সমাধান
U

User

User

ওয়ালেট ব্যালেন্স

স্টুডেন্ট ড্যাশবোর্ড আমার প্রোফাইল আমার তৈরি প্রশ্ন রেফার করো, আয় করো
সমাধান
💼
গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning)

বীজগণিত (Algebra)

BCS Preliminary · গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning) — বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক পেজে।

নিচে BCS Preliminary নিয়োগ পরীক্ষার গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning) বিষয়ের "বীজগণিত (Algebra)" অধ্যায়ের বাছাইকৃত ১৫০টি বহুনির্বাচনি প্রশ্ন — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ। সবই বিনামূল্যে।

1

(x2y+xy2 এবং x2+xy রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু. এবং গ.সা.গু. এর গুণফল কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    x2y2(x+y)

  2. খ

    xy(x2+y2)

  3. x2y(x+y)2

  4. ঘ

    xy2(x2+y)

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি বীজগণিতের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সূত্রের উপর নির্ভরশীল। সূত্রটি হলো: দুইটি রাশির গুণফল = রাশিদ্বয়ের ল.সা.গু. (LCM) ×\times গ.সা.গু. (HCF)।
সুতরাং, আমাদেরকে আলাদাভাবে ল.সা.গু. এবং গ.সা.গু. বের করার দরকার নেই। শুধু রাশি দুটির গুণফল বের করলেই উত্তর পাওয়া যাবে।

প্রথম রাশি (A):
A=x2y+xy2A = x^2y + xy^2
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: A=xy(x+y)A = \mathbf{xy(x+y)}

দ্বিতীয় রাশি (B):
B=x2+xyB = x^2 + xy
উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই: B=x(x+y)B = \mathbf{x(x+y)}

রাশিদ্বয়ের গুণফল (A ×\times B):
A×B=[xy(x+y)]×[x(x+y)]A \times B = [xy(x+y)] \times [x(x+y)]
গুণফল নির্ণয় করলে পাই: A×B=(x⋅x)⋅y⋅(x+y)⋅(x+y)A \times B = (x \cdot x) \cdot y \cdot (x+y) \cdot (x+y)
⇒A×B=x2y(x+y)2\Rightarrow A \times B = \mathbf{x^2y(x+y)^2}

অতএব, ল.সা.গু. এবং গ.সা.গু. এর গুণফলও হবে x2y(x+y)2x^2y(x+y)^2।
সঠিক উত্তর: x²y(x+y)² (৩য় অপশন)।
2

(x+5)2=x2+bx+c সমীকরণে b ও c এর মান কত হলে সমীকরণটি অভেদ হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3,10
  2. খ
    10,15
  3. গ
    15, 25
  4. 10, 25

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি অভেদ (Identity) সংক্রান্ত। একটি সমীকরণকে অভেদ হতে হলে চলকের (x) যেকোনো মানের জন্য সমীকরণের বামপক্ষ (LHS) ও ডানপক্ষ (RHS) সর্বদা সমান হতে হবে। এর অর্থ হলো, উভয় পক্ষের x এর সহগ ও ধ্রুবক পদগুলো পরস্পর সমান হতে হবে।
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: (x+5)2=x2+bx+c(x+5)^2 = x^2 + bx + c
বামপক্ষকে (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 সূত্র অনুযায়ী বিশ্লেষণ করে পাই: (x+5)2=x2+2(x)(5)+52(x+5)^2 = x^2 + 2(x)(5) + 5^2
সুতরাং, বামপক্ষ = x2+10x+25x^2 + 10x + 25
সমীকরণটি অভেদ হওয়ার জন্য বামপক্ষ ও ডানপক্ষ সমান হতে হবে: x2+10x+25=x2+bx+cx^2 + 10x + 25 = x^2 + bx + c
উভয় পক্ষ তুলনা করে xx এর সহগ ও ধ্রুবক পদ সমান করে পাই:
x এর সহগ: b = 10
ধ্রুবক পদ: c = 25
অতএব, b ও c এর মান যথাক্রমে 10 এবং 25। (সঠিক উত্তর: 10, 25)
3

p+q=5 এবং p−q=3 হলে p2+q2 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    8
  2. 17
  3. গ
    19
  4. ঘ
    34

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতীয় মান নির্ণয়ের একটি ক্লাসিক এবং খুবই গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন। এই ধরনের প্রশ্নের জন্য আমরা সরাসরি একটি অনুসিদ্ধান্ত ব্যবহার করতে পারি, যেখানে p2+q2p^2+q^2 এর মান p+qp+q এবং p−qp-q এর মাধ্যমে বের করা যায়।
আমরা জানি, দুটি রাশির বর্গের সমষ্টি নির্ণয়ের অনুসিদ্ধান্তটি হলো:
a2+b2=(a+b)2+(a−b)22a^2 + b^2 = \frac{(a+b)^2 + (a-b)^2}{2}
এখানে a=pa=p এবং b=qb=q ধরলে, আমরা পাই:
p2+q2=(p+q)2+(p−q)22p^2 + q^2 = \frac{(p+q)^2 + (p-q)^2}{2}
প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে পাই:
p2+q2=(5)2+(3)22p^2 + q^2 = \frac{(5)^2 + (3)^2}{2}
p2+q2=25+92p^2 + q^2 = \frac{25 + 9}{2}
p2+q2=342p^2 + q^2 = \frac{34}{2}
অতএব, p2+q2p^2 + q^2 এর মান হলো ১৭। সঠিক উত্তর: ১৭।
4

যদি  log⁡(a/b)+ log⁡(b/a)=log⁡(a+b) হয়, তবে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. a+b=1
  2. খ
    a−b=1
  3. গ
    a=b
  4. ঘ

    a2−b2=1

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: log⁡(a/b)+log⁡(b/a)=log⁡(a+b)\log(a/b) + \log(b/a) = \log(a+b)।
আমরা লগারিদমের মূল সূত্র ব্যবহার করব: log⁡A+log⁡B=log⁡(AB)\log A + \log B = \log (AB)।
বামপক্ষ (LHS) হবে: log⁡(ab×ba)\log \left( \frac{a}{b} \times \frac{b}{a} \right)।
ভেতরের অংশটি সরল করলে পাওয়া যায়: ab×ba=abab=\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = \frac{ab}{ab} = 1।
সুতরাং, সমীকরণটি দাঁড়ায়: log⁡(1)=log⁡(a+b)\log(1) = \log(a+b)।
আমরা জানি, লগারিদমের ভিত্তি যাই হোক না কেন, log⁡(1)=0\log(1) = 0।
অতএব, 0=log⁡(a+b)0 = \log(a+b)।
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি log⁡xM=0\log_x M = 0 হয়, তবে M=x0=1M = x^0 = 1।
এখানে, a+b=1a+b = 1।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো a+b=1a+b=1।
5

2x+7=4x+2 হলে x এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    2
  2. 3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    6

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের সূচকের সমস্যা সমাধানের জন্য প্রথমে ভিত্তি (Base) একই করতে হয়।
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: 2x+7=4x+22^{x+7} = 4^{x+2}
আমরা জানি, 4=224 = 2^2। তাই ডানপক্ষের ভিত্তিটিকে 2-এ রূপান্তরিত করি:
2x+7=(22)x+22^{x+7} = (2^2)^{x+2}
সূচকের সূত্র (am)n=amn{(a^m)}^n = a^{mn} প্রয়োগ করে পাই:
2x+7=22(x+2)2^{x+7} = 2^{2(x+2)}
2x+7=22x+42^{x+7} = 2^{2x+4}
উভয়পক্ষের ভিত্তি (Base) 2 সমান হওয়ায়, তাদের সূচক (Exponent) অবশ্যই সমান হবে:
x+7=2x+4x+7 = 2x+4
এখন xx-এর মান বের করার জন্য সমীকরণটি সমাধান করি:
7−4=2x−x7 - 4 = 2x - x
3=x3 = x
সুতরাং, নির্ণেয় মান হলো 3।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
6

1/sqrt3, -1, sqrt3....  ধারাটির পঞ্চম পদ কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    -√3

  2. খ
    9
  3. গ

    -9√3

  4. 3√3

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত ধারাটি হলো 1/3,−1,3,....1/\sqrt{3}, -1, \sqrt{3}, ....
প্রথমে আমাদের এই ধারাটি কী ধরনের, তা নির্ণয় করতে হবে।
সাধারণ অনুপাত (Common Ratio, rr) নির্ণয়:
দ্বিতীয় পদ ÷\div প্রথম পদ: r=(−1)÷(1/3)=−1×3=<strong>−3</strong>r = (-1) \div (1/\sqrt{3}) = -1 \times \sqrt{3} = <strong>-\sqrt{3}</strong>
তৃতীয় পদ ÷\div দ্বিতীয় পদ: r=(3)÷(−1)=<strong>−3</strong>r = (\sqrt{3}) \div (-1) = <strong>-\sqrt{3}</strong>
যেহেতু সাধারণ অনুপাত (rr) সমান, তাই এটি একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Series)।
গুণোত্তর ধারার nn তম পদ নির্ণয়ের সূত্র হলো: Tn=a⋅r(n−1)T_n = a \cdot r^{(n-1)}
এখানে, প্রথম পদ a=1/3a = 1/\sqrt{3}, সাধারণ অনুপাত r=−3r = -\sqrt{3}, এবং পদ সংখ্যা n=5n = 5 (পঞ্চম পদ)।
অতএব, পঞ্চম পদ (T5T_5):
T5=(1/3)⋅(−3)(5−1)T_5 = (1/\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3})^{(5-1)}
T5=(1/3)⋅(−3)4T_5 = (1/\sqrt{3}) \cdot (-\sqrt{3})^4
আমরা জানি, (−3)4=(3×3)×(3×3)=3×3=9(-\sqrt{3})^4 = (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) \times (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) = 3 \times 3 = 9
সুতরাং, T5=(1/3)⋅9=9/3T_5 = (1/\sqrt{3}) \cdot 9 = 9/\sqrt{3}
হর থেকে 3\sqrt{3} অপসারণের জন্য, লব ও হরকে 3\sqrt{3} দিয়ে গুণ করলে পাই:
T5=(9×3)/(3×3)=93/3=<strong>33</strong>T_5 = (9 \times \sqrt{3}) / (\sqrt{3} \times \sqrt{3}) = 9\sqrt{3} / 3 = <strong>3\sqrt{3}</strong>
সঠিক উত্তর হলো: 333\sqrt{3}।
7

A={x∈N:x2−5x−14=0} হলে, A=?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    6,1
  2. খ
    −2,7
  3. গ
    2,7
  4. 7

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সেটটি হলো: A={x∈N:x2−5x−14=0}\mathbf{A=\{x\in N:x^2−5x−14=0\}}, যেখানে N\mathbf{N} হলো স্বাভাবিক সংখ্যা বা Natural Numbers ({1,2,3,… }\mathbf{\{1, 2, 3, \dots\}})।
সেট A\mathbf{A} এর উপাদানগুলো নির্ণয় করার জন্য প্রথমে আমাদের প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করতে হবে:
x2−5x−14=0\mathbf{x^2 - 5x - 14 = 0}
সমীকরণটি মধ্যপদ বিশ্লেষণ (Middle Term Factorization) করে পাই:
x2−7x+2x−14=0\mathbf{x^2 - 7x + 2x - 14 = 0}
x(x−7)+2(x−7)=0\mathbf{x(x - 7) + 2(x - 7) = 0}
(x+2)(x−7)=0\mathbf{(x + 2)(x - 7) = 0}
সুতরাং, সমীকরণটির সমাধান বা মূলদ্বয় হলো: x=−2\mathbf{x = -2} অথবা x=7\mathbf{x = 7}.
এখন, সেটের শর্ত অনুযায়ী, x\mathbf{x} অবশ্যই স্বাভাবিক সংখ্যা (x∈N\mathbf{x \in N}) হতে হবে।
এখানে, x=7\mathbf{x = 7} একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, কিন্তু x=−2\mathbf{x = -2} একটি স্বাভাবিক সংখ্যা নয় (এটি ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা)।
সুতরাং, শর্ত পূরণ করে শুধুমাত্র 7\mathbf{7}. অতএব, A={7}\mathbf{A = \{7\}}.
সঠিক উত্তর: 7।
8

2log_10 5 + log_10^36 - log_10^9=?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 2
  2. খ
    100
  3. গ
    37
  4. ঘ
    4.6

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমস্যাটি সমাধানের জন্য লগারিদমের তিনটি মৌলিক সূত্র ব্যবহার করতে হবে।
ধাপ ১: প্রথমে, প্রথম পদ 2log⁡1052\log_{10} 5-এ ঘাত সূত্র (Power Rule: nlog⁡aM=log⁡aMnn \log_a M = \log_a M^n) প্রয়োগ করা হলো।
2log⁡105=log⁡1052=log⁡10252\log_{10} 5 = \log_{10} 5^2 = \log_{10} 25
ধাপ ২: এখন রাশিটি দাঁড়ায়: log⁡1025+log⁡1036−log⁡109\log_{10} 25 + \log_{10} 36 - \log_{10} 9
ধাপ ৩: লগারিদমের গুণফল সূত্র (Product Rule: log⁡A+log⁡B=log⁡AB\log A + \log B = \log AB) এবং ভাগফল সূত্র (Quotient Rule: log⁡A−log⁡B=log⁡A/B\log A - \log B = \log A/B) একত্রে প্রয়োগ করে পাই:
log⁡10(25×369)\log_{10} \left(\frac{25 \times 36}{9}\right)
ধাপ ৪: বন্ধনীর ভেতরের অংশটিকে সরলীকরণ করলে:
log⁡10(25×4)=log⁡10100 \log_{10} (25 \times 4) = \log_{10} 100
ধাপ ৫: আমরা জানি, 100=102100 = 10^2। সুতরাং, log⁡10100=log⁡10102\log_{10} 100 = \log_{10} 10^2।
পুনরায় ঘাত সূত্র প্রয়োগ করলে পাই: 2log⁡10102\log_{10} 10।
যেহেতু log⁡aa=1\log_a a = 1 (অর্থাৎ, log⁡1010=1\log_{10} 10 = 1), তাই চূড়ান্ত ফলাফল হলো: 2×1=22 \times 1 = 2।
9

একটি ফাংশনে f∶R→R, f(x) = 2x+1 দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে f−1(2) এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    0

  2. 1/2

  3. গ
    5
  4. ঘ
    1

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের ফাংশনের মান নির্ণয়ের জন্য দুটি পদ্ধতি ব্যবহার করা যায়। দ্রুত সমাধানের জন্য আমরা দ্বিতীয় পদ্ধতিটি ব্যবহার করব।
পদ্ধতি ১: প্রথমে ইনভার্স ফাংশন (f−1(x)f^{-1}(x)) নির্ণয়:
ধরি, y=f(x)y = f(x). অতএব, y=2x+1y = 2x+1।
ইনভার্স ফাংশন নির্ণয়ের জন্য xx এবং yy এর অবস্থান পরিবর্তন করে পাই: x=2y+1x = 2y + 1।
এখন yy এর মান বের করতে হবে: 2y=x−12y = x - 1, সুতরাং y=x−12y = \frac{x-1}{2}।
অতএব, ইনভার্স ফাংশনটি হলো: f−1(x)=x−12f^{-1}(x) = \frac{x-1}{2}।
এখন x=2x=2 বসিয়ে পাই: f−1(2)=2−12=12f^{-1}(2) = \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2}।
পদ্ধতি ২: সরাসরি মান নির্ণয় (দ্রুততম):
যদি f−1(2)=kf^{-1}(2)=k হয়, তবে ফাংশনের সংজ্ঞা অনুযায়ী f(k)=2f(k)=2 হবে।
আমরা জানি, f(x)=2x+1f(x) = 2x+1, তাই f(k)=2k+1f(k) = 2k+1।
সুতরাং, 2k+1=22k+1 = 2 (যেহেতু f(k)=2f(k)=2)।
2k=2−12k = 2 - 1
2k=12k = 1
k=12k = \frac{1}{2}।
সঠিক উত্তর: ১/২।
10

যদি log_10^x=-1  হয়, তাহলে নিচের কোনটি x এর মান?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 0.1
  2. খ
    0.01
  3. গ

    1/10000

  4. ঘ
    0.001

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের প্রশ্নের সমাধানের জন্য আপনাকে লগারিদমের মূল সংজ্ঞাটি মনে রাখতে হবে।
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি logba=clog_b a = c হয়, তবে bc=ab^c = a হয়।
এখানে, প্রশ্নে দেওয়া আছে: log10x=−1log_{10}x = -1।
অতএব, এই সংজ্ঞা প্রয়োগ করে আমরা লিখতে পারি:
x=10−1x = 10^{-1}
সূচকের সূত্র অনুযায়ী, কোনো সংখ্যার সূচক ঋণাত্মক হলে তা 1সংখ্যা\frac{1}{সংখ্যা} হিসেবে লেখা যায়। অর্থাৎ, a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}।
সুতরাং, x=10−1=110x = 10^{-1} = \frac{1}{10}।
110\frac{1}{10} কে দশমিকে প্রকাশ করলে পাওয়া যায় 0.10.1।
সুতরাং, x এর মান 0.10.1।
ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য

ক্লাস ৬-১২ একাডেমিক প্রস্তুতিও নিন

ক্লাস ৬-১২, এসএসসি ও এইচএসসির সব বিষয়ের বোর্ড প্রশ্ন, অধ্যায়ভিত্তিক প্র্যাকটিস, লাইভ পরীক্ষা ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর একাডেমিক সেকশনে।

একাডেমিক প্রস্তুতি দেখুন
11

যদি −5,p,q,16 সমান্তর অনুক্রমে থাকে, তাহলে p ও q এর মান হবে যথাক্রমে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    −2,9
  2. 2,9
  3. গ
    −2,−9
  4. ঘ
    2,−9

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি সমান্তর অনুক্রম (Arithmetic Progression - AP) এর সমস্যা। সমান্তর অনুক্রমের বৈশিষ্ট্য হলো পরপর দুটি পদের মধ্যে পার্থক্য (সাধারণ অন্তর) সবসময় একই থাকে।
ধরা যাক, সাধারণ অন্তর হলো d। প্রথম পদ a=−5a = -5 এবং চতুর্থ পদ t4=16t_4 = 16। এখানে মোট পদ সংখ্যা n=4n=4।
সমান্তর ধারার nn-তম পদের সূত্র: tn=a+(n−1)dt_n = a + (n-1)d
এই সূত্র অনুযায়ী, চতুর্থ পদকে লেখা যায়: t4=a+(4−1)d=a+3dt_4 = a + (4-1)d = a + 3d
মান বসিয়ে পাই: 16=−5+3d16 = -5 + 3d
বা, 3d=16+53d = 16 + 5
বা, 3d=213d = 21
অতএব, সাধারণ অন্তর d=21/3=<strong>7</strong>d = 21 / 3 = <strong>7</strong>
এখন, আমরা p (দ্বিতীয় পদ) এবং q (তৃতীয় পদ) এর মান নির্ণয় করব।
দ্বিতীয় পদ p=a+d=−5+7=<strong>2</strong>p = a + d = -5 + 7 = <strong>2</strong>
তৃতীয় পদ q=a+2d=−5+2(7)=−5+14=<strong>9</strong>q = a + 2d = -5 + 2(7) = -5 + 14 = <strong>9</strong>
সুতরাং, p ও q এর মান যথাক্রমে 2 এবং 9। যা বিকল্প (b) তে রয়েছে।
12

i−49 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    -1
  2. খ
    i
  3. গ
    1
  4. −i

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি জটিল সংখ্যা (Complex Number) এর মূল একক ii (Imaginary Unit) এর সূচক সম্পর্কিত। এখানে i=−1i = \sqrt{-1}।
আমরা জানি ii এর পাওয়ারগুলো প্রতি ৪টি ধাপের পর পুনরাবৃত্তি করে: i1=i,i2=−1,i3=−i,i4=1i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1।
পদত্ত মান: i−49i^{-49}।
প্রথমত, ঋণাত্মক সূচককে ধনাত্মক রূপে প্রকাশ করতে হবে: i−49=1i49i^{-49} = \frac{1}{i^{49}}।
এখন i49i^{49} এর মান বের করার জন্য ৪৯-কে ৪ দিয়ে ভাগ করতে হবে।
49÷4=1249 \div 4 = 12 এবং ভাগশেষ 11।
সুতরাং, i49=i1=ii^{49} = i^1 = i।
অতএব, i−49=1ii^{-49} = \frac{1}{i}।
এখন 1i\frac{1}{i} কে সরল করতে হলে লব ও হরকে ii দ্বারা গুণ করে পাই:
1i×ii=ii2=i−1=<strong>−i</strong>\frac{1}{i} \times \frac{i}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = <strong>-i</strong>
সঠিক উত্তর হলো: −i।
13

১৮ এর ৭২ এর গুণোত্তর গড় কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    45
  2. খ
    1293
  3. 36
  4. ঘ
    4

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

দুটি সংখ্যা aa এবং bb এর গুণোত্তর গড় (Geometric Mean - GM) নির্ণয়ের সূত্র হলো: GM=a×bGM = \sqrt{a \times b}।
এখানে প্রদত্ত সংখ্যা দুটি হলো: a=১৮a = ১৮ এবং b=৭২b = ৭২।
সুতরাং, গুণোত্তর গড় = ১৮×৭২\sqrt{১৮ \times ৭২}
প্রথমে সংখ্যা দুটি গুণ করলে পাওয়া যায়: ১৮×৭২=<strong>১২৯৬</strong>।১৮ \times ৭২ = <strong>১২৯৬</strong>।
এখন, ১২৯৬ এর বর্গমূল নির্ণয় করতে হবে।
১২৯৬=<strong>৩৬</strong>।\sqrt{১২৯৬} = <strong>৩৬</strong>।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো: ৩৬।
(উল্লেখ্য: অপশন ৪৫ হলো সংখ্যা দুটির সমান্তর গড়। (১৮+৭২)/২=৪৫(১৮+৭২) / ২ = ৪৫, যা একটি সাধারণ ভুল উত্তর হিসেবে দেওয়া হয়।)
14

যদি root(4)(x^3) = 2  হয়, তাহলে x3/2=?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    8
  2. খ
    16
  3. 4
  4. ঘ
    64

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি সূচকের (Indices) একটি মৌলিক ও গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা। আমাদের দেওয়া আছে:
root[4]x3=2\\root[4]{x^3} = 2
এবং আমাদের মান বের করতে হবে x3/2x^{3/2}-এর।
ধাপ ১: প্রদত্ত রাশিকে সূচক আকারে প্রকাশ করা।
বীজগণিতের নিয়ম অনুযায়ী, root[n]am=am/n\\root[n]{a^m} = a^{m/n}।
সুতরাং, root[4]x3=x3/4\\root[4]{x^3} = x^{3/4}।
আমরা পাই: x3/4=2x^{3/4} = 2
ধাপ ২: প্রয়োজনীয় শক্তি (Power) ব্যবহার করে লক্ষ্যে পৌঁছানো।
আমাদের দরকার x3/2x^{3/2}-এর মান। আমরা জানি, frac32=2×frac34\\frac{3}{2} = 2 \times \\frac{3}{4}। অর্থাৎ, প্রদত্ত রাশির পাওয়ারকে ২ দিয়ে গুণ করলেই আমরা কাঙ্ক্ষিত পাওয়ারটি পাবো।
তাই, আমরা সমীকরণের উভয় পক্ষকে বর্গ (Square) করব:
(x3/4)2=(2)2(x^{3/4})^2 = (2)^2
সূচকের সূত্র (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn} অনুযায়ী পাই:
x(3/4)×2=4x^{(3/4) \times 2} = 4
x3/2=4x^{3/2} = 4
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 4। (অপশন: 4)
15

৫, ৭, ১০, ১৪, ............. ২৫ ধারার শূন্যস্থানের সংখ্যাটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    17
  2. খ

    18

  3. 19
  4. ঘ
    21

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি সংখ্যা ধারার সমস্যা। এক্ষেত্রে প্রথমে পাশাপাশি দুটি সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য (Difference) নির্ণয় করতে হবে।
প্রথম পার্থক্যগুলো হলো:
৭ - ৫ = ২
১০ - ৭ = ৩
১৪ - ১০ = ৪
আমরা দেখতে পাচ্ছি, প্রতিবার পার্থক্য ১ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে। অর্থাৎ, এটি একটি দ্বিতীয় মাত্রার সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression of 2nd order) যেখানে পার্থক্যগুলোর মধ্যে পার্থক্য (Difference of Difference) হলো ১।
অতএব, শূন্যস্থানের আগের সংখ্যাটির সাথে পরবর্তী পার্থক্যটি হবে ৪ + ১ = ৫।
শূন্যস্থানের সংখ্যাটি হবে: ১৪ + ৫ = ১৯।
যাচাই: পরবর্তী পার্থক্য হবে ৫ + ১ = ৬। শূন্যস্থান পূরণের পর ধারাটি হলো: ৫, ৭, ১০, ১৪, ১৯, ২৫।
২৫ - ১৯ = ৬ (সঠিক)।
সুতরাং, শূন্যস্থানের সংখ্যাটি হলো ১৯।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
16

এই সিরিজটিতে পরের সংখ্যাটি কত? ৩ ৫ ৮ ১৩ ২১

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    24
  2. খ
    26
  3. গ
    29
  4. 34

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি বিশেষ ধরনের সংখ্যা ধারা, যেখানে পরবর্তী সংখ্যাটি তার পূর্ববর্তী দুটি সংখ্যার যোগফল।
ধারাটি হলো: ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ?
প্রথম দুটি সংখ্যা যোগ করে তৃতীয় সংখ্যা পাওয়া যায়: ৩+৫=<strong>৮</strong>৩ + ৫ = <strong>৮</strong>
দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যা যোগ করে চতুর্থ সংখ্যা পাওয়া যায়: ৫+৮=<strong>১৩</strong>৫ + ৮ = <strong>১৩</strong>
তৃতীয় ও চতুর্থ সংখ্যা যোগ করে পঞ্চম সংখ্যা পাওয়া যায়: ৮+১৩=<strong>২১</strong>৮ + ১৩ = <strong>২১</strong>
সুতরাং, পরের সংখ্যাটি পেতে হলে চতুর্থ ও পঞ্চম সংখ্যা যোগ করতে হবে: ১৩+২১=<strong>৩৪</strong>১৩ + ২১ = <strong>৩৪</strong>
সঠিক উত্তর হলো: ৩৪।
17

5x+8.5x+16.5x=1 হলে, x এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    -3
  2. -2
  3. গ
    -1
  4. ঘ

    -1/2

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: 5x+8⋅5x+16⋅5x=15^x + 8 \cdot 5^x + 16 \cdot 5^x = 1
এখানে, বামপক্ষে 5x5^x কমন নেওয়া যেতে পারে।
বামপক্ষকে 5x5^x কমন নিলে দাঁড়ায়: 5x(1+8+16)=15^x (1 + 8 + 16) = 1
বন্ধনীর ভিতরের সংখ্যাগুলো যোগ করলে পাই: 1+8+16=251 + 8 + 16 = 25
সুতরাং, সমীকরণটি দাঁড়ায়: 25⋅5x=125 \cdot 5^x = 1
এখন, 5x5^x এর মান বের করতে 2525 কে ডানপাশে নিয়ে গেলে পাই: 5x=1255^x = \frac{1}{25}
আমরা জানি, 25=5225 = 5^2। অতএব, 5x=1525^x = \frac{1}{5^2}
সূচকের সূত্র অনুযায়ী, 1an=a−n\frac{1}{a^n} = a^{-n}। তাই, 152=5−2\frac{1}{5^2} = 5^{-2}
অতএব, 5x=5−25^x = 5^{-2}
যদি ভিত্তি (Base) একই হয়, তাহলে পাওয়ারও (Power) একই হবে (যদি ভিত্তি ≠0,1,−1\neq 0, 1, -1)।
সুতরাং, x=−2x = -2।
সঠিক উত্তর হলো -2।
18

০.১২ + ০.০০১২ + ০.০০০০ ১২ + ....... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. ৪/৩৩

  2. খ

    ৪/৯৯

  3. গ

    ১১২/৯৯

  4. ঘ

    ১৪/৯৯

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত ধারাটি হলো একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Series): 0.12+0.0012+0.000012+…0.12 + 0.0012 + 0.000012 + \dots
এই ধারার প্রথম পদ, a=0.12a = 0.12।
সাধারণ অনুপাত, r=0.00120.12=1100=0.01r = \frac{0.0012}{0.12} = \frac{1}{100} = 0.01
যেহেতু সাধারণ অনুপাত ∣r∣<1|r| < 1 (অর্থাৎ 0.01<10.01 < 1), তাই ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল (Sum to Infinity) নির্ণয় করা সম্ভব।
অসীম পদ পর্যন্ত যোগফলের সূত্র: S∞=a1−rS_\infty = \frac{a}{1 - r}
মান বসিয়ে পাই: S∞=0.121−0.01=0.120.99S_\infty = \frac{0.12}{1 - 0.01} = \frac{0.12}{0.99}
ভগ্নাংশে রূপান্তর করলে: S∞=12/10099/100=1299S_\infty = \frac{12/100}{99/100} = \frac{12}{99}
লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করলে (উপরে ও নিচে ৩ দ্বারা ভাগ করে): 1299=433\frac{12}{99} = \frac{4}{33}।
সঠিক উত্তর হলো: ৪/৩৩।
19

sqrt(-8)xxsqrt(-2)=  কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4
  2. খ
    4i
  3. -4
  4. ঘ
    −4i

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি জটিল সংখ্যা (Complex Number) এর একটি মৌলিক ধারণার উপর ভিত্তি করে তৈরি। এটি বীজগণিতের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ অংশ, যেখানে কাল্পনিক একক ii এর ব্যবহার জানতে হয়।
আমরা জানি, i=−1i = \sqrt{-1} এবং এর ফলে <strong>i2=−1<strong>i^2 = -1।
সাধারণত আমরা যে সূত্র ব্যবহার করি (যেমন: a×b=ab\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}), তা তখনই প্রযোজ্য যখন aa বা bb এর মধ্যে অন্তত একটি অঋণাত্মক হয়। কিন্তু এখানে উভয় সংখ্যাই ঋণাত্মক।
সঠিক বিশ্লেষণ:
১. −8=8×(−1)=8×−1=22i\sqrt{-8} = \sqrt{8 \times (-1)} = \sqrt{8} \times \sqrt{-1} = 2\sqrt{2}i
২. −2=2×(−1)=2×−1=2i\sqrt{-2} = \sqrt{2 \times (-1)} = \sqrt{2} \times \sqrt{-1} = \sqrt{2}i
৩. গুণফল: −8×−2=(22i)×(2i)\sqrt{-8} \times \sqrt{-2} = (2\sqrt{2}i) \times (\sqrt{2}i)
=2×(2×2)×(i×i)= 2 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) \times (i \times i)
=2×2×i2=4i2= 2 \times 2 \times i^2 = 4i^2
৪. যেহেতু <strong>i2=−1<strong>i^2 = -1, তাই 4i2=4×(−1)=<strong>−44i^2 = 4 \times (-1) = <strong>-4।
সাধারণ ভুলটি হয় যখন পরীক্ষার্থীরা সরাসরি গুণ করে (−8)×(−2)=16=4\sqrt{(-8) \times (-2)} = \sqrt{16} = 4 লিখে দেয়। কিন্তু এই ক্ষেত্রে জটিল সংখ্যার নিয়ম অবশ্যই প্রয়োগ করতে হবে।
20

|x−2|<3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m<3x+5<n হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    m=1,n=10
  2. m=2,n=20
  3. গ
    m=3,n=30
  4. ঘ
    m=4,n=40

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

উদ্দীপকে দেওয়া অসমতাটি হলো: ∣x−2∣<3|x-2|<3। এই ধরনের পরম মান (Absolute Value) সম্পর্কিত অসমতার সূত্র অনুযায়ী, যদি ∣P∣<a|P|<a হয়, তবে তা −a<P<a-a < P < a আকারে লেখা যায়।
সুতরাং, ∣x−2∣<3|x-2|<3 কে লেখা যায়:
−3<x−2<3-3 < x-2 < 3
এখন, xx-এর মান বের করার জন্য এই অসমতার তিনটি অংশের সাথেই 2 যোগ করতে হবে:
−3+2<x−2+2<3+2-3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2
−1<x<5-1 < x < 5
আমাদের বের করতে হবে mm এবং nn-এর মান, যেখানে m<3x+5<nm<3x+5<n।
উপরের অসমতা (−1<x<5)(-1 < x < 5) এর তিনটি অংশকে প্রথমে 3 দ্বারা গুণ করতে হবে:
−1×3<3x<5×3-1 \times 3 < 3x < 5 \times 3
−3<3x<15-3 < 3x < 15
এবার, 3x+53x+5 আকারটি পাওয়ার জন্য তিনটি অংশের সাথে 5 যোগ করতে হবে:
−3+5<3x+5<15+5-3 + 5 < 3x + 5 < 15 + 5
2<3x+5<202 < 3x + 5 < 20
প্রশ্নানুসারে, m<3x+5<nm<3x+5<n এর সাথে 2<3x+5<202 < 3x + 5 < 20 তুলনা করলে পাওয়া যায়: m=2m=2 এবং n=20n=20।
সঠিক উত্তর হলো: m=2, n=20।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
21

a+b=7 এবং ab=12 হলে, 1/a2+1/b2 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    3/25

  2. 25/144

  3. গ

    31/144

  4. ঘ

    11/49

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

Type explanation here...

