিনে
  4. ঘ
    ৩ দিনে

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি ঐকিক নিয়মের একটি বিপরীত সমানুপাতিক (Inverse Proportion) সমস্যা। এখানে শ্রমিক সংখ্যা কমলে দিন সংখ্যা বাড়বে, কারণ মোট কাজের পরিমাণ (৭২০ টাকা আয় করা) অপরিবর্তিত আছে।
প্রথম ক্ষেত্রে: ১২ জন শ্রমিকের ৭২০ টাকা আয় করতে সময় লাগে = ৩ দিন।
সুতরাং, ১ জন শ্রমিকের ঐ একই টাকা আয় করতে বেশি দিন লাগবে।
সময় = (১২ ×\times ৩) দিন = ৩৬ দিন।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে: এখন, ৯ জন শ্রমিকের সমপরিমাণ টাকা আয় করতে সময় লাগবে কম।
সময় = ৩৬৯\frac{৩৬}{৯} দিন = ৪ দিন।
অতএব, ৯ জন শ্রমিক সমপরিমাণ টাকা আয় করবে ৪ দিনে।
সঠিক উত্তর হলো: ৪ দিনে।
104

লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ১৮ কি.মি. ও ৬ কি.মি.। নদীপথে ৪৮ কি.মি. অতিক্রম করে পুনরায় ফিরে আসতে সময় লাগবে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১০ ঘণ্টা
  2. খ
    ৫ ঘণ্টা
  3. ৬ ঘণ্টা
  4. ঘ
    ৮ ঘণ্টা

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের অঙ্কগুলি 'স্রোত ও নৌকার গতিবেগ' (Boat and Stream) সংক্রান্ত। এখানে গতির দুটি ভিন্ন অবস্থা বিবেচনা করতে হবে: স্রোতের অনুকূলে যাওয়া এবং স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসা।
১. স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ (Downstream Speed):
অনুকূলে গতিবেগ = (লঞ্চের গতি + স্রোতের গতি)
=(১৮+৬)=(১৮ + ৬) কি.মি./ঘণ্টা = ২৪ কি.মি./ঘণ্টা।
২. স্রোতের অনুকূলে যেতে প্রয়োজনীয় সময় (T1T_1):
সময় = দূরত্বগতিবেগ=৪৮২৪\frac{দূরত্ব}{গতিবেগ} = \frac{৪৮}{২৪} ঘণ্টা = ২ ঘণ্টা।
৩. স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ (Upstream Speed):
প্রতিকূলে গতিবেগ = (লঞ্চের গতি - স্রোতের গতি)
=(১৮−৬)=(১৮ - ৬) কি.মি./ঘণ্টা = ১২ কি.মি./ঘণ্টা।
৪. স্রোতের প্রতিকূলে ফিরে আসতে প্রয়োজনীয় সময় (T2T_2):
সময় = দূরত্বগতিবেগ=৪৮১২\frac{দূরত্ব}{গতিবেগ} = \frac{৪৮}{১২} ঘণ্টা = ৪ ঘণ্টা।
৫. মোট সময়:
মোট সময় = অনুকূলে সময় + প্রতিকূলে সময় = $২ + ৪ = ৬ ঘণ্টা।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৬ ঘণ্টা।
105

কোন সংখ্যার ১/২   অংশের সাথে ৬ যোগ করলে সংখ্যাটির  ২/৩   অংশ হবে। সংখ্যাটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    53
  2. খ
    63
  3. 36
  4. ঘ
    35

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ধরি, সংখ্যাটি হলো xx।
প্রশ্নমতে, সংখ্যাটির 12\frac{1}{2} অংশের সাথে ৬ যোগ করলে তা সংখ্যাটির 23\frac{2}{3} অংশের সমান হয়।
বীজগণিতীয় সমীকরণে প্রকাশ করলে দাঁড়ায়:
x2+6=2x3\frac{x}{2} + 6 = \frac{2x}{3}
এখন xx এর অংশগুলো একদিকে নিয়ে বিয়োগ করি:
6=2x3−x26 = \frac{2x}{3} - \frac{x}{2}
৩ এবং ২ এর ল.সা.গু হলো ৬।
6=4x−3x66 = \frac{4x - 3x}{6}
6=x66 = \frac{x}{6}
উভয় পক্ষকে ৬ দিয়ে গুণ করে পাই:
x=6×6x = 6 \times 6
x=<strong>36</strong>x = <strong>36</strong>
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৩৬।
106

যদি p একটি মৌলিক সংখ্যা হয় তবে p-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    একটি স্বাভাবিক সংখ্যা
  2. খ
    একটি পূর্ণ সংখ্যা
  3. গ
    একটি মূলদ সংখ্যা
  4. একটি অমূলদ সংখ্যা

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

p একটি মৌলিক সংখ্যা। সুতরাং p সংখ্যাটি স্বাভাবিক, পূর্ণ ও মূলদ সংখ্যা। পূর্ণবর্গ নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল করলে সেটি অমূলদ। সুতরাং p একটি অমূলদ সংখ্যা।

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: একটি অমূলদ সংখ্যা।
গণিতের মৌলিক সূত্র অনুযায়ী, যদি কোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা পূর্ণবর্গ (Perfect Square) না হয়, তবে তার বর্গমূল (Square Root) সব সময়ই অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number) হয়।
যেহেতু p একটি মৌলিক সংখ্যা (যেমন: 2, 3, 5, 7...), তাই p কখনোই পূর্ণবর্গ সংখ্যা হতে পারে না।
যেমন: যদি p = 5 হয়, তবে p=5\sqrt{p} = \sqrt{5}। 5\sqrt{5}-এর মান হলো 2.236067...2.236067..., যা দশমিকের পরে অসীম ও অনাবৃত্ত (Non-terminating and Non-repeating)।
যে সংখ্যাকে pq\frac{p}{q} আকারে (যেখানে p ও q পূর্ণ সংখ্যা এবং q≠0q \neq 0) প্রকাশ করা যায় না, তাকে অমূলদ সংখ্যা বলে। তাই p\sqrt{p} অবশ্যই অমূলদ সংখ্যা।
অন্যান্য অপশন ভুল, কারণ p\sqrt{p} সাধারণত স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) বা পূর্ণ সংখ্যা (Integer) হয় না। এটি মূলদ হওয়ার শর্ত হলো p অবশ্যই পূর্ণবর্গ হতে হবে, যা মৌলিক সংখ্যার ক্ষেত্রে অসম্ভব।
107

ক এবং খ একত্রে একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। ক একা কাজটি ২০ দিনে করতে পারে, খ একা কাজটি করতে পারবে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২৫ দিনে
  2. ৩০ দিনে
  3. গ
    ৩৫ দিনে
  4. ঘ
    ৪০ দিনে

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের কাজ ও সময়ের সমস্যা সমাধানে সম্পূর্ণ কাজকে ১ অংশ হিসেবে ধরা হয় এবং ১ দিনের কাজ বের করা হয়।
ধাপ ১: ১ দিনে কাজের পরিমাণ নির্ণয়:
ক এবং খ একত্রে ১২ দিনে ১ অংশ কাজ করে।
অতএব, ১ দিনে তারা একত্রে কাজ করে $= rac{১}{১২}$ অংশ।
ক একা ২০ দিনে ১ অংশ কাজ করে।
অতএব, ক একা ১ দিনে কাজ করে $= rac{১}{২০}$ অংশ।
ধাপ ২: খ এর ১ দিনের কাজ নির্ণয়:
খ এর ১ দিনের কাজ = (ক ও খ এর ১ দিনের কাজ) −- (ক এর ১ দিনের কাজ)
খ এর ১ দিনের কাজ $= rac{১}{১২} - rac{১}{২০}$
ল.সা.গু. হলো ৬০।
$ rac{৫ - ৩}{৬০} = rac{২}{৬০} = rac{১}{৩০}$ অংশ।
ধাপ ৩: মোট সময় নির্ণয়:
খ $ rac{১}{৩০}$ অংশ কাজ করে ১ দিনে।
অতএব, খ সম্পূর্ণ কাজ (১ অংশ) করতে সময় নেবে $= rac{১}{ rac{১}{৩০}} = ৩০ দিন।
108

নিচের কোনটি সবচেয়ে ছোট সংখ্যা?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    18/16

  2. খ

    5/3

  3. গ

    16/31

  4. 4/12

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি সবচেয়ে ছোট, তা নির্ণয় করতে প্রথমে দেখতে হবে কোনটি ১ এর চেয়ে ছোট (Proper Fraction) এবং কোনটি ১ এর চেয়ে বড় (Improper Fraction)।
যে ভগ্নাংশের লব (Numerator) হর (Denominator) অপেক্ষা বড়, সেটি ১ এর চেয়ে বড়। এখানে 18/16 এবং 5/3 হলো ১ এর চেয়ে বড়।
(18/16 = 1.125 এবং 5/3 ≈ 1.66)
যেহেতু আমরা সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি খুঁজছি, তাই ১ এর চেয়ে বড় সংখ্যা দুটি বাদ যাবে।
বাকি দুটি ভগ্নাংশ: 16/31 এবং 4/12। এই দুটি সংখ্যাই ১ এর চেয়ে ছোট।
এদের মান নির্ণয় করলে পাওয়া যায়:
16/31≈0.51616/31 \approx 0.516
4/12=1/3≈0.3334/12 = 1/3 \approx 0.333
যেহেতু 0.333<0.5160.333 < 0.516, তাই 4/124/12 হলো এই অপশনগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা।
সঠিক উত্তর: 4/12।
109

টাকার ৩টি এবং টাকায় ৫টি দরে সমান সংখ্যাক আমলকি ক্রয় করে এক ব্যক্তি টাকায় ৪টি করে আমলকি বিক্রয় করলেন। ঐ ব্যক্তির শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হলো তা নির্ণয় করুন।

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৪.২৫% লাভ
  2. খ
    ৫.২৫% ক্ষতি
  3. ৬.২৫% ক্ষতি
  4. ঘ
    ৭.২৫% ভাল

সঠিক উত্তর: গ

ব্যাখ্যা

এটি একটি লাভ-ক্ষতির অঙ্ক যেখানে সমান সংখ্যক জিনিস ভিন্ন মূল্যে কিনে একটি নির্দিষ্ট মূল্যে বিক্রি করা হয়েছে। এই ধরনের অঙ্কের সমাধানে মোট ক্রয়মূল্য (CP) এবং মোট বিক্রয়মূল্য (SP) বের করতে হয়।
ধরি, প্রথম প্রকারের আমলকি কেনা হয়েছে NN টি এবং দ্বিতীয় প্রকারের আমলকি কেনা হয়েছে NN টি।
মোট আমলকির সংখ্যা =<strong>2N</strong>= <strong>2N</strong> টি।
যেহেতু ৩টি আমলকির ক্রয়মূল্য ১ টাকা,
সুতরাং প্রথম NN টি আমলকির ক্রয়মূল্য =<strong>N/3</strong>= <strong>N/3</strong> টাকা।
যেহেতু ৫টি আমলকির ক্রয়মূল্য ১ টাকা,
সুতরাং দ্বিতীয় NN টি আমলকির ক্রয়মূল্য =<strong>N/5</strong>= <strong>N/5</strong> টাকা।
মোট ক্রয়মূল্য (CP): CP=N3+N5=5N+3N15=8N15\text{CP} = \frac{N}{3} + \frac{N}{5} = \frac{5N + 3N}{15} = \frac{8N}{15} টাকা।
বিক্রয়ের ক্ষেত্রে, ৪টি আমলকির বিক্রয়মূল্য ১ টাকা।
মোট আমলকি 2N2N টি বিক্রয় করা হয়েছে।
মোট বিক্রয়মূল্য (SP): SP=2N4=N2\text{SP} = \frac{2N}{4} = \frac{N}{2} টাকা।
ক্রয়মূল্য CP=8N15\text{CP} = \frac{8N}{15} এবং বিক্রয়মূল্য SP=N2=7.5N15\text{SP} = \frac{N}{2} = \frac{7.5N}{15}।
যেহেতু 8N/15>7.5N/158N/15 > 7.5N/15, তাই এখানে ক্ষতি হয়েছে।
মোট ক্ষতির পরিমাণ: Loss=CP−SP=8N15−N2=16N−15N30=N30\text{Loss} = \text{CP} - \text{SP} = \frac{8N}{15} - \frac{N}{2} = \frac{16N - 15N}{30} = \frac{N}{30} টাকা।
শতকরা ক্ষতির হার: Loss%=LossCP×100\text{Loss} \% = \frac{\text{Loss}}{\text{CP}} \times 100
Loss%=N/308N/15×100=N30×158N×100\text{Loss} \% = \frac{N/30}{8N/15} \times 100 = \frac{N}{30} \times \frac{15}{8N} \times 100
$= \frac{1}{2 \times 8} \times 100 = \frac{1}{16} \times 100 = 6.25\%।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: ৬.২৫% ক্ষতি।
110

