💼

Bank Math (English Medium)

Geometry & Mensuration

Q: "Geometry & Mensuration" অধ্যায় থেকে কেমন প্রশ্ন আসে?

Bank Jobs নিয়োগ পরীক্ষায় Bank Math (English Medium) বিষয়ের "Geometry & Mensuration" অধ্যায় থেকে নিয়মিত MCQ আসে। এই পেজে বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক জায়গায় দেওয়া হয়েছে — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ।

Q: উত্তর ও সমাধান কি বিনামূল্যে?

হ্যাঁ। প্রশ্ন, অপশন, সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যা — সবই লগইন ছাড়াই বিনামূল্যে দেখা যায়। টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করতে চাইলে একটি ফ্রি অ্যাকাউন্ট দিয়ে প্র্যাকটিস মোডে যান।

Bank Jobs · Bank Math (English Medium) — বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক পেজে।

নিচে Bank Jobs নিয়োগ পরীক্ষার Bank Math (English Medium) বিষয়ের "Geometry & Mensuration" অধ্যায়ের বাছাইকৃত ১১১টি বহুনির্বাচনি প্রশ্ন — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ। সবই বিনামূল্যে।

The difference between the radii of bigger circle and smaller circle is 14 cm and the difference between their areas is 1056 cm². Radius of the smaller circle is—

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
7 cm
5 cm
c
9 cm
d
3 cm

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

প্রশ্ন বিশ্লেষণ: দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের পার্থক্য ১৪ সে.মি. এবং ক্ষেত্রফলের পার্থক্য ১০৫৬ বর্গ সে.মি.। ছোট বৃত্তটির ব্যাসার্ধ নির্ণয় করতে হবে।

ধরি,
বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $R$
ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$

দেওয়া আছে,
$R - r = 14$ ...... (i)
$\pi R^2 - \pi r^2 = 1056$
$\Rightarrow \pi (R^2 - r^2) = 1056$
$\Rightarrow \frac{22}{7} (R+r)(R-r) = 1056$
$\Rightarrow (R+r) \times 14 = 1056 \times \frac{7}{22}$ [মান বসিয়ে]
$\Rightarrow 14(R+r) = 336$
$\Rightarrow R+r = \frac{336}{14}$
$\Rightarrow R+r = 24$ ...... (ii)

এখন, (ii) থেকে (i) বিয়োগ করে পাই:
$(R+r) - (R-r) = 24 - 14$
$\Rightarrow 2r = 10$
$\Rightarrow r = 5$

সঠিক উত্তর: 5 cm

ব্যাখ্যা

বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র

\pi r^2

ব্যবহার করা হয়েছে।

দুটি সমীকরণ গঠন করে সমাধান করা হয়েছে: ব্যাসার্ধের পার্থক্য এবং ক্ষেত্রফলের পার্থক্য।

A square is inscribed in a circle of diameter 2a and another square is circumscribing circle. The difference between the areas of outer and inner squares is—

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
a²
2a²
c
3a²
d
4a²

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

সমাধান:

Circle Diameter = $2a$

1. Inscribed Square (অভ্যন্তরীণ বর্গ):

The diagonal of the inscribed square is equal to the diameter of the circle.

Diagonal ( $d$ ) = $2a$

Area = $\frac{1}{2} \times d^2 = \frac{1}{2} \times (2a)^2 = \frac{1}{2} \times 4a^2 = 2a^2$

2. Circumscribed Square (পরিবৃত্তস্থ বর্গ):

The side of the circumscribed square is equal to the diameter of the circle.

Side ( $s$ ) = $2a$

Area = $s^2 = (2a)^2 = 4a^2$

Difference:

Difference = $4a^2 - 2a^2 = 2a^2$

ব্যাখ্যা

বৃত্তের অভ্যন্তরে আঁকা বর্গের কর্ণ বৃত্তের ব্যাসের সমান।

বৃত্তের বাইরে আঁকা বর্গের বাহু বৃত্তের ব্যাসের সমান।

A square is inseribed in a circle of diameter 2a and another square is circumscribing circle. The difference between the areas of outer and inner squares is.

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
$a^2$
$2a^2$
c
$3a^2$
d
$4a^2$

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

দেওয়া আছে, বৃত্তের ব্যাস (Diameter) = $2a$ .
অতএব, বৃত্তের ব্যাসার্ধ (Radius) = $a$ .

১. বৃত্তে অন্তরলিখিত বর্গ (Inscribed Square):
অন্তরলিখিত বর্গের কর্ণ (Diagonal) = বৃত্তের ব্যাস = $2a$ .
আমরা জানি, বর্গের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2} \times (\text{কর্ণ})^2$
Area (Inner) = $\frac{1}{2} \times (2a)^2 = \frac{1}{2} \times 4a^2 = 2a^2$ .

২. বৃত্তে পরিলিখিত বর্গ (Circumscribed Square):
পরিলিখিত বর্গের বাহু (Side) = বৃত্তের ব্যাস = $2a$ .
Area (Outer) = $(\text{Side})^2 = (2a)^2 = 4a^2$ .

পার্থক্য:
Difference = $4a^2 - 2a^2 = 2a^2$ .

সঠিক উত্তর: $2a^2$

ব্যাখ্যা

অন্তরলিখিত বর্গের ক্ষেত্রে কর্ণ বৃত্তের ব্যাসের সমান এবং পরিলিখিত বর্গের ক্ষেত্রে বাহু বৃত্তের ব্যাসের সমান হয়।

একটি বৃত্তের পরিধি ১৩২ সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল ১৩৮৬ বর্গ সে.মি., বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

৪২ সে.মি.
b
৪৮ সে.মি.
c
৫০ সে.মি.
d
৫২ সে.মি.

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

সঠিক উত্তর: ৪২ সে.মি.

সমাধান:

আমরা জানি, বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা হলো ব্যাস ( $2r$ )।

দেওয়া আছে, পরিধি $2\pi r = 132$

$\Rightarrow 2 \times \frac{22}{7} \times r = 132$

$\Rightarrow r = \frac{132 \times 7}{44}$

$\Rightarrow r = 3 \times 7 = 21$ সে.মি.

অতএব, বৃহত্তম জ্যা বা ব্যাস = $2r = 2 \times 21 =$ 42 সে.মি.

(যাচাই: ক্ষেত্রফল $\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 1386$ বর্গ সে.মি., যা প্রশ্নের সাথে মিলে যায়।)

ব্যাখ্যা

The largest chord of a circle is its diameter. Calculating radius from circumference gives 21cm, so diameter is 42cm.

একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গগজ। ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু হতে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য ১২ গজ হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
১২ গজ
১৪ গজ
c
১৬ গজ
d
৭ গজ

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

সঠিক উত্তর: ১৪ গজ

সমাধান:

আমরা জানি,

$ত্রিভুজের \; ক্ষেত্রফল = \frac{1}{2} \times ভূমি \times উচ্চতা$

প্রশ্নমতে,

$ক্ষেত্রফল = ৮৪$ বর্গগজ এবং $উচ্চতা (লম্ব) = ১২$ গজ।

$\therefore ৮৪ = \frac{1}{2} \times ভূমি \times ১২$

$\Rightarrow ৮৪ = ৬ \times ভূমি$

$\Rightarrow ভূমি = \frac{৮৪}{৬}$

$\therefore ভূমি = ১৪$ গজ।

ব্যাখ্যা

ক্ষেত্রফলের সূত্র প্রয়োগ করে সহজেই ভূমির মান বের করা যায়।

এখানে উচ্চতা বা লম্ব একই অর্থ বহন করে।

গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন

৩.৫ বিঘা = কত বর্গগজ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
৪০০০
b
১৪৪০০
c
৭২০০
৫৬০০

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

সঠিক উত্তর: ৫৬০০

সমাধান:

আমরা জানি,

১ বিঘা = ১৬০০ বর্গগজ (Standard Measurement)

$\therefore$ ৩.৫ বিঘা = $৩.৫ \times ১৬০০$ বর্গগজ

$= ৫৬০০$ বর্গগজ

ব্যাখ্যা

বিঘা ও বর্গগজের এই সম্পর্কটি মুখস্থ রাখা জরুরি। ভিন্ন ভিন্ন মাপে বিঘার মান ভিন্ন হতে পারে, তবে গাণিতিক প্রশ্নে ১ বিঘা = ১৬০০ বর্গগজ ধরা হয়।

A rectangular floor that measures 8 meters by 10 meters is to be covered with carpet squares that each measure 2 meters by 2 meters. If a carpet square costs Tk. 12.00, calculate the total cost to cover

\frac{2}{3}

of the floor?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

১৬০ টাকা
b
১৮০ টাকা
c
২৪০ টাকা
d
৪৮০ টাকা

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

Area of the floor =

8 \times 10 = 80

sq. meters.

Area of one carpet square =

2 \times 2 = 4

sq. meters.

Target area to cover =

\frac{2}{3}

of total area =

80 \times \frac{2}{3} = \frac{160}{3}

sq. meters.

Number of carpet squares needed =

\frac{\text{Target Area}}{\text{Area of one carpet}}

= \frac{160/3}{4} = \frac{160}{12} = \frac{40}{3}

pieces.

Total Cost = Number of pieces

\times

Cost per piece

= \frac{40}{3} \times 12

= 40 \times 4 =

160 Tk.

ব্যাখ্যা

প্রথমে মেঝের মোট ক্ষেত্রফল বের করে তার

\frac{2}{3}

অংশ নির্ণয় করতে হবে। এরপর প্রতিটি কার্পেটের ক্ষেত্রফল দিয়ে ভাগ করে প্রয়োজনীয় কার্পেট সংখ্যা ও মোট খরচ বের করা হয়।

একটি বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ১ হেক্টর। বাগানটির পরিসীমা কত মিটার?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

৪০০ মি.
b
২০০ মি.
c
৪৪০ মি.
d
৫০০ মি.

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

সঠিক উত্তর: ৪০০ মি.

সমাধান:
আমরা জানি,
১ হেক্টর = ১০,০০০ বর্গমিটার
বর্গাকার বাগানের ক্ষেত্রফল = $(\text{এক বাহু})^2$ = ১০,০০০
$\therefore$ এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{10000}$ = ১০০ মিটার

অতএব, পরিসীমা = $4 \times \text{এক বাহু}$
= $4 \times 100$
= $400$ মিটার

ব্যাখ্যা

হেক্টর থেকে বর্গমিটারে রূপান্তর করে বাহুর দৈর্ঘ্য বের করতে হবে। তারপর

4a

সূত্র দিয়ে পরিসীমা নির্ণয় করতে হবে।

A rectangular floor that measures 8 meters by 10 meters is to be covered with carpet squares that each measure 2 meters by 2 meters. If a carpet square costs Tk. 12, calculate the total cost to cover $\frac{2}{3}$ of the floor?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

Tk. 160
b
Tk. 240
c
Tk. 480
d
None of these

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

সঠিক উত্তর: Tk. 160

সমাধান:

আয়তাকার মেঝের ক্ষেত্রফল = $(8 \times 10)$ বর্গমিটার = $80$ বর্গমিটার।
প্রতিটি কার্পেট স্কয়ারের ক্ষেত্রফল = $(2 \times 2)$ বর্গমিটার = $4$ বর্গমিটার।

সম্পূর্ণ ফ্লোর ঢাকতে কার্পেট লাগবে = $\frac{80}{4} = 20$ টি।

$\frac{2}{3}$ অংশ ঢাকতে কার্পেট লাগবে = $20 \times \frac{2}{3}$ টি।
সুতরাং, মোট খরচ = $\left(20 \times \frac{2}{3} \times 12\right)$ টাকা
= $20 \times 2 \times 4$ টাকা [ $\frac{2}{3} \times 12 = 8$ ]
= $160$ টাকা।

ব্যাখ্যা

প্রথমে পুরো ফ্লোরের জন্য কতটি কার্পেট লাগবে তা বের করে, তার ২/৩ অংশের খরচ হিসাব করা হয়েছে।

If the perimeter of a rectangular garden plot is 34 feet and its area is 60 square feet, what is the length of each of the longer sides?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
5 feet
b
6 feet
c
10 feet
12 feet

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $x$ এবং প্রস্থ $y$ ।

প্রশ্নমতে,
পরিসীমা, $2(x+y) = 34$
$\Rightarrow x+y = 17 ......(i)$

এবং ক্ষেত্রফল, $xy = 60 ......(ii)$

আমরা জানি,
$(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$
$= (17)^2 - 4 \times 60$
$= 289 - 240$
$= 49$
$\therefore x-y = 7 ......(iii)$

সমীকরণ $(i)$ ও $(iii)$ যোগ করে পাই,
$2x = 24$
$\Rightarrow x = 12$

তাহলে, $y = 17 - 12 = 5$ ।
সুতরাং, দীর্ঘতম বাহুর দৈর্ঘ্য 12 feet।

ব্যাখ্যা

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের যোগফল এবং গুণফল ব্যবহার করে বীজগণিতীয় সূত্রের মাধ্যমে বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা হয়েছে।

ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য

ক্লাস ৬-১২ একাডেমিক প্রস্তুতিও নিন

ক্লাস ৬-১২, এসএসসি ও এইচএসসির সব বিষয়ের বোর্ড প্রশ্ন, অধ্যায়ভিত্তিক প্র্যাকটিস, লাইভ পরীক্ষা ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর একাডেমিক সেকশনে।

একাডেমিক প্রস্তুতি দেখুন

A triangular plot with sides of 25 feet, 40 feet and 55 feet is to surround by a fence built on pillars set 5 feet apart. How many pillars will be required to surround the plot?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
21
b
22
c
23
24

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

সঠিক উত্তর: 24

সমাধান:

ত্রিভুজাকার প্লটের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 25, 40 এবং 55 ফুট।
সুতরাং, প্লটের পরিসীমা (Perimeter) = $(25 + 40 + 55)$ feet = $120$ feet.

