Advanced & Miscellaneous

Correct Answer: $\frac{21}{46}$

Given:
Boys = 15, Girls = 10
Total students = $15 + 10 = 25$

To Find: Probability of selecting 1 girl and 2 boys.

Calculation:
Total ways to select 3 students from 25 is $n(S) = {}^{25}C_3$

$n(S) = \frac{25 \times 24 \times 23}{3 \times 2 \times 1} = 25 \times 4 \times 23 = 2300$

Favorable ways to select 1 girl from 10 and 2 boys from 15 is $n(E) = {}^{10}C_1 \times {}^{15}C_2$

$n(E) = 10 \times \frac{15 \times 14}{2} = 10 \times 105 = 1050$

Probability $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1050}{2300} = \frac{105}{230} = \frac{21}{46}$

সমাধান:

Total number of apples = 10.
Number of rotten apples = $10 \times \frac{2}{5} = 4$.
Number of fresh apples = $10 - 4 = 6$.

3 apples are selected at random. Total ways = $^{10}C_3$.
$^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.

We need to find the probability that at least one apple is rotten.

We can use the complement rule:
$P(\text{At least 1 rotten}) = 1 - P(\text{No rotten apples})$

Number of ways to choose 3 fresh apples (no rotten) from 6 fresh apples:
$^{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.

Probability of getting no rotten apples = $\frac{20}{120} = \frac{1}{6}$.

$\therefore$ Probability of at least one rotten apple = $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Correct Answer: $\frac{2}{3}$

Explanation:
Total number of bulbs = $3 (Green) + 4 (Orange) + 5 (White) = 12$.
Favorable outcomes (Green OR White) = $3 + 5 = 8$.
Probability $P(E) = \frac{\text{Favorable Outcomes}}{\text{Total Outcomes}}$
$P(\text{Green or White}) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

সঠিক উত্তর: 7/24

ধাপ ১: মোট বল ও নমুনা ক্ষেত্র নির্ণয়
মোট বল = $5$ (Pink) $+ 3$ (Green) $+ 2$ (Yellow) $= 10$ টি।
১০টি বল থেকে ৩টি বল তোলার মোট উপায় (Total Outcomes) = $^{10}C_3$
$= \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

ধাপ ২: শর্তানুযায়ী বল বাছাই
শর্ত হলো: "None is green" অর্থাৎ কোনো বল সবুজ হবে না।
সুতরাং, বল নিতে হবে সবুজ বাদে বাকি বলগুলো থেকে (Pink + Yellow) = $5 + 2 = 7$ টি।
৭টি থেকে ৩টি বল তোলার অনুকূল উপায় (Favorable Outcomes) = $^{7}C_3$
$= \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

ধাপ ৩: সম্ভাবনা নির্ণয়
Probability = $\frac{\text{Favorable Outcomes}}{\text{Total Outcomes}} = \frac{35}{120}$
৫ দিয়ে কাটাকাটি করলে = $\frac{7}{24}$

সঠিক উত্তর: 246

ব্যাখ্যা:
আমাদের মোট ১০টি বই থেকে ৫টি বই এমনভাবে বাছাই করতে হবে যেন অন্তত ১টি paperback এবং অন্তত ১টি hardback থাকে।

মোট বই = ১০টি (৪টি paperback + ৬টি hardback)
বাছাই করতে হবে = ৫টি

শর্ত: At least 1 paperback & At least 1 hardback.

আমরা জানি,
Total Ways = (Total selections of 5 books) - (Selections with NO paperback) - (Selections with NO hardback)

১. ১০টি থেকে ৫টি বই বাছাইয়ের মোট উপায়:
$^{10}C_5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{120} = 252$

২. কোনো Paperback থাকবে না (সবগুলো Hardback):
৬টি hardback থেকে ৫টি নেওয়ার উপায় = $^6C_5 = 6$

৩. কোনো Hardback থাকবে না (সবগুলো Paperback):
৪টি paperback থেকে ৫টি নেওয়া অসম্ভব (কারণ আছেই ৪টি)। তাই উপায় = 0

$\therefore$ নির্ণেয় উপায় = $252 - (6 + 0) = 252 - 6 =$ 246

Correct Answer: 156

Explanation:
The clock strikes according to the hour number.
From 1 o'clock to 12 o'clock, the total strikes are sum of numbers from 1 to 12.