৫-এর কত শতাংশ ৭ হবে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    40
  2. খ
    125
  3. গ
    90
  4. 140

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ধরি, ৫-এর xx শতাংশ ৭ হবে।
শতাংশের সংজ্ঞা অনুযায়ী, আমরা লিখতে পারি:
5×x100=75 \times \frac{x}{100} = 7
এখন, আমরা xx-এর মান নির্ণয় করব:
5x=7×1005x = 7 \times 100
5x=7005x = 700
x=7005x = \frac{700}{5}
x=140x = 140
সুতরাং, ৫-এর ১৪০ শতাংশ ৭ হবে। সঠিক উত্তর: ১৪০।
111

x এবং y উভয়ই বিজোড় সংখ্যা হলে কোনটি জোড় সংখ্যা হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    x+y+1
  2. খ
    xy
  3. গ
    xy+2
  4. x+y

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রশ্নে বলা হয়েছে x এবং y উভয়ই বিজোড় সংখ্যা। আমাদের দেখতে হবে কোন অপশনটির ফলাফল জোড় সংখ্যা আসে।
সংখ্যা তত্ত্বের মৌলিক নিয়ম অনুযায়ী:
বিজোড় সংখ্যা + বিজোড় সংখ্যা = জোড় সংখ্যা (Odd + Odd = Even)।
সঠিক উত্তর: (x+y)। যেহেতু x বিজোড় এবং y বিজোড়, তাই তাদের যোগফল অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে।
অন্যান্য অপশনগুলোর ভুল বিশ্লেষণ:
• x+y+1: (জোড় সংখ্যা) + 1 = বিজোড় সংখ্যা।
• xy: বিজোড় ×\times বিজোড় = বিজোড় সংখ্যা। (যেমন: 3×5=153 \times 5 = 15)
• xy+2: (বিজোড় সংখ্যা) + 2 = বিজোড় সংখ্যা। (যেমন: 15+2=1715 + 2 = 17)
112

sqrt2/(sqrt6 + 2)  কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    √3 + √2

  2. খ

    3 + √2

  3. √3 − √2

  4. ঘ

    √3 + 2

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমাদের হরের (Denominator) করণী নিরসন (Rationalization) করতে হবে। করণী নিরসন করার জন্য হর-এর অনুবন্ধী রাশি (Conjugate) দ্বারা লব ও হর উভয়কেই গুণ করতে হয়।
প্রদত্ত রাশি: 26+2\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2}
এখানে হর হলো 6+2\sqrt{6} + 2। এর অনুবন্ধী রাশি হলো 6−2\sqrt{6} - 2।
আমরা লব ও হরকে (6−2)(\sqrt{6} - 2) দ্বারা গুণ করি:
26+2×6−26−2\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2} \times \frac{\sqrt{6} - 2}{\sqrt{6} - 2}
হর-এর সরলীকরণ:
(6+2)(6−2)=(6)2−22(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2) = (\sqrt{6})^2 - 2^2 (যেহেতু a+b)(a−b)=a2−b2a+b)(a-b) = a^2 - b^2)
=6−4=<strong>2= 6 - 4 = <strong>2
লব-এর সরলীকরণ:
2(6−2)=2×6−22=12−22\sqrt{2}(\sqrt{6} - 2) = \sqrt{2 \times 6} - 2\sqrt{2} = \sqrt{12} - 2\sqrt{2}
এখন, 12\sqrt{12} কে ভাঙলে পাওয়া যায় 4×3=23\sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}।
সুতরাং, লব =23−22= 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}
সম্পূর্ণ রাশিটি দাঁড়ায়:
23−222\frac{2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}
লব থেকে 2 কমন নিলে:
2(3−2)2\frac{2(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{2}
2 দ্বারা ভাগ করলে ফলাফল দাঁড়ায়: 3−2\sqrt{3} - \sqrt{2}।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 3−2\sqrt{3} - \sqrt{2}।
113

০.৪dot(৭)  কে সাধারণ ভগ্নাংশে পরিণত করলে কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    47/90

  2. 43/90

  3. গ

    43/99

  4. ঘ

    47/90

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সংখ্যাটি হলো একটি মিশ্র আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ: ০.৪৭˙০.৪\dot{৭}। একে সাধারণ ভগ্নাংশে রূপান্তরের জন্য একটি নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসরণ করতে হয়।
১. লব (Numerator) নির্ধারণ: প্রথমে দশমিক বিন্দুর পরের সম্পূর্ণ সংখ্যাটি (আবৃত্ত ও অনাবৃত্ত সহ) লিখতে হবে। এখানে সেটি হলো ৪৭। এরপর সেই সংখ্যাটি থেকে আবৃত্ত নয় এমন অংশটি (অনাবৃত্ত অংশ) বিয়োগ করতে হবে।
লব = ৪৭−৪=<strong>৪৩</strong>৪৭ - ৪ = <strong>৪৩</strong>
২. হর (Denominator) নির্ধারণ: হর লেখার সময় দশমিক বিন্দুর ডানদিকে দেখতে হবে। যতটি অঙ্ক আবৃত্ত (dot চিহ্নিত), তার জন্য ততটি ৯ এবং যতটি অঙ্ক অনাবৃত্ত (dot ছাড়া), তার জন্য ততটি ০ বসাতে হবে।
এখানে আবৃত্ত অঙ্ক ১টি (৭) এবং অনাবৃত্ত অঙ্ক ১টি (৪)।
সুতরাং, হর = ৯৯ এবং ০০ বসিয়ে হবে ৯০।
অতএব, সাধারণ ভগ্নাংশটি হলো: ৪৩/৯০৪৩/৯০।
যা বিকল্প ২ (43/90)-এ সঠিক দেওয়া আছে।
114

30% of 10 is 10% of which?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 30
  2. খ
    60
  3. গ
    30
  4. ঘ
    600

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি শতকরার একটি মৌলিক ও খুবই গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন যা প্রায় সব জব পরীক্ষায় দেখা যায়। আমরা এটিকে দুটি ধাপে সমাধান করব।
১ম ধাপ: প্রথমে আমরা '১০ এর ৩০%' এর মান নির্ণয় করব।
১০ এর ৩০%=৩০১০০×১০=৩০০১০০=<strong>৩</strong>\text{১০ এর ৩০\%} = \frac{৩০}{১০০} \times ১০ = \frac{৩০০}{১০০} = <strong>৩</strong>
২য় ধাপ: এখন সমস্যাটি দাঁড়াল যে, ৩ কোন সংখ্যার ১০%।
ধরি, সংখ্যাটি হলো XX।
প্রশ্নমতে: X এর ১০%=৩X \text{ এর } ১০\% = ৩
১০১০০×X=৩\frac{১০}{১০০} \times X = ৩
১১০×X=৩\frac{১}{১০} \times X = ৩
X=৩×১০=<strong>৩০</strong>X = ৩ \times ১০ = <strong>৩০</strong>
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৩০।
115

Rahim is 12 years old. He is three times older than Karim. What will be the age of Rahim when he is two times older than Karim?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    15 years
  2. 16 years
  3. গ
    17 years
  4. ঘ
    18 years

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের বয়স সংক্রান্ত সমস্যার সমাধানে সবথেকে গুরুত্বপূর্ণ ধারণাটি হলো— দুইজন ব্যক্তির বয়সের পার্থক্য সর্বদা স্থির থাকে।
ধাপ ১: করিমের বর্তমান বয়স নির্ণয়।
প্রশ্নে বলা হয়েছে, রহিমের বয়স ১২ বছর এবং সে করিমের চেয়ে তিন গুণ বেশি বয়স্ক।
$ ext{করিমের বর্তমান বয়স} = rac{ ext{রহিমের বর্তমান বয়স}}{ ext{গুনক}} = rac{12}{3} = 4 ext{ বছর}$।
ধাপ ২: বয়সের পার্থক্য নির্ণয়।
রহিম এবং করিমের বয়সের পার্থক্য = 12−4=8extবছর12 - 4 = 8 ext{ বছর}।
মনে রাখতে হবে, ভবিষ্যতে এই পার্থক্য ৮ বছরই থাকবে।
ধাপ ৩: ভবিষ্যতের বয়স নির্ণয়।
আমরা ধরে নিই, xx বছর পর রহিমের বয়স করিমের দ্বিগুণ হবে।
তখন রহিমের বয়স হবে (12+x)(12 + x) বছর এবং করিমের বয়স হবে (4+x)(4 + x) বছর।
প্রশ্নমতে,
12+x=2imes(4+x)12 + x = 2 imes (4 + x)
12+x=8+2x12 + x = 8 + 2x
12−8=2x−x12 - 8 = 2x - x
extসুতরাং,x=4 ext{সুতরাং, } x = 4
অর্থাৎ, ৪ বছর পর রহিমের বয়স করিমের দ্বিগুণ হবে।
তখন রহিমের বয়স হবে: 12+4=<strong>16extবছর12 + 4 = <strong>16 ext{ বছর}।
(এবং করিমের বয়স হবে 4+4=84 + 4 = 8 বছর। এখানে 16=2imes816 = 2 imes 8, যা শর্ত পূরণ করে)।
সঠিক উত্তর: ১৬ বছর।
116

√২ সংখ্যাটি কি সংখ্যা?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    একটি স্বাভাবিক সংখ্যা
  2. খ
    একটি পূর্ণ সংখ্যা
  3. গ
    একটি মূলদ সংখ্যা
  4. একটি অমূলদ সংখ্যা

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

পূর্ণবর্গ নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ সংখ্যা। √2 পূর্ণবর্গ নয়। ∴ √2 একটি অমূলদ সংখ্যা।

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: একটি অমূলদ সংখ্যা।

গণিতে সংখ্যা দুই প্রকার— মূলদ সংখ্যা (Rational Number) ও অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number)।

যেসব সংখ্যাকে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় (যেমন: pq\frac{p}{q}, যেখানে p,qp, q পূর্ণ সংখ্যা এবং q≠0q \neq 0), তাদের মূলদ সংখ্যা বলে। যেমন: ২, ১২\frac{১}{২}, ০.৫, ৯\sqrt{৯}।

যেসব সংখ্যাকে কোনোভাবেই ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না, এবং যাদের দশমিক মান অনন্তকাল ধরে চলতে থাকে (অসীম) এবং পুনরাবৃত্তি হয় না (অনাবৃত), তাদের অমূলদ সংখ্যা বলে।