পিলারগুলো ৫ ফুট অন্তর অন্তর বসানো হবে।
বদ্ধ ক্ষেত্রের (closed loop) ক্ষেত্রে পিলারের সংখ্যা = $\frac{\text{মোট পরিসীমা}}{\text{ব্যবধান}}$

$\therefore$ নির্ণেয় পিলারের সংখ্যা = $\frac{120}{5} =$ 24 টি।

ব্যাখ্যা

Total Perimeter = 25+40+55 = 120.

Number of pillars = Perimeter / Gap = 120 / 5 = 24.

The length of room is 1.5 times of its breadth. If the area of the room is 216 sq. meters, what is the perimeter of the room?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

60 meter
b
54 meter
c
48 meter
d
50 meter

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

সঠিক উত্তর: 60 meter

সমাধান:

ধরি, প্রস্থ (Breadth) = $x$ meter
তাহলে, দৈর্ঘ্য (Length) = $1.5x$ = $\frac{3}{2}x$ meter

প্রশ্নমতে,
$\text{Length} \times \text{Breadth} = \text{Area}$
$\Rightarrow \frac{3}{2}x \times x = 216$
$\Rightarrow x^2 = \frac{216 \times 2}{3}$
$\Rightarrow x^2 = 72 \times 2 = 144$
$\therefore x = 12$

তাহলে,
প্রস্থ = $12$ meter
দৈর্ঘ্য = $\frac{3}{2} \times 12 = 18$ meter

$\therefore$ পরিসীমা (Perimeter) = $2(\text{Length} + \text{Breadth})$
= $2(18 + 12)$
= $2 \times 30$
= 60 meter

ব্যাখ্যা

Let breadth = x, length = 1.5x.

Area = 1.5x^2 = 216 => x = 12.

Length = 18, Breadth = 12.

Perimeter = 2(18+12) = 60.

The perimeter of a rectangle is 26 cm. The rectangle is converted to a square by tripling the width and taking a quarter of the length. What is the perimeter of the resulting square?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
9 cm
12 cm
c
20 cm
d
26 cm

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

Correct Answer: 12 cm

Solution:
Let length = $L$ and width = $W$ .
Perimeter of rectangle = $2(L + W) = 26$
$\Rightarrow L + W = 13$ ... (i)

For the square:
New side from length = $\frac{L}{4}$
New side from width = $3W$
Since it is a square, sides are equal:
$\frac{L}{4} = 3W$
$\Rightarrow L = 12W$

Substitute $L$ in equation (i):
$12W + W = 13$
$\Rightarrow 13W = 13$
$\Rightarrow W = 1$

So, side of square = $3W = 3(1) = 3$ cm.
Perimeter of square = $4 \times \text{side} = 4 \times 3 = 12$ cm.

ব্যাখ্যা

Check: If W=1, L=12. Original Perimeter = 2(12+1) = 26. (Matches)

New sides: L/4 = 12/4 = 3; 3W = 3*1 = 3. (Matches, it's a square)

A box is made in the form of a cube. If a second cubical box has inside dimensions three times those of the first box, how many times as much does the second box contain?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
6
b
9
c
12
27

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

ধরি,
১ম বক্সের (ঘনক) এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক
$\therefore$ ১ম বক্সের ধারণক্ষমতা বা আয়তন, $V_1 = a^3$ ঘন একক

প্রশ্নমতে,
২য় বক্সের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $3 \times a = 3a$ একক
$\therefore$ ২য় বক্সের আয়তন, $V_2 = (3a)^3 = 27a^3$ ঘন একক

তুলনা:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{27a^3}{a^3} = 27$

অর্থাৎ, ২য় বক্সটি ১ম বক্সের চেয়ে ২৭ গুণ বেশি ধারণ করতে পারবে।

সঠিক উত্তর: 27

ব্যাখ্যা

ঘনকের আয়তন তার বাহুর দৈর্ঘ্যের ঘনফলের (cube) সমানুপাতিক। তাই বাহু ৩ গুণ বাড়লে আয়তন

3^3

বা ২৭ গুণ বাড়বে।

46. Ravi leaves home for stadium which is 12 km from his house. After the stadium, he goes to his club which is 7 km from his stadium. If his house, stadium and club all fail in a time, then what is the minimum distance he has to travel to get back home?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
19 km
b
7 km
5 km
d
12 km

সঠিক উত্তর: c

সমাধান

সঠিক উত্তর: 5 km

প্রশ্নটিতে একটি ছোট টাইপো (Typo) আছে। "fail in a time" এর পরিবর্তে "fall in a line" হবে, যার অর্থ তারা একই সরলরেখায় অবস্থিত।

দেওয়া আছে,
বাড়ি (House) থেকে স্টেডিয়ামের (Stadium) দূরত্ব, $HS = 12$ km
স্টেডিয়াম থেকে ক্লাবের (Club) দূরত্ব, $SC = 7$ km

যেহেতু তারা একই সরলরেখায় অবস্থিত, তাই দুটি সম্ভাবনা হতে পারে:
১. বাড়ি, স্টেডিয়াম এবং ক্লাব ক্রমানুসারে আছে (H - S - C)।
এক্ষেত্রে বাড়ি থেকে ক্লাবের দূরত্ব = $12 + 7 = 19$ km (সর্বোচ্চ দূরত্ব)।

২. ক্লাবটি বাড়ি এবং স্টেডিয়ামের মাঝখানে অথবা স্টেডিয়াম থেকে বাড়ির দিকে অবস্থিত (H - C - S)।
অর্থাৎ রবি প্রথমে ১২ কি.মি. দূরে স্টেডিয়ামে যায় এবং সেখান থেকে ৭ কি.মি. উল্টো দিকে এসে ক্লাবে পৌঁছায়।
এক্ষেত্রে বাড়ি থেকে ক্লাবের দূরত্ব (ন্যূনতম দূরত্ব) = $12 - 7 = 5$ km।

প্রশ্নে "minimum distance" চাওয়া হয়েছে, তাই উত্তর হবে 5 km।

ব্যাখ্যা

সরলরেখায় তিনটি বিন্দুর অবস্থানের ক্ষেত্রে দূরত্ব যোগ বা বিয়োগ হতে পারে।

ন্যূনতম দূরত্বের জন্য আমাদের বিয়োগ করতে হবে:

12 - 7 = 5

km।

গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন

There is rectangular parking lot with a length of 2x and a width of x. What is the ratio of the perimeter of the parking lot to the area of the parking lot, in terms of x?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
2/x
3/x
c
4/x
d
5/19

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

দেওয়া আছে,
Length (দৈর্ঘ্য), $l = 2x$
Width (প্রস্থ), $w = x$

আমরা জানি,
Perimeter (পরিসীমা) $= 2(l + w) = 2(2x + x) = 2(3x) = 6x$
Area (ক্ষেত্রফল) $= l \times w = 2x \times x = 2x^2$

$\therefore$ নির্ণেয় অনুপাত $= \frac{\text{Perimeter}}{\text{Area}} = \frac{6x}{2x^2} = \frac{3}{x}$

সঠিক উত্তর: 3/x

ব্যাখ্যা

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফলের সূত্র প্রয়োগ করে তাদের অনুপাত নির্ণয় করা হয়েছে। এখানে বীজগণিতীয় রাশি কাটাকাটি করে উত্তর বের করতে হবে।

A rectangular fish tank 25m by 9m has water in it to a level of 2m. This water is carefully poured into a cylindrical container with a diameter of 10m. How high will the water reach in the cylindrical container?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

18/π
b
18π
c
π/18
d
9/2π

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

প্রশ্ন বিশ্লেষণ: একটি আয়তাকার ট্যাংকের (২৫ মি $\times$ ৯ মি) পানির গভীরতা ২ মি। এই পানি ১০ মি ব্যাস বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডার আকৃতির পাত্রে ঢালা হলে পানির উচ্চতা কত হবে?

সমাধান:
আয়তাকার ট্যাংকে পানির আয়তন = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $\times$ উচ্চতা
$= 25 \times 9 \times 2 = 450$ ঘনমিটার।

সিলিন্ডারের ব্যাস, $d = 10$ মি $\Rightarrow$ ব্যাসার্ধ, $r = 5$ মি।
ধরি, সিলিন্ডারে পানির উচ্চতা হবে $h$ মি।

প্রশ্নমতে, সিলিন্ডারের পানির আয়তন = ট্যাংকের পানির আয়তন
$\Rightarrow \pi r^2 h = 450$
$\Rightarrow \pi (5)^2 h = 450$
$\Rightarrow 25\pi h = 450$
$\Rightarrow h = \frac{450}{25\pi}$
$\Rightarrow h = \frac{18}{\pi}$

সঠিক উত্তর: $18/\pi$

ব্যাখ্যা

পাত্র পরিবর্তন করলেও পানির মোট আয়তন অপরিবর্তিত থাকে। তাই ট্যাংকের পানির আয়তন বের করে সিলিন্ডারের আয়তনের সূত্রের সাথে তুলনা করে উচ্চতা বের করা হয়েছে।

The slope of the line perpendicular to the line $y = -5x + 9$ is—

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
5
b
-5
1/5
d
-1/5

সঠিক উত্তর: c

সমাধান

প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ: $y = -5x + 9$ ।

আমরা জানি, সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ $y = mx + c$ , যেখানে $m$ হলো ঢাল (Slope)।

তুলনা করে পাই, প্রদত্ত রেখার ঢাল, $m_1 = -5$ ।

ধরি, লম্ব রেখার ঢাল $m_2$ । দুটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হলে তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল $-1$ হয়।

শর্তমতে,
$m_1 \times m_2 = -1$

$\Rightarrow -5 \times m_2 = -1$

$\Rightarrow m_2 = \frac{-1}{-5} =$ 1/5

ব্যাখ্যা

Product of slopes of two perpendicular lines is -1.

The area of a triangle with sides 3 cm, 5 cm and 6 cm is—

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
$2\sqrt{3}\text{cm}^2$
$2\sqrt{14}\text{cm}^2$
c
$5\sqrt{12}\text{cm}^2$
d
$4\sqrt{14}\text{cm}^2$

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

ব্যাখ্যা:
এখানে ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া আছে: $a = 3, b = 5, c = 6$ cm.
অর্ধপরিসীমা, $s = \frac{3+5+6}{2} = \frac{14}{2} = 7$ cm।

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
= $\sqrt{7(7-3)(7-5)(7-6)}$
= $\sqrt{7 \times 4 \times 2 \times 1}$
= $\sqrt{56}$
= $\sqrt{4 \times 14}$
= $2\sqrt{14}\text{cm}^2$

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের তিনটি বাহু অসমান হলে বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র (Heron's Formula) ব্যবহার করতে হয়।

If the radius of cylinder is halved and height is doubled, then what will be the curved surface area?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
increase by 1
the same
c
double
d
triple

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

ব্যাখ্যা:
সিলিন্ডারের বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল (Curved Surface Area) = $2\pi rh$
প্রশ্নমতে,
নতুন ব্যাসার্ধ, $r' = \frac{r}{2}$
নতুন উচ্চতা, $h' = 2h$
$\therefore$ নতুন ক্ষেত্রফল = $2\pi r'h' = 2\pi \left(\frac{r}{2}\right)(2h) = 2\pi rh$
দেখা যাচ্ছে, ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত রয়েছে। সুতরাং উত্তর হবে the same.

