জ্যামিতি

ধরি, বৃত্তের ব্যাস = $2x$ একক

এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $\frac{2x}{2} = x$ একক

তাহলে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = $\pi x^2$ বর্গ একক

এখন,

তিনগুণ বৃদ্ধিতে বৃত্তের নতুন ব্যাস = $3 \times 2x = 6x$ একক

এবং ব্যাসার্ধ = $\frac{6x}{2} = 3x$ একক

সেক্ষেত্রে বৃত্তের নতুন ক্ষেত্রফল = $\pi (3x)^2 = 9\pi x^2$ বর্গ একক

$\therefore$ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে = $\frac{9\pi x^2}{\pi x^2} = 9$ গুণ।

চাকাটি ১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ডে ঘোরে = ৯০ বার

$\therefore$ চাকাটি ১ সেকেন্ডে ঘোরে = $\frac{90}{60} = \frac{3}{2}$ বার

আমরা জানি, চাকা ১ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = $360^{\circ}$

$\therefore$ চাকা $\frac{3}{2}$ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = $\frac{360^{\circ} \times 3}{2} = 540^{\circ}$

মনে করি, ২য় বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = $a$ একক
$\therefore$ ১ম বর্গক্ষেত্রের এক বাহু = $4a$ একক (যেহেতু ২য় টির পরিসীমার সমান)

কর্ণদ্বয়ের অনুপাত = $\sqrt{(4a)^2 + (4a)^2} : \sqrt{a^2 + a^2}$
$= \sqrt{16a^2 + 16a^2} : \sqrt{2a^2}$
$= \sqrt{32a^2} : \sqrt{2a^2}$
$= 4\sqrt{2}a : \sqrt{2}a$
$=$ $4 : 1$

(নোট: বইয়ের সমাধানে প্রথম বর্গের বাহু $8a$ এবং ২য় বর্গের বাহু $a$ ধরা হয়েছে যা প্রশ্নমতে সঠিক নয়। প্রশ্নমতে ২য় বর্গের পরিসীমা $4a$ হলে ১ম বর্গের বাহু $4a$ হবে। সেক্ষেত্রে অনুপাত $4:1$ হয়। কিন্তু বইয়ের সমাধান অনুযায়ী $8:1$ উত্তর হিসেবে দেওয়া আছে। সম্ভবত প্রশ্নে 'পরিসীমার দ্বিগুণ' কথাটি মিসিং আছে। বইয়ের প্রদত্ত সমাধান অনুযায়ী উত্তর 'খ')

দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি $১৮০^\circ$ বা দুই সমকোণ হলে একটি অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (যতগুণ ব্যাস/ব্যাসার্ধ বৃদ্ধি)$^2$ গুণ
= $(৩)^২$ গুণ = ৯ গুণ।

আমরা জানি, $(x, y)$ বিন্দুগামী $m$ ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ, $y = mx + c$
$\therefore 3$ ঢালবিশিষ্ট মূল বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, $y = 3x$
তাহলে, $(6, y)$ বিন্দুগামী সরলরেখার ক্ষেত্রে, $y = 3 \times 6 = 18$
$(x, 12)$ বিন্দুগামী সরলরেখার ক্ষেত্রে, $12 = 3x$ বা $x = 4$
সুতরাং, $y - x = 18 - 4 = 14$।

আমরা জানি, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $= \frac{\theta}{360^\circ}\pi r^2$
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$
প্রশ্নমতে, $\frac{\frac{\theta}{360^\circ}\pi r^2}{\pi r^2} = \frac{3}{5}$
$\therefore \frac{\theta}{360^\circ} = \frac{3}{5}$
$\therefore$ বৃত্তকলার চাপের দৈর্ঘ্য $= \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r$
এবং বৃত্তের পরিধি $= 2\pi r$
$\therefore$ নির্ণেয় অনুপাত $=$ বৃত্তকলার চাপের দৈর্ঘ্য : বৃত্তের পরিধি
$= \frac{\frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r}{2\pi r}$
$= \frac{\theta}{360^\circ}$
$= \frac{3}{5}$

$Y = ax + b$ ........ (1)
$Y = cx + d$ ........ (2)
(1) ও (2) সমীকরণকে $y = mx + c$ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই, প্রথম রেখার ঢাল $m_1 = a$ এবং দ্বিতীয় রেখার ঢাল $m_2 = c$।
আমরা জানি, দুটি রেখা সমান্তরাল হবে যদি তাদের ঢাল সমান হয়। সুতরাং প্রদত্ত রেখা দুটি সমান্তরাল হবে যদি $a = c$ হয়।

আমরা জানি, $(x_1, y_1)$ ও $(x_2, y_2)$ বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব $= \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$

প্রশ্নমতে, $\sqrt{(k - 2)^2 + (3 - 3)^2} = 5$

$\Rightarrow \sqrt{(k - 2)^2} = 5$

$\Rightarrow |k - 2| = 5$

$\Rightarrow k - 2 = 5 \Rightarrow k = 7$ (বা $k - 2 = -5 \Rightarrow k = -3$, যা অপশনে নেই)

$\therefore k = 7$

যেকোনো উত্তল বহুভুজের (যেমন- ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, পঞ্চভুজ, ষড়ভুজ ইত্যাদি) বাহুগুলোকে একইদিকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণসমূহের সমষ্টি সব সময়ই $৩৬০^\circ$ হয়।

যেকোনো ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি সর্বদা দুই সমকোণ বা $১৮০^\circ$।

$n$ বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি $= (২n - ৪)$ সমকোণ।
এখানে, পঞ্চভুজের ক্ষেত্রে বাহুর সংখ্যা, $n = ৫$
অতএব, কোণের সমষ্টি $= (২ \times ৫ - ৪)$ সমকোণ
$= (১০ - ৪)$ সমকোণ
$=$ ৬ সমকোণ।

দুটি পরস্পর বিপরীত রশ্মি তাদের সাধারণ প্রান্ত বিন্দুতে যে কোণ উৎপন্ন হয়, তাকে সরল কোণ বলে। এক সরল কোণ দুই সমকোণ বা $১৮০^\circ$।

বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে বৃত্তের উপর কোনো বিন্দুতে ছেদ করলে তাদের মধ্যবর্তী কোণকে বৃত্তস্থ কোণ বলে। কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ। কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ। আর অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ বা $৯০^\circ$।

ধরি, ত্রিভুজের কোণগুলো যথাক্রমে $2x$, $3x$ এবং $4x$
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$
প্রশ্নমতে, $2x + 3x + 4x = 180^{\circ}$
$\Rightarrow 9x = 180^{\circ}$
$\Rightarrow x = 20^{\circ}$
অতএব, বৃহত্তম কোণ $= 4x = 4 \times 20^{\circ} = 80^{\circ}$

দুইটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা $৯০^\circ$ হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
সে অনুসারে, $৯০^\circ$ কোণের পূরক কোণ $= ৯০^\circ - ৯০^\circ = ০^\circ$