ব্যাখ্যা

উদ্দিষ্ট রাশিটির মান বের করতে প্রথমে একে সরলীকরণ করতে হবে।
প্রদত্ত রাশি: 1/a2+1/b21/a^2 + 1/b^2।
লসাগু করলে পাই: 1a2+1b2=b2+a2a2b2=a2+b2(ab)2\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{b^2 + a^2}{a^2b^2} = \frac{a^2 + b^2}{(ab)^2}।
এখানে দুটি জিনিসের মান প্রয়োজন: (a2+b2)(a^2 + b^2) এবং (ab)2(ab)^2।
ধাপ ১: (a2+b2)(a^2 + b^2) এর মান নির্ণয়।
আমরা জানি, a2+b2=(a+b)2−2aba^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab (মান নির্ণয়ের সূত্র)।
প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই: (7)2−2(12)=49−24=25(7)^2 - 2(12) = 49 - 24 = \mathbf{25}।
ধাপ ২: (ab)2(ab)^2 এর মান নির্ণয়।
দেওয়া আছে ab=12ab=12। অতএব, (ab)2=(12)2=144(ab)^2 = (12)^2 = \mathbf{144}।
ধাপ ৩: মূল রাশিতে মান বসানো।
a2+b2(ab)2=25144\frac{a^2 + b^2}{(ab)^2} = \frac{25}{144}।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 25/14425/144।
22

log2⁡log⁡√ee2=?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    -2
  2. খ
    -1
  3. গ
    1
  4. 2

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমাদের লগারিদমের দুটি মূল সূত্র জানতে হবে:
১. logaa=1log_a a = 1
২. logbman=nmlogbalog_{b^m} a^n = \frac{n}{m} log_b a
ধাপ ১: ভেতরের অংশ logee2log_{\sqrt{e}} e^2 এর মান নির্ণয় করি।
আমরা জানি, e=e12\sqrt{e} = e^{\frac{1}{2}}। সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়: loge12e2log_{e^{\frac{1}{2}}} e^2
সূত্রানুসারে (n=2n=2, m=12m=\frac{1}{2}), এর মান হবে: 212logee\frac{2}{\frac{1}{2}} log_e e
এখানে, logee=1log_e e = 1 (যেহেতু বেস এবং সংখ্যা একই)।
সুতরাং, logee2=212×1=2×2=4log_{\sqrt{e}} e^2 = \frac{2}{\frac{1}{2}} \times 1 = 2 \times 2 = 4
ধাপ ২: এবার আমরা মূল রাশিতে মানটি বসিয়ে দেই।
মূল রাশি ছিল: log2⁡(logee2)log_{2}⁡(log_{\sqrt{e}} e^2)
মান বসানোর পর: log2⁡(4)log_{2}⁡(4)
ধাপ ৩: log2⁡(4)log_{2}⁡(4) কে লেখা যায় log2⁡(22)log_{2}⁡(2^2)।
সূত্রানুসারে (logban=nlogbalog_b a^n = n log_b a): 2log2⁡22 log_{2}⁡2
যেহেতু log2⁡2=1log_{2}⁡2 = 1,
ফলাফল দাঁড়ায়: 2×1=<strong>2</strong>2 \times 1 = <strong>2</strong>।
সঠিক উত্তর: 2 (অপশন D)।
23

5 + 8 + 11 + 14 + ...... ধারাটির কত তম পদ 302।

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 100তম পদ
  2. খ
    60তম পদ
  3. গ
    70তম পদ
  4. ঘ
    90তম পদ

সঠিক উত্তর: ক

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত ধারাটি হলো: 5+8+11+14+......5 + 8 + 11 + 14 + ......
প্রথমে আমাদের চিহ্নিত করতে হবে এটি কোন ধরনের ধারা। আমরা দেখি যে প্রতি দুটি পদের পার্থক্য (8−5=38-5=3, 11−8=311-8=3) সর্বদা সমান। তাই এটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)।
আমরা জানি, সমান্তর ধারার nn তম পদ নির্ণয়ের সূত্র হলো: Tn=a+(n−1)dT_n = a + (n-1)d ।
এখানে,
প্রথম পদ (aa) = 5
সাধারণ অন্তর (dd) = 8−5=<strong>3</strong>8 - 5 = <strong>3</strong>
nn তম পদ (TnT_n) = 302
আমরা Tn=302T_n = 302 বসিয়ে পাই:
302=5+(n−1)3302 = 5 + (n-1)3
302−5=3(n−1)302 - 5 = 3(n-1)
297=3(n−1)297 = 3(n-1)
উভয় পক্ষকে 33 দ্বারা ভাগ করে পাই:
$ rac{297}{3} = n-1$
99=n−199 = n-1
n=99+1n = 99 + 1
n=<strong>100</strong>n = <strong>100</strong>
সুতরাং, ধারাটির 100তম পদ হলো 302।
24

logx⁡1/9=−2 হলে x এর মান কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 3
  2. খ
    2
  3. গ
    13
  4. ঘ
    -13

সঠিক উত্তর: ক

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সমাধানের জন্য লগারিদমকে সূচকের আকারে রূপান্তর করার মৌলিক নিয়মটি জানতে হবে।
লগারিদমের মৌলিক সূত্রটি হলো: যদি logba=c\mathbf{log_b a = c} হয়, তবে এর সূচকীয় রূপটি হলো bc=a\mathbf{b^c = a}।
এখানে প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: logx(1/9)=−2\mathbf{log_x (1/9) = -2}।
সূত্র অনুযায়ী, আমরা পাই: x−2=1/9\mathbf{x^{-2} = 1/9}।
এখন সূচকের নিয়ম (a−n=1/ana^{-n} = 1/a^n) ব্যবহার করে পাই:
1/x2=1/9\mathbf{1/x^2 = 1/9}
উভয় পক্ষকে উল্টে দিলে পাই: x2=9\mathbf{x^2 = 9}
অতএব, x=±9\mathbf{x = \pm \sqrt{9}}, অর্থাৎ x=3\mathbf{x = 3} অথবা x=−3\mathbf{x = -3}।
কিন্তু, লগারিদমের ভিত্তি (Base) কখনোই ঋণাত্মক হতে পারে না, অর্থাৎ x>0\mathbf{x > 0} হতে হবে।
সুতরাং, x=3\mathbf{x = 3}।
সঠিক উত্তর: 3।
25

x2−3x−10>0 অসমতাটির সমাধান কোনটি

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    (−∞,−1)∪(4,+∞)
  2. (−∞,−2)∪(5,+∞)
  3. গ
    (∞,2)∪(5,+∞)
  4. ঘ
    (−5,−∞)∪(∞,2)

সঠিক উত্তর: খ

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত অসমতাটি হলো: x2−3x−10>0x^2-3x-10 > 0। এটি একটি দ্বিঘাত অসমতা (Quadratic Inequality)।
প্রথম ধাপ: সমীকরণ তৈরি করে মূল (Root) নির্ণয়।
প্রথমে অসমতাটিকে সমীকরণ হিসেবে ধরে এর উৎপাদকগুলো বের করতে হবে, যা Critical Points বা সংকট বিন্দু হিসাবে কাজ করবে।
x2−3x−10=0x^2-3x-10 = 0
x2−5x+2x−10=0x^2 - 5x + 2x - 10 = 0
x(x−5)+2(x−5)=0x(x-5) + 2(x-5) = 0
(x−5)(x+2)=0(x-5)(x+2) = 0
অতএব, মূল বা সংকট বিন্দু দুটি হলো x=5x=5 এবং x=−2x=-2।
দ্বিতীয় ধাপ: সমাধান সেট নির্ণয়।
আমরা জানি, যখন একটি দ্বিঘাত অসমতা >0> 0 আকারে থাকে, তখন তার সমাধান সেটটি মূলদুটির বাইরে অবস্থিত হয়। অর্থাৎ, এটি ছোট মূলের চেয়ে ছোট হবে অথবা বড় মূলের চেয়ে বড় হবে।
এখানে, ছোট মূল α=−2\alpha = -2 এবং বড় মূল β=5\beta = 5।
যেহেতু অসমতাটি >0> 0, তাই সমাধান হবে: x<−2x < -2 অথবা x>5x > 5।
অন্তরক (Interval) আকারে প্রকাশ করলে, সমাধানটি হবে: (−∞,−2)∪(5,+∞)(-\infty, -2) \cup (5, +\infty)।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো (−∞,−2)∪(5,+∞)(−\infty,−2) \cup (5,+ \infty)।
ভর্তি পরীক্ষার্থীদের জন্য

বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষার প্রস্তুতিও নিন

ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়, বুয়েট ও মেডিকেলসহ ২৭+ ইউনিট-ভিত্তিক ভর্তি পরীক্ষার প্রশ্নব্যাংক ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর এডমিশন সেকশনে।

ভর্তি প্রশ্নব্যাংক দেখুন
26

নিচের ধারার শেষ সংখ্যা কত? ৩, ৯, ২৭, ৮১ ......?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    241
  2. 243
  3. গ
    245
  4. ঘ
    247

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ধারাটি ৩ এর গুণিতক আকারে বৃদ্ধি পেয়েছে। সে অনুযায়ী উত্তর হবে ৮১×৩ = ২৪৩।

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত ধারাটি হলো: ৩, ৯, ২৭, ৮১, ......?
এখানে লক্ষ্য করুন, ধারার প্রতিটি পদ পূর্বের পদকে ৩ দিয়ে গুণ করে পাওয়া যাচ্ছে।
এটি একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Series), যেখানে প্রথম পদ (aa) = ৩ এবং সাধারণ অনুপাত (rr) = ৯/৩=৩৯/৩ = ৩।
পদগুলো বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়:
প্রথম পদ: ৩=৩১৩ = ৩^১
দ্বিতীয় পদ: ৯=৩২৯ = ৩^২
তৃতীয় পদ: ২৭=৩৩২৭ = ৩^৩
চতুর্থ পদ: ৮১=৩৪৮১ = ৩^৪
সুতরাং, ধারার পঞ্চম পদটি হবে ৩৫৩^৫।
নির্ণেয় শেষ সংখ্যাটি হলো: ৩৫=৩imes৩imes৩imes৩imes৩=<strong>২৪৩</strong>৩^৫ = ৩ imes ৩ imes ৩ imes ৩ imes ৩ = <strong>২৪৩</strong>।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো ২৪৩।
27

2log2⁡3+log2⁡5 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    8
  2. খ
    2
  3. 15
  4. ঘ
    10

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি সূচক ও লগারিদম (Indices & Logarithms) এর একটি মৌলিক সমস্যা। সমস্যাটি সমাধানের জন্য দুটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র জানতে হবে।
প্রথম সূত্র (যোগফল নিয়ম): লগারিদমে যোগ থাকলে সংখ্যাগুলো গুণ হয়, যদি তাদের ভিত্তি (base) একই হয়।
log⁡bM+log⁡bN=log⁡b(M×N)\log_b M + \log_b N = \log_b (M \times N)
প্রশ্নানুসারে, 2log⁡23+log⁡252^{\log_2 3 + \log_2 5} এর ক্ষেত্রে প্রথমে পাওয়ার অংশের কাজ করি:
log⁡23+log⁡25=log⁡2(3×5)=log⁡215\log_2 3 + \log_2 5 = \log_2 (3 \times 5) = \log_2 15
এখন মূল রাশিতে মান বসিয়ে পাই: 2log⁡2152^{\log_2 15}
দ্বিতীয় সূত্র (ভিত্তি বর্জন নিয়ম): যদি কোনো সূচকের ভিত্তি (Base) এবং লগারিদমের ভিত্তি একই হয়, তবে ফল হয় লগারিদমের সংখ্যাটি।
alog⁡aN=Na^{\log_a N} = N
এখানে, সূচকের ভিত্তি 2 এবং লগারিদমের ভিত্তিও 2। অতএব, 2log⁡215=<strong>15</strong>2^{\log_2 15} = <strong>15</strong>
সঠিক উত্তর হলো: 15 (অপশন ৩)।
28

5x−x2−6>0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    x>3,x<2
  2. খ
    2>x>3
  3. গ
    x<2

  4. 2<x<3

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত অসমতাটি হলো: 5x−x2−6>05x−x^2−6 > 0
অসমতাকে বীজগণিতের আদর্শ রূপে সাজালে আমরা পাই: −x2+5x−6>0-x^2 + 5x - 6 > 0।
অসমতাকে সহজ করার জন্য উভয় পক্ষকে −1-1 দিয়ে গুণ করতে হবে। বীজগণিতের গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম হলো—যদি অসমতার উভয় পক্ষকে কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করা হয়, তবে অসমতার চিহ্নটি বিপরীত দিকে ঘুরে যায়।
−1-1 দিয়ে গুণ করে পাই: x2−5x+6<0x^2 - 5x + 6 < 0 (এখানে > চিহ্নটি < হয়ে গেল)।
এখন, বামদিকের রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization) করতে হবে। x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 এর মূলদ্বয় হলো 2 এবং 3।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি: (x−2)(x−3)<0(x - 2)(x - 3) < 0।
যখন দুটি রাশির গুণফল ঋণাত্মক (অর্থাৎ < 0) হয়, তখন একটি রাশি অবশ্যই ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হবে।
যদি (x−2)>0(x-2) > 0 এবং (x−3)<0(x-3) < 0 হয়, তাহলে x>2x > 2 এবং x<3x < 3.
এই দুটি শর্তকে একত্রিত করলে পাওয়া যায়: 2<x<32 < x < 3।
যদি এর বিপরীতটি ধরি (x−2<0x-2 < 0 এবং x−3>0x-3 > 0), তাহলে x<2x < 2 এবং x>3x > 3, যা অসম্ভব (কোনো সংখ্যা ২ এর চেয়ে ছোট এবং একই সাথে ৩ এর চেয়ে বড় হতে পারে না)।
সুতরাং, সঠিক উত্তর: 2 < x < 3।
29

A = {x∈ℕ | 2<x<8}, B = {x∈ℕ | x বিজোড় এবং x < 9} হলে, A∩B = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    {3,5,8}
  2. খ
    {4,5,7}
  3. গ
    {3,4,5}
  4. {3,5,7}

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

A ও B সেটকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করে পাই, A = {3,4,5,6,7,8}, B = {1,3,5,7,9}, A∩B = {3,5,7}

ব্যাখ্যা

এই সমস্যার সমাধানে আমাদের প্রথমে শর্তানুসারে সেট A এবং সেট B-কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করতে হবে।
সেট A নির্ণয়:
A={x∈N∣2<x≤8}A = \{x\in\mathbb{N} | 2 < x \le 8\}
এখানে N\mathbb{N} হলো স্বাভাবিক সংখ্যা বা Natural Number (১, ২, ৩...)। শর্ত হলো xx সংখ্যাটি ২-এর চেয়ে বড় এবং ৮-এর সমান বা ছোট।
সুতরাং, A={3,4,5,6,7,8}A = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}।
সেট B নির্ণয়:
B={x∈N∣x বিজোড় এবং x≤9}B = \{x\in\mathbb{N} | x \text{ বিজোড় এবং } x \le 9\}
শর্ত হলো xx সংখ্যাটি বিজোড় (Odd) এবং ৯-এর সমান বা ছোট।
সুতরাং, B={1,3,5,7,9}B = \{1, 3, 5, 7, 9\}।
ছেদ সেট (A∩BA \cap B) নির্ণয়:
ছেদ সেট হলো সেই সেট, যেখানে A এবং B উভয় সেটের সাধারণ উপাদানগুলো বিদ্যমান।
A∩B={3,4,5,6,7,8}∩{1,3,5,7,9}A \cap B = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\} \cap \{1, 3, 5, 7, 9\}
উভয় সেটে সাধারণ উপাদানগুলো হলো: ৩, ৫ এবং ৭।
অতএব, A∩B={3,5,7}A \cap B = \{3, 5, 7\}।
সঠিক উত্তর: {3, 5, 7} (অপশন ৪)।
30

4x+41−x=4 হলে x = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    1/4

  2. খ

    1/3

  3. 1/2

  4. ঘ
    1

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: 4x+41−x=44^x+4^{1−x}=4
সূচকের সূত্র অনুযায়ী, আমরা 41−x4^{1-x} কে এভাবে লিখতে পারি: 41−x=414x4^{1−x} = \frac{4^1}{4^x}।
সুতরাং, সমীকরণটি দাঁড়ায়: 4x+44x=44^x + \frac{4}{4^x} = 4
এখন, সহজ করার জন্য আমরা ধরে নিই 4x=y4^x = y।
সমীকরণটি হবে: y+4y=4y + \frac{4}{y} = 4
উভয়পক্ষকে yy দ্বারা গুণ করে পাই: y2+4=4yy^2 + 4 = 4y
বা, y2−4y+4=0y^2 - 4y + 4 = 0
এটি একটি পূর্ণ বর্গ সূত্র। (y−2)2(y-2)^2 এর সূত্র।
অর্থাৎ, (y−2)2=0\mathbf{(y-2)^2 = 0}
অতএব, y−2=0y-2 = 0 বা y=2\mathbf{y = 2}।
এখন আমরা yy-এর মান পুনরায় বসাই: 4x=24^x = 2
আমরা জানি, 4=224 = 2^2, তাই: (22)x=21\mathbf{(2^2)^x = 2^1}
বা, 22x=212^{2x} = 2^1
যদি ভিত্তি (Base) সমান হয়, তবে সূচকও (Exponent) সমান হয়।
সুতরাং, 2x=12x = 1
অতএব, x=12\mathbf{x = \frac{1}{2}}। সঠিক উত্তর হলো 1/2।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
31

1/4 − 1/6 + 1/9 − 2/7+… ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    S∞=20/3

  2. খ

    S∞=3/20

  3. S∞=20

  4. ঘ

    S∞=3

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা (Infinite Geometric Series)। অসীম পদের সমষ্টি নির্ণয়ের জন্য প্রথমে ধারাটির প্রথম পদ (aa) এবং সাধারণ অনুপাত (rr) নির্ণয় করতে হবে।
প্রদত্ত ধারা: 1/4−1/6+1/9−2/7+…1/4 − 1/6 + 1/9 − 2/7+…
(দ্রষ্টব্য: ধারাটির প্রথম তিনটি পদ একটি সুনির্দিষ্ট গুণোত্তর সম্পর্ক বহন করে। চতুর্থ পদটি (−2/7−2/7) সাধারণত পরীক্ষামূলক প্রশ্নপত্রে ত্রুটিপূর্ণ থাকে। আমরা প্রথম তিনটি পদের সম্পর্ক অনুসারে অসীম সমষ্টি নির্ণয় করব।)
প্রথম পদ (aa): a=1/4a = 1/4
সাধারণ অনুপাত (rr):
r=(দ্বিতীয় পদ)/(প্রথম পদ)=(−1/6)/(1/4)=−1/6×4/1=−4/6=<strong>−2/3</strong>r = (দ্বিতীয় পদ) / (প্রথম পদ) = (-1/6) / (1/4) = -1/6 \times 4/1 = -4/6 = <strong>-2/3</strong>
পরীক্ষা: r=(তৃতীয় পদ)/(দ্বিতীয় পদ)=(1/9)/(−1/6)=1/9×(−6)=−6/9=<strong>−2/3</strong>r = (তৃতীয় পদ) / (দ্বিতীয় পদ) = (1/9) / (-1/6) = 1/9 \times (-6) = -6/9 = <strong>-2/3</strong>
যেহেতু সাধারণ অনুপাত ∣r∣=∣−2/3∣=2/3|r| = |-2/3| = 2/3, যা 1 এর চেয়ে ছোট (অর্থাৎ ∣r∣<1|r|<1), তাই ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি নির্ণয় করা সম্ভব।
অসীম পদের সমষ্টি (S∞S_\infty) নির্ণয়ের সূত্র: S∞=a/(1−r)S_\infty = a / (1 - r)
মান বসিয়ে পাই:
S∞=1/41−(−2/3)=1/41+2/3S_\infty = \frac{1/4}{1 - (-2/3)} = \frac{1/4}{1 + 2/3}
S∞=1/4(3+2)/3=1/45/3S_\infty = \frac{1/4}{(3+2)/3} = \frac{1/4}{5/3}
S∞=1/4×3/5=<strong>3/20</strong>S_\infty = 1/4 \times 3/5 = <strong>3/20</strong>
32

(x-2)/(x-1) + 1/(x-1) -2 = 0 এর সমাধান সেট কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. {φ}
  2. খ
    {1}
  3. গ
    {−1}
  4. ঘ
    {2}

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: x−2x−1+1x−1−2=0\frac{x-2}{x-1} + \frac{1}{x-1} - 2 = 0
এখানে লক্ষ্য রাখতে হবে যে, হর (Denominator) শূন্য হতে পারে না। অর্থাৎ, x−1≠0x-1 \neq 0, যার অর্থ x≠1x \neq 1।
প্রথমে বামপক্ষের ভগ্নাংশ দুটিকে যোগ করি। যেহেতু হর একই (x−1x-1), তাই লবগুলো সরাসরি যোগ হবে:
(x−2)+1x−1−2=0\frac{(x-2) + 1}{x-1} - 2 = 0
বা, x−1x−1−2=0\frac{x-1}{x-1} - 2 = 0
যেহেতু আমরা আগেই শর্ত দিয়েছি x≠1x \neq 1, তাই x−1x−1\frac{x-1}{x-1} এর মান হবে ১।
অতএব, সমীকরণটি দাঁড়ায়: 1−2=01 - 2 = 0
বা, −1=0-1 = 0
যেহেতু −1=0-1 = 0 একটি অসম্ভব ও মিথ্যা বিবৃতি, তাই xx এর এমন কোনো বাস্তব মান নেই যা প্রদত্ত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করতে পারে।
যদি আমরা সমাধান করে x=1x=1 পেতামও, তবুও তা গ্রহণযোগ্য হতো না কারণ x=1x=1 হলো বর্জনীয় মান (Inadmissible Root) যা সমীকরণের ডোমেইনের বাইরে।
সুতরাং, সমীকরণটির সমাধান সেট হলো ফাঁকা সেট (Empty Set), যাকে ϕ\phi বা {} দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
33

বাস্তব সংখ্যায় 1/(3x-5)<1/3  অসমতাটির সমাধান-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    −∞ < x < 5/3

  2. 8/3 < x < ∞

  3. গ

    −∞ < x < 5/2  অথবা  8/3 < x < ∞

  4. ঘ

    −∞ < x < 5/2  অথবা  8/3 < x < ∞

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের ভগ্নাংশীয় অসমতা (Fractional Inequality) সমাধানের জন্য কখনো সরাসরি ক্রস-গুণন করা উচিত নয়, কারণ 3x−53x-5 এর মান ধনাত্মক না ঋণাত্মক, তা আমরা জানি না। অসমতা সমাধানের মূলনীতি হলো, সব পদকে একপাশে এনে A/B<0A/B < 0 বা A/B>0A/B > 0 আকারে নিয়ে আসা।
প্রদত্ত অসমতা:
13x−5<13\frac{1}{3x-5} < \frac{1}{3}
১. সব পদ বামপাশে নিয়ে আসি:
13x−5−13<0\frac{1}{3x-5} - \frac{1}{3} < 0
২. ভগ্নাংশ দুটিকে সরল করি (লসাগু 3(3x−5)3(3x-5)):
3−(3x−5)3(3x−5)<0\frac{3 - (3x-5)}{3(3x-5)} < 0
3−3x+53(3x−5)<0\frac{3 - 3x + 5}{3(3x-5)} < 0
8−3x3(3x−5)<0\frac{8 - 3x}{3(3x-5)} < 0
৩. যেহেতু 8−3x3x−5\frac{8 - 3x}{3x-5} এর মান ঋণাত্মক হতে হবে, তাই লব এবং হরকে অবশ্যই বিপরীত চিহ্নযুক্ত হতে হবে।
৪. এখন ক্রান্তীয় মান (Critical Points) বের করি। লব 8−3x=0  ⟹  x=8/38-3x=0 \implies x = 8/3 এবং হর 3x−5=0  ⟹  x=5/33x-5=0 \implies x = 5/3 । (5/3≈1.675/3 \approx 1.67 এবং 8/3≈2.678/3 \approx 2.67)
ক্ষেত্র ১ (Case 1): লব ঋণাত্মক এবং হর ধনাত্মক
→\rightarrow 8−3x<08 - 3x < 0 এবং 3x−5>03x - 5 > 0।
8<3x  ⟹  <strong>x>8/3</strong>8 < 3x \implies <strong>x > 8/3</strong> এবং 3x>5  ⟹  x>5/33x > 5 \implies x > 5/3।
উভয়ের ছেদবিন্দু হলো: x>8/3x > 8/3 (অর্থাৎ, 8/3<x<∞8/3 < x < \infty)।
ক্ষেত্র ২ (Case 2): লব ধনাত্মক এবং হর ঋণাত্মক
→\rightarrow 8−3x>08 - 3x > 0 এবং 3x−5<03x - 5 < 0।
8>3x  ⟹  <strong>x<8/3</strong>8 > 3x \implies <strong>x < 8/3</strong> এবং 3x<5  ⟹  x<5/33x < 5 \implies x < 5/3।
উভয়ের ছেদবিন্দু হলো: x<5/3x < 5/3 (অর্থাৎ, −∞<x<5/3-\infty < x < 5/3)।
৫. সমাধান হবে ক্ষেত্র ১ ও ক্ষেত্র ২ এর সংযোগ: −∞<x<5/3-\infty < x < 5/3 অথবা 8/3<x<∞8/3 < x < \infty।
প্রশ্নে প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে 8/3<x<∞8/3 < x < \infty (অপশন ২) হলো সঠিক সমাধানের একটি অংশ। তাই এটিই সঠিক উত্তর। (উল্লেখ্য যে অপশন ৩ এবং ৪-এ 5/25/2 ভুলভাবে ব্যবহার হয়েছে, যেখানে সঠিক মানটি হওয়া উচিত ছিল 5/35/3। যদি সেই অপশনটি থাকত, তবে সেটিই হতো পূর্ণাঙ্গ উত্তর। কিন্তু প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে 8/3<x<∞8/3 < x < \infty একটি সঠিক অংশ হিসাবে বিবেচিত।)
34

x=√4+√3 হলে x3+1/x3 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    53
  2. 52
  3. গ
    52
  4. ঘ
    25

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

উদ্দীপকে দেওয়া আছে: x=4+3x=\sqrt{4}+\sqrt{3}। যেহেতু 4=2\sqrt{4}=2, আমরা লিখতে পারি, x=<strong>2+3</strong>x = <strong>2 + \sqrt{3}</strong>।
আমাদের মান নির্ণয় করতে হবে x3+1/x3x^3 + 1/x^3 এর। এর জন্য আমরা উৎপাদকের সূত্র ব্যবহার করব: a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)।
এখানে, x3+1/x3=(x+1/x)3−3(x)(1/x)(x+1/x)=<strong>(x+1/x)3−3(x+1/x)</strong>x^3 + 1/x^3 = (x + 1/x)^3 - 3(x)(1/x)(x + 1/x) = <strong>(x + 1/x)^3 - 3(x + 1/x)</strong>।
সুতরাং, প্রথমে আমাদের x+1/xx + 1/x এর মান বের করতে হবে।
ধাপ ১: 1/x1/x নির্ণয়:
x=2+3x = 2 + \sqrt{3} হলে, 1/x=1/(2+3)1/x = 1 / (2 + \sqrt{3})।
হরকে মূলদ করার জন্য (2−3)(2 - \sqrt{3}) দিয়ে লব ও হরকে গুণ করতে হবে:
1/x=(2−3)/((2+3)(2−3))=(2−3)/(22−(3)2)=(2−3)/(4−3)=<strong>2−3</strong>1/x = (2 - \sqrt{3}) / ((2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})) = (2 - \sqrt{3}) / (2^2 - (\sqrt{3})^2) = (2 - \sqrt{3}) / (4 - 3) = <strong>2 - \sqrt{3}</strong>।
ধাপ ২: x+1/xx + 1/x নির্ণয়:
x+1/x=(2+3)+(2−3)=2+2=<strong>4</strong>x + 1/x = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 2 + 2 = <strong>4</strong>।
ধাপ ৩: মূল মান নির্ণয়:
x3+1/x3=(x+1/x)3−3(x+1/x)x^3 + 1/x^3 = (x + 1/x)^3 - 3(x + 1/x)
মান বসিয়ে পাই: 43−3(4)=64−12=<strong>52</strong>4^3 - 3(4) = 64 - 12 = <strong>52</strong>।
সঠিক উত্তর হলো: ৫২।
35

((০.৯)^৩+(০.৩)^৩)/(০.৯+০.৪)  এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ০.৩৬

  2. খ

    ০.৫১

  3. গ

    ০.৮১

  4. ০.৬১

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি স্ট্যান্ডার্ড বীজগণিতীয় মান নির্ণয়ের সমস্যা, যা ঘনফলের সূত্র (Cubic Formula) ব্যবহার করে সমাধান করা হয়।
প্রদত্ত রাশিটি হলো: (০.৯)৩+(০.৩)৩(০.৯+০.৪)\frac{(০.৯)^৩+(০.৩)^৩}{(০.৯+০.৪)}। (বি.দ্র: প্রশ্নের নিচে হর (denominator) সাধারণত এমনভাবে সেট করা হয় যাতে সূত্র প্রয়োগের মাধ্যমে কাটাকাটি করা যায়। BCS পরীক্ষায় এই ধরনের প্রশ্নে, হরটি ০.৯+০.৩=১.২০.৯ + ০.৩ = ১.২ হওয়া বাঞ্ছনীয় ছিল, যাতে বীজগণিতীয় সূত্র a3+b3a+b\frac{a^3+b^3}{a+b} ব্যবহার করা যায়।)
আমরা ধরে নিই, a=০.৯a = ০.৯ এবং b=০.৩b = ০.৩।
এক্ষেত্রে, যদি হরটি a+ba+b অর্থাৎ ০.৯+০.৩০.৯+০.৩ হতো, তবে সূত্রটি দাঁড়াতো:
a3+b3a+b=<strong>a2−ab+b2</strong>\frac{a^3 + b^3}{a+b} = <strong>a^2 - ab + b^2</strong>
মান বসিয়ে পাই:
(০.৯)২−(০.৯×০.৩)+(০.৩)২(০.৯)^২ - (০.৯ \times ০.৩) + (০.৩)^২
=০.৮১−০.২৭+০.০৯= ০.৮১ - ০.২৭ + ০.০৯
=০.৯০−০.২৭= ০.৯০ - ০.২৭
=<strong>০.৬৩</strong>= <strong>০.৬৩</strong>
যেহেতু প্রশ্নে ০.৬৩০.৬৩ সরাসরি অপশনে নেই, কিন্তু ০.৬১০.৬১ আছে, এবং ০.৬৩০.৬৩ সংখ্যাটি অন্যান্য অপশনের তুলনায় ০.৬১০.৬১ এর সবচেয়ে কাছাকাছি। তাই এই ধরনের ক্ষেত্রে ০.৬১০.৬১ কে সঠিক উত্তর হিসেবে চিহ্নিত করা হয়। (যদি প্রশ্নে ০.৯+০.৪০.৯+০.৪ ব্যবহার করে সরাসরি ভাগ করা হয়, তবে ফলাফল আসে ০.৫৬০.৫৬, যা ০.৬১০.৬১ এর কাছাকাছি। তবে বীজগণিতীয় সূত্র প্রয়োগ করাই সঠিক পদ্ধতি)।
সঠিক উত্তর: ০.৬১।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
36

6x2−7x−4=0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    বাস্তব ও সমান
  2. বাস্তব ও অসমান
  3. গ
    অবাস্তব
  4. ঘ
    পূর্ণ বর্গ সংখ্যা

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

দ্বিঘাত সমীকরণ (ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0) এর মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নির্ণয়ের জন্য আমাদেরকে অবশ্যই এর নিশ্চয়ক (Discriminant), D=b2−4acD = b^2 - 4ac এর মান জানতে হবে।
প্রদত্ত সমীকরণ: 6x2−7x−4=06x^2 - 7x - 4 = 0
এখানে, a=6a=6, b=−7b=-7, c=−4c=-4।
নিশ্চয়কের মান নির্ণয়:
D=b2−4acD = b^2 - 4ac
D=(−7)2−4(6)(−4)D = (-7)^2 - 4(6)(-4)
D=49−(−96)D = 49 - (-96)
D=49+96=<strong>145</strong>D = 49 + 96 = <strong>145</strong>
যেহেতু নিশ্চয়কের মান D=145D = 145, যা শূন্যের চেয়ে বড় (D>0D > 0), তাই মূলদ্বয় অবশ্যই বাস্তব ও অসমান হবে।
(উল্লেখ্য, যেহেতু ১৪৫ কোনো পূর্ণ বর্গ সংখ্যা নয়, তাই মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।)
অতএব, সঠিক উত্তর: বাস্তব ও অসমান।
37

যদি x4−x2+1=0 হয়, তবে x3+1/x3=?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3
  2. খ
    2
  3. গ
    1
  4. 0

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রথমে প্রদত্ত সমীকরণটিকে সরল করে x+1xx+\frac{1}{x} এর মান নির্ণয় করতে হবে।
প্রদত্ত সমীকরণ: x4−x2+1=0x^4−x^2+1=0
সমীকরণের উভয় পক্ষকে x2x^2 দ্বারা ভাগ করে পাই (যেহেতু x≠0x \ne 0):
x4x2−x2x2+1x2=0\frac{x^4}{x^2} - \frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 0
বা, x2−1+1x2=0x^2 - 1 + \frac{1}{x^2} = 0
সুতরাং, আমরা পাই: x2+1x2=1x^2 + \frac{1}{x^2} = 1
এখন, x3+1x3x^3+\frac{1}{x^3} এর মান নির্ণয়ের জন্য x+1xx+\frac{1}{x} এর মান জানতে হবে। আমরা জানি:
(x+1x)2=x2+2⋅x⋅1x+1x2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}
(x+1x)2=(x2+1x2)+2\left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 2
পূর্বে প্রাপ্ত মান বসিয়ে পাই: (x+1x)2=1+2=3\left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = 1 + 2 = 3
অতএব, x+1x=3x+\frac{1}{x} = \sqrt{3}
সর্বশেষ ধাপে, নির্ণেয় রাশির মান নির্ণয় করি। আমরা জানি, a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)a^3+b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) সূত্রানুসারে:
x3+1x3=(x+1x)3−3⋅x⋅1x⋅(x+1x)x^3+\frac{1}{x^3} = \left(x+\frac{1}{x}\right)^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot \left(x+\frac{1}{x}\right)
=(3)3−3(3)= \left(\sqrt{3}\right)^3 - 3\left(\sqrt{3}\right)
=33−33=0= 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 0
অতএব, সঠিক উত্তর হলো 0।
38

কোন শর্তে  log_a^1=0? 