২ \sqrt{২} এর মান হলো ১.৪১821356... ১.৪১821356... । এটি একটি অসমাপ্ত ও অনাবৃত্ত দশমিক সংখ্যা। তাই ২ \sqrt{২} সংখ্যাটি একটি অমূলদ সংখ্যা।
117

যদি ১৫টি পোশাকের মধ্যে শতকরা ৪০ ভাগ পোশাক শার্ট হয় তবে ১৫টি পোশাকের মধ্যে কতটি শার্ট নয়?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    6

  2. 9

  3. গ
    12
  4. ঘ
    10

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের প্রশ্নের ক্ষেত্রে, আমাদের প্রথমে বের করতে হবে কত ভাগ পোশাক শার্ট নয়। এটি একটি সহজ 'শতকরা' সংক্রান্ত সমস্যা।

ধাপ ১: শার্ট নয় এমন পোশাকের শতকরা হার নির্ণয়:
মোট পোশাক সর্বদা ১০০% ধরা হয়।
শার্ট আছে = ৪০%
সুতরাং, শার্ট নয় এমন পোশাকের হার = (১০০−৪০)%=<strong>৬০% (১০০ - ৪০)\% = <strong>৬০\% ।

ধাপ ২: শার্ট নয় এমন পোশাকের সংখ্যা নির্ণয়:
মোট পোশাকের সংখ্যা = ১৫টি।
শার্ট নয় এমন পোশাকের সংখ্যা হবে ১৫-এর ৬০%।
সংখ্যা=১৫×৬০১০০\text{সংখ্যা} = ১৫ \times \frac{৬০}{১০০}
সংখ্যা=১৫×৬১০=৯০১০=<strong>৯</strong>\text{সংখ্যা} = ১৫ \times \frac{৬}{১০} = \frac{৯০}{১০} = <strong>৯</strong>

অতএব, ১৫টি পোশাকের মধ্যে ৯টি শার্ট নয়।

কেন অন্য উত্তরগুলো ভুল?
যদি আপনি ভুল করে শার্টের সংখ্যা বের করতেন, তবে উত্তর হতো ৬ (৪০% এর মান), যা প্রশ্ন চায়নি। ১২ উত্তরটি আসে ৮০% ধরলে, যা ভুল।
সঠিক উত্তর: ৯।
118

টাকায় ৩টি করে লেবু কিনে টাকায় ২টি করে বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. ৫০%

  2. খ

    ৩০%

  3. গ

    ৩৩%

  4. ঘ

    ৩১% 

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের লাভ-ক্ষতির অঙ্কের ক্ষেত্রে, মোট লাভ বের করার জন্য হয় ক্রয়মূল্যকে (CP) বা বিক্রয়মূল্যকে (SP) সমান করতে হয়, অথবা উভয়ের জন্য পণ্যের পরিমাণকে সমান করতে হয়।
এখানে, টাকায় (১ টাকায়) ৩টি লেবু কেনা হয় এবং টাকায় (১ টাকায়) ২টি লেবু বিক্রি করা হয়।
ধরি, লেবুর পরিমাণকে ৬টি (৩ ও ২ এর ল.সা.গু) ধরে হিসাব করি:
১. ক্রয়মূল্য (CP) নির্ণয়:
৩টি লেবুর ক্রয়মূল্য = ১ টাকা
সুতরাং, ৬টি লেবুর ক্রয়মূল্য = ১imes২=২১ imes ২ = ২ টাকা।
২. বিক্রয়মূল্য (SP) নির্ণয়:
২টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা
সুতরাং, ৬টি লেবুর বিক্রয়মূল্য = ১imes৩=৩১ imes ৩ = ৩ টাকা।
৩. লাভ নির্ণয়:
লাভ = SP – CP = ৩−২=১৩ - ২ = ১ টাকা।
৪. শতকরা লাভ নির্ণয়:
শতকরা লাভ = লাভক্রয়মূল্য×১০০\frac{লাভ}{ক্রয়মূল্য} \times ১০০
=১২×১০০= \frac{১}{২} \times ১০০
$= ৫০%
অতএব, শতকরা লাভের পরিমাণ ৫০%।
119

৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    5
  2. খ
    3
  3. গ
    7
  4. 4

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

৪৩ থেকে ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর হলো ৪৩, ৪৭, ৫৩ এবং ৫৯ = ৪টি ।

ব্যাখ্যা

৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে (Inclusive) যেসব সংখ্যাকে ১ এবং সেই সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরই মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) বলে।
৪৩ থেকে ৬০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো:
৪৩ (Prime, ১ ও ৪৩ ছাড়া কোনো উৎপাদক নেই)
৪৭ (Prime, ১ ও ৪৭ ছাড়া কোনো উৎপাদক নেই)
৫৩ (Prime, ১ ও ৫৩ ছাড়া কোনো উৎপাদক নেই)
৫৯ (Prime, ১ ও ৫৯ ছাড়া কোনো উৎপাদক নেই)
উল্লেখ্য, এই সীমার মধ্যে অনেকে ৫১ (৩imes১৭৩ imes ১৭) এবং ৫৭ (৩imes১৯৩ imes ১৯) কে ভুলবশত মৌলিক ধরে নেয়, যা ভুল।
সুতরাং, ৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে মোট মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা = ৪টি।
সঠিক উত্তর হলো: ৪।
120

৭২ সংখ্যাটির মোট ভাজক আছে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৯টি
  2. খ
    ১০টি
  3. গ
    ১১টি
  4. ১২টি

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

কোনো সংখ্যার মোট ভাজক বা গুণনীয়ক (Divisors/Factors) নির্ণয়ের জন্য প্রথমে সংখ্যাটিকে মৌলিক উৎপাদকে (Prime Factors) বিশ্লেষণ করতে হয়।
প্রদত্ত সংখ্যাটি হলো ৭২।
৭২ সংখ্যাটির মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
72=2×3672 = 2 \times 36
72=2×2×1872 = 2 \times 2 \times 18
72=2×2×2×972 = 2 \times 2 \times 2 \times 9
72=23×3272 = 2^3 \times 3^2
এখন, মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত বা পাওয়ারের সাথে ১ যোগ করে প্রাপ্ত যোগফলগুলো গুণ করলেই মোট ভাজক সংখ্যা পাওয়া যায়।
এখানে, ২ এর ঘাত হলো ৩ এবং ৩ এর ঘাত হলো ২।
মোট ভাজক সংখ্যা =(3+1)×(2+1)= (3+1) \times (2+1)
মোট ভাজক সংখ্যা =4×3=12= 4 \times 3 = 12টি।
অতএব, ৭২ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা ১২টি। (যেমন: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১২, ১৮, ২৪, ৩৬, ৭২)।
সঠিক উত্তর: ১২টি।
121

sqrt6/(sqrt6+2  সমান-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    sqrt3+sqrt2

  2. খ

    8-sqrt2

  3. sqrt3-sqrt2

  4. ঘ

    sqrt3+2

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত রাশিটি হলো: E=66+2E = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}+2}। এই ধরনের রাশি সরলীকরণের জন্য হর পরিমীয়করণ (Rationalization) পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।
হর পরিমীয়করণ: হরের অনুবন্ধী রাশি (Conjugate) দ্বারা লব ও হর উভয়কে গুণ করতে হয়। এখানে হর 6+2\sqrt{6}+2-এর অনুবন্ধী রাশি হলো 6−2\sqrt{6}-2।
E=66+2×6−26−2E = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}+2} \times \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}-2}
হর অংশে a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2 = (a+b)(a-b) সূত্রটি প্রয়োগ হবে:
হর: (6)2−(2)2=6−4=<strong>2</strong>(\sqrt{6})^2 - (2)^2 = 6 - 4 = <strong>2</strong>
লব: 6(6−2)=6×6−26=6−26\sqrt{6}(\sqrt{6}-2) = \sqrt{6} \times \sqrt{6} - 2\sqrt{6} = 6 - 2\sqrt{6}
অতএব, সরলীকৃত রাশিটি হলো: E=6−262E = \frac{6 - 2\sqrt{6}}{2}
লব থেকে 2 কমন নিয়ে বা সরাসরি ভাগ করে পাই: E=62−262=<strong>3−6</strong>E = \frac{6}{2} - \frac{2\sqrt{6}}{2} = <strong>3 - \sqrt{6}</strong>
বিসিএস পরীক্ষার প্রশ্নে প্রায়শই এমন ত্রুটি দেখা যায় যেখানে গাণিতিকভাবে সঠিক উত্তর অপশনে থাকে না। প্রদত্ত রাশিটির সঠিক সরলীকৃত মান হলো 3−63 - \sqrt{6} (যা ≈0.551\approx 0.551)। কিন্তু প্রদত্ত উত্তর অপশন হলো 3−2\sqrt{3}-\sqrt{2} (যা ≈0.318\approx 0.318)। এই উত্তরটি পেতে হলে মূল রাশিটি 13+2\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} হতে পারত।
তবে যেহেতু অপশন (৩) 3−2\sqrt{3}-\sqrt{2} সঠিক উত্তর হিসেবে নির্দেশিত, তাই ধরে নিতে হবে প্রশ্নটি ত্রুটিপূর্ণ ছিল এবং এই উত্তরটিই গ্রহণ করতে হবে।
122

এক ব্যক্তি একটি দ্রব্য ১২০০ টাকায় কিনে ১৫% লাভে বিক্রয় করল; ক্রেতা ঐ দ্রব্য তৃতীয় এক ব্যক্তির কাছে ৫% ক্ষতিতে বিক্রয় করল। শেষ বিক্রয়মূল্য কত ছিল?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1280
  2. খ
    1281
  3. গ
    1310

  4. 1311

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এখানে দুটি ধাপে বিক্রয়মূল্য নির্ণয় করতে হবে। প্রথম ব্যক্তির ক্রয়মূল্য (CP1) = ১২০০ টাকা।
প্রথম ধাপ: ১৫% লাভে বিক্রয়। প্রথম বিক্রয়মূল্য (SP1) হবে:
লাভ = ১২০০ টাকার ১৫% = ১২০০×১৫১০০=১২×১৫=১৮০\frac{১২০০ \times ১৫}{১০০} = ১২ \times ১৫ = ১৮০ টাকা।
প্রথম বিক্রয়মূল্য (SP1) = $১২০০ + ১৮০ = ১৩৮০ টাকা।
দ্বিতীয় ধাপ: ৫% ক্ষতিতে বিক্রয়। দ্বিতীয় ক্রেতা ১৩৮০ টাকায় দ্রব্যটি কিনেছেন, তাই দ্বিতীয় ক্ষেত্রে ক্রয়মূল্য (CP2) = ১৩৮০ টাকা।
ক্ষতি = ১৩৮০ টাকার ৫% = ১৩৮০×৫১০০=৬৯০০১০০=৬৯\frac{১৩৮০ \times ৫}{১০০} = \frac{৬৯০০}{১০০} = ৬৯ টাকা।
শেষ বিক্রয়মূল্য (SP2) = $১৩৮০ - ৬৯ = ১৩১১ টাকা।
অতএব, শেষ বিক্রয়মূল্য ছিল ১৩১১ টাকা। এটি বিকল্পের ৩ নং অপশনে (1311) রয়েছে।
123

চালের দাম ২৫% বেড়ে যাওয়ায় এক ব্যক্তি চালের ব্যবহার এমনভাবে কমালেন যেন তার সাংসারিক ব্যয় অপরিবর্তিত থাকে। তিনি চালের ব্যবহার শতকরা কত ভাগ কমালেন?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. 20%

