জ্যামিতি (Geometry)

সমাধান:

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, $(\text{অতিভুজ})^২ = (\text{লম্ব})^২ + (\text{ভূমি})^২$

$\therefore \text{অতিভুজ} = \sqrt{৫^২ + ১২^২}$

$= \sqrt{২৫ + ১৪৪} = \sqrt{১৬৯} = ১৩$ মিটার।

বি.দ্র.: অপশনে একক 'ব.মি.' (বর্গমিটার) দেওয়া আছে যা দৈর্ঘ্যের একক হিসেবে ভুল, সঠিক উত্তর ১৩ মিটার হবে।

সমাধান:

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি। একটি কোণ ৯০ ডিগ্রির বেশি (স্থূলকোণ) হলে বাকি দুটি কোণের সমষ্টি ৯০ ডিগ্রির কম হতে হবে। তাই একের অধিক স্থূলকোণ থাকা অসম্ভব।

সঠিক উত্তর: ৮০ মিটার

ধরি,
প্রস্থ = $x$ মিটার
দৈর্ঘ্য = $3x$ মিটার
প্রশ্নমতে,
$3x \times x = 300$
$\Rightarrow 3x^2 = 300$
$\Rightarrow x^2 = 100$
$\therefore x = 10$ মিটার (প্রস্থ)
তাহলে, দৈর্ঘ্য = $3 \times 10 = 30$ মিটার
পরিসীমা = $2(\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ}) = 2(30 + 10) = 2 \times 40 = 80$ মিটার।

সঠিক উত্তর: ২৪

দেওয়া আছে,
চৌবাচ্চার দৈর্ঘ্য = ৩ মিটার
প্রস্থ = ২ মিটার
উচ্চতা = ৪ মিটার

আমরা জানি,
আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
$= ৩ \times ২ \times ৪$ ঘন মিটার
$= ২৪$ ঘন মিটার।

এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে যার ভূমি ৪ কি.মি. এবং লম্ব ৩ কি.মি.।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী অতিভুজ (মধ্যবর্তী দূরত্ব) = $\sqrt{4^2 + 3^2}$

= $\sqrt{16 + 9}$

= $\sqrt{25}$

= $5$ কি.মি.

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°।

সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ ৯০°।

দেওয়া আছে, অপর একটি কোণ ৬০°।

$\therefore$ তৃতীয় কোণটি = $180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 150^{\circ} =$ ৩০°

রম্বস একটি চতুর্ভুজ। যে কোনো চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি ৩৬০°।

আমরা জানি, ১ সমকোণ = ৯০°।

$\therefore 360^{\circ} = \frac{360}{90} = 4$ সমকোণ।

সঠিক উত্তর: সমকোণী

ধরি কোণগুলো যথাক্রমে $x, x, 2x$।
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$।
শর্তমতে,
$x + x + 2x = 180^{\circ}$
$\Rightarrow 4x = 180^{\circ}$
$\Rightarrow x = 45^{\circ}$
তাহলে কোণগুলো: $45^{\circ}, 45^{\circ}, 90^{\circ}$।
যেহেতু একটি কোণ $90^{\circ}$ (সমকোণ), তাই ত্রিভুজটি অবশ্যই সমকোণী ত্রিভুজ।

সঠিক উত্তর: ১০ মিটার

সমাধান:

ধরি, প্রস্থ = $x$ মিটার
দৈর্ঘ্য = $(x + 4)$ মিটার

প্রশ্নমতে, পরিসীমা = $2(length + width) = 32$

$2(x + 4 + x) = 32$

$\Rightarrow 2(2x + 4) = 32$

$\Rightarrow 2x + 4 = 16$

$\Rightarrow 2x = 12$

$\therefore x = 6$

অতএব, দৈর্ঘ্য = $6 + 4 =$ 10 মিটার

সঠিক উত্তর: $\frac{4}{5}$

সমাধান:

আমরা জানি, $\sin2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 + \tan^2\theta}$

মান বসিয়ে পাই,
$\sin2\theta = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{1 + (\frac{1}{2})^2}$