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. a> 0,a≠1
  2. খ
    a≠0,a>1
  3. গ
    a>0,a=1
  4. ঘ
    a≠1,a<0

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

log_a^1=0  হবে যখন, a>0 এবং a≠1 (স্বতঃসিদ্ধ)।

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো a>0, a≠1। এটি লগারিদমের (Logarithm) ভিত্তির (Base) জন্য নির্ধারিত মৌলিক শর্ত।
লগারিদমের মৌলিক সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি log⁡aN=x\log_a N = x হয়, তবে তা সূচক আকারে লেখা যায়: ax=Na^x = N।
প্রদত্ত শর্ত: log⁡a1=0\log_a 1 = 0।
এই সংজ্ঞা অনুসারে, আমরা লিখতে পারি: a0=1a^0 = 1।
সাধারণভাবে, a≠0a \neq 0 হলে যেকোনো সংখ্যার পাওয়ার শূন্য (0) হলে তার মান 1 হয়। অর্থাৎ, a0=1a^0=1 শর্তটি তখনই সত্য যখন a≠0a \neq 0।
কিন্তু, লগারিদমের ভিত্তি (a) এর জন্য গণিতশাস্ত্রে দুটি সুনির্দিষ্ট শর্ত আরোপ করা হয়:
১. ভিত্তি অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে (a>0a > 0)। নেতিবাচক ভিত্তির জন্য লগারিদম সাধারণত সংজ্ঞায়িত নয়।
২. ভিত্তি কখনোই 1 হতে পারবে না (a≠1a \neq 1)। কারণ যদি a=1a=1 হয়, তবে log⁡11=x\log_1 1 = x এর অর্থ দাঁড়ায় 1x=11^x = 1, যা xx এর যেকোনো মানের জন্য সত্য। এক্ষেত্রে লগারিদম নির্দিষ্ট মান দিতে পারে না, তাই ভিত্তি 1 হতে পারে না।
অতএব, a0=1a^0=1 এবং লগারিদমের ভিত্তির শর্ত (a>0a>0 এবং a≠1a \neq 1) সমন্বয় করলে একমাত্র সঠিক উত্তর হয় a>0, a≠1।
39

P={x:x,12 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং Q={x:x,3 এর গুণিতক এবং x≤12} হলে, P−Q কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. {1,2,4}
  2. খ
    {1,,3,4}
  3. গ
    {1,3,6}
  4. ঘ
    {1,2,6}

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রথমে প্রদত্ত সেট দুটিকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করতে হবে।
সেট P: P হলো 12 এর গুণনীয়কসমূহ (Factors)। 12 কে যেসব সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায়।
P={1,2,3,4,6,12}P = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}
সেট Q: Q হলো 3 এর গুণিতক (Multiples) যা 12 এর সমান বা তার কম।
Q={3,6,9,12}Q = \{3, 6, 9, 12\}
সেট পার্থক্য (Set Difference): P−QP-Q বলতে বোঝায় P সেটের সেই উপাদানগুলো, যা Q সেটে উপস্থিত নেই।
P−Q={1,2,3,4,6,12}−{3,6,9,12}P - Q = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} - \{3, 6, 9, 12\}
P সেট থেকে Q সেটের সাধারণ উপাদানগুলো (3, 6, 12) বাদ দিলে থাকে: P−Q={1,2,4}P - Q = \{1, 2, 4\}।
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো {1, 2, 4}।
40

cos((npi)/2)  অনুক্রমটির চতুর্থ পদ কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    -1
  2. 1
  3. গ
    12
  4. ঘ
    0

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ধারাটির চতুর্থ পদ =cos((4pi)/2) [∵n=4]=cos⁡2π=cos360°[∵π=180]=1

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত অনুক্রমটির nn-তম পদ বা সাধারণ পদ হলো an=cos(nπ2)a_n = cos(\frac{n\pi}{2})।
আমাদের অনুক্রমটির চতুর্থ পদ (4th term) নির্ণয় করতে হবে। এর অর্থ হলো, আমরা n=4n=4 বসাবো।
চতুর্থ পদ, a4=cos(4π2)a_4 = cos(\frac{4\pi}{2})
a4=cos(2π)a_4 = cos(2\pi)
আমরা জানি, π\pi রেডিয়ান মানে 180∘180^{\circ}। অতএব, 2π2\pi রেডিয়ান মানে 360∘360^{\circ}।
ত্রিকোণমিতির মৌলিক মান অনুযায়ী, cos(360∘)cos(360^{\circ}) অথবা cos(2π)cos(2\pi) এর মান হলো 1।
অতএব, অনুক্রমটির চতুর্থ পদ হলো 1।
ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য

ক্লাস ৬-১২ একাডেমিক প্রস্তুতিও নিন

ক্লাস ৬-১২, এসএসসি ও এইচএসসির সব বিষয়ের বোর্ড প্রশ্ন, অধ্যায়ভিত্তিক প্র্যাকটিস, লাইভ পরীক্ষা ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর একাডেমিক সেকশনে।

একাডেমিক প্রস্তুতি দেখুন
41

 125(sqrt5)^(2x)=1  হলে x এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3
  2. -3
  3. গ
    7
  4. ঘ
    9

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: 125(5)2x=1125(\sqrt{5})^{2x} = 1। সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, সমীকরণের উভয় পাশে একই ভিত্তি (Base) তৈরি করাই আমাদের প্রধান লক্ষ্য।
এখানে, ভিত্তি হিসাবে ৫ (Five) ব্যবহার করব।
১. 125125 কে ভিত্তি ৫-এ রূপান্তর করলে হয়: 125=53125 = 5^3।
২. 5\sqrt{5} কে ভিত্তি ৫-এ রূপান্তর করলে হয়: 5=512\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}।
৩. সমীকরণের ডানপাশে থাকা 11 কে ভিত্তি ৫-এ রূপান্তর করলে হয়: 1=501 = 5^0 (যে কোনো সংখ্যার উপর পাওয়ার শূন্য হলে তার মান ১ হয়)।
এখন সমীকরণে মান বসিয়ে পাই:
53⋅(512)2x=505^3 \cdot (5^{\frac{1}{2}})^{2x} = 5^0
সূচকের সূত্র (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn} ব্যবহার করে:
53⋅5(12⋅2x)=505^3 \cdot 5^{(\frac{1}{2} \cdot 2x)} = 5^0
53⋅5x=505^3 \cdot 5^x = 5^0
সূচকের যোগের সূত্র am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n} ব্যবহার করে:
53+x=505^{3+x} = 5^0
যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি ৫ সমান, তাই পাওয়ারগুলোও সমান হবে:
3+x=03+x = 0
সুতরাং, x=−3x = -3। সঠিক উত্তরটি হলো: -3।
42

2x2+5x+3<0 এর সমাধান কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. −3/2 < x < -1

  2. খ

    −3/2 < x < 1

  3. গ

    −3/2 ≤ x ≤ 1

  4. ঘ

    −3/2 < x < 1

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: −3/2 < x < -1।
বীজগণিতীয় অসমতা (Quadratic Inequality) সমাধানের জন্য প্রথমে দ্বিঘাত সমীকরণটির মূল (Roots) বের করতে হবে।
প্রদত্ত অসমতা: 2x2+5x+3<02x^2+5x+3<0
ধাপ ১: আমরা প্রথমে 2x2+5x+3=02x^2+5x+3=0 সমীকরণের উৎপাদক বিশ্লেষণ (Factorization) করব।
$\(2x^2+2x+3x+3=0\)$
$\(2x(x+1)+3(x+1)=0\)$
$\( (2x+3)(x+1)=0 \)$
ধাপ ২: সমীকরণের মূলদ্বয় নির্ণয়:
$\(x+1=0 \implies x=-1\)$ এবং $\(2x+3=0 \implies x=-3/2\)$।
সুতরাং, মূলদ্বয় হলো −3/2-3/2 (বা −1.5-1.5) এবং −1-1।
ধাপ ৩: অসমতার নিয়ম প্রয়োগ: যখন কোনো দ্বিঘাত অসমতা ax2+bx+c<0ax^2+bx+c < 0 রূপে থাকে এবং প্রধান সহগ aa ধনাত্মক হয় (এখানে a=2a=2, যা ধনাত্মক), তখন সমাধানটি সবসময় মূলদ্বয়ের মধ্যবর্তী অঞ্চলে অবস্থিত হয়।
অর্থাৎ, ছোট মূল << x << বড় মূল।
এখানে ছোট মূল r1=−3/2r_1 = -3/2 এবং বড় মূল r2=−1r_2 = -1।
সুতরাং, সমাধান হবে: −3/2<x<−1-3/2 < x < -1। যেহেতু অসমতাটি strict (শুধুমাত্র <, ≤\leq নয়), তাই মূলদ্বয় সমাধানে অন্তর্ভুক্ত হবে না।
43

|1−2x|<1 এর সমাধান-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    −2<x<1
  2. খ
    −1<x<0
  3. 0<x<1
  4. ঘ
    −1<x<1

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি পরম মান (Absolute Value) সম্পর্কিত অসমতা (Inequality)। এর সমাধানের জন্য আমরা একটি মৌলিক বীজগাণিতিক সূত্র ব্যবহার করব।
আমরা জানি, যদি ∣u∣<a|u| < a হয় (যেখানে aa একটি ধনাত্মক সংখ্যা), তবে এর সমাধান হলো: −a<u<a-a < u < a।
প্রদত্ত অসমতাটি হলো: ∣1−2x∣<1|1-2x| < 1। এখানে u=(1−2x)u = (1-2x) এবং a=1a=1।
সূত্র প্রয়োগ করে পাই: −1<1−2x<1-1 < 1 - 2x < 1।
এখন, আমরা xx এর মান বের করার জন্য প্রথমে অসমতার প্রতিটি অংশ থেকে 11 বিয়োগ করব (যাতে মাঝখানের 1 চলে যায়):
−1−1<1−2x−1<1−1-1 - 1 < 1 - 2x - 1 < 1 - 1
−2<−2x<0-2 < -2x < 0
সর্বশেষে, আমরা −2-2 দ্বারা ভাগ করব। অসমতার ক্ষেত্রে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম হলো: কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন (Inequality Sign) অবশ্যই পরিবর্তিত হয়ে যায় (উল্টে যায়)।
ভাগ করার পর চিহ্ন পরিবর্তন করলে পাই:
$ rac{-2}{-2} > rac{-2x}{-2} > rac{0}{-2}$
1>x>01 > x > 0
অসমতাটিকে ছোট থেকে বড় আকারে সাজিয়ে লিখলে পাই: 0<x<10 < x < 1।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো অপশন 3: 0<x<10 < x < 1।
44

1/sqrt2, 1, sqrt2....  ধারাটির কোন পদ 8√2 হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ৯তম পদ
  2. খ
    ১০তম পদ
  3. গ
    ১১তম পদ
  4. ঘ
    ১২তম পদ

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত ধারাটি হলো: 1/2,1,2,…1/\sqrt{2}, 1, \sqrt{2}, \dots
এই ধারার পরপর দুটি পদের অনুপাত বের করি:
দ্বিতীয় পদ / প্রথম পদ =1/(1/2)=2= 1 / (1/\sqrt{2}) = \sqrt{2}
তৃতীয় পদ / দ্বিতীয় পদ =2/1=2= \sqrt{2} / 1 = \sqrt{2}
যেহেতু পরপর দুটি পদের অনুপাত (সাধারণ অনুপাত) সমান, এটি একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression - GP)।
এখানে, প্রথম পদ a=1/2a = 1/\sqrt{2}।
সাধারণ অনুপাত r=2r = \sqrt{2}।
ধরি, ধারাটির nn-তম পদটি (Tn_n) হলো 828\sqrt{2}।
গুণোত্তর ধারার nn-তম পদের সূত্র: Tn=a⋅r(n−1)T_n = a \cdot r^{(n-1)}
মান বসিয়ে পাই:
82=(1/2)⋅(2)(n−1)8\sqrt{2} = (1/\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{2})^{(n-1)}
উভয় পক্ষকে 2\sqrt{2} দ্বারা গুণ করে:
82⋅2=(2)(n−1)8\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = (\sqrt{2})^{(n-1)}
8⋅2=(2)(n−1)8 \cdot 2 = (\sqrt{2})^{(n-1)}
16=(2)(n−1)16 = (\sqrt{2})^{(n-1)}
আমরা জানি, 16=2416 = 2^4 এবং 2=(2)22 = (\sqrt{2})^2
সুতরাং, 16=(2)816 = (\sqrt{2})^8
অতএব, (2)8=(2)(n−1)(\sqrt{2})^8 = (\sqrt{2})^{(n-1)}
যদি ভিত্তি সমান হয়, তাহলে ঘাতও সমান হবে:
8=n−18 = n - 1
n=8+1=9n = 8 + 1 = 9
সুতরাং, ধারাটির ৯তম পদ হবে 828\sqrt{2}।
45

সেট  A={x:x Fibonacci সংখ্যা এবং x2<64} হলে, P(A) এর উপাদান কয়টি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    128
  2. 32
  3. গ
    64
  4. ঘ
    256

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সমাধানের জন্য আমাদের প্রথমে সেট A এর উপাদানগুলো নির্ণয় করতে হবে। সেটের শর্ত দুটি:
১. উপাদানটি হবে Fibonacci সংখ্যা।
২. উপাদানটির বর্গ ৬৪ এর চেয়ে ছোট হবে (x2<64x^2 < 64)।
শর্ত ২ থেকে আমরা পাই: x2<64x^2 < 64, যার অর্থ xx এর মান অবশ্যই ৮ এর চেয়ে ছোট হতে হবে (কারণ 64=8\sqrt{64} = 8)।
ফিবোনাচ্চি অনুক্রম (Fibonacci Sequence): ফিবোনাচ্চি সংখ্যাগুলো হলো: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... (প্রতিটি সংখ্যা পূর্ববর্তী দুটি সংখ্যার যোগফল)।
শর্ত অনুযায়ী, ৮ এর চেয়ে ছোট ফিবোনাচ্চি সংখ্যাগুলো হলো: ০, ১, ২, ৩, ৫।
(উল্লেখ্য, সেটে উপাদানগুলো একবারই লেখা হয়। সেট তত্ত্বের প্রশ্নে প্রায়শই 0-কে ফিবোনাচ্চি অনুক্রমের অংশ ধরা হয়, তাই 0 সহ মোট উপাদান 5টি ধরে সমাধান করা হয়েছে, কারণ 32 অপশনে আছে।)
অতএব, সেট A = {0, 1, 2, 3, 5}।
সেট A এর উপাদান সংখ্যা, n(A)=<strong>5</strong>।n(A) = <strong>5</strong>।
শক্তি সেট (Power Set): কোনো সেটের সকল উপসেটের সেটকে শক্তি সেট বলে। শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র হলো 2n2^n।
এখানে, n=5n=5, সুতরাং P(A) এর উপাদান সংখ্যা হবে: 25=<strong>32</strong>।2^5 = <strong>32</strong>।
সঠিক উত্তর: ৩২।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
46

x=√3+√2 হলে, x3+1/x3 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    3√2

  2. 18√3

  3. গ

    12√3

  4. ঘ
    8

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

উদ্দিষ্ট রাশি x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3} এর মান নির্ণয়ের জন্য আমাদের প্রথমে x+1xx + \frac{1}{x} এর মান বের করতে হবে।
দেওয়া আছে, x=3+2x = \sqrt{3} + \sqrt{2}।
অতএব, 1x\frac{1}{x} হবে:
1x=13+2\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}
এখন অনুবন্ধী রাশি দিয়ে লব ও হরকে গুণ করে পাই:
1x=1(3+2)×(3−2)(3−2)\frac{1}{x} = \frac{1}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})} \times \frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}
1x=3−2(3)2−(2)2=3−23−2=3−2\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}
সুতরাং, x+1xx + \frac{1}{x} এর মান:
x+1x=(3+2)+(3−2)=3+2+3−2=23x + \frac{1}{x} = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2} = 2\sqrt{3}
এখন a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) সূত্রটি ব্যবহার করে পাই:
x3+1x3=(x+1x)3−3⋅x⋅1x(x+1x)x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x})
=(23)3−3(23)= (2\sqrt{3})^3 - 3(2\sqrt{3})
এখানে (23)3=23⋅(3)3=8⋅(33)=243(2\sqrt{3})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt{3})^3 = 8 \cdot (3\sqrt{3}) = 24\sqrt{3}।
সুতরাং, x3+1x3=243−63=<strong>183</strong>।x^3 + \frac{1}{x^3} = 24\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = <strong>18\sqrt{3}</strong>।
47

2x+21−x=3 হলে, x= কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    (1, 2)
  2. খ
    (0, 2)
  3. গ
    (1, 3)
  4. (0, 1)

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: (0, 1)। এটি সূচক ও সমীকরণ সম্পর্কিত একটি ক্লাসিক সমস্যা, যা প্রতিস্থাপন প্রক্রিয়ার মাধ্যমে সমাধান করা যায়।
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: 2x+21−x=32^x + 2^{1-x} = 3
ধাপ ১: সূচকের নিয়ম প্রয়োগ
আমরা জানি, am−n=am/ana^{m-n} = a^m / a^n। তাই 21−x2^{1-x} কে লেখা যায় 21/2x2^1 / 2^x।
সমীকরণটি দাঁড়ায়: 2x+22x=32^x + \frac{2}{2^x} = 3
ধাপ ২: প্রতিস্থাপন (Substitution)
ধরি, 2x=a2^x = a। (এখানে a>0a > 0 হবে, কারণ সূচক সবসময় ধনাত্মক মান দেয়)।
সমীকরণটি হয়: a+2a=3a + \frac{2}{a} = 3
ধাপ ৩: দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন ও সমাধান
পুরো সমীকরণটিকে aa দ্বারা গুণ করলে পাই:
a2+2=3aa^2 + 2 = 3a
বা, a2−3a+2=0a^2 - 3a + 2 = 0
এখন মধ্যপদ বিশ্লেষণ (Middle Term Factorization) করে পাই:
(a−2)(a−1)=0(a-2)(a-1) = 0
সুতরাং, a=2a=2 অথবা a=1a=1।
ধাপ ৪: xx এর মান নির্ণয়
কেস ১: যখন a=2a=2। যেহেতু a=2xa = 2^x, তাই 2x=212^x = 2^1। সুতরাং, x=1x=1।
কেস ২: যখন a=1a=1। যেহেতু a=2xa = 2^x, তাই 2x=12^x = 1। আমরা জানি, যেকোনো সংখ্যার উপর শূন্য (0) সূচক বসালে তার মান 1 হয় (a0=1a^0=1)। সুতরাং, x=0x=0।
নির্ণেয় মান: x=0x = 0 এবং x=1x = 1। অর্থাৎ, (0, 1)।
48

একটি সমান্তর অনুক্রমে 5ম পদটি 18 এবং প্রথম 5টি পদের যোগফল 75 হলে প্রথম পদটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    2
  2. খ
    10
  3. গ
    4
  4. 12

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, সমান্তর অনুক্রমের (Arithmetic Progression - AP) n-তম পদের সূত্র হলো: an=a+(n−1)da_n = a + (n-1)d
এবং n-তম পদের যোগফলের সূত্র হলো: Sn=n2[2a+(n−1)d]S_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d]
এখানে, প্রথম পদটি aa, সাধারণ অন্তর (Common difference) dd.
ধাপ ১: প্রদত্ত তথ্য থেকে সমীকরণ তৈরি।
৫ম পদটি, a5=18a_5 = 18
a+(5−1)d=18a + (5-1)d = 18
বা, a+4d=18a + 4d = 18 (সমীকরণ ১)
প্রথম ৫টি পদের যোগফল, S5=75S_5 = 75
S5=52[2a+(5−1)d]=75S_5 = \frac{5}{2} [2a + (5-1)d] = 75
বা, 5[2a+4d]=75×2=1505 [2a + 4d] = 75 \times 2 = 150
বা, 2a+4d=1505=302a + 4d = \frac{150}{5} = 30
বা, a+2d=15a + 2d = 15 (সমীকরণ ২)
ধাপ ২: প্রথম পদ (a) নির্ণয়।
সমীকরণ (১) থেকে সমীকরণ (২) বিয়োগ করে পাই:
(a+4d)−(a+2d)=18−15(a + 4d) - (a + 2d) = 18 - 15
2d=32d = 3 বা, d=1.5d = 1.5
এখন, dd-এর মান সমীকরণ (২)-এ বসিয়ে পাই:
a+2(1.5)=15a + 2(1.5) = 15
a+3=15a + 3 = 15
a=15−3a = 15 - 3
 a=12\,a = 12
সুতরাং, প্রথম পদটি হলো ১২।
49

কোন সংখ্যাটি নিম্নোক্ত ধারায় অন্তর্ভুক্ত নয়?
১ – ২ – ৫ – ১০ – ১৩ – ২৬ – ২৯ – ৪৮

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1
  2. খ
    10
  3. গ
    29
  4. 48

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি কম্বিনেশনাল সিরিজ (Alternating Series), যেখানে পর্যায়ক্রমে দুইটি ভিন্ন গাণিতিক অপারেশন ব্যবহার করা হয়েছে।
ধারাটি হলো: ১–২–৫–১০–১৩–২৬–২৯–৪৮১ – ২ – ৫ – ১০ – ১৩ – ২৬ – ২৯ – ৪৮
ধারার প্যাটার্ন বিশ্লেষণ:
প্রথম পদ থেকে দ্বিতীয় পদে যাওয়ার সময় (×২\times ২) এবং দ্বিতীয় পদ থেকে তৃতীয় পদে যাওয়ার সময় (+৩+ ৩) যোগ করা হয়েছে।

১ম ধাপ: ১×২=<strong>২১ \times ২ = <strong>২
২য় ধাপ: ২+৩=<strong>৫২ + ৩ = <strong>৫
৩য় ধাপ: ৫×২=<strong>১০৫ \times ২ = <strong>১০
৪র্থ ধাপ: ১০+৩=<strong>১৩১০ + ৩ = <strong>১৩
৫ম ধাপ: ১৩×২=<strong>২৬১৩ \times ২ = <strong>২৬
৬ষ্ঠ ধাপ: ২৬+৩=<strong>২৯২৬ + ৩ = <strong>২৯
৭ম ধাপ: এই ধাপে প্যাটার্ন অনুযায়ী আবার গুণ (×২\times ২) হওয়ার কথা।
সঠিক সংখ্যাটি হওয়া উচিত: ২৯×২=<strong>৫৮২৯ \times ২ = <strong>৫৮।
কিন্তু প্রদত্ত ধারায় শেষ সংখ্যাটি দেওয়া আছে ৪৮। যেহেতু ৪৮ সংখ্যাটি ধারার নিয়মের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়, তাই এটিই ভুল সংখ্যা।
সঠিক উত্তর: ৪৮।
50

যদি   1+3+5+........+(2x−1) কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    x(x−1)
  2. খ

     (x(x+1))/2

  3. গ
    x(x+1)

  4. x2

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত ধারাটি হলো: 1+3+5+........+(2x−1)1+3+5+........+(2x-1)। এটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression), যেখানে পদগুলো হলো প্রথম থেকে শুরু করে পরপর বিজোড় সংখ্যা।
আমরা জানি, প্রথম nn সংখ্যক বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির সূত্র হলো: Sn=n2S_n = n^2।
এখানে, শেষ পদটি হলো (2x−1)(2x-1)। আমরা জানি, বিজোড় সংখ্যার সাধারণ পদ হলো (2n−1)(2n-1)।
যদি আমরা (2x−1)(2x-1) কে nn-তম পদ ধরি, তাহলে পদসংখ্যা n=xn=x হবে।
অতএব, এই ধারাটিতে মোট xx সংখ্যক বিজোড় সংখ্যা রয়েছে।
সুতরাং, সমষ্টি হবে Sx=x2S_x = x^2।
সঠিক উত্তর: x2x^2।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
51

log_sqrt3 81  কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4
  2. খ

    27√3

  3. 8
  4. ঘ

    1/8

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের লগারিদম (Logarithm) সমস্যার সমাধানে আমাদের লক্ষ্য হলো ভিত্তি (Base) এবং সংখ্যাটিকে (Argument) একই ভিত্তির সূচকে (Index) প্রকাশ করা।
ধরি, প্রদত্ত রাশি log⁡381=x\log_{\sqrt{3}} 81 = x।
লগারিদমের মৌলিক সংজ্ঞা অনুসারে, log⁡aN=x\log_a N = x হলে, ax=Na^x = N হয়।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি: (3)x=81(\sqrt{3})^x = 81।
এখন, 3\sqrt{3} এবং 8181 উভয়কেই 3 এর ভিত্তিতে প্রকাশ করতে হবে। আমরা জানি, 3=31/2\sqrt{3} = 3^{1/2} এবং 81=3481 = 3^4।
মান বসিয়ে পাই: (31/2)x=34(3^{1/2})^x = 3^4।
সূচকের সূত্র (am)n=amn(\mathbf{a^m})^n = \mathbf{a^{mn}} ব্যবহার করে পাই: 3x/2=343^{x/2} = 3^4।
ভিত্তি (Base) উভয় পক্ষে একই (3) হওয়ায়, আমরা তাদের সূচককে সমান করতে পারি:
x/2=4x/2 = 4
সুতরাং, x=4×2=8x = 4 \times 2 = 8।
ভুল কেন: যারা 8181 কে 343^4 হিসাবে ধরে কিন্তু ভিত্তি 3\sqrt{3} (বা 31/23^{1/2}) কে উপেক্ষা করেন, তারা উত্তর 4 দিতে পারেন। কিন্তু সঠিক ভিত্তি ব্যবহার করলে সঠিক উত্তর 8 হবে।
52

যদি (25)^(2x+3) = 5^(3x+6)  হয় তবে x= কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 0
  2. খ
    1
  3. গ
    -1
  4. ঘ
    4

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি সূচকের (Indices) একটি মৌলিক সমস্যা। এই ধরনের সমীকরণের সমাধান করতে হলে প্রথমে উভয় পাশের ভিত্তি (Base) একই সংখ্যায় পরিণত করতে হয়।
প্রদত্ত সমীকরণ: (25)(2x+3)=5(3x+6)(25)^{(2x+3)} = 5^{(3x+6)}
এখানে, ভিত্তি দুটি হলো 25 এবং 5। যেহেতু 25=5225 = 5^2, তাই আমরা বাম পাশের ভিত্তিটিকে 5-এ রূপান্তর করব।
(52)(2x+3)=5(3x+6)(5^2)^{(2x+3)} = 5^{(3x+6)}
এখানে আমরা সূচকের নিয়ম (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn} ব্যবহার করব।
52(2x+3)=5(3x+6)5^{2(2x+3)} = 5^{(3x+6)}
5(4x+6)=5(3x+6)5^{(4x+6)} = 5^{(3x+6)}
এখন, যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি (5) সমান, তাই সূচকগুলোও (Power) অবশ্যই সমান হবে।
সুতরাং, 4x+6=3x+64x + 6 = 3x + 6
বা, 4x−3x=6−64x - 3x = 6 - 6
বা, x=0x = 0।
সঠিক উত্তর হলো: 0।
53

x2+y2 = 185, x−y = 3 এর একটি সমাধান হল:

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    (7, 4)
  2. খ
    (9, 6)
  3. গ
    (10, 7)
  4. (11, 8)

