Algebra

দেওয়া আছে,
মোট ছাত্র সংখ্যা, $n(U) = 30$
ফুটবল খেলে, $n(F) = 18$
ক্রিকেট খেলে, $n(C) = 14$
কিছুই খেলে না, $n(F \cup C)' = 5$

আমরা জানি,
$n(U) = n(F \cup C) + n(F \cup C)'$
$\Rightarrow 30 = n(F \cup C) + 5$
$\Rightarrow n(F \cup C) = 30 - 5 = 25$

আবার,
$n(F \cup C) = n(F) + n(C) - n(F \cap C)$
$\Rightarrow 25 = 18 + 14 - n(F \cap C)$
$\Rightarrow 25 = 32 - n(F \cap C)$
$\Rightarrow n(F \cap C) = 32 - 25 = 7$

সুতরাং, উভয় খেলাই খেলে ৭ জন।

প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা (Geometric Progression)।
এখানে,
প্রথম পদ, $a = 2$
সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{-4}{2} = -2$ (যেহেতু $r < 1$)

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার প্রথম $n$ পদের সমষ্টি,
$S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$
$\therefore S_7 = \frac{2\{1 - (-2)^7\}}{1 - (-2)}$
$= \frac{2(1 - (-128))}{1 + 2}$
$= \frac{2(1 + 128)}{3}$
$= \frac{2 \times 129}{3}$
$= 2 \times 43$
$= 86$

প্রদত্ত রাশি,
$= \left( \frac{২}{৫}\sqrt{৯} \right) \times (৫\sqrt{৯})$

আমরা জানি, $\sqrt{৯} = ৩$

$= \left( \frac{২}{৫} \times ৩ \right) \times (৫ \times ৩)$
$= \frac{৬}{৫} \times ১৫$
$= ৬ \times ৩$
$= ১৮$

সঠিক উত্তর: ১৮।

⚠️ সতর্কতা: বইয়ের উত্তরমালায় বা হিন্টসে উত্তর '৯' দেওয়া আছে, যা প্রশ্নটিতে $\frac{২}{৫}$-এর বদলে $\frac{১}{৫}$ থাকলে সঠিক হতো। কিন্তু প্রশ্নে স্পষ্ট '২' থাকায় সঠিক উত্তর ১৮।

Correct Answer: 91 (Option ঘ)

Solution:

Given, $x + y = 7$ and $x^2 + y^2 = 25$

We know, $(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$

$\Rightarrow 7^2 = 25 + 2xy$

$\Rightarrow 49 - 25 = 2xy$

$\Rightarrow 2xy = 24$

$\therefore xy = 12$

Now, $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 + y^2 - xy)$

$= 7(25 - 12)$

$= 7 \times 13$

$=$ 91

প্রদত্ত রাশি = $\frac{x^2-x-30}{x^2-36}$

লব-এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$x^2-x-30$
$= x^2-6x+5x-30$
$= x(x-6)+5(x-6)$
$= (x-6)(x+5)$

হর-এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ:
$x^2-36$
$= x^2-6^2$
$= (x-6)(x+6)$ [সূত্র: $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$]

ভগ্নাংশটি হবে:
$\frac{(x-6)(x+5)}{(x-6)(x+6)}$
$= \frac{x+5}{x+6}$

সঠিক উত্তর: (ক) $\frac{x+5}{x+6}$

সঠিক উত্তর: ১১০

সমাধান:
প্রশ্নে $m+\frac{1}{m}$ এর মান উল্লেখ নেই, তবে প্রদত্ত সমাধানের Note অনুযায়ী এর মান 5 ধরে সমাধান করা হলো।

দেওয়া আছে,
$m + \frac{1}{m} = 5$

প্রদত্ত রাশি,
$= m^3 + \frac{1}{m^3}$
$= (m + \frac{1}{m})^3 - 3 \cdot m \cdot \frac{1}{m} (m + \frac{1}{m})$
$= (5)^3 - 3(5)$
$= 125 - 15$
$= 110$

প্রদত্ত রাশি = $\frac{0.0036 \times 2.8}{0.04 \times 0.1 \times 0.003}$

দশমিক উঠিয়ে পূর্ণসংখ্যায় রূপান্তর করি:
লব (Numerator): $36 \times 10^{-4} \times 28 \times 10^{-1} = 36 \times 28 \times 10^{-5}$
হর (Denominator): $4 \times 10^{-2} \times 1 \times 10^{-1} \times 3 \times 10^{-3} = 4 \times 1 \times 3 \times 10^{-6} = 12 \times 10^{-6}$