  2. খ
    16%
  3. গ
    18%
  4. ঘ
    15%

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের অঙ্কে মনে রাখতে হবে যে, যদি ব্যয় অপরিবর্তিত রাখতে হয়, তবে দাম বাড়লে ব্যবহার কমাতে হবে এবং এদের সম্পর্কটি ব্যস্তানুপাতিক (Inversely Proportional)।
ধরি, চালের প্রাথমিক দাম ছিল ১০০ টাকা।
২৫% দাম বাড়ার ফলে নতুন দাম হলো: $১০০ + ২৫ = ১২৫ টাকা।
ব্যয় অপরিবর্তিত রাখতে হলে, এখন ১২৫ টাকার চাল ব্যবহার করতে হবে, যা আগে ১০০ টাকার চাল ব্যবহার করা হতো।
অতএব, ১২৫ টাকায় ব্যবহার কমাতে হবে: $(১২৫ - ১০০) = ২৫ টাকা।
ব্যবহার শতকরা কত কমাতে হবে তা নির্ণয়ের সূত্র:
$কমাবার হার=যে হারে দাম বেড়েছেনতুন দাম×১০০% \text{কমাবার হার} = \frac{\text{যে হারে দাম বেড়েছে}}{\text{নতুন দাম}} \times ১০০ \%
কমাবার হার =২৫১২৫×১০০%= \frac{২৫}{১২৫} \times ১০০ \%
কমাবার হার $= \frac{১}{৫} \times ১০০ \% = ২০\%।
সুতরাং, ব্যক্তিটিকে চালের ব্যবহার ২০% কমাতে হবে।
124

এক ব্যক্তি তার মোট সম্পত্তির ৩/৭ অংশ ব্যয় করার পরে অবশিষ্টের ৫/১২ অংশ ব্যয় করে দেখলেন যে তার নিকট ১০০০ টাকা রয়েছে। তার মোট সম্পত্তির মূল্য কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২০০০ টাকা
  2. খ
    ২৩০০ টাকা
  3. গ
    ২৫০০ টাকা
  4. ৩০০০ টাকা

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের অঙ্কে, মোট সম্পত্তিকে ১ অংশ ধরে নিতে হবে। যেহেতু দ্বিতীয় খরচটি অবশিষ্ট সম্পত্তির ওপর করা হয়েছে, তাই ধাপে ধাপে অবশিষ্ট অংশ নির্ণয় করতে হবে।
ধাপ ১: প্রথম খরচের পর অবশিষ্ট নির্ণয়
ব্যক্তিটি মোট সম্পত্তির ৩৭\frac{৩}{৭} অংশ ব্যয় করেন।
অবশিষ্ট সম্পত্তি: (১−৩৭)=৭−৩৭=৪৭\left(১ - \frac{৩}{৭}\right) = \frac{৭-৩}{৭} = \frac{৪}{৭} অংশ।
ধাপ ২: দ্বিতীয় খরচের পর অবশিষ্ট নির্ণয়
তিনি অবশিষ্টের (৪৭\frac{৪}{৭} অংশের) ৫১২\frac{৫}{১২} অংশ ব্যয় করেন।
অতএব, অবশিষ্টের (১−৫১২)=৭১২\left(১ - \frac{৫}{১২}\right) = \frac{৭}{১২} অংশ তার কাছে অবশিষ্ট থাকে।
ধাপ ৩: মোট সম্পত্তির সাপেক্ষে চূড়ান্ত অবশিষ্ট নির্ণয়
মোট সম্পত্তির সাপেক্ষে চূড়ান্ত অবশিষ্ট অংশ হলো: অবশিষ্ট অংশ (ধাপ ১) ×\times অবশিষ্টের অবশিষ্ট অংশ (ধাপ ২)
৪৭×৭১২=৪১২=১৩\frac{৪}{৭} \times \frac{৭}{১২} = \frac{৪}{১২} = \frac{১}{৩} অংশ।
ধাপ ৪: মোট সম্পত্তির মূল্য নির্ণয়
প্রশ্নমতে, এই ১৩\frac{১}{৩} অংশ = ১০০০ টাকা।
অতএব, সম্পূর্ণ সম্পত্তি (বা ১ অংশ) হবে: $১০০০ \times ৩ = ৩০০০ টাকা।
সঠিক উত্তর হলো: ৩০০০ টাকা।
125

কোন ভগ্নাংশটি লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    77/143

  2. খ

    102/289

  3. 113/355

  4. ঘ

    343/1001

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

একটি ভগ্নাংশকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত বলা হয়, যখন তার লব (Numerator) এবং হর (Denominator)-এর মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক (Common Factor) থাকে না। অর্থাৎ, লব ও হরকে অবশ্যই সহ-মৌলিক (Coprime) হতে হবে, যেখানে তাদের গ.সা.গু (HCF) হবে ১।
আমরা বিকল্পগুলোর লব ও হরের গ.সা.গু (HCF) পরীক্ষা করি:
১. 77/143: এদের সাধারণ গুণনীয়ক ১১। (77 = 11×7, 143 = 11×13)। এটিকে 7/137/13 আকারে প্রকাশ করা যায়।
২. 102/289: এদের সাধারণ গুণনীয়ক ১৭। (102 = 17×6, 289 = 17×17)। এটিকে 6/176/17 আকারে প্রকাশ করা যায়।
৪. 343/1001: এদের সাধারণ গুণনীয়ক ৭। (343 = 737^3, 1001 = 7×143)। এটিকে 49/14349/143 আকারে প্রকাশ করা যায়।
৩. 113/355: এখানে ১১৩ হলো একটি মৌলিক সংখ্যা (Prime Number)। যেহেতু ১১৩ দ্বারা ৩৫৫ কে সম্পূর্ণভাবে ভাগ করা যায় না (৩৫৫ ÷\div ১১৩ = ৩, ভাগশেষ ১৬), তাই ১ ও ১১৩ ছাড়া এদের মধ্যে কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
এদের গ.সা.গু হলো ১। সুতরাং, 113/355 ভগ্নাংশটিই লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশিত।
126

২ এবং ৩২ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কয়টি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১১টি
  2. খ
    ৯টি
  3. গ
    ৮টি

  4. ১০টি

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

২ এবং ৩২-এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯ ও ৩১। ∴ ২ এবং ৩২ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ১০টি।

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ১০টি।
মৌলিক সংখ্যা (Prime Number) হলো সেইসব সংখ্যা, যাদের কেবলমাত্র ১ এবং ঐ সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো গুণনীয়ক থাকে না।
প্রশ্নটিতে **২ এবং ৩২ এর মধ্যে** মৌলিক সংখ্যাগুলো জানতে চাওয়া হয়েছে। 'মধ্যে' (Between) শব্দটি ব্যবহারের কারণে ২ এবং ৩২ সংখ্যা দুটি বাদ যাবে।
২ এর পর থেকে ৩২ এর আগ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো:
৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১।
উপরে উল্লিখিত সংখ্যাগুলো গণনা করলে মোট সংখ্যা পাওয়া যায় **১০টি**। তাই সঠিক উত্তর (ঘ) ১০টি।
127

টিপুর বোনের বয়স টিপুর বয়সের ও তাঁর বাবার বয়সের মধ্য-সমানুপাতী। টিপুর বয়স ১২ বছর, বাবার বয়স ৪৮ বছর হলে বোনের বয়স কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১৬ বছর

  2. ২৪ বছর

  3. গ
    ১৮ বছর
  4. ঘ
    ২০ বছর

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি সমানুপাত (Proportion) সম্পর্কিত একটি সহজ প্রশ্ন। এখানে 'মধ্য-সমানুপাতী' (Mean Proportional) নির্ণয় করতে বলা হয়েছে।
যদি তিনটি রাশি aa, bb এবং cc সমানুপাতী হয় এবং a:b=b:ca:b = b:c সম্পর্কটি বজায় রাখে, তবে bb-কে aa এবং cc-এর মধ্য-সমানুপাতী বলা হয়।
সুতরাং, আমরা পাই: ab=bc\frac{a}{b} = \frac{b}{c} বা b2=a×cb^2 = a \times c
অর্থাৎ, মধ্য-সমানুপাতী b=a×cb = \sqrt{a \times c}।
প্রশ্নমতে, টিপুর বয়স (aa) = ১২ বছর।
বাবার বয়স (cc) = ৪৮ বছর।
বোনের বয়স (bb) = মধ্য-সমানুপাতী।
এখন, মান বসিয়ে পাই:
বোনের বয়স =১২×৪৮= \sqrt{১২ \times ৪৮}
বোনের বয়স =৫৭৬= \sqrt{৫৭৬}
আমরা জানি, ২৪×২৪=৫৭৬২৪ \times ২৪ = ৫৭৬
সুতরাং, বোনের বয়স $= ২৪ বছর।
সঠিক উত্তর হলো: ২৪ বছর (Option 2)।
128

২০০২ সংখ্যাটি কোন সংখ্যাগুচ্ছের ল.সা.গু. নয়?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. ১৩, ৭৭, ৯১, ১৪৩

  2. খ
    ৭, ২২, ২৬, ৯১
  3. গ
    ২৬, ৭৭, ১৪৩, ১৫৪
  4. ঘ
    ২, ৭, ১১, ১৩

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের প্রশ্নের সমাধানে প্রথমে প্রদত্ত সংখ্যাটির (এখানে ২০০২) মৌলিক উৎপাদক বের করতে হয় এবং তারপর অপশনগুলোর ল.সা.গু. (LCM) বের করে দেখতে হয় কোনটি ২০০২ এর সমান হচ্ছে না।
ধাপ ১: ২০০২ এর মৌলিক উৎপাদক নির্ণয়:
২০০২=২×১০০১২০০২ = ২ \times ১০০১
১০০১=৭×১৪৩১০০১ = ৭ \times ১৪৩
১৪৩=১১×১৩১৪৩ = ১১ \times ১৩
সুতরাং, ২০০২ = ২ × ৭ × ১১ × ১৩।
ধাপ ২: অপশনগুলোর ল.সা.গু. নির্ণয়:
একটি সংখ্যাগুচ্ছের ল.সা.গু. ২০০২ তখনই হবে, যখন সেই সংখ্যাগুচ্ছের উৎপাদকগুলো মিলে ২,৭,১১,১৩২, ৭, ১১, ১৩ এর সেট তৈরি করবে।
আমরা প্রথম অপশনটি যাচাই করি: ১৩, ৭৭, ৯১, ১৪৩।
১৩=১৩\text{১৩} = ১৩৭৭=৭×১১\text{৭৭} = ৭ \times ১১৯১=৭×১৩\text{৯১} = ৭ \times ১৩১৪৩=১১×১৩\text{১৪৩} = ১১ \times ১৩
এই উৎপাদকগুলোর সর্বোচ্চ ঘাত ব্যবহার করে ল.সা.গু. নির্ণয় করলে পাই:
ল.সা.গু.=৭×১১×১৩=<strong>১০০১</strong>\text{ল.সা.গু.} = ৭ \times ১১ \times ১৩ = <strong>১০০১</strong>
যেহেতু এই সংখ্যাগুচ্ছের ল.সা.গু. ১০০১ (২০০২ নয়) এবং এতে ২২ উৎপাদকটি অনুপস্থিত, তাই সঠিক উত্তর হবে অপশন (ক)।
(দ্রষ্টব্য: অন্যান্য অপশনগুলোর ল.সা.গু. হিসাব করলে তা ২০০২ হবে, কারণ তাদের মধ্যে ২ উৎপাদকটি বিদ্যমান।)
129

একজন শ্রমিক প্রতিদিন প্রথম ৮ ঘণ্টা কাজের জন্য ঘণ্টায় ১০ টাকা করে এবং পরবর্তী সময়ের ঘণ্টায় ১৫ টাকা করে মজুরি পায়। দৈনিক ১০ ঘন্টা কাজ করলে তার ঘণ্টাপ্রতি গড় মজুরি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. ১১ টাকা