ব্যাখ্যা

ব্যাসার্ধ অর্ধেক করলে (

1/2

গুণ) এবং উচ্চতা দ্বিগুণ করলে (

2

গুণ) সামগ্রিক গুণফল (

1/2 \times 2 = 1

) বা অপরিবর্তিত থাকে।

গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন

Painting a wall costs BDT. 50 per sq. m. If the 20m long wall has a width of 10m, how much would it cost to paint

7/10^{\text{th}}

of the wall?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
5000
b
10000
c
8000
7000

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

দেওয়া আছে,
Wall length = 20m
Width = 10m

Total Area = Length $\times$ Width
$= 20 \times 10 = 200 \text{ sq.m.}$

Area to be painted = $\frac{7}{10}$ part of Total Area
$= 200 \times \frac{7}{10} = 140 \text{ sq.m.}$

Cost of painting = $140 \times 50 = 7000$ BDT.

ব্যাখ্যা

প্রথমে দেয়ালের মোট ক্ষেত্রফল বের করা হয়েছে, এরপর রঙের অংশ বের করে প্রতি মিটারের খরচ দিয়ে গুণ করা হয়েছে।

3/4th of a square were taken to form shape A and the rest was made to form shape B. Shape A was divided into four equal squares (Shape C), what will be the ratio of the one shape C to one shape B.

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
1 : 4
b
3 : 16
c
1 : 2
3 : 4

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

সমাধান:

ধরি, মূল বর্গের ক্ষেত্রফল = $1$ অংশ।

প্রশ্নমতে,
Shape A = $\frac{3}{4}$ অংশ
Shape B = $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ অংশ

Shape A কে চারটি সমান ভাগে ভাগ করে Shape C তৈরি করা হলো।
সুতরাং, একটি Shape C-এর ক্ষেত্রফল = $\frac{\text{Shape A}}{4} = \frac{\frac{3}{4}}{4} = \frac{3}{16}$ অংশ।

এখন, একটি Shape C এবং একটি Shape B-এর অনুপাত:
Shape C : Shape B = $\frac{3}{16} : \frac{1}{4}$
= $\frac{3}{16} : \frac{4}{16}$ (উভয়কে সমহর করে)
= $3 : 4$

সঠিক উত্তর: 3 : 4

ব্যাখ্যা

প্রথমে A ও B এর অংশ বের করে নিতে হবে, এরপর A কে ৪ দিয়ে ভাগ করে C এর মান বের করে অনুপাত করতে হবে।

একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য ১০ সে.মি. । একদিকের দৈর্ঘ্য কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

৭.০৭ সে. মি.
b
৮.০৭ সে.মি.
c
৯.০৭ সে.মি.
d
৬.০৭ সে.মি.

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

সঠিক উত্তর: ৭.০৭ সে. মি.

সমাধান:
আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = $a\sqrt{2}$ [যেখানে $a$ = এক বাহুর দৈর্ঘ্য]
শর্তমতে,
$a\sqrt{2} = 10$
$\Rightarrow a = \frac{10}{\sqrt{2}}$
$\Rightarrow a = \frac{10}{1.414}$ [ $\because \sqrt{2} \approx 1.414$ ]
$\Rightarrow a = 7.07$ (প্রায়)

ব্যাখ্যা

Diagonal of a square is given by side * sqrt(2). Dividing the diagonal by sqrt(2) gives the side length.

একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ বৃদ্ধি হলে তার ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
২ গুণ
৪ গুণ
c
৬ গুণ
d
৮ গুণ

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

ধরি, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = $a$ একক।

সুতরাং, ক্ষেত্রফল = $a^2$ বর্গ একক।

বাহুর দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ বৃদ্ধি হলে নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = $2a$ একক।

নতুন ক্ষেত্রফল = $(2a)^2 = 4a^2$ বর্গ একক।

অর্থাৎ, ক্ষেত্রফল পূর্বের ক্ষেত্রফলের $\frac{4a^2}{a^2} =$ ৪ গুণ হবে।

ব্যাখ্যা

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বাহুর বর্গের সমানুপাতিক। তাই বাহু ২ গুণ হলে ক্ষেত্রফল

2^2 = 4

গুণ হবে।

৩০ $\times$ ১৬ ফুটের একটি মেঝে মেরামত করতে ২৪৯৬ টাকা ব্যয় হল। প্রতি বর্গফুটে ব্যয় কত টাকা?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
৪.২০ টাকা
b
৬.২০ টাকা
৫.২০ টাকা
d
৫.৫০ টাকা

সঠিক উত্তর: c

সমাধান

ব্যাখ্যা:
মেঝের ক্ষেত্রফল = $(৩০ \times ১৬)$ বর্গফুট = ৪৮০ বর্গফুট
৪৮০ বর্গফুট মেঝে মেরামত করতে ব্যয় হয় ২৪৯৬ টাকা
$\therefore$ ১ বর্গফুট মেঝে মেরামত করতে ব্যয় হয় = $\frac{২৪৯৬}{৪৮০}$ টাকা = ৫.২০ টাকা।

ব্যাখ্যা

মেঝের মোট ক্ষেত্রফল বের করে মোট খরচকে ক্ষেত্রফল দিয়ে ভাগ করলে প্রতি বর্গফুটের খরচ পাওয়া যায়।

ভর্তি পরীক্ষার্থীদের জন্য

বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষার প্রস্তুতিও নিন

ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়, বুয়েট ও মেডিকেলসহ ২৭+ ইউনিট-ভিত্তিক ভর্তি পরীক্ষার প্রশ্নব্যাংক ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর এডমিশন সেকশনে।

ভর্তি প্রশ্নব্যাংক দেখুন

একটি চৌবাচ্চায় ৮০০০ লিটার পানি ধরে। চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ৩.৫০ মিটার, প্রস্থ ১.৫০ মিটার হলে এর গভীরতা কত মিটার?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
২.৭৫ টাকা
b
৬ মিটার
c
৫ মিটার
d
২.৫ মিটার

সঠিক উত্তর

সমাধান

সঠিক উত্তর নেই। সঠিক উত্তর হবে ১.৫২ মিটার (প্রায়)।

ব্যাখ্যা:
আমরা জানি, ১ ঘনমিটার = ১০০০ লিটার
$\therefore$ চৌবাচ্চাটির আয়তন = $\frac{৮০০০}{১০০০} = ৮$ ঘনমিটার।
দেওয়া আছে, দৈর্ঘ্য = ৩.৫০ মি. এবং প্রস্থ = ১.৫০ মি.
প্রশ্নমতে,
দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ $\times$ গভীরতা = আয়তন
$\Rightarrow ৩.৫০ \times ১.৫০ \times \text{গভীরতা} = ৮$
$\Rightarrow ৫.২৫ \times \text{গভীরতা} = ৮$
$\Rightarrow \text{গভীরতা} = \frac{৮}{৫.২৫} = ১.৫২৩৮...$ মিটার।
অপশনগুলোতে সঠিক উত্তর নেই।

ব্যাখ্যা

প্রশ্নের অপশনগুলোতে সঠিক উত্তর অনুপস্থিত। গাণিতিক হিসাবে সঠিক গভীরতা ১.৫২ মিটার।

একটি ২১ মিটার দীর্ঘ ও ১৫ মিটার প্রস্থ বাগানের বাইরের দিকে ৩ মিটার প্রশস্ত পথ আছে। প্রতি বর্গমিটারে ২.৭৫ টাকা দরে পথটিতে ঘাস লাগাতে মোট খরচ কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
৬৫০
b
৬৮০
৬৯৩
d
৬৪০

সঠিক উত্তর: c

সমাধান

ব্যাখ্যা:
দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ২১ মি. এবং প্রস্থ = ১৫ মি.
$\therefore$ বাগানের ক্ষেত্রফল = $(২১ \times ১৫)$ বর্গমি. = ৩১৫ বর্গমি.
রাস্তাসহ বাগানের দৈর্ঘ্য = $২১ + (৩ \times ২) = ২৭$ মি.
রাস্তাসহ বাগানের প্রস্থ = $১৫ + (৩ \times ২) = ২১$ মি.
$\therefore$ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = $(২৭ \times ২১)$ বর্গমি. = ৫৬৭ বর্গমি.
$\therefore$ রাস্তার ক্ষেত্রফল = $(৫৬৭ - ৩১৫)$ বর্গমি. = ২৫২ বর্গমি.
১ বর্গমিটারে খরচ হয় ২.৭৫ টাকা
$\therefore$ ২৫২ বর্গমিটারে খরচ হয় = $(২৫২ \times ২.৭৫)$ টাকা = ৬৯৩ টাকা।

ব্যাখ্যা

প্রথমে বাগানের ক্ষেত্রফল এবং পরে রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল বের করে বিয়োগ করলেই রাস্তার ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়। এরপর একক খরচের সাথে গুণ করলে মোট খরচ বের হয়।

If the difference between the circumference and diameter of a circle is $90 \text{ cm}$ , then the radius approximately is—

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

21 cm
b
19 cm
c
20 cm
d
22 cm

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

Let radius = $r$

According to the question,
Circumference $-$ Diameter $= 90$
$\Rightarrow 2\pi r - 2r = 90$
$\Rightarrow 2r(\pi - 1) = 90$
$\Rightarrow 2r(3.1416 - 1) = 90$
$\Rightarrow 2r(2.1416) = 90$
$\Rightarrow 4.2832r = 90$
$\Rightarrow r = \frac{90}{4.2832}$
$\therefore r \approx$ 21.01 cm

ব্যাখ্যা

The formula for circumference is

2\pi r

and diameter is

2r

. Setting up the equation

2\pi r - 2r = 90

allows solving for

r

If the length of a side of a regular pentagon is 4 cm, the area of the pentagon is approximately—

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
$25 \text{ cm}^2$
$27 \text{ cm}^2$
c
$29 \text{ cm}^2$
d
$32 \text{ cm}^2$

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

ব্যাখ্যা:

আমরা জানি, $n$ বাহুবিশিষ্ট সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{na^2}{4} \cot\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

এখানে,
বাহুর সংখ্যা, $n = 5$
বাহুর দৈর্ঘ্য, $a = 4 \text{ cm}$

$\therefore$ সুষম পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল
$= \frac{5 \times 4^2}{4} \cot\left(\frac{180^\circ}{5}\right)$
$= 5 \times 4 \times \cot 36^\circ$
$= 20 \times 1.376$
$= 27.52 \text{ cm}^2$

যা উত্তরের অপশনগুলোর মধ্যে $27 \text{ cm}^2$ এর সবচেয়ে নিকটবর্তী।

ব্যাখ্যা

সুষম পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র প্রয়োগ করে মান বসিয়ে এবং

\cot 36^\circ

-এর মান ব্যবহার করে সমাধানটি করা হয়েছে।

The height of an equilateral triangle with a side 2 cm is—

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

$\sqrt{3} \text{ cm}$
b
$2\sqrt{3} \text{ cm}$
c
$3\sqrt{2} \text{ cm}$
d
$\sqrt{5} \text{ cm}$

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

ব্যাখ্যা:

সমবাহু ত্রিভুজের (Equilateral Triangle) বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ হলে,

উচ্চতা (Height) = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$

দেওয়া আছে,
$a = 2 \text{ cm}$

$\therefore$ উচ্চতা = $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3} \text{ cm}$

ব্যাখ্যা

সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতার সূত্র

h = \frac{\sqrt{3}}{2}a

ব্যবহার করে সরাসরি উত্তর পাওয়া যায়।

গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন

The line perpendicular to $y = x - 2$ is—

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
$y = 2x + 1$
$2y = -2x - 5$
c
$2y = x + 7$
d
$y = 3x + 1$

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

প্রদত্ত সমীকরণ: $y = x - 2$ ।
সাধারণ সমীকরণ $y = mx + c$ -এর সাথে তুলনা করে পাই, রেখাটির ঢাল $m_1 = 1$ ।

আমরা জানি, দুটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হলে তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল $-1$ হয়।
ধরি, নির্ণেয় রেখার ঢাল $m_2$ ।
শর্তমতে, $m_1 \times m_2 = -1$
$\Rightarrow 1 \times m_2 = -1$
$\Rightarrow m_2 = -1$

এখন অপশনগুলো যাচাই করি:
(a) $y = 2x + 1$ $\rightarrow$ ঢাল $2$
(b) $2y = -2x - 5 \Rightarrow y = -x - 2.5$ $\rightarrow$ ঢাল $-1$ (সঠিক)
(c) $2y = x + 7 \Rightarrow y = 0.5x + 3.5$ $\rightarrow$ ঢাল $0.5$
(d) $y = 3x + 1$ $\rightarrow$ ঢাল $3$

সঠিক উত্তর: (b)

ব্যাখ্যা

একটি সরলরেখা

y = mx + c

হলে, তার লম্বরেখার ঢাল হবে

-\frac{1}{m}

। এখানে প্রদত্ত রেখার ঢাল ১, তাই লম্বরেখার ঢাল হবে -১। অপশন (b) একমাত্র সমীকরণ যার ঢাল -১।

A garden of 100 m length and 60 m width has a walkway of 2 m width on every side. What is the area of the garden, in square meter, excluding the walkway?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
5684
b
6000
5376
d
5123

সঠিক উত্তর: c

সমাধান

Correct Answer: 5376

Explanation:

Given,
Total Length including walkway = $100$ m
Total Width including walkway = $60$ m
Width of the walkway = $2$ m

We need to find the area of the garden excluding the walkway (inner area).