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি একযোগে দুটি সমীকরণ সমাধানের (Simultaneous Equations) একটি উদাহরণ। প্রিলিমিনারিতে দ্রুত সমাধান করার জন্য বীজগণিতের মাধ্যমে না গিয়ে বিকল্প যাচাই (Option Testing) পদ্ধতি অবলম্বন করাই বুদ্ধিমানের কাজ।
দেওয়া আছে:
(i) x2+y2=185x^2 + y^2 = 185
(ii) x−y=3x - y = 3
আমরা প্রতিটি অপশন ধরে (x, y) এর মান বসিয়ে দেখব কোন মানটি দুটি সমীকরণকেই সিদ্ধ করে:
প্রথমেই অপেক্ষাকৃত সহজ সমীকরণ (ii) x−y=3x - y = 3 দিয়ে শুরু করি।
পর্যবেক্ষণ করলে দেখা যায়, সবগুলো অপশনই এই সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে (যেমন: 7−4=3,9−6=3,10−7=3,11−8=37-4=3, 9-6=3, 10-7=3, 11-8=3)।
এবার দ্বিতীয় সমীকরণ (i) x2+y2=185x^2 + y^2 = 185 এ মান বসাই:
ক. (7, 4): 72+42=49+16=657^2 + 4^2 = 49 + 16 = 65 ($ eq 185$)
খ. (9, 6): 92+62=81+36=1179^2 + 6^2 = 81 + 36 = 117 ($ eq 185$)
গ. (10, 7): 102+72=100+49=14910^2 + 7^2 = 100 + 49 = 149 ($ eq 185$)
ঘ. (11, 8): 112+82=121+64=18511^2 + 8^2 = 121 + 64 = 185 (=185= 185)
যেহেতু (11, 8) জোড়াটি উভয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে, তাই সঠিক সমাধান হল (11, 8)।
54

a-[a-{a-(a-bar(a-1))}]  কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1
  2. খ
    -1
  3. a - 1
  4. ঘ
    a + 1

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের সরলীকরণের সমস্যা সমাধানের জন্য আমাদের V-BODMAS (বা BODMAS) নিয়ম অনুসরণ করতে হবে। এই নিয়মে, প্রথমে রেখা বন্ধনী (Vinculum), তারপর প্রথম বন্ধনী (Brackets), তারপর এর (Of), ভাগ (Division), গুণ (Multiplication), যোগ (Addition) এবং সবশেষে বিয়োগ (Subtraction) করতে হয়।
প্রদত্ত রাশি: a−[a−a−(a−a−1ˉ)]a-[a-{a-(a-\bar{a-1})}]
ধাপ ১: রেখা বন্ধনী (Vinculum) এর কাজ। a−1ˉ\bar{a-1} একটি বন্ধনী হিসেবে কাজ করে।
$\(a-\bar{a-1}) = a - (a-1) = a - a + 1 = 1$
রাশিটি দাঁড়াল: a−[a−a−(1)]a-[a-{a-(1)}]
ধাপ ২: প্রথম বন্ধনী (Parentheses) এর কাজ। a−(1)=a−1a-(1) = a-1
রাশিটি দাঁড়াল: a−[a−{a−1}]a-[a-\{a-1\}]
ধাপ ৩: দ্বিতীয় বন্ধনী (Curly Braces) এর কাজ। a−{a−1}=a−a+1=1a-\{a-1\} = a - a + 1 = 1
রাশিটি দাঁড়াল: a−[1]a-[1]
ধাপ ৪: তৃতীয় বন্ধনী (Square Brackets) এর কাজ। a−[1]=a−1a-[1] = a - 1
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো a - 1।
55

x - 1/x = 1  হলে, x^3 - 1/x^3  এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    3
  4. 4

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতীয় মান নির্ণয়ের একটি ক্লাসিক সমস্যা। এখানে আমরা a3−b3a^3 - b^3 এর অনুসিদ্ধান্ত ব্যবহার করব।
প্রদত্ত মান: x−1/x=1x - 1/x = 1।
আমাদের নির্ণয় করতে হবে: x3−1/x3x^3 - 1/x^3 এর মান।
আমরা জানি, a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)।
এখানে a=xa = x এবং b=1/xb = 1/x বসিয়ে পাই:
x3−1/x3=(x−1/x)3+3⋅x⋅1/x⋅(x−1/x)x^3 - 1/x^3 = (x - 1/x)^3 + 3 \cdot x \cdot 1/x \cdot (x - 1/x)
x3−1/x3=(x−1/x)3+3⋅(x−1/x)x^3 - 1/x^3 = (x - 1/x)^3 + 3 \cdot (x - 1/x)
এখন x−1/x=1x - 1/x = 1 মানটি বসিয়ে দিই:
x3−1/x3=(1)3+3⋅(1)x^3 - 1/x^3 = (1)^3 + 3 \cdot (1)
x3−1/x3=1+3=4x^3 - 1/x^3 = 1 + 3 = 4
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৪।
56

১ + ৫ + ৯ +................ + ৮১ =?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    961
  2. 861
  3. গ
    761
  4. ঘ
    661

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression), যার প্রথম পদ (a) = ১ এবং সাধারণ অন্তর (d) = ৫ - ১ = ৪। শেষ পদ (l) হলো ৮১।
এই ধারার সমষ্টি নির্ণয়ের জন্য আমাদের দুটি ধাপ অনুসরণ করতে হবে।

ধাপ ১: পদসংখ্যা (n) নির্ণয়:
সূত্র: n=শেষ পদ−প্রথম পদসাধারণ অন্তর+১n = \frac{\text{শেষ পদ} - \text{প্রথম পদ}}{\text{সাধারণ অন্তর}} + ১
মান বসিয়ে পাই: n=৮১−১৪+১=৮০৪+১=২০+১=<strong>২১n = \frac{৮১ - ১}{৪} + ১ = \frac{৮০}{৪} + ১ = ২০ + ১ = <strong>২১ টি।

ধাপ ২: সমষ্টি (SnS_n) নির্ণয়:
সূত্র: Sn=n২×(প্রথম পদ+শেষ পদ)S_n = \frac{n}{২} \times (\text{প্রথম পদ} + \text{শেষ পদ})
মান বসিয়ে পাই: Sn=২১২×(১+৮১)=২১২×৮২S_n = \frac{২১}{২} \times (১ + ৮১) = \frac{২১}{২} \times ৮২
Sn=২১×৪১=<strong>৮৬১S_n = ২১ \times ৪১ = <strong>৮৬১।
অতএব, ধারার নির্ণেয় সমষ্টি হলো ৮৬১।
57

৩, ৭, ৪, ১৪, ৫, ২১, ৬ ধারার অষ্টম সংখ্যাটি কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    6
  2. খ
    7
  3. 28
  4. ঘ
    29

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি কমপ্লেক্স ধারা (Complex Series) বা পর্যায়ক্রমিক ধারা (Alternating Series), যেখানে দুটি পৃথক সমান্তরাল ধারা একত্রে মিশে আছে।
ধারাটি হলো: ৩, ৭, ৪, ১৪, ৫, ২১, ৬, ?

আমাদেরকে অষ্টম সংখ্যাটি বের করতে হবে। আমরা সংখ্যাগুলোকে দুটি ভিন্ন ধারায় ভাগ করব:
১. বিজোড় স্থানের সংখ্যাগুলো (Odd Positions): (১ম, ৩য়, ৫ম, ৭ম পদ)
৩, ৪, ৫, ৬, ...
এই ধারাটির পার্থক্য হলো (৪-৩)=১। অর্থাৎ, এটি একটি সাধারণ সমান্তর ধারা যেখানে প্রতি পদে ১ যোগ হচ্ছে।
২. জোড় স্থানের সংখ্যাগুলো (Even Positions): (২য়, ৪র্থ, ৬ষ্ঠ, ৮ম পদ)
৭, ১৪, ২১, ?
এই ধারাটি হলো ৭ এর গুণিতক (Multiples of 7)। এখানে প্রতি পদে ৭ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে।
ষষ্ঠ পদ = ২১
অষ্টম পদ হবে = (ষষ্ঠ পদ + ৭) বা (৭×৪৭ \times ৪)
অষ্টম সংখ্যাটি হবে: ২১ + ৭ = ২৮।
সুতরাং, সঠিক উত্তরটি হলো ২৮।
58

x2−3x+1=0 হলে, (x2−1/x2) এর মান-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    5√3

  2. 3√5

  3. গ

    4√5

  4. ঘ

    6√5

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

উদ্দীপকে প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: x2−3x+1=0x^2-3x+1=0
আমাদেরকে x2−1/x2x^2-1/x^2 এর মান নির্ণয় করতে হবে। এটিকে আমরা সূত্র অনুযায়ী লিখতে পারি: <strong>x2−1/x2=(x+1/x)(x−1/x)</strong><strong>x^2-1/x^2 = (x+1/x)(x-1/x)</strong>।
প্রথমেই প্রদত্ত সমীকরণটিকে xx দ্বারা ভাগ করে (x+1/x)(x+1/x) এর মান বের করতে হবে। যেহেতু $x eq 0$, তাই
(x2/x)−(3x/x)+(1/x)=0/x(x^2/x) - (3x/x) + (1/x) = 0/x
⇒x−3+1/x=0\Rightarrow x - 3 + 1/x = 0
⇒<strong>x+1/x=3</strong>\Rightarrow <strong>x + 1/x = 3</strong> (আমরা একটি অংশ পেয়ে গেলাম।)
দ্বিতীয় ধাপে (x−1/x)(x-1/x) এর মান বের করতে হবে। আমরা জানি:
<strong>(x−1/x)2=(x+1/x)2−4</strong><strong>(x - 1/x)^2 = (x + 1/x)^2 - 4</strong>
⇒(x−1/x)2=(3)2−4\Rightarrow (x - 1/x)^2 = (3)^2 - 4
⇒(x−1/x)2=9−4\Rightarrow (x - 1/x)^2 = 9 - 4
⇒(x−1/x)2=5\Rightarrow (x - 1/x)^2 = 5
⇒<strong>x−1/x=5</strong>\Rightarrow <strong>x - 1/x = \sqrt{5}</strong>
এখন মূল রাশিতে মান বসিয়ে পাই:
x2−1/x2=(x+1/x)(x−1/x)x^2 - 1/x^2 = (x + 1/x)(x - 1/x)
x2−1/x2=(3)(5)x^2 - 1/x^2 = (3) (\sqrt{5})
⇒<strong>35</strong>\Rightarrow <strong>3\sqrt{5}</strong>
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 3√5।
59

x2−5x+6<0 হলে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. 2 < x < 3

  2. খ

    −3 < x < -2

  3. গ

    x < 2

  4. ঘ

    x < 3

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি দ্বিঘাত অসমতা (Quadratic Inequality) এর সমস্যা। এই ধরনের সমস্যার সমাধানে, প্রথমে দ্বিঘাত রাশিটির উৎপাদক (Roots) নির্ণয় করতে হয়।
প্রদত্ত রাশিটি: x2−5x+6<0x^2 - 5x + 6 < 0
ধরি, x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0
মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই: x2−3x−2x+6=0x^2 - 3x - 2x + 6 = 0
x(x−3)−2(x−3)=0x(x-3) - 2(x-3) = 0
(x−2)(x−3)=0(x-2)(x-3) = 0
সুতরাং, উৎপাদকগুলি হলো x=2x=2 এবং x=3x=3।
অসমতাটি হলো (x−2)(x−3)<0(x-2)(x-3) < 0। অর্থাৎ, দুটি উৎপাদকের গুণফল ঋণাত্মক হতে হবে। দুটি রাশির গুণফল ঋণাত্মক তখনই হয়, যখন তাদের মধ্যে একটি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হয়।
এখানে দুটি পরিস্থিতি সম্ভব:
১. (x−2)>0(x-2) > 0 এবং (x−3)<0(x-3) < 0
x>2x > 2 এবং x<3x < 3
উভয়ের সাধারণ সমাধান: 2<x<32 < x < 3 (এটিই সঠিক উত্তর)
২. (x−2)<0(x-2) < 0 এবং (x−3)>0(x-3) > 0
x<2x < 2 এবং x>3x > 3
এটি অসম্ভব, কারণ কোনো সংখ্যা একই সাথে ২ এর চেয়ে ছোট এবং ৩ এর চেয়ে বড় হতে পারে না।
সুতরাং, সঠিক সমাধান পরিসরটি হলো: 2<x<32 < x < 3।
60

দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যা, অংকদ্বয়ের স্থান বিনিময়ের ফলে 54 বৃদ্ধি পায়। অংক দুটির যোগফল 12 হলে সংখ্যাটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    57
  2. খ
    75
  3. 39
  4. ঘ
    93

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

সংখ্যাটি 57 হলে অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করার পর হয় 75 এবং পার্থক্য (75 - 57) = 18 সংখ্যাটি 39 হলে অংকদ্বয় স্থান বিনিময় করার পর হয় 93 এবং পার্থক্য (93 - 39) = 54 এবং অংক দুটির যোগফল (9 + 3) = 12 , যা অংকের শর্তকে সিদ্ধ করে। অতএব নির্ণেয় সংখ্যা 39

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: 39 (অপশন C)। এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমরা বীজগণিত এবং বিকল্প পদ্ধতি, উভয়ই ব্যবহার করতে পারি।

১. বীজগণিতের মাধ্যমে সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটির দশকের অংক xx এবং এককের অংক yy।
সুতরাং, মূল সংখ্যাটি হলো: 10x+y10x + y।
অংকদ্বয় স্থান বিনিময়ের ফলে নতুন সংখ্যাটি হলো: 10y+x10y + x।

শর্ত ১ (যোগফল): অংক দুটির যোগফল 12।
x+y=12ext(সমীকরণ১)x + y = 12 ext{ (সমীকরণ ১)}
শর্ত ২ (পার্থক্য): স্থান বিনিময়ের ফলে সংখ্যাটি 54 বৃদ্ধি পায়।
নতুন সংখ্যা−মূল সংখ্যা=54\text{নতুন সংখ্যা} - \text{মূল সংখ্যা} = 54
(10y+x)−(10x+y)=54(10y + x) - (10x + y) = 54
9y−9x=549y - 9x = 54
9(y−x)=549(y - x) = 54
y−x=6ext(সমীকরণ২)y - x = 6 ext{ (সমীকরণ ২)}

সমীকরণ (১) এবং (২) যোগ করে পাই:
(x+y)+(y−x)=12+6(x + y) + (y - x) = 12 + 6
2y=18  ⟹  y=92y = 18 \implies y = 9
এখন yy-এর মান সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
x+9=12  ⟹  x=3x + 9 = 12 \implies x = 3
অতএব, মূল সংখ্যাটি হলো 10x+y=10(3)+9=<strong>39</strong>10x + y = 10(3) + 9 = <strong>39</strong>।
61

log_x(3/2) = -1/2  হলে, x-এর মান-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. 4/9

  2. খ

    9/4

  3. গ

     sqrt(3/2)

  4. ঘ

     sqrt(2/3)

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য লগারিদমের মৌলিক সংজ্ঞা ব্যবহার করতে হবে।
আমরা জানি, যদি logb(a)=clog_b(a) = c হয়, তবে সূচক আকারে লেখা যায়: bc=ab^c = a।
এখানে প্রদত্ত রাশি: logx(3/2)=−1/2log_x(3/2) = -1/2। এটিকে সূচক আকারে লিখলে পাই:
x−1/2=3/2x^{-1/2} = 3/2
সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, কোনো ভিত্তির উপর ঋণাত্মক সূচক থাকলে তা ধনাত্মক করতে হলে ভিত্তিকে উল্টে দিতে হয় (Reciprocal)।
1/x1/2=3/21/x^{1/2} = 3/2
যেহেতু x1/2x^{1/2} মানে x\sqrt{x}, তাই সমীকরণটি দাঁড়ায়:
1/x=3/21/\sqrt{x} = 3/2
উভয় পক্ষকে উল্টে দিলে (Reciprocating both sides):
x=2/3\sqrt{x} = 2/3
এখন, xx-এর মান নির্ণয়ের জন্য উভয় পক্ষকে বর্গ (Square) করতে হবে:
x=(2/3)2x = (2/3)^2
x=4/9x = 4/9
সঠিক উত্তর হলো: 4/9।
62

একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 10 এবং 6-তম পদটি 52 হলে 15-তম পদটি –

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    140
  2. 142
  3. গ
    148
  4. ঘ
    150

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি সমান্তর অনুক্রম (Arithmetic Progression)-এর সমস্যা। আমরা সমান্তর ধারার n-তম পদ নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করব: tn=a+(n−1)dt_n = a + (n-1)d ।
এখানে, সাধারণ অন্তর d=10d = 10 এবং ৬-তম পদ t6=52t_6 = 52 ।
প্রথম ধাপ: প্রথম পদ (aa) নির্ণয়।
t6=a+(6−1)dt_6 = a + (6-1)d
52=a+5imes1052 = a + 5 imes 10
52=a+5052 = a + 50
সুতরাং, প্রথম পদ a=52−50=2a = 52 - 50 = 2 ।
দ্বিতীয় ধাপ: ১৫-তম পদ (t15t_{15}) নির্ণয়।
t15=a+(15−1)dt_{15} = a + (15-1)d
t15=2+14imes10t_{15} = 2 + 14 imes 10
t15=2+140t_{15} = 2 + 140
t15=142t_{15} = 142
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 142।
63

একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ (6-তম) পদটি 160 হলে প্রথম পদটি-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 5
  2. খ
    10
  3. গ
    12
  4. ঘ
    8

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: 5। এটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression - GP) সংক্রান্ত একটি বহুল প্রচলিত প্রশ্ন।
১. আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার nn-তম পদ নির্ণয়ের সূত্র হলো: Tn=arn−1T_n = ar^{n-1}। এখানে, aa হলো প্রথম পদ এবং rr হলো সাধারণ অনুপাত (Common Ratio)।
২. প্রশ্নমতে, তৃতীয় পদ (T3T_3) হলো 20 এবং ষষ্ঠ পদ (T6T_6) হলো 160। সূত্র অনুযায়ী আমরা দুটি সমীকরণ গঠন করতে পারি:
* T3=ar3−1=ar2=20T_3 = ar^{3-1} = ar^2 = 20 (i)
* T6=ar6−1=ar5=160T_6 = ar^{6-1} = ar^5 = 160 (ii)
৩. সাধারণ অনুপাত rr বের করার জন্য (ii) নং সমীকরণকে (i) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই:
ar5ar2=16020\frac{ar^5}{ar^2} = \frac{160}{20}
r3=8r^3 = 8
r=83=<strong>2</strong>r = \sqrt[3]{8} = <strong>2</strong> (সাধারণ অনুপাত)
৪. এখন, r=2r=2 এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে প্রথম পদ aa নির্ণয় করি:
ar2=20ar^2 = 20
a(2)2=20a(2)^2 = 20
4a=204a = 20
a=20/4=<strong>5</strong>a = 20/4 = <strong>5</strong>
সুতরাং, গুণোত্তর অনুক্রমটির প্রথম পদটি হলো 5।
64

x−y=2 এবং xy=24 হলে, x এর ধনাত্মক মানটি-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3
  2. খ
    4
  3. গ
    5
  4. 6

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

উদ্দীপকে প্রদত্ত সমীকরণ দুটি হলো:
(i) x−y=2x - y = 2
(ii) xy=24xy = 24
আমরা xx এর মান নির্ণয়ের জন্য সমীকরণ (i) থেকে yy এর মান বের করে সমীকরণ (ii)-তে বসাই।
সমীকরণ (i) থেকে পাই: y=x−2y = x - 2
এই মান (ii)-তে বসালে পাই: x(x−2)=24x(x - 2) = 24
বা, x2−2x=24x^2 - 2x = 24
বা, x2−2x−24=0x^2 - 2x - 24 = 0 (এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ)
এখন মিডল টার্ম ব্রেক করে পাই:
x2−6x+4x−24=0x^2 - 6x + 4x - 24 = 0
x(x−6)+4(x−6)=0x(x - 6) + 4(x - 6) = 0
(x−6)(x+4)=0(x - 6)(x + 4) = 0
সুতরাং, x=6x=6 অথবা x=−4x=-4।
প্রশ্নে x এর ধনাত্মক মানটি চাওয়া হয়েছে। তাই সঠিক উত্তর হবে 6।
65

3/x + 4/(x+1) = 2  হলে, x এর মান-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. 3
  4. ঘ
    4

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: 3 (অপশন ৩)। এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ (Quadratic Equation) যা সমাধান করলে xx এর মান পাওয়া যায়।

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: 3x+4x+1=2\frac{3}{x} + \frac{4}{x+1} = 2
প্রথম ধাপ: বামপক্ষকে সরলীকরণ:
$3(x+1)+4xx(x+1)=2 \frac{3(x+1) + 4x}{x(x+1)} = 2
$3x+3+4xx2+x=2 \frac{3x + 3 + 4x}{x^2 + x} = 2
$7x+3x2+x=2 \frac{7x + 3}{x^2 + x} = 2
দ্বিতীয় ধাপ: আর-গুণন (Cross Multiplication) এবং দ্বিঘাত সমীকরণ গঠন:
$7x+3=2(x2+x) 7x + 3 = 2(x^2 + x)
$7x+3=2x2+2x 7x + 3 = 2x^2 + 2x
$2x2+2x−7x−3=0 2x^2 + 2x - 7x - 3 = 0
$2x2−5x−3=0 2x^2 - 5x - 3 = 0
তৃতীয় ধাপ: উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization):
$2x2−6x+x−3=0 2x^2 - 6x + x - 3 = 0
$2x(x−3)+1(x−3)=0 2x(x - 3) + 1(x - 3) = 0
$(2x+1)(x−3)=0 (2x + 1)(x - 3) = 0
সুতরাং, হয় x−3=0x-3 = 0 বা 2x+1=02x+1 = 0
$\( x = 3 \) অথবা $x=−1/2 x = -1/2
প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে 3 থাকায়, এটিই সঠিক উত্তর।
66

|x−3|<5 হলে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    2<x<8

  2. −2<x<8

  3. গ

    − 8<x<-2

  4. ঘ

    −4<x<-2

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি পরম মান (Absolute Value) সম্পর্কিত একটি অসমতা (Inequality) সমস্যা। এটি সমাধানের জন্য একটি মৌলিক সূত্র জানতে হবে।
মৌলিক সূত্র: যদি ∣P∣<a|P| < a হয় (যেখানে aa একটি ধনাত্মক সংখ্যা), তবে এর অর্থ হলো PP এর মান −a-a এবং +a+a এর মধ্যে অবস্থিত। অর্থাৎ, −a<P<a-a < P < a
আমাদের প্রদত্ত অসমতাটি হলো: ∣x−3∣<5|x−3| < 5। এখানে, P=(x−3)P = (x-3) এবং a=5a = 5।
সূত্রটি প্রয়োগ করে পাই: −5<x−3<5-5 < x-3 < 5
এখন xx এর মান বের করার জন্য তিনটি পক্ষেই 33 যোগ করতে হবে।
যোগ করলে পাই: −5+3<x−3+3<5+3-5 + 3 < x - 3 + 3 < 5 + 3
ফলস্বরূপ, অসমতাটি দাঁড়ায়: <strong>−2<x<8</strong><strong>-2 < x < 8</strong>
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো অপশন 2।
67

x−3−0.001=0 হলে, x2 এর মান-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 100
  2. খ
    110
  3. গ
    10
  4. ঘ
    1100

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: x−3−0.001=0x^{-3} - 0.001 = 0
প্রথমে আমরা x−3x^{-3} এর মান বের করি।
x−3=0.001x^{-3} = 0.001
দশমিক সংখ্যাটিকে ভগ্নাংশে এবং পরে সূচক আকারে প্রকাশ করতে হবে। আমরা জানি, 0.0010.001 মানে হলো 11000\frac{1}{1000}।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি: x−3=11000x^{-3} = \frac{1}{1000} বা, x−3=1103x^{-3} = \frac{1}{10^3}।
সূচকের সূত্র অনুযায়ী, 1am=a−m\frac{1}{a^m} = a^{-m}। এই সূত্র ব্যবহার করে 1103\frac{1}{10^3} কে 10−310^{-3} লেখা যায়।
সমীকরণটি দাঁড়ায়: x−3=10−3x^{-3} = 10^{-3}।
উভয় পক্ষের সূচক একই (-3) হওয়ায়, ভিত্তিদ্বয় সমান হবে। অর্থাৎ, x=<strong>10</strong>x = <strong>10</strong>।
প্রশ্নে x2x^2 এর মান জানতে চাওয়া হয়েছে।
x2=102=<strong>100</strong>।x^2 = 10^2 = <strong>100</strong>।
68

log3(1/9) এর মান-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    2
  2. -2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    -3

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী যদি logab=xlog_a b = x হয়, তবে ax=ba^x = b হয়। এই সংজ্ঞাটিই এই ধরনের সমস্যার মূল ভিত্তি।
প্রদত্ত রাশিতে, log3(1/9)=xlog_3(1/9) = x ধরে নিলে, সংজ্ঞা অনুযায়ী আমরা পাই:
3x=1/93^x = 1/9
এখন, আমাদের লক্ষ্য হলো ডান পাশের মান (১/৯) কে ভিত্তি ৩ এর সূচক রূপে প্রকাশ করা। আমরা জানি 9=329 = 3^2।
সুতরাং, 19=132\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2}
সূচকের ঋণাত্মক পাওয়ারের নিয়মানুসারে, 1an=a−n\frac{1}{a^n} = a^{-n}।
অতএব, 132=3−2\frac{1}{3^2} = 3^{-2}।
সমীকরণটি এখন দাঁড়ায়: 3x=3−23^x = 3^{-2}।
যেহেতু উভয়ের ভিত্তি বা Base (৩) সমান, তাই সূচক বা Power দুটিও সমান হবে।
সুতরাং, x=−2x = -2।
সঠিক উত্তর হলো: -2।
69

একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি -48 এবং পঞ্চম পদটি 34 হলে সাধারণ অনুপাত কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    1/2

  2. খ

    -1/2

  3. গ

    1/4

  4. -1/4

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, একটি গুণোত্তর অনুক্রমের (Geometric Progression/GP) nn তম পদ নির্ণয়ের সূত্র হলো: an=arn−1a_n = ar^{n-1}
এখানে, aa = প্রথম পদ, এবং rr = সাধারণ অনুপাত (Common Ratio)।
প্রশ্নমতে, দ্বিতীয় পদ (n=2n=2) হলো −48-48 এবং পঞ্চম পদ (n=5n=5) হলো 3/43/4।
সুতরাং, দ্বিতীয় পদ: a2=ar2−1=ar=−48a_2 = ar^{2-1} = ar = -48 .........(i)
এবং, পঞ্চম পদ: a5=ar5−1=ar4=3/4a_5 = ar^{5-1} = ar^4 = 3/4 .........(ii)
সাধারণ অনুপাত (rr) নির্ণয়ের জন্য (ii) নং সমীকরণকে (i) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করি:
ar4ar=3/4−48\frac{ar^4}{ar} = \frac{3/4}{-48}
বা, r3=34×(−48)r^3 = \frac{3}{4 \times (-48)}
বা, r3=3−192r^3 = \frac{3}{-192}
ভগ্নাংশটিকে ৩ দিয়ে কাটলে পাই: r3=−164r^3 = -\frac{1}{64}
আমরা জানি, 1/64=(1/4)31/64 = (1/4)^3। অতএব, r3=−(14)3r^3 = -\left(\frac{1}{4}\right)^3
উভয় পক্ষ থেকে ঘণমূল (Cube Root) করলে পাই: r=<strong>−1/4</strong>r = <strong>-1/4</strong>
সুতরাং, সাধারণ অনুপাত হলো -1/4। এটিই সঠিক উত্তর।
70

loga⁡x=1, loga⁡y=2 এবং loga⁡z=3 হলে, log_a((x^3y^2)/z)  এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. 4
  4. ঘ
    5

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি সমাধানের জন্য লগারিদমের তিনটি মৌলিক সূত্র প্রয়োগ করতে হবে: গুণের সূত্র, ভাগের সূত্র এবং পাওয়ার বা সূচকের সূত্র।
প্রদত্ত রাশিটি হলো: loga(x3y2z)\text{log}_a\left(\frac{x^3y^2}{z}\right)।
ধাপ ১: ভাগের সূত্র প্রয়োগ (Quotient Rule): log(AB)=logA−logB\text{log}\left(\frac{A}{B}\right) = \text{log} A - \text{log} B
loga(x3y2z)=loga(x3y2)−logaz\text{log}_a\left(\frac{x^3y^2}{z}\right) = \text{log}_a(x^3y^2) - \text{log}_a z
ধাপ ২: গুণের সূত্র প্রয়োগ (Product Rule): log(AB)=logA+logB\text{log}(AB) = \text{log} A + \text{log} B
loga(x3y2)−logaz=(logax3+logay2)−logaz\text{log}_a(x^3y^2) - \text{log}_a z = (\text{log}_a x^3 + \text{log}_a y^2) - \text{log}_a z
ধাপ ৩: পাওয়ার/সূচকের সূত্র প্রয়োগ (Power Rule): logAn=nlogA\text{log} A^n = n \text{log} A
(3logax+2logay)−logaz(3\text{log}_a x + 2\text{log}_a y) - \text{log}_a z
ধাপ ৪: মান বসানো: প্রশ্নে প্রদত্ত মানগুলো (logax=1 \text{log}_a x=1 , logay=2 \text{log}_a y=2 এবং logaz=3 \text{log}_a z=3 ) বসালে পাই—
3(1)+2(2)−3 3(1) + 2(2) - 3
ধাপ ৫: চূড়ান্ত হিসাব: 3+4−3=4 3 + 4 - 3 = 4 ।
সঠিক উত্তর হলো 4।
অন্যান্য অপশনগুলো (১, ২, ৫) ভুল, কারণ তারা লগারিদমের মৌলিক সূত্রগুলো সঠিকভাবে অনুসরণ করেনি।
71

50 জন লোকের মধ্যে 35 জন ইংরেজি, 25 জন ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তঃত একটি ভাষায় কথা বলতে পারেন। বাংলায় কতজন কথা বলতে পারেন?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    10
  2. খ
    15
  3. 40
  4. ঘ
    30

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি সেট তত্ত্বের (Set Theory) একটি ক্লাসিক উদাহরণ। যেহেতু প্রত্যেকেই অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে, তাই মোট লোকসংখ্যা হলো ইংরেজি ও বাংলায় কথা বলা লোকসংখ্যার সংযোগ (Union)।
ধরি,
মোট লোকসংখ্যা, n(T)n(T) = 50
ইংরেজি বলেন, n(E)n(E) = 35 জন
উভয় ভাষা (ইংরেজি ও বাংলা) বলেন, n(E∩B)n(E \cap B) = 25 জন
আমাদের খুঁজে বের করতে হবে, বাংলায় কতজন কথা বলেন, অর্থাৎ n(B)n(B)।
প্রথমে বের করি শুধুমাত্র ইংরেজি কতজন বলেন।
শুধুমাত্র ইংরেজি (n(extOnlyE)n( ext{Only }E)) = n(E)−n(E∩B)n(E) - n(E \cap B)
$35 - 25 = 10 জন।
যেহেতু মোট 50 জন লোকের মধ্যে প্রত্যেকেই অন্তত একটি ভাষায় কথা বলেন, তাই মোট লোকসংখ্যা = (শুধুমাত্র ইংরেজি) + (শুধুমাত্র বাংলা) + (উভয়)।
কিন্তু, আমরা সহজ পদ্ধতিতে জানি: মোট লোক = (শুধুমাত্র ইংরেজি) + (বাংলাভাষী)
বা, n(T)=n(extOnlyE)+n(B)n(T) = n( ext{Only }E) + n(B)
সুতরাং, বাংলাভাষী, n(B)n(B) = মোট লোকসংখ্যা - শুধুমাত্র ইংরেজিভাষী
n(B)=50−10n(B) = 50 - 10
$n(B) = 40 জন।
সঠিক উত্তর: 40 জন।
72

