Mental Ability

এটি একটি সমান্তর ধারা।

১ম পদ, $a = ৫$

সাধারণ অন্তর, $d = ৯ - ৫ = ৪$

১৯তম পদ = $a + (n-1)d$

$= ৫ + (১৯ - ১)৪$

$= ৫ + ১৮ \times ৪$

$= ৫ + ৭২$

$=$ ৭৭

ধারাটি লক্ষ্য করুন:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$
$2^5 = 32$

এখানে প্রতিটি সংখ্যা ২ এর সূচক (power of 2) অথবা পূর্ববর্তী সংখ্যার দ্বিগুণ। কিন্তু 10 এই নিয়মের মধ্যে পড়ে না। তাই এটিই 'stranger' বা বেমানান সংখ্যা।

ধারাটি লক্ষ্য করুন:

$144 = 12^2$

$81 = 9^2$

$36 = 6^2$

ভিত্তিগুলো হলো: ১২, ৯, ৬। অর্থাৎ ৩ করে কমছে।

পরবর্তী ভিত্তি হবে: $6 - 3 = 3$

$\therefore$ পরবর্তী সংখ্যা = $3^2 =$ 9

আজকের তারিখ = ২৩।
১৭ দিন আগের তারিখ = ২৩ - ১৭ = ৬ তারিখ।
৬ তারিখে রহিম বলেছিল, "আমার জন্মদিন আগামীকাল"।
সুতরাং, তার জন্মদিন = ৬ + ১ = ৭ তারিখ।

সঠিক উত্তর: C, B, A, D, Z, Y, and X

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত শর্তগুলো বিশ্লেষণ করে সঠিক বিন্যাসটি বের করতে হবে। প্রশ্নের সমাধান অংশে উল্লেখ করা হয়েছে যে:

• শর্ত (ii) অনুসারে অপশন (a) বাদ যায়।
• শর্ত (iii) অনুসারে অপশন (c) বাদ যায়।
• শর্ত (v) অনুসারে অপশন (d) বাদ যায়।

সুতরাং, একমাত্র গ্রহণযোগ্য বিন্যাস হলো অপশন (b)।

সঠিক উত্তর: 4th

ব্যাখ্যা: প্রশ্নে বলা হচ্ছে Z, D এবং A পরপর ৩টি চেয়ার দখল করলে C কোন চেয়ারে বসবে?

• Z, D এবং A কে প্রথম তিনটি চেয়ারে রাখলে এবং X কে শেষেরটায় রাখলে Y কে ৬ নং ছাড়া অন্য কোথাও বসানো যায় না।
• সেক্ষেত্রে B কে ৫ নং এ বসিয়ে C কে ৪ নং এ বসাতেই হবে।
• তাই সঠিক উত্তর অপশন (c)।

সঠিক উত্তর: D

ব্যাখ্যা: প্রশ্নে বলা হচ্ছে, C প্রথম চেয়ারটি দখল করলে চতুর্থ চেয়ারে কে বসবে?

• C যদি ১ নং চেয়ারে বসে তবে B বসবে ২ নং-এ এবং i) নং শর্তানুযায়ী A বসবে ৩ নং-এ।
• অতএব ৬ এবং ৭ নং চেয়ার যথাক্রমে Y এবং X দ্বারা পূরণ হয়ে গেলে চতুর্থ চেয়ারে D কিংবা Z বসতে পারবে।
• অপশনগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র D উপস্থিত। তাই উত্তর হবে D।

সঠিক উত্তর: 5th

ব্যাখ্যা: প্রশ্নে বলা হচ্ছে, Y ষষ্ঠ চেয়ারে বসলে C কোনটাতে বসতে পারে না?

