Algebra (বীজগণিত)

$\frac{৫^x}{৫} = \frac{৩^x}{৩}$
$\Rightarrow \frac{৫^x}{৩^x} = \frac{৫}{৩}$
$\Rightarrow \left(\frac{৫}{৩}\right)^x = \left(\frac{৫}{৩}\right)^১$
$\therefore x = ১$

ধরি, সংখ্যা দুটি $x$ ও $y$; যেখানে $x > y$।
$\therefore x + y = ১৬$ এবং $xy = ৬৩$
$(x - y)^২ = (x + y)^২ - ৪xy = (১৬)^২ - ৪ \times ৬৩ = ২৫৬ - ২৫২ = ৪$
$\therefore x - y = \sqrt{৪} = ২$
এখন, $x + y = ১৬$ এবং $x - y = ২$ যোগ করে পাই,
$২x = ১৮ \Rightarrow x = ৯$
সুতরাং, বড় সংখ্যাটি ৯।

ধরি, তরুণের বর্তমান বয়স $= x$ বছর।
প্রশ্নমতে, $x + ১ = ২(x - ১০)$
$\Rightarrow x + ১ = ২x - ২০$
$\therefore x = ২১$

$f(x) = \frac{|x|}{x}$
$\therefore f(-১০) = \frac{|-১০|}{-১০} = \frac{১০}{-১০} = -১$

$\left(২a + \frac{২}{a}\right)^২ = ১২$
$\Rightarrow \left\{২\left(a + \frac{১}{a}\right)\right\}^২ = ১২$
$\Rightarrow ৪\left(a + \frac{১}{a}\right)^২ = ১২$
$\Rightarrow \left(a + \frac{১}{a}\right)^২ = ৩$
$\therefore a^২ + \frac{১}{a^২} = \left(a + \frac{১}{a}\right)^২ - ২ \times a \times \frac{১}{a} = ৩ - ২ = ১$

$\sqrt{৩x - ৬} + ৫ = ২$
$\Rightarrow \sqrt{৩x - ৬} = ২ - ৫$
$\Rightarrow (\sqrt{৩x - ৬})^২ = (-৩)^২$ [বর্গ করে]
$\Rightarrow ৩x - ৬ = ৯$
$\therefore x = ৫$
কিন্তু $x = ৫$ সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে না।
অর্থাৎ $\sqrt{৩ \times ৫ - ৬} + ৫ = \sqrt{৯} + ৫ = ৩ + ৫ = ৮ \neq ২$
$\therefore$ নির্ণেয় সমাধান সেট $= \{\}$

$\log_{২৭} \sqrt{৩} = \log_{২৭} ৩^{\frac{১}{২}}$
$= \log_{২৭} (২৭^{\frac{১}{৩}})^{\frac{১}{২}}$
$= \log_{২৭} ২৭^{\frac{১}{৬}}$
$= \frac{১}{৬} \log_{২৭} ২৭ = \frac{১}{৬} \times ১ = \frac{১}{৬}$

সঠিক উত্তর: $8$।

সমাধান:
$\log_{\sqrt{3}} 81$
$= \log_{\sqrt{3}} 3^4$
$= \log_{\sqrt{3}} ((\sqrt{3})^2)^4$
$= \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^8$
$= 8 \times \log_{\sqrt{3}} \sqrt{3}$
$= 8 \times 1 = 8$

সঠিক উত্তর: $1$।

সমাধান:
দেওয়া আছে, $a^p = b$, $b^q = c$ এবং $c^r = a$
$a^p = b$
$\Rightarrow (c^r)^p = b$ [যেহেতু $a = c^r$]
$\Rightarrow c^{rp} = b$
$\Rightarrow (b^q)^{rp} = b$ [যেহেতু $c = b^q$]
$\Rightarrow b^{pqr} = b^1$
ভিত্তি (base) একই হওয়ায়, পাওয়ার সমান হবে।
$\therefore pqr = 1$

দেওয়া আছে, $x + y = 6 \implies y = 6 - x$.
অর্থাৎ x ও y এর মান 6 এর থেকে ছোট হবে
যদি $x = 1$ হলে $y = 6 - 1 = 5; \therefore xy = 1 \times 5 = 5$
যদি $x = 2$ হয় $y = 6 - 2 = 4; \therefore xy = 2 \times 4 = 8$
যদি $x = 3$ হয় $y = 6 - 3 = 3; \therefore xy = 3 \times 3 = 9$
যদি $x = 4$ হয় $y = 6 - 4 = 2; \therefore xy = 4 \times 2 = 8$
যদি $x = 5$ হয় $y = 6 - 5 = 1; \therefore xy = 5 \times 1 = 5$
$\therefore xy$ এর বৃহত্তম মান = 9।

