Arithmetic

Correct Answer: (d) Tk. 48400

Step-by-step Solution:

Given:

• $A:C = 2:1$
• $A:B = 3:2$

To combine these into $A:B:C$, make A equal in both ratios. LCM of 2 and 3 is 6.

• $A:C = (2\times3):(1\times3) = 6:3$
• $A:B = (3\times2):(2\times2) = 6:4$

So, combined ratio $A:B:C = 6:4:3$.

Sum of ratios $= 6+4+3 = 13$.

Total Profit $= Tk. 157300$.

B's Share $= \frac{4}{13} \times 157300$

$= 4 \times 12100$

$= 48400$

Correct Answer: (d) 32

Solution:

Total age of 15 employees $= 15 \times 24 = 360$ years.

After 5 new employees join:

• Total employees $= 15 + 5 = 20$.
• New average age $= 24 + 2 = 26$ years.

Total age of 20 employees $= 20 \times 26 = 520$ years.

Total age of the 5 new employees $= 520 - 360 = 160$ years.

Average age of the 5 new employees $= \frac{160}{5} = 32$ years.

প্রশ্ন বিশ্লেষণ: একজন ব্যক্তি ৩ কি.মি./ঘণ্টা বেগে চললে ১৫ মিনিট দেরি হয় এবং ৪ কি.মি./ঘণ্টা বেগে চললে ১৫ মিনিট আগে পৌঁছান। গন্তব্যের দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে।

ধরি, দূরত্ব = $x$ km

প্রশ্নমতে,
$\frac{x}{3} - \frac{x}{4} = \frac{15+15}{60}$ [সময়ের পার্থক্য = ৩০ মিনিট বা $\frac{30}{60}$ ঘণ্টা]
$\Rightarrow \frac{4x-3x}{12} = \frac{30}{60}$
$\Rightarrow \frac{x}{12} = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow x = \frac{12}{2}$
$\therefore x = 6$ km

সঠিক উত্তর: 6 km

প্রশ্ন বিশ্লেষণ: একটি নির্দিষ্ট আসলের ওপর ৫% হারে ৬ বছরের সরল মুনাফা ৬০০০ টাকা। একই আসল ও একই হারে ২ বছরের চক্রবৃদ্ধি মুনাফা কত হবে?

ধাপ ১: আসল নির্ণয় (সরল মুনাফা হতে)
আমরা জানি, $I = Pnr$
$\Rightarrow 6000 = P \times 6 \times \frac{5}{100}$
$\Rightarrow 6000 = P \times \frac{30}{100}$
$\Rightarrow P = \frac{6000 \times 100}{30}$
$\therefore P = 20,000$ টাকা

ধাপ ২: চক্রবৃদ্ধি মুনাফা নির্ণয়
চক্রবৃদ্ধি মূলধন, $C = P(1+r)^n$
$= 20000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^2$
$= 20000 \times \left(\frac{105}{100}\right)^2$
$= 20000 \times \frac{105}{100} \times \frac{105}{100}$
$= 2 \times 105 \times 105$
$= 22,050$ টাকা

$\therefore$ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = $C - P = 22,050 - 20,000 = 2,050$ টাকা।

সঠিক উত্তর: Tk. 2050

সমাধান:

Here, Selling Price (SP) = Tk. 6,384 and Loss = 30%

Cost Price (CP) = $\frac{SP \times 100}{100 - Loss\%}$

$= \frac{6384 \times 100}{70} = 9120$ Tk.

Now, to gain 30% profit:

New SP = $9120 \times \frac{130}{100}$

$= 9120 \times 1.3 = 11856$ Tk.

সমাধান:

শতকরা লাভ/ক্ষতি (Successive Change Formula):

$= -10 + 20 + \frac{-10 \times 20}{100}$

$= 10 - 2 = 8\%$ (Profit)

মোট লাভের পরিমাণ = $52000 \times \frac{8}{100}$

$= 4160$ Tk.

সমাধান:

Sum of 9 numbers = $9 \times 50 = 450$

Sum of first 5 numbers = $5 \times 54 = 270$

Sum of last 3 numbers = $3 \times 52 = 156$

Total of 8 numbers = $270 + 156 = 426$

$\therefore$ The 6th number = $450 - 426 = 24$

ধরি, ১২ ইনিংসে ওই ব্যাটসম্যানের গড় রান $x$

প্রশ্নমতে,
$13(x + 5) = 12x + 96$
$\Rightarrow 13x + 65 = 12x + 96$
$\Rightarrow 13x - 12x = 96 - 65$
$\therefore x = 31$

