2sin 2 θ + 3cosθ - 3 = 0 হলে, θ এর মান কত? যেখানে θ সূক্ষ্মকোণ

সঠিক উত্তর: 60° প্রশ্ন: 2sin 2 θ + 3cosθ - 3 = 0 হলে, θ এর মান কত? যেখানে θ সূক্ষ্মকোণ সমাধান: 2sin²θ + 3cos θ = 0 2(1- cos²θ) + 3cosθ - 3= 0 বা, 2 - 2cos²θ + 3cosθ - 3= 0 বা, -2cos²θ + 3cosθ - 1 = 0 বা, - 1(2cos²θ - 3cosθ + 1) = 0 বা, 2cos²θ - 3cosθ + 1 = 0 বা, 2cos²θ - 2cosθ - cosθ + 1 = 0 বা, 2cosθ(cosθ - 1)- (cosθ - 1) = 0 বা,(cosθ - 1)(2cosθ - 1) = 0 হয় 2cosθ - 1 = 0 cosθ = 1/2 cosθ =cos60° θ =60° অথবা cosθ - 1 = 0 cosθ = 1 cosθ = Cos0° θ = 0° [গ্রহণযোগ্য নয়] এই ত্রিকোণমিতিক সমীকরণটি সমাধানের জন্য, প্রথমে $\sin^2\theta$ কে $\cos\theta$-তে রূপান্তর করতে হবে। আমরা জানি, মৌলিক অভেদ অনুযায়ী $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$। প্রদত্ত সমীকরণ: $2\sin^2\theta + 3\cos\theta - 3 = 0$ বা, $2(1 - \cos^2\theta) + 3\cos\theta - 3 = 0$ বা, $2 - 2\cos^2\theta + 3\cos\theta - 3 = 0$ বা, $-2\cos^2\theta + 3\cos\theta - 1 = 0$ উভয় পক্ষকে $-1$ দ্বারা গুণ করে পাই: $2\cos^2\theta - 3\cos\theta + 1 = 0$

💼

NTRCA - College Level

Mathematics (College)

NTRCA (Teacher Registration) · NTRCA - College Level — বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক পেজে।

নিচে NTRCA (Teacher Registration) নিয়োগ পরীক্ষার NTRCA - College Level বিষয়ের "Mathematics (College)" অধ্যায়ের বাছাইকৃত ১৯টি বহুনির্বাচনি প্রশ্ন — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ। সবই বিনামূল্যে।

a, b, c ক্রমিক সমানুপাতিক হলে নিচের কোনটি সঠিক?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

ক
$ab = bc$
খ
$a^2 = bc$
$b^2 = ca$
ঘ
$c^2 = ab$

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন : a, b, c ক্রমিক সমানুপাতিক হলে নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান :
a, b, c ক্রমিক সমানুপাতি হলে
a : b = b : c
a/b = b/c
b² = ac

ব্যাখ্যা

যদি তিনটি সংখ্যা a, b, c ক্রমিক সমানুপাতিক (Continued Proportion) হয়, তবে প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার অনুপাত এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার অনুপাত সর্বদা সমান হয়।

অর্থাৎ:

a : b = b : c

এটিকে ভগ্নাংশ আকারে লিখলে দাঁড়ায়:

\frac{a}{b} = \frac{b}{c}

এরপর কোণাকুণি গুণন (Cross Multiplication) করলে পাওয়া যায়:

b \times b = a \times c

ফলাফল স্বরূপ সঠিক সম্পর্কটি হলো: $b^2 = ac$ (বা

b^2 = ca

)।

এখানে,

b

কে

a

এবং

c

-এর মধ্য সমানুপাতী (Mean Proportional) বলা হয়।

2sin²θ + 3cosθ - 3 = 0 হলে, θ এর মান কত? যেখানে θ সূক্ষ্মকোণ

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

ক
30°
খ
0°
60°
ঘ
45°

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: 2sin²θ + 3cosθ - 3 = 0 হলে, θ এর মান কত? যেখানে θ সূক্ষ্মকোণ

সমাধান:
2sin²θ + 3cos θ = 0
2(1- cos²θ) + 3cosθ - 3= 0
বা, 2 - 2cos²θ + 3cosθ - 3= 0
বা, -2cos²θ + 3cosθ - 1 = 0
বা, - 1(2cos²θ - 3cosθ + 1) = 0
বা, 2cos²θ - 3cosθ + 1 = 0
বা, 2cos²θ - 2cosθ - cosθ + 1 = 0
বা, 2cosθ(cosθ - 1)- (cosθ - 1) = 0
বা,(cosθ - 1)(2cosθ - 1) = 0
হয়
2cosθ - 1 = 0
cosθ = 1/2
cosθ =cos60°
θ =60°