এখন,
$\frac{36 \times 28 \times 10^{-5}}{12 \times 10^{-6}}$
$= (3 \times 28) \times 10^{-5 - (-6)}$
$= 84 \times 10^{1}$
$= 84 \times 10$
$= 840$

সঠিক উত্তর: 840

নোট: প্রশ্নটিতে একটি টাইপিং বা লজিক্যাল ভুল রয়েছে।

দেওয়া আছে, $p = 893 \times 78$। প্রশ্ন করা হয়েছে কোনটি $893 \times 78$ এর সমান? এর উত্তর সরাসরি $p$ হওয়ার কথা, যা অপশনে নেই।

সম্ভাব্য সংশোধন:
১. যদি প্রশ্নটি হতো কোনটি $893 \times 79$ এর সমান?
তবে, $893 \times 79 = 893(78+1) = 893 \times 78 + 893 = p + 893$। সেক্ষেত্রে উত্তর হতো (d)।
২. যদি প্রশ্নটি হতো কোনটি $894 \times 78$ এর সমান?
তবে, $894 \times 78 = (893+1) \times 78 = p + 78$। সেক্ষেত্রে উত্তর হতো (b)।

যেহেতু সঠিক অপশন নেই, তাই কোনোটিই উত্তর হিসেবে গণ্য করা যায় না।

সঠিক উত্তর: -1

সমাধান:

দেওয়া আছে,
$8^{2x+1} = 2^{9x+6}$
$\Rightarrow (2^3)^{2x+1} = 2^{9x+6}$ [ভিত্তি এক করার জন্য $8$ কে $2^3$ লেখা হয়েছে]
$\Rightarrow 2^{3(2x+1)} = 2^{9x+6}$
$\Rightarrow 2^{6x+3} = 2^{9x+6}$

উভয় পক্ষের ভিত্তি $2$ বাদ দিয়ে পাই,
$6x + 3 = 9x + 6$
$\Rightarrow 6x - 9x = 6 - 3$
$\Rightarrow -3x = 3$
$\Rightarrow x = \frac{3}{-3}$
$\therefore x = -1$

সঠিক উত্তর: 5

সমাধান:

মোট টাকা = ২.৩৫ টাকা = ২৩৫ পয়সা।
ধরি, ২৫ পয়সার মুদ্রা আছে $x$ টি।
তাহলে, ১০ পয়সার মুদ্রা আছে $(16 - x)$ টি।

প্রশ্নমতে,
$25x + 10(16 - x) = 235$
$\Rightarrow 25x + 160 - 10x = 235$
$\Rightarrow 15x = 235 - 160$
$\Rightarrow 15x = 75$
$\Rightarrow x = \frac{75}{15}$
$\therefore x = 5$

সুতরাং, ২৫ পয়সার মুদ্রার সংখ্যা ৫টি।

দেওয়া আছে,
$R = 176 - 0.8x$

প্রশ্নমতে,
$140 = 176 - 0.8x$
$\Rightarrow 0.8x = 176 - 140$
$\Rightarrow 0.8x = 36$
$\Rightarrow x = \frac{36}{0.8}$
$\Rightarrow x = \frac{360}{8}$
$\therefore x =$ 45

সুতরাং, নির্ণেয় বয়স 45 years.

প্রদত্ত রাশি, $f(x) = x^2 - 10x + 16$
অপশনগুলো বিবেচনা করি (যেহেতু রেঞ্জ $[-4, 4]$):
(a) $x = -4$ হলে, $(-4)^2 - 10(-4) + 16 = 16 + 40 + 16 =$ 72
(b) $x = -2$ হলে, $(-2)^2 - 10(-2) + 16 = 4 + 20 + 16 = 40$
(c) $x = 0$ হলে, $0^2 - 10(0) + 16 = 16$
(d) $x = 2$ হলে, $2^2 - 10(2) + 16 = 4 - 20 + 16 = 0$

দেখা যাচ্ছে, $x = -4$ এর জন্য মানটি সর্বোচ্চ (72)।

প্রদত্ত রাশি,
$= \frac{\sqrt{28} \times \sqrt{24}}{\sqrt{42} \times \sqrt{8}}$

আমরা জানি, $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$

তাহলে,
$= \frac{\sqrt{4 \times 7} \times \sqrt{4 \times 6}}{\sqrt{6 \times 7} \times \sqrt{4 \times 2}}$

$= \frac{2\sqrt{7} \times 2\sqrt{6}}{\sqrt{6}\sqrt{7} \times 2\sqrt{2}}$

লব ও হরের $\sqrt{7}$, $\sqrt{6}$ এবং একটি $2$ কেটে দিলে পাই,
$= \frac{2}{\sqrt{2}}$
$= \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$= \mathbf{\sqrt{2}}$