সুতরাং, ১৩তম ইনিংসের পর তার গড় রান হবে $= (31 + 5) = 36$।

ধরি, নৌকার গতিবেগ $x$ কিমি/ঘণ্টা এবং স্রোতের গতিবেগ $y$ কিমি/ঘণ্টা।

স্রোতের অনুকূলে সময় লাগে $3$ ঘণ্টা $45$ মিনিট = $3 + \frac{45}{60}$ ঘণ্টা = $\frac{15}{4}$ ঘণ্টা।
$\therefore$ স্রোতের অনুকূলে বেগ $(x+y) = \frac{22.5}{15/4} = \frac{22.5 \times 4}{15} = 6$ কিমি/ঘণ্টা ... (i)

আবার, স্রোতের প্রতিকূলে সময় লাগে $2$ ঘণ্টা $30$ মিনিট = $2 + \frac{30}{60}$ ঘণ্টা = $\frac{5}{2}$ ঘণ্টা।
$\therefore$ স্রোতের প্রতিকূলে বেগ $(x-y) = \frac{10}{5/2} = \frac{10 \times 2}{5} = 4$ কিমি/ঘণ্টা ... (ii)

(i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই,
$2y = 6 - 4$
$\Rightarrow 2y = 2$
$\therefore y = 1$ কিমি/ঘণ্টা

দেওয়া আছে,
স্থির পানিতে বেগ = 6 km/hr
স্রোতের বেগ = 2 km/hr

$\therefore$ স্রোতের অনুকূলে বেগ = $(6 + 2)$ = 8 km/hr
এবং স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = $(6 - 2)$ = 4 km/hr

ধরি, দূরত্ব = $D$ কিমি।
প্রশ্নমতে,
$\frac{D}{4} - \frac{D}{8} = 3$
$\Rightarrow \frac{2D - D}{8} = 3$
$\Rightarrow \frac{D}{8} = 3$
$\therefore D = 24$

সঠিক উত্তর: 24 km

ধাপ ১: ১ম ট্রেনের গতিবেগ নির্ণয়
১ম ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১৫০ মিটার
খুঁটি অতিক্রম করতে সময় লাগে = ১৫ সেকেন্ড
সুতরাং, ১ম ট্রেনের গতিবেগ ($S_1$) = $\frac{150}{15} =$ ১০ মি./সে.

ধাপ ২: আপেক্ষিক গতিবেগ (Relative Speed) নির্ণয়
২য় ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ১ম ট্রেনের সমান = ১৫০ মিটার।
বিপরীত দিক (Opposite Direction) থেকে আসায় মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = ১৫০ + ১৫০ = ৩০০ মিটার।
২য় ট্রেনটি অতিক্রম করতে সময় লাগে = ৮ সেকেন্ড।
ধরি, ২য় ট্রেনের গতিবেগ = $S_2$ মি./সে.
বিপরীত দিক হওয়ায় আপেক্ষিক গতিবেগ = $S_1 + S_2 = 10 + S_2$

প্রশ্নমতে,
$10 + S_2 = \frac{300}{8}$
$\Rightarrow 10 + S_2 = 37.5$
$\Rightarrow S_2 = 37.5 - 10 = 27.5$ মি./সে.

ধাপ ৩: কি.মি./ঘণ্টায় রূপান্তর
গতিবেগ কি.মি./ঘণ্টায় নিতে হলে $\frac{18}{5}$ দিয়ে গুণ করতে হয়।
$27.5 \times \frac{18}{5}$
$= 5.5 \times 18$
$= 99$ কি.মি./ঘণ্টা।

সঠিক উত্তর: 99 km/hr

ধাপ ১: ট্রেনের গতিবেগ নির্ণয়
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ৬৫০ মিটার
খুঁটি অতিক্রমের সময় = ১ মিনিট ৫ সেকেন্ড = ৬০ + ৫ = ৬৫ সেকেন্ড।
সুতরাং, ট্রেনের গতিবেগ ($S_t$) = $\frac{650}{65} =$ ১০ মি./সে.

ধাপ ২: মানুষের গতিবেগ নির্ণয়
দেওয়া আছে, ট্রেন ও মানুষের গতিবেগের অনুপাত = ৬ : ১
$\frac{\text{ট্রেনের বেগ}}{\text{মানুষের বেগ}} = \frac{6}{1}$
$\Rightarrow \frac{10}{\text{মানুষের বেগ}} = 6$
$\therefore$ মানুষের গতিবেগ ($S_m$) = $\frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ মি./সে.

