বীজগণিত (Algebra)

সমাধান:

আমরা জানি, বর্গের সূত্র: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

প্রদত্ত রাশিটি হলো: $a^2 - 2ab$

রাশিটিকে পূর্ণবর্গ $(a - b)^2$ করতে হলে এর সাথে $b^2$ যোগ করতে হবে।

তাহলে, $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$, যা একটি পূর্ণবর্গ রাশি।

সমাধান:

সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, একই ভিত্তির (Base) গুণফলের ক্ষেত্রে শক্তি বা ঘাতগুলো (Powers) যোগ হয়।

প্রদত্ত রাশি: $a^m \times a^n \times a^{-p}$

$= a^{(m + n + (-p))}$

$= a^{m + n - p}$

সমাধান:

আমরা জানি, $a^2 + \frac{1}{a^2} = (a - \frac{1}{a})^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a}$

$= (3)^2 + 2$

$= 9 + 2 = 11$

সমাধান:

ধরি, সংখ্যাটি $x$

প্রশ্নমতে, $\frac{১}{৩}(x + ১৩) = ২x + ১$

বা, $x + ১৩ = ৩(২x + ১)$

বা, $x + ১৩ = ৬x + ৩$

বা, $১৩ - ৩ = ৬x - x$

বা, $৫x = ১০$

$\therefore x = ২$

সমাধান:

দেওয়া আছে, $x^2 - 25 = 12$

$\Rightarrow (x+5)(x-5) = 12$ [সূত্র: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$]

$\Rightarrow 4(x-5) = 12$ [মান বসিয়ে, $x+5=4$]

$\Rightarrow x-5 = \frac{12}{4} = 3$

সঠিক উত্তর: ৩৫

দেওয়া আছে,
$x + y = 12$ ...(i)
$x - y = 2$ ...(ii)

(i) ও (ii) যোগ করে পাই,
$2x = 14$
$\therefore x = 7$

(i) হতে পাই,
$7 + y = 12$
$\therefore y = 5$

সুতরাং, $xy = 7 \times 5 = 35$

সঠিক উত্তর: 5

দেওয়া আছে,
$(a-5)(a+x) = a^2 - 25$
বা, $(a-5)(a+x) = (a-5)(a+5)$ [সূত্র: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$]
উভয় পক্ষ থেকে $(a-5)$ বাদ দিয়ে পাই,
$a+x = a+5$
$\therefore x = 5$

প্রদত্ত ধারা: $8, 11, 17, 29, 53$

পার্থক্য নির্ণয়:

• $11 - 8 = 3$
• $17 - 11 = 6$ ($3 \times 2$)
• $29 - 17 = 12$ ($6 \times 2$)
• $53 - 29 = 24$ ($12 \times 2$)

পরবর্তী পার্থক্য হবে: $24 \times 2 = 48$

$\therefore$ পরবর্তী সংখ্যাটি = $53 + 48 =$ 101

$\sqrt{0.0009}$

$= \sqrt{\frac{9}{10000}}$

$= \frac{3}{100}$

$=$ 0.03

সঠিক উত্তর: - 3

ব্যাখ্যা:
ধরি, সংখ্যাটি $x$
প্রশ্নমতে, $-1 - x = 2$
$\Rightarrow -x = 2 + 1$
$\Rightarrow -x = 3$
$herefore x = -3$

প্রদত্ত রাশি, $\log_3 27$

= $\log_3 (3^3)$ [কারণ $3 \times 3 \times 3 = 27$]

= $3 \log_3 3$ [সূত্র: $\log_a M^r = r \log_a M$]

= $3 \times 1$ [সূত্র: $\log_a a = 1$]

= $3$

ধারাটি লক্ষ্য করুন:

$1 + 2 = 3$

$2 + 3 = 5$

$3 + 5 = 8$

এটি একটি ফিবোনাচ্চি (Fibonacci) ধারা যেখানে পরবর্তী পদটি পূর্বের দুটি পদের যোগফল।

$\therefore$ পরবর্তী পদ = $5 + 8 = 13$

$\mathrm{A} \cap \mathrm{B}$ মানে হলো সেট $\mathrm{A}$ এবং সেট $\mathrm{B}$ এর সাধারণ (common) উপাদান।