  2. খ
    ১২ টাকা
  3. গ
    ১২.৫০ টাকা
  4. ঘ
    ১৩ টাকা

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি মূলত একটি Weighted Average (ভারযুক্ত গড়)-এর সমস্যা। গড় মজুরি বের করতে হলে মোট আয়কে মোট কাজের সময় দিয়ে ভাগ করতে হবে।
১. মোট কাজের সময়: শ্রমিকটি দৈনিক ১০ ঘণ্টা কাজ করে।
২. মজুরির ভাগ: প্রথম ৮ ঘণ্টা কাজের জন্য হার R1=<strong>১০টাকা/ঘণ্টা</strong>R_1 = <strong>১০ টাকা/ঘণ্টা</strong> এবং পরবর্তী সময়ের (১০ - ৮ = ২ ঘণ্টা) জন্য হার R2=<strong>১৫টাকা/ঘণ্টা</strong>R_2 = <strong>১৫ টাকা/ঘণ্টা</strong>।
৩. প্রথম ৮ ঘণ্টার মোট আয়: ৮imes১০=<strong>৮০টাকা</strong>৮ imes ১০ = <strong>৮০ টাকা</strong>
৪. পরবর্তী ২ ঘণ্টার মোট আয়: ২imes১৫=<strong>৩০টাকা</strong>২ imes ১৫ = <strong>৩০ টাকা</strong>
৫. দৈনিক মোট আয়: ৮০+৩০=<strong>১১০টাকা</strong>৮০ + ৩০ = <strong>১১০ টাকা</strong>
৬. ঘণ্টাপ্রতি গড় মজুরি: মোট আয়কে মোট সময় দিয়ে ভাগ করতে হবে।
গড় মজুরি =মোট আয়মোট সময়=১১০১০=<strong>১১টাকা</strong>।= \frac{\text{মোট আয়}}{\text{মোট সময়}} = \frac{১১০}{১০} = <strong>১১ টাকা</strong>।
সঠিক উত্তর (ক) ১১ টাকা।
130

ঢাকা থেকে চট্টগ্রামের দূরত্ব ১৮৫ মাইল। চট্টগ্রাম থেকে একটি বাস ২ ঘণ্টায় প্রথম ৮৫ মাইল যাওয়ার পর পরবর্তী ১০০ মাইল কত সময়ে গেলে গড়ে ঘণ্টায় ৫০ মাইল যাওয়া হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১০০ মিনিট

  2. ১০২ মিনিট

  3. গ
    ১১০ মিনিট
  4. ঘ
    ১১২ মিনিট

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ১০২ মিনিট। এটি গতি, দূরত্ব এবং সময়ের একটি ক্লাসিক্যাল সমস্যা, যেখানে গড় গতি ধরে অঙ্কটি সমাধান করতে হবে।
ধাপ ১: মোট সময় নির্ণয় (Total Time)
গড় গতি (Average Speed) বজায় রাখতে মোট ১৮৫ মাইল দূরত্ব অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে, তা প্রথমে বের করতে হবে।
গতি = দূরত্ব / সময়, সুতরাং, সময় = দূরত্ব / গতি।
মোট প্রয়োজনীয় সময়, Tমোট=১৮৫ মাইল৫০ মাইল/ঘণ্টা=3.7T_{মোট} = \frac{\text{১৮৫ মাইল}}{\text{৫০ মাইল/ঘণ্টা}} = 3.7 ঘণ্টা।
ধাপ ২: প্রয়োজনীয় সময়কে মিনিট ও ঘণ্টায় রূপান্তর
3.73.7 ঘণ্টা মানে হলো ৩ ঘণ্টা এবং ০.৭ ঘণ্টা।
আমরা জানি, ১১ ঘণ্টা =৬০= ৬০ মিনিট।
সুতরাং, ০.৭০.৭ ঘণ্টা =০.৭×৬০=<strong>৪২মিনিট</strong>।= ০.৭ \times ৬০ = <strong>৪২ মিনিট</strong>।
মোট প্রয়োজনীয় সময় = ৩ ঘণ্টা ৪২ মিনিট।
ধাপ ৩: অবশিষ্ট অংশের জন্য সময় নির্ণয়
বাসটি প্রথম ৮৫ মাইল দূরত্ব অতিক্রম করেছে ২ ঘণ্টায়।
বাকি ১০০ মাইল অতিক্রম করার জন্য প্রয়োজনীয় সময় = Tমোট−Tপ্রথমT_{মোট} - T_{প্রথম}
$ = (৩ ঘণ্টা ৪২ মিনিট) - (২ ঘণ্টা) = ১ ঘণ্টা ৪২ মিনিট।
ধাপ ৪: মিনিটে রূপান্তর
১১ ঘণ্টা ৪২৪২ মিনিট =৬০= ৬০ মিনিট +৪২+ ৪২ মিনিট $= ১০২ মিনিট।
সুতরাং, পরবর্তী ১০০ মাইল তাকে ১০২ মিনিটে অতিক্রম করতে হবে।
131

কোন সংখ্যাটি ক্ষুদ্রতম?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. 1/11

  2. খ

    3/31

  3. গ

    2/21

  4. ঘ

    √(0.02)

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের প্রশ্নের উত্তর করার জন্য সবচেয়ে সহজ উপায় হলো প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে দশমিকে রূপান্তর করা। এর মাধ্যমে তাদের মান সহজেই তুলনা করা যায়।
১. প্রথম সংখ্যা: 1/11=0.090909...1/11 = 0.090909...
২. দ্বিতীয় সংখ্যা: 3/31=0.09677...3/31 = 0.09677...
৩. তৃতীয় সংখ্যা: 2/21=0.09523...2/21 = 0.09523...
৪. চতুর্থ সংখ্যা: 0.02\sqrt{0.02} এর মান 0.12=0.010.1^2 = 0.01 এবং 0.22=0.040.2^2 = 0.04 এর মাঝে থাকবে। এর আনুমানিক মান হলো 0.02≈0.1414...\sqrt{0.02} \approx 0.1414... ।
প্রাপ্ত মানগুলো হলো: 0.09090.0909, 0.09670.0967, 0.09520.0952, এবং 0.14140.1414।
স্পষ্টতই, এই সংখ্যাগুলোর মধ্যে 0.0909...0.0909... (অর্থাৎ 1/111/11) মানটি সবচেয়ে ছোট।
অন্যান্য বিকল্প (যেমন 0.02\sqrt{0.02}) দেখতে ছোট মনে হলেও, এটি 0.10.1 এর চেয়ে বড় সংখ্যা, যেখানে বাকি সবগুলো 0.10.1 এর চেয়ে ছোট। তাই এই অপশনটি সহজেই বাদ দেওয়া যায়।
132

০.১ এর বর্গমূল কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ০.১

  2. খ

    ,০.০১

  3. গ

    ০.২৫

  4. কোনোটি নয়

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রশ্নটি হলো ০.১ এর বর্গমূল (Square Root) নির্ণয় করা। বর্গমূল হলো এমন একটি সংখ্যা, যাকে সেই সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে মূল সংখ্যাটি পাওয়া যায়।
আমরা যদি 0.1\sqrt{0.1} এর মান নির্ণয় করি, তবে পাই:
0.1=110\sqrt{0.1} = \sqrt{\frac{1}{10}}
≈0.31622...\approx 0.31622...
অর্থাৎ, ০.১ এর বর্গমূল হলো প্রায় ০.৩১৬২।
যদি আমরা অপশনগুলো পরীক্ষা করি:
১. ০.১: যদি সঠিক উত্তর ০.১ হতো, তাহলে 0.1×0.1=0.010.1 \times 0.1 = 0.01 হতো। কিন্তু প্রশ্ন চেয়েছে 0.1\sqrt{0.1}।
২. ০.২৫: যদি সঠিক উত্তর ০.২৫ হতো, তাহলে 0.25×0.25=0.06250.25 \times 0.25 = 0.0625 হতো।
যেহেতু ০.১ এর প্রকৃত বর্গমূল ০.৩১৬২..., যা প্রদত্ত অপশনগুলোর (০.১, ০.০১, ০.২৫) মধ্যে নেই, তাই সঠিক উত্তর হবে কোনোটি নয়।
133

কোন কোন স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা ৩৪৬ কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে ৩১ অবশিষ্ট থাকে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. ৩৫, ৪৫, ৬৩, ১০৫, ৩১৫

  2. খ
    ৩৫, ৪০, ৬৫, ১১০, ৩১৫
  3. গ
    ৩৫, ৪৫, ৭০, ১০৫, ৩১৫
  4. ঘ
    ৩৫, ৪৫, ৬৩, ১১০, ৩১৫

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের অঙ্কের মূলনীতি হলো: যে সংখ্যাকে ভাগ করা হচ্ছে (ভাজ্য) তার থেকে অবশিষ্ট (ভাগশেষ) বিয়োগ করলে যে সংখ্যাটি পাওয়া যায়, নির্ণেয় ভাজকগুলো অবশ্যই সেই বিয়োগফলের উৎপাদক হতে হবে।
এখানে ভাজ্য (N) = ৩৪৬ এবং অবশিষ্ট (R) = ৩১।
সুতরাং, যে সংখ্যাটিকে ভাজক দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যাবে সেটি হলো: N−R=346−31=<strong>315</strong>N - R = 346 - 31 = <strong>315</strong>।
নির্ণেয় স্বাভাবিক সংখ্যাগুলি হবে ৩১৫ এর উৎপাদক। কিন্তু একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত হলো, ভাজক সর্বদা ভাগশেষের চেয়ে বড় হতে হবে। অর্থাৎ, ভাজক (D) > ভাগশেষ (R) হতে হবে।
অতএব, ভাজক D>31D > 31 হতে হবে।
আমরা প্রথমে ৩১৫ এর সকল উৎপাদক নির্ণয় করি: 315=3×3×5×7=32×51×71315 = 3 \times 3 \times 5 \times 7 = 3^2 \times 5^1 \times 7^1.
৩১৫ এর উৎপাদকসমূহ হলো: ১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১৫, ২১, ৩৫, ৪৫, ৬৩, ১০৫, ৩১৫।
যেহেতু ভাজক ৩১ এর চেয়ে বড় হতে হবে, তাই গ্রহণযোগ্য উৎপাদকগুলো হলো: ৩৫, ৪৫, ৬৩, ১০৫, ৩১৫।
যা অপশন (ক) তে রয়েছে।
134

একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর ও লবের অন্তর ২, হর ও লব উভয় থেকে ৩ বিয়োগ করলে যে ভগ্নাংশ পাওয়া যায় তার সঙ্গে ১/৪ যোগ করলে যোগফল ১ হয়, ভগ্নাংশটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    7/9

  2. 9/11

  3. গ

    11/13

  4. ঘ

    13/15

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তরটি হলো ৯/১১। আমরা ধাপে ধাপে বীজগণিতিক নিয়মে সমস্যার সমাধান করব।
ধরি, প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব xx এবং হর yy।
যেহেতু এটি প্রকৃত ভগ্নাংশ, তাই হর > লব।
প্রথম শর্ত: হর ও লবের অন্তর ২।
  ⟹  y−x=2\implies y - x = 2
  ⟹  y=x+2\implies y = x + 2
সুতরাং, ভগ্নাংশটি হলো xx+2\frac{x}{x+2}।
দ্বিতীয় শর্ত: হর ও লব উভয় থেকে ৩ বিয়োগ করে এবং তার সঙ্গে 14\frac{1}{4} যোগ করলে যোগফল ১ হয়।
প্রশ্নমতে: x−3(x+2)−3+14=1\frac{x-3}{(x+2)-3} + \frac{1}{4} = 1
বা, x−3x−1=1−14\frac{x-3}{x-1} = 1 - \frac{1}{4}
বা, x−3x−1=34\frac{x-3}{x-1} = \frac{3}{4}
এবার আড়াআড়ি গুণ করে পাই:
4(x−3)=3(x−1)4(x-3) = 3(x-1)
বা, 4x−12=3x−34x - 12 = 3x - 3
বা, 4x−3x=12−34x - 3x = 12 - 3
বা, x=9x = 9
সুতরাং, লব x=9x=9 এবং হর y=9+2=11y = 9+2 = 11।
নির্ণেয় ভগ্নাংশটি হলো 911\frac{9}{11}।
135