অথবা
cosθ - 1 = 0
cosθ = 1
cosθ = Cos0°
θ = 0° [গ্রহণযোগ্য নয়]

ব্যাখ্যা

এই ত্রিকোণমিতিক সমীকরণটি সমাধানের জন্য, প্রথমে

\sin^2\theta

কে

\cos\theta

-তে রূপান্তর করতে হবে। আমরা জানি, মৌলিক অভেদ অনুযায়ী

\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta

।

প্রদত্ত সমীকরণ:

2\sin^2\theta + 3\cos\theta - 3 = 0

বা,

2(1 - \cos^2\theta) + 3\cos\theta - 3 = 0

বা,

2 - 2\cos^2\theta + 3\cos\theta - 3 = 0

বা,

-2\cos^2\theta + 3\cos\theta - 1 = 0

উভয় পক্ষকে

-1

দ্বারা গুণ করে পাই:

2\cos^2\theta - 3\cos\theta + 1 = 0

এটি

\cos\theta

-এর দ্বিঘাত সমীকরণ। মিডল টার্ম ব্রেক করে পাই:

2\cos^2\theta - 2\cos\theta - \cos\theta + 1 = 0

বা,

2\cos\theta(\cos\theta - 1) - 1(\cos\theta - 1) = 0

বা,

(\cos\theta - 1)(2\cos\theta - 1) = 0

এখানে দুটি সম্ভাব্য সমাধান রয়েছে:

১.

2\cos\theta - 1 = 0 \Rightarrow \cos\theta = 1/2 \Rightarrow \cos\theta = \cos 60^{\circ} \Rightarrow \theta = 60^{\circ}

।

২.

\cos\theta - 1 = 0 \Rightarrow \cos\theta = 1 \Rightarrow \cos\theta = \cos 0^{\circ} \Rightarrow \theta = 0^{\circ}

।

যেহেতু প্রশ্নে বলা হয়েছে

\theta

একটি সূক্ষ্মকোণ (অর্থাৎ,

0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}

), তাই $\theta = 60^{\circ}$ সঠিক উত্তর। (

0^{\circ}

কোণটি সাধারণত সূক্ষ্মকোণ হিসেবে ধরা হয় না।)

(Sinθ + Cosθ)/(Sinθ - Cosθ) = 7 হলে Secθ এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

ক
5/3
±5/3
গ
-5/3
ঘ
3/5

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

দেয়া আছে,
(Sinθ + Cosθ)/(Sinθ - Cosθ) = 7
⇒ (Sinθ + Cosθ) + (Sinθ - Cosθ)/(Sinθ - Cosθ) - (Sinθ - Cosθ) = (7 + 1)/(7 - 1)
⇒ (Sinθ + Cosθ + Sinθ - Cosθ)/(Sinθ - Cosθ - Sinθ + Cosθ) = 8/6
⇒ 2Sinθ/2Cosθ = 4/3
⇒ Sinθ/Cosθ = 4/3
⇒ tanθ = 4/3
⇒ tan²θ = 16/9
⇒ Sec²θ - 1 = 16/9
⇒ Sec²θ = (16/9) + 1
⇒ Sec²θ = (16 + 9)/9
⇒ Sec²θ = 25/9
⇒ Sec²θ = (16 + 9)/9
⇒ Sec²θ = 25/9
Secθ = ±5/3

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে:

\frac{\text{Sin}\theta + \text{Cos}\theta}{\text{Sin}\theta - \text{Cos}\theta} = 7

প্রথমে আমরা **যোগ-বিয়োজন (Componendo and Dividendo)** প্রক্রিয়া ব্যবহার করব। যোগ-বিয়োজন প্রক্রিয়া হলো: যদি

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

হয়, তবে

\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}

হবে।

এখানে A =

\text{Sin}\theta + \text{Cos}\theta

এবং B =

\text{Sin}\theta - \text{Cos}\theta

। ডানপাশে ৭ কে

\frac{7}{1}

ধরা যায়।

যোগ-বিয়োজন করে পাই:

\frac{(\text{Sin}\theta + \text{Cos}\theta) + (\text{Sin}\theta - \text{Cos}\theta)}{(\text{Sin}\theta + \text{Cos}\theta) - (\text{Sin}\theta - \text{Cos}\theta)} = \frac{7+1}{7-1}

\Rightarrow \frac{2\text{Sin}\theta}{2\text{Cos}\theta} = \frac{8}{6}

\Rightarrow \frac{\text{Sin}\theta}{\text{Cos}\theta} = \frac{4}{3}

অর্থাৎ, **

\text{tan}\theta = \frac{4}{3}

**।

এখন আমাদের **Sec

\theta

** এর মান বের করতে হবে। আমরা জানি, ত্রিকোণমিতিক অভেদ অনুযায়ী:

\text{Sec}^2\theta = 1 + \text{tan}^2\theta

মান বসিয়ে পাই:

\text{Sec}^2\theta = 1 + \left(\frac{4}{3}\right)^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{9+16}{9} = \frac{25}{9}

অতএব,

\text{Sec}\theta = \pm\sqrt{\frac{25}{9}} = \mathbf{\pm \frac{5}{3}}

।

যেহেতু প্রশ্নে কোণের অবস্থান (কোয়াড্রেন্ট) উল্লেখ নেই, তাই বর্গমূলের ক্ষেত্রে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক উভয় মানই গ্রহণ করতে হবে। তাই সঠিক উত্তরটি হলো **

\pm 5/3

**।

tanθ = √3 হলে cosθ = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

ক
$\sqrt{3}/2$
খ
$1/\sqrt{2}$
$1/2$
ঘ
$1$

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: tanθ = √3 হলে cosθ = কত?

সমাধান :
দেয়া আছে,
tanθ = √3
tanθ = tan60°
θ = 60°

cosθ = cos60°
= 1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্নানুসারে, আমাদের কাছে দেওয়া আছে

tan\theta = \sqrt{3}

।

ত্রিকোণমিতির আদর্শ মান সারণী অনুসারে, আমরা জানি যে

tan60^\circ

এর মান হলো

\sqrt{3}

।

সুতরাং, আমরা লিখতে পারি

tan\theta = tan60^\circ

। উভয় পক্ষ থেকে tan বাদ দিলে আমরা পাই:

\theta = 60^\circ

।

এখন আমাদের

cos\theta

এর মান বের করতে হবে।

\theta

এর মান বসিয়ে পাই

cos\theta = cos60^\circ

।

আদর্শ মান সারণী অনুযায়ী,

cos60^\circ

এর মান হলো $1/2$ ।

অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো $1/2$ (অপশন গ)। অন্যান্য অপশনগুলো ত্রিকোণমিতির ভিন্ন স্ট্যান্ডার্ড অ্যাঙ্গেলের মান নির্দেশ করে।

1 + 5 + 9 + ............ + 81 = ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

ক
21
861
গ
840
ঘ
860

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + ............ + 81 = ?

সমাধান:
১ম পদ a =1
সাধারন অন্তর d = (5 - 1) = 4
n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 81 = 1 + (n - 1) 4
⇒ 81 = 1 + 4n - 4
⇒ 4n = 84
⇒ n = 21

সমষ্টি S_n = (n/2) {2a + (n - 1)d}
= (21/2) {2 × 1 + (21 -1)4}
= (21/2) × 82
= 861

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression - AP)-এর সমষ্টি নির্ণয়ের প্রশ্ন।

ধারাটি হলো

1 + 5 + 9 + \dots + 81

এখানে, প্রথম পদ (

a

) = 1

সাধারণ অন্তর (

d

) =

5 - 1 = <strong>4</strong>

শেষ পদ (

L

) = 81

প্রথম ধাপ: পদসংখ্যা (n) নির্ণয়
পদসংখ্যার সূত্র:

L = a + (n-1)d

81 = 1 + (n-1)4

80 = (n-1)4

20 = n-1 \implies n = <strong>21</strong>

টি।

দ্বিতীয় ধাপ: সমষ্টি (Sₙ) নির্ণয়
সমান্তর ধারার সমষ্টির সূত্র:

S_n = \frac{n}{2}(a + L)

S_n = \frac{21}{2}(1 + 81)

S_n = \frac{21}{2} \times 82

S_n = 21 \times 41 = <strong>861</strong>

অতএব, ধারার সমষ্টি হলো ৮৬১, যা সঠিক উত্তর।

গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন

বিশেষ ক্রমানুযায়ী সাজানো ২, ৩, ৫, ৯, ১৭, - ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

ক
65
খ
45
33
ঘ
26

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: বিশেষ ক্রমানুযায়ী সাজানো ২, ৩, ৫, ৯, ১৭, - ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা কত?