Length of the inner garden = $100 - (2 \times 2) = 100 - 4 = 96$ m
Width of the inner garden = $60 - (2 \times 2) = 60 - 4 = 56$ m

Area of the garden excluding walkway = $\text{Length} \times \text{Width}$
$= 96 \times 56$
$=$ 5376 sq. meters.

ব্যাখ্যা

Length decreases by 2m on both sides: 100 - 4 = 96.

Width decreases by 2m on both sides: 60 - 4 = 56.

Area = 96 * 56 = 5376.

Three angles of a triangle are in proportion 5 : 6 : 7. Then what is the difference in degrees between the biggest and the smallest angles?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
10°
20°
c
25°
d
30°

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

Correct Answer: 20°

Explanation:

Let the angles be $5x$ , $6x$ , and $7x$ .
We know, the sum of three angles of a triangle is $180^\circ$ .

So, $5x + 6x + 7x = 180^\circ$
$\Rightarrow 18x = 180^\circ$
$\Rightarrow x = 10^\circ$

The angles are:
Smallest = $5x = 5 \times 10 = 50^\circ$
Biggest = $7x = 7 \times 10 = 70^\circ$

Difference = $70^\circ - 50^\circ =$ 20°

ব্যাখ্যা

Sum of ratio units = 5+6+7 = 18 units = 180 deg.

1 unit = 10 deg.

Diff between biggest (7) and smallest (5) is 2 units.

2 units = 20 deg.

A square carpet with an area of 169 cm² must have 2 cm cut off one of its edges in order to be a perfect fit for a rectangular room. What is the area (in cm²) of this rectangular room?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
117
143
c
145
d
165

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

দেওয়া আছে, বর্গাকার কার্পেটের ক্ষেত্রফল =

169

বর্গ সে.মি.

আমরা জানি, বর্গের এক বাহু =

\sqrt{\text{Area}} = \sqrt{169} = 13

সে.মি.।

আয়তাকার রুমের জন্য কার্পেটের এক প্রান্ত থেকে

2

সে.মি. কেটে ফেলা হলো।

সুতরাং, কার্পেটটির নতুন দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ হলো:

দৈর্ঘ্য =

13

সে.মি. (অপরিবর্তিত)

প্রস্থ =

13 - 2 = 11

সে.মি.

\therefore

আয়তাকার রুমের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য

\times

প্রস্থ

13 \times 11

143

বর্গ সে.মি.।

ব্যাখ্যা

বর্গাকার কার্পেটের বাহুর দৈর্ঘ্য বের করে তার এক পাশ থেকে ২ সেমি কমিয়ে আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা হয়েছে।

A box is made in the form of a cube. If a second cubical box has inside dimensions three times those of the first box how many times as much does the second box contain?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
12
27
c
9
d
6

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

ব্যাখ্যা:
ধরি, ১ম ঘনক বা Cube-এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $x$
আমরা জানি, ঘনকের আয়তন (Volume) = $(\text{side})^3$
$\therefore$ ১ম বক্সের আয়তন, $V_1 = x^3$

প্রশ্নমতে, ২য় বক্সের ডাইমেনশন ১ম বক্সের ৩ গুণ।
$\therefore$ ২য় বক্সের বাহুর দৈর্ঘ্য = $3x$
$\therefore$ ২য় বক্সের আয়তন, $V_2 = (3x)^3 = 27x^3$

তুলনা: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{27x^3}{x^3} = 27$
অর্থাৎ, ২য় বক্সটি ১ম বক্সের চেয়ে ২৭ গুণ বেশি ধারণক্ষমতা সম্পন্ন।

ব্যাখ্যা

ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য যত গুণ বাড়বে, তার আয়তন সেই সংখ্যার কিউব (Cube) হারে বাড়বে। এখানে বাহু ৩ গুণ বেড়েছে, তাই আয়তন

3^3 = 27

গুণ বাড়বে।

গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন

The ratio between the perimeter and the breadth of a rectangular is $5:1$ . If the area of the rectangle is $216 \text{ cm}^2$ , what is the length of the rectangle?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
16 cm
18 cm
c
20 cm
d
22 cm

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

ব্যাখ্যা:

ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ (breadth) = $x$ এবং দৈর্ঘ্য (length) = $y$

প্রশ্নমতে,
$\frac{\text{Perimeter}}{\text{Breadth}} = \frac{5}{1}$
$\Rightarrow \frac{2(x + y)}{x} = 5$
$\Rightarrow 2x + 2y = 5x$
$\Rightarrow 2y = 3x$
$\Rightarrow y = \frac{3x}{2} = 1.5x$

আবার দেওয়া আছে,
Area = $216$
$\Rightarrow x \times y = 216$
$\Rightarrow x \times 1.5x = 216$
$\Rightarrow 1.5x^2 = 216$
$\Rightarrow x^2 = \frac{216}{1.5} = 144$
$\therefore x = 12$ cm

দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
$y = 1.5 \times 12 =$ 18 cm

ব্যাখ্যা

পরিসীমা ও প্রস্থের অনুপাত থেকে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সম্পর্ক বের করা হয়েছে।

এরপর ক্ষেত্রফলের সূত্র ব্যবহার করে প্রস্থ এবং পরে দৈর্ঘ্য বের করা হয়েছে।

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
18π
18/π
c
π/18
d
9/2π

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

সমাধান:

দেওয়া আছে,
আয়তাকার ট্যাংকের দৈর্ঘ্য = $25$ m, প্রস্থ = $9$ m, পানির উচ্চতা = $2$ m
$\therefore$ পানির আয়তন = $25 \times 9 \times 2 = 450$ $m^3$

সিলিন্ডারের ব্যাস, $d = 10$ m
$\therefore$ ব্যাসার্ধ, $r = \frac{10}{2} = 5$ m

ধরি, সিলিন্ডারে পানির উচ্চতা = $h$ m
আমরা জানি, সিলিন্ডারের আয়তন = $\pi r^2 h$

প্রশ্নমতে,
$\pi (5)^2 h = 450$

$\Rightarrow 25\pi h = 450$

$\Rightarrow h = \frac{450}{25\pi}$

$\Rightarrow h = \frac{18}{\pi}$

সঠিক উত্তর: $18/\pi$

ব্যাখ্যা

পানির আয়তন সর্বদা সমান থাকে। তাই আয়তাকার ট্যাংকের পানির আয়তন এবং সিলিন্ডারের পানির আয়তন সমান ধরে উচ্চতা

h

বের করা হয়েছে।

If the length of a rectangle is increased by 20% and width is decreased by 20% what is the change in area of the rectangle?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
unchanged
decreases by 4%
c
increases by 4%
d
increases by 5%

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

আমরা জানি, শতকরা পরিবর্তনের সূত্র:

$Change = A + B + \frac{AB}{100}$

এখানে,
Length Increase, $A = +20\%$
Width Decrease, $B = -20\%$

মান বসিয়ে পাই:
$= 20 + (-20) + \frac{20 \times (-20)}{100}$
$= 0 - \frac{400}{100}$
$= -4\%$

ঋণাত্মক চিহ্ন (-) নির্দেশ করে ক্ষেত্রফল 4% হ্রাস পাবে।

ব্যাখ্যা

যখন একটি মান x% বাড়ে এবং অন্যটি x% কমে, তখন সবসময় ক্ষতি বা হ্রাস হয়।

হ্রাসের পরিমাণ =

\frac{x^2}{100}\%

।

The dimensions of a box are 2, 3 and 4 meters. The cost of painting the outer sides of the box at the rate of Tk. 3 per square meter is —

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

Tk. 156
b
Tk. 120
c
Tk. 136
d
Tk. 160

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

বাক্সের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল (Surface Area) বের করতে হবে।

সূত্র: $2(ab + bc + ca)$

এখানে $a=2, b=3, c=4$ ।
Area $= 2(2\times3 + 3\times4 + 4\times2)$
$= 2(6 + 12 + 8)$
$= 2(26)$
$= 52$ sq. meters.

খরচ নির্ণয়:
প্রতি বর্গমিটারে খরচ ৩ টাকা।
মোট খরচ $= 52 \times 3 = 156$ টাকা।

ব্যাখ্যা

একটি বাক্সের ৬টি তল থাকে। সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল বের করে রেট দিয়ে গুণ করতে হয়।

If the length of rectangle A is one-half the length of rectangle B, and the width of rectangle A is one-half the width of rectangle B, what is the ratio of the area of rectangle A to the area of rectangle B?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

1/4
b
1/2
c
1/1
d
2/1

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

ধরি, Rectangle B এর দৈর্ঘ্য = $L$ এবং প্রস্থ = $W$

$herefore$ Rectangle B এর ক্ষেত্রফল = $L \times W$

প্রশ্নমতে, Rectangle A এর দৈর্ঘ্য = $\frac{1}{2}L$ এবং প্রস্থ = $\frac{1}{2}W$

$herefore$ Rectangle A এর ক্ষেত্রফল = $(\frac{1}{2}L) \times (\frac{1}{2}W) = \frac{1}{4}LW$

অনুপাত (A : B) = $\frac{1}{4}LW : LW$

= $\frac{1}{4} : 1$

= $1 : 4$ বা 1/4

ব্যাখ্যা

দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ উভয়ই অর্ধেক হলে ক্ষেত্রফল

(\frac{1}{2})^2

বা

\frac{1}{4}

গুণ হয়ে যায়।

ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য

ক্লাস ৬-১২ একাডেমিক প্রস্তুতিও নিন

একাডেমিক প্রস্তুতি দেখুন

A median of a triangle divides it into two —

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
congruent triangles
triangles of equal area
c
isosceles triangles
d
right triangles

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

সঠিক উত্তর: triangles of equal area

ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা (Median) বলে।

একটি মধ্যমা ত্রিভুজকে সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজক্ষেত্রে বিভক্ত করে।

উদাহরণস্বরূপ: $\Delta ABC$ এর মধ্যমা $AD$ হলে, $\Delta ABD$ এর ক্ষেত্রফল = $\Delta ACD$ এর ক্ষেত্রফল।

ব্যাখ্যা

মধ্যমা ত্রিভুজের ভূমিকে সমদ্বিখণ্ডিত করে এবং উভয় ত্রিভুজের উচ্চতা একই থাকে।

যেহেতু ক্ষেত্রফল =

\frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}

, তাই ভূমি ও উচ্চতা সমান হওয়ায় ক্ষেত্রফলও সমান হয়।

The one-third of the complementary angle to 60° is—

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
150°
b
100°
c
40°
10°

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

ধাপ ১: প্রথমে $60^{\circ}$ কোণের পূরক কোণ (Complementary Angle) বের করতে হবে।
দুটি কোণের সমষ্টি $90^{\circ}$ হলে তারা একে অপরের পূরক কোণ।
$\therefore 60^{\circ}$ এর পূরক কোণ = $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ ।

ধাপ ২: প্রাপ্ত পূরক কোণের এক-তৃতীয়াংশ (one-third) বের করতে হবে।
$\therefore 30^{\circ}$ এর $\frac{1}{3} = 30^{\circ} \times \frac{1}{3} = 10^{\circ}$ ।

সঠিক উত্তর: 10°

ব্যাখ্যা

Complementary angles sum to 90 degrees. Supplementary angles sum to 180 degrees.