Sum in 12 hours = $1 + 2 + 3 + ... + 12$
Formula for sum of first $n$ natural numbers: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$
So, $S_{12} = \frac{12(12+1)}{2} = \frac{12 \times 13}{2} = 6 \times 13 = 78$

In 24 hours, the clock completes this cycle twice.
Total strikes in 24 hours = $78 \times 2 = 156$.

প্রশ্ন বিশ্লেষণ: ২০টি বাল্বের মধ্যে ৪টি নষ্ট। দৈবচয়নভাবে ২টি বাল্ব তোলা হলে অন্তত একটি নষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:

মোট বাল্ব = 20 টি। নষ্ট (Defective) = 4 টি। ভালো (Good) = $20 - 4 = 16$ টি।

আমরা জানি,

$P(\text{At least one defective}) = 1 - P(\text{None is defective})$

অর্থাৎ, মোট সম্ভাবনা (১) থেকে 'কোনোটিই নষ্ট নয়' বা 'দুটিই ভালো' হওয়ার সম্ভাবনা বাদ দিলে উত্তর পাওয়া যাবে।

২০টি থেকে ২টি বাল্ব বাছাইয়ের মোট উপায় (Total Outcomes) = $^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$

১৬টি ভালো বাল্ব থেকে ২টি বাছাইয়ের উপায় (Favorable Outcomes) = $^{16}C_2 = \frac{16 \times 15}{2} = 120$

$\therefore P(\text{None Defective}) = \frac{120}{190} = \frac{12}{19}$

$\therefore P(\text{At least one Defective}) = 1 - \frac{12}{19} = \frac{19 - 12}{19} = \frac{7}{19}$

এখানে, খুঁটির উচ্চতা (Height/Perpendicular), $h = 6$ m

ছায়ার দৈর্ঘ্য (Shadow/Base), $b = 2\sqrt{3}$ m

সূর্যের উন্নতি কোণ $\theta$ হলে,

$\tan \theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{6}{2\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \tan \theta = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$

$\Rightarrow \tan \theta = \tan 60^{\circ}$

$\therefore \theta =$ $60^{\circ}$

1, 2, 3 অঙ্কগুলো দ্বারা গঠিত ৩ অঙ্কের সংখ্যাগুলো (পুনরাবৃত্তি ছাড়া) হলো:
123, 132, 213, 231, 312, 321।

মোট সংখ্যা (Total Outcome) = 6টি।

111 দ্বারা বিভাজ্য ৩ অঙ্কের সংখ্যাগুলো হলো: 111, 222, 333, 444... ইত্যাদি।

লক্ষ করুন, 1, 2, 3 এর পারমুটেশন দ্বারা গঠিত উপরের কোনো সংখ্যাই 111, 222 বা 333 এর সমান নয়। অর্থাৎ, এদের মধ্যে কোনটিই 111 দ্বারা বিভাজ্য নয়।

অনুকূল ফলাফল (Favorable Outcome) = 0।

$\therefore Probability = \frac{0}{6} =$ 0

দেওয়া আছে, $\sec \theta + \tan \theta = x$ ......... (i)

আমরা জানি,

$\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$

$\Rightarrow (\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta - \tan \theta) = 1$

$\Rightarrow x(\sec \theta - \tan \theta) = 1$

$\Rightarrow \sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{x}$ ......... (ii)

এখন, (i) থেকে (ii) বিয়োগ করে পাই,

$(\sec \theta + \tan \theta) - (\sec \theta - \tan \theta) = x - \frac{1}{x}$

$\Rightarrow 2\tan \theta = \frac{x^2 - 1}{x}$

$\therefore \tan \theta =$ $\frac{x^2 - 1}{2x}$

ব্যাখ্যা:
একটি সামান্তরিক গঠন করতে ২ টি অনুভূমিক সমান্তরাল রেখা এবং ২ টি উল্লম্ব (বা তির্যক) সমান্তরাল রেখার প্রয়োজন হয়।
এখানে,
প্রথম সেটে সমান্তরাল রেখা আছে $m = 4$ টি।
দ্বিতীয় সেটে সমান্তরাল রেখা আছে $n = 3$ টি।
মোট সামান্তরিকের সংখ্যা = ${}^4C_2 \times {}^3C_2$
= $\frac{4 \times 3}{2} \times \frac{3 \times 2}{2}$
= $6 \times 3$
= $18$

সমাধান:

Total number of balls = $5 + 3 = 8$

Number of black balls = 3

Probability of drawing a black ball = $\frac{\text{Number of black balls}}{\text{Total number of balls}}$