সমাধান:
১ম পদ = ২
২য়পদ = ২ × ২ - ১ = ৩
৩য় পদ = ৩ × ২ - ১ = ৫
৪র্থ পদ = ৫ × ২ - ১ = ৯
৫ম পদ = ৯ × ২ - ১ = ১৭
৬ষ্ঠ পদ = ১৭ × ২ - ১ = ৩৩

ব্যাখ্যা

এই অনুক্রমটির (২, ৩, ৫, ৯, ১৭, -) পরবর্তী পদ নির্ণয়ের জন্য আমরা পরপর দুটি পদের মধ্যেকার পার্থক্য (Difference) বিশ্লেষণ করব।

পার্থক্যগুলো হলো:

৩ - ২ = ১

৫ - ৩ = ২

৯ - ৫ = ৪

১৭ - ৯ = ৮

দেখা যাচ্ছে, পার্থক্যগুলো একটি গুণোত্তর ধারায় (Geometric Progression) সজ্জিত—যা হলো

1, 2, 4, 8

। অর্থাৎ, প্রতিটি পার্থক্য তার পূর্ববর্তী পার্থক্যের দ্বিগুণ।

সুতরাং, পরবর্তী পার্থক্য হবে

৮ imes ২ = <strong>১৬</strong>

ধারাটির পরবর্তী সংখ্যা হবে বর্তমান শেষ পদ এবং পরবর্তী পার্থক্যের যোগফল:

১৭ + ১৬ = <strong>৩৩</strong>

।

tan 90° - এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

$\infty$
খ
$-\infty$
গ
$1$
ঘ
$-1$

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

tan 90° - এর মান অসঙ্গায়িত।

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো $\infty$ (অসীম বা অসংজ্ঞায়িত)।

আমরা জানি, ট্যানজেন্ট ফাংশনটিকে সাইন ও কোসাইনের অনুপাত হিসেবে লেখা যায়:

\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

যখন

\theta = 90^{\circ}

, তখন আমরা পাই:

\tan 90^{\circ} = \frac{\sin 90^{\circ}}{\cos 90^{\circ}}

ত্রিকোণমিতির মৌলিক মান অনুযায়ী,

\sin 90^{\circ} = 1

এবং

\cos 90^{\circ} = 0

।

সুতরাং,

\tan 90^{\circ} = \frac{1}{0}

। গণিতে শূন্য দ্বারা ভাগ করা অসংজ্ঞায়িত (Undefined)। এই অসংজ্ঞায়িত মানকে সাধারণত অসীম ( $\infty$ ) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

অন্যান্য অপশন যেমন 1 হলো

\tan 45^{\circ}

এর মান, যা এই প্রশ্নের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

ক
a
$a^{1/3}$
গ
1
ঘ
$a^3$

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

সমাধান:

{(a³)^1/3}^1/3

= (a³)^(1/3)(1/3)

= (a³)^1/9

= a^3(1/9)

= a^1/3

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি সূচক (Indices) সংক্রান্ত মৌলিক সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করতে হবে। সূচকের মূল সূত্র হলো: কোনো রাশির উপর একাধিক সূচক থাকলে, সেই সূচকগুলো পরস্পর গুণ হয়। অর্থাৎ,

\left\{\left(a^m\right)^n\right\}^p = a^{m \times n \times p}

।

প্রদত্ত রাশিটি হলো:

\left\{\left(a^3\right)^{1/3}\right\}^{1/3}

।

এখানে ভিতরের সূচকগুলো হলো $3$ , $\frac{1}{3}$ এবং $\frac{1}{3}$ ।

সূত্র অনুযায়ী, আমরা সূচকগুলোকে গুণ করব:

\text{নতুন সূচক} = 3 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}

প্রথম গুণফল:

3 \times \frac{1}{3} = 1

দ্বিতীয় গুণফল:

1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}

সুতরাং, রাশির মান দাঁড়ায়:

a^{\frac{1}{3}}

।

অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো $a^{1/3}$ ।

নিচের কোনটি উপবৃত্তের সমীকরণ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

(x²/3²) + (y²/4²) = 1
খ
(x²/3²) + (y²/3²) = 1 (এটি বৃত্তের সমীকরণ)
গ
y² = 4ax (এটি অধিবৃত্তের সমীকরণ)
ঘ
(x²/a²) - (y²/b²) = 1 (এটি পরাবৃত্তের সমীকরণ)

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

আমরা জানি,
উপবৃত্তের সমীকরণ, (x²/a²) + (y²/b²) = 1

এখানে,
x²/3² + y²/4² = 1 [যা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ]

যেখানে
a = 3 এবং b = 4

ব্যাখ্যা

উপবৃত্তের (Ellipse) আদর্শ সমীকরণ হলো: $$rac{x^2}{a^2} + rac{y^2}{b^2} = 1$$।

এই সমীকরণে

x^2

এবং

y^2

পদের মধ্যে অবশ্যই ধনাত্মক (+) চিহ্ন থাকতে হবে এবং সমীকরণের ডানপক্ষ ১ (এক) হতে হবে।

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র অপশন (ক) বা $(x^2/3^2) + (y^2/4^2) = 1$ এই শর্তটি পূরণ করে। তাই এটি একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।

1 + 1/3 + 1/9 + .................. ধারাটির প্রথম ৫টি পদের সমষ্টি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