ধাপ ৩: প্ল্যাটফর্ম অতিক্রমের সময় নির্ণয়
প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ২৪০ মিটার।
মানুষটির প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করতে সময় লাগবে = $\frac{\text{দূরত্ব}}{\text{গতিবেগ}}$
$= \frac{240}{5/3} = 240 \times \frac{3}{5}$
$= 48 \times 3 = 144$ সেকেন্ড।

রূপান্তর:
১৪৪ সেকেন্ড = ২ মিনিট ২৪ সেকেন্ড।

সঠিক উত্তর: 2 min 24 sec

ধরি, মূল ভগ্নাংশটি = $\frac{x}{y}$

প্রশ্নমতে:
লব (Numerator) ১৫০% বৃদ্ধি পেলে নতুন লব হয় = $x + 150\%x = 250\%x$
হর (Denominator) ২০০% বৃদ্ধি পেলে নতুন হর হয় = $y + 200\%y = 300\%y$

শর্তানুসারে,
$\frac{250\% x}{300\% y} = \frac{10}{19}$
$\Rightarrow \frac{250x}{300y} = \frac{10}{19}$
$\Rightarrow \frac{5x}{6y} = \frac{10}{19}$
$\Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{10}{19} \times \frac{6}{5}$
$\Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{2}{19} \times 6$
$\therefore \frac{x}{y} = \frac{12}{19}$

নির্ণেয় ভগ্নাংশটি 12/19.

ধরি,

সংখ্যাটি $N = 627k + 43$ (যেখানে $k$ হলো ভাগফল)।

এখন, এই সংখ্যাটিকে ১৯ দিয়ে ভাগ করলে:

$\frac{N}{19} = \frac{627k + 43}{19}$

এখানে, প্রথম অংশ $627k$ সংখ্যাটি ১৯ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য (কারণ $627 \div 19 = 33$)।

তাই, ভাগশেষ নির্ভর করবে শুধুমাত্র দ্বিতীয় অংশ অর্থাৎ $43$-এর উপর।

$43$ কে ১৯ দিয়ে ভাগ করলে:

$43 = 19 \times 2 + 5$

সুতরাং, ভাগশেষ থাকবে 5।

ধাপ ১: ১ দিনে কাজের পরিমাণ নির্ণয়

A ১ দিনে করে $\frac{1}{5}$ অংশ

B ১ দিনে করে $\frac{1}{4}$ অংশ

$\therefore (A + B)$ একত্রে ১ দিনে করে = $\frac{1}{5} + \frac{1}{4} = \frac{4+5}{20} = \frac{9}{20}$ অংশ।

সুতরাং, ১টি সম্পূর্ণ কাজ করতে তাদের সময় লাগে $\frac{20}{9}$ দিন।

ধাপ ২: নতুন কাজের পরিমাণ নির্ণয়

বলা হয়েছে কাজ "increased by 8 times"।

অর্থাৎ, মোট কাজ = মূল কাজ + (৮ $\times$ মূল কাজ) = ১ + ৮ = ৯ গুণ।

ধাপ ৩: সময় নির্ণয়

১ গুণ কাজ করতে সময় লাগে $\frac{20}{9}$ দিন।

$\therefore$ ৯ গুণ কাজ করতে সময় লাগবে = $\frac{20}{9} \times 9$ দিন = 20 days।

ধাপ ১: ১টি কম্পিউটারের কাজের হার নির্ণয়

১টি কম্পিউটার ৬ ঘণ্টায় করে ৩০টি কাজ।

$\therefore$ ১ ঘণ্টায় করে = $\frac{30}{6} = 5$ টি কাজ।

ধাপ ২: প্রয়োজনীয় মোট কাজের হার নির্ণয়

৩ ঘণ্টায় করতে হবে ৮০টি কাজ।

$\therefore$ প্রতি ঘণ্টায় করতে হবে = $\frac{80}{3}$ টি কাজ।

ধাপ ৩: কম্পিউটারের সংখ্যা নির্ণয়

মোট কম্পিউটার প্রয়োজন = $\frac{\text{প্রতি ঘণ্টায় মোট কাজ}}{\text{প্রতি ঘণ্টায় ১টির কাজ}}$

= $\frac{80/3}{5} = \frac{80}{15} = 5.33$

যেহেতু কম্পিউটারের সংখ্যা ভগ্নাংশ হতে পারে না এবং কাজটি ৩ ঘণ্টার মধ্যে শেষ করতে হবে, তাই আমাদের পরবর্তী পূর্ণসংখ্যা নিতে হবে।

$\therefore$ নির্ণেয় কম্পিউটার সংখ্যা = 6 টি।

ধরি মোট কাজ = ল.সা.গু (১২, ২০, ১৫) = ৬০ ইউনিট।

তাহলে,

• $(A+B)$ এর ১ দিনের কাজ = $60/12 = 5$ ইউনিট
• $(B+C)$ এর ১ দিনের কাজ = $60/20 = 3$ ইউনিট
• $(C+A)$ এর ১ দিনের কাজ = $60/15 = 4$ ইউনিট

এখন সব যোগ করলে:

$2(A + B + C) = 5 + 3 + 4 = 12$ ইউনিট

$\therefore (A + B + C)$ এর ১ দিনের কাজ = $12/2 = 6$ ইউনিট।

সুতরাং, তারা একত্রে কাজটি শেষ করতে সময় নেবে:

$\text{Time} = \frac{\text{Total Work}}{\text{Efficiency}} = \frac{60}{6} = 10$ দিন।

Correct Answer: 5/8

Let the original fraction be $\frac{x}{y}$.