So, Probability = $\frac{3}{8}$

Given,
$\sin A + \sin^2 A = 1$
$\Rightarrow \sin A = 1 - \sin^2 A$
$\Rightarrow \sin A = \cos^2 A$ ..... (i)

Now,
Expression $= \cos^2 A + \cos^4 A$
$= \cos^2 A + (\cos^2 A)^2$
$= \sin A + (\sin A)^2$ [Using (i)]
$= \sin A + \sin^2 A$
$=$ 1 [Given]

Let the height of the pole be $h$.
Length of shadow = $\sqrt{3}$ m
Angle of elevation $\theta = 60^\circ$

We know,
$\tan \theta = \frac{\text{Perpendicular}}{\text{Base}} = \frac{\text{Height}}{\text{Shadow}}$
$\Rightarrow \tan 60^\circ = \frac{h}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{h}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow h = \sqrt{3} \times \sqrt{3}$
$\therefore h =$ 3 m

দুটি কয়েন টস করলে মোট ফলাফল (Sample Space), $S = \{HH, HT, TH, TT\}$।
মোট ঘটনা সংখ্যা, $n(S) = 4$

একটি Head এবং একটি Tail আসার ঘটনা (HT, TH) অর্থাৎ ২টি।
অনুকূল ঘটনা, $n(E) = 2$

$\therefore$ নির্ণেয় সম্ভাব্যতা $= \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{4} =$ 1/2

প্রদত্ত অংকগুলো হলো: $1, 3, 5$

৩ অংকবিশিষ্ট মোট সংখ্যা গঠন করা যায় $= 3! = 6$ টি।
(সংখ্যাগুলো: 135, 153, 315, 351, 513, 531)

৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে সংখ্যাটির শেষে অবশ্যই ৫ থাকতে হবে।
শেষ স্থানে ৫ ফিক্সড রাখলে বাকি দুটি স্থানে ১ ও ৩ কে সাজানো যায় $= 2! = 2$ উপায়ে।
(সংখ্যাগুলো: 135, 315)

$\therefore$ অনুকূল ঘটনা $= 2$
$\therefore$ সম্ভাব্যতা $= \frac{2}{6} =$ 1/3

দ্বিপদী উপপাদ্য (Binomial Theorem) অনুসারে আমরা জানি:
$^nC_0 + ^nC_1 + ^nC_2 + .... + ^nC_n = 2^n$

এখানে প্রথম পদ $^nC_0$ অনুপস্থিত।
আমরা জানি, $^nC_0 = 1$

সুতরাং,
$1 + (^nC_1 + ^nC_2 + .... + ^nC_n) = 2^n$
$\Rightarrow ^nC_1 + ^nC_2 + .... + ^nC_n = \mathbf{2^n - 1}$

সঠিক উত্তর: (d)

ব্যাখ্যা:
মোট মার্বেল = $2$ (সবুজ) + $2$ (লাল) = $4$ টি।
প্রশ্নমতে, ২টি মার্বেল তোলা হলো (both শব্দটি দ্বারা বোঝা যায় ২টি তোলা হয়েছে)।

$\therefore$ মোট নমুনা ক্ষেত্র (Total Outcome) = $^{4}C_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$
অনুকূল ঘটনা (Favorable Outcome) = ২টি সবুজ থেকে ২টি সবুজ তোলার উপায় = $^{2}C_2 = 1$

$\therefore$ সম্ভাব্যতা (Probability) = $\frac{\text{Favorable Outcome}}{\text{Total Outcome}} = \frac{1}{6}$

দেওয়া আছে: $\sin A + \sin^2 A = 1$

বা, $\sin A = 1 - \sin^2 A$

$\therefore \sin A = \cos^2 A$ [আমরা জানি, $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$]

প্রদত্ত রাশি:

$\cos^2 A + \cos^4 A$

$= \cos^2 A + (\cos^2 A)^2$

$= \sin A + (\sin A)^2$ [মান বসিয়ে]

$= \sin A + \sin^2 A$

$=$ 1

ধাপে ধাপে সমাধান:

সুতরাং, আজ Monday।

সঠিক উত্তর: (c) 45

সমাধান:
হ্যান্ডশেকের ক্ষেত্রে আমরা Combination এর সূত্র ব্যবহার করি। কারণ A এর সাথে B এর হ্যান্ডশেক এবং B এর সাথে A এর হ্যান্ডশেক একই ঘটনা।
মোট মানুষ, $n = 10$
হ্যান্ডশেকের সংখ্যা = ${}^{10}C_2$
$$= \frac{10 \times 9}{2}$$
$$= 45$$