The area of a rhombus is 96 sq. cm and the length of one of the diagonals is 16 cm. The length of the other diagonal is—

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
18
12
c
9
d
6

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

রম্বসের ক্ষেত্রফলের সূত্র: $Area = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$

দেওয়া আছে,
Area = 96 sq. cm
$d_1 = 16$ cm
$d_2 = ?$

শর্তমতে,
$\frac{1}{2} \times 16 \times d_2 = 96$
$\Rightarrow 8 \times d_2 = 96$
$\Rightarrow d_2 = \frac{96}{8}$
$\therefore d_2 = 12$ cm

সঠিক উত্তর: 12

ব্যাখ্যা

রম্বসের ক্ষেত্রফল হলো কর্ণদ্বয়ের গুণফলের অর্ধেক।

What is the slope of the line perpendicular to the line $y = -5x + 9$ ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
5
b
-5
1/5
d
-1/5

সঠিক উত্তর: c

সমাধান

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো $y = -5x + 9$ ।

আমরা জানি, সরলরেখার সমীকরণ $y = mx + c$ আকারে থাকলে, $m$ হলো রেখাটির ঢাল (slope)।
সুতরাং, প্রদত্ত রেখার ঢাল $m_1 = -5$ ।

যদি একটি রেখা অন্য একটি রেখার ওপর লম্ব (perpendicular) হয়, তবে তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল $-1$ হবে।
ধরি, লম্ব রেখাটির ঢাল $m_2$ ।

শর্তমতে,
$m_1 \times m_2 = -1$
$\Rightarrow -5 \times m_2 = -1$
$\Rightarrow m_2 = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5}$

সুতরাং, নির্ণেয় ঢাল হলো $\frac{1}{5}$ ।

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত রেখার সাথে লম্ব এমন রেখার ঢাল বের করতে হলে মূল রেখার ঢালকে উল্টে দিয়ে চিহ্ন পরিবর্তন (negative reciprocal) করতে হয়।

-5 এর উল্টো হলো -1/5, আর চিহ্ন পরিবর্তন করলে হয় 1/5।

44. If $a, b$ and $c$ are the lengths of the three sides of a triangle, then which of the following is true?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
$a+b<c$
$a-b<c$
c
$a+b=c$
d
$a+b \geq c$

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

সঠিক উত্তর: (b) $a-b<c$

ব্যাখ্যা:
ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য $a, b, c$ হলে, ত্রিভুজ গঠনের শর্তানুসারে:
১. যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে। অর্থাৎ, $a+b > c$ ।
২. যেকোনো দুই বাহুর অন্তর (বিয়োগফল) তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হবে। অর্থাৎ, $a-b < c$ (যখন $a > b$ )।

অপশনগুলো বিশ্লেষণ:
(a) $a+b < c$ (মিথ্যা, সমষ্টি বড় হতে হবে)
(b) $a-b < c$ (সত্য, অন্তর ছোট হবে)
(c) $a+b = c$ (মিথ্যা, এটি সরলরেখা নির্দেশ করে)
(d) $a+b \ge c$ (মিথ্যা, সমান হলে ত্রিভুজ হবে না)

ব্যাখ্যা

In a triangle, the sum of lengths of any two sides is always greater than the third side (

a+b > c

Conversely, the difference between the lengths of any two sides is always less than the third side (

|a-b| < c

গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন

If the length of a rectangle is increased by 20% and width is decreased by 20%, what is the change in area of the rectangle?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
unchanged
decreases by 4%
c
increases by 4%
d
increases by 5%

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

Let, length increase percentage $A = +20\%$

Width decrease percentage $B = -20\%$

Change in Area Formula: $A + B + \frac{A \times B}{100}$

$= 20 - 20 + \frac{20 \times (-20)}{100}$

$= 0 - \frac{400}{100}$

$= -4\%$

Negative sign indicates a decrease.

So, area decreases by 4%.

ব্যাখ্যা

যেকোনো জ্যামিতিক ক্ষেত্রের দুই দিকের পরিবর্তনের ফলে ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন নির্ণয়ের জন্য

A + B + \frac{AB}{100}

সূত্রটি সবচেয়ে কার্যকর।

The three sides of a triangle are $x + 1$ , $2x - 1$ and $3x + 1$ respectively and the perimeter is 25 cm. The length of the smallest side is —

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

5 cm
b
3 cm
c
4 cm
d
7 cm

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

ব্যাখ্যা:
ত্রিভুজের পরিসীমা হলো তিন বাহুর যোগফল।
প্রশ্নমতে,
$(x + 1) + (2x - 1) + (3x + 1) = 25$
$\Rightarrow 6x + 1 = 25$
$\Rightarrow 6x = 24$
$\therefore x = 4$

এখন বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য:
১ম বাহু: $x + 1 = 4 + 1 = 5$ cm (এটিই সবচেয়ে ছোট)
২য় বাহু: $2x - 1 = 2(4) - 1 = 7$ cm
৩য় বাহু: $3x + 1 = 3(4) + 1 = 13$ cm
সুতরাং, ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য 5 cm।

ব্যাখ্যা

সমীকরণের মাধ্যমে x এর মান বের করে বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা হয়েছে। ৫ সে.মি. হলো ক্ষুদ্রতম।

The perimeter of a circle measures $16 \pi$ cm, what is the area of the circle in sq. cm?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
$32\sqrt{2}$
$64 \pi$
c
$256 \pi$
d
$128 \pi$

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

We know, Perimeter (Circumference) of a circle = $2\pi r$

প্রশ্নমতে,
$2\pi r = 16\pi$
$\Rightarrow 2r = 16$
$\Rightarrow r = 8$ cm

$\therefore$ Area of the circle = $\pi r^2$
$= \pi (8)^2$
$=$ $64\pi$ sq. cm.

ব্যাখ্যা

পরিধি থেকে ব্যাসার্ধ বের করে ক্ষেত্রফলের সূত্র

\pi r^2

এ বসালে উত্তর পাওয়া যায়।

If three metal cubes having sides of 3 cm, 4 cm and 5 cm were melted to make a single cube, what would be the length of the new cube?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
7.5 cm
b
6.5 cm
6 cm
d
7 cm
e
None of these

সঠিক উত্তর: c

সমাধান

We know, Volume of a cube =

(side)^3

Let the side of the new cube be

a

According to the question, the volume of the new cube is equal to the sum of the volumes of the three smaller cubes.

So,

a^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3

\Rightarrow a^3 = 27 + 64 + 125

\Rightarrow a^3 = 216

\Rightarrow a = \sqrt[3]{216}

\Rightarrow a = 6

So, the length of the new cube is 6 cm.

ব্যাখ্যা

Three cubes are melted to form one, meaning the total volume is conserved.

Sum of individual volumes:

27 + 64 + 125 = 216

The cube root of 216 gives the side length of the new cube, which is 6.

If the sides of a square is increased by 10%, by what percent will the area of the square be increased?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
16%
21%
c
32%
d
100%

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

সঠিক উত্তর: 21%

পদ্ধতি ১: শর্টকাট সূত্র ব্যবহার করে
বর্গক্ষেত্রের বাহু বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির সূত্র:
$\text{Change} = A + B + \frac{A \times B}{100}$

এখানে, $A = 10, B = 10$ (যেহেতু বর্গক্ষেত্রের সব বাহু সমান এবং উভয়ই ১০% বৃদ্ধি পেয়েছে)।

$\therefore \text{Area Increase} = 10 + 10 + \frac{10 \times 10}{100} \%$
$= 20 + \frac{100}{100} \%$
$= 20 + 1 \%$
$= 21\%$

পদ্ধতি ২: ধরে নিয়ে
ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহু = 10 একক।
$\therefore$ আদি ক্ষেত্রফল = $10^2 = 100$ বর্গ একক।

১০% বৃদ্ধিতে নতুন বাহু = $10 + (10 \times 10\%) = 10 + 1 = 11$ একক।
$\therefore$ নতুন ক্ষেত্রফল = $11^2 = 121$ বর্গ একক।

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = $121 - 100 = 21$ বর্গ একক।
$\therefore$ বৃদ্ধির হার = $\frac{21}{100} \times 100\% = 21\%$

ব্যাখ্যা

Since Area = side * side, a 10% increase in side results in a compound increase in area.

Using the effective percentage formula (a+b+ab/100), we get 21%.

গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন

The area of a square on a straight line is how many times that on its one- third? (একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র ঐ সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের কতগুণ?)

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
3
b
6
9
d
$\frac{1}{3}$

সঠিক উত্তর: c

সমাধান

সমাধান:

ধরি, সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য (বর্গক্ষেত্রের বাহু) = $x$ একক
সুতরাং, মূল বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $x^2$ বর্গ একক।

সরলরেখাটির এক-তৃতীয়াংশের দৈর্ঘ্য = $\frac{x}{3}$ একক
এই অংশের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $\left(\frac{x}{3}\right)^2 = \frac{x^2}{9}$ বর্গ একক।

অনুপাত বের করি:
$\frac{\text{মূল ক্ষেত্রফল}}{\text{নতুন ক্ষেত্রফল}} = \frac{x^2}{\frac{x^2}{9}} = x^2 \times \frac{9}{x^2} = 9$ গুণ।

সঠিক উত্তর: 9

ব্যাখ্যা

বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ৩ গুণ বাড়লে ক্ষেত্রফল

3^2

বা ৯ গুণ বাড়ে। এখানে বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত

1 : \frac{1}{3}

বা

3:1

, তাই ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে

3^2 : 1^2 = 9:1

।

30 men took a dip in a water tank 20m long and 15m broad on a religious day. If the average water displacement of water by a man is $2m^3$ , then the rise in the water level in the tank will be— (৩০ জন লোক একটি ধর্মীয় দিনে ২০ মিটার দীর্ঘ এবং ১৫ মিটার প্রস্থবিশিষ্ট একটি পুকুরে ডুব দিল। যদি একজন লোকের প্রতিস্থাপিত গড় পানির পরিমাণ ২ ঘনমিটার হয় তাহলে পুকুরের পানির উচ্চতা কত?)

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
25 cm
b
50 cm
c
100 cm
d
200 cm

সঠিক উত্তর

সমাধান

প্রশ্ন বিশ্লেষণ:
পুকুরে মানুষের ডুব দেওয়ার ফলে অপসারিত পানির আয়তনই পুকুরের পানির উচ্চতা বৃদ্ধির আয়তনের সমান হবে।

ধাপ ১: মোট অপসারিত পানির আয়তন নির্ণয়
মোট লোকসংখ্যা = ৩০ জন
মাথাপিছু পানির অপসারণ = $2m^3$
$\therefore$ মোট অপসারিত পানি (Total Volume) = $30 \times 2 = 60m^3$

ধাপ ২: উচ্চতা বৃদ্ধি নির্ণয়
পুকুরের দৈর্ঘ্য (L) = 20m
পুকুরের প্রস্থ (B) = 15m
ধরি, পানির উচ্চতা বৃদ্ধি = $h$ মিটার

আমরা জানি,
$Length \times Breadth \times Height = Volume$
$\Rightarrow 20 \times 15 \times h = 60$
$\Rightarrow 300h = 60$
$\Rightarrow h = \frac{60}{300} = \frac{1}{5}$ মিটার
$= 0.2$ মিটার

ধাপ ৩: এককের রূপান্তর (মিটার থেকে সেন্টিমিটার)
$0.2$ মিটার = $0.2 \times 100$ সে.মি. = $20$ সে.মি.।

সতর্কতা:
অপশনগুলোর মধ্যে সঠিক উত্তর 20 cm নেই। প্রদত্ত অপশনগুলোতে সঠিক উত্তর অনুপস্থিত।

ব্যাখ্যা

আর্কিমিডিসের সূত্র অনুযায়ী অপসারিত পানির আয়তন বস্তুর আয়তনের সমান। এখানে মোট আয়তনকে পুকুরের ক্ষেত্রফল দিয়ে ভাগ করে উচ্চতা বৃদ্ধি পাওয়া যায়। সঠিক উত্তর ২০ সে.মি. যা অপশনে নেই।

Which of the followings is the ratio of the sides of a right angled triangle? (নিচের কোনটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর অনুপাত?)

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
6:4:3
b
6:5:4
c
11:8:7
13:12:5

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী: সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, অতিভুজ $^2$ = লম্ব $^2$ + ভূমি $^2$ ।
এখানে অপশনগুলো যাচাই করি:
(a) $6^2 \neq 4^2 + 3^2$ (সম্ভব নয়)
(b) $6^2 \neq 5^2 + 4^2$ (সম্ভব নয়)
(c) $11^2 \neq 8^2 + 7^2$ (সম্ভব নয়)
(d) $13^2 = 12^2 + 5^2 \Rightarrow 169 = 144 + 25$ (সত্য)

সুতরাং, সঠিক অনুপাতটি হলো 13:12:5।

ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর বর্গের সম্পর্ক পিথাগোরাসের সূত্র মেনে চলে (

a^2 + b^2 = c^2

)। একমাত্র অপশন (d)-তে এই শর্ত পূরণ হয় (

5^2 + 12^2 = 13^2

)।

The length of a rectangular room is double of its breadth. If the area is 512 square inches, what is the perimeter? (একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। যদি ঘরটির ক্ষেত্রফল ৫১২ বর্গ ইঞ্চি হয়, তাহলে পরিসীমা কত?)