121/81
খ
119/81
গ
81/121
ঘ
-121/81

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: 1 + 1/3 + 1/9 + .................. ধারাটির প্রথম ৫টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে
১ম পদ a = 1
সাধারণ অনুপাত r = (1/3) ÷ 1
= 1/3

প্রথম ৫টি পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r )
= 1{1 - (1/3)⁵}/{1 - 1/3}
= 1{(243 - 1)/343}/(2/3)
= (242/243)/(2/3)
= (242/243) × (3/2)
= 121/81

ব্যাখ্যা

এটি একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Series)। গুণোত্তর ধারার ক্ষেত্রে, যেকোনো পদের সাথে তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সর্বদা সমান থাকে।

এখানে, প্রথম পদ

a = <strong>1</strong>

সাধারণ অনুপাত

r = \frac{1/3}{1} = <strong>1/3</strong>

যেহেতু সাধারণ অনুপাত

|r| < 1

(অর্থাৎ,

1/3 < 1

), তাই প্রথম

n

সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:

S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}

।

এখানে,

n = 5

, তাই আমরা বসাবো:

S_5 = \frac{1(1 - (1/3)^5)}{1 - 1/3}

S_5 = \frac{1 - 1/243}{2/3}

S_5 = \frac{(243 - 1)/243}{2/3} = \frac{242/243}{2/3}

ভাগকে গুণ আকারে লিখলে,

S_5 = \frac{242}{243} \times \frac{3}{2}

লঘিষ্ঠকরণ করলে,

S_5 = \frac{121}{81}

।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 121/81।

ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য

ক্লাস ৬-১২ একাডেমিক প্রস্তুতিও নিন

ক্লাস ৬-১২, এসএসসি ও এইচএসসির সব বিষয়ের বোর্ড প্রশ্ন, অধ্যায়ভিত্তিক প্র্যাকটিস, লাইভ পরীক্ষা ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর একাডেমিক সেকশনে।

একাডেমিক প্রস্তুতি দেখুন

নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

ক
3x2 + 4y2 = 2
খ
xy = 1
গ
x + y = 4
x² + y² = 5

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন: নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?

সমাধান:
বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ট্য:
(i) x, y এর সর্বোচ্চ ঘাত 2।
(ii) x² ও y² এর সহগ সমান।
(iii) xy সম্বলিত পদ না থাকা।

∴ বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী x² + y² = 5 বৃত্তের সমীকরণ

ব্যাখ্যা

একটি দ্বিমাত্রিক স্থানাঙ্ক জ্যামিতির সমীকরণ কখন বৃত্তের সমীকরণ হবে, তা নির্ধারণের জন্য কিছু মৌলিক শর্ত মনে রাখা আবশ্যক।

সাধারণত একটি দ্বিতীয় মাত্রার সমীকরণ

Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0

যদি বৃত্ত নির্দেশ করে, তবে তা নিম্নলিখিত শর্তগুলো পূরণ করবে:

১.

x^2

এবং

y^2

এর সহগ অবশ্যই সমান হতে হবে। অর্থাৎ, $A = B$ ।

২. সমীকরণে কোনো $xy$ সম্বলিত পদ থাকতে পারবে না। অর্থাৎ, $H = 0$ ।

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র $x^2 + y^2 = 5$ সমীকরণটিতে

x^2

এর সহগ (1) এবং

y^2

এর সহগ (1) সমান। এছাড়া এতে কোনো

xy

পদ নেই।

তাই, এটি একটি বৃত্তের সমীকরণ যার কেন্দ্র

(0, 0)

এবং ব্যাসার্ধ

\sqrt{5}

।

অন্যান্য অপশনগুলো ভুল: $3x^2 + 4y^2 = 2$ (উপবৃত্ত), $xy = 1$ (পরাবৃত্ত) এবং $x + y = 4$ (সরলরেখা)।

কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

ক
ax2 + bx + c = 0
খ
y2 = ax
3x2 + 3y2 = 15
ঘ
y2 = 4x + 4

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

3x² + 3y² = 15
3(x² + y²) = 15
x² + y² = 5

বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ট্য;
(i) x, y এর সর্বোচ্চ ঘাত 2
(ii) x², y² এর সহগ সমান
(iii) xy সম্বলিত পদ না থাকা।
বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী x² + y² = 5 বৃত্তের সমীকরণ

ব্যাখ্যা

বৃত্তের সমীকরণ চেনার মূল বৈশিষ্ট্য হলো:
(১) সমীকরণে

x

এবং

y

উভয়ের সর্বোচ্চ ঘাত ২ (দুই) হবে।
(২)

x^2

এবং

y^2

এর সহগ পরস্পর সমান হতে হবে।
(৩) সমীকরণে $xy$ সম্বলিত কোনো পদ থাকা চলবে না।

প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে, শুধুমাত্র $3x^2 + 3y^2 = 15$ এই শর্তগুলো পূরণ করে।