$= \frac{1}{1 + \frac{1}{4}}$

$= \frac{1}{\frac{5}{4}}$

$= \frac{4}{5}$

সঠিক উত্তর: ১৩৩১

ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ হলে,

পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = $6a^2$

প্রশ্নমতে, $6a^2 = 726$

বা, $a^2 = \frac{726}{6} = 121$

$\therefore a = \sqrt{121} = 11$ মিটার

অতএব, ঘনকের আয়তন = $a^3 = (11)^3 =$ 1331 ঘনমিটার।

সঠিক উত্তর: ৪০

আমরা জানি, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২} \times (সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি) \times উচ্চতা$

$= \frac{১}{২} \times (৬ + ১০) \times ৫$

$= \frac{১}{২} \times ১৬ \times ৫$

$= ৮ \times ৫ =$ ৪০ বর্গফুট।

সঠিক উত্তর: ২৭ : ৮

সমাধান:
গোলকের আয়তন, $V = \frac{4}{3}\pi r^3$
এখানে ব্যাসার্ধের অনুপাত, $r_1 : r_2 = 3 : 2$
সুতরাং, আয়তনের অনুপাত = $r_1^3 : r_2^3$
= $3^3 : 2^3$
= $27 : 8$

সঠিক উত্তর: ৫০ বর্গফুট

সমাধান:
বর্গক্ষেত্রের বাহু, $a = 5$ ফুট।
কর্ণের দৈর্ঘ্য, $d = \sqrt{2}a = 5\sqrt{2}$ ফুট।
কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $(5\sqrt{2})^2$
= $25 \times 2$
= $50$ বর্গফুট।

ধরি, খুঁটিটি ভূমি হতে $x$ ফুট উঁচুতে ভেঙ্গেছিল।

তাহলে, দণ্ডায়মান অংশের দৈর্ঘ্য = লম্ব = $x$ মিটার।

এবং ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য = অতিভুজ = $(৫১ - x)$ মিটার।

প্রশ্নমতে, $\sin ৩০^{\circ} = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$

$\Rightarrow \frac{১}{২} = \frac{x}{৫১ - x}$

$\Rightarrow ২x = ৫১ - x$

$\Rightarrow ৩x = ৫১$

$\Rightarrow x = \frac{৫১}{৩} =$ ১৭ মিটার।

ধরি, তারা A বিন্দু হতে যাত্রা শুরু করে।

১ ঘন্টা পর তাদের আড়াআড়ি দূরত্ব হবে অতিভুজ $BC$।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:

$BC^2 = AB^2 + AC^2$

$= ৫^২ + ৭^২$

$= ২৫ + ৪৯ = ৭৪$

$\therefore BC = \sqrt{৭৪} \approx$ ৮.৬০ কিমি।

ধরি, কোণটি $x$

প্রশ্নমতে, $২x = ৫০^{\circ} \Rightarrow x = ২৫^{\circ}$

আমরা জানি, দুটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

$\therefore ২৫^{\circ}$ কোণের পূরক কোণ = $৯০^{\circ} - ২৫^{\circ} =$ ৬৫°

সঠিক উত্তর: ১৬

ধরি, সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য = $a$ একক।

এর উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = $a^2$ বর্গ একক।

সরলরেখাটির এক-চতুর্থাংশের দৈর্ঘ্য = $\frac{a}{4}$ একক।

এর উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = $(\frac{a}{4})^2 = \frac{a^2}{16}$ বর্গ একক।

অনুপাত = $\frac{a^2}{\frac{a^2}{16}} = 16$ গুণ।

আমরা জানি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{b}{4}\sqrt{4a^2 - b^2}$

এখানে,
ভূমি, $b = 16$ মি.
সমান সমান বাহু, $a = 10$ মি.

$\therefore$ ক্ষেত্রফল $= \frac{16}{4}\sqrt{4(10)^2 - (16)^2}$
$= 4\sqrt{4 \times 100 - 256}$
$= 4\sqrt{400 - 256}$
$= 4\sqrt{144}$
$= 4 \times 12$
$=$ ৪৮ বর্গ মি.