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
4 feet
b
6 feet
8 feet
d
12 feet

সঠিক উত্তর: c

সমাধান

ব্যাখ্যা:

ধরি,
প্রস্থ (Breadth) = $x$ inches
দৈর্ঘ্য (Length) = $2x$ inches

শর্তমতে,
$x \times 2x = 512$
\Rightarrow 2x^2 = 512 $ \Rightarrow x^2 = 256$
\therefore x = 16$

সুতরাং,
প্রস্থ = 16 inches
দৈর্ঘ্য = $16 \times 2 = 32$ inches

আমরা জানি,
পরিসীমা (Perimeter) = $2(\text{Length} + \text{Breadth})$
$= 2(32 + 16)$
$= 2 \times 48$
$= 96$ inches

ফুট এককে রূপান্তর:
আমরা জানি, $12$ inches = $1$ foot
$\therefore 96$ inches = $\frac{96}{12} = 8$ feet.

সঠিক উত্তর: 8 feet

ব্যাখ্যা

প্রথমে ক্ষেত্রফলের সূত্র ব্যবহার করে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বের করতে হবে ইঞ্চিতে।

এরপর পরিসীমার সূত্র প্রয়োগ করে পরিসীমা বের করতে হবে।

সর্বশেষে ইঞ্চি থেকে ফুটে রূপান্তর করতে হবে (১২ ইঞ্চি = ১ ফুট)।

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

Tk. 160
b
Tk. 240
c
Tk. 480
d
None of these

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

Step 1: Calculate Total Area of Floor
Area = Length $\times$ Width = $8 \times 10 = 80$ sq. meters.

Step 2: Calculate Area to be Covered
Area to cover = $\frac{2}{3} \times 80 = \frac{160}{3}$ sq. meters.

Step 3: Calculate Area of One Carpet Square
Area of carpet = $2 \times 2 = 4$ sq. meters.

Step 4: Number of Carpets Required
Number of carpets = $\frac{\text{Area to cover}}{\text{Area of one carpet}} = \frac{\frac{160}{3}}{4} = \frac{160}{3 \times 4} = \frac{40}{3}$ pieces.

Step 5: Calculate Total Cost
Total Cost = Number of carpets $\times$ Cost per carpet
$= \frac{40}{3} \times 12$
$= 40 \times 4$
$= 160$ Tk.

ব্যাখ্যা

মেঝেটির মোট আয়তন বের করে তার ২/৩ অংশের জন্য কতটি কার্পেট লাগবে তা বের করে খরচ হিসাব করা হয়েছে।

A triangular plot with sides of 25 feet, 40 feet and 55 feet is to surround by a fence built on pillars set 5 feet apart. How many pillars will be required to surround the plot?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
21
b
22
c
23
24

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

Explanation:

Given sides of the triangular plot are 25 feet, 40 feet, and 55 feet.
So, the perimeter of the plot = $(25 + 40 + 55)$ feet = 120 feet.

Since the pillars are set 5 feet apart to surround the plot (closed loop), the number of pillars required is simply the total perimeter divided by the gap.

$\text{Number of Pillars} = \frac{\text{Perimeter}}{\text{Distance between pillars}}$

$= \frac{120}{5} =$ 24.

ব্যাখ্যা

In a closed shape (like a triangle, circle, or polygon), Number of Pillars = Total Perimeter / Gap.

If it were a straight line, we would add 1 pillar for the starting point (

n+1

), but here the start and end points meet.

A will 8m long, 6m high and 22.5 cm thick is made up of bricks, each measuring 25 cm × 11.25 cm × 6 cm. The number of bricks requered is —

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
7200
6400
c
6000
d
5600

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

Explanation:

We need to convert all dimensions to the same unit (cm).

Dimensions of the wall:

Length = 8m = 800 cm
Height = 6m = 600 cm
Thickness = 22.5 cm

Volume of the wall = $800 \times 600 \times 22.5$ cm³

Dimensions of one brick:

$25 \text{ cm} \times 11.25 \text{ cm} \times 6 \text{ cm}$

Number of bricks required = $\frac{\text{Volume of Wall}}{\text{Volume of one Brick}}$

= $\frac{800 \times 600 \times 22.5}{25 \times 11.25 \times 6}$

= $\frac{800}{25} \times \frac{600}{6} \times \frac{22.5}{11.25}$

= $32 \times 100 \times 2$

= 6400

ব্যাখ্যা

Calculated by dividing total wall volume by individual brick volume after unit conversion.

If the difference between the circumference and diameter of a circle is 60 cm then the radius of the circle is —

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
7cm
b
9cm
c
10cm
14cm

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

Let, radius of the circle = $r$

Circumference = $2\pi r$

Diameter = $2r$

According to question:

$2\pi r - 2r = 60$

$\Rightarrow 2r(\pi - 1) = 60$

$\Rightarrow 2r(\frac{22}{7} - 1) = 60$ [Taking $\pi \approx \frac{22}{7}$ ]

$\Rightarrow 2r(\frac{15}{7}) = 60$

$\Rightarrow \frac{30r}{7} = 60$

$\Rightarrow r = \frac{60 \times 7}{30}$

$\Rightarrow r = 14$ cm

ব্যাখ্যা

Use the standard formulas for circumference (

2\pi r

) and diameter (

2r

) and solve the linear equation for

r

The breadth of a rectangular field is 60% of its length. If the perimeter of the field is 800 m, what is the area of the field?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

37500 sq. m
b
40000 sq. m
c
48000 sq. m
d
18750 sq. m

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

Let, Length = $x$ meter

Breadth = $60\%$ of $x = 0.60x$ meter

We know, Perimeter = $2(\text{Length} + \text{Breadth})$

$\Rightarrow 800 = 2(x + 0.60x)$

$\Rightarrow 400 = 1.60x$

$\Rightarrow x = \frac{400}{1.60} = \frac{4000}{16} = 250$ meters

So, Length = $250$ m and Breadth = $0.60 \times 250 = 150$ m.

Area = $\text{Length} \times \text{Breadth} = 250 \times 150 = 37500$ sq. m.

ব্যাখ্যা

দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত এবং পরিসীমার সূত্র ব্যবহার করে মানগুলো বের করা হয়েছে।

Sadia wants to setup a fence around her rectangular rose garden. If her garden is 15 ft long and 12ft wide and the fence costs $1.50 per foot, how much will she have to pay?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

81
b
90
c
270
d
280

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

দেওয়া আছে:
বাগানটির দৈর্ঘ্য ( $L$ ) = 15 ft
বাগানটির প্রস্থ ( $W$ ) = 12 ft

আমরা জানি, আয়তাকার ক্ষেত্রের পরিসীমা (Perimeter)
$= 2(L + W)$
$= 2(15 + 12)$ ft
$= 2 \times 27$ ft
$= 54$ ft

দেওয়া আছে, প্রতি ফুটে বেড়া দেওয়ার খরচ = $1.50 সুতরাং, মোট খরচ =$ 54 \times 1.50 $= $ 81

ব্যাখ্যা

বেড়া (Fence) সবসময় বাগানের সীমানা বা পরিসীমা বরাবর দেওয়া হয়, তাই এখানে পরিসীমা বের করে খরচের হার দিয়ে গুণ করতে হবে।

The midpoint of a straight line is (3, 6). If one endpoint of the straight line is (4, 7) what is the other endpoint?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
(2, 3)
(2, 5)
c
(3, 5)
d
(1, 5)

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

ধরি, অপর প্রান্তবিন্দুটি $(x, y)$ ।
দেওয়া আছে:
একটি প্রান্তবিন্দু $(x_1, y_1) = (4, 7)$
মধ্যবিন্দু $(M_x, M_y) = (3, 6)$

মধ্যবিন্দুর সূত্রানুসারে:
$M_x = \frac{x_1 + x}{2}$
$\Rightarrow 3 = \frac{4 + x}{2}$
$\Rightarrow 6 = 4 + x$
$\Rightarrow x = 2$

আবার,
$M_y = \frac{y_1 + y}{2}$
$\Rightarrow 6 = \frac{7 + y}{2}$
$\Rightarrow 12 = 7 + y$
$\Rightarrow y = 5$

$herefore$ অপর বিন্দুটি (2, 5)

ব্যাখ্যা

সরলরেখার মধ্যবিন্দু হলো দুই প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্কের গড় মান।

A garden plot turned out to be a parallelogram with base 12 ft and height 6 ft. What is the area of the garden plot?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
40
b
30
c
60
72

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

দেওয়া আছে:
সামান্তরিকের ভূমি (Base) = 12 ft
উচ্চতা (Height) = 6 ft

আমরা জানি,
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল (Area of Parallelogram) = ভূমি $\times$ উচ্চতা
$= 12 \times 6$ sq. ft
$= 72$ sq. ft

ব্যাখ্যা

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সরাসরি সূত্র

Area = Base \times Height

ব্যবহার করা হয়েছে।

Find the circumference of a circle whose diameter is 16 cm. Use 3.14 for $\pi$ .

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
31.56
50.24
c
60
d
40

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

সমাধান:

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি (Circumference) = $\pi d$
এখানে, ব্যাস (diameter), $d = 16$ cm
এবং $\pi = 3.14$

$\therefore$ পরিধি = $3.14 \times 16$
$= 50.24$ cm

ব্যাখ্যা

সরাসরি সূত্র প্রয়োগ: পরিধি = পাই × ব্যাস

If the width of a rectangle is increased by 25% and the length is decreased by 25%, the resulting area is what percent of the original data.

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
90%
b
100%
93.75%
d
1.25%

সঠিক উত্তর: c

সমাধান

সমাধান:

ধরি, আয়তক্ষেত্রটির আদি দৈর্ঘ্য = $L$ এবং প্রস্থ = $W$
সুতরাং, আদি ক্ষেত্রফল = $LW$

প্রশ্নমতে,
নতুন প্রস্থ = $W$ এর $(100+25)\% = 1.25W$
নতুন দৈর্ঘ্য = $L$ এর $(100-25)\% = 0.75L$

সুতরাং, নতুন ক্ষেত্রফল = $(1.25W \times 0.75L) = 0.9375 LW$

এখন, নতুন ক্ষেত্রফল আদি ক্ষেত্রফলের:
$\frac{0.9375 LW}{LW} \times 100\% = 93.75\%$

সঠিক উত্তর: 93.75%

ব্যাখ্যা

প্রশ্নটিতে 'original data' লেখা হয়েছে যা মূলত 'original area' কে নির্দেশ করছে।

প্রস্থ ২৫% বৃদ্ধি এবং দৈর্ঘ্য ২৫% হ্রাসের ফলে মোট ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন নির্ণয় করতে হবে।

হিসাব করে দেখা যায় নতুন ক্ষেত্রফল মূল ক্ষেত্রফলের ৯৩.৭৫%।

কোনটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

1/2 × ভূমি × উচ্চতা
b
ভূমি × উচ্চতা
c
লম্ব × ভূমি
d
1/2 × লম্ব × উচ্চতা

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

আমরা জানি, ত্রিভুজের সাধারণ ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো:

$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{Base} \times \text{Height}$

বা, $1/2 \times$ ভূমি $\times$ উচ্চতা।

ব্যাখ্যা

বাকি অপশনগুলোর মধ্যে 'ভূমি × উচ্চতা' হলো সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল।

৪২. একটি সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 7 সে.মি., 5 সে.মি. হলে, এর পরিসীমার অর্ধেক কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

12
b
20
c
24
d
28

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

সমাধান:

আমরা জানি,
সামান্তরিকের পরিসীমা = $2 \times$ (সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের যোগফল)
$= 2(7 + 5) \text{ cm}$
$= 2 \times 12 \text{ cm}$
$= 24 \text{ cm}$

প্রশ্নে পরিসীমার অর্ধেক চাওয়া হয়েছে:
অর্ধ-পরিসীমা = $\frac{24}{2} = 12 \text{ cm}$

সঠিক উত্তর: (a) 12

ব্যাখ্যা

সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান হয়। তাই পরিসীমা হলো ২ * (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)। এখানে লক্ষণীয় বিষয় হলো 'পরিসীমার অর্ধেক' চাওয়া হয়েছে, তাই ২৪ কে ২ দিয়ে ভাগ করতে হবে।

A garden of 100 m length and 60 m width has a walkway of 2 m width on every side. What is the area of the garden, in square meter, excluding the walkway?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
5684
b
6000
5376
d
5123

সঠিক উত্তর: c

সমাধান

প্রশ্ন: ১০০ মি. দৈর্ঘ্য ও ৬০ মি. প্রস্থ বিশিষ্ট একটি বাগানের ভেতরের চারদিকে ২ মি. চওড়া একটি রাস্তা আছে। রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য = ১০০ মিটার
বাগানের প্রস্থ = ৬০ মিটার
রাস্তার বিস্তার = ২ মিটার

যেহেতু রাস্তাটি বাগানের ভেতরের দিকে (সাধারণত 'excluding walkway' বললে রাস্তা বাদে ভেতরের অংশ বোঝায়), তাই রাস্তা বাদে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কমে যাবে।

রাস্তা বাদে দৈর্ঘ্য = $100 - (2 \times 2) = 100 - 4 = 96$ মিটার
রাস্তা বাদে প্রস্থ = $60 - (2 \times 2) = 60 - 4 = 56$ মিটার

$\therefore$ রাস্তা বাদে বাগানের ক্ষেত্রফল = $\text{দৈর্ঘ্য} \times \text{প্রস্থ}$
= $96 \times 56$ বর্গমিটার
= 5376 বর্গমিটার।

ব্যাখ্যা

Since the walkway is on every side and we need the area excluding it, we subtract 2*width from both length and breadth.