দেওয়া আছে, $1 + \sin \theta = x \cos \theta$

উভয় পক্ষকে $\cos \theta$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{1}{\cos \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = x$

$\Rightarrow \sec \theta + \tan \theta = x \dots (i)$

আমরা জানি, $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$

$\Rightarrow (\sec \theta + \tan \theta)(\sec \theta - \tan \theta) = 1$

$\Rightarrow x(\sec \theta - \tan \theta) = 1$ [মান বসিয়ে]

$\Rightarrow \sec \theta - \tan \theta = \frac{1}{x} \dots (ii)$

এখন, সমীকরণ $(i)$ হতে $(ii)$ বিয়োগ করে পাই,

$(\sec \theta + \tan \theta) - (\sec \theta - \tan \theta) = x - \frac{1}{x}$

$\Rightarrow 2\tan \theta = \frac{x^2 - 1}{x}$

$\therefore \tan \theta = \frac{x^2 - 1}{2x}$

সঠিক উত্তর: 286 (অপশনে নেই)

বি.দ্র.: প্রশ্নে প্রদত্ত অপশনগুলো ভুল। সঠিক উত্তর হবে ২৮৬। বইয়ের উত্তরেও 'Note' বা বিশেষ দ্রষ্টব্য দেওয়া হয়েছে।

ব্যাখ্যা:
ফুটবল টিমে খেলোয়াড় সংখ্যা = ১১ জন।
মোট বালক = ১৪ জন।
শর্ত: বলের মালিক (১ জন) সবসময় টিমে থাকবে।

যেহেতু ১ জন নির্দিষ্ট (মালিক) সবসময় থাকবে, তাই তাকে আগেই নির্বাচন করে নেওয়া হলো।
এখন অবশিষ্ট খেলোয়াড় নির্বাচন করতে হবে = $১১ - ১ = ১০$ জন।
অবশিষ্ট বালক আছে = $১৪ - ১ = ১৩$ জন।

$\therefore$ সাজানোর উপায় = $^{13}C_{10}$
$= ^{13}C_{13-10} = ^{13}C_3$
$= \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1}$
$= 13 \times 2 \times 11$
$= 286$

সঠিক উত্তর: (c) $\frac{27}{91}$

সমাধান:
Total numbers between 10 and 100 (inclusive) = $100 - 10 + 1 = 91$.
Numbers divisible by 5 (10, 15... 100):
$n(5) = \frac{100-10}{5} + 1 = 19$.
Numbers divisible by 9 (18, 27... 99):
$n(9) = \frac{99-18}{9} + 1 = 10$.
Numbers divisible by both 5 and 9 (LCM of 5, 9 is 45) i.e., 45, 90:
$n(5 \cap 9) = 2$.
Total favorable outcomes = $n(5) + n(9) - n(5 \cap 9) = 19 + 10 - 2 = 27$.
Probability = $\frac{27}{91}$.

Given,

$\sec\theta + \tan\theta = x$ ...... (i)

We know that,

$\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$

$\Rightarrow (\sec\theta + \tan\theta)(\sec\theta - \tan\theta) = 1$

$\Rightarrow x(\sec\theta - \tan\theta) = 1$ [Putting value from (i)]

$\therefore \sec\theta - \tan\theta = \frac{1}{x}$ ...... (ii)

Now subtracting (ii) from (i):

$(\sec\theta + \tan\theta) - (\sec\theta - \tan\theta) = x - \frac{1}{x}$

$\Rightarrow 2\tan\theta = \frac{x^2 - 1}{x}$

$\therefore \tan\theta = \frac{x^2 - 1}{2x}$

Correct Answer: $(x^2-1)/2x$

ব্যাখ্যা:
প্রদত্ত অঙ্কগুলো (1, 3, 5) দ্বারা গঠিত ৩ অঙ্কের মোট সংখ্যা বা Sample Space হলো = $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ টি।
সংখ্যাগুলো হলো: 135, 153, 315, 351, 513, 531।
এর মধ্যে 5 দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে সংখ্যাটির শেষে 5 থাকতে হবে।
এমন সংখ্যাগুলো হলো: 135 এবং 315। (মোট ২টি)।
$\therefore$ নির্ণেয় সম্ভাবনা = $\frac{\text{অনুকূল ঘটনা}}{\text{মোট ঘটনা}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$।

প্রতিটি প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার উপায় = ২টি (True অথবা False)।
মোট প্রশ্ন সংখ্যা = ১০টি।

$\therefore$ মোট উত্তর দেওয়ার উপায় = $2 \times 2 \times 2 ... (10 \text{ times})$
$= 2^{10}$
$=$ 1024 ways.