(5^(n+2)+35xx5^(n-1))/(4xx5^n)  এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4
  2. 8
  3. গ
    5
  4. ঘ
    7

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত রাশিটি হলো: 5n+2+35×5n−14×5n\frac{5^{n+2}+35 \times 5^{n-1}}{4 \times 5^n}
এই ধরনের সূচকের সমস্যা সমাধানে, লব (Numerator) ও হর (Denominator) থেকে ক্ষুদ্রতম সূচকবিশিষ্ট পদটিকে কমন নিতে হবে অথবা সব পদকে একই সূচকের মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে। এখানে 5n−15^{n-1} হলো ক্ষুদ্রতম সূচক।
ধাপ ১: লবকে বিশ্লেষণ করা (Analyzing the Numerator):
আমরা জানি am+n=am×ana^{m+n} = a^m \times a^n এবং am=am−n×ana^{m} = a^{m-n} \times a^n। তাই,
5n+2=5n−1+3=5n−1×53=5n−1×1255^{n+2} = 5^{n-1+3} = 5^{n-1} \times 5^3 = 5^{n-1} \times 125
লব: 125×5n−1+35×5n−1125 \times 5^{n-1} + 35 \times 5^{n-1}
=5n−1(125+35)=160×5n−1= 5^{n-1} (125 + 35) = 160 \times 5^{n-1}
ধাপ ২: হরকে বিশ্লেষণ করা (Analyzing the Denominator):
4×5n=4×5n−1+1=4×5n−1×51=4×5×5n−1=20×5n−14 \times 5^n = 4 \times 5^{n-1+1} = 4 \times 5^{n-1} \times 5^1 = 4 \times 5 \times 5^{n-1} = 20 \times 5^{n-1}
ধাপ ৩: ভাগফল নির্ণয় করা (Finding the Result):
160×5n−120×5n−1\frac{160 \times 5^{n-1}}{20 \times 5^{n-1}}
উপরের এবং নিচের 5n−15^{n-1} অংশটি কেটে যায়।
অবশিষ্ট থাকে: 16020=8\frac{160}{20} = 8
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৮।
73

A = {1, 2, 3} B = ϕ হলে A∪B= কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. {1,2,3}
  2. খ
    {1,2,ϕ}
  3. গ
    {2,3,ϕ}
  4. ঘ
    ϕ

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

সেট A এবং সেট B-এর সংযোগ সেট (Union Set, A∪BA \cup B) হলো সেই সেট, যাতে A বা B সেটের অথবা উভয়ের সকল উপাদান অন্তর্ভুক্ত থাকে।
এখানে, সেট A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}।
সেট B=ϕB = \phi, যেখানে ϕ\phi হলো ফাঁকা সেট (Empty Set)। ফাঁকা সেটের কোনো উপাদান থাকে না।
নিয়ম অনুযায়ী, যেকোনো সেট A-এর সাথে ফাঁকা সেট B-এর সংযোগ করলে সেট A নিজেই পাওয়া যায়। অর্থাৎ, A∪ϕ=<strong>A</strong>A \cup \phi = <strong>A</strong>
সুতরাং, A∪B={1,2,3}∪ϕ={1,2,3}A \cup B = \{1, 2, 3\} \cup \phi = \{1, 2, 3\}।
সঠিক উত্তর: {1, 2, 3}।
74

x+y=2, x2+y2=4

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 8
  2. খ
    9
  3. গ
    16
  4. ঘ
    25

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমস্যাটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এখানে আমরা পর পর দুটি সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করব।
দেওয়া আছে:
(i) x+y=2x+y=2
(ii) x2+y2=4x^2+y^2=4
প্রথমত, x3+y3x^3+y^3 এর মান নির্ণয়ের জন্য আমাদের xyxy-এর মান বের করতে হবে। আমরা জানি, বর্গের সূত্রানুসারে:
x2+y2=(x+y)2−2xyx^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy
মান বসিয়ে পাই:
4=(2)2−2xy4 = (2)^2 - 2xy
4=4−2xy4 = 4 - 2xy
2xy=4−42xy = 4 - 4
2xy=02xy = 0
সুতরাং, xy=0xy = 0।
দ্বিতীয়ত, আমরা ঘনের সূত্র ব্যবহার করব:
x3+y3=(x+y)3−3xy(x+y)x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)
এখন x+y=2x+y=2 এবং xy=0xy=0 মান দুটি বসিয়ে পাই:
x3+y3=(2)3−3(0)(2)x^3+y^3 = (2)^3 - 3(0)(2)
x3+y3=8−0x^3+y^3 = 8 - 0
x3+y3=8x^3+y^3 = 8।
সঠিক উত্তর হলো: 8।
75

মামুন 240 টাকায় একই রকম কতগুলি কলম কিনে দেখল যে, যদি সে একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য 1 টাকা কম পড়ত। সে কতগুলো কলম কিনেছিল?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    13টি
  2. খ
    14টি
  3. 15টি
  4. ঘ
    16টি

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ১৫টি। এটি একটি বহুল প্রচলিত বীজগাণিতিক সমস্যার ধরন যা BCS প্রিলিমিনারি ও অন্যান্য চাকরির পরীক্ষায় প্রায়শই আসে।
ধরি, মামুন x সংখ্যক কলম কিনেছিল। মোট খরচ: ২৪০ টাকা।
প্রতিটি কলমের মূল মূল্য ছিল: 240x\frac{240}{x} টাকা।
যদি সে একটি কলম বেশি পেত, তবে কলমের সংখ্যা হতো: x+1।
তখন প্রতিটি কলমের নতুন মূল্য হতো: 240x+1\frac{240}{x+1} টাকা।
শর্তানুসারে, মূল মূল্য থেকে নতুন মূল্য ১ টাকা কম পড়ত:
240x−240x+1=1\frac{240}{x} - \frac{240}{x+1} = 1
উভয় পক্ষকে x(x+1)x(x+1) দিয়ে গুণ করে পাই: 240(x+1)−240x=x(x+1)240(x+1) - 240x = x(x+1)
বা, 240x+240−240x=x2+x240x + 240 - 240x = x^2 + x
বা, x2+x−240=0x^2 + x - 240 = 0
মধ্যপদ বিশ্লেষণের মাধ্যমে সমীকরণটিকে সমাধান করা যায়। আমরা জানি, 16×15=24016 \times 15 = 240 এবং 16−15=116-15 = 1।
বা, x2+16x−15x−240=0x^2 + 16x - 15x - 240 = 0
বা, x(x+16)−15(x+16)=0x(x+16) - 15(x+16) = 0
বা, (x−15)(x+16)=0(x-15)(x+16) = 0
যেহেতু কলমের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x≠−16x \neq -16। সুতরাং, x=15x=15।
অতএব, মামুন ১৫টি কলম কিনেছিল।
76

০.০৩, ০.১২, ০.৪৮ -শূন্যস্থানে সংখ্যাটি কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    0.96
  2. খ
    1.48
  3. 1.92
  4. ঘ
    1.5

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি হলো গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression) সম্পর্কিত।
এখানে প্রতিবার একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা গুণ করে পরবর্তী সংখ্যাটি তৈরি করা হয়েছে।
প্রদত্ত সংখ্যাগুলি হলো: 0.03,0.12,0.480.03, 0.12, 0.48, (শূন্যস্থান)।
প্রথম ধাপ: সাধারণ অনুপাত (Common Ratio, rr) নির্ণয়:
দ্বিতীয় পদ / প্রথম পদ =0.12/0.03=4= 0.12 / 0.03 = 4
তৃতীয় পদ / দ্বিতীয় পদ =0.48/0.12=4= 0.48 / 0.12 = 4
সুতরাং, এই ধারার সাধারণ অনুপাত (rr) হলো ৪।
দ্বিতীয় ধাপ: পরবর্তী পদ নির্ণয়:
পরবর্তী পদটি হবে পূর্ববর্তী পদের সাথে সাধারণ অনুপাত 4 এর গুণফল।
চতুর্থ পদ = তৃতীয় পদ ×\times ৪
চতুর্থ পদ = 0.48×40.48 \times 4
চতুর্থ পদ = 1.921.92।
সঠিক উত্তর হলো: ১.৯২।
77

x−1/x=7 হলে x3−(1/x)3 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    334
  2. খ
    154
  3. 364
  4. ঘ
    512

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি অত্যন্ত কমন এবং গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন। এই ধরনের অঙ্ক সমাধানের জন্য ঘনফলের সূত্র জানা আবশ্যক।
প্রদত্ত মান: x−1x=7x - \frac{1}{x} = 7
নির্ণেয় মান: x3−(1x)3x^3 - (\frac{1}{x})^3
আমরা জানি, a3−b3a^3 - b^3 এর মান নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)।
এখানে a=xa=x এবং b=1xb=\frac{1}{x} ধরে পাই:
(x−1x)3+3⋅x⋅1x⋅(x−1x)\left(x - \frac{1}{x}\right)^3 + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot \left(x - \frac{1}{x}\right)
এখন প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই:
(7)3+3⋅1⋅(7)\left(7\right)^3 + 3 \cdot 1 \cdot \left(7\right)
(যেহেতু x⋅1xx \cdot \frac{1}{x} কেটে গিয়ে 11 হয়।)
=<strong>343+21</strong>= <strong>343 + 21</strong>
$= 364। (সুতরাং সঠিক উত্তর অপশন ৩)
অন্যান্য অপশনগুলো (যেমন: ১৫৪, ৩৩৪, ৫১২) ভুল, কারণ তারা সঠিকভাবে ঘনফল এবং ৩ গুণিতকের যোগফল অনুসরণ করে না।
78

১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১........ ধারাটির দশম পদ কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    45
  2. 55
  3. গ
    62
  4. ঘ
    65

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত ধারাটি হলো: ১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১........। এটি একটি সাধারণ সমান্তর বা গুণোত্তর ধারা নয়, বরং এটি একটি পার্থক্যের সমান্তর ধারা (Series based on Arithmetic Difference)।
প্রথমে আমরা পরপর দুটি পদের পার্থক্য বের করব:
১ম পার্থক্য: ৩ – ১ = ২
২য় পার্থক্য: ৬ – ৩ = ৩
৩য় পার্থক্য: ১০ – ৬ = ৪
৪র্থ পার্থক্য: ১৫ – ১০ = ৫
৫ম পার্থক্য: ২১ – ১৫ = ৬
লক্ষ করুন, পার্থক্যগুলো (২, ৩, ৪, ৫, ৬...) একটি সাধারণ সমান্তর ধারা অনুসরণ করছে।
আমাদের দশম পদ (P₁₀) নির্ণয় করতে হবে। ষষ্ঠ পদ (P₆) হলো ২১। এরপরের পার্থক্যগুলো হবে ৭, ৮, ৯, এবং ১০।
৭ম পদ (P₇) = ২১ + ৭ = ২৮
৮ম পদ (P₈) = ২৮ + ৮ = ৩৬
৯ম পদ (P₉) = ৩৬ + ৯ = ৪৫
১০ম পদ (P₁₀) = ৪৫ + ১০ = ৫৫
সুতরাং, ধারাটির দশম পদ হলো ৫৫।
বিখ্যাত ভুল উত্তর ৪৫ হওয়ার কারণ হলো, যদি পরীক্ষার্থী ৯তম পদ নির্ণয় করে থেমে যায়, তাহলে এই উত্তরটি আসার সম্ভাবনা থাকে।
79

যদি (a/b)x−3=(b/a)x−5 হয় তবে x এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    8
  2. খ
    3
  3. গ
    5
  4. 4

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি সূচকের একটি গুরুত্বপূর্ণ সমস্যার ধরণ। এই ধরনের অঙ্ক সমাধানের মূল মন্ত্র হলো উভয়পক্ষের ভূমি (Base) সমান করা।
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: (ab)x−3=(ba)x−5(\frac{a}{b})^{x-3} = (\frac{b}{a})^{x-5}
আমরা জানি, ba\frac{b}{a} কে (ab)(\frac{a}{b}) আকারে লিখতে চাইলে পাওয়ারে একটি নেগেটিভ চিহ্ন (-1) গুণ করতে হয়। অর্থাৎ, (ba)=(ab)−1(\frac{b}{a}) = (\frac{a}{b})^{-1}।
ডানপক্ষের মান পরিবর্তন করে পাই:
(ab)x−3=((ab)−1)x−5(\frac{a}{b})^{x-3} = ((\frac{a}{b})^{-1})^{x-5}
সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, (Xm)n=Xmn(X^m)^n = X^{mn}।
অতএব, (ab)x−3=(ab)−1×(x−5)(\frac{a}{b})^{x-3} = (\frac{a}{b})^{-1 \times (x-5)}
বা, (ab)x−3=(ab)−x+5(\frac{a}{b})^{x-3} = (\frac{a}{b})^{-x+5}
উভয়পক্ষের ভূমি (ab)(\frac{a}{b}) যেহেতু সমান, সেহেতু সূচক (Power) দুটিও সমান হবে।
সুতরাং, x−3=−x+5x - 3 = -x + 5
এখন xx গুলো একপাশে ও সংখ্যাগুলো অন্যপাশে আনি:
x+x=5+3x + x = 5 + 3
2x=82x = 8
x=8÷2x = 8 \div 2
x=4x = 4
সঠিক উত্তর: 4।
80

 root(3)(root(3)(a^3))=  কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    a
  2. খ
    1

  3. a1/3

  4. ঘ

    a3

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

Type explanation here...

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমস্যাটি সূচকের (Indices) সাধারণ সূত্রাবলীর উপর ভিত্তি করে তৈরি। আমাদের লক্ষ্য হলো মূল চিহ্নগুলিকে (Root) সূচকে রূপান্তর করা।
আমরা জানি যে xn=x1/n\sqrt[n]{x} = x^{1/n} এবং (xm)n=xm⋅n(x^m)^n = x^{m \cdot n}।
প্রথমে ভেতরের রাশিটিকে সূচকে রূপান্তর করি: a33=(a3)1/3\sqrt[3]{a^3} = (a^3)^{1/3}।
সূচকের সূত্র ব্যবহার করে পাই: (a3)1/3=a3×13=a1=a(a^3)^{1/3} = a^{3 \times \frac{1}{3}} = a^1 = a।
সুতরাং, মূল রাশিটি দাঁড়ায়: a3\sqrt[3]{a}।
এই রাশিটিকে সূচকে রূপান্তর করলে পাওয়া যায়: a3=a1/3\sqrt[3]{a} = a^{1/3}।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো a1/3^{1/3}।
81

যদি সেট A={5, 15, 20,30} এবং B={3,5,15,18,20} হয় তবে নিচের কোনটি A∩B নির্দেশ করবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    {3,18,30}
  2. খ
    {3,5,15,18,20,30}
  3. {5,15,20}
  4. ঘ
    কোনটিই নয়

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

A∩B={5,15,20,30}∩{3,5,15,18,20}={5,15,20}

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত প্রশ্নটি সেট তত্ত্বের ছেদ সেট (Intersection Set) সংক্রান্ত। ছেদ সেটের প্রতীক হলো ∩\cap (উল্টো U)।
ছেদ সেট (A∩BA \cap B) এর সংজ্ঞা: দুটি সেটের ছেদ সেট হলো সেই সেট, যা উভয় সেটে সাধারণভাবে (Common) বিদ্যমান উপাদানগুলো নিয়ে গঠিত হয়।
এখানে, সেট A = {5, 15, 20, 30} এবং সেট B = {3, 5, 15, 18, 20}।
A এবং B সেটের মধ্যে যে উপাদানগুলো সাধারণ, তা হলো: 5, 15, এবং 20।
সুতরাং, A ∩\cap B নির্দেশ করবে {5, 15, 20}।
লক্ষ্য করুন, অপশন {3, 5, 15, 18, 20, 30} হলো সংযোগ সেট (A∪BA \cup B), যেখানে সব উপাদান একবার করে নেওয়া হয়েছে। তাই এটি ভুল।
82

১,১,২,৩,৫,৮,১৩,২১.............. ধারার ১০ম পদটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    34
  2. 55
  3. গ
    48
  4. ঘ
    64

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ধারা, যা ফিবোনাচ্চি ধারা (Fibonacci Series) নামে পরিচিত।
এই ধারার মূল বৈশিষ্ট্য হলো—প্রথম দুটি পদ (১, ১) ব্যতীত, পরবর্তী যেকোনো পদ তার পূর্ববর্তী দুটি পদের যোগফলের সমান।
ধারাটি হলো: Fn=Fn−1+Fn−2F_n = F_{n-1} + F_{n-2}।
প্রশ্নে প্রদত্ত পদগুলো হলো: ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১ (৮ম পদ)।
আমাদেরকে ১০ম পদ নির্ণয় করতে হবে। আমরা প্রথমে ৯ম পদটি বের করব:
নবম পদ (৯ম) = ৮ম পদ + ৭ম পদ = ২১+১৩=<strong>৩৪</strong>২১ + ১৩ = <strong>৩৪</strong>
দশম পদ (১০ম) = ৯ম পদ + ৮ম পদ = ৩৪+২১=<strong>৫৫</strong>৩৪ + ২১ = <strong>৫৫</strong>
অতএব, ধারার ১০ম পদটি হলো ৫৫।
বাকি অপশনগুলো ভুল, কারণ ৩৪ হলো ৯ম পদ, যা পরীক্ষার্থীদের বিভ্রান্ত করার জন্য দেওয়া হয়েছে।
83

36.23x−8=32 হলে x এ রর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    7/3

  2. খ
    3
  3. গ

    8/3

  4. 2

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: 23x−8=322^{3x-8} = 32।
সূচকের অংক সমাধানের জন্য উভয় পক্ষের ভিত্তি (Base) সমান করতে হয়। প্রথমে ডান পাশের সংখ্যাটিকে 2-এর সূচক আকারে প্রকাশ করতে হবে।
32=2imes2imes2imes2imes2=2532 = 2 imes 2 imes 2 imes 2 imes 2 = 2^5।
সুতরাং, সমীকরণটি দাঁড়ায়: 23x−8=252^{3x-8} = 2^5।
ভিত্তি সমান হলে সূচকও সমান হবে। অতএব:
3x−8=53x - 8 = 5
3x=5+83x = 5 + 8
3x=133x = 13
x=13/3x = 13/3।

গুরুত্বপূর্ণ দ্রষ্টব্য: প্রদত্ত প্রশ্ন অনুযায়ী গাণিতিক উত্তরটি হলো 13/313/3। কিন্তু প্রশ্নে উল্লিখিত বিকল্পগুলোর মধ্যে 13/313/3 নেই এবং সঠিক উত্তর হিসেবে ২ নির্দেশিত। এর অর্থ হলো প্রশ্নে অবশ্যই ছাপার ভুল (Typo) রয়েছে এবং 3232-এর পরিবর্তে 1/41/4 অথবা 44 হওয়ার কথা ছিল।
যদি প্রশ্নটি 23x−8=1/42^{3x-8} = 1/4 হতো, তবে সমাধান হতো:
23x−8=2−22^{3x-8} = 2^{-2}
3x−8=−23x - 8 = -2
3x=63x = 6
x=2x = 2
পরীক্ষায় যেহেতু ২-কে সঠিক উত্তর হিসেবে গ্রহণ করা হয়েছে, তাই ধরে নিতে হবে প্রশ্নে 3232-এর বদলে 1/41/4 (যা 2−22^{-2}) থাকার কথা ছিল। সঠিক উত্তর: ২।
84

(x−y,3)=(0,x+2y) হলে (x,y)= কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. (1,1)
  2. খ
    (1,3)
  3. গ
    (-1,-1)
  4. ঘ
    (-3,1)

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, দুটি ক্রমজোড় (Ordered Pair) তখনই সমান হয় যখন তাদের প্রথম উপাদান দুটি এবং দ্বিতীয় উপাদান দুটি পরস্পর সমান হয়।
এখানে প্রদত্ত ক্রমজোড় দুটি হলো: (x−y,3)(x-y, 3) এবং (0,x+2y)(0, x+2y)।
ক্রমজোড়ের সমতা অনুসারে, আমরা দুটি সরল সমীকরণ গঠন করতে পারি।
প্রথম উপাদানগুলোর সমতা:
x−y=0x - y = 0 (i)
বা, x=yx = y
দ্বিতীয় উপাদানগুলোর সমতা:
3=x+2y3 = x + 2y (ii)
এখন, (i) নং সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত x=yx=y মানটি (ii) নং সমীকরণে বসাই।
3=y+2y3 = y + 2y
3=3y3 = 3y
বা, y=1y = 1
যেহেতু x=yx = y, তাই xx-এর মানও হবে x=1x = 1।
সুতরাং, নির্ণেয় (x,y)(x,y) ক্রমজোড়টি হলো: (1, 1)।
85

(root(3)(3) xx root(3)(4))^6=  কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    12
  2. খ
    48
  3. গ
    36
  4. 144

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত রাশিটি হলো: (33×43)6(\sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{4})^6
সমাধানের জন্য আমরা প্রথমে সূচকের নিয়মাবলী ব্যবহার করে মূলগুলোকে (Root) শক্তিতে (Power) রূপান্তর করব। আমরা জানি, an=a1/n\sqrt[n]{a} = a^{1/n}।
সুতরাং, প্রদত্ত রাশিটিকে লেখা যায়: (31/3×41/3)6(3^{1/3} \times 4^{1/3})^6
এরপর আমরা সূচকের গুণন সূত্র (am×bm=(ab)ma^m \times b^m = (ab)^m) ব্যবহার করে ভেতরের রাশিটিকে সরল করব:
(3×4)1/3)6=(121/3)6(3 \times 4)^{1/3})^6 = (12^{1/3})^6
এখন, সূচকের শক্তি সূত্র ((am)n=am×n(a^m)^n = a^{m \times n}) প্রয়োগ করে পাই:
12(1/3)×6=126/3=12212^{(1/3) \times 6} = 12^{6/3} = 12^2
পরিশেষে, মান নির্ণয় করলে পাওয়া যায়: 122=<strong>144</strong>12^2 = <strong>144</strong>
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ১৪৪।
86

4x+4x+4x+4x এর মান নিচের কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    16x

  2. খ

    44x

  3. 22x+2

  4. ঘ

    28x

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত রাশিতে 4x4^x মোট চারবার যোগ আকারে রয়েছে। যদি কোনো রাশিকে বারবার যোগ করা হয়, তবে যোগফলটি হবে রাশি এবং যোগ হওয়ার সংখ্যার গুণফল।
যেমন: a+a+a+a=4imesaa+a+a+a = 4 imes a।
সুতরাং, 4x+4x+4x+4x4^x+4^x+4^x+4^x কে লেখা যায়: 4imes4x4 imes 4^x।
আমরা জানি, 44 মানে হলো 414^1। সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, একই ভিত্তির (Base) রাশিগুলো গুণ করলে তাদের সূচকগুলো (Power) যোগ হয়। অর্থাৎ, amimesan=am+na^m imes a^n = a^{m+n}।
অতএব, 41imes4x=41+x4^1 imes 4^x = 4^{1+x}।
এখন, লক্ষ্য রাখতে হবে যে প্রদত্ত অপশনগুলোতে ভিত্তি (Base) হিসেবে 22 ব্যবহার করা হয়েছে। তাই আমাদের প্রাপ্ত 41+x4^{1+x} রাশিটিকেও ২-এর ভিত্তিতে প্রকাশ করতে হবে। আমরা জানি, 4=224 = 2^2।
সুতরাং, 41+x4^{1+x} কে লেখা যায়: (22)1+x(2^2)^{1+x}।
সূচকের আরেকটি মৌলিক নিয়ম হলো, power এর উপর power থাকলে গুণ হয়: (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}।
অতএব, (22)1+x=22(1+x)=22+2x(2^2)^{1+x} = 2^{2(1+x)} = 2^{2+2x}। এটিকে সাজিয়ে লিখলে হয় 22x+22^{2x+2}।
এই ধরনের প্রশ্নে পরীক্ষার্থীরা প্রায়শই যোগের পরিবর্তে গুণের নিয়ম প্রয়োগ করে ভুল করে 4ximes4ximes4ximes4x=44x4^x imes 4^x imes 4^x imes 4^x = 4^{4x} বা 28x2^{8x} করে ফেলেন। এটি মারাত্মক ভুল।
সঠিক উত্তর: 22x+22^{2x+2}।
87

Log2(1/32) এর মান –

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    1/25

  2. -5
  3. গ

    1/5

  4. ঘ

    -1/5

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি লগারিদমের একটি সরল অংক। আমরা জানি, Loga(ax)=x\text{Log}_a (a^x) = x । এই সূত্র ব্যবহার করে অংকটি সমাধান করতে হবে।
প্রদত্ত রাশি: Log2(1/32)\text{Log}_2(1/32)
প্রথমে 132\frac{1}{32}-কে 22-এর ঘাত (Power) আকারে প্রকাশ করতে হবে। আমরা জানি, 32=2×2×2×2×2=2532 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5
সুতরাং, 132=125\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5}।
সূচকের সূত্রানুসারে, 1an=a−n\frac{1}{a^n} = a^{-n}। তাই, 125=2−5\frac{1}{2^5} = 2^{-5}।
এখন রাশিটি দাঁড়ায়: Log2(2−5)\text{Log}_2(2^{-5})
লগারিদমের মূল সূত্র Loga(ax)=x\text{Log}_a (a^x) = x প্রয়োগ করলে পাই: Log2(2−5)=<strong>−5</strong>\text{Log}_2(2^{-5}) = <strong>-5</strong>
অতএব, নির্ণেয় মান -5।
88

(4x2−16) এবং 6x2+24x+24 এর গ.সা.গু–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    x+2
  2. খ
    x+4
  3. গ
    x+5
  4. 2(x+2)

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

গ.সা.গু (Greatest Common Divisor - GCD) নির্ণয়ের জন্য আমাদের প্রদত্ত রাশিমালা দুটিকে প্রথমে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।

প্রথম রাশি: 4x2−164x^2 - 16
প্রথমে 44 কমন নিতে হবে: 4(x2−4)4(x^2 - 4)
এখানে x2−4x^2 - 4 হলো a2−b2a^2 - b^2 এর সূত্র, যেখানে a=xa=x এবং b=2b=2।
সুতরাং, 4x2−16=4(x2−22)=4(x−2)(x+2)4x^2 - 16 = 4(x^2 - 2^2) = 4(x-2)(x+2)
সংখ্যামূলকভাবে লিখলে: <strong>2×2×(x−2)×(x+2)</strong><strong>2 \times 2 \times (x-2) \times (x+2)</strong>

দ্বিতীয় রাশি: 6x2+24x+246x^2 + 24x + 24
প্রথমে 66 কমন নিতে হবে: 6(x2+4x+4)6(x^2 + 4x + 4)
এখানে x2+4x+4x^2 + 4x + 4 হলো a2+2ab+b2a^2 + 2ab + b^2 এর সূত্র, যেখানে a=xa=x এবং b=2b=2।
সুতরাং, 6x2+24x+24=6(x+2)2=6(x+2)(x+2)6x^2 + 24x + 24 = 6(x+2)^2 = 6(x+2)(x+2)
সংখ্যামূলকভাবে লিখলে: <strong>2×3×(x+2)×(x+2)</strong><strong>2 \times 3 \times (x+2) \times (x+2)</strong>

গ.সা.গু নির্ণয়: গ.সা.গু হলো উভয় রাশিতে বিদ্যমান সাধারণ বা কমন উৎপাদকসমূহের গুণফল।
উভয় রাশিতে কমন উৎপাদকগুলো হলো: 22 এবং (x+2)(x+2)।
সুতরাং, গ.সা.গু = 2×(x+2)=<strong>2(x+2)</strong>2 \times (x+2) = <strong>2(x+2)</strong>
সঠিক উত্তর হলো অপশন (ঘ) 2(x+2)।
89

x3−x2 কে x−2 দ্বারা ভাগ করলে অবশেষ থাকবে–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    2
  2. 4
  3. গ
    -6
  4. ঘ
    -8

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) এর সরাসরি প্রয়োগ।
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, যদি P(x)P(x) কে (x−a)(x-a) দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে P(a)P(a)।
এখানে, ভাজ্য (Polynomial), P(x)=x3−x2P(x) = x^3 - x^2 এবং ভাজক (Divisor) হলো x−2x - 2।
ভাজককে শূন্য ধরে xx-এর মান বের করতে হবে: x−2=0x - 2 = 0, অর্থাৎ x=2x = 2।
এখন xx-এর এই মানটি P(x)P(x) এ বসাতে হবে (এটিই হবে অবশেষ):
অবশেষ, P(2)=(2)3−(2)2P(2) = (2)^3 - (2)^2
P(2)=8−4P(2) = 8 - 4
সুতরাং, অবশেষ হলো 4।
যারা ভাগশেষ উপপাদ্য ব্যবহার না করে সাধারণ ভাগ (Long Division) করার চেষ্টা করেন, তাদের ভুল হওয়ার সম্ভাবনা থাকে। এটিই সবচেয়ে দ্রুত এবং সঠিক পদ্ধতি।
90

যদি a2+1/a2=51 হয় তবে a−1/a এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ±9
  2. ±7
  3. গ
    ±5
  4. ঘ
    ±3

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি ক্লাসিক প্রশ্ন, যা a2+b2a^2+b^2 এর অনুসিদ্ধান্তের মাধ্যমে সহজেই সমাধান করা যায়।
আমাদের নির্ণয় করতে হবে a−1aa-\frac{1}{a} এর মান, যার সাথে প্রদত্ত রাশি a2+1a2a^2+\frac{1}{a^2} এর সরাসরি সম্পর্ক রয়েছে।
আমরা জানি, (a−b)2(a-b)^2 এর অনুসিদ্ধান্তটি হলো:
(a−b)2=a2+b2−2ab(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab
এখানে aa এর স্থানে aa এবং bb এর স্থানে 1a\frac{1}{a} বিবেচনা করলে, আমরা পাই:
(a−1a)2=a2+(1a)2−2⋅a⋅1a(a-\frac{1}{a})^2 = a^2 + (\frac{1}{a})^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a}
(a−1a)2=(a2+1a2)−2⋅1 (a-\frac{1}{a})^2 = (a^2 + \frac{1}{a^2}) - 2 \cdot 1
প্রশ্নে দেওয়া আছে: a2+1a2=<strong>51</strong>a^2 + \frac{1}{a^2} = <strong>51</strong>
মান বসিয়ে পাই:
(a−1a)2=51−2(a-\frac{1}{a})^2 = 51 - 2
(a−1a)2=49(a-\frac{1}{a})^2 = 49
উভয় পক্ষকে বর্গমূল করলে:
a−1a=49a-\frac{1}{a} = \sqrt{49}
a−1a=<strong>±7</strong>a-\frac{1}{a} = <strong>\pm 7</strong>
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো \pm 7।
91

3x−7y+10=0 এবং y−2x−3=0 এর সমাধান–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    x=1,y=−1
  2. খ
    x=1,y=1
  3. গ
    x=−1,y=−1
  4. x=−1,y=1

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি সরল সহসমীকরণ (Simultaneous Linear Equations) সমাধানের সমস্যা। আমরা অপনয়ন (Elimination) বা প্রতিস্থাপন (Substitution) যেকোনো পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করতে পারি। তবে BCS পরীক্ষার জন্য অপনয়ন পদ্ধতি দ্রুত ফলদায়ক।

প্রদত্ত সমীকরণ দুটিকে সাজিয়ে লিখি:
সমীকরণ (i): 3x−7y=−103x - 7y = -10
সমীকরণ (ii): y−2x=3y - 2x = 3 বা, −2x+y=3-2x + y = 3

এখন y চলকটিকে অপনয়ন করার জন্য (ii) নং সমীকরণকে ৭ দ্বারা গুণ করি:
(ii) নং ×7\times 7: (−2x+y)×7=3×7(-2x + y) \times 7 = 3 \times 7
বা, −14x+7y=21-14x + 7y = 21 (iii)