The lengths of the sides of a triangle are in the ratio of 3 to 5 to 6. If the perimeter of the triangle is 70, what is the length of the longest side?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
10
b
15
c
25
30

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

Given:
Ratio of sides = $3 : 5 : 6$
Perimeter = 70

Calculation:
Sum of the ratio terms = $3 + 5 + 6 = 14$ .

The longest side corresponds to the largest ratio part (which is 6).

Length of the longest side:
$= \frac{6}{14} \times 70$
$= 6 \times 5$
$= 30$ .

ব্যাখ্যা

Distributed the total perimeter according to the given ratio to find the largest portion.

If the perimeter of a certain rectangle is 76 m and its area is $360 \text{ m}^2$ , then what is the length of its shortest side?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

18
b
15
c
13
d
10

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $x$ এবং প্রস্থ $y$

দেওয়া আছে,
পরিসীমা, $2(x + y) = 76$
$\Rightarrow x + y = 38$ ......(i)

এবং ক্ষেত্রফল, $xy = 360$ ......(ii)

আমরা জানি,
$(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$
$= (38)^2 - 4 \times 360$
$= 1444 - 1440$
$= 4$
$\therefore x - y = 2$ ......(iii)

(i) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ ও বিয়োগ করে পাই,
$2x = 40 \Rightarrow x = 20$
$2y = 36 \Rightarrow y = 18$

সুতরাং, বাহু দুটি ২০ মিটার এবং ১৮ মিটার।
ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য = 18 m

ব্যাখ্যা

পরিসীমা থেকে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের যোগফল বের করা হয়েছে।

বীজগাণিতিক সূত্র ব্যবহার করে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের মান আলাদাভাবে নির্ণয় করা হয়েছে।

Triangle $ABC$ has the following vertices : $A(1, 0)$ , $B (5, 0)$ and $C (3, 4)$ . Which of the following is true?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

$CA = CB$
b
$AB = AC$
c
$AC < BC$
d
$AB = BC$

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

Given vertices are $A(1, 0)$ , $B(5, 0)$ , and $C(3, 4)$ .

We calculate the lengths of the sides using the distance formula: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

1. Length of $AB = \sqrt{(5-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{4^2} = 4$

2. Length of $AC = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}$

3. Length of $CB = \sqrt{(3-5)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}$

Observing the lengths:
$AC = \sqrt{20}$ and $CB = \sqrt{20}$ .
Therefore, $CA = CB$ .

সঠিক উত্তর: $CA = CB$

ব্যাখ্যা

Using the distance formula, we found that sides AC and BC are equal in length (both are sqrt(20)). Hence, the triangle is isosceles with CA = CB.

The triangular base of a prism is a right triangle of sides a and b = 2a. The height h of the prism is equal to 10 mm and its volume is equal to 40 mm³, what will be the lengths of the sides a and b of the triangle?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
2 mm and 3 mm
b
1 mm and 4 mm
c
2 mm and 2 mm
2 mm and 4 mm

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

দেওয়া আছে,
Right triangular base এর বাহুদ্বয় $a$ এবং $b = 2a$
উচ্চতা, $h = 10\ mm$
আয়তন (Volume) = $40\ mm^3$

আমরা জানি,
Prism-এর আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল $\times$ উচ্চতা
$\Rightarrow 40 = (\frac{1}{2} \times a \times b) \times h$
$\Rightarrow 40 = (\frac{1}{2} \times a \times 2a) \times 10$
$\Rightarrow 40 = a^2 \times 10$
$\Rightarrow a^2 = \frac{40}{10} = 4$
$\therefore a = 2\ mm$

সুতরাং,
$b = 2a = 2 \times 2 = 4\ mm$

নির্ণেয় বাহুদ্বয়: $2\ mm$ এবং $4\ mm$ ।

ব্যাখ্যা

প্রিজমের ভূমি একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ক্ষেত্রফল

\frac{1}{2} \times

ভূমি

\times

উচ্চতা। এখানে ভূমির বাহুগুলো a ও b।

সূত্র অনুযায়ী মান বসিয়ে a এর মান পাওয়া যায় ২ মিমি এবং b এর মান ৪ মিমি।

The ratio between the perimeter and the breadth of a rectangular is 5 : 1. If the area of the rectangle is 216 cm², what is the length of the rectangle?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
16 cm
18 cm
c
20 cm
d
22 cm

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

সমাধান:

ধরি, আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ (breadth) = $x$ cm
প্রশ্নমতে, পরিসীমা (Perimeter) = $5x$

আমরা জানি,
$Perimeter = 2(Length + Breadth)$
$\Rightarrow 5x = 2(Length + x)$
$\Rightarrow \frac{5x}{2} = Length + x$
$\Rightarrow Length = 2.5x - x = 1.5x$

দেওয়া আছে, ক্ষেত্রফল = $216 \text{ cm}^2$
$\Rightarrow Length \times Breadth = 216$
$\Rightarrow 1.5x \times x = 216$
$\Rightarrow 1.5x^2 = 216$
$\Rightarrow x^2 = \frac{216}{1.5}$
$\Rightarrow x^2 = 144$
$\therefore x = 12$

সুতরাং, প্রস্থ $12$ cm।
দৈর্ঘ্য (Length) = $1.5 \times 12 =$ 18 cm

ব্যাখ্যা

পরিসীমা ও প্রস্থের অনুপাত থেকে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের সম্পর্ক বের করে ক্ষেত্রফলের সূত্রের মাধ্যমে মান নির্ণয় করা হয়েছে।

The area of a rectangle R with width 4 ft is equal to the area of a square S, which has a perimeter of 24 ft. the perimeter of the rectangle R, in feet, is—

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
9
b
16
c
24
26

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

ধাপ-১: বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
দেওয়া আছে, বর্গক্ষেত্র S-এর পরিসীমা = 24 ft.
আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = $4 \times \text{One Side}$
$\therefore \text{One Side of S} = \frac{24}{4} = 6$ ft.
$\therefore \text{Area of S} = (\text{Side})^2 = 6^2 = 36$ sq. ft.

ধাপ-২: আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য নির্ণয়
প্রশ্নমতে, আয়তক্ষেত্র R-এর ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্র S-এর ক্ষেত্রফল = 36 sq. ft.
দেওয়া আছে, আয়তক্ষেত্র R-এর প্রস্থ (Width) = 4 ft.
আমরা জানি, $\text{Area} = \text{Length} \times \text{Width}$
$\Rightarrow 36 = \text{Length} \times 4$
$\therefore \text{Length} = \frac{36}{4} = 9$ ft.

ধাপ-৩: আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয়
পরিসীমা = $2(\text{Length} + \text{Width})$
= $2(9 + 4)$
= $2 \times 13$
= 26 ft.

ব্যাখ্যা

প্রথমে বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা থেকে এর এক বাহুর দৈর্ঘ্য বের করে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা হয়েছে। যেহেতু আয়তক্ষেত্র ও বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমান, তাই এই ক্ষেত্রফল ও আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ব্যবহার করে দৈর্ঘ্য বের করা হয়েছে। অবশেষে পরিসীমার সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে।

Three angles of a triangle are in proportion 5 : 6 : 7. Then what is the difference in degrees between the biggest and the smallest angles?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
10°
20°
c
25°
d
30°

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

সমাধান:

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = $180^{\circ}$ ।
কোণগুলোর অনুপাত = $5 : 6 : 7$
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = $5 + 6 + 7 = 18$

সবচেয়ে ছোট কোণ (Smallest Angle) = $180^{\circ} \times \frac{5}{18} = 50^{\circ}$
সবচেয়ে বড় কোণ (Biggest Angle) = $180^{\circ} \times \frac{7}{18} = 70^{\circ}$

$\therefore$ পার্থক্য = $70^{\circ} - 50^{\circ} =$ 20°

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের মোট কোণ ১৮০ ডিগ্রি। অনুপাত অনুযায়ী ভাগ করে ছোট ও বড় কোণের মান বের করে তাদের বিয়োগফল নির্ণয় করা হয়েছে।

A farmer has two rectangular fields. The larger field has twice the length and four times the width of the smaller field. If the smaller field has area K, then the area of the larger field is greater than the area of the smaller field by what amount?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
2K
b
5K
c
6K
7K

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

সমাধান:

ধরি, ছোট আয়তক্ষেত্রের:
দৈর্ঘ্য = $L$
প্রস্থ = $W$
ক্ষেত্রফল = $LW = K$ (দেওয়া আছে)

বড় আয়তক্ষেত্রের:
দৈর্ঘ্য = $2L$ (দ্বিগুণ)
প্রস্থ = $4W$ (চারগুণ)
ক্ষেত্রফল = $(2L) \times (4W) = 8LW = 8K$

পার্থক্য (Greater by amount) = $8K - K =$ 7K

ব্যাখ্যা

বড় ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ছোটটির ২ গুণ এবং প্রস্থ ৪ গুণ।

সুতরাং, ক্ষেত্রফল হবে ২ × ৪ = ৮ গুণ।

বড়টির ক্ষেত্রফল ৮K। ছোটটির K।

পার্থক্য = ৮K - K = ৭K।

A median of a traingle divides it into two-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
congruent triangles
triangles of equal area
c
isosceles triangles
d
right triangles

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

সঠিক উত্তর: triangles of equal area

ব্যাখ্যা:
ত্রিভুজের যেকোনো শীর্ষবিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা (Median) বলে।
উপপাদ্য অনুযায়ী, ত্রিভুজের একটি মধ্যমা ত্রিভুজটিকে সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট দুটি ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

দ্রষ্টব্য:
- Congruent (সর্বসম): হবে না, যদি না ত্রিভুজটি সমবাহু বা সমদ্বিবাহু হয়।
- Isosceles/Right angled: সব ক্ষেত্রে সত্য নয়।

ব্যাখ্যা

A median divides the triangle into two triangles of equal area because they have the same base length and share the same height.

Which of the following angle can be constructed with the help of a ruler and a pair of compasses?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
35°
b
40°
37.5°
d
47.5°

সঠিক উত্তর: c

সমাধান

সঠিক উত্তর: 37.5°

ব্যাখ্যা:
রুলার এবং কম্পাস ব্যবহার করে সেই সব কোণ আঁকা সম্ভব যা ১৫° এর গুণিতক অথবা তাদেরকে অর্ধেক করে পাওয়া যায়।
যেমন: $60°, 30°, 15°, 75°, 90°$ ইত্যাদি।

বিশ্লেষণ:
(c) $37.5°$ : এটি $75°$ এর অর্ধেক। আবার $75°$ হলো $(60° + 15°)$ । যেহেতু $60°$ এবং $15°$ আঁকা সম্ভব, তাই $75°$ আঁকা সম্ভব এবং একে সমদ্বিখণ্ডিত করে $37.5°$ আঁকা সম্ভব।
(a), (b), (d) এর কোণগুলো জ্যামিতিক উপায়ে (Ruler & Compass দিয়ে) নিখুঁতভাবে আঁকা সম্ভব নয়।

সতর্কতা: প্রদত্ত বইয়ের নোটে বলা হয়েছে 'B ও C দুটোই সঠিক', কিন্তু গাণিতিকভাবে $40°$ কোণ রুলার-কম্পাস দিয়ে আঁকা অসম্ভব (Trisection of angle problem)। সঠিক উত্তর শুধুমাত্র (c)।

ব্যাখ্যা

Only multiples of 15 and their halves (via bisection) are constructible. 37.5 is half of 75, which is constructible.