এই প্রশ্নটি Pigeonhole Principle-এর একটি ক্লাসিক উদাহরণ।

এখানে মোট মোজার রঙ (Colors) ৩টি: Black, Gray, Orange।

সবচেয়ে খারাপ পরিস্থিতি (Worst Case Scenario) বিবেচনা করা যাক:
ধরি, আমরা এক এক করে মোজা তুলছি এবং প্রতিবার ভিন্ন রঙের মোজা আসছে।
১ম মোজা = Black
২য় মোজা = Gray
৩য় মোজা = Orange

এখন আমাদের হাতে ৩টি মোজা আছে, কিন্তু কোনো জোড়া (Pair) নেই কারণ সবগুলো ভিন্ন রঙের। এখন যদি আমরা ৪র্থ মোজাটি তুলি, তবে সেটি অবশ্যই Black, Gray অথবা Orange-এর মধ্যে যেকোনো একটি হবে। ফলে আগের যেকোনো একটির সাথে মিলে এক জোড়া পূর্ণ হবে।

সুতরাং, নিশ্চিতভাবে এক জোড়া মোজা পেতে ন্যূনতম $3 + 1 = 4$ টি মোজা তুলতে হবে।

এখানে মোট বর্ণ (Letters) আছে ৪টি: A, B, C, D।
সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন হওয়ায়, তাদেরকে একত্রে সাজানোর উপায় সংখ্যা হবে $4!$।

$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 =$ 24

ব্যাখ্যা:
দুটি সংখ্যার গুণফল বিজোড় হতে হলে, দুটি সংখ্যাকেই অবশ্যই বিজোড় হতে হবে।
১ থেকে ২০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ২০টি।
এর মধ্যে বিজোড় সংখ্যা (১, ৩, ৫... ১৯) = ১০টি।

প্রশ্নে বলা হয়েছে "not necessarily different" অর্থাৎ একই সংখ্যা পুনরায় নির্বাচন করা যাবে (With Replacement)।
$\therefore$ প্রথম সংখ্যাটি বিজোড় হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$
$\therefore$ দ্বিতীয় সংখ্যাটি বিজোড় হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

$\therefore$ নির্ণেয় সম্ভাবনা = $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} =$ 1/4

Explanation:

সমাধান:

কালো বলের সংখ্যা = ৬টি
সাদা বলের সংখ্যা = ৮টি
মোট বলের সংখ্যা = $6 + 8 = 14$টি

বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{\text{সাদা বলের সংখ্যা}}{\text{মোট বলের সংখ্যা}}$
$= \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$

সঠিক উত্তর: 4/7

ব্যাখ্যা:
প্রশ্নে ১৯৯৮ সালের মোট ব্যয় ২০০২ সালের মোট ব্যয়ের কত শতাংশ তা জানতে চাওয়া হয়েছে।
হিন্টস অনুসারে:
Total expenditure in 1998 = $288 + 98 + 3 + 23.4 + 83 = 495.4$
Total expenditure in 2002 = $420 + 142 + 3.96 + 49.4 + 98 = 713.36$

অতএব, নির্ণেয় শতাংশ:
$\frac{495.4}{713.36} \times 100\% = 69.45\% \approx$ 69%

ব্যাখ্যা:
২০০০ সালের বিভিন্ন খাতের মোট ব্যয় বের করতে সবগুলো আইটেমের খরচ যোগ করতে হবে।
হিন্টস অনুযায়ী:
Total expenditure in 2000 = $(324 + 101 + 3.84 + 41.6 + 74) =$ 544.44

ব্যাখ্যা:
হিন্টস অনুযায়ী:
১. Total expenditure on taxes = $(83 + 108 + 74 + 88 + 98) = 451$
২. Total expenditure on fuel and transport = $(98 + 112 + 101 + 133 + 142) = 586$

Ratio = $451 : 586$
উভয় সংখ্যাকে ৪৫ দ্বারা ভাগ করলে আনুমানিক মান পাওয়া যায়:
$\approx 10.02 : 13.02$
$\approx$ 10:13

ফারহানের জন্মদিন ২৯ ফেব্রুয়ারি হওয়ায় তার জন্মের সালটি অবশ্যই Leap Year (অধিবর্ষ) হতে হবে।