According to the question:

• Numerator increased by 200% $\rightarrow$ New Numerator = $x + 200\%x = 300\%x = 3x$

Now,

$\frac{3x}{4.5y} = \frac{5}{12}$

$\Rightarrow \frac{30x}{45y} = \frac{5}{12}$ [Multiplying numerator and denominator on LHS by 10]

$\Rightarrow \frac{2x}{3y} = \frac{5}{12}$

$\Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{5}{12} \times \frac{3}{2}$

$\Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{15}{24}$

$\therefore \frac{x}{y} = \frac{5}{8}$

ধরি, মিশ্রণে দুধের পরিমাণ $6x$ লিটার এবং পানির পরিমাণ $5x$ লিটার।
মোট মিশ্রণ $= 6x + 5x = 11x$ লিটার।

মিশ্রণ থেকে ২২ লিটার তুলে নেওয়ায়:
দুধ কমেছে $= 22 \times \frac{6}{11} = 12$ লিটার
পানি কমেছে $= 22 \times \frac{5}{11} = 10$ লিটার

অবশিষ্ট মিশ্রণে:
দুধের পরিমাণ $= 6x - 12$
পানির পরিমাণ $= 5x - 10$

২২ লিটার পানি যোগ করার পর নতুন পানির পরিমাণ:
$= 5x - 10 + 22 = 5x + 12$

প্রশ্নমতে,
$\frac{6x - 12}{5x + 12} = \frac{9}{13}$
$\Rightarrow 13(6x - 12) = 9(5x + 12)$
$\Rightarrow 78x - 156 = 45x + 108$
$\Rightarrow 33x = 264$
$\therefore x = 8$

সুতরাং, পরিবর্তনের পর পানির পরিমাণ $= (5 \times 8 + 12)$ লিটার $= 52$ লিটার।

দেওয়া আছে,
মোট দূরত্ব $= 100$ কি.মি.

১ম ২ ঘণ্টায় অতিক্রান্ত দূরত্ব $= 20 \times 2 = 40$ কি.মি.
অবশিষ্ট দূরত্ব $= 100 - 40 = 60$ কি.মি.

অবশিষ্ট পথের গতিবেগ ১০ কি.মি./ঘণ্টা।
সুতরাং, বাকি পথ যেতে সময় লাগে $= \frac{60}{10} = 6$ ঘণ্টা।

মোট সময় $= 2 + 6 = 8$ ঘণ্টা।
$\therefore \text{Average Speed} = \frac{\text{Total Distance}}{\text{Total Time}}$
$= \frac{100}{8} = 12.5$ km/hr.

ধরি, লোকটির স্বাভাবিক গতিবেগ $= x$ কি.মি./ঘণ্টা।
প্রয়োজনীয় সময় $= 40$ ঘণ্টা।
$\therefore$ অতিক্রান্ত দূরত্ব $= 40x$ কি.মি.।

গতিবেগ $\frac{1}{15}$ অংশ কমে গেলে, নতুন গতিবেগ:
$= x - \frac{x}{15} = \frac{14x}{15}$ কি.মি./ঘণ্টা।

প্রশ্নমতে, একই সময়ে (৪০ ঘণ্টায়) ৫ কি.মি. কম যায়।
$\Rightarrow 40x - 40 \times \frac{14x}{15} = 5$
$\Rightarrow 40x(1 - \frac{14}{15}) = 5$
$\Rightarrow 40x \times \frac{1}{15} = 5$
$\Rightarrow 40x = 75$

যেহেতু মোট দূরত্ব $= 40x$, তাই মোট দূরত্ব 75 km।

সমাধান:

ধরি, দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য (Cost Price) = $100$ টাকা

১৭% লাভে বিক্রয়মূল্য (Selling Price) = $100 + 17 = 117$ টাকা

আবার, ১০% ডিসকাউন্টে, চিহ্নিত মূল্যের (Marked Price) ৯০% হলো বিক্রয়মূল্য।

শর্তমতে,
$Marked \; Price \times 90\% = 117$

$\Rightarrow Marked \; Price = \frac{117 \times 100}{90} = 130$ টাকা

এখন, যদি দ্রব্যটি কোনো ডিসকাউন্ট ছাড়াই অর্থাৎ চিহ্নিত মূল্যে ($130$ টাকায়) বিক্রি করা হয়, তবে:

নতুন বিক্রয়মূল্য = $130$ টাকা
লাভ = $130 - 100 = 30$ টাকা

$\therefore$ লাভের হার = $30\%$

সমাধান:

যখন দুটি দ্রব্যের বিক্রয়মূল্য (Selling Price) সমান হয় এবং একটিতে $x\%$ লাভ ও অন্যটিতে $x\%$ ক্ষতি হয়, তখন মোটের উপর সর্বদা ক্ষতি হয়।

ক্ষতির পরিমাণ নির্ণয়ের সূত্র:

$Loss \% = \frac{x^2}{100} \%$

এখানে $x = 10$, সুতরাং:

$Loss \% = \frac{10^2}{100} \% = \frac{100}{100} \% = 1\%$

অর্থাৎ, ব্যবসায় মোটের উপর ১% ক্ষতি হয়েছে।

সমাধান:

প্রশ্নমতে, লাভ = ক্ষতি।

যখন লাভ এবং ক্ষতির পরিমাণ সমান হয়, তখন ক্রয়মূল্য (Cost Price) হবে দুটি বিক্রয়মূল্যের গড়।

$\therefore Cost \; Price = \frac{3362 + 2346}{2} = \frac{5708}{2} = 2854$ টাকা।

এখন, ২০% লাভে নতুন বিক্রয়মূল্য বের করতে হবে:

$\text{New SP} = CP + (CP \times 20\%)$

$= 2854 + (2854 \times 0.20)$

$= 2854 + 570.8 = 3424.8$ টাকা।

অপশনগুলোর মধ্যে $3424.8$ নেই। তাই সঠিক উত্তর None of these।

দেওয়া আছে:
ক্রয়মূল্য (Cost Price) = 500 টাকা
লিখিত মূল্য (Marked Price) = 800 টাকা
ছাড় (Discount) = 10%

ধাপ ১: বিক্রয়মূল্য নির্ণয়
10% ছাড়ে বিক্রয়মূল্য (Selling Price) হবে:
$SP = 800 - (800 \times \frac{10}{100})$
$= 800 - 80$
$= 720$ টাকা

ধাপ ২: লাভ নির্ণয়
লাভ (Profit) = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য
$= 720 - 500$
$= 220$ টাকা

ধাপ ৩: লাভের শতকরা হার নির্ণয়
লাভের হার = $\frac{\text{লাভ}}{\text{ক্রয়মূল্য}} \times 100\%$
$= \frac{220}{500} \times 100\%$
$= \frac{220}{5}$
$= 44\%$

সঠিক উত্তর: 44%

ধরি, সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে $x, y$ এবং $z$।

প্রশ্নমতে,
১ম ও ২য় সংখ্যার গড় = ২য় ও ৩য় সংখ্যার গড় + ১৫
$\Rightarrow \frac{x+y}{2} = \frac{y+z}{2} + 15$

উভয় পক্ষকে ২ দ্বারা গুণ করে পাই:
$\Rightarrow x + y = y + z + 30$
$\Rightarrow x - z = 30$

সুতরাং, ১ম ও ৩য় সংখ্যার পার্থক্য হলো 30।
যেহেতু অপশনগুলোতে 30 নেই, তাই সঠিক উত্তর হবে None of these।

দেওয়া আছে:
মোট পেনসিল = 75টি
প্রতিটি পেনসিলের গড় মূল্য = 2 টাকা
মোট কলম (pen) = 30টি
মোট কেনা মূল্য = 510 টাকা

সমাধান:
৭৫টি পেনসিলের মোট মূল্য = $75 \times 2 = 150$ টাকা।

৩০টি কলমের মোট মূল্য = মোট মূল্য - পেনসিলের মূল্য
$= 510 - 150$
$= 360$ টাকা।

সুতরাং, প্রতিটি কলমের গড় মূল্য = $\frac{360}{30} = 12$ টাকা।

দেওয়া আছে:
স্থির পানিতে নৌকার গতি (Speed of Boat), $u = 10$ km/hr
স্রোতের গতি (Speed of Stream), $v = 3$ km/hr
অতিক্রান্ত দূরত্ব = 52 km

সমাধান:
স্রোতের অনুকূলে (Downstream) গতিবেগ = নৌকা + স্রোত
$= 10 + 3$
$= 13$ km/hr

সময় (Time) = $\frac{\text{দূরত্ব}}{\text{গতিবেগ}}$
$= \frac{52}{13}$
$= 4$ hrs

সমাধান:

ধরি, স্থির পানিতে নৌকার বেগ $16x$ km/hr এবং স্রোতের বেগ $5x$ km/hr।

স্রোতের প্রতিকূলে (upstream) বেগ = $(16x - 5x)$ km/hr = $11x$ km/hr.

