BADC (2017) — বিগত সালের প্রশ্ন ও সমাধান

সঠিক উত্তর: কোনোটিই নয়।

ইউরোপ মহাদেশের বৃহত্তম দ্বীপ হলো গ্রেট ব্রিটেন (Great Britain)। যেহেতু অপশনে এটি নেই, তাই উত্তর হবে 'কোনোটিই নয়'।

সঠিক উত্তর: অস্ট্রেলিয়া।

বিষুব রেখার দক্ষিণের অংশকে দক্ষিণ গোলার্ধ বলা হয়। অস্ট্রেলিয়া সম্পূর্ণভাবে দক্ষিণ গোলার্ধে অবস্থিত। ইন্দোনেশিয়ার কিছু অংশ দক্ষিণ গোলার্ধে হলেও এর বেশিরভাগ অংশ বিষুব রেখার আশেপাশে। ইরাক ও সৌদি আরব সম্পূর্ণভাবে উত্তর গোলার্ধে অবস্থিত।

অস্ট্রেলিয়ার সিডনি শহরকে 'দক্ষিণের রানি' বা 'Queen of the South' বলা হয়।

জোড় সংখ্যার সাথে জোড় সংখ্যা যোগ, বিয়োগ বা গুণ করলে তা জোড়-ই থাকে। তাই $ক \times খ = কখ$ = জোড়।

তাই এদের সাথে বিজোড় সংখ্যা যোগ করলে তা বিজোড় হবে। সুতরাং অপশন (খ)-তে প্রদত্ত কখ+১ = বিজোড়।

আমরা জানি যেকোনো সংখ্যার সাথে জোড় সংখ্যা গুণ করলে তা জোড় হয়ে যায়। তাই এখানে $2n$ অবশ্যই জোড় সংখ্যা।

আবার যদি $2n$ জোড় সংখ্যা হয় তাহলে তার সাথে আরেকটি জোড় সংখ্যা যোগ করলে জোড়ই থাকবে। কিন্তু বিজোড় সংখ্যা যোগ করলে তা বিজোড় হয়ে যাবে। তাই $2n+3$ অবশ্যই বিজোড় হবে।

সংখ্যা তিনটির গড় = $১৭৭ \div ৩ = ৫৯$ ই হলো মধ্যম সংখ্যা।
$\therefore$ সংখ্যা তিনটি হবে ৫৭, ৫৯ ও ৬১। যেখানে ৫৯ই মধ্যম সংখ্যা।

এখানে পরপর তিনটি সংখ্যার গুণফল $= ১২০$
১২০ এর উৎপাদক বিশ্লেষণ: $২ \times ২ \times ২ \times ৩ \times ৫ = ১২০$
দেখা যাচ্ছে ৫টি সংখ্যা গুণ করে ১২০ হচ্ছে কিন্তু আমাদের লাগবে ৩ টি সংখ্যা এবং সংখ্যাগুলো পরপর হতে হবে।
তাহলে ৫টি থেকে ৩টি বানাতে এভাবে লেখা যায়: $(২ \times ২) \times ৫ \times (২ \times ৩) = ৪ \times ৫ \times ৬ = ১২০$
সুতরাং সংখ্যাগুলো হলো ৪, ৫ এবং ৬।
এদের যোগফল $= ৪+৫+৬ = ১৫$

প্রথমে $1056$ কে $23$ দ্বারা ভাগ করি:

$1056 \div 23$
$23 \times 40 = 920$
$1056 - 920 = 136$
$23 \times 5 = 115$
$136 - 115 = 21$ (ভাগশেষ)

ভাগশেষ $21$। সংখ্যাটিকে $23$ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য করতে হলে আরও প্রয়োজন: (ভাজক $-$ ভাগশেষ) = $(23 - 21) =$ $2$।

ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে $x$ এবং $y$

প্রশ্নমতে, $xy = 156$ এবং $x^2 + y^2 = 313$

আমরা জানি,
$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$
$\Rightarrow (x + y)^2 = 313 + 2 \times 156$
$\Rightarrow (x + y)^2 = 313 + 312 = 625$

$\therefore x + y = \sqrt{625} = 25$

অতএব, সংখ্যা দুটির যোগফল ২৫।

ধরি, তৃতীয় সংখ্যাটি = $2x$ (এভাবে ২, ৩ এর ল.সা.গু. ৬ ধরলে ভগ্নাংশ আসবে না)।

$\therefore$ প্রথম সংখ্যাটি = $6x$ এবং দ্বিতীয় সংখ্যাটি = $3x$

প্রশ্নমতে,

$6x + 3x + 2x = 110$

$\Rightarrow 11x = 110$

$\therefore x = 10$

সুতরাং, দ্বিতীয় সংখ্যাটি = $3 \times 10 =$ $30$

সমাধান: ধরি সংখ্যাটি $10x + y$ [যেখানে দশক স্থানীয় অঙ্ক $x$ এবং একক স্থানীয় অঙ্ক $y$]
প্রশ্নমতে, $10x + y = 4(x + y)$
$\Rightarrow 10x + y = 4x + 4y$
$\Rightarrow 10x - 4x + y - 4y = 0$
$\Rightarrow 6x - 3y = 0$
$\Rightarrow 6x = 3y$
$\therefore x = \frac{3y}{6} = \frac{y}{2}$

আবার, $10x + y + 27 = 10y + x$
$\Rightarrow 9y - 9x = 27$
$\Rightarrow 9(y - x) = 27$
$\Rightarrow y - x = 3$
$\Rightarrow y - \frac{y}{2} = 3$
$\Rightarrow y = 6$
$\therefore x = \frac{6}{2} = 3$

সুতরাং সংখ্যাটি = $10x + y = 10 \times 3 + 6 = 36$ (Ans)