আমরা জানি,
১. যে সকল সালকে ৪ দ্বারা নিঃশেষে ভাগ করা যায়, তারা অধিবর্ষ।
২. তবে যে সকল সাল শতাব্দীর শেষ বছর (যেমন ১৯০০), তাদের অধিবর্ষ হতে হলে ৪০০ দ্বারা বিভাজ্য হতে হয়।

অপশন টেস্ট:
(ক) ১৯০০: ৪ দ্বারা বিভাজ্য কিন্তু ৪০০ দ্বারা নয়। তাই অধিবর্ষ নয়।
(খ) ২০০২: ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়।
(গ) ২০০৮: ৪ দ্বারা বিভাজ্য ($২০০৮ \div ৪ = ৫০২$)। তাই এটি অধিবর্ষ।
(ঘ) ২০১০: ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

সুতরাং, সঠিক সালটি ২০০৮।

ঘড়িতে সকাল ৬টার সময় ঘণ্টার কাঁটা ঠিক ৬-এর ঘরে এবং মিনিটের কাঁটা ১২-এর ঘরে থাকে।

বৃত্তাকার ডায়ালের অর্ধেক অংশ জুড়ে এই অবস্থান হওয়ায় মধ্যবর্তী কোণটি একটি সরলকোণ হয়।

সুতরাং, নির্ণেয় কোণ = $180^\circ$।

Initial status:
Green = 8, Blue = 4, White = 3
Total = 15

Action:
1 Green and 1 Blue ball are removed.

Current status:
Remaining Green = $8 - 1 = 7$
Remaining Blue = $4 - 1 =$ 3
Remaining White = 3
Total Remaining Balls = $15 - 2 =$ 13

Probability:
Probability of selecting a Blue ball = $\frac{\text{Remaining Blue balls}}{\text{Total Remaining balls}}$
$= \frac{3}{13}$

সঠিক উত্তর: Saturday

ব্যাখ্যা ও সতর্কতা:
সাধারণ নিয়মে, '65 days from now' বলতে আজকের পর ৬৫ দিন যোগ করা বোঝায়।
$65 \div 7$ করলে ভাগশেষ থাকে $2$।
সুতরাং, Friday + 2 days = Sunday হওয়ার কথা।

কিন্তু অপশনে Sunday নেই। ব্যাংক জবের পরীক্ষায় মাঝেমধ্যে 'inclusive counting' বা আজকের দিনটিসহ গণনা করা হয়।
যুক্তি: আজ (১ম দিন) শুক্রবার হলে, ৬৫তম দিনটি কী বার?
$65 = 7 \times 9 + 2$
অর্থাৎ চক্র শেষে ২য় দিন।
১ম দিন শুক্রবার হলে, ২য় দিন = শনিবার।
বইয়ের উত্তরে এবং অপশন অনুযায়ী Saturday সঠিক ধরা হয়েছে।

Given:
Red balls = 5
Black balls = 3
Total balls = $5 + 3 = 8$

Calculation:
Probability of drawing a black ball = $\frac{\text{Number of black balls}}{\text{Total number of balls}}$
$= \frac{3}{8}$

সঠিক উত্তর: 3/8

আমরা জানি,
$\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$
$\Rightarrow (\sec\theta + \tan\theta)(\sec\theta - \tan\theta) = 1$
$\Rightarrow x(\sec\theta - \tan\theta) = 1$ [Given $\sec\theta + \tan\theta = x$]
$\Rightarrow \sec\theta - \tan\theta = \frac{1}{x} \dots (ii)$

এখন,
$(i) \Rightarrow \sec\theta + \tan\theta = x$
$(ii) \Rightarrow \sec\theta - \tan\theta = \frac{1}{x}$

সমীকরণ $(i)$ থেকে $(ii)$ বিয়োগ করে পাই:
$2\tan\theta = x - \frac{1}{x}$
$\Rightarrow 2\tan\theta = \frac{x^2 - 1}{x}$
$\Rightarrow \tan\theta = \frac{x^2 - 1}{2x}$

সঠিক উত্তর: $(x^2 - 1)/2x$

সমাধান:

৫টি বই সাজানোর মোট উপায় (Total arrangements) = $5!$

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ ways.

প্রতিটি বিন্যাসের জন্য সময় লাগে = $0.5$ minute (half a minute)।

$\therefore$ মোট সময় লাগবে = $120 \times 0.5 = 60$ minutes.

আমরা জানি, $60$ minutes = 1 hour.