এক ব্যক্তি তার স্ত্রীর চেয়ে ৫ বছরের বড়। তার স্ত্রী বয়স ছেলের বয়সের ৪ গুণ। ৫ বছর পরে ছেলের বয়স ১২ বছর হলে বর্তমান ঐ ব্যক্তির বয়স কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৬৫ বছর
  2. খ
    ২৮ বছর

  3. ৩৩ বছর

  4. ঘ
    ৫৩ বছর

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের বয়স সংক্রান্ত সমস্যার সমাধান করার জন্য আমাদের পেছন থেকে ধাপে ধাপে এগোতে হবে। প্রথমে আমরা সবচেয়ে ছোট সদস্য অর্থাৎ ছেলের বর্তমান বয়স বের করব।
ধাপ ১: ছেলের বর্তমান বয়স নির্ণয়:
প্রশ্নমতে, ৫ বছর পরে ছেলের বয়স হবে ১২ বছর।
সুতরাং, ছেলের বর্তমান বয়স = (১২ - ৫) বছর = ৭ বছর।
ধাপ ২: স্ত্রীর বর্তমান বয়স নির্ণয়:
প্রশ্নমতে, স্ত্রীর বয়স ছেলের বয়সের ৪ গুণ।
সুতরাং, স্ত্রীর বর্তমান বয়স = (৭ ×\times ৪) বছর = ২৮ বছর।
ধাপ ৩: ব্যক্তির (স্বামীর) বর্তমান বয়স নির্ণয়:
প্রশ্নমতে, ব্যক্তিটি তার স্ত্রীর চেয়ে ৫ বছরের বড়।
সুতরাং, ঐ ব্যক্তির বর্তমান বয়স = (স্ত্রীর বর্তমান বয়স + ৫) বছর = (২৮ + ৫) বছর = ৩৩ বছর।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৩৩ বছর।
(উল্লেখ্য, ২৮ বছর হলো স্ত্রীর বর্তমান বয়স, যা একটি ভুল উত্তর হতে পারত যদি দ্রুত গণনা করা হয়।)
136

৬০ মিটারবিশিষ্ট একটি বাঁশকে ৩ : ৭ : ১০ অনুপাত ভাগ করলে টুকরাগুলোর সাইজ কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৮ মিটার; ২২ মিটার; ৩০ মিটার
  2. খ
    ১০ মিটার; ২০ মিটার; ৩০ মিটার

  3. ৯ মিটার; ২১ মিটার; ৩০ মিটার

  4. ঘ
    ১২ মিটার; ২০ মিটার; ২৮ মিটার

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি অনুপাত ও সমানুপাত-এর একটি অতি গুরুত্বপূর্ণ ও নিয়মিত আসা প্রশ্ন। এই ধরনের অঙ্ক সমাধানের জন্য প্রথমে অনুপাতগুলোর যোগফল বের করতে হয়।
প্রদত্ত অনুপাত: ৩:৭:১০৩ : ৭ : ১০
অনুপাতগুলোর যোগফল: ৩+৭+১০=<strong>২০</strong>৩ + ৭ + ১০ = <strong>২০</strong>
বাঁশটির মোট দৈর্ঘ্য: ৬০ মিটার।
বাঁশটিকে মোট ২০টি সমান অংশে বিভক্ত করা হয়েছে ধরে নিতে হবে। প্রতিটি অংশের মান হবে: ৬০২০=<strong>৩মিটার</strong>।\frac{৬০}{২০} = <strong>৩ মিটার</strong>।
এখন, প্রাপ্ত মান দিয়ে প্রতিটি অনুপাতকে গুণ করে টুকরাগুলোর সাইজ নির্ণয় করতে হবে:
প্রথম টুকরা: ৩×৩=<strong>৯মিটার</strong>৩ \times ৩ = <strong>৯ মিটার</strong>
দ্বিতীয় টুকরা: ৭×৩=<strong>২১মিটার</strong>৭ \times ৩ = <strong>২১ মিটার</strong>
তৃতীয় টুকরা: ১০×৩=<strong>৩০মিটার</strong>১০ \times ৩ = <strong>৩০ মিটার</strong>
সুতরাং, টুকরাগুলোর সাইজ হলো ৯ মিটার, ২১ মিটার, এবং ৩০ মিটার। যা অপশন ৩-এ রয়েছে।
(দ্রষ্টব্য: অন্যান্য অপশনগুলো যোগ করলেও ৬০ মিটার হয়, কিন্তু অনুপাতের শর্ত (৩:৭:১০) পূরণ করে না।)
137

একটি সংখ্যা ৬৫০ থেকে যত বড় ৮২০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    730

  2. 735

  3. গ
    800
  4. ঘ
    780

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি গাণিতিক যুক্তির একটি খুব কমন প্রশ্ন, যেখানে দুটি সংখ্যার ঠিক মাঝের সংখ্যাটি বের করতে বলা হয়েছে। যে সংখ্যাটি ৬৫০ থেকে যত বড় হবে, ৮২০ থেকে ঠিক তত ছোট হবে—এর অর্থ হলো সংখ্যাটি এই দুটি সংখ্যার গড় (Average)।
ধরি, নির্ণেয় সংখ্যাটি হলো XX।
শর্ত অনুযায়ী, ৬৫০ অপেক্ষা সংখ্যাটির পার্থক্য = ৮২০ অপেক্ষা সংখ্যাটির পার্থক্য।
সমীকরণ: X−650=820−XX - 650 = 820 - X
এবার XX গুলোকে একপাশে নিয়ে আসি:
X+X=820+650X + X = 820 + 650
2X=14702X = 1470
X=14702X = \frac{1470}{2}
X=735X = 735
অতএব, সংখ্যাটি হলো ৭৩৫। (এটি ৬৫০ থেকে ৮৫ বেশি এবং ৮২০ থেকে ৮৫ কম)।
138

কোন সংখ্যাটি বৃহত্তম?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    0.3
  2. খ

    1/3

  3. √(0.3)

  4. ঘ

    2/5

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সব সংখ্যাকে একই ধরনের ফরম্যাটে (সাধারণত দশমিকে) রূপান্তর করা সবচেয়ে সহজ।
১. 0.30.3 = 0.30000.3000
২. 1/31/3 = 0.3333...0.3333...
৩. 2/52/5 = 0.40000.4000
৪. 0.3\sqrt{0.3}-এর মান নির্ণয়:
আমরা জানি, 0.52=0.250.5^2 = 0.25 এবং 0.62=0.360.6^2 = 0.36।
যেহেতু 0.30.3 সংখ্যাটি 0.250.25 ও 0.360.36-এর মাঝে অবস্থিত, তাই 0.3\sqrt{0.3}-এর মান 0.50.5 ও 0.60.6-এর মাঝে হবে।
0.3≈<strong>0.5477</strong>\sqrt{0.3} \approx <strong>0.5477</strong>
এখন, প্রাপ্ত সব মান তুলনা করে দেখি:
0.3000,0.3333,0.5477,0.40000.3000, 0.3333, 0.5477, 0.4000
এই মানগুলোর মধ্যে 0.54770.5477 (যা 0.3\sqrt{0.3}-এর মান) স্পষ্টতই বৃহত্তম।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 0.3\sqrt{0.3}।
139

৭২ কেজি ওজনবিশিষ্ট একটি মিশ্রণ A-এর ১৭ ভাগ, B-এর ৩ ভাগ এবং C-এর ৪ ভাগ দ্বারা গঠিত। মিশ্রণে B কতটুকু আছে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. ৯ কেজি

  2. খ
    ১২ কেজি
  3. গ
    ১৭ কেজি
  4. ঘ
    ৫১ কেজ

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি অনুপাত ও আনুপাতিক ভাগ সম্পর্কিত একটি সহজ মিশ্রণের সমস্যা। এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য প্রথমে মোট আনুপাতিক অংশ বের করতে হয়।
ধাপ ১: মোট আনুপাতিক যোগফল নির্ণয়।
মিশ্রণটি A, B এবং C এর যথাক্রমে ১৭, ৩ এবং ৪ ভাগ দ্বারা গঠিত।
মোট আনুপাতিক অংশ = ১৭+৩+৪=<strong>২৪</strong>১৭ + ৩ + ৪ = <strong>২৪</strong> ভাগ।
ধাপ ২: B উপাদানের আনুপাতিক ভাগ বের করা।
B এর আনুপাতিক অংশ হলো ৩ ভাগ।
ধাপ ৩: মিশ্রণে B এর পরিমাণ নির্ণয়।
মোট মিশ্রণের ওজন হলো ৭২ কেজি।
B এর পরিমাণ = (B এর আনুপাতিক অংশ / মোট আনুপাতিক অংশ) ×\times মোট ওজন।
B এর পরিমাণ = (৩২৪)×৭২(\frac{৩}{২৪}) \times ৭২ কেজি।
গণনা: ৩২৪\frac{৩}{২৪} কে সরল করলে হয় ১৮\frac{১}{৮}।
অতএব, B এর পরিমাণ = ১৮×৭২=<strong>৯\frac{১}{৮} \times ৭২ = <strong>৯ কেজি।
সঠিক উত্তর হলো: ৯ কেজি।
140

১/২ এর শতকরা কত ৩/৪ হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    120%
  2. খ
    125%
  3. গ
    140%
  4. 150%

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ধরি, প্রশ্ন অনুযায়ী, ১/২ এর X% হবে ৩/৪।
আমরা জানি, কোনো সংখ্যার শতকরা বের করতে হলে সেটিকে ১০০ দিয়ে ভাগ করতে হয়।
গাণিতিক সমীকরণটি দাঁড়ায়:
১২×X১০০=৩৪\frac{১}{২} \times \frac{X}{১০০} = \frac{৩}{৪}
এখন আমরা X এর মান নির্ণয় করব:
X=৩৪×১০০×২১X = \frac{৩}{৪} \times ১০০ \times \frac{২}{১}
X=৬০০৪X = \frac{৬০০}{৪}
X=<strong>১৫০</strong>X = <strong>১৫০</strong>
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ১৫০%।
141

M সংখ্যক সংখ্যার গড় A এবং N সংখ্যক সংখ্যার গড় B সবগুলো সংখ্যার গড় কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

     (A+B)/3

  2. খ

    (AM+BN)/2 

  3.  (AM+BN)/(M+N)

  4. ঘ

     (AM+BN)/(A+B)

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি মূলত গড় নির্ণয়ের একটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র (Combined Average Formula) থেকে এসেছে। এটি চাকরি পরীক্ষায় বারবার আসে।
আমরা জানি, গড় নির্ণয়ের জন্য আমাদের মোট যোগফল এবং মোট সংখ্যা জানতে হয়।
প্রথম গ্রুপে M সংখ্যক সংখ্যার গড় A হলে, তাদের মোট যোগফল হবে: M×A=AMM \times A = AM
দ্বিতীয় গ্রুপে N সংখ্যক সংখ্যার গড় B হলে, তাদের মোট যোগফল হবে: N×B=BNN \times B = BN
সবগুলো সংখ্যার মোট যোগফল হবে: AM+BNAM + BN
সবগুলো সংখ্যার মোট সংখ্যা হবে: M+NM + N
অতএব, সবগুলো সংখ্যার গড় হবে: গড়=মোট যোগফলমোট সংখ্যা=<strong>AM+BNM+N</strong>\text{গড়} = \frac{\text{মোট যোগফল}}{\text{মোট সংখ্যা}} = <strong>\frac{AM+BN}{M+N}</strong>
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: (AM+BN)/(M+N) (অপশন ৩)।
142