ব্যাখ্যা:
প্রশ্নমতে,
Fixed Cost = Tk. 500
Cost per unit (additional) = Tk. X
Total Units = 1200
Total Cost = Tk. 4700

শর্তমতে সমীকরণটি দাঁড়ায়:
$500 + 1200X = 4700$
$\Rightarrow 1200X = 4700 - 500$
$\Rightarrow 1200X = 4200$
$\Rightarrow X = \frac{4200}{1200}$
$\therefore X =$ 3.5

সঠিক উত্তর: 3.5

সমাধান:
প্রদত্ত রাশি: $6(-3)(\frac{1}{3})(-0.25)$

ধাপে ধাপে গুণ করি:
১. $6 \times (-3) = -18$
২. $-18 \times \frac{1}{3} = -6$
৩. $-6 \times (-0.25)$
$= -6 \times (-\frac{1}{4})$
$= \frac{6}{4} = \frac{3}{2} =$ 1.5

সঠিক উত্তর: 1.5

ব্যাখ্যা:
ধারাটির পদগুলোর পার্থক্য লক্ষ্য করি:
$91 - 86 = 5$
$86 - 76 = 10$
$76 - 61 = 15$

দেখা যাচ্ছে, পার্থক্য প্রতিবার ৫ করে বাড়ছে (৫, ১০, ১৫...)।
সুতরাং, পরবর্তী পার্থক্য হবে ২০।
$\therefore$ পরবর্তী সংখ্যাটি হবে: $61 - 20 =$ 41

ধরি, কবিরের বর্তমান ওজন $x$ পাউন্ড।

যেহেতু দুজনের মোট ওজন 278 পাউন্ড, তাই বোনের ওজন $= (278 - x)$ পাউন্ড।

প্রশ্নমতে,

$(x - 8) = 2(278 - x)$

$\Rightarrow x - 8 = 556 - 2x$

$\Rightarrow 3x = 564$

$\therefore x = \frac{564}{3} =$ 188

দেওয়া আছে,

$x^{-\frac{7}{2}} = \frac{1}{128}$

$\Rightarrow x^{-\frac{7}{2}} = \frac{1}{2^7}$

$\Rightarrow x^{-\frac{7}{2}} = 2^{-7}$

উভয়পক্ষকে $-\frac{2}{7}$ পাওয়ার দ্বারা গুণ করে পাই,

$(x^{-\frac{7}{2}})^{-\frac{2}{7}} = (2^{-7})^{-\frac{2}{7}}$

$\Rightarrow x^1 = 2^2$

$\therefore x =$ 4

দেওয়া আছে, $P = 5 + \sqrt{2}$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$P^2 = (5 + \sqrt{2})^2$

আমরা জানি, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$\therefore P^2 = 5^2 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2$

$= 25 + 10\sqrt{2} + 2$

$=$ $27 + 10\sqrt{2}$

দেওয়া আছে,
$12a + 3b = 1$ ...... (i)
$7b - 2a = 9$ ...... (ii)

সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই:
$(12a - 2a) + (3b + 7b) = 1 + 9$
$\Rightarrow 10a + 10b = 10$
$\Rightarrow 10(a + b) = 10$
$\Rightarrow a + b = 1$

অতএব, a এবং b এর গড়:
Average = $\frac{a + b}{2} = \frac{1}{2} =$ 0.5

প্রদত্ত রাশি:
$(2x^{-1})^2 \div x^{-5}$

ধাপে ধাপে সমাধান:
$= 2^2 \cdot (x^{-1})^2 \div x^{-5}$
$= 4 \cdot x^{-2} \div x^{-5}$
$= 4 \cdot \frac{x^{-2}}{x^{-5}}$
$= 4 \cdot x^{-2 - (-5)}$
$= 4 \cdot x^{-2 + 5}$
$=$ 4x³

ব্যাখ্যা:
দেওয়া আছে,
মোট শিক্ষার্থী, $N(S) = 78$
French নেয়, $N(F) = 41$
German নেয়, $N(G) = 22$
উভয় বিষয় নেয়, $N(F \cap G) = 9$

আমরা জানি,
অন্তত একটি বিষয় নেয় এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা:
$N(F \cup G) = N(F) + N(G) - N(F \cap G)$
$= 41 + 22 - 9$
$= 63 - 9$
$= 54$

$\therefore$ কোনো বিষয়ই নেয়নি এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা:
$N(None) = N(S) - N(F \cup G)$
$= 78 - 54$
$=$ 24