এখানে ধারাটি বিজোড় সংখ্যার ধারা।
প্রথম পদ, $a = 1$, সাধারণ অন্তর, $d = 3-1 = 2$
ধরি, $m$-তম পদ $= (2n+1)$
$\implies a + (m-1)d = 2n + 1$
$\implies 1 + (m-1)2 = 2n + 1$
$\implies 2m - 2 = 2n$
$\implies 2m = 2n + 2$
$\implies m = n + 1$
$\therefore$ যোগফল $= \frac{m}{2}[2a + (m-1)d] = \frac{n+1}{2}[2.1 + (n+1-1)2] = \frac{n+1}{2}[2+2n] = (n+1)^2$
(নোট: বইয়ের উত্তরে ভুল আছে, সঠিক উত্তর $(n+1)^2$ হবে। অপশনে সঠিক উত্তর নেই। তবে যদি ধারাটি $(2n-1)$ পর্যন্ত হতো, তাহলে যোগফল $n^2$ হতো। যদি $n$ সংখ্যক বিজোড় পদের যোগফল চাইতো তাহলে $n^2$ হতো।)

১ম রাশি $= a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
২য় রাশি $= a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
$\therefore \text{গ.সা.গু.} = (a + b)$

দুটি সরলরেখা পরস্পর সমান্তরাল (সমান্তরাল বা সমাপতিত এর মধ্যে বইয়ের ব্যাখ্যা সমান্তরালের জন্য) হলে সমাধান নেই। যেমন- $a_1x + b_1y = c_1$ ও $a_2x + b_2y = c_2$ এর মধ্যে কোনো সমাধান নেই, যদি $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ হয়।
বিশেষ দ্রষ্টব্য: প্রশ্নে 'সমাপতিত' (coincident) বলা হলে উত্তর হবে অসংখ্য। বইয়ের সমাধানটিতে 'সমান্তরাল' ধরে ব্যাখ্যা দেওয়া হয়েছে, যা ভুল। সমাপতিত হলে সূত্র $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$। সমান্তরাল হলে কোনো সমাধান থাকে না।

অপশন টেস্ট করে সমাধান:
ক. ১৩, ৩১ : ৩১ - ১৩ = ১৮; ১ + ৩ = ৪ (সঠিক)
খ. ১৩, ২২ : ২২ - ১৩ = ৯ (সঠিক নয়)
গ. ৩১, ২২ : ২২ - ৩১ = -৯ (সঠিক নয়)
$\therefore$ সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ১৩, ৩১।

একত্রে অঙ্কটি সমাধান করতে পারে,
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
$= P(A) + P(B) - P(A) \times P(B)$
$= 0.4 + 0.5 - 0.4 \times 0.5 = 0.9 - 0.2 = 0.7$

১ থেকে $n$ পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল $= \frac{n(n + 1)}{2}$
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল $= \frac{100(100 + 1)}{2} = 5050$।

FLY শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ৩টি এবং সবগুলো বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন।
সুতরাং সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে সাজানো যায় = $3!$ উপায়ে।
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ উপায়ে।

ধরি, সংখ্যাটি $x$

শর্তমতে, $x \times \frac{2}{5} + 20 = x \times \frac{2}{3}$

$\Rightarrow \frac{2x}{3} - \frac{2x}{5} = 20$

$\Rightarrow \frac{10x - 6x}{15} = 20$

$\Rightarrow 4x = 20 \times 15$

$\Rightarrow x = \frac{300}{4} = 75$

ধরি, সংখ্যাটি $x$

$\therefore 2x + 3 = x + 7$

$\Rightarrow 2x - x = 7 - 3$

$\therefore x = 4$

BOOK শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ৪টি, যেখানে O আছে ২টি।

সবগুলো বর্ণ একসাথে নিয়ে মোট বিন্যস্ত করার উপায় = $\frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 12$।

আমরা জানি,

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ হলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

$\therefore x^2 - 8x - 8y + 16 + y^2$

$= x^2 + y^2 + 16 + 2xy - 8y - 8x - 2xy$

$= x^2 + y^2 + (-4)^2 + 2xy + 2 \cdot y \cdot (-4) + 2 \cdot (-4) \cdot x - 2xy$

$= (x + y - 4)^2 - 2xy$

সুতরাং, $2xy$ যোগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

আমরা জানি, $4ab = (a + b)^2 - (a - b)^2$

$\Rightarrow 4ab = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2$ [মান বসিয়ে]

$\Rightarrow 4ab = 3 - 2$

$\Rightarrow 4ab = 1$

$\therefore ab = \frac{1}{4}$

আমরা জানি, $(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$

$= (6)^2 - 4 \times 8$ [মান বসিয়ে]

$= 36 - 32 = 4$

$3^{\left(\frac{x + 1}{2}\right)} = \sqrt{3}^{(2x - 1)}$

$\Rightarrow 3^{\left(\frac{x + 1}{2}\right)} = 3^{\frac{1}{2}(2x - 1)} \; [\because \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}]$

$\Rightarrow \frac{x + 1}{2} = \frac{1}{2}(2x - 1) \; [\because a^x = a^y$ হলে $x = y]$

$\Rightarrow x + 1 = 2x - 1$

$\Rightarrow 2x - x = 1 + 1$

$\therefore x = 2$

$\log_{\sqrt{3}} 81 = \log_{\sqrt{3}} 3^4$

$= \log_{\sqrt{3}} ((\sqrt{3})^2)^4$

$= \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^8$

$= 8 \log_{\sqrt{3}} \sqrt{3}$

$= 8 \times 1 = 8$