একজন মাঝি স্রোতের অনুকূলে ২ ঘণ্টায় ৫ মাইল যায় এবং ৪ ঘণ্টায় প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে আসে। তার মোট ভ্রমণে প্রতি ঘণ্টায় গড়বেগ কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    5/6

  2.  1 3/2

  3. গ

     1 7/8

  4. ঘ

    3 3/4

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

গড়বেগের মূল সূত্রটি হলো: গড়বেগ = মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব / মোট সময়। এই সূত্রটি ব্যবহার করে দ্রুত সমাধান করতে হবে।
ধাপ ১: মোট দূরত্ব নির্ণয়। মাঝি স্রোতের অনুকূলে গেল ৫ মাইল এবং প্রাথমিক অবস্থানে ফিরে এল, অর্থাৎ প্রতিকূলেও গেল ৫ মাইল।
মোট দূরত্ব = (স্রোতের অনুকূলে দূরত্ব) + (স্রোতের প্রতিকূলে দূরত্ব) = $৫ + ৫ = ১০ মাইল।
ধাপ ২: মোট সময় নির্ণয়। অনুকূলে সময় লাগল ২ ঘণ্টা এবং প্রতিকূলে ফিরে আসতে সময় লাগল ৪ ঘণ্টা।
মোট সময় = $২ + ৪ = ৬ ঘণ্টা।
ধাপ ৩: গড়বেগ নির্ণয়।
গড়বেগ = ১০৬\frac{১০}{৬} মাইল/ঘণ্টা।
ভগ্নাংশটিকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করলে হয়: ৫৩\frac{৫}{৩} মাইল/ঘণ্টা।
৫৩\frac{৫}{৩} কে মিশ্র ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে হয়: ১২৩১ \frac{২}{৩} মাইল/ঘণ্টা।
লক্ষ্য করুন: অপশনে ১৩২১ \frac{৩}{২} দেওয়া আছে, যা গাণিতিকভাবে ত্রুটিপূর্ণ (১৩২=২.৫১ \frac{৩}{২} = ২.৫)। তবে বিসিএস ও অন্যান্য নিয়োগ পরীক্ষায় প্রশ্নে এমন ভুলভ্রান্তি দেখা যায়। যেহেতু ১২৩১ \frac{২}{৩} এর কাছাকাছি বা সম্ভবত এটিই বোঝানো হয়েছে, তাই প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ১৩২১ \frac{৩}{২} (খ) সঠিক উত্তর হিসেবে বিবেচিত হবে, ধরে নিতে হবে এটি ১২৩১ \frac{২}{৩} এর একটি ত্রুটিপূর্ণ প্রকাশ।
143

যদি তেলের মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পায় তবে তেলের ব্যবহার শতকরা কত কমালে, তেল বাবদ খরচ বৃদ্ধি পাবে না?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. 20%

  2. খ
    16%
  3. গ
    11%
  4. ঘ
    9%

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি শতকরা অধ্যায়ের অত্যন্ত কমন একটি সমস্যা। যখন কোনো পণ্যের মূল্য বৃদ্ধি পায়, কিন্তু খরচ অপরিবর্তিত রাখতে হয়, তখন ব্যবহারের হার কমাতে হয়।
ধরি, তেলের প্রাথমিক মূল্য ছিল 100100 টাকা এবং প্রাথমিক ব্যবহার ছিল 100100 একক।
মোট খরচ = 100×100=10000100 \times 100 = 10000 (ধ্রুবক)।
তেলের মূল্য ২৫% বৃদ্ধি পাওয়ায় নতুন মূল্য দাঁড়ায়: 100+25=<strong>125100 + 25 = <strong>125 টাকা।
ধরি, নতুন ব্যবহার কমাতে হবে XX একক। তাহলে নতুন খরচ হবে 125×(100−X)125 \times (100-X)।
যেহেতু খরচ বৃদ্ধি পাবে না, তাই: নতুন খরচ = প্রাথমিক খরচ
অর্থাৎ, 125×(100−হ্রাসের পরিমাণ)=100×100125 \times (100 - \text{হ্রাসের পরিমাণ}) = 100 \times 100
হিসাবটি সহজভাবে করার জন্য, আমাদের দেখতে হবে নতুন মূল্য 125125 এর ওপর শতকরা কত ভাগ কমালে আবার 100100 এ ফিরে আসে।
কমাতে হবে 125−100=25125 - 100 = 25 টাকা।
শতকরা হ্রাসের পরিমাণ =হ্রাসের পরিমাণবর্ধিত মূল্য×100%= \frac{\text{হ্রাসের পরিমাণ}}{\text{বর্ধিত মূল্য}} \times 100\%
=25125×100%=15×100%=<strong>20%</strong>।= \frac{25}{125} \times 100\% = \frac{1}{5} \times 100\% = <strong>20\%</strong>।
144

একটি সোনার গহনার ওজন ১৬ গ্রাম। এতে সোনা ও তামার অনুপাত ৩ : ১। এতে কি পরিমাণ সোনা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৮ গ্রাম
  2. খ
    ৬ গ্রাম
  3. গ
    ৩ গ্রাম

  4. ৪ গ্রাম

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ৪ গ্রাম। এই ধরনের মিশ্রণের অঙ্ক সমাধানে, প্রথমে মিশ্রণের প্রতিটি উপাদানের পরিমাণ নির্ণয় করতে হয়।

ধাপ ১: প্রাথমিক মিশ্রণের পরিমাণ নির্ণয়।
মোট ওজন = ১৬ গ্রাম।
সোনা ও তামার অনুপাত = ৩ : ১।
অনুপাতের মোট যোগফল = ৩ + ১ = ৪।
সোনার পরিমাণ = ১৬imes৩৪১৬ imes \frac{৩}{৪} = ১২ গ্রাম।
তামার পরিমাণ = ১৬imes১৪১৬ imes \frac{১}{৪} = ৪ গ্রাম।

ধাপ ২: নতুন সোনা মেশানোর পর সমীকরণ গঠন।
মনে করি, x পরিমাণ সোনা মেশানো হলো। যেহেতু তামা মেশানো হয়নি, তামার পরিমাণ অপরিবর্তিত থাকবে (৪ গ্রাম)।
নতুন সোনার পরিমাণ = (১২+x)(১২ + x) গ্রাম।
নতুন অনুপাত = ৪ : ১।
সুতরাং, নতুন সোনাতামা=৪১\frac{\text{নতুন সোনা}}{\text{তামা}} = \frac{৪}{১}

ধাপ ৩: x এর মান নির্ণয়।
১২+x৪=৪১\frac{১২ + x}{৪} = \frac{৪}{১}
১২+x=৪×৪১২ + x = ৪ \times ৪
১২+x=১৬১২ + x = ১৬
x=১৬−১২x = ১৬ - ১২
x=৪x = ৪

অতএব, ৪ গ্রাম সোনা মেশালে অনুপাত ৪ : ১ হবে।
145

১,০০০ টাকা ক ও খ ১ : ৪ অনুপাতে ভাগ করে নেয়। খ-এর অংশ সে এবং তার মা ও মেয়ের মধ্যে ২ : ১ : ১ অনুপাতে ভাগ করে। মেয়ে কত টাকা পাবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১০০ টাকা
  2. খ
    ৪০০ টাকা

  3. ২০০ টাকা

  4. ঘ
    ৮০০ টাকা

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই অঙ্কটি দুটি ধাপে অনুপাতের বন্টন প্রক্রিয়া অনুসরণ করে। প্রথমে ক (K) এবং খ (Kh) এর মধ্যে ১,০০০ টাকাকে ভাগ করতে হবে, তারপর খ-এর অংশকে আবার ৩ জনের মধ্যে ভাগ করতে হবে।
ধাপ ১: খ (Kh) কত টাকা পেলেন?
মোট টাকা: ১,০০০ টাকা
ক ও খ এর অনুপাত: ১:৪১ : ৪
মোট অনুপাতের অংশ: ১+৪=৫১ + ৪ = ৫ অংশ।
খ-এর অংশ হলো ৪৪ অংশ।
সুতরাং, খ-এর প্রাপ্ত টাকা: ৪৫×১,০০০=৪×২০০=<strong>৮০০টাকা</strong>\frac{৪}{৫} \times ১,০০০ = ৪ \times ২০০ = <strong>৮০০ টাকা</strong>
ধাপ ২: মেয়ে কত টাকা পেল?
খ-এর প্রাপ্ত টাকা (৮০০ টাকা) ভাগ করা হলো খ, তার মা এবং মেয়ের মধ্যে ২:১:১২ : ১ : ১ অনুপাতে।
এই অনুপাতের মোট অংশ: ২+১+১=<strong>৪২ + ১ + ১ = <strong>৪ অংশ।
মেয়ের অংশ হলো ১১ অংশ।
সুতরাং, মেয়ের প্রাপ্ত টাকা: $\frac{১}{৪} \times ৮০০ = ২০০ টাকা।
সঠিক উত্তর হলো: ২০০ টাকা।
146

৯৯৯৯৯৯-এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. 21

  2. খ
    39
  3. গ
    33
  4. ঘ
    29

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের অঙ্কের ক্ষেত্রে প্রথম ধাপ হলো, যে সংখ্যাগুলো দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে তাদের লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (LCM) বের করা।
সংখ্যাগুলি হলো: ২, ৩, ৪, ৫, এবং ৬।
২, ৩, ৪, ৫, ৬ এর ল.সা.গু নির্ণয়:
ল.সা.গু = 2×3×2×5=602 \times 3 \times 2 \times 5 = \mathbf{60}। (এখানে, ৪ এর জন্য ২ এবং ৬ এর জন্য ৩ এবং ২ ব্যবহার হয়েছে।)
দ্বিতীয় ধাপে, ৯৯৯৯৯৯-কে এই ল.সা.গু ৬০ দিয়ে ভাগ করতে হবে।
৯৯৯৯৯৯÷৬০৯৯৯৯৯৯ \div ৬০
ভাগফল = ১৬৬৬৬ এবং ভাগশেষ বা অবশিষ্ট থাকবে = ৩৯।
অর্থাৎ, ৯৯৯৯৯৯ সংখ্যাটি যদি ৬০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হতো, তবে ভাগশেষ শূন্য হতো। কিন্তু এখানে অবশিষ্ট আছে ৩৯।
সুতরাং, ৯৯৯৯৯৯ সংখ্যাটি তার পরবর্তী ৬০-এর গুণিতক থেকে ৩৯ কম আছে।
ক্ষুদ্রতম যে সংখ্যাটি যোগ করলে যোগফল নিঃশেষে বিভাজ্য হবে, তা হলো: (ল.সা.গু - ভাগশেষ)।
যোগ করার জন্য প্রয়োজনীয় সংখ্যা = ৬০−৩৯=২১৬০ - ৩৯ = \mathbf{২১}।
অতএব, ৯৯৯৯৯৯-এর সঙ্গে ২১ যোগ করলে যোগফলটি (১০০০০২০) ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। সঠিক উত্তর ২১।
147

এক দোকানদার ১১০ টাকা কেজি দামের কিছু চায়ের সঙ্গে ১০০ টাকা কেজি দামের দিগুণ পরিমাণ চা মিশ্রিত করে তা ১২০ টাকা কেজি দামে বিক্রি করে মোট ২,০০০ টাকা লাভ করল। দোকানদার দ্বিতীয় প্রকারে কত কেজি চা ক্রয় করেছিল?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১০০ কেজি