প্রশ্নানুসারে, নৌকাটি ৪৫ মিনিটে (বা $\frac{45}{60} = \frac{3}{4}$ ঘণ্টায়) ১৬.৫ কি.মি. যায়।
সুতরাং,
$11x = \frac{\text{Distance}}{\text{Time}}$
$\Rightarrow 11x = \frac{16.5}{3/4}$
$\Rightarrow 11x = \frac{16.5 \times 4}{3}$
$\Rightarrow 11x = 5.5 \times 4$
$\Rightarrow 11x = 22$
$\therefore x = 2$

তাহলে,
নৌকার বেগ = $16 \times 2 = 32$ km/hr
স্রোতের বেগ = $5 \times 2 = 10$ km/hr

স্রোতের অনুকূলে (downstream) বেগ = $(32 + 10) = 42$ km/hr.

এখন, ১৭.৫ কি.মি. পথ যেতে সময় লাগবে:
Time = $\frac{\text{Distance}}{\text{Speed}}$
$= \frac{17.5}{42}$ hours
মিনিটে নিলে,
$= \frac{17.5}{42} \times 60$ minutes
$= \frac{17.5}{7} \times 10$
$= 2.5 \times 10$
= 25 minutes

সমাধান:

ট্রেনের গতিবেগ = 108 km/hr
মিটার/সেকেন্ডে নিলে,
$= 108 \times \frac{5}{18} = 6 \times 5 = 30$ m/sec

ট্রেনটি ৩০ সেকেন্ডে একজন নারীকে অতিক্রম করে, অর্থাৎ ৩০ সেকেন্ডে ট্রেনটি তার নিজ দৈর্ঘ্য অতিক্রম করে।
আবার, ৪০ সেকেন্ডে প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করে, অর্থাৎ ৪০ সেকেন্ডে ট্রেনটি (নিজ দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য) অতিক্রম করে।

সুতরাং, শুধুমাত্র প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে সময় লাগে = $(40 - 30) = 10$ seconds.

$\therefore$ প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য = $\text{Speed} \times \text{Time}$
$= 30 \times 10$
= 300 m

সমাধান:

ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 125 m
সময় = 25 sec

যেহেতু ট্রেনটি লোকটিকে অতিক্রম করছে, তাই অতিক্রান্ত দূরত্ব ট্রেনের দৈর্ঘ্যের সমান।
$\therefore$ আপেক্ষিক বেগ (Relative Speed) = $\frac{\text{Distance}}{\text{Time}}$
$= \frac{125}{25} = 5$ m/sec

একে km/hr এ রূপান্তর করলে:
$= 5 \times \frac{18}{5} = 18$ km/hr

যেহেতু লোকটি এবং ট্রেন একই দিকে (same direction) যাচ্ছে, তাই আপেক্ষিক বেগ হলো উভয়ের বেগের বিয়োগফল।
ধরি, ট্রেনের বেগ = $S_T$
লোকের বেগ = 8 km/hr

শর্তমতে,
$S_T - 8 = 18$
$\Rightarrow S_T = 18 + 8$
$\therefore S_T = 26$ km/hr

ধরি,
২য় সংখ্যাটি = $x$
তাহলে ১ম সংখ্যাটি = $x + 12$

প্রশ্নমতে,
সংখ্যা দুটির গড় = ১৯
$\frac{x + x + 12}{2} = 19$
$\Rightarrow 2x + 12 = 38$
$\Rightarrow 2x = 26$
$\therefore x = 13$

সুতরাং,
২য় সংখ্যাটি = ১৩
১ম সংখ্যাটি = $13 + 12 =$ ২৫

উভয় সংখ্যার সাথে ২ যোগ করলে,
১ম সংখ্যা হয় = $25 + 2 =$ ২৭
২য় সংখ্যা হয় = $13 + 2 =$ ১৫

$\therefore$ নির্ণেয় অনুপাত = $27 : 15$
= 9 : 5 (উভয়কে ৩ দ্বারা ভাগ করে)

ধরি,
৪টি ক্রমিক জোড় সংখ্যা যথাক্রমে: $x, x+2, x+4, x+6$
তাদের সমষ্টি = $4x + 12$

৩টি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা যথাক্রমে: $y, y+2, y+4$
তাদের সমষ্টি = $3y + 6$

১ম শর্তমতে,
$(4x + 12) - (3y + 6) = 81$
$\Rightarrow 4x - 3y + 6 = 81$
$\Rightarrow 4x - 3y = 75$ ....... (i)

২য় শর্তমতে (সবচেয়ে ছোট জোড় ও বিজোড় সংখ্যার যোগফল),
$x + y = 59$
$\Rightarrow y = 59 - x$ ....... (ii)

(i) নং সমীকরণে $y$-এর মান বসিয়ে পাই,
$4x - 3(59 - x) = 75$
$\Rightarrow 4x - 177 + 3x = 75$
$\Rightarrow 7x = 252$
$\therefore x = 36$

তাহলে,
সবচেয়ে ছোট জোড় সংখ্যা ($x$) = ৩৬
সবচেয়ে ছোট বিজোড় সংখ্যা ($y$) = $59 - 36 =$ ২৩

এখন,
বৃহত্তম জোড় সংখ্যাটি = $x + 6 = 36 + 6 =$ ৪২
বৃহত্তম বিজোড় সংখ্যাটি = $y + 4 = 23 + 4 =$ ২৭

$\therefore$ নির্ণেয় সমষ্টি = $42 + 27 =$ 69

Let the number be $x$.