ধরি, খুঁটিটি ভূমি থেকে $x$ মিটার উঁচুতে ভেঙেছিল।
তাহলে, লম্ব $= x$ এবং অতিভুজ (ভাঙা অংশ) $= 48 - x$।

আমরা জানি,
$\sin 30^\circ = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{x}{48 - x}$
$\Rightarrow 2x = 48 - x$
$\Rightarrow 3x = 48$
$\Rightarrow x = 16$

$\therefore$ খুঁটিটি ১৬ মিটার উঁচুতে ভেঙেছিল।

সঠিক উত্তর: ৪৮ ব. মি.

দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, $b = 16$ মি.
সমান সমান বাহু, $a = 10$ মি.

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{b}{4}\sqrt{4a^2 - b^2}$

$= \frac{16}{4}\sqrt{4(10)^2 - (16)^2}$
$= 4\sqrt{4 \times 100 - 256}$
$= 4\sqrt{400 - 256}$
$= 4\sqrt{144}$
$= 4 \times 12$
$= 48$ বর্গ মিটার।

সঠিক উত্তর: ১২৮ মিটার

দেওয়া আছে,
দৈর্ঘ্য = ৪৮ মিটার
শর্তমতে, দৈর্ঘ্য = ৩ $\times$ বিস্তার
বা, $৪৮ = ৩ \times$ বিস্তার
বা, বিস্তার = $\frac{৪৮}{৩} = ১৬$ মিটার

আমরা জানি,
পরিসীমা = $২(\text{দৈর্ঘ্য} + \text{বিস্তার})$
= $২(৪৮ + ১৬)$
= $২ \times ৬৪$
= ১২৮ মিটার

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ হলে তার ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ বর্গ একক।

ধরি, ২য় বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$

তাহলে, ২য় বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = $4a$

প্রশ্নমতে, ১ম বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $4a$

এখন,

• ১ম বর্গের কর্ণ = $\sqrt{2} \times \text{বাহু} = \sqrt{2} \times 4a = 4\sqrt{2}a$

$\therefore$ কর্ণের অনুপাত = $4\sqrt{2}a : \sqrt{2}a = 4 : 1$

ধরি, কোণটি = $x$

কোণটির সম্পূরক কোণ = $180^\circ - x$

প্রশ্নমতে,

$x = \frac{1}{2}(180^\circ - x)$

$\Rightarrow 2x = 180^\circ - x$

$\Rightarrow 3x = 180^\circ$

$\Rightarrow x = 60^\circ$

সুতরাং, কোণটির মান ৬০°।

দেওয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = ১২ মি.
উচ্চতা = ৫ মি.

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী,
$অতিভুজ = \sqrt{ভূমি^2 + লম্ব^2}$
$= \sqrt{12^2 + 5^2}$
$= \sqrt{144 + 25}$
$= \sqrt{169}$
$= 13$ মি.

সুতরাং, অতিভুজ ভূমি অপেক্ষা বড় = $(13 - 12)$ মি. = $1$ মি.
আমরা জানি, $1$ মি. = ১০০ সে.মি.।

বৃত্তের ব্যাস বা ব্যাসার্ধ যত % বৃদ্ধি পায়, ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির সূত্র:
$বৃদ্ধি \% = A + B + \frac{AB}{100}$
এখানে, $A = 20, B = 20$
$\therefore বৃদ্ধি = 20 + 20 + \frac{20 \times 20}{100} \%$
$= 40 + \frac{400}{100} \%$
$= 40 + 4 \%$
$= 44 \%$

আমরা জানি,
বহুভুজের বহিঃস্থ কোণ = $১৮০^\circ -$ অন্তঃস্থ কোণ
$= ১৮০^\circ - ১৩৫^\circ = ৪৫^\circ$

আবার,
বাহুর সংখ্যা, $n = \frac{৩৬০^\circ}{\text{বহিঃস্থ কোণ}}$
$= \frac{৩৬০^\circ}{৪৫^\circ}$
$= ৮$

সঠিক উত্তর: ৪ গুণ

ধরি, সরলরেখার দৈর্ঘ্য $= x$ একক।

সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল $= x^2$ বর্গ একক।

সরলরেখার অর্ধেক দৈর্ঘ্য $= \frac{x}{2}$ একক।

অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল $= (\frac{x}{2})^2 = \frac{x^2}{4}$ বর্গ একক।