এখানে,

$\mathrm{A} = \{1, 2, \mathbf{3}\}$

$\mathrm{B} = \{\mathbf{3}, 5\}$

উভয় সেটে শুধুমাত্র $\mathbf{3}$ বিদ্যমান।

$\therefore \mathrm{A} \cap \mathrm{B} = \{3\}$

দেওয়া আছে,
$x + 5y = 16$ ------ (i)
$x = 3y$ ------ (ii)

(i) নং সমীকরণে $x$ এর মান বসিয়ে পাই,
$3y + 5y = 16$
$\Rightarrow 8y = 16$
$\Rightarrow y = \frac{16}{8}$
$\therefore y = 2$

সঠিক উত্তর: 4

সমাধান:

দেয়া আছে, $\log_{2\sqrt{5}} 400 = x$

বা, $(2\sqrt{5})^x = 400$

এখন, $(2\sqrt{5})^2 = 4 \times 5 = 20$

আবার, $20^2 = 400$

অর্থাৎ, $\{(2\sqrt{5})^2\}^2 = 400$

বা, $(2\sqrt{5})^4 = 400$

$\therefore x = 4$

দেওয়া আছে,
$x^2 - 4x + 1 = 0$

বা, $x^2 + 1 = 4x$

বা, $\frac{x^2 + 1}{x} = 4$ [উভয় পক্ষকে $x$ দ্বারা ভাগ করে]

$\therefore x + \frac{1}{x} = 4$

আমরা জানি,
$\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 4$

$= (4)^2 - 4 = 16 - 4 = 12$

$\therefore x - \frac{1}{x} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

এখন,
প্রদত্ত রাশি $= x^2 - \frac{1}{x^2}$

$= \left(x + \frac{1}{x}\right)\left(x - \frac{1}{x}\right)$

$= 4 \times 2\sqrt{3}$

$= 8\sqrt{3}$

সঠিক উত্তর: $8\sqrt{3}$

সঠিক উত্তর: $-1$

ব্যাখ্যা: $\sin\theta$-এর মান সর্বদা $-1$ থেকে $+1$ এর মধ্যে থাকে। অর্থাৎ $-1 \leq \sin\theta \leq 1$। সুতরাং সর্বনিম্ন মান $-1$।

সঠিক উত্তর: $\frac{3}{5}$

সমাধান:
দেওয়া আছে, $x + \frac{1}{x} = 3$
বা, $\frac{x^2+1}{x} = 3$
বা, $x^2+1 = 3x$

প্রদত্ত রাশি = $\frac{x^2+1}{x^2+2x+1}$
লব অংশে $x^2+1$-এর মান বসাই:
= $\frac{3x}{(x^2+1)+2x}$
= $\frac{3x}{3x+2x}$
= $\frac{3x}{5x}$
= $\frac{3}{5}$

সঠিক উত্তর: $\frac{53}{72}$

সমাধান:
দেওয়া আছে, $\frac{x}{y} = \frac{4}{5}$
ধরি, $x=4, y=5$
প্রদত্ত রাশি = $\frac{5}{8} + \frac{y-x}{y+x}$
= $\frac{5}{8} + \frac{5-4}{5+4}$
= $\frac{5}{8} + \frac{1}{9}$
= $\frac{45+8}{72}$
= $\frac{53}{72}$

দেওয়া আছে, $A = \{x : x$ মৌলিক সংখ্যা এবং $x \leq 9\}$

এখানে $9$ বা $9$ এর ছোট মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: $2, 3, 5, 7$।

সুতরাং, $A = \{2, 3, 5, 7\}$

সেট $A$ এর উপাদান সংখ্যা, $n = 4$।

আমরা জানি, কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা $n$ হলে, তার শক্তি সেট বা Power Set $P(A)$ এর উপাদান সংখ্যা হবে $2^n$।

$\therefore P(A) = 2^4 =$ 16

প্রদত্ত রাশি,
$a - \{a - (a + 2)\}$
$= a - \{a - a - 2\}$ [প্রথম বন্ধনী অপসারণ করে]
$= a - \{-2\}$ [যোগ-বিয়োগ করে]
$= a + 2$ [দ্বিতীয় বন্ধনী অপসারণ করে]

দেওয়া আছে, $\log_4 64$

$= \log_4 (৪^৩)$ [কারণ $৪ \times ৪ \times ৪ = ৬৪$]

$= ৩ \log_4 ৪$ [সূচকের নিয়ম অনুযায়ী ঘাত সামনে আসে]