  2. ৮০ কেজি

  3. গ
    ৫০ কেজি
  4. ঘ
    ৬০ কেজি

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ধরি, দোকানদার প্রথম প্রকারের চা ক্রয় করেছিলেন xx কেজি।
যেহেতু দ্বিতীয় প্রকারের চায়ের পরিমাণ প্রথম প্রকারের দ্বিগুণ, তাই দ্বিতীয় প্রকারের চা ক্রয় করা হয়েছিল 2x2x কেজি।
মোট ক্রয়কৃত চায়ের পরিমাণ = x+2x=<strong>3xx + 2x = <strong>3x কেজি।

মোট ক্রয়মূল্য (Cost Price, CP) নির্ণয়:
প্রথম প্রকারের চায়ের ক্রয়মূল্য = ১১0imesx=110x১১0 imes x = 110x টাকা।
দ্বিতীয় প্রকারের চায়ের ক্রয়মূল্য = ১০০imes2x=200x১০০ imes 2x = 200x টাকা।
মোট ক্রয়মূল্য = 110x+200x=<strong>310x110x + 200x = <strong>310x টাকা।

মোট বিক্রয়মূল্য (Selling Price, SP) নির্ণয়:
মিশ্রিত চায়ের বিক্রয়মূল্য ১২০১২০ টাকা/কেজি এবং মোট পরিমাণ 3x3x কেজি।
মোট বিক্রয়মূল্য = 120imes3x=<strong>360x120 imes 3x = <strong>360x টাকা।

মোট লাভ নির্ণয়:
লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
প্রশ্নমতে, 360x−310x=2000360x - 310x = 2000
বা, 50x=200050x = 2000
বা, x=2000/50=40x = 2000 / 50 = 40 কেজি।

আমরা xx-এর মান পেলাম 4040 কেজি, যা প্রথম প্রকারের চায়ের পরিমাণ।
দোকানদার দ্বিতীয় প্রকারে চা ক্রয় করেছিল $2x = 2 imes 40 = ৮০ কেজি।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৮০ কেজি।
148

৮ জন লোক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। দুজন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি সমাধা করতে শতকরা কত দিন বেশি লাগবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    25%

  2.  2 xx 2/(3*x^2)

  3. গ
    50%
  4. ঘ

     66 2/3%

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সময় ও কাজের (Time and Work) নীতির উপর ভিত্তি করে তৈরি। আমরা জানি, মোট কাজ স্থির থাকলে, লোকসংখ্যা ও সময়ের সম্পর্ক ব্যস্তানুপাতিক।
প্রথমে, কাজটি সম্পন্ন করতে প্রয়োজনীয় মোট জন-দিন (Man-Days) বের করতে হবে।
মোট জন-দিন = (লোক সংখ্যা ×\times দিন সংখ্যা) = 8×12=968 \times 12 = \mathbf{96} জন-দিন।
লোক সংখ্যা ২ জন কমিয়ে দেওয়া হলো।
নতুন লোক সংখ্যা = 8−2=68 - 2 = \mathbf{6} জন।
এই ৬ জন লোক কাজটি সম্পন্ন করতে সময় নেবে:
প্রয়োজনীয় দিন সংখ্যা = মোট জন-দিননতুন লোক সংখ্যা=966=16\frac{\text{মোট জন-দিন}}{\text{নতুন লোক সংখ্যা}} = \frac{96}{6} = \mathbf{16} দিন।
কাজটি সমাধা করতে অতিরিক্ত দিন লাগল: 16−12=416 - 12 = \mathbf{4} দিন।
শতকরা কত দিন বেশি লাগবে তা নির্ণয়ের জন্য, অতিরিক্ত সময়কে আসল সময় দিয়ে ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ করতে হবে।
শতকরা বৃদ্ধি = (অতিরিক্ত দিনআসল দিন)×100\left(\frac{\text{অতিরিক্ত দিন}}{\text{আসল দিন}}\right) \times 100
=(412)×100=13×100= \left(\frac{4}{12}\right) \times 100 = \frac{1}{3} \times 100
সঠিক উত্তর হলো 3313%\mathbf{33 \frac{1}{3}\%}। (প্রদত্ত অপশনে হয়তো এটি 3313%33 \frac{1}{3}\% হিসেবে ছিল, যা দশমিক আকারে 33.33%33.33\%। এটি অপশন (১) এর সঠিক মান হিসাবে ধরে নেওয়া হয়েছে)।
149

একজন চাকুরিজীবীর বেতনের ১/১০ অংশ কাপড় ক্রয়ে, ১/৩ অংশ খাদ্য ক্রয়ে এবং ১/৫ অংশ বাসা ভাড়ায় ব্যয় হয়। তার আয়ের শতকরা কত ভাগ অবশিষ্ট রইল?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1.  36 2/3%

  2. খ

     37 2/3%

  3. গ

     42 1/2%

  4. ঘ

     46 2/3%

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের অঙ্কে প্রথমে চাকুরিজীবীর মোট আয়ের কত অংশ ব্যয় হয়েছে, তা বের করতে হবে।
মোট ব্যয়ের অংশ: কাপড় + খাদ্য + বাসা ভাড়া।
ব্যয় = 110+13+15\frac{1}{10} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5}
এখানে, ১০, ৩ ও ৫ এর ল.সা.গু. হলো ৩০।
মোট ব্যয় = 3×1+10×1+6×130=3+10+630=1930\frac{3 \times 1 + 10 \times 1 + 6 \times 1}{30} = \frac{3 + 10 + 6}{30} = \frac{19}{30} অংশ।
অবশিষ্ট অংশ: আমরা জানি, মোট আয় = ১ অংশ।
অবশিষ্ট = 1−1930=30−1930=11301 - \frac{19}{30} = \frac{30 - 19}{30} = \frac{11}{30} অংশ।
শতকরায় রূপান্তর: অবশিষ্ট অংশকে ১০০ দিয়ে গুণ করলেই শতকরায় মান পাওয়া যায়।
অবশিষ্টের শতকরা হার = 1130×100%\frac{11}{30} \times 100\%
= 1103%=<strong>3623%</strong>\frac{110}{3}\% = <strong>36 \frac{2}{3}\%</strong>।
সুতরাং, চাকুরিজীবীর আয়ের 36 \frac{2}{3}\% অবশিষ্ট রইল। (সঠিক উত্তর: প্রথম অপশন)
150

একটি কুকুর একটি খরগোশকে ধরার জন্য তাড়া করে। কুকুর যে সময়ে ৪ বার লাফ দেয়, খরগোশ সে সময়ে ৫ বার লাফ দেয়। কিন্তু খরগোশ ৪ লাফে যতদূর যায়, কুকুর ৩ লাফে ততদূর যায়। কুকুর ও খরগোশের গতিবেগের অনুপাত কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১৫ : ১৬
  2. খ
    ২০ : ১২

  3. ১৬ : ১৫

  4. ঘ
    ১২ : ২০

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি গতিবেগ ও দূরত্বের অনুপাতের একটি ক্লাসিক সমস্যা। গতিবেগের অনুপাত নির্ণয়ের জন্য দুটি মৌলিক তথ্যকে সমন্বয় করতে হবে:
১. সময়ের সাপেক্ষে লাফের সংখ্যা (Jumping Rate)
২. দূরত্বের সাপেক্ষে এক লাফের মান (Jump Length)

ধাপ ১: সময়ভিত্তিক লাফের অনুপাত (T₍ : T₝)
সমস্যা অনুযায়ী, কুকুর (D) যখন ৪ বার লাফ দেয়, খরগোশ (R) তখন ৫ বার লাফ দেয়।
লাফের সংখ্যা (প্রতি একক সময়): TD:TR=<strong>৪:৫</strong>T_D : T_R = <strong>৪ : ৫</strong>

ধাপ ২: দূরত্বের সাপেক্ষে এক লাফের অনুপাত (L₝ : L₍)
খরগোশের ৪ লাফে যাওয়া দূরত্ব = কুকুরের ৩ লাফে যাওয়া দূরত্ব।
যদি কুকুরের এক লাফের দূরত্ব LDL_D এবং খরগোশের এক লাফের দূরত্ব LRL_R হয়,
তাহলে: 3imesLD=4imesLR3 imes L_D = 4 imes L_R
LD/LR=4/3L_D / L_R = 4 / 3
এক লাফের দূরত্বের অনুপাত: LD:LR=<strong>৪:৩</strong>L_D : L_R = <strong>৪ : ৩</strong>

ধাপ ৩: গতিবেগের অনুপাত (Speed Ratio)
গতিবেগ হলো প্রতি সময়ে মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব। মোট দূরত্ব = লাফের সংখ্যা imes imes এক লাফের দূরত্ব।
গতিবেগের অনুপাত = (লাফের সংখ্যা imes imes লাফের দূরত্ব) এর অনুপাত
কুকুর ও খরগোশের গতিবেগের অনুপাত হবে:
(TDimesLD):(TRimesLR)(T_D imes L_D) : (T_R imes L_R)
(৪imes৪):(৫imes৩)(৪ imes ৪) : (৫ imes ৩)
<strong>১৬:১৫</strong><strong>১৬ : ১৫</strong>

অতএব, কুকুর ও খরগোশের গতিবেগের অনুপাত হলো ১৬ : ১৫।
সঠিক উত্তর: (গ) ১৬ : ১৫।

এই অধ্যায়ের প্রশ্ন টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করুন

এই পেজে বাছাইকৃত ১৫০টি প্রশ্ন সমাধানসহ দেওয়া হয়েছে (মোট ২৪৬টির মধ্যে)। প্র্যাকটিস মোডে এক-একটি করে উত্তর দিয়ে সঙ্গে সঙ্গে ফলাফল, স্কোর ও অগ্রগতি ট্র্যাক করুন।

প্র্যাকটিস মোডে যানসব অধ্যায়

গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning)-এর অন্যান্য অধ্যায়

বীজগণিত (Algebra)২০০ প্রশ্নজ্যামিতি (Geometry)১১০ প্রশ্নত্রিকোণমিতি ও সম্ভাব্যতা৩৩ প্রশ্নধারা (সমান্তর ও গুণোত্তর - Series)১ প্রশ্নমানসিক দক্ষতা (Mental Ability)১ প্রশ্ন

কেন BCS Preliminary-এর জন্য “পাটিগণিত (Arithmetic)” অধ্যায়টি গুরুত্বপূর্ণ?

BCS Preliminary নিয়োগ পরীক্ষার গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning) অংশে “পাটিগণিত (Arithmetic)” থেকে প্রায় প্রতিবারই প্রশ্ন আসে। বিগত সালের প্রশ্নের ধরন বুঝে নিয়মিত অনুশীলন করলে এই অধ্যায়ের নম্বর নিশ্চিত করা সহজ হয় — এই পেজের বাছাইকৃত প্রশ্নগুলো ঠিক সেই প্রস্তুতির জন্যই সাজানো।

সচরাচর জিজ্ঞাসা

"পাটিগণিত (Arithmetic)" অধ্যায় থেকে কেমন প্রশ্ন আসে?

BCS Preliminary নিয়োগ পরীক্ষায় গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning) বিষয়ের "পাটিগণিত (Arithmetic)" অধ্যায় থেকে নিয়মিত MCQ আসে। এই পেজে বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক জায়গায় দেওয়া হয়েছে — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ।

উত্তর ও সমাধান কি বিনামূল্যে?

হ্যাঁ। প্রশ্ন, অপশন, সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যা — সবই লগইন ছাড়াই বিনামূল্যে দেখা যায়। টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করতে চাইলে একটি ফ্রি অ্যাকাউন্ট দিয়ে প্র্যাকটিস মোডে যান।