অনুপাত $= \frac{x^2}{\frac{x^2}{4}} = x^2 \times \frac{4}{x^2} = 4$ গুণ।

জ্যামিতির স্বীকার্য অনুযায়ী, দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্য দিয়ে কেবল একটি সরলরেখা আঁকা সম্ভব।

দুইটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদবিন্দুতে মোট ৪টি কোণ উৎপন্ন হয়। এদের মধ্যে পরস্পর বিপরীত কোণগুলো (বিপ্রতীপ কোণ) সমান হয়।

জ্যামিতির সংজ্ঞা অনুযায়ী, যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে কিন্তু প্রস্থ বা উচ্চতা (বেধ) নেই, তাকে রেখা (Line) বলে।

যেকোনো ঘনবস্তুর বাইরের আবরণ বা পিঠকে তল (Surface) বলা হয়।

$\text{Cosec}\theta = \sqrt{2}$

আমরা জানি, $\sin\theta = \frac{1}{\text{Cosec}\theta}$

$\therefore \sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$

যেহেতু $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, তাই $\theta =$ 45°

সঠিক উত্তর: ৯০

যে কোণের পরিমাপ ৯০ ডিগ্রি ($৯০^\circ$), তাকে সমকোণ বা Right Angle বলে।

বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাতকে $\pi$ (পাই) বলে। এর আসন্ন মান ধরা হয় ৩.১৪১৬।

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $(বাহু)^২$

প্রশ্নমতে, $a^2 = 225$

বা, $a = \sqrt{225}$

বা, $a =$ 15

সুতরাং, বাহুর দৈর্ঘ্য ১৫ মিটার।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র: $\frac{১}{২} \times ভূমি \times উচ্চতা$

ধরি, খুঁটিটির ভাঙ্গা অংশের দৈর্ঘ্য (অতিভুজ) = $x$ মিটার।

দণ্ডায়মান অংশের দৈর্ঘ্য (লম্ব) = $(64 - x)$ মিটার।

আমরা জানি,

$\sin 60^{\circ} = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{64 - x}{x}$

$\Rightarrow \sqrt{3}x = 128 - 2x$

$\Rightarrow \sqrt{3}x + 2x = 128$

$\Rightarrow x(\sqrt{3} + 2) = 128$

$\Rightarrow x(1.732 + 2) = 128$

$\Rightarrow x = \frac{128}{3.732}$

$\therefore x \approx 34.31$ মিটার (প্রায়)।

সমাধান:

দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ৫০ মিটার
বাগানের প্রস্থ = ৪০ মিটার
∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = $৫০ \times ৪০ =$ ২০০০ বর্গমিটার

রাস্তার ক্ষেত্রফল = ১২০০ বর্গমিটার
রাস্তাসহ বাগানের মোট ক্ষেত্রফল = $২০০০ + ১২০০ =$ ৩২০০ বর্গমিটার

ধরি, রাস্তাটি $x$ মিটার চওড়া।
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = $(৫০ + ২x)$ মিটার
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = $(৪০ + ২x)$ মিটার

প্রশ্নমতে,
$(৫০ + ২x)(৪০ + ২x) =$ ৩২০০
$\Rightarrow ২(২৫ + x) \cdot ২(২০ + x) =$ ৩২০০
$\Rightarrow ৪(৫০০ + ২৫x + ২০x + x^2) =$ ৩২০০
$\Rightarrow x^2 + ৪৫x + ৫০০ = \frac{৩২০০}{৪}$
$\Rightarrow x^2 + ৪৫x + ৫০০ =$ ৮০০
$\Rightarrow x^2 + ৪৫x - ৩০০ =$ ০

কিন্তু এই সমীকরণটি জটিল। সহজ উপায়ে অপশন টেস্ট করা যায়।
অপশন (c) ৫ মিটার ধরলে:
দৈর্ঘ্য = $৫০ + ১০ =$ ৬০, প্রস্থ = $৪০ + ১০ =$ ৫০
ক্ষেত্রফল = $৬০ \times ৫০ =$ ৩০০০ (যা মিলছে না, প্রশ্নে ৩২০০ দরকার)।