সঠিক উত্তর: 24

ব্যাখ্যা:
দেওয়া আছে,
$a + 2b = 6$
$ab = 4$

প্রদত্ত রাশি:
$\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$
ল.সা.গু করে পাই,
$= \frac{2b + a}{ab}$
লবকে সাজিয়ে লিখলে পাই,
$= \frac{a + 2b}{ab}$

এখন মান বসিয়ে পাই,
$= \frac{6}{4}$
$= \frac{3}{2}$

সঠিক উত্তর: 3/2

দেওয়া আছে:
গণিতে ফেল করে, $n(M) = 34\%$
ইংরেজিতে ফেল করে, $n(E) = 42\%$
উভয় বিষয়ে ফেল করে, $n(M \cap E) = 20\%$

আমরা জানি,
যেকোনো একটি বা উভয় বিষয়ে ফেল করা শিক্ষার্থীর হার,
$n(M \cup E) = n(M) + n(E) - n(M \cap E)$
$= 34\% + 42\% - 20\%$
$= 76\% - 20\%$
$= 56\%$

সুতরাং, উভয় বিষয়ে পাশ করা শিক্ষার্থীর হার,
$= 100\% - n(M \cup E)$
$= 100\% - 56\%$
$= 44\%$

সঠিক উত্তর: 44%

Given:
Total number of people, $N = 15$
Number of Spanish speakers, $n(S) = 7$
Number of French speakers, $n(F) = 8$
Number of people speaking neither, $n(Neither) = 3$

Formula:
Total Group = $n(S) + n(F) - n(S \cap F) + n(Neither)$

Calculation:
$15 = 7 + 8 - n(S \cap F) + 3$
$\Rightarrow 15 = 18 - n(S \cap F)$
$\Rightarrow n(S \cap F) = 18 - 15$
$\Rightarrow n(S \cap F) =$ 3

Required Fraction:
Fraction of group speaking both $= \frac{3}{15} =$ 1/5

সঠিক উত্তর: 8

প্রদত্ত রাশি:
$-(\sqrt{2}-\sqrt{8})(2\sqrt{2}+\sqrt{8})$

আমরা জানি, $\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}$

মান বসিয়ে পাই:
$= -(\sqrt{2} - 2\sqrt{2})(2\sqrt{2} + 2\sqrt{2})$
$= -(-\sqrt{2})(4\sqrt{2})$   [ব্র্যাকেটের ভেতরের যোগ-বিয়োগ করে]
$= -(-4 \times \sqrt{2} \times \sqrt{2})$
$= -(-4 \times 2)$
$= -(-8)$
$= 8$

সঠিক উত্তর: – 8

ধাপে ধাপে সমাধান:

1. শর্তমতে, $y < 9$।

3. উভয় পক্ষে 8 যোগ করি:

4. উভয় পক্ষকে -2 দ্বারা ভাগ করি (অসমতার চিহ্ন ঘুরে যাবে):

5. যেহেতু $x$ একটি পূর্ণসংখ্যা (integer), তাই $-8.5$ এর চেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যাগুলো হলো: $-8, -7, -6, \dots$

This is a Geometric Progression problem where the height decreases by a factor of $\frac{2}{5}$ each time.

Given:

• Height after 1st bounce ($H_1$) = 125 inches
• Common ratio ($r$) = $\frac{2}{5}$

We need to find the height after the 4th bounce ($H_4$).

Calculation:

• $H_2 = 125 \times \frac{2}{5} = 50$ inches
• $H_3 = 50 \times \frac{2}{5} = 20$ inches
• $H_4 = 20 \times \frac{2}{5} = 8$ inches

So, the height after the 4th bounce is 8 inches.

ব্যাখ্যা:
ধরি, $f(x) = 4x^3 + 3x^2 - 4x + k$
যেহেতু $(x - 1)$ রাশিটির একটি উৎপাদক (factor), সুতরাং Factor Theorem অনুযায়ী $x = 1$ বসালে রাশিটির মান শূন্য হবে।
$\therefore f(1) = 0$
$\Rightarrow 4(1)^3 + 3(1)^2 - 4(1) + k = 0$
$\Rightarrow 4 + 3 - 4 + k = 0$
$\Rightarrow 3 + k = 0$
$\therefore k = -3$

ব্যাখ্যা:
প্রদত্ত রাশি: $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$
ল.সা.গু করে পাই,
$= \frac{2b + a}{ab}$
মান বসিয়ে পাই (যেহেতু $a + 2b = 6$ এবং $ab = 4$),
$= \frac{6}{4}$
$= \frac{3}{2}$

সমাধান:

Given, $x + \frac{1}{x} = 3$

We know the formula:

$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$

So,

$\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$

$\Rightarrow \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = 3^2 - 4$

$\Rightarrow \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = 9 - 4$