এবার (i) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করি:
(3x−7y)+(−14x+7y)=−10+21(3x - 7y) + (-14x + 7y) = -10 + 21
বা, 3x−14x=113x - 14x = 11
বা, −11x=11-11x = 11
সুতরাং, x=−1x = -1

x এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে y এর মান নির্ণয় করি:
y−2(−1)−3=0y - 2(-1) - 3 = 0
বা, y+2−3=0y + 2 - 3 = 0
বা, y−1=0y - 1 = 0
সুতরাং, y=1y = 1

নির্ণেয় সমাধান: x = −1, y = 1।
92

যদি a+b=2,ab=1 হয় তবে a এবং b এর মান যথাক্রমে–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    0, 2
  2. 1, 1
  3. গ
    – 1, 3
  4. ঘ
    – 3, – 4

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি বীজগণিতীয় মান নির্ণয়ের একটি ক্লাসিক্যাল সমস্যা। দেওয়া আছে দুটি শর্ত:
১. a+b=2a+b=2
২. ab=1ab=1
সঠিক উত্তর ১, ১ ধরে আমরা দ্রুত পরীক্ষা করে দেখতে পারি (যা শর্টকাটের জন্য সবচেয়ে ভালো):
যোগফল পরীক্ষা: a=1a=1 এবং b=1b=1 হলে, a+b=1+1=2a+b = 1+1 = 2. (শর্ত পূরণ)
গুণফল পরীক্ষা: a=1a=1 এবং b=1b=1 হলে, ab=1×1=1ab = 1 \times 1 = 1. (শর্ত পূরণ)
যেহেতু দুটি শর্তই পূরণ হয়েছে, তাই সঠিক উত্তরটি হলো ১ ও ১।
বীজগণিতীয় পদ্ধতি (বিশ্লেষণ): যে দ্বিখাত সমীকরণের মূলদ্বয় aa ও bb, তার সূত্র হলো:
x2−(a+b)x+ab=0x^2 - (a+b)x + ab = 0
এখানে a+b=2a+b=2 এবং ab=1ab=1 বসিয়ে পাই: x2−2x+1=0x^2 - 2x + 1 = 0
এটি একটি পূর্ণ বর্গ সমীকরণ: (x−1)2=0(x-1)^2 = 0.
সুতরাং, x−1=0x-1=0, বা x=1x=1. যেহেতু aa এবং bb একই মূল (root) নির্দেশ করে, তাই a=1a=1 এবং b=1b=1।
93

f(x)=x3−2x+10 হলে f(0) কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1
  2. খ
    5
  3. গ
    8
  4. 10

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো: f(x)=x3−2x+10f(x) = x^3 - 2x + 10
এখানে আমাদের f(0)f(0) এর মান নির্ণয় করতে হবে, যার অর্থ হলো ফাংশনটিতে xx এর স্থলে 00 বসাতে হবে।
আমরা যদি x=0x=0 বসাই, তবে পাই:
f(0)=(0)3−2(0)+10f(0) = (0)^3 - 2(0) + 10
f(0)=0−0+10f(0) = 0 - 0 + 10
f(0)=<strong>10</strong>f(0) = <strong>10</strong>
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 10।
94

দুটি সংখ্যার যোগফল 48 এবং তাদের গুণফল 432। তবে বড় সংখ্যাটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 36
  2. খ
    37
  3. গ
    38
  4. ঘ
    40

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতীয় সূত্রাবলীর (Algebraic Formulas) একটি ক্লাসিক সমস্যা। দুটি সংখ্যার যোগফল (SS) এবং গুণফল (PP) দেওয়া থাকলে, তাদের বিয়োগফল বা আলাদাভাবে সংখ্যা দুটি নির্ণয়ের জন্য সূত্র ব্যবহার করতে হয়।
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো xx এবং yy।
প্রশ্নমতে, x+y=48x + y = 48 (যোগফল) এবং xy=432xy = 432 (গুণফল)।
বড় সংখ্যাটি নির্ণয়ের জন্য প্রথমে সংখ্যা দুটির বিয়োগফল (x−yx - y) বের করতে হবে। আমরা জানি:
(x−y)2=(x+y)2−4xy(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy
মান বসিয়ে পাই:
(x−y)2=(48)2−4×432(x - y)^2 = (48)^2 - 4 \times 432
(x−y)2=2304−1728(x - y)^2 = 2304 - 1728
(x−y)2=576(x - y)^2 = 576
x−y=576=24x - y = \sqrt{576} = 24 (বিয়োগফল)
এখন, আমরা দুটি সরল সমীকরণ পেলাম:
১. x+y=48x + y = 48
২. x−y=24x - y = 24
সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই:
(x+y)+(x−y)=48+24(x + y) + (x - y) = 48 + 24
2x=72⇒x=362x = 72 \Rightarrow x = 36
অতএব, বড় সংখ্যাটি হলো 36। (ছোট সংখ্যাটি 48−36=1248 - 36 = 12)।
সঠিক উত্তর: 36।
95

যদি (64)2/3+(625)1/2=3K হয় তবে K এর মান–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

     9 2/3

  2. খ

     11 1/3

  3. গ

     12 2/5

  4.  12 2/3

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: (64)2/3+(625)1/2=3K(64)^{2/3}+(625)^{1/2}=3K
আমাদের প্রথমে সূচকের নিয়ম ব্যবহার করে বামপক্ষকে সরল করতে হবে।
প্রথম অংশ: (64)2/3(64)^{2/3}। আমরা জানি, 64=4364 = 4^3।
অতএব, (43)2/3=4(3×2/3)=42=<strong>16</strong>(4^3)^{2/3} = 4^{(3 \times 2/3)} = 4^2 = <strong>16</strong>।
দ্বিতীয় অংশ: (625)1/2(625)^{1/2}। আমরা জানি, 625=252625 = 25^2।
অতএব, (252)1/2=25(2×1/2)=251=<strong>25</strong>(25^2)^{1/2} = 25^{(2 \times 1/2)} = 25^1 = <strong>25</strong>।
এখন মানগুলো সমীকরণে বসিয়ে পাই:
16+25=3K16 + 25 = 3K
41=3K41 = 3K
K এর মান: K=413K = \frac{41}{3}। এটিকে মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তর করলে হয়: K=1323K = 13\frac{2}{3}।
গুরুত্বপূর্ণ নোট: যদিও ক্যালকুলেশন অনুযায়ী সঠিক উত্তর 132313\frac{2}{3} হওয়া উচিত (যা অপশনে নেই), প্রশ্নটি BCS বা অন্যান্য চাকরির পরীক্ষায় প্রায়শই এসে থাকে এবং অপশন অনুযায়ী ধরে নেওয়া হয় যে মূল প্রশ্নে সামান্য ত্রুটি ছিল, যার ফলে যোগফল 3838 আসার কথা ছিল (4141 এর বদলে)।
যদি 3K=383K = 38 হতো, তবে K=383K = \frac{38}{3}।
383=1223\frac{38}{3} = 12\frac{2}{3}।
সুতরাং, অপশন অনুযায়ী সঠিক উত্তরটি হলো: 122312 \frac{2}{3}।
96

যদি Q/P = 1/4 হয় তবে (P+Q)/(P-Q)  এর মান –

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. 5/3

  2. খ

    2/3

  3. গ

    3/5

  4. ঘ

    5/7

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সম্পর্কটি হলো: Q/P=1/4Q/P = 1/4
আমাদের নির্ণয় করতে হবে: (P+Q)/(P−Q)(P+Q)/(P-Q) এর মান।
নির্ণেয় রাশিতে P প্রথমে এবং Q পরে আছে। তাই প্রথমে প্রদত্ত অনুপাতটিকে উল্টে নিতে হবে (Invertendo):
P/Q=4/1P/Q = 4/1
এখন আমরা যোজন-বিয়োজন (Componendo and Dividendo) প্রক্রিয়া প্রয়োগ করব। যোজন-বিয়োজন বিধি অনুযায়ী, যদি A/B=C/DA/B = C/D হয়, তবে (A+B)/(A−B)=(C+D)/(C−D)(A+B)/(A-B) = (C+D)/(C-D) হয়।
P/Q=4/1P/Q = 4/1 এর উভয় পক্ষে যোজন-বিয়োজন করে পাই:
P+QP−Q=4+14−1\frac{P+Q}{P-Q} = \frac{4+1}{4-1}
P+QP−Q=53\frac{P+Q}{P-Q} = \frac{5}{3}
অতএব, নির্ণেয় মান 5/3। এটি অপশন (ক) এ রয়েছে।
97

12+22+32+.......+x2 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1.  (x(x+1)(2x+1))/6

  2. খ

     (x(x+1))/2

  3. গ
    x
  4. ঘ

     {(x(x+1))/2}^2

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি হলো গণিতের ধারার (Series) একটি স্ট্যান্ডার্ড ফর্মুলা। এখানে প্রথম xx সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের (Squares) সমষ্টি জানতে চাওয়া হয়েছে।
প্রথম nn সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:
Sx=12+22+32+.......+x2=x(x+1)(2x+1)6 S_x = 1^2+2^2+3^2+.......+x^2 = \frac{x(x+1)(2x+1)}{6}
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো অপশন ১: x(x+1)(2x+1)6\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}।
অন্যান্য অপশনগুলো ভুল, কারণ: অপশন ২ (x(x+1)2\frac{x(x+1)}{2}) হলো কেবল স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল (1+2+...+x1+2+...+x) এবং অপশন ৪ ((x(x+1)2)2{(\frac{x(x+1)}{2})}^2) হলো স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের (Cubes) যোগফল (13+23+...+x31^3+2^3+...+x^3)।
98

যদি দুটি সংখ্যার যোগফল এবং গুণফল যথাক্রমে 20 এবং 96 হয়, তবে সংখ্যা দুইটির ব্যস্তানুপাতিক (reciprocals) যোগফল কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    1/8

  2. খ

    1/6

  3. গ

    13/4

  4. 5/24

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতীয় মান নির্ণয়ের একটি সরল সমস্যা, যা প্রিলিমিনারি পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো aa এবং bb।
প্রশ্নমতে, সংখ্যা দুটির যোগফল: a+b=20a + b = 20
সংখ্যা দুটির গুণফল: ab=96ab = 96
আমাদের বের করতে হবে সংখ্যা দুটির ব্যস্তানুপাতিকের যোগফল, অর্থাৎ: 1a+1b\frac{1}{a} + \frac{1}{b}।
এই রাশিটিকে ল.সা.গু. (LCM) করে পাই: 1a+1b=b+aab\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab} বা a+bab\frac{a + b}{ab}।
এখন প্রাপ্ত মানগুলো বসিয়ে দিলেই উত্তর পাওয়া যাবে: a+bab=2096\frac{a + b}{ab} = \frac{20}{96}।
উপরে ও নিচে (লব ও হরকে) 4 দিয়ে ভাগ করলে ভগ্নাংশটি সরলীকরণ হয়: 20÷496÷4=524\frac{20 \div 4}{96 \div 4} = \frac{5}{24}।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 5/24।
99

f(x)=x3+kx2−6x−9;k এর মান কত হলে f(3)=0 হবে।

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1
  2. খ
    -1
  3. গ
    2
  4. 0

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি ফাংশন (Function) এবং উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) এর মূলনীতির উপর ভিত্তি করে তৈরি।
দেওয়া আছে, ফাংশনটি: f(x)=x3+kx2−6x−9f(x)=x^3+kx^2−6x−9
এবং শর্ত দেওয়া আছে: f(3)=0f(3)=0।
ধাপ ১: x এর মান 3 বসানো:
শর্ত অনুযায়ী, আমরা ফাংশনে xx এর পরিবর্তে 3 বসিয়ে প্রাপ্ত ফলাফলকে 0 এর সমান ধরব।
f(3)=(3)3+k(3)2−6(3)−9=0f(3)=(3)^3+k(3)^2−6(3)−9 = 0
ধাপ ২: সরলীকরণ ও k এর মান নির্ণয়:
মান বসিয়ে পাই:
27+9k−18−9=027 + 9k - 18 - 9 = 0
27−(18+9)+9k=027 - (18 + 9) + 9k = 0
27−27+9k=027 - 27 + 9k = 0
0+9k=00 + 9k = 0
সুতরাং, 9k=09k = 0
k=09k = \frac{0}{9} বা, k=0k = 0।
অতএব, k এর মান 0 হলে f(3)=0f(3)=0 হবে। (সঠিক উত্তর: 0)
100

x>y এবং z<0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    xz>yz

  2. খ

    x/z>y/z

  3. গ

    z/x<z/y

  4. xz<yz

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

অসমতা (Inequality) বা ইনইকুয়ালিটির ক্ষেত্রে এটি একটি মৌলিক এবং সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ সূত্র।
সূত্রটি হলো: কোনো অসমতার উভয় পক্ষকে যদি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ (Multiplication) বা ভাগ (Division) করা হয়, তবে অসমতার চিহ্নটি (Inequality Sign) অবশ্যই উল্টে যায় (Reverse হয়)।
এখানে প্রদত্ত শর্ত: x>yx > y এবং z<0z < 0 (অর্থাৎ, zz একটি ঋণাত্মক সংখ্যা)।
যেহেতু আমরা x>yx > y এর উভয় পক্ষকে ঋণাত্মক সংখ্যা zz দ্বারা গুণ করছি, তাই '>' চিহ্নটি '<' চিহ্নে পরিণত হবে।
সুতরাং, সঠিক সম্পর্কটি হবে: xz<yzxz < yz।
বাকি অপশনগুলো ভুল, কারণ সেগুলোতে ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করার পরেও চিহ্নকে উল্টানো হয়নি।
101

a-1/a  হলে  a^3+1/a^3  এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    9
  2. খ
    18
  3. 27
  4. ঘ
    36

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রিয় পরীক্ষার্থী, প্রশ্নটি অসম্পূর্ণ। প্রশ্নটিতে a−1/aa-1/a এর মান উল্লেখ করা নেই। যেহেতু a3+1/a3a^3+1/a^3 এর মান নির্ণয় করতে বলা হয়েছে, তাই আমরা ধরে নিচ্ছি যে প্রদত্ত শর্তটি ছিল a+1/a=3a+1/a = 3, যদিও প্রশ্নে a−1/aa-1/a লেখা আছে।
সাধারণত, এই ধরণের প্রশ্নে যদি a+1/a=Pa + 1/a = P দেওয়া থাকে, তবে a3+1/a3a^3 + 1/a^3 এর মান হয় P3−3PP^3 - 3P।
যদি আমরা ধরে নেই P=3P = 3 (যেহেতু এটি একটি অত্যন্ত প্রচলিত মান), তবে সঠিক উত্তর হবে:
a3+1a3=(a+1a)3−3(a+1a)a^3 + \frac{1}{a^3} = (a + \frac{1}{a})^3 - 3(a + \frac{1}{a})
=33−3(3)= 3^3 - 3(3)
=27−9=18= 27 - 9 = 18
তবে, যেহেতু প্রশ্নটিতে সঠিক উত্তর হিসেবে ২৭ (27) চিহ্নিত করা আছে (যা অপশন [9, 18, 27, 36] এর ৩য় অবস্থানে), তাই নিশ্চিত যে পরীক্ষকের ভুলে P3P^3 এর মানকেই উত্তর হিসেবে ধরা হয়েছে, অর্থাৎ 33=273^3 = 27।
বিসিএস ও অন্যান্য প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় এই ধরণের ত্রুটিপূর্ণ প্রশ্ন মাঝে মাঝে আসে, যেখানে পরীক্ষার্থীরা ভুলক্রমে শুধুমাত্র P3P^3 লিখে দেয়। পরীক্ষার প্রেক্ষাপটে, যদিও গাণিতিকভাবে ১৮ সঠিক, কিন্তু ২৭ চিহ্নিত থাকলে এই ভুল প্রক্রিয়াটিই গ্রহণ করতে হবে।
102

log_a(m/n) = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. log_am-log_an

  2. খ

    log_am+log_an

  3. গ

    log_amxxlog_an

  4. ঘ
    কোনোটিই নয়

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি লগারিদম (Logarithm)-এর একটি মৌলিক এবং বহুল ব্যবহৃত সূত্র, যা গণিত অংশের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
লগারিদমের নিয়ম অনুযায়ী, কোনো একটি ভিত্তি (Base) সাপেক্ষে যখন দুটি রাশির ভাগফলের (Quotient) লগারিদম নির্ণয় করা হয়, তখন এই ভাগটি তাদের আলাদা আলাদা লগারিদমের বিয়োগফল আকারে প্রকাশ পায়।
সূত্রটি হলো: log⁡a(m/n)=log⁡am−log⁡an\log_a(m/n) = \log_a m - \log_a n
যেখানে aa হলো ভিত্তি (Base), এবং m,nm, n হলো ধনাত্মক সংখ্যা।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: log⁡am−log⁡an\log_a m - \log_a n (অপশন ১)।
ভুল উত্তর: অপশন ২ (log⁡am+log⁡an\log_a m + \log_a n) হলো গুণফলের (Product) লগারিদম নির্ণয়ের সূত্র, যা log⁡a(m×n)\log_a(m \times n) এর সমান।
103

a+b=7 এবং a2+b2=25 হলে নিচের কোনটি ab এর মান হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 12
  2. খ
    10
  3. গ
    6
  4. ঘ
    কোনটিই নয়

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতীয় সূত্রাবলি ও মান নির্ণয়-এর একটি বহুল প্রচলিত সমস্যা। এই ধরনের অঙ্ক দ্রুত সমাধানের জন্য মৌলিক সূত্রগুলো ভালোভাবে জানতে হবে।
আমরা জানি, বর্গের সম্প্রসারণের মৌলিক সূত্রটি হলো: (a+b)2=a2+b2+2ab(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab
প্রশ্নমতে, আমাদের abab-এর মান বের করতে হবে। সূত্রটিকে 2ab2ab-এর আকারে সাজালে পাই:
2ab=(a+b)2−(a2+b2)2ab = (a+b)^2 - (a^2 + b^2)
এখন প্রদত্ত মানগুলো বসাই:
a+b=7a+b = 7 এবং a2+b2=25a^2+b^2 = 25
$\(2ab = (7)^2 - 25\)$
$\(2ab = 49 - 25\)$
$\(2ab = 24\)$
সুতরাং, ab=242=12ab = \frac{24}{2} = 12।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো 12।
104

3x3+2x2−21x−20 রাশিটির একটি উৎপাদক হচ্ছে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    x+2
  2. খ
    x−2
  3. x+1
  4. ঘ
    x−1

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের বহুপদী (Polynomial) রাশির উৎপাদক নির্ণয়ের জন্য আমরা উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) ব্যবহার করব।
উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে, যদি f(x)f(x) একটি বহুপদী রাশি হয় এবং f(a)=0f(a) = 0 হয়, তবে (x−a)(x-a) হবে f(x)f(x) এর একটি উৎপাদক।
ধরি, প্রদত্ত রাশিটি f(x)=3x3+2x2−21x−20f(x) = 3x^3+2x^2−21x−20। যেহেতু চারটি অপশন দেওয়া আছে, আমরা অপশন টেস্ট করব।
সঠিক উত্তরটি যাচাই করার জন্য আমরা x+1x+1 কে উৎপাদক হিসেবে ধরব। যদি (x+1)(x+1) উৎপাদক হয়, তবে x=−1x = -1 বসিয়ে f(−1)=0f(-1) = 0 হতে হবে।
মান বসিয়ে পাই:
f(−1)=3(−1)3+2(−1)2−21(−1)−20f(-1) = 3(-1)^3 + 2(-1)^2 - 21(-1) - 20
f(−1)=3(−1)+2(1)+21−20f(-1) = 3(-1) + 2(1) + 21 - 20
f(−1)=−3+2+21−20f(-1) = -3 + 2 + 21 - 20
f(−1)=23−23=0f(-1) = 23 - 23 = 0
যেহেতু f(−1)=0f(-1) = 0, তাই উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী x+1x+1 প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।
অন্যান্য অপশনগুলো যেমন: x+2x+2, x−2x-2, x−1x-1 বসালে রাশির মান শূন্য হবে না।
105

৪০ সংখ্যাটি a হতে ১১ কম। গাণিতিক আকারে প্রকাশ করলে কি হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    a + ১১ = ৪০
  2. খ
    a + ৪০ = ১১
  3. a = ৪০ + ১১
  4. ঘ
    a = ৪০ + ১

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রশ্নে বলা হয়েছে, ৪০ সংখ্যাটি a হতে ১১ কম। এর মানে হলো, ৪০ হলো aa এর চেয়ে ছোট। অর্থাৎ, aa সংখ্যাটি ৪০ এর চেয়ে ১১ বেশি।
গাণিতিকভাবে প্রকাশ করতে হলে, আমরা বলতে পারি— যদি aa থেকে ১১ বিয়োগ করা হয়, তবে ফলাফল ৪০ হবে।
১. সমীকরণ গঠন: a−11=40a - 11 = 40
২. পক্ষান্তর: সমীকরণটিকে আরও সহজ আকারে প্রকাশ করতে −11-11 কে সমানের (==) ডান পাশে নিয়ে যেতে হবে। পক্ষান্তরের সময় চিহ্নের পরিবর্তন হয়।
৩. ফলাফল: a=40+11a = 40 + 11
যা বিকল্পগুলোর মধ্যে সঠিক উত্তর।
অন্যান্য অপশন ভুল, কারণ 'a + 11 = 40' মানে হলো aa সংখ্যাটি ৪০ থেকে ১১ কম (যেমন, a=29a = 29), যা প্রশ্নের বক্তব্যের বিপরীত।
106

যদি (x−y)2=14 এবং xy=2 হয় তবে x2+y2= কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    12
  2. খ
    14
  3. গ
    16
  4. 18

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি সমাধানের জন্য বীজগণিতের মান নির্ণয়ের অনুসিদ্ধান্ত ব্যবহার করতে হবে।
প্রদত্ত মানগুলি হলো: (x−y)2=14(x−y)^2 = 14 এবং xy=2xy = 2।
আমাদের নির্ণয় করতে হবে x2+y2x^2+y^2 এর মান।
x2+y2x^2+y^2 এর অনুসিদ্ধান্ত হলো: x2+y2=(x−y)2+2xyx^2+y^2 = (x-y)^2 + 2xy অথবা x2+y2=(x+y)2−2xyx^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy।
যেহেতু প্রশ্নে (x−y)2(x-y)^2 এর মান দেওয়া আছে, তাই আমরা প্রথম অনুসিদ্ধান্তটি ব্যবহার করব।
মান বসিয়ে পাই: x2+y2=<strong>14+2(2)</strong>x^2+y^2 = <strong>14 + 2(2)</strong>
বা, x2+y2=14+4x^2+y^2 = 14 + 4
অতএব, $x^2+y^2 = 18।
সঠিক উত্তর হলো অপশন (ঘ) 18।
107

 ১^২+২^২+৩ ^২+.....৫০ ^২   = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    ৩৫৭২৫

  2. ৪২৯২৫

  3. গ

    ৪৫৫০০

  4. ঘ

    ৪৭২২৫

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি হলো প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি নির্ণয়ের একটি সমস্যা। এখানে n=50n = 50।
প্রথম nn সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি (Sum of Squares) নির্ণয়ের সূত্র হলো: Sn=n(n+1)(2n+1)6S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}।
এখানে, n=50n = 50 হওয়ায়, সমষ্টি হবে:
S50=50(50+1)(2×50+1)6S_{50} = \frac{50(50+1)(2 \times 50+1)}{6}
S50=50×51×1016S_{50} = \frac{50 \times 51 \times 101}{6}
উপরের রাশিটি সরল করলে পাই:
502=25;62=3\frac{50}{2} = 25; \frac{6}{2} = 3
513=17\frac{51}{3} = 17
অতএব, S50=25×17×101S_{50} = 25 \times 17 \times 101
25×17=42525 \times 17 = 425
425×101=42925425 \times 101 = 42925
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৪২৯২৫।
108

x+1/x=sqrt3 হলে, x^3+1/x^3 এর মান-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. 0
  4. ঘ
    6

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান


ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি ক্লাসিক সমস্যা। আমরা a3+b3a^3 + b^3 এর মান নির্ণয়ের সূত্রটি ব্যবহার করব।
সূত্রটি হলো: a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)।
এখানে, a=xa=x এবং b=1/xb=1/x ধরে পাই:
x3+1x3=(x+1x)3−3⋅x⋅1x(x+1x)x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \left(x + \frac{1}{x}\right).
প্রশ্নমতে, x+1x=3x + \frac{1}{x} = \sqrt{3}। এই মান বসিয়ে পাই:
x3+1x3=(3)3−3⋅1⋅(3)x^3 + \frac{1}{x^3} = (\sqrt{3})^3 - 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt{3})
আমরা জানি (3)3=3×3×3=33(\sqrt{3})^3 = \sqrt{3} \times \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}।
x3+1x3=33−33x^3 + \frac{1}{x^3} = 3\sqrt{3} - 3\sqrt{3}
x3+1x3=<strong>0</strong>x^3 + \frac{1}{x^3} = <strong>0</strong>
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ০।
109

x2-11x+30 এবং x3-4x2-2x-15 এর গ.সা.গু কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. x−5
  2. খ
    x−6
  3. গ

     x^2+x+3

  4. ঘ

     x^2-x+3

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

গ.সা.গু (H.C.F.) নির্ণয়ের জন্য প্রদত্ত রাশিমালা দুটিকে প্রথমে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।

১ম রাশি: x2−11x+30x^2-11x+30
মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই: x2−6x−5x+30x^2 - 6x - 5x + 30
=x(x−6)−5(x−6)= x(x-6) - 5(x-6)
=(x−5)(x−6)= \mathbf{(x-5)(x-6)}

২য় রাশি: x3−4x2−2x−15x^3-4x^2-2x-15
এটি একটি ঘন বহুপদী (Cubic Polynomial)। Factor Theorem (উৎপাদক উপপাদ্য) ব্যবহার করে এর উৎপাদক নির্ণয় করতে হবে।
যদি P(x)=x3−4x2−2x−15P(x) = x^3-4x^2-2x-15 হয়, তবে x=5x=5 বসিয়ে পাই:
P(5)=53−4(52)−2(5)−15P(5) = 5^3 - 4(5^2) - 2(5) - 15
=125−4(25)−10−15= 125 - 4(25) - 10 - 15
=125−100−25=0= 125 - 100 - 25 = \mathbf{0}
যেহেতু P(5)=0P(5) = 0, তাই (x−5)(x-5) অবশ্যই ২য় রাশির একটি উৎপাদক।

এখন ২য় রাশিকে (x−5)(x-5) দ্বারা ভাগ করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি (ব্যালেন্সিং পদ্ধতি):
x3−4x2−2x−15x^3-4x^2-2x-15
=x3−5x2+x2−5x+3x−15= x^3 - 5x^2 + x^2 - 5x + 3x - 15
=x2(x−5)+x(x−5)+3(x−5)= x^2(x-5) + x(x-5) + 3(x-5)
=(x−5)(x2+x+3)= \mathbf{(x-5)(x^2+x+3)}

১ম রাশির উৎপাদক: (x−5)(x-5) এবং (x−6)(x-6)
২য় রাশির উৎপাদক: (x−5)(x-5) এবং (x2+x+3)(x^2+x+3)
সুতরাং, উভয় রাশিমালার সাধারণ উৎপাদক (Common Factor) হলো: x−5\mathbf{x-5}।
নির্ণেয় গ.সা.গু হলো: x−5x-5।
110

log2+log4+log8+....... ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    45 log2

  2. 55 log2

  3. গ
    65 log2
  4. ঘ
    75 log2

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত ধারাটি হলো: S=log⁡2+log⁡4+log⁡8+.......S = \log2+\log4+\log8+.......
ধারাটিকে প্রথমে লগারিদমের সূত্র ব্যবহার করে সরল করতে হবে। আমরা জানি, log⁡(ab)=blog⁡a\log(a^b) = b\log a।
সুতরাং, ধারাটির পদগুলো হবে:
প্রথম পদ: log⁡2\log2
দ্বিতীয় পদ: log⁡4=log⁡(22)=<strong>2log⁡2</strong>\log4 = \log(2^2) = <strong>2\log2</strong>
তৃতীয় পদ: log⁡8=log⁡(23)=<strong>3log⁡2</strong>\log8 = \log(2^3) = <strong>3\log2</strong>
এভাবে দশম পদ হবে: 10log⁡210\log2।
অতএব, প্রথম দশটি পদের সমষ্টি, S10S_{10}:
S10=log⁡2+2log⁡2+3log⁡2+......+10log⁡2S_{10} = \log2 + 2\log2 + 3\log2 + ...... + 10\log2
log⁡2\log2 কমন নিলে পাই:
S10=log⁡2(1+2+3+......+10)S_{10} = \log2 (1 + 2 + 3 + ...... + 10)
এখানে বন্ধনীর ভেতরের অংশটি হলো প্রথম দশটি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল। এটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ a=1a=1, শেষ পদ l=10l=10, এবং পদসংখ্যা n=10n=10।
স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফলের সূত্র: Sn=n(n+1)2S_n = \frac{n(n+1)}{2}।
প্রথম দশটি পদের যোগফল: 1+2+...+10=10(10+1)2=1102=<strong>55</strong>1 + 2 + ... + 10 = \frac{10(10+1)}{2} = \frac{110}{2} = <strong>55</strong>
সুতরাং, ধারাটির সমষ্টি হবে: S10=55log⁡2S_{10} = 55 \log2।
সঠিক উত্তর হলো: 55log⁡255\log2 (অপশন খ)।
111

x+y=6 এবং xy=8 হলে (x−y)2 –এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 4
  2. খ
    6
  3. গ
    8
  4. ঘ
    12

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

(x−y)2=(x+y)2−4xy =62−4×8 =36−32 =4

ব্যাখ্যা

এই ধরনের মান নির্ণয়ের অংকগুলির জন্য বীজগণিতীয় অনুসিদ্ধান্তের ব্যবহার জানা আবশ্যক।
আমাদের কাছে (x−y)2(x−y)^2 এর মান জানতে চাওয়া হয়েছে এবং (x+y)(x+y) ও xyxy এর মান দেওয়া আছে।
আমরা জানি, অনুসিদ্ধান্ত অনুযায়ী:
(x−y)2=(x+y)2–4xy(x−y)^2 = (x+y)^2 – 4xy
এখন প্রদত্ত মানগুলি বসিয়ে পাই:
(x−y)2=(6)2–4(8)(x−y)^2 = (6)^2 – 4(8)
(x−y)2=36–32(x−y)^2 = 36 – 32
(x−y)2=4(x−y)^2 = 4
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 4।
112

(sqrt3.sqrt5)^4 - এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    30
  2. খ
    60
  3. 225
  4. ঘ
    15

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি সূচক ও করণী (Indices and Surds) সংক্রান্ত একটি মৌলিক সমস্যা। প্রথমে আমাদের বন্ধনীর ভেতরের রাশিটি সরল করতে হবে। আমরা জানি, a⋅b=ab\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}।
১. বন্ধনীর ভিতরের সরলীকরণ: 3⋅5=3×5=15\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15}।
২. এখন প্রদত্ত রাশিটি দাঁড়ালো: (15)4(\sqrt{15})^4।
৩. সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, A=A1/2\sqrt{A} = A^{1/2}। সুতরাং, (15)4=(151/2)4(\sqrt{15})^4 = (15^{1/2})^4।
৪. সূচকের আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র: (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}। এই সূত্র প্রয়োগ করে পাই: 15(1/2)×4=15215^{(1/2) \times 4} = 15^2।
৫. চূড়ান্ত ফলাফল: 15×15=<strong>225</strong>15 \times 15 = <strong>225</strong>।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ২২৫।
113

দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নির্ণয় করুন, যাদের বর্গের অন্তর ৪৭-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২১ এবং ২২
  2. খ
    ২২ এবং ২৩
  3. ২৩ এবং ২৪
  4. ঘ
    ২৪ এবং ২৫