আমরা যদি সমীকরণটিকে ৩ দ্বারা ভাগ করি, তবে পাই:

x^2 + y^2 = 5

। এটি বৃত্তের আদর্শ রূপ

x^2 + y^2 = r^2

এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, যেখানে কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক

(0, 0)

এবং ব্যাসার্ধ

r = \sqrt{5}

। সুতরাং, এটিই সঠিক উত্তর।

অন্যান্য অপশনগুলো যেমন:

y^2 = ax

বা

y^2 = 4x + 4

হলো পরাবৃত্তের (Parabola) সমীকরণ। এখানে শুধুমাত্র একটি চলকের ঘাত ২ এবং অন্যটির ঘাত ১।

{(ab + b²)/ab} ÷ {(a + b)/a} = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

ক
(a + b)/a²
খ
a/b
1
ঘ
(a - b)/a²

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: {(ab + b²)/ab} ÷ {(a + b)/a} = কত?
সমাধান:
{(ab + b2)/ab} ÷ {(a + b)/a}
= {b(a + b)/ab} × {a/(a + b)}
= 1

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতীয় রাশির সরলীকরণের একটি সাধারণ সমস্যা। সঠিক সমাধান পেতে আমাদের ক্রমানুসারে উৎপাদকে বিশ্লেষণ ও ভাগের নিয়ম অনুসরণ করতে হবে।

প্রথম ধাপ (উৎপাদকে বিশ্লেষণ): প্রথম ভগ্নাংশের লব হলো

ab + b^2

। এখানে

b

কমন নেওয়া যায়।

ab + b^2 = b(a + b)

।

এখন রাশিমালাটি দাঁড়ায়:

\frac{b(a + b)}{ab} \div \frac{a + b}{a}

।

দ্বিতীয় ধাপ (ভাগকে গুণে রূপান্তর): ভগ্নাংশের ভাগকে গুণে রূপান্তর করতে হলে দ্বিতীয় ভগ্নাংশটিকে উল্টে দিতে হয় (ব্যস্তকরণ)।

\frac{b(a + b)}{ab} \times \frac{a}{(a + b)}

তৃতীয় ধাপ (সরলীকরণ): এখন লব ও হরের সাধারণ পদগুলি বাতিল (Cancel) করতে হবে।
লব:

b \times (a + b) \times a

হর:

a \times b \times (a + b)

লক্ষ্য করুন, লব ও হরে $a$ , $b$ এবং $(a + b)$ তিনটি পদই বিদ্যমান। সবগুলো বাতিল হয়ে গেলে ফলাফল হবে:

1

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো $1$ (অপশন ৩)।

(√3 × √5)⁴ এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

ক
30
খ
60
225
ঘ
115

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: (√3 × √5)⁴এর মান কত?

সমাধান:
(√3 × √5)⁴
= {√(3× 5)}⁴
= (√15)⁴
= (15 × 15)
= 225

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি সূচকের মৌলিক নিয়মাবলী থেকে এসেছে। আমাদের প্রথমে বন্ধনীর ভিতরের অংশটিকে সরল করতে হবে।

আমরা জানি, দুটি বর্গমূল রাশিকে গুণ করার সূত্র হলো

\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}

।

সুতরাং,

(\sqrt{3} \times \sqrt{5})

এর মান হবে

\sqrt{3 \times 5} = \mathbf{\sqrt{15}}

।

এখন সম্পূর্ণ রাশিটি দাঁড়ায়

(\sqrt{15})^4

। এটিকে আমরা এভাবেও লিখতে পারি:

(15^{\frac{1}{2}})^4

সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, যখন ঘাতের উপর ঘাত থাকে

(a^m)^n

, তখন ঘাত দুটি গুণ হয়

(a^{m \times n})

। এক্ষেত্রে,

15^{\frac{1}{2} \times 4} = 15^2

অতএব,

15^2 = 15 \times 15 = \mathbf{225}

।
সঠিক উত্তর হলো: 225।

x + 3y = 0 সমীকরণের লেখচিত্র কী হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

ক
বৃত্ত
খ
পরাবৃত্ত
মূল বিন্দুগামী সরলরেখা
ঘ
বক্ররেখা

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: x + 3y = 0 সমীকরণের লেখচিত্র কী হবে?