• ৬ নং চেয়ার Y দখল করায় C ৫নং চেয়ারে বসতে পারবে না।
• কারণ (ii) নং শর্তানুযায়ী তাহলে B কে ৫ নং এ বসাতে হবে (যা C এর জায়গা দখল করে নেবে অথবা শর্ত ভাঙবে)।
• তাই সঠিক উত্তর অপশন (d)।

সঠিক উত্তর: Z

ব্যাখ্যা: প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী টেবিল তৈরি করলে:

• প্রশ্নে বলা হয়েছে X শেষ চেয়ারে (৭নং) এবং A ২য় চেয়ারে।
• v) নং শর্তানুসারে Y ১ নং চেয়ারে বসতে পারবে না।
• ii) নং শর্তানুসারে B ১ নং চেয়ারে বসতে পারবে না।
• iii) নং শর্তানুসারে D ১ নং চেয়ারে বসতে পারবে না।
• সুতরাং, ১ নং চেয়ারে অবশ্যই Z বসবে।

সঠিক উত্তর: ২৪৩।

ব্যাখ্যা:
ধারাটি ৩ এর গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression)।
১ম পদ: $৩^১ = ৩$
২য় পদ: $৩^২ = ৯$
৩য় পদ: $৩^৩ = ২৭$
৪র্থ পদ: $৩^৪ = ৮১$
সুতরাং, ৫ম পদ হবে: $৩^৫ = ৮১ \times ৩ = ২৪৩$।

সিরিজটির লজিক হলো ব্র্যাকেটের বাইরের প্রথম সংখ্যার সাথে 2 এবং 3 গুণ করে যথাক্রমে ব্র্যাকেটের ভেতরের এবং পরের সংখ্যাটি পাওয়া যায়।
প্রথম প্যাটার্ন: $1(2)3 \rightarrow 1 \times 2 =$ 2 এবং $1 \times 3 =$ 3
দ্বিতীয় প্যাটার্ন: $2(4)6 \rightarrow 2 \times 2 =$ 4 এবং $2 \times 3 =$ 6
তৃতীয় প্যাটার্ন: $3(?)9 \rightarrow 3 \times 2 =$ 6 এবং $3 \times 3 =$ 9
অর্থাৎ প্রশ্নবোধক চিহ্নের স্থানে 6 বসবে।

সময় ৬:৩০।
ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয়ের সূত্র:
$|\frac{১১ \times M - ৬০ \times H}{২}|$
এখানে, $H = ৬$, $M = ৩০$
কোণ = $|\frac{১১ \times ৩০ - ৬০ \times ৬}{২}|$ = $|\frac{৩৩০ - ৩৬০}{২}|$ = $|\frac{-৩০}{২}|$ = $১৫^\circ$

ঘড়ির ঘন্টার কাঁটা একটি সম্পূর্ণ বৃত্তাকার পথ বা ১২ ঘন্টা অতিক্রম করতে একবার ঘোরে।
সুতরাং, প্রতি ১২ ঘন্টায় কাঁটা ঘোরে = ১ বার
অতএব, ৭২ ঘন্টায় ঘুরবে = $\frac{72}{12}$ বার = 6 বার।

এটি একটি ফিবোনাচ্চি (Fibonacci) ধারা, যেখানে যেকোনো পদ তার পূর্ববর্তী দুটি পদের যোগফলের সমান।
ধারাটি: ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১...
এখানে, ৮ম পদ = ২১
অতএব, ৯ম পদ = ৬ষ্ঠ পদ + ৭ম পদ = ১৩ + ২১ = ৩৪
এবং, ১০ম পদ = ৮ম পদ + ৯ম পদ = ২১ + ৩৪ = ৫৫।

প্রদত্ত ধারা: ৪, ৯, ১৬, ২৫...
এখানে, পদগুলো যথাক্রমে $২^২, ৩^২, ৪^২...$
এটি ক্রমিক সংখ্যা ২, ৩, ৪... এর বর্গের অনুক্রম।
সুতরাং পরবর্তী সংখ্যা $= ৫^২ = ২৫।$

মধ্যবর্তী কোণ $= |\frac{১১ \times \text{মিনিট} - ৬০ \times \text{ঘণ্টা}}{২}|^\circ$
$= |\frac{১১ \times ০ - ৬০ \times ৩}{২}|^\circ$
$= |\frac{০ - ১৮০}{২}|^\circ$
$= |-৯০|^\circ = ৯০^\circ$