According to the question,

$x - 36 = 86 - x$

$\Rightarrow 2x = 86 + 36$

$\Rightarrow 2x = 122$

$\Rightarrow x = \frac{122}{2} =$ 61

Given,

Work of $(X + Y + Z)$ in 1 hour = $\frac{1}{6}$ part

Work of $(X + Y)$ in 1 hour = $\frac{1}{8}$ part

Work of $(Y + Z)$ in 1 hour = $\frac{1}{12}$ part

Now,

Z's 1 hour work = $(X+Y+Z) - (X+Y) = \frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{4-3}{24} = \frac{1}{24}$

X's 1 hour work = $(X+Y+Z) - (Y+Z) = \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{2-1}{12} = \frac{1}{12}$

So, $(X + Z)$'s 1 hour work = $\frac{1}{24} + \frac{1}{12} = \frac{1+2}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$

Therefore, X and Z together can do the work in 8 hours.

Step 1: Find total time for full work

A does $\frac{1}{4}$ work in 3 days

$\therefore$ A does full work in $3 \times 4 = 12$ days.

B does $\frac{1}{6}$ work in 4 days

$\therefore$ B does full work in $4 \times 6 = 24$ days.

Step 2: Calculate Efficiency Ratio

Ratio of time taken by A : B = $12 : 24 = 1 : 2$

Efficiency is inversely proportional to time.

$\therefore$ Ratio of Efficiency (Work Done) A : B = $2 : 1$

Step 3: Distribute Wages

Wages are distributed according to efficiency (work done).

A's share = $\frac{2}{2+1} \times 180 = \frac{2}{3} \times 180 = 2 \times 60 =$ Tk. 120

Correct Answer: 60 km/hr

Detailed Solution:
Let the required speed be $x$ km/hr.
Distance of first part ($d_1$) = 40 km, Speed ($s_1$) = 20 km/hr.
Time for first part ($t_1$) = $\frac{40}{20} = 2$ hours.

Distance of second part ($d_2$) = 40 km, Speed ($s_2$) = $x$ km/hr.
Time for second part ($t_2$) = $\frac{40}{x}$ hours.

Total Distance = $40 + 40 = 80$ km.
Total Time = $2 + \frac{40}{x}$.
Average Speed = $\frac{\text{Total Distance}}{\text{Total Time}}$
$30 = \frac{80}{2 + \frac{40}{x}}$
$30(2 + \frac{40}{x}) = 80$
$60 + \frac{1200}{x} = 80$
$\frac{1200}{x} = 20$
$x = \frac{1200}{20} = 60$ km/hr.

সমাধান:

ধরি, গাড়িটির আদি বেগ $x$ km/hr।

দূরত্ব = বেগ $\times$ সময়।

প্রথম ক্ষেত্রে, দূরত্ব $D = 8x$ km .........(i)

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, বেগ $(x + 4)$ km/hr এবং সময় 7 hours 30 minutes বা $7.5$ hours।

শর্তমতে,
$8x = 7.5(x + 4)$
$\Rightarrow 8x = 7.5x + 30$
$\Rightarrow 8x - 7.5x = 30$
$\Rightarrow 0.5x = 30$
$\Rightarrow x = \frac{30}{0.5} = 60$

সুতরাং, গাড়ির বেগ $60$ km/hr।

নির্ণেয় দূরত্ব $= 8 \times 60 =$ 480 km.

সমাধান:

দেওয়া আছে, Car : Train : Bus এর গতিবেগের অনুপাত $= 5:9:4$।

ধরি,
Car speed $= 5x$
Train speed $= 9x$
Bus speed $= 4x$

তিনটি যানের গড় গতিবেগ $72$ km/hr।
সুতরাং, মোট গতিবেগ $= 72 \times 3 = 216$ km/hr।

শর্তমতে,
$5x + 9x + 4x = 216$
$\Rightarrow 18x = 216$
$\Rightarrow x = \frac{216}{18} = 12$

এখন, Car এবং Train এর মোট গতিবেগ $= 5x + 9x = 14x$

Car এবং Train এর গড় গতিবেগ $= \frac{14x}{2} = 7x$

$x$ এর মান বসিয়ে পাই, $7 \times 12 =$ 84 km/hr.