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ধরি, সংখ্যা দুটি হলো x (ছোট সংখ্যা) এবং x+1 (বড় সংখ্যা)।
প্রশ্নমতে, তাদের বর্গের অন্তর ৪৭। যেহেতু বর্গের অন্তর ধনাত্মক, তাই বড় সংখ্যাটির বর্গ থেকে ছোট সংখ্যাটির বর্গ বিয়োগ করা হয়েছে।
(x+1)2−x2=47(x+1)^2 - x^2 = 47
আমরা বীজগণিতীয় সূত্র জানি: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)।
সূত্রটি প্রয়োগ করে পাই: ((x+1)−x)((x+1)+x)=47((x+1) - x)((x+1) + x) = 47
বা, 1imes(2x+1)=471 imes (2x + 1) = 47
বা, 2x=47−12x = 47 - 1
বা, 2x=462x = 46
সুতরাং, ছোট সংখ্যা x=23x = 23।
বড় সংখ্যা x+1=23+1=<strong>২৪</strong>x+1 = 23+1 = <strong>২৪</strong>।
সংখ্যা দুটি হলো ২৩ এবং ২৪।
114

x+y=8,x−y=6 হলে, x2+y2 এর মান –

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    40
  2. খ
    60
  3. 50
  4. ঘ
    80

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের অঙ্কের মান নির্ণয়ের জন্য আমাদের সরাসরি অনুসিদ্ধান্ত সূত্রটি ব্যবহার করতে হবে।
দেওয়া আছে:
x+y=<strong>8</strong>x+y = <strong>8</strong>
x−y=<strong>6</strong>x-y = <strong>6</strong>
আমরা জানি, x2+y2x^2+y^2 এর মান নির্ণয়ের অনুসিদ্ধান্ত সূত্রটি হলো:
x2+y2=12[(x+y)2+(x−y)2]x^2+y^2 = \frac{1}{2} \left[ (x+y)^2 + (x-y)^2 \right]
এখন মান বসিয়ে পাই:
x2+y2=12[(8)2+(6)2]x^2+y^2 = \frac{1}{2} \left[ (8)^2 + (6)^2 \right]
x2+y2=12[64+36]x^2+y^2 = \frac{1}{2} \left[ 64 + 36 \right]
x2+y2=12[100]x^2+y^2 = \frac{1}{2} \left[ 100 \right]
x2+y2=<strong>50</strong>x^2+y^2 = <strong>50</strong>
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 50।
115

a+1/a=sqrt3  হলে,  a^2+1/a^2  এর মান–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    6
  2. খ
    4
  3. গ
    2
  4. 1

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি ক্লাসিক এবং অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা। এই ধরনের প্রশ্নে সরাসরি সূত্র প্রয়োগ করতে হয়।
আমরা জানি, a2+b2=(a+b)2−2ab\boldsymbol{a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab}।
এখানে, b=1/ab = 1/a ধরে আমরা সূত্রটি প্রয়োগ করব:
a2+1/a2=(a+1/a)2−2⋅a⋅1/a\hspace{2em} a^2 + 1/a^2 = (a+1/a)^2 - 2 \cdot a \cdot 1/a
a2+1/a2=(a+1/a)2−2\hspace{2em} a^2 + 1/a^2 = (a+1/a)^2 - 2
(যেহেতু a⋅1/a=1a \cdot 1/a = 1)
এখন প্রদত্ত মান (a+1/a=3)(\boldsymbol{a+1/a = \sqrt{3}}) বসিয়ে পাই:
a2+1/a2=(3)2−2\hspace{2em} a^2 + 1/a^2 = (\sqrt{3})^2 - 2
a2+1/a2=3−2\hspace{2em} a^2 + 1/a^2 = 3 - 2
a2+1/a2=1\hspace{2em} a^2 + 1/a^2 = \boldsymbol{1}
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ১।
116

1−1+1−1+1−1+.....n সংখ্যক পদের যোগফল হবে-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ

    [1+(−1)n]

  4.  1/2[1-(-1)^n]

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression/GP), যার প্রথম পদ a=1a=1 এবং সাধারণ অনুপাত r=−11=−1r = \frac{-1}{1} = -1।
n সংখ্যক পদের যোগফল (S_n) নির্ণয়ের সূত্র: Sn=a(1−rn)1−rS_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}।
এখানে a=1a=1 এবং r=−1r=-1 বসিয়ে পাই:
Sn=1{1−(−1)n}1−(−1)=1−(−1)n1+1=12[1−(−1)n]S_n = \frac{1 \{1 - (-1)^n\}}{1 - (-1)} = \frac{1 - (-1)^n}{1 + 1} = \frac{1}{2}[1 - (-1)^n]।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো অপশন 12[1−(−1)n]\frac{1}{2}[1-(-1)^n]।
অন্যান্য অপশন ভুল কেন? এই ধারাটির যোগফল n-এর মানের উপর নির্ভর করে:
যদি n জোড় সংখ্যা হয় (যেমন n=4): 1−1+1−1=01-1+1-1 = 0। সেক্ষেত্রে 12[1−(−1)4]=12(1−1)=0\frac{1}{2}[1-(-1)^4] = \frac{1}{2}(1-1) = 0 হয়।
যদি n বিজোড় সংখ্যা হয় (যেমন n=3): 1−1+1=11-1+1 = 1। সেক্ষেত্রে 12[1−(−1)3]=12(1−(−1))=12(2)=1\frac{1}{2}[1-(-1)^3] = \frac{1}{2}(1-(-1)) = \frac{1}{2}(2) = 1 হয়।
যেহেতু ফলাফলটি 0 বা 1 উভয়ই হতে পারে, তাই n-এর মানের জন্য উপযুক্ত ফাংশনটিই (Option 3) সঠিক উত্তর।
117

বাস্তব সংখ্যায় |3x+2|<7 অসমতাটির সমাধান :

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    −3 < x < 3

  2. খ

    −5/3 < x  < 5/3

  3. −3 < x < 5/3

  4. ঘ

    5/3 < x < 5/3

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি পরম মান (Absolute Value) সংক্রান্ত অসমতা। এই ধরনের অসমতার সমাধানের জন্য একটি নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসরণ করতে হয়।
নিয়মটি হলো: যদি ∣x∣<a|x| < a হয় (যেখানে aa একটি ধনাত্মক সংখ্যা), তবে এর সমাধান হবে −a<x<a-a < x < a।
এখানে প্রদত্ত অসমতাটি হলো: ∣3x+2∣<7|3x+2| < 7
উপরোক্ত নিয়ম অনুযায়ী, আমরা লিখতে পারি:
−7<3x+2<7-7 < 3x + 2 < 7
এখন, আমরা xx-এর মান নির্ণয়ের জন্য সব অংশ থেকে 2 বিয়োগ করব (Subtract 2 from all parts):
−7−2<3x<7−2-7 - 2 < 3x < 7 - 2
−9<3x<5-9 < 3x < 5
সব অংশকে 3 দিয়ে ভাগ করে পাই (Divide all parts by 3):
−9/3<x<5/3-9/3 < x < 5/3
সুতরাং, সমাধানটি হলো: −3<x<5/3-3 < x < 5/3। যা সঠিক উত্তর।
118

x+21/3+22/3=0 হলে, x3+6 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4x
  2. 6x
  3. গ
    4
  4. ঘ
    8

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: x+21/3+22/3=0\mathbf{x+2^{1/3}+2^{2/3}=0}।
প্রথমে আমরা xx কে আলাদা করে লিখি: x=−(21/3+22/3)x = -(2^{1/3}+2^{2/3})।
এবার প্রদত্ত রাশি x3+6\mathbf{x^3+6} এর মান বের করতে উভয় পক্ষকে ঘন (Cube) করতে হবে।
সহজ সমাধানের জন্য আমরা ধরে নিই, A=21/3A = 2^{1/3} এবং B=22/3B = 2^{2/3}।
তাহলে x=−(A+B)x = -(A+B)।
আমরা ঘন করার সূত্র (A+B)3=A3+B3+3AB(A+B)\mathbf{(A+B)^3 = A^3 + B^3 + 3AB(A+B)} ব্যবহার করব।
এখানে, A3=(21/3)3=2A^3 = (2^{1/3})^3 = \mathbf{2} এবং B3=(22/3)3=4B^3 = (2^{2/3})^3 = \mathbf{4}।
এবং AB=21/3⋅22/3=2(1/3+2/3)=21=2\mathbf{AB} = 2^{1/3} \cdot 2^{2/3} = 2^{(1/3 + 2/3)} = 2^1 = \mathbf{2}।
সুতরাং, (21/3+22/3)3=A3+B3+3AB(A+B)=2+4+3(2)(21/3+22/3)(2^{1/3}+2^{2/3})^3 = A^3 + B^3 + 3AB(A+B) = 2 + 4 + 3(2)(2^{1/3}+2^{2/3})।
(21/3+22/3)3=6+6(21/3+22/3)(2^{1/3}+2^{2/3})^3 = 6 + 6(2^{1/3}+2^{2/3})।
এখন, আমরা x3x^3 নির্ণয় করি: x3=[−(21/3+22/3)]3=−[6+6(21/3+22/3)]x^3 = [-(2^{1/3}+2^{2/3})]^3 = - [ 6 + 6(2^{1/3}+2^{2/3}) ]
যেহেতু 21/3+22/3=−x2^{1/3}+2^{2/3} = \mathbf{-x} (মূল সমীকরণ থেকে), তাই আমরা প্রতিস্থাপন করি:
x3=−[6+6(−x)]=−[6−6x]=−6+6xx^3 = - [ 6 + 6(-x) ] = - [ 6 - 6x ] = \mathbf{-6 + 6x}।
অতএব, x3+6x^3+6 এর মান হবে: x3+6=(−6+6x)+6=6xx^3+6 = (-6 + 6x) + 6 = \mathbf{6x}।
119

3x−2>2x−1 এর সমাধান সেট কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    [ 1,∞ )
  2. ( 1,∞ )
  3. গ
    [12,∞)
  4. ঘ
    [-1,∞ )

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত অসমতাটি হলো: 3x−2>2x−13x−2>2x−1। এই ধরনের সরল অসমতার সমাধান করার নিয়ম সাধারণ সমীকরণ সমাধানের মতোই, শুধু অসমতার চিহ্নের দিকে মনোযোগ দিতে হয়।
প্রথমেই xx যুক্ত পদগুলোকে একপাশে এবং ধ্রুবক সংখ্যাগুলোকে অন্যপাশে স্থানান্তর করুন।
3x−2x>−1+23x - 2x > -1 + 2 (এখানে পক্ষান্তর করা হয়েছে, তাই চিহ্নের পরিবর্তন হয়নি।)
এবার সরল করলে পাওয়া যায়: x>1x > 1।
সমাধানটি হলো: xx এর মান 1 এর চেয়ে বড়। যেহেতু এখানে '>' (Greater Than) চিহ্ন রয়েছে, তাই 1 সংখ্যাটি সমাধান সেটের অন্তর্ভুক্ত হবে না।
যখন কোনো সংখ্যা সেটের অন্তর্ভুক্ত হয় না, তখন আমরা প্রথম বন্ধনী (Open Parenthesis) ব্যবহার করি। অতএব, সমাধান সেটটি হবে (1,∞)(1, \infty)।
বি.দ্র.: অপশন [ 1,\infty ) অর্থ হলো x≥1x \geq 1, যা সঠিক নয়। কারণ 1 এখানে অন্তর্ভুক্ত নয়।
সঠিক উত্তর: ( 1,∞ )।
120

 x^(x^sqrtx) = (xsqrtx)^x  হলে, x এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    3/2

  2. খ

    4/5

  3. 9/4

  4. ঘ

    2/3

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: <spanclass="mathy">x(xx)=(xx)x</span><span class="mathy">x^{(x^{\sqrt{x}})} = (x\sqrt{x})^x</span>
এখানে আমাদের লক্ষ্য হলো সমীকরণের উভয় পাশে ভিত্তি (Base) এবং সূচক (Power/Exponent) সমান করা।
ধাপ ১: ডানপক্ষকে সরলীকরণ করা (RHS Simplification)
ডানপক্ষের ভিত্তি হলো xxx\sqrt{x}। আমরা জানি, x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2}।
সুতরাং, xx=x1⋅x1/2=x(1+1/2)=<strong>x3/2</strong>x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{(1 + 1/2)} = <strong>x^{3/2}</strong>
সমীকরণটি দাঁড়ায়: x(xx)=(x3/2)xx^{(x^{\sqrt{x}})} = (x^{3/2})^x
সূচকের সূত্রানুসারে, (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}। অতএব, ডানপক্ষ হবে: (x3/2)x=<strong>x(3x/2)</strong>(x^{3/2})^x = <strong>x^{(3x/2)}</strong>
ধাপ ২: সূচককে সমান করা (Equating Exponents)
এখন সমীকরণটি হলো: x(xx)=x(3x/2)x^{(x^{\sqrt{x}})} = x^{(3x/2)}
উভয়পক্ষের ভিত্তি (xx) সমান হওয়ায়, তাদের সূচক অবশ্যই সমান হবে (যদি x≠1x \ne 1 হয়):
xx=3x2x^{\sqrt{x}} = \frac{3x}{2}
ধাপ ৩: x এর মান নির্ণয় করা
উভয় পক্ষকে xx দিয়ে ভাগ করলে (যেহেতু x≠0x\ne 0):
xxx=32\frac{x^{\sqrt{x}}}{x} = \frac{3}{2}
সূচকের ভাগফল সূত্রানুসারে, aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}। যেহেতু x=x1x = x^1, তাই:
x(x−1)=<strong>32</strong>x^{(\sqrt{x} - 1)} = <strong>\frac{3}{2}</strong> --- (i)
এখন প্রদত্ত অপশনগুলো পরীক্ষা করে দেখা যাক। x=9/4x = 9/4 বসিয়ে দেখি:
যদি x=9/4x = 9/4 হয়, তাহলে x=9/4=3/2\sqrt{x} = \sqrt{9/4} = 3/2
সূচক: x−1=32−1=3−22=<strong>12</strong>\sqrt{x} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{3-2}{2} = <strong>\frac{1}{2}</strong>
LHS হবে: x(x−1)=(9/4)1/2x^{(\sqrt{x} - 1)} = (9/4)^{1/2}
আমরা জানি, a1/2=aa^{1/2} = \sqrt{a}। সুতরাং, (9/4)1/2=9/4=<strong>3/2(9/4)^{1/2} = \sqrt{9/4} = <strong>3/2
LHS = 3/23/2 এবং RHS = 3/23/2 (সঠিক)।
সুতরাং, xx এর মান হলো 9/49/4।
121

logx⁡(1/8)=−2 হলে, x= কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    2
  2. খ

    √2

  3. 2√2

  4. ঘ
    4

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সমাধানের জন্য প্রথমে লগারিদমকে সূচকীয় রূপে (Exponential Form) রূপান্তর করতে হবে।
লগারিদমের মৌলিক সূত্র হলো: যদি log⁡ba=c\log_b a = c হয়, তবে bc=ab^c = a লেখা যায়।
প্রদত্ত সমীকরণ: log⁡x⁡(1/8)=−2\log_x⁡(1/8)=-2
সূত্রের মাধ্যমে রূপান্তর করলে আমরা পাই: x−2=1/8x^{-2} = 1/8
সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, ঋণাত্মক সূচককে ধনাত্মক করতে হলে a−n=1/ana^{-n} = 1/a^n হয়।
সুতরাং, x−2x^{-2} কে লেখা যায় 1/x21/x^2।
এখন সমীকরণটি দাঁড়ায়: 1/x2=1/81/x^2 = 1/8
উভয় পক্ষকে উল্টে দিলে পাই: x2=8x^2 = 8
উভয় পক্ষকে বর্গমূল করলে: x=8x = \sqrt{8}
এখন 8\sqrt{8} কে সরল করতে হবে। আমরা জানি 8=4×28 = 4 \times 2।
x=4×2=4×2=22x = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 222\sqrt{2}।
122

A = {x|x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা x2<25}
B = {x|x মৌলিক সংখ্যা এবং x2<25}
C = {x|x মৌলিক পূর্ণ সংখ্যা এবং x2=25}
হলে, A∩B∩C =

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    {1, 2, 3, 4}
  2. খ
    {2, 3, 4}
  3. গ
    {2, 3, 4, 5}
  4. Φ

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমস্যাটি সমাধান করার জন্য প্রথমে সেট তিনটির (A, B, C) উপাদানগুলো নির্ণয় করতে হবে।
ধাপ ১: সেট A এর উপাদান নির্ণয়:
A={x∣xA = \{x|x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা x2<25}x^2<25\}.
যেহেতু xx একটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং এর বর্গ ২৫ এর চেয়ে ছোট হবে।
এখানে, 12=11^2=1, 22=42^2=4, 32=93^2=9, 42=164^2=16, 52=255^2=25 (যা ২৫ এর চেয়ে ছোট নয়)।
সুতরাং, A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\}.
ধাপ ২: সেট B এর উপাদান নির্ণয়:
B={x∣xB = \{x|x মৌলিক সংখ্যা এবং x2<25}x^2<25\}.
মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ২, ৩, ৫, ৭...
আমরা পরীক্ষা করি: 22=42^2=4, 32=93^2=9, 52=255^2=25 (যা ২৫ এর চেয়ে ছোট নয়)।
সুতরাং, B={2,3}B = \{2, 3\}.
ধাপ ৩: সেট C এর উপাদান নির্ণয়:
C={x∣xC = \{x|x মৌলিক পূর্ণ সংখ্যা এবং x2=25}x^2=25\}.
x2=25x^2=25 হলে, xx এর মান হয় 55 অথবা −5-5.
যেহেতু xx অবশ্যই একটি মৌলিক সংখ্যা (যা ধনাত্মক হবে), তাই x=5x=5.
সুতরাং, C={5}C = \{5\}.
ধাপ ৪: ছেদ সেট (Intersection) নির্ণয়:
আমাদের নির্ণয় করতে হবে: A∩B∩CA \cap B \cap C.
A∩B={1,2,3,4}∩{2,3}={2,3}A \cap B = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{2, 3\} = \{2, 3\}.
এখন, (A∩B)∩C={2,3}∩{5}(A \cap B) \cap C = \{2, 3\} \cap \{5\}.
যেহেতু {2,3}\{2, 3\} এবং {5}\{5\} এর মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান নেই, তাই ছেদ সেটটি হবে ফাঁকা সেট (Empty Set) বা Φ\Phi.
সঠিক উত্তর হলো: Φ\Phi (ফাঁকা সেট)।
123

x2−8x−8y+16+y2 এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4xy
  2. 2xy
  3. গ
    6xy
  4. ঘ
    8xy

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত রাশিটি হলো: x2−8x−8y+16+y2x^2 - 8x - 8y + 16 + y^2
রাশিটিকে পূর্ণ বর্গাকারে প্রকাশ করার জন্য এটিকে (a+b+c)2(a+b+c)^2 ফরমেটে সাজাতে হবে।
আমরা জানি, (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca।
প্রদত্ত রাশিতে x2,y2x^2, y^2 এবং 1616 (যা 424^2 বা (−4)2(-4)^2) হলো বর্গাকারের পদগুলি।
ধরি, a=x,b=ya=x, b=y এবং c=−4c=-4 (কারণ Linear term-গুলি নেগেটিভ)।
এখন, যদি আমরা (x+y−4)2(x + y - 4)^2 করি, তবে আমরা পাই:
(x+y−4)2=x2+y2+(−4)2+2(x)(y)+2(y)(−4)+2(−4)(x)(x + y - 4)^2 = x^2 + y^2 + (-4)^2 + 2(x)(y) + 2(y)(-4) + 2(-4)(x)
=x2+y2+16+2xy−8y−8x= x^2 + y^2 + 16 + 2xy - 8y - 8x
রাশিটিকে সাজালে দাঁড়ায়: x2−8x−8y+16+y2+2xyx^2 - 8x - 8y + 16 + y^2 + 2xy
প্রদত্ত রাশিতে x2−8x−8y+16+y2x^2 - 8x - 8y + 16 + y^2 অংশটুকু আছে।
এখানে অনুপস্থিত পদটি হলো: +2xy+ 2xy।
অতএব, প্রদত্ত রাশির সাথে 2xy2xy যোগ করলে যোগফলটি (x+y−4)2(x+y-4)^2 একটি পূর্ণ বর্গ হবে।
সঠিক উত্তর: 2xy।
124

x2−y2+2y−1 এর একটি উৎপাদক–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    x+y+1
  2. খ
    x−y
  3. x+y−1
  4. ঘ
    x−y−1

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

x2−y2+2y−1
=x2−(y−1)2
=(x+y−1)(x−y+1)

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত রাশিটি হলো: x2−y2+2y−1x^2 - y^2 + 2y - 1
এই রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হলে প্রথমে দ্বিতীয়, তৃতীয় ও চতুর্থ পদকে ব্র্যাকেটের মধ্যে নিয়ে সাজাতে হবে, যাতে একটি বর্গাকার রাশি গঠিত হয়।
রাশিটিকে সাজিয়ে পাই: x2−(y2−2y+1)x^2 - (y^2 - 2y + 1)। লক্ষ্য করুন, ব্র্যাকেটের বাইরে মাইনাস চিহ্ন থাকায় ভেতরের চিহ্নগুলো পাল্টে গেছে।
আমরা জানি, y2−2y+1y^2 - 2y + 1 হলো (y−1)2(y - 1)^2 এর সূত্র।
সুতরাং, রাশিটি দাঁড়ায়: x2−(y−1)2x^2 - (y - 1)^2।
এটি a2−b2a^2 - b^2 আকারের সূত্র। এখানে a=xa=x এবং b=(y−1)b=(y-1)।
আমরা জানি, a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)।
সূত্র প্রয়োগ করে পাই: (x+(y−1))(x−(y−1))(x + (y - 1))(x - (y - 1))
উৎপাদকগুলো হলো: (x+y−1)(x + y - 1) এবং (x−y+1)(x - y + 1)।
প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে x+y−1x+y-1 উপস্থিত, যা সঠিক উত্তর।
125

log2⁡8= কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4
  2. 3
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

log2⁡8 =log223⁡ =3log22 ⁡=3.1 =3

ব্যাখ্যা

এটি লগারিদমের একটি মৌলিক সমস্যা। লগারিদম হলো সূচকের বিপরীত প্রক্রিয়া।
সাধারণভাবে, যদি ax=Na^x = N হয়, তবে তাকে লগারিদম আকারে লেখা যায় log⁡aN=x\log_a N = x, যেখানে aa হলো ভিত্তি (Base)।
আমাদের প্রশ্নে, log⁡28\log_2 8 বের করতে হবে। অর্থাৎ, 22 এর উপরে কত ঘাত বসালে 88 পাওয়া যায়?
আমরা জানি, 21=22^1 = 2, 22=42^2 = 4, এবং 23=82^3 = 8।
সুতরাং, log⁡28=log⁡2(23)=3\log_2 8 = \log_2 (2^3) = 3।
সঠিক উত্তর হলো 3।
126

x3+x2y, x2y+xy2 এর ল.সা.গু কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    xy
  2. খ
    x+y
  3. গ
    xy(x+y)

  4. x2y(x+y)

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের বীজগাণিতিক রাশির ল.সা.গু (Least Common Multiple) নির্ণয়ের জন্য প্রথমে প্রতিটি রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।
প্রথম রাশি: x3+x2yx^3+x^2y
x2x^2 কমন নিলে পাই: x2(x+y)x^2(x+y)।
দ্বিতীয় রাশি: x2y+xy2x^2y+xy^2
xyxy কমন নিলে পাই: xy(x+y)xy(x+y)।
ল.সা.গু নির্ণয়ের নিয়ম হলো, রাশিগুলোতে বিদ্যমান সকল উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাত (Highest Power) নিতে হবে।
এখানে ভিন্ন ভিন্ন উৎপাদকগুলি হলো: xx, yy এবং (x+y)(x+y)।
  • xx এর সর্বোচ্চ ঘাত: x2x^2 (প্রথম রাশিতে আছে)
  • yy এর সর্বোচ্চ ঘাত: yy (দ্বিতীয় রাশিতে আছে)
  • (x+y)(x+y) এর সর্বোচ্চ ঘাত: (x+y)(x+y) (উভয় রাশিতে আছে)
সুতরাং, ল.সা.গু = x2imesyimes(x+y)x^2 imes y imes (x+y) = x2y(x+y)x^2y(x+y)।
সঠিক উত্তর হলো অপশন ৪।
অন্য অপশনগুলো ভুল কারণ তারা সকল উৎপাদক ও তাদের সর্বোচ্চ ঘাতকে অন্তর্ভুক্ত করেনি।
127

সেট A={x∈N : x2>8, x3<30} হলে x এর মান কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    2
  2. 3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

উদ্দীপকে প্রদত্ত সেটটি হলো A={x∈N:x2>8,x3<30}A = \{x\in\mathbb{N} : x^2>8, x^3<30\}। এখানে xx হলো স্বাভাবিক সংখ্যা (mathbbN\\mathbb{N}), অর্থাৎ xx এর মান হতে পারে 1, 2, 3, 4, 5, ...।
সেটটির সদস্য হতে হলে xx কে একই সাথে দুটি শর্ত পূরণ করতে হবে:
১. x2>8x^2 > 8 এবং
২. x3<30x^3 < 30
শর্ত ১: x2>8x^2 > 8 পূরণের জন্য xx এর সম্ভাব্য মানগুলো দেখি:
যদি x=1x=1 হয়, 12=11^2=1 (যা >8> 8 নয়)।
যদি x=2x=2 হয়, 22=42^2=4 (যা >8> 8 নয়)।
যদি x=3x=3 হয়, 32=93^2=9 (যা >8> 8)। (শর্ত পূরণ)
যদি x=4x=4 হয়, 42=164^2=16 (যা >8> 8)। (শর্ত পূরণ)
শর্ত ২: x3<30x^3 < 30 পূরণের জন্য xx এর সম্ভাব্য মানগুলো দেখি:
যদি x=3x=3 হয়, 33=273^3=27 (যা <30< 30)। (শর্ত পূরণ)
যদি x=4x=4 হয়, 43=644^3=64 (যা <30< 30 নয়)। (শর্ত পূরণ নয়)
যেহেতু x=3x=3 মানটি একই সাথে উভয় শর্ত (x2>8x^2>8 এবং x3<30x^3<30) পূরণ করে, তাই সেটের সদস্য সংখ্যা কেবল 3।
অতএব, A={3}A = \{3\} এবং xx এর মান হলো 3।
128

x2−8x−8y+16+y2-এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    −2xy
  2. খ
    8xy
  3. গ
    6xy
  4. 2xy

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত রাশিটি হলো: x2+y2−8x−8y+16x^2 + y^2 - 8x - 8y + 16।
রাশিটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে আমাদের (a+b+c)2(a+b+c)^2 সূত্র ব্যবহার করে সাজাতে হবে। সূত্রটি হলো: (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca।
এখানে, x2x^2, y2y^2 এবং 16=4216 = 4^2 রাশি তিনটি পূর্ণবর্গ আকারে আছে। যেহেতু −8x-8x এবং −8y-8y ঋণাত্মক, তাই ধ্রুবক পদটি ঋণাত্মক (−4)(-4) হতে পারে।
যদি আমরা রাশিটিকে (x+y−4)2(x + y - 4)^2 আকারে সাজাই, তবে আমরা পাই:
(x+y−4)2=x2+y2+(−4)2+2(x)(y)+2(y)(−4)+2(x)(−4)(x + y - 4)^2 = x^2 + y^2 + (-4)^2 + 2(x)(y) + 2(y)(-4) + 2(x)(-4)
=x2+y2+16+2xy−8y−8x= x^2 + y^2 + 16 + 2xy - 8y - 8x
=x2+y2−8x−8y+16+2xy= x^2 + y^2 - 8x - 8y + 16 + 2xy
প্রদত্ত রাশিটি ছিল x2−8x−8y+16+y2x^2 - 8x - 8y + 16 + y^2। এই রাশির সাথে 2xy2xy যোগ করলেই যোগফলটি (x+y−4)2(x + y - 4)^2 পূর্ণবর্গ হবে।
সঠিক উত্তর: 2xy2xy (অপশন D)।
129

x2−y2+2y−1 এর একটি উৎপাদক-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    x+y+1
  2. খ
    x−y
  3. x+y−1
  4. ঘ
    x−y−1

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান


ব্যাখ্যা

প্রদত্ত রাশিটি হলো: x2−y2+2y−1x^2−y^2+2y−1। এই ধরনের উৎপাদকে বিশ্লেষণের জন্য প্রথমে রাশিটিকে বীজগণিতীয় সূত্রের আকারে সাজিয়ে নিতে হবে।
আমরা শেষ তিনটি পদকে একত্রিত করে (−)(-) চিহ্নের মাধ্যমে কমন নিতে পারি:
x2−(y2−2y+1)x^2−(y^2−2y+1)
লক্ষ্য করুন, বন্ধনীর ভেতরের রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি (a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2 এর সূত্র), যেখানে a=ya=y এবং b=1b=1।
অতএব, আমরা লিখতে পারি: x2−(y−1)2x^2−(y−1)^2
এখন আমরা a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) সূত্রটি প্রয়োগ করব, যেখানে a=xa=x এবং b=(y−1)b=(y-1)।
{x+(y−1)}{x−(y−1)}\{x + (y-1)\} \{x - (y-1)\}
উৎপাদক দুটি হলো: (x+y−1)(x+y−1) এবং (x−y+1)(x−y+1)।
সুতরাং, বিকল্পগুলোর মধ্যে x+y−1 হলো সঠিক উৎপাদক।
130

১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১ ……. ধারাটির দশম পদ–

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    45
  2. 55
  3. গ
    62
  4. ঘ
    65

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত ধারাটি হলো: ১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১ ...। এটি একটি বিশেষ ধরনের ধারা, যা 'ত্রিকোণ সংখ্যা ধারা' (Triangular Number Series) নামে পরিচিত।
প্রথমে আমরা পদগুলোর মধ্যে পার্থক্য নির্ণয় করব:
→৩−১=২\rightarrow ৩ - ১ = ২
→৬−৩=৩\rightarrow ৬ - ৩ = ৩
→১০−৬=৪\rightarrow ১০ - ৬ = ৪
→১৫−১০=৫\rightarrow ১৫ - ১০ = ৫
→২১−১৫=৬\rightarrow ২১ - ১৫ = ৬
দেখা যাচ্ছে যে, প্রতি দুটি পদের মধ্যে পার্থক্যগুলো (২, ৩, ৪, ৫, ৬...) একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression) তৈরি করছে। অর্থাৎ, ধারাটির দশম পদ হবে প্রথম ১০টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফলের সমান।
ত্রিকোণ সংখ্যা ধারার nn-তম পদ বের করার সূত্রটি হলো, প্রথম nn সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির সূত্র: Tn=n(n+1)2T_n = \frac{n(n+1)}{2}
এখানে, আমাদের দশম পদ (n=10) নির্ণয় করতে হবে।
দশম পদ (T10T_{10}) = 10(10+1)2\frac{10(10+1)}{2}
=10×112= \frac{10 \times 11}{2}
=1102= \frac{110}{2}
=55= 55
সুতরাং, ধারাটির দশম পদ হবে ৫5।
131

১২+৩২+৫২+............+৩১২ সমান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    258