সঠিক সমাধান (বিকল্প পদ্ধতিতে):
আসলে উপরের ক্যালকুলেশনে ৩২০০ হবে।
$x=৫$ হলে, $(৫০+১০)(৪০+১০) = ৬০ \times ৫০ =$ ৩০০০।
কিন্তু প্রশ্নে প্রদত্ত সমাধান অনুযায়ী ৫ মিটার সঠিক বলা হয়েছে। চলুন দেখি প্রশ্নে 'রাস্তায় ক্ষেত্রফল' বলেছে ১২০০।
যদি $x=১০$ হয়? $(৫০+২০)(৪০+২০) = ৭০ \times ৬০ =$ ৪২০০ (অনেক বেশি)।
যদি প্রশ্নটি 'রাস্তার ক্ষেত্রফল' না হয়ে 'রাস্তাসহ ক্ষেত্রফল' হতো তবে ভিন্ন কথা।
যাইহোক, প্রশ্নে প্রদত্ত অপশন 'c' সঠিক হিসেবে মার্ক করা।

সঠিক লজিক:
$x^2 + 45x - 300 = 0$ সমীকরণটি ভুল পথে যেতে পারে যদি ক্যালকুলেশন বড় হয়।
সঠিক সমীকরণ: $(50+2x)(40+2x) - 50 \times 40 = 1200$
বা, $2000 + 100x + 80x + 4x^2 - 2000 = 1200$
বা, $4x^2 + 180x - 1200 = 0$
বা, $x^2 + 45x - 300 = 0$ (এখানে $x$ এর মান পূর্ণসংখ্যা আসছে না)।

বিঃদ্রঃ: প্রশ্নে বা তথ্যে সামান্য অসামঞ্জস্য থাকতে পারে, কিন্তু পরীক্ষার খাতায় বা উত্তরমালায় সঠিক উত্তর হিসেবে ৫ মিটার ধরা হয়। সম্ভবত প্রশ্নে রাস্তার ক্ষেত্রফল ১০০০ বা অন্য কিছু হলে ৫ মিলত। অথবা প্রশ্নটি ছিল 'রাস্তাসহ ক্ষেত্রফল' কিছু একটা। তবে স্ট্যান্ডার্ড উত্তর ৫ মিটার।

ধরি, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য $= x$ মিটার

এবং প্রস্থ $= \frac{৩x}{৫}$ মিটার

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা $= ২\times(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)$

প্রশ্নমতে,
$২(x + \frac{৩x}{৫}) = ১৬০$
$\Rightarrow \frac{৫x + ৩x}{৫} = ৮০$
$\Rightarrow ৮x = ৪০০$
$\therefore x = ৫০$

অতএব, আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য ৫০ মিটার।

আমরা জানি,

$1$ ইঞ্চি $= 2.54$ সে.মি.

অতএব, $1$ বর্গইঞ্চি $= 1$ ইঞ্চি $\times$ $1$ ইঞ্চি

$= 2.54$ সে.মি. $\times$ $2.54$ সে.মি.

$= 6.4516$ বর্গ সে.মি.

প্রায় $6.45$ বর্গ সে.মি.।

আমরা জানি, দুটি কোণের পরিমাপের যোগফল $180^\circ$ বা দুই সমকোণ হলে, কোণ দুটিকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ (Supplementary angles) বলে।

সুতরাং, $\theta^\circ$ কোণের সম্পূরক কোণ $= (180 - \theta)^\circ$

অতএব, $70^\circ$ কোণের সম্পূরক কোণ $= (180^\circ - 70^\circ) = 110^\circ$।

আমরা জানি, ১ বার ঘুরলে চাকাটি $360^\circ$ কোণ অতিক্রম করে।

৬০ সেকেন্ডে ঘোরে $90 \times 360^\circ$

$\therefore$ ১ সেকেন্ডে ঘোরে $\frac{90 \times 360^\circ}{60} =$ $540^\circ$

সমকোণী বা সাধারণ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো $\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}$।

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় $x$ অক্ষের মান ঋণাত্মক ($-$) এবং $y$ অক্ষের মান ধনাত্মক ($+$) হলে বিন্দুটি ২য় চতুর্ভাগে অবস্থান করে। তাই $(-3, 4)$ বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।

সমাধান: ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $= 2x$ এবং প্রস্থ $= x$
তাহলে আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা $= 2(2x + x) = 6x = \text{বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা}$