সমাধান:

ধরি, মোট লভ্যাংশ $= x$ টাকা।

A পায় $\frac{1}{3}$ অংশ এবং B পায় $\frac{1}{4}$ অংশ।

A ও B এর মোট অংশ $= \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}$ অংশ।

বাকি অংশ (যা C পায়) $= 1 - \frac{7}{12} = \frac{12-7}{12} = \frac{5}{12}$ অংশ।

প্রশ্নমতে,
$\frac{5x}{12} = 5000$
$\Rightarrow x = \frac{5000 \times 12}{5}$
$\Rightarrow x = 12000$ টাকা।

সুতরাং, A পায় $= 12000 \times \frac{1}{3} =$ 4000 টাকা।

ধাপ ১: প্রথমে ১৫ জন কর্মচারীর মোট বয়স বের করি।
মোট বয়স = $15 \times 24 = 360$ বছর।

ধাপ ২: ৫ জন নতুন কর্মচারী যোগ দেওয়ার পর মোট কর্মচারী হয় = $15 + 5 = 20$ জন।
গড় বয়স ২ বছর বৃদ্ধি পায়, তাই নতুন গড় = $24 + 2 = 26$ বছর।
২০ জনের মোট বয়স = $20 \times 26 = 520$ বছর।

ধাপ ৩: নতুন ৫ জন কর্মচারীর মোট বয়স = $520 - 360 = 160$ বছর।
সুতরাং, নতুন কর্মচারীদের গড় বয়স = $\frac{160}{5} = 32$ বছর।

সঠিক উত্তর: 32

ধাপ ১: ক্রয়মূল্য নির্ণয়
৩২টি পেয়ারা ৩০ টাকায় বিক্রি করায় ২৫% ক্ষতি হয়।
ধরি, ক্রয়মূল্য (CP) ১০০%।
বিক্রয়মূল্য (SP) = $100 - 25 = 75\%$.
প্রশ্নমতে, $75\% = 30$ টাকা।
সুতরাং, $100\%$ (ক্রয়মূল্য) = $\frac{30 \times 100}{75} = 40$ টাকা।

ধাপ ২: নতুন বিক্রয়মূল্য নির্ধারণ
২০% লাভে নতুন বিক্রয়মূল্য হবে = $40 + (40 \text{ এর } 20\%) = 40 + 8 = 48$ টাকা।
অর্থাৎ, ২০% লাভে ৪৮ টাকায় বিক্রি করতে হবে ৩২টি পেয়ারা।

ধাপ ৩: ঐকিক নিয়ম
৪৮ টাকায় বিক্রি করতে হবে = ৩২টি পেয়ারা
১ টাকায় বিক্রি করতে হবে = $\frac{32}{48}$ টি পেয়ারা
১৮ টাকায় বিক্রি করতে হবে = $\frac{32 \times 18}{48}$ টি পেয়ারা
= $\frac{2 \times 18}{3} = 12$ টি।

সঠিক উত্তর: 12

ধরি, A এর ক্রয়মূল্য = $x$ টাকা।

A, B এর কাছে বিক্রি করে ২০% লাভে।
$\therefore$ B এর ক্রয়মূল্য = $x \times 120\% = 1.2x$ টাকা।

B, C এর কাছে বিক্রি করে ১০% ক্ষতিতে।
$\therefore$ C এর ক্রয়মূল্য = $1.2x \times 90\% = 1.2x \times 0.9 = 1.08x$ টাকা।

প্রশ্নমতে,
$1.08x = 216$
$\Rightarrow x = \frac{216}{1.08} = 200$ টাকা।

সঠিক উত্তর: Tk. 200

Detailed Solution:
Given,
Average of $x, y$ and $z$ is 45.
$\therefore$ Sum, $x + y + z = 45 \times 3 = 135$ ...... (i)

Let the average of $y$ and $z$ be $p$.
$\therefore \frac{y+z}{2} = p \Rightarrow y+z = 2p$

According to the question:
1) $x$ is greater than the average of $y$ and $z$ by 9.
$\Rightarrow x = p + 9$

2) The average of $y$ and $z$ is greater than $y$ by 2.
$\Rightarrow p = y + 2$
$\Rightarrow y = p - 2$

Now substitute these values in equation (i):
$x + (y+z) = 135$
$\Rightarrow (p+9) + 2p = 135$
$\Rightarrow 3p + 9 = 135$
$\Rightarrow 3p = 126$
$\Rightarrow p = 42$

Now find the values of $x$ and $z$:
$x = p + 9 = 42 + 9 = 51$
$y = p - 2 = 42 - 2 = 40$
Since $y+z = 2p \Rightarrow 40 + z = 2(42) \Rightarrow z = 84 - 40 = 44$

Therefore, the difference between $x$ and $z$:
$x - z = 51 - 44 = 7$