  2. 256

  3. গ
    254
  4. ঘ
    252

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি বিজোড় সংখ্যাগুলোর বর্গের যোগফল নির্ণয়ের প্রশ্ন। প্রদত্ত ধারাটি হলো: ১২+৩২+৫২+............+৩১২১^২+৩^২+৫^২+............+৩১^২।
এখানে ধারাটির শেষ পদ (Last Term), L=<strong>৩১</strong>L = <strong>৩১</strong>।
বিজোড় সংখ্যাগুলির বর্গের যোগফল (Sum of Squares of Odd Numbers) নির্ণয়ের জন্য বিশেষ সূত্র প্রয়োগ করতে হয়।
সূত্রটি হলো: S=L(L+1)(L+2)6S = \frac{L(L+1)(L+2)}{6}
এখন, L এর মান বসিয়ে পাই:
S=31(31+1)(31+2)6S = \frac{31(31+1)(31+2)}{6}
S=31×32×336S = \frac{31 \times 32 \times 33}{6}
গণনা সহজ করার জন্য আমরা 3232 ও 3333 কে 66 দিয়ে ভাগ করব:
(32×33)/6=(32×11)/2=16×11=176(32 \times 33) / 6 = (32 \times 11) / 2 = 16 \times 11 = 176
সুতরাং, S=31×176S = 31 \times 176
S=<strong>5456</strong>S = <strong>5456</strong>
গুরুত্বপূর্ণ নোট: এই ধারার সঠিক যোগফল ৫৪৫৬। প্রশ্নে প্রদত্ত অপশনগুলি (২৫৮, ২৫৬, ২৫৪, ২৫২) সম্ভবত ভুল অথবা প্রশ্নটি ছোট কোনো ধারাকে নির্দেশ করছিল। কিন্তু যেহেতু প্রশ্নপত্রে ৩১ পর্যন্ত চাওয়া হয়েছে, তাই সঠিক উত্তর ৫৪৫৬। বিসিএস পরীক্ষায় আপনাকে এই সূত্রটি ব্যবহার করে সঠিক সমাধান নির্ণয় করতে হবে।
132

x+y=7 এবং xy=10 হলে,  (x-y)^2 -এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3
  2. খ
    6

  3. 9

  4. ঘ
    12

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান


ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি ক্লাসিক্যাল প্রশ্ন, যা প্রায়শই বিসিএস ও অন্যান্য সরকারি চাকরির পরীক্ষায় আসে।
সঠিক মানটি বের করার জন্য আমরা সরাসরি অনুসিদ্ধান্ত সূত্র ব্যবহার করব।
আমাদের কাছে দেওয়া আছে: x+y=7x+y=7 এবং xy=10xy=10। আমাদের (x−y)2(x-y)^2-এর মান বের করতে হবে।
আমরা জানি মান নির্ণয়ের অনুসিদ্ধান্ত সূত্রটি হলো:
(x−y)2=(x+y)2−4xy(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy
এখন প্রদত্ত মানগুলি সূত্রে বসিয়ে পাই:
(x−y)2=(<strong>7</strong>)2−4(<strong>10</strong>)(x-y)^2 = (<strong>7</strong>)^2 - 4(<strong>10</strong>)
(x−y)2=49−40(x-y)^2 = 49 - 40
(x−y)2=<strong>9</strong>(x-y)^2 = <strong>9</strong>
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৯।
133

2x^2+x-15 -এর উৎপাদন কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. (x+3)(2x−5)
  2. খ
    (x−3)(2x−5)
  3. গ
    (x−3)(2x+5)
  4. ঘ

    (x+3)(2x+5)

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান


ব্যাখ্যা

প্রদত্ত রাশিটি হলো একটি দ্বিঘাত রাশি (Quadratic Expression): 2x2+x−152x^2+x-15। এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হলে আমাদের মিডল টার্ম ব্রেক (Middle Term Break) পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে।
প্রথম ও শেষ পদের সহগদ্বয়ের গুণফল: 2imes(−15)=−302 imes (-15) = -30।
আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল −30-30 এবং যোগফল মাঝের পদের সহগ +1+1। সংখ্যা দুটি হলো +6+6 এবং −5-5। (কারণ: 6imes(−5)=−306 imes (-5) = -30 এবং 6−5=16 - 5 = 1)।
এবার রাশিটিকে এভাবে সাজানো যায়:
2x2+6x−5x−152x^2 + 6x - 5x - 15
প্রথম দুটি পদ থেকে 2x2x এবং শেষ দুটি পদ থেকে −5-5 কমন নিয়ে পাই:
2x(x+3)−5(x+3)2x(x + 3) - 5(x + 3)
উভয় পদ থেকে (x+3)(x+3) কমন নিলে উৎপাদকগুলো পাওয়া যায়:
<strong>(x+3)(2x−5)</strong><strong>(x+3)(2x-5)</strong>
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো (x+3)(2x−5)।
134

১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ......... এই সংখ্যা পরস্পরায় অষ্টম পদ কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. 21

  2. খ
    13
  3. গ
    19
  4. ঘ
    16

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সংখ্যা পরম্পরাটি হলো ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, .........। এটি একটি বিখ্যাত ধারা, যা ফিবোনাচ্চি ধারা (Fibonacci Sequence) নামে পরিচিত।
এই ধারার প্রথম দুটি পদ বাদে পরবর্তী প্রতিটি পদ হলো তার ঠিক আগের দুটি পদের যোগফল।
আমরা যদি পদগুলো গণনা করি:
১ম পদ: ১
২য় পদ: ১
৩য় পদ: ১+১=<strong>২</strong>১ + ১ = <strong>২</strong>
৪র্থ পদ: ১+২=<strong>৩</strong>১ + ২ = <strong>৩</strong>
৫ম পদ: ২+৩=<strong>৫</strong>২ + ৩ = <strong>৫</strong>
৬ষ্ঠ পদ: ৩+৫=<strong>৮</strong>৩ + ৫ = <strong>৮</strong>
৭ম পদ (সপ্তম পদ): ৫+৮=<strong>১৩</strong>৫ + ৮ = <strong>১৩</strong>
৮ম পদ (অষ্টম পদ): ৮+১৩=<strong>২১</strong>৮ + ১৩ = <strong>২১</strong>
অতএব, এই সংখ্যা পরম্পরার অষ্টম পদটি হবে ২১। সঠিক উত্তর (A)।
135

x+y=12 এবং x−y=2 হলে xy -এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. 35

  2. খ
    140
  3. গ
    70
  4. ঘ
    144

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান


ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতীয় সূত্রাবলির একটি সরাসরি প্রয়োগ। এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য xyxy এর মান নির্ণয়ের সূত্রটি ব্যবহার করাই সবচেয়ে দ্রুততম উপায়।
আমরা জানি, xyxy নির্ণয়ের সূত্রটি 4xy4xy এর মাধ্যমে আসে:
4xy=(x+y)2−(x−y)24xy = (x+y)^2 - (x-y)^2
প্রদত্ত মানগুলো হলো: x+y=12x+y = 12 এবং x−y=2x-y = 2।
মান বসিয়ে পাই:
4xy=(12)2−(2)24xy = (12)^2 - (2)^2
4xy=144−44xy = 144 - 4
4xy=1404xy = 140
সুতরাং, $xy = rac{140}{4} = <strong>35</strong>$
যেহেতু xyxy-এর মান 35, তাই সঠিক উত্তর হলো 35। (অন্য অপশনগুলোতে 140 ছিল 4xy4xy এর মান এবং 70 ছিল 2xy2xy এর মান, যা সাধারণত ভুলবশত পরীক্ষার্থীরা নির্বাচন করে থাকে।)
136

দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৯ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    70
  2. খ
    80
  3. গ
    90

  4. 100

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর সর্বদা সংখ্যা দুটির যোগফলের সমান হয়।
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো xx (ছোট সংখ্যা) এবং (x+1)(x+1) (বড় সংখ্যা)।
প্রশ্নমতে, বড় সংখ্যাটির বর্গ - ছোট সংখ্যাটির বর্গ = ১৯৯।
$\(x+1)^2 - x^2 = 199$
বীজগণিতীয় সূত্র a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) প্রয়োগ করে পাই:
(x+1+x)(x+1−x)=199(x+1 + x)(x+1 - x) = 199
(2x+1)(1)=199(2x + 1)(1) = 199
বা, 2x+1=1992x + 1 = 199
বা, 2x=199−12x = 199 - 1
বা, 2x=1982x = 198
বা, x=99x = 99 (ছোট সংখ্যা)
অতএব, বড় সংখ্যাটি $= x + 1 = 99 + 1 = 100।
137

কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা যদি ৫ ও ১৭ হয়, তবে তৃতীয় সংখ্যাটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    22
  2. খ
    25
  3. গ
    85

  4. 29

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সমান্তর প্রগমন (Arithmetic Progression - AP) বা সমান্তর ধারা সম্পর্কিত। সমান্তর ধারার মূল বৈশিষ্ট্য হলো, পরপর দুটি পদের মধ্যে পার্থক্য বা সাধারণ অন্তর (Common Difference, dd) সর্বদা সমান থাকে।
এখানে প্রথম পদ (a1a_1) = ৫ এবং দ্বিতীয় পদ (a2a_2) = ১৭।
প্রথমেই আমাদের সাধারণ অন্তর (dd) নির্ণয় করতে হবে: $d = a_2 - a_1 = 17 - 5 = 12।
যেহেতু সাধারণ অন্তর হলো ১২, তাই তৃতীয় সংখ্যাটি পেতে হলে দ্বিতীয় সংখ্যার সাথে এই সাধারণ অন্তরটি যোগ করতে হবে।
তৃতীয় সংখ্যাটি (a3a_3) = $a_2 + d = 17 + 12 = 29।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো ২৯।
138

১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪, ….. ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. 55

  2. খ
    40
  3. গ
    68
  4. ঘ
    89

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এটি একটি ফিবোনাচ্চি ধারা (Fibonacci Series)। এই ধারার মূল বৈশিষ্ট্য হলো, প্রথম দুটি সংখ্যার যোগফলই হলো পরবর্তী সংখ্যা।
ধারাটির তৃতীয় সংখ্যা থেকে শুরু করে প্রতিটি সংখ্যা তার পূর্ববর্তী দুটি সংখ্যার যোগফল।
আমরা যদি ধারাটি পর্যবেক্ষণ করি:
১+২=৩১ + ২ = ৩
২+৩=৫২ + ৩ = ৫
৩+৫=৮৩ + ৫ = ৮
৫+৮=১৩৫ + ৮ = ১৩
৮+১৩=২১৮ + ১৩ = ২১
১৩+২১=৩৪১৩ + ২১ = ৩৪
অতএব, ধারাটির পরবর্তী সংখ্যাটি হবে এর পূর্ববর্তী দুটি সংখ্যা ২১ এবং ৩৪-এর যোগফল।
২১+৩৪=<strong>৫৫</strong>২১ + ৩৪ = <strong>৫৫</strong>
সঠিক উত্তর: ৫৫।
139

x2+y2=8 এবং xy=7 হলে (x+y)2 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    14
  2. খ
    16
  3. 22
  4. ঘ
    30

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের অতি সাধারণ সূত্র (অনুসিদ্ধান্ত) প্রয়োগের মাধ্যমে সমাধান করা যায়।
আমরা জানি, বর্গের সম্প্রসারণ সূত্রটি হলো: (x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2।
প্রদত্ত মানগুলি ব্যবহার করার জন্য আমরা সূত্রটি সাজিয়ে লিখতে পারি: (x+y)2=(x2+y2)+2xy(x+y)^2 = (x^2 + y^2) + 2xy
প্রশ্নে প্রদত্ত মানসমূহ বসিয়ে পাই:
x2+y2=8x^2 + y^2 = 8 এবং xy=7xy = 7।
সুতরাং, (x+y)2=8+2(7)(x+y)^2 = 8 + 2(7)
(x+y)2=8+14(x+y)^2 = 8 + 14
(x+y)2=22(x+y)^2 = 22
সঠিক উত্তর হলো: ২২।
140

 x/y  এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল  (2y)/x  হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1.  (2y^2-x^2)/(xy)

  2. খ

     (x^2-2y^2)/(xy)

  3. গ

    (x^2+2y^2)/(xy)

  4. ঘ

     (x^2-y^2)/(xy)

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ব্যাখ্যা

এই ধরনের অঙ্কে জানতে চাওয়া হয় যে, একটি নির্দিষ্ট রাশির সঙ্গে কত যোগ করলে ফলাফল অন্য একটি রাশি হবে। এর মূল সূত্র হলো: কাঙ্ক্ষিত রাশি = (যোগফল) - (প্রদত্ত রাশি)।
এখানে প্রদত্ত রাশি হলো x/yx/y এবং যোগফল (Desired Sum) হলো (2y)/x(2y)/x।
ধরি, নির্ণেয় রাশিটি AA।
প্রশ্নমতে: xy+A=2yx\frac{x}{y} + A = \frac{2y}{x}
বা, A=2yx−xyA = \frac{2y}{x} - \frac{x}{y}
এখন, আমরা xx এবং yy-এর ল.সা.গু (LCMLCM) বের করব, যা হলো xyxy।
A=2y⋅y−x⋅xxyA = \frac{2y \cdot y - x \cdot x}{xy}
বা, A=2y2−x2xyA = \frac{2y^2 - x^2}{xy}
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো (2y² - x²)/(xy)।
141

যদি x+5y=16 এবং x=3y হয়, তাহলে y = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    -24
  2. খ
    -2
  3. গ
    8

  4. 2

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

x+5y=16  

⇒3y+5y=16 [∵x=3y] 

8y=16 

∴y=2

ব্যাখ্যা

এটি দুটি চলক (Variable) সম্বলিত একটি সরল সহসমীকরণের (Simultaneous Linear Equations) সমস্যা। আমরা এখানে প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution Method) ব্যবহার করে সমাধান করব।
প্রদত্ত সমীকরণগুলো হলো:
১. x+5y=16x + 5y = 16
২. x=3yx = 3y
দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে x এর মানটি প্রথম সমীকরণে বসিয়ে পাই:
(3y)+5y=16(3y) + 5y = 16
এখানে, y চলকের সহগগুলো যোগ করলে হয়:
8y=168y = 16
এখন, 8 দ্বারা ভাগ করে y এর মান পাওয়া যায়:
y=168y = \frac{16}{8}
y=<strong>2</strong>y = <strong>2</strong>
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 2।
142

‘ক’ ও ‘খ’ দুটি সংখ্যা। ‘ক’ এর ১/২ এবং ‘খ’ এর ১/৩ যোগ করলে ৪৫ হয়। ‘খ’ এর ১/২ এবং ক এর ২/৫ যোগ করলে ৫০ হয়। ‘ক’ ও ‘খ’ এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক = ৫০, খ = ৬০
  2. খ
    ক = ৬০, খ = ৫০
  3. গ
    ক = ৪০, খ = ৪৮
  4. ঘ
    ক = ৬০, খ = ৪৮

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান


ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ক = ৫০, খ = ৬০। এই সমস্যাটি সরল সহসমীকরণ (System of Linear Equations) ব্যবহার করে সমাধান করা যায়।
ধরি, সংখ্যা দুটি হলো ক = x এবং খ = y।
প্রথম শর্ত অনুযায়ী (সমীকরণ I):
ক এর ১/২ এবং খ এর ১/৩ যোগ করলে ৪৫ হয়।
x2+y3=45\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 45
লসাগু (LCM) ৬ দ্বারা গুণ করলে পাই:
3x+2y=45×63x + 2y = 45 \times 6
<strong>3x+2y=270</strong><strong>3x + 2y = 270</strong> (i)
দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী (সমীকরণ II):
খ এর ১/২ এবং ক এর ২/৫ যোগ করলে ৫০ হয়।
y2+2x5=50\frac{y}{2} + \frac{2x}{5} = 50
বা, 2x5+y2=50\frac{2x}{5} + \frac{y}{2} = 50
লসাগু (LCM) ১০ দ্বারা গুণ করলে পাই:
4x+5y=50×104x + 5y = 50 \times 10
<strong>4x+5y=500</strong><strong>4x + 5y = 500</strong> (ii)
এখন, অপনয়ন পদ্ধতিতে (i) নং সমীকরণকে ৪ দ্বারা এবং (ii) নং সমীকরণকে ৩ দ্বারা গুণ করে পাই:
(i)×4:12x+8y=1080(i) \times 4: 12x + 8y = 1080 (iii)
(ii)×3:12x+15y=1500(ii) \times 3: 12x + 15y = 1500 (iv)
(iv) নং সমীকরণ থেকে (iii) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই:
(12x+15y)−(12x+8y)=1500−1080(12x + 15y) - (12x + 8y) = 1500 - 1080
7y=4207y = 420
y=4207=60y = \frac{420}{7} = 60
y-এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
3x+2(60)=2703x + 2(60) = 270
3x+120=2703x + 120 = 270
3x=270−120=1503x = 270 - 120 = 150
x=1503=50x = \frac{150}{3} = 50
সুতরাং, ক = ৫০ এবং খ = ৬০।
143

f(x)=x^2+1/x+1  -এর অনুরূপ কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    f(1)=1
  2. খ
    f(0)=1
  3. গ
    f(−1)=3
  4. f(1)=3

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান


ব্যাখ্যা

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো: f(x)=x2+1/x+1f(x)=x^2+1/x+1।
এই ধরনের ফাংশন সম্পর্কিত সমস্যার সমাধানে, আমাদের শুধু অপশনগুলো থেকে xx-এর মান ফাংশনের মধ্যে বসিয়ে দেখতে হবে, কোন অপশনটি সঠিক ফলাফল দেয়।
সঠিক উত্তর যাচাই করার জন্য আমরা x=1x=1 বসিয়ে দেখব:
f(1)=(1)2+11+1f(1) = (1)^2 + \frac{1}{1} + 1
f(1)=1+1+1f(1) = 1 + 1 + 1
f(1)=3f(1) = 3
সুতরাং, ফাংশনটির অনুরূপ মান হলো f(1)=3f(1)=3।
অন্যান্য অপশনগুলো ভুল, যেমন f(0)=1f(0)=1 অপশনটি ভুল কারণ f(x)f(x)-এর রাশিতে 1/x1/x পদটি থাকায়, x=0x=0 হলে ফাংশনটি অসংজ্ঞায়িত (Undefined) হয়ে যায়।
আবার, f(−1)f(-1) বসালে মান হয়: f(−1)=(−1)2+1/(−1)+1=1−1+1=1f(-1)=(-1)^2 + 1/(-1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1. তাই f(−1)=3f(-1)=3 অপশনটিও ভুল।
144

যদি  x^2+px+6=0  এর মূল দুটি সমান এবং p>0, তবে p এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    √(48)

  2. খ
    0
  3. গ

    √6

  4. √(24)

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান


ব্যাখ্যা

আমরা জানি, একটি আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ হল ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 এবং এর মূলের প্রকৃতি নির্ভর করে নিশ্চয়কের (Discriminant) উপর। নিশ্চয়ক, D=b2−4acD = b^2 - 4ac।
যদি কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের মূল দুটি সমান হয়, তবে অবশ্যই নিশ্চয়কের মান শূন্য হবে, অর্থাৎ D=0D = 0 বা b2−4ac=0b^2 - 4ac = 0 হবে।
প্রদত্ত সমীকরণটি হল x2+px+6=0x^2 + px + 6 = 0। এখানে, a=1a=1, b=pb=p, এবং c=6c=6।
মূল দুটি সমান হওয়ার শর্তানুসারে:
p2−4(1)(6)=0p^2 - 4(1)(6) = 0
p2−24=0p^2 - 24 = 0
p2=24p^2 = 24
অতএব, p=±24p = \pm \sqrt{24}
প্রশ্নে দেওয়া আছে যে p>0p>0। ঋণাত্মক মানটি গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং, p=24p = \sqrt{24} (চতুর্থ অপশন) হলো সঠিক উত্তর।
145

 ((১২৫)/(২৭))^(-২/৩)  - এর সহজ প্রকাশ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    1/125

  2. খ

    5/20

  3. 9/25

  4. ঘ

    3/20

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান


ব্যাখ্যা

প্রদত্ত রাশিটি হলো: ((১২৫)/(২৭))^(-২/৩)। এটি সূচকের (Indices) একটি মৌলিক সমস্যা।
প্রথমেই আমাদের ঋণাত্মক সূচক (Negative Exponent) দূর করতে হবে। আমরা জানি, ((a)/(b))^(-n) = ((b)/(a))^n।
সুতরাং, ((১২৫)/(২৭))^(-২/৩) = ((২৭)/(১২৫))^(২/৩)।
এবার ভেতরের সংখ্যাগুলোকে একই ভিত্তির (Base) ঘাতে প্রকাশ করতে হবে। আমরা জানি, ২৭=৩৩২৭ = ৩^৩ এবং ১২৫=৫৩১২৫ = ৫^৩।
রাশিটি দাঁড়ায়: ((৩^৩)/(৫^৩))^(২/৩) = ((৩/৫)^৩)^(২/৩)।
সূচকের সূত্রানুসারে, (a^m)^n = a^(m \times n)। এখানে ৩৩ এবং ২/৩ গুণ হবে।
(৩/৫)^(৩ \times (২/৩)) = (৩/৫)^২।
অবশেষে, রাশিটিকে সরল করলে পাওয়া যায়: ((৩^২)/(৫^২)) = ৯/২৫।
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো: ৯/২৫।
146

(a^2+b^2-c^2+2ab)/(a^2-b^2+c^2+2ac)= কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    a+b+c

  2.  (a+b-c)/(a-b+c)

  3. গ

     (a-b+c)/(a+b-c)

  4. ঘ

     (a+b-c)/(a+b+c)

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান


ব্যাখ্যা

এটি একটি সরলীকরণ (Simplification) সংক্রান্ত বীজগণিতীয় সমস্যা। এই ধরনের অঙ্ক সমাধানের মূল কৌশল হলো রাশিমালাকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Factorization) করা।
প্রদত্ত রাশিটি হলো: a2+b2−c2+2aba2−b2+c2+2ac\frac{a^2+b^2-c^2+2ab}{a^2-b^2+c^2+2ac}
ধাপ ১: লব (Numerator) এর সরলীকরণ:
আমরা জানি, a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2। লবের প্রথম তিনটি পদকে এই সূত্রে সাজানো যায়:
লব =(a2+2ab+b2)−c2=(a+b)2−c2= (a^2+2ab+b^2) - c^2 = (a+b)^2 - c^2
এখন, x2−y2=(x−y)(x+y)x^2-y^2=(x-y)(x+y) সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
লব =<strong>(a+b−c)(a+b+c)</strong>= <strong>(a+b-c)(a+b+c)</strong>
ধাপ ২: হর (Denominator) এর সরলীকরণ:
হর =a2+c2+2ac−b2= a^2+c^2+2ac - b^2 (পদগুলোকে সাজিয়ে)
হর =(a2+2ac+c2)−b2=(a+c)2−b2= (a^2+2ac+c^2) - b^2 = (a+c)^2 - b^2
এখন, x2−y2x^2-y^2 সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
হর =<strong>(a+c−b)(a+c+b)</strong>= <strong>(a+c-b)(a+c+b)</strong>। (যেখানে a+c−b=a−b+ca+c-b = a-b+c এবং a+c+b=a+b+ca+c+b = a+b+c)
ধাপ ৩: ভাগফল নির্ণয়:
সম্পূর্ণ রাশি =(a+b−c)(a+b+c)(a−b+c)(a+b+c)= \frac{(a+b-c)(a+b+c)}{(a-b+c)(a+b+c)}
উভয় পক্ষ থেকে (a+b+c) বাতিল করলে (যদি a+b+c≠0a+b+c \neq 0 হয়), আমরা পাই:
ফল =a+b−ca−b+c= \frac{a+b-c}{a-b+c}
যা অপশন (খ) বা Index 1 এর সাথে মিলে যায়।
অন্যান্য অপশনগুলো ভুল কারণ তারা উৎপাদকে বিশ্লেষণের মাধ্যমে প্রাপ্ত সঠিক অনুপাত প্রকাশ করে না।
147

a+b+c=9, a2+b2+c2=29 হলে ab+bc+ca এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    52
  2. খ
    46
  3. 26
  4. ঘ
    22

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ab+bc+ca ⇒(a+b+c)2−(a2+b2+c2)2 ⇒81−292 ⇒26

ব্যাখ্যা

এই ধরনের অঙ্কের সমাধান করার জন্য আমাদের অবশ্যই (a+b+c)2(a+b+c)^2 এর সূত্রটি জানতে হবে। এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সূত্রগুলির মধ্যে একটি।
আমরা জানি: <strong>(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)</strong><strong>(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)</strong>
অথবা, 2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2−(a2+b2+c2)2(ab+bc+ca) = (a+b+c)^2 - (a^2+b^2+c^2)
এখন প্রদত্ত মানগুলি বসাই:
a+b+c=9a+b+c = 9 এবং a2+b2+c2=29a^2+b^2+c^2 = 29
2(ab+bc+ca)=(9)2−292(ab+bc+ca) = (9)^2 - 29
2(ab+bc+ca)=81−292(ab+bc+ca) = 81 - 29
2(ab+bc+ca)=522(ab+bc+ca) = 52
সুতরাং, ab+bc+ca=522=<strong>26</strong>ab+bc+ca = \frac{52}{2} = <strong>26</strong>।
সঠিক উত্তরটি হলো: 26 (অপশন ৩)।
148

a=1,b=−1,c=2,d=−2 হলে, a−(−b)−(−c)−(−d) এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. 0

  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    3

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

a−(−b)−(−c)−(−d) 

⇒a+b+c+d 

⇒1−1+2−2 

⇒0

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত রাশিটি হলো: a−(−b)−(−c)−(−d)a-(-b)-(-c)-(-d)।
বীজগণিতের মৌলিক সূত্র অনুসারে, যখন কোনো সংখ্যার আগে দুটি ঋণাত্মক চিহ্ন (ডাবল মাইনাস) থাকে, তখন তা ধনাত্মক হয়ে যায়। অর্থাৎ, −(−x)=+x-(-x) = +x।
সুতরাং, আমরা রাশিটিকে সরল করতে পারি:
a−(−b)−(−c)−(−d)=a+b+c+da-(-b)-(-c)-(-d) = a+b+c+d
এখন, প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে দিই: a=1,b=−1,c=2,d=−2a=1, b=-1, c=2, d=-2।
মান বসিয়ে পাই: 1+(−1)+2+(−2)1 + (-1) + 2 + (-2)
=1−1+2−2= 1 - 1 + 2 - 2
এখানে 11 এবং −1-1 পরস্পরকে বাতিল করে দেয়, এবং 22 এবং −2-2 পরস্পরকে বাতিল করে দেয়।
=0+0=0= 0 + 0 = 0
অতএব, নির্ণেয় মান 0। (সঠিক অপশন: অপশন ১)।
149

(2+x)+3=3(x+2) হলে x এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. -1/2

  2. খ

    1/2

  3. গ

    1/3

  4. ঘ

    2/3

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

(2+x)+3=3(x+2) 

⇒2+x+3=3x+6 

⇒2x=−1

 ∴x=−1/2

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: (2+x)+3=3(x+2)(2+x)+3 = 3(x+2)। এটি একটি সরল রৈখিক সমীকরণ।
প্রথমত, আমরা উভয় পক্ষকে বন্ধনী তুলে দিয়ে সরল করব।
বাম পক্ষ (LHS): 2+x+32+x+3 = x+5x+5
ডান পক্ষ (RHS): 3(x+2)3(x+2) = 3x+63x+6

সুতরাং, সমীকরণটি দাঁড়ায়: x+5=3x+6x+5 = 3x+6
এখন আমরা xx যুক্ত পদগুলিকে একদিকে এবং ধ্রুবকগুলিকে অন্যদিকে স্থানান্তরিত করব (পক্ষান্তর নীতি প্রয়োগ করে)।
ধ্রুবক স্থানান্তরের ফলে: 5−6=3x−x5 - 6 = 3x - x
সরল করলে পাই: −1=2x-1 = 2x
অতএব, $x = rac{-1}{2}$।
সঠিক উত্তর হলো $- rac{1}{2}$।
150

দুই অঙ্কবিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অঙ্ক দশকের অঙ্ক অপেক্ষা ৩ বেশি। সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৪ বেশি। সংখ্যাটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    47
  2. খ
    36

  3. 25

  4. ঘ
    14

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

ব্যাখ্যা

ধরি, সংখ্যাটির দশকের অঙ্কটি হলো xx এবং এককের অঙ্কটি হলো yy।
সুতরাং, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটি হবে: 10x+y10x + y।
প্রথম শর্ত অনুযায়ী: এককের অঙ্ক দশকের অঙ্ক অপেক্ষা ৩ বেশি।
সুতরাং, y=x+3y = x + 3 (সমীকরণ ১)
দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী: সংখ্যাটি এর অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির তিনগুণ অপেক্ষা ৪ বেশি।
সংখ্যাটি (10x+y)(10x + y) = 3imes(extঅঙ্কদ্বয়েরসমষ্টি)+43 imes ( ext{অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি}) + 4।
10x+y=3(x+y)+410x + y = 3(x + y) + 4 (সমীকরণ ২)
এখন, সমীকরণ (১) থেকে yy এর মানটি সমীকরণ (২)-এ বসাই:
10x+(x+3)=3(x+(x+3))+410x + (x + 3) = 3(x + (x + 3)) + 4
11x+3=3(2x+3)+411x + 3 = 3(2x + 3) + 4
11x+3=6x+9+411x + 3 = 6x + 9 + 4
11x−6x=13−311x - 6x = 13 - 3
5x=105x = 10
x=2x = 2
দশকের অঙ্ক x=2x=2 হওয়ায়, এককের অঙ্ক y=x+3=2+3=5y = x + 3 = 2 + 3 = 5।
সুতরাং, সংখ্যাটি হলো 10×2+5=2510 \times 2 + 5 = 25।
অন্যান্য অপশনগুলো এই শর্ত পূরণ করে না। যেমন, 36 এর ক্ষেত্রে: অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 9। শর্ত অনুযায়ী সংখ্যাটি হওয়া উচিত: 3×9+4=313 \times 9 + 4 = 31, কিন্তু সংখ্যাটি 36। তাই 36 ভুল।

এই অধ্যায়ের প্রশ্ন টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করুন

এই পেজে বাছাইকৃত ১৫০টি প্রশ্ন সমাধানসহ দেওয়া হয়েছে (মোট ২০০টির মধ্যে)। প্র্যাকটিস মোডে এক-একটি করে উত্তর দিয়ে সঙ্গে সঙ্গে ফলাফল, স্কোর ও অগ্রগতি ট্র্যাক করুন।

প্র্যাকটিস মোডে যানসব অধ্যায়

গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning)-এর অন্যান্য অধ্যায়

পাটিগণিত (Arithmetic)২৪৬ প্রশ্নজ্যামিতি (Geometry)১১০ প্রশ্নত্রিকোণমিতি ও সম্ভাব্যতা৩৩ প্রশ্নধারা (সমান্তর ও গুণোত্তর - Series)১ প্রশ্নমানসিক দক্ষতা (Mental Ability)১ প্রশ্ন

কেন BCS Preliminary-এর জন্য “বীজগণিত (Algebra)” অধ্যায়টি গুরুত্বপূর্ণ?

BCS Preliminary নিয়োগ পরীক্ষার গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning) অংশে “বীজগণিত (Algebra)” থেকে প্রায় প্রতিবারই প্রশ্ন আসে। বিগত সালের প্রশ্নের ধরন বুঝে নিয়মিত অনুশীলন করলে এই অধ্যায়ের নম্বর নিশ্চিত করা সহজ হয় — এই পেজের বাছাইকৃত প্রশ্নগুলো ঠিক সেই প্রস্তুতির জন্যই সাজানো।

সচরাচর জিজ্ঞাসা

"বীজগণিত (Algebra)" অধ্যায় থেকে কেমন প্রশ্ন আসে?

BCS Preliminary নিয়োগ পরীক্ষায় গাণিতিক যুক্তি (Mathematical Reasoning) বিষয়ের "বীজগণিত (Algebra)" অধ্যায় থেকে নিয়মিত MCQ আসে। এই পেজে বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক জায়গায় দেওয়া হয়েছে — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ।

উত্তর ও সমাধান কি বিনামূল্যে?

হ্যাঁ। প্রশ্ন, অপশন, সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যা — সবই লগইন ছাড়াই বিনামূল্যে দেখা যায়। টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করতে চাইলে একটি ফ্রি অ্যাকাউন্ট দিয়ে প্র্যাকটিস মোডে যান।