$= ৩ \times ১$ [যেহেতু $\log_a a = ১$]

$=$ ৩

প্রদত্ত রাশি = $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6} + 2}$

হর থেকে অমূলদ সংখ্যা দূর করতে লব ও হরকে $(\sqrt{6} - 2)$ দ্বারা গুণ করি:

= $\frac{\sqrt{2}(\sqrt{6} - 2)}{(\sqrt{6} + 2)(\sqrt{6} - 2)}$

= $\frac{\sqrt{12} - 2\sqrt{2}}{(\sqrt{6})^2 - (2)^2}$

= $\frac{\sqrt{4 \times 3} - 2\sqrt{2}}{6 - 4}$

= $\frac{2\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{2}$

= $\frac{2(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{2}$

= $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

ধরি, ক্রমিক সংখ্যা দুটি $x$ এবং $x+1$।

প্রশ্নমতে, $(x+1)^2 - x^2 = 49$

$\Rightarrow (x^2 + 2x + 1) - x^2 = 49$

$\Rightarrow 2x + 1 = 49$

$\Rightarrow 2x = 48$

$\therefore x = 24$

সুতরাং, ছোট সংখ্যাটি ২৪ এবং বড় সংখ্যাটি $(24+1) = 25$।

দেওয়া আছে,
$P = \{x : x, 12 \text{ এর গুণনীয়কসমূহ}\}$
$= \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$

$Q = \{x : x, 3 \text{ এর গুণিতক এবং } x \leq 12\}$
$= \{3, 6, 9, 12\}$

$\therefore P - Q = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} - \{3, 6, 9, 12\}$
$= \{1, 2, 4\}$

[বি.দ্র: $P-Q$ মানে হলো $P$ সেটের উপাদানগুলো থেকে $Q$ সেটের সাধারণ উপাদানগুলো বাদ দেওয়া।]

দেওয়া আছে, $x - 2y = 3$

প্রদত্ত রাশি = $x^3 - 8y^3 - 18xy$
$= (x)^3 - (2y)^3 - 18xy$
$= (x - 2y)^3 + 3 \cdot x \cdot 2y (x - 2y) - 18xy$ [সূত্র: $a^3 - b^3 = (a-b)^3 + 3ab(a-b)$]
$= (3)^3 + 6xy(3) - 18xy$
$= 27 + 18xy - 18xy$
$= 27$

১০০ এর পরবর্তী ৩ দ্বারা বিভাজ্য প্রথম সংখ্যাটি = ১০২।
২০০ এর পূর্ববর্তী ৩ দ্বারা বিভাজ্য শেষ সংখ্যাটি = ১৯৮।

এটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম পদ $a = ১০২$, শেষ পদ $p = ১৯৮$ এবং সাধারণ অন্তর $d = ৩$।

পদসংখ্যা = $\frac{\text{শেষ পদ} - \text{প্রথম পদ}}{\text{অন্তর}} + ১$
$= \frac{১৯৮ - ১০২}{৩} + ১$
$= \frac{৯৬}{৩} + ১$
$= ৩২ + ১$
$= ৩৩$টি।

দেওয়া আছে,
$125 (\sqrt{5})^{2x} = 1$

$\Rightarrow 5^3 \cdot (5^{\frac{1}{2}})^{2x} = 1$
$\Rightarrow 5^3 \cdot 5^x = 1$ [যেহেতু $\frac{1}{2} \times 2x = x$]
$\Rightarrow 5^{3+x} = 5^0$ [যেকোনো সংখ্যার পাওয়ার $0$ হলে তার মান $1$]
$\Rightarrow 3 + x = 0$
$\therefore x = -3$

সঠিক উত্তর: ৭৫

বিস্তারিত সমাধান:
ধরি, ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা = $x$ জন।
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় = $(x + ২৫)$ পয়সা।
মোট টাকা = ৭৫ টাকা = $৭৫ \times ১০০ = ৭৫০০$ পয়সা।

প্রশ্নমতে,
$x(x + ২৫) = ৭৫০০$
$\Rightarrow x^2 + ২৫x - ৭৫০০ = ০$
$\Rightarrow x^2 + ১০০x - ৭৫x - ৭৫০০ = ০$ [মিডল টার্ম ব্রেক]
$\Rightarrow x(x + ১০০) - ৭৫(x + ১০০) = ০$
$\Rightarrow (x + ১০০)(x - ৭৫) = ০$