সমাধান:
x + 3y = 0
3y = - x
y = (- 1/3)x

যা y = mx এর অনুরূপ
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ y = mx

x + 3y = 0 মূলবিন্দুগামী সরলরেখা।

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো

x + 3y = 0

। এটি একটি সরলরৈখিক সমীকরণ (Linear Equation) কারণ এখানে চলক

x

এবং

y

এর সর্বোচ্চ ঘাত বা পাওয়ার হলো

1

।

আমরা জানি, মূলবিন্দুগামী সরলরেখার আদর্শ রূপ হলো

y = mx

, যেখানে

m

হলো ঢাল (Slope) এবং এখানে কোনো ধ্রুবক পদ (Constant term) থাকে না।

প্রদত্ত সমীকরণটিকে

y = mx

আকারে রূপান্তর করলে পাই:

3y = -x

y = (-\frac{1}{3})x

যেহেতু এই সমীকরণটি

y = mx

এর অনুরূপ, যেখানে

m = -\frac{1}{3}

এবং ধ্রুবক পদ শূন্য, তাই এর লেখচিত্রটি অবশ্যই মূলবিন্দু $(0, 0)$ দিয়ে অতিক্রম করবে।

অন্যান্য অপশনগুলো ভুল, কারণ বৃত্তের সমীকরণে

x^2

ও

y^2

পদ থাকে এবং পরাবৃত্তের সমীকরণে চলকগুলোর ঘাত ভিন্ন প্যাটার্নে থাকে, যেমন

y^2 = 4ax

।

গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন

5 + 8 + 11 + 14 + ............................ ধারাটির কোন পদ 302?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

100
খ
101
গ
102
ঘ
103

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 + ............................ ধারাটির কোন পদ 302?

এটি একটি সমান্তর ধারা,
যার প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3

ধরি,
ধারাটির n তম পদ 302

n তম পদ = a + (n-1)d
302 = 5 + (n - 1)3
302 = 5 + 3n - 3
3n + 2 = 302
3n = 302 - 2
3n = 300
n = 300/3
n = 100

ব্যাখ্যা

এটি একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression) কারণ এর পাশাপাশি দুটি পদের অন্তর বা পার্থক্য সর্বদা সমান।

প্রথম পদ (

a

) = 5।

সাধারণ অন্তর (

d

) = $8 - 5 = 3।

ধরি, ধারাটির

n

-তম পদটি 302।

আমরা জানি, সমান্তর ধারার

n

-তম পদ নির্ণয়ের সূত্র:

T_n = a + (n-1)d

মান বসিয়ে পাই:

302 = 5 + (n-1)3

302 - 5 = 3(n-1)

297 = 3(n-1)

n - 1 = \frac{297}{3} = 99

$n = 99 + 1 = 100। সুতরাং, ধারাটির ১০০তম পদ 302।

tan θ = 5/12 হলে, sec θ = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

ক
5/12
খ
13/5
গ
12/13
13/12

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন: tan θ = 5/12 হলে, sec θ = কত?

সমাধান:
দেয়া আছে
tan θ = 5/12

আমরা জানি
sec²θ - tan²θ = 1
sec²θ = 1 + tan²θ
sec²θ = 1 + (5/12)²
sec²θ = 1 + 25/144
sec²θ = (144 + 25)/144
sec²θ = 169/144
sec²θ = (13/12)²
secθ = 13/12

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সমাধানের জন্য ত্রিকোণমিতির মৌলিক অভেদ (Pythagorean Identity) ব্যবহার করতে হবে। আমরা জানি:

\\sec^2\theta - \\tan^2\theta = 1

বা,

\\sec^2\theta = 1 + \\tan^2\theta

প্রদত্ত মান,

\\tan \\theta = 5/12

। এই মানটি অভেদে বসালে পাই:

\\sec^2\theta = 1 + (5/12)^2

\\sec^2\theta = 1 + 25/144

\\sec^2\theta = \\frac{144 + 25}{144} = \\frac{169}{144}

অতএব,

\\sec \\theta = \\sqrt{\\frac{169}{144}} = \\frac{13}{12}

।

সঠিক উত্তর হলো 13/12।

১, ১, ২, ৩, ৫,............. ধারাটির দশম সংখ্যাটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

ক
34
55
গ
21
ঘ
13

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ধারাটি
১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১,.........
পরপর দুটি সংখ্যার যোগফল পরবর্তী সংখ্যার সমান

এখানে,
১ + ১ = ২
১ + ২ = ৩
২ + ৩ = ৫
৩ + ৫ = ৮
৫ + ৮ = ১৩
৮ + ১৩ = ২১
২১ + ১৩ = ৩৪
৩৪ + ২১ = ৫৫

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত ধারাটি হলো: ১, ১, ২, ৩, ৫,.............