তাহলে বর্গক্ষেত্রে প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য $= \frac{6x}{4} = \frac{3x}{2}$

এখন, বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
$= (\frac{3x}{2})^2 : (x \times 2x) = \frac{9x^2}{4} : 2x^2 = 9x^2 : 8x^2 = 9 : 8$

মনে করি, ত্রিভুজের তিনটি কোণ যথাক্রমে $x, 2x$ ও $3x$
প্রশ্নমতে, $x + 2x + 3x = 180$
$\Rightarrow 6x = 180 \therefore x = 30 \therefore 2x = 30 \times 2 = 60$
$\therefore 3x = 30 \times 3 = 90$
অর্থাৎ ত্রিভুজটি সমকোণী। আমরা জানি, ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম কোণের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম বাহু হয়ে থাকে।
চিত্রানুসারে, বৃহত্তম বাহু
$AC = 6$ এবং ক্ষুদ্রতম বাহু $= x$
আমরা জানি, $\frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \sin\theta$
$\Rightarrow \frac{x}{6} = \sin 30^\circ \Rightarrow \frac{x}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 3$
অর্থাৎ ক্ষুদ্রতম বাহুটি $3\text{ cm}$।

দেওয়া আছে, $\cos \theta = \frac{1}{2} (a + \frac{1}{a})$
$\Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{1}{4} (a + \frac{1}{a})^2$
$\Rightarrow 2\cos^2 \theta = 2 \cdot \frac{1}{4} (a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2})$
$\Rightarrow 2\cos^2 \theta = \frac{1}{2} (a^2 + \frac{1}{a^2} + 2)$
$\Rightarrow 2\cos^2 \theta - 1 = \frac{1}{2} (a^2 + \frac{1}{a^2}) + 1 - 1$
$\Rightarrow \cos 2\theta = \frac{1}{2} (a^2 + \frac{1}{a^2})$

একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার যদি একটি ও কেবল একটি ছেদবিন্দু থাকে তবে রেখাটিকে বৃত্তের একটি স্পর্শক বলা হয়। বৃত্তের পরিধির ওপর অবস্থিত যেকোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে কেবল একটি স্পর্শক আঁকা যায়।

মনে করি, ক্ষুদ্রতম কোণ $x^\circ$।
তাহলে, অপর কোণটি $(x+5)^\circ$।
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজে সমকোণ বাদে অপর দুটি সূক্ষ্মকোণের সমষ্টি = $90^\circ$।
$\Rightarrow x^\circ + (x+5)^\circ = 90^\circ$
$\Rightarrow 2x^\circ + 5^\circ = 90^\circ$
$\Rightarrow 2x^\circ = 85^\circ$
$\therefore x^\circ = 42.5^\circ$
সুতরাং ক্ষুদ্রতম কোণটির মান $42.5^\circ$।

আমরা জানি, $r$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi r^2$ বর্গ একক।
অতএব, $1$ একক ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi (1)^2$ বর্গ একক = $\pi$ বর্গ একক।

যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে। আয়তক্ষেত্রে ৪টি কোণ থাকে। অর্থাৎ আয়তক্ষেত্রে সমকোণ রয়েছে ৪টি।

দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা $180^\circ$ হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। এটি সম্পূরক কোণের সংজ্ঞা।

ধরি, সম্পূর্ণ খুঁটির দৈর্ঘ্য $= x$ মিটার।
খুঁটিটি $16$ মিটার উঁচুতে ভেঙেছে, তাই লম্ব $= 16$ মিটার।
ভাঙা অংশটি অতিভুজ তৈরি করেছে, যার দৈর্ঘ্য $= (x - 16)$ মিটার।
ভূমির সাথে উৎপন্ন কোণ, $\theta = 30^\circ$

চিত্রানুসারে, [[IMAGE_PLACEHOLDER]]
আমরা জানি, $\sin \theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}$
$\Rightarrow \sin 30^\circ = \frac{16}{x-16}$
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{16}{x-16}$
$\Rightarrow x - 16 = 32$
$\Rightarrow x = 48$

অর্থাৎ খুঁটিটির দৈর্ঘ্য $48$ মিটার।