হয়, $x + ১০০ = ০ \Rightarrow x = -১০০$ (গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না)
অথবা, $x - ৭৫ = ০ \Rightarrow x = ৭৫$

$\therefore$ ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা ৭৫ জন।

সঠিক উত্তর: ৫৫

এটি একটি ফিবোনাক্কি (Fibonacci) ধারা। এই ধারায় পরপর দুটি পদের যোগফল পরবর্তী পদের সমান।

• ১ + ২ = ৩
• ২ + ৩ = ৫
• ৩ + ৫ = ৮
• ৫ + ৮ = ১৩
• ৮ + ১৩ = ২১
• ১৩ + ২১ = ৩৪

সুতরাং, পরবর্তী পদ = ২১ + ৩৪ = ৫৫।

সঠিক উত্তর: ১০০

ধরি, ক্রমিক সংখ্যা দুটি $x$ এবং $x+1$।

শর্তমতে, $(x+1)^2 - x^2 = 199$

$\Rightarrow x^2 + 2x + 1 - x^2 = 199$

$\Rightarrow 2x = 198$

$\Rightarrow x = 99$

বড় সংখ্যাটি = $x + 1 = 99 + 1 =$ 100।

সঠিক উত্তর: ৩৫

আমরা জানি, $xy = \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 - \left(\frac{x-y}{2}\right)^2$

$= \left(\frac{12}{2}\right)^2 - \left(\frac{2}{2}\right)^2$

$= (6)^2 - (1)^2$

$= 36 - 1 =$ 35

বিকল্প: $2x = 14 \Rightarrow x=7$, $2y = 10 \Rightarrow y=5$। সুতরাং $xy = 7 \times 5 = 35$।

প্রদত্ত ধারা:
$\log 2 + \log 4 + \log 8 + ......$
$= \log 2 + \log 2^2 + \log 2^3 + ......$
$= \log 2 + 2\log 2 + 3\log 2 + ......$
এটি একটি সমান্তর ধারা যার প্রথম ১০টি পদের সমষ্টি বের করতে হবে।

ধারাটি থেকে $\log 2$ কমন নিলে পাই:
$\log 2 (1 + 2 + 3 + ...... + 10)$

স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির সূত্র $\frac{n(n+1)}{2}$ ব্যবহার করে:
$= \log 2 \times \frac{10(10+1)}{2}$
$= \log 2 \times \frac{10 \times 11}{2}$
$= 55 \log 2$

সঠিক উত্তর: ১০০

ধরি, ক্রমিক সংখ্যা দুটি $x$ এবং $x+1$।
প্রশ্নমতে, $(x+1)^2 - x^2 = 199$
$\Rightarrow x^2 + 2x + 1 - x^2 = 199$
$\Rightarrow 2x = 199 - 1$
$\Rightarrow 2x = 198$
$\Rightarrow x = 99$

অতএব, বড় সংখ্যাটি = $x+1 = 99+1 =$ 100।

প্রদত্ত রাশি: $a - \{a - (a + 1)\}$
$= a - \{a - a - 1\}$ [প্রথম বন্ধনী অপসারণ]
$= a - \{-1\}$ [যোগ-বিয়োগ করে]
$= a + 1$ [মাইনাসে মাইনাসে প্লাস]

স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির সূত্র: $\frac{n(n+1)}{2}$
এখানে $n = ৭০$
$\therefore$ সমষ্টি = $\frac{৭০(৭০+১)}{২}$
= $\frac{৭০ \times ৭১}{২}$
= $৩৫ \times ৭১$
= $২৪৮৫$

দেওয়া আছে, $\frac{Q}{P} = \frac{1}{4}$

ধরি, $Q = 1$ এবং $P = 4$

প্রদত্ত রাশি = $\frac{P+Q}{P-Q}$

$= \frac{4+1}{4-1}$

$= \frac{5}{3}$

সঠিক উত্তর: $\frac{5}{3}$

আমরা জানি,

$2(x^2 + y^2) = (x + y)^2 + (x - y)^2$

মান বসিয়ে পাই,

$2(x^2 + y^2) = (8)^2 + (6)^2$

$\Rightarrow 2(x^2 + y^2) = 64 + 36$

$\Rightarrow 2(x^2 + y^2) = 100$

$\Rightarrow x^2 + y^2 = \frac{100}{2} = 50$