এটি একটি ফিবোনাচ্চি ধারা (Fibonacci Sequence)। এই ধারার বৈশিষ্ট্য হলো, প্রথম দুটি সংখ্যা বাদে পরবর্তী যেকোনো সংখ্যা তার পূর্ববর্তী দুটি সংখ্যার যোগফলের সমান।

আমাদের দশম সংখ্যাটি নির্ণয় করতে হবে। ধারাটিকে আমরা পূর্ণাঙ্গভাবে লিখব:

১ম: ১
২য়: ১
৩য়:

১+১ = ২

৪র্থ:

১+২ = ৩

৫ম:

২+৩ = ৫

৬ষ্ঠ:

৩+৫ = ৮

৭ম:

৫+৮ = ১৩

৮ম:

৮+১৩ = ২১

৯ম:

১৩+২১ = ৩৪

১০ম:

২১+৩৪ = <strong>৫৫</strong>

সুতরাং, ধারাটির দশম সংখ্যাটি হলো ৫৫।

A = 45° হলে (1 - tan²A)/(1 + tan²A) = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

ক
1
খ
1/2
0
ঘ
2

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

দেয়া আছে,
A = 45°

(1 - tan²A)/(1 + tan²A) =(1 - tan²45°)/(1 + tan²45°)
= {1 - 1²}/{1 + 1²}
= 0/2
= 0

ব্যাখ্যা

এটি ত্রিকোণমিতির মান নির্ণয়ের একটি সহজ প্রশ্ন। এখানে

A = 45^\circ

মানটি প্রদত্ত রাশিতে (Expression) সরাসরি বসাতে হবে।

আমরা জানি,

\tan 45^\circ

এর মান হলো 1।

প্রদত্ত রাশিটি হলো:

(1 - \tan^2A)/(1 + \tan^2A)

মান বসালে পাই:

(1 - \tan^2 45^\circ) / (1 + \tan^2 45^\circ)

= (1 - 1^2) / (1 + 1^2)

= (1 - 1) / (1 + 1) = 0 / 2

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 0।

এই অধ্যায়ের প্রশ্ন টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করুন

এই পেজে বাছাইকৃত ১৯টি প্রশ্ন সমাধানসহ দেওয়া হয়েছে। প্র্যাকটিস মোডে এক-একটি করে উত্তর দিয়ে সঙ্গে সঙ্গে ফলাফল, স্কোর ও অগ্রগতি ট্র্যাক করুন।

প্র্যাকটিস মোডে যান সব অধ্যায়

NTRCA - College Level-এর অন্যান্য অধ্যায়

Bangla (College)৮০ প্রশ্ন English (College)১৫২ প্রশ্ন General Knowledge (College)১৯১ প্রশ্ন শব্দ গঠন কৌশল১ প্রশ্ন Phrases and Idioms১ প্রশ্ন প্রকৃতি ও প্রত্যয় (Nature & Suffix)২ প্রশ্ন বাংলাদেশ ও বিশ্ব পরিচিতি১ প্রশ্ন বিখ্যাত সাহিত্যিক ও কর্ম১ প্রশ্ন ধারা ও লগারিদম১ প্রশ্ন বাংলাদেশের মুক্তিযুদ্ধ ও স্বাধীনতা (১৯৭১)১ প্রশ্ন জাতিসংঘ ও আন্তর্জাতিক সংস্থা৭ প্রশ্ন

কেন NTRCA (Teacher Registration)-এর জন্য “Mathematics (College)” অধ্যায়টি গুরুত্বপূর্ণ?

NTRCA (Teacher Registration) নিয়োগ পরীক্ষার NTRCA - College Level অংশে “Mathematics (College)” থেকে প্রায় প্রতিবারই প্রশ্ন আসে। বিগত সালের প্রশ্নের ধরন বুঝে নিয়মিত অনুশীলন করলে এই অধ্যায়ের নম্বর নিশ্চিত করা সহজ হয় — এই পেজের বাছাইকৃত প্রশ্নগুলো ঠিক সেই প্রস্তুতির জন্যই সাজানো।

সচরাচর জিজ্ঞাসা

"Mathematics (College)" অধ্যায় থেকে কেমন প্রশ্ন আসে?

NTRCA (Teacher Registration) নিয়োগ পরীক্ষায় NTRCA - College Level বিষয়ের "Mathematics (College)" অধ্যায় থেকে নিয়মিত MCQ আসে। এই পেজে বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক জায়গায় দেওয়া হয়েছে — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ।

উত্তর ও সমাধান কি বিনামূল্যে?

হ্যাঁ। প্রশ্ন, অপশন, সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যা — সবই লগইন ছাড়াই বিনামূল্যে দেখা যায়। টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করতে চাইলে একটি ফ্রি অ্যাকাউন্ট দিয়ে প্র্যাকটিস মোডে যান।