If a, b and c are the lengths of the three sides of a triangle, then which of the following is true?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
$a + b < c$
$a - b < c$
c
$a + b = c$
d
$a + b \ge c$

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

সঠিক উত্তর: (b) $a - b < c$

ব্যাখ্যা:
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর ( $a+b > c$ ) এবং যেকোনো দুই বাহুর অন্তর (পার্থক্য) তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর ( $|a-b| < c$ )।
সুতরাং, অপশনগুলোর মধ্যে সঠিক সম্পর্কটি হলো $a-b < c$ ।

ব্যাখ্যা

In a triangle, the sum of any two sides is always greater than the third side (i.e.,

a+b > c

Conversely, the difference between any two sides is always less than the third side (i.e.,

a-b < c

Therefore, option (b) is the correct mathematical statement for the sides of a triangle.

Which line is parallel to y = x - 2?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
$y = 2x + 1$
$2y = 2x - 6$
c
$2y = x + 7$
d
$y = 3x + 1$

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

সঠিক উত্তর: (b) $2y = 2x - 6$

ব্যাখ্যা:
প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ: $y = x - 2$ ।
এখানে, ঢাল (slope), $m = 1$ (তুলনা করে $y = mx + c$ এর সাথে)।
সমান্তরাল সরলরেখার ঢাল সমান হতে হয়।

অপশন (b) যাচাই করি:
$2y = 2x - 6$
বা, $y = \frac{2x}{2} - \frac{6}{2}$
বা, $y = x - 3$
এখানে ঢাল $m = 1$ , যা প্রদত্ত রেখার ঢালের সমান। তাই এটি সমান্তরাল।

ব্যাখ্যা

The standard equation of a line is

y = mx + c

, where 'm' is the slope.

The given line is

y = x - 2

, so its slope is 1.

Parallel lines must have the same slope.

Checking option (b):

2y = 2x - 6 \Rightarrow y = x - 3

. Here, slope is 1.

Since the slopes are equal, line (b) is parallel to the given line.

The area of a triangle with sides 3 cm, 5 cm and 6 cm is—

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
$2\sqrt{3} \text{ cm}^2$
b
$2\sqrt{14} \text{ cm}^2$
$2\sqrt{14} \text{ cm}^2$
d
$2\sqrt{5} \text{ cm}^2$

সঠিক উত্তর: c

সমাধান

সঠিক উত্তর: (c) $2\sqrt{14} \text{ cm}^2$

ব্যাখ্যা:
এখানে, ত্রিভুজের তিন বাহু $a = 3, b = 5, c = 6$ cm.
অর্ধপরিসীমা, $s = \frac{3+5+6}{2} = \frac{14}{2} = 7$ cm.
আমরা জানি, ক্ষেত্রফল = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$= \sqrt{7(7-3)(7-5)(7-6)}$
$= \sqrt{7 \times 4 \times 2 \times 1}$
$= \sqrt{56}$
$= \sqrt{4 \times 14}$
$= 2\sqrt{14} \text{ cm}^2$

ব্যাখ্যা

Using Heron's formula for the area of a triangle with sides a, b, and c:

Semi-perimeter s = (3+5+6)/2 = 7.

Area = sqrt(7 * (7-3) * (7-5) * (7-6))

Area = sqrt(7 * 4 * 2 * 1) = sqrt(56)

Area = 2*sqrt(14).

The total surface area of a hemisphere of radius r is—

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
$4\pi r^2$
b
$\pi r^2$
$2\pi r^2$
d
$3\pi r^2$

সঠিক উত্তর: c

সমাধান

একটি গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $4\pi r^2$ ।
সুতরাং, একটি অর্ধগোলকের (hemisphere) বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $\frac{4\pi r^2}{2} = 2\pi r^2$ ।

বইয়ের উত্তর অনুযায়ী এখানে অর্ধগোলকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল বা ফাঁপা অর্ধগোলকের তলের ক্ষেত্রফল চাওয়া হয়েছে, তাই উত্তর $2\pi r^2$ ধরা হয়েছে।

সঠিক উত্তর: $2\pi r^2$

ব্যাখ্যা

সাধারণত 'Total surface area of a hemisphere' বলতে নিরেট অর্ধগোলকের সমগ্রতল বোঝায় যার মান

3\pi r^2

(বক্রতল

2\pi r^2

+ সমতল ভূমি

\pi r^2

)।

কিন্তু প্রদত্ত প্রশ্নে উত্তর অপশন (c) নির্দেশ করে যে এখানে শুধু বক্রতল বা ফাঁপা খোলসের ক্ষেত্রফল জানতে চাওয়া হয়েছে।

The lengths of two sides of a right-angled triangle are 13 cm and 5 cm respectively. The length of the third side is—

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
13
b
17
c
11
12

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

সমাধান:

পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, সমকোণী ত্রিভুজে: $\text{Lamba}^2 + \text{Bhumi}^2 = \text{Otivuj}^2$

এখানে বড় বাহুটি অতিভুজ হওয়ার সম্ভাবনাই বেশি (কারণ সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ বৃহত্তম)।
ধরি, অতিভুজ = $13$ cm এবং একটি বাহু = $5$ cm।
অপর বাহুটি $x$ হলে,

$x^2 + 5^2 = 13^2$
$\Rightarrow x^2 + 25 = 169$
$\Rightarrow x^2 = 169 - 25 = 144$
$\therefore x = \sqrt{144} = 12$

সুতরাং, তৃতীয় বাহুটি ১২ সে.মি.।

ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত বা 'Triplets' জানা থাকলে সহজেই সমাধান করা যায়। (5, 12, 13) একটি বিখ্যাত Triplet।

The difference between the length and the breadth of a blackboard is 8 cm. If the breadth is decreased by 4 cm and the length is increased by 7 cm, the area remains the same. Find the dimensions of the blackboard?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
30, 22
28, 20
c
34, 26
d
56, 48

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

সমাধান:

ধরি, Blackboard টির breadth (প্রস্থ) = $x$ cm
তাহলে, length (দৈর্ঘ্য) = $(x + 8)$ cm [যেহেতু পার্থক্য ৮]
Original Area = $x(x+8)$

নতুন শর্তমতে:
New Breadth = $(x - 4)$ cm
New Length = $(x + 8 + 7) = (x + 15)$ cm
New Area = $(x - 4)(x + 15)$

যেহেতু ক্ষেত্রফল একই থাকে:
$x(x+8) = (x-4)(x+15)$
$\Rightarrow x^2 + 8x = x^2 + 15x - 4x - 60$
$\Rightarrow 8x = 11x - 60$
$\Rightarrow 3x = 60$
$\Rightarrow x = 20$

Breadth = 20 cm
Length = $20 + 8 =$ 28 cm

সঠিক উত্তর: (b) 28, 20

ব্যাখ্যা

প্রস্থকে x ধরে সমীকরণ গঠন করে সমাধান করা হয়েছে।

ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকার শর্ত ব্যবহার করে x এর মান বের করা হয়েছে।

The difference between the radii of bigger circle and smaller circle is 14 cm and the difference between their areas is 1056 cm². Radius of the smaller circle is —

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
7 cm
5 cm
c
9 cm
d
3 cm

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

ধরি,
ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $r$
বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = $R$

প্রশ্নমতে,
ব্যাসার্ধের পার্থক্য, $R - r = 14$ ......(i)
ক্ষেত্রফলের পার্থক্য, $\pi R^2 - \pi r^2 = 1056$

$\Rightarrow \pi (R^2 - r^2) = 1056$
$\Rightarrow \frac{22}{7} (R - r)(R + r) = 1056$
$\Rightarrow 14 (R + r) = 1056 \times \frac{7}{22}$ [মান বসিয়ে]
$\Rightarrow 14 (R + r) = 336$
$\Rightarrow R + r = \frac{336}{14}$
$\therefore R + r = 24$ ......(ii)

এখন, সমীকরণ (ii) থেকে (i) বিয়োগ করে পাই:
$(R + r) - (R - r) = 24 - 14$
$\Rightarrow 2r = 10$
$\Rightarrow r = 5$

সুতরাং, ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ 5 cm।

ব্যাখ্যা

প্রশ্নটিতে দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের পার্থক্য এবং ক্ষেত্রফলের পার্থক্য দেওয়া আছে।

বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র

\pi r^2

ব্যবহার করে এবং

a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

বীজগাণিতিক সূত্র প্রয়োগ করে সহজেই ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করা সম্ভব।

The ratio of the length to the breadth of a rectangular park is 3 : 2, if a man cycling along the boundary of the park at the speed of 12 Km/hr completes one round in 8 minutes, then what is the are of the park?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

$153600 \text{ m}^2$
b
$154000 \text{ m}^2$
c
$307400 \text{ m}^2$
d
None of these

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

এখানে, সাইকেল আরোহীর গতিবেগ =

12 \text{ Km/hr}

= \frac{12 \times 1000}{60} \text{ m/min}

= 200 \text{ m/min}

তিনি ৮ মিনিটে একবার পুরো পার্ক ঘুরে আসেন।

সুতরাং, পার্কের পরিসীমা = গতিবেগ

\times

সময়

= 200 \times 8 = 1600 \text{ meters}

দেওয়া আছে, দৈর্ঘ্য : প্রস্থ =

3:2

।

ধরি, দৈর্ঘ্য =

3x

এবং প্রস্থ =

2x

।

আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা =

2(\text{Length} + \text{Breadth})

প্রশ্নমতে,

2(3x + 2x) = 1600

\Rightarrow 10x = 1600

\Rightarrow x = 160

অতএব, পার্কের ক্ষেত্রফল (Area) =

\text{Length} \times \text{Breadth}

= 3x \times 2x = 6x^2

= 6 \times (160)^2

= 6 \times 25600

= 153600 \text{ m}^2

ব্যাখ্যা

প্রথমে গতিবেগকে

\text{m/min}

এককে নিয়ে মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব বের করা হয়েছে, যা আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান। এরপর অনুপাত ব্যবহার করে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বের করে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা হয়েছে।

If radious of a circle is increased by 30% then its area is increased by —

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
40%
b
70%
c
50%
69%

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

বৃত্তের ব্যাসার্ধ $30\%$ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার বের করার জন্য Successive Percentage Formula ব্যবহার করা যায়।

সূত্র: $A + B + \frac{A \times B}{100}$

এখানে, $A = 30, B = 30$ (উভয়ই বৃদ্ধি তাই পজিটিভ)

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = $30 + 30 + \frac{30 \times 30}{100} \%$

= $60 + \frac{900}{100} \%$

= $60 + 9 \%$

= $69\%$

ব্যাখ্যা

বৃত্তের ক্ষেত্রফল

A = \pi r^2

। অর্থাৎ ক্ষেত্রফল ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতিক।

ব্যাসার্ধ ১ বার বাড়লে ক্ষেত্রফলে তার প্রভাব ২ বার পড়ে (বর্গের কারণে)। তাই

A+B+\frac{AB}{100}

সূত্রটি এখানে প্রযোজ্য।

A hall, 20 m long and 15 m broad, is surrounded by a verandah of uniform width of 2.5 m. The cost of flooring the verandah at Tk. 3.50 per square meter is —

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
Tk. 500
Tk. 700
c
Tk. 600
d
Tk. 800

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

সমাধান:

দেওয়া আছে,
Hall length = 20 m
Hall breadth = 15 m

Hall-এর ক্ষেত্রফল = $20 \times 15 = 300$ sq. m

Verandah-সহ Hall-এর দৈর্ঘ্য = $20 + (2.5 \times 2) = 25$ m
Verandah-সহ Hall-এর প্রস্থ = $15 + (2.5 \times 2) = 20$ m

Verandah-সহ মোট ক্ষেত্রফল = $25 \times 20 = 500$ sq. m

$\therefore$ শুধু Verandah-এর ক্ষেত্রফল = $(500 - 300) = 200$ sq. m

$\therefore$ Flooring cost = $200 \times 3.50 =$ Tk. 700

ব্যাখ্যা

প্রথমে মূল হলের ক্ষেত্রফল বের করতে হবে।

এরপর বারান্দার বিস্তার দুই পাশে যোগ করে নতুন দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ বের করে মোট ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।

দুই ক্ষেত্রফলের পার্থক্যই হলো বারান্দার ক্ষেত্রফল, যাকে প্রতি মিটারের খরচ দিয়ে গুণ করলে মোট খরচ পাওয়া যাবে।

The length of a rectangle is 20% more than its breadth. Find the ratio of the area of the rectangle to that of the square whose side is equal to the breadth of the rectangle.

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
8 : 9
b
3 : 2
6 : 5
d
2 : 1

সঠিক উত্তর: c

সমাধান

Let the breadth of the rectangle be

b

According to the question, length (

l

) is 20% more than breadth.

So,

l = b + 20\% \text{ of } b = b + 0.2b = 1.2b

Area of Rectangle:

A_{rect} = l \times b = 1.2b \times b = 1.2b^2

Area of Square:

Side of the square = Breadth of rectangle =

b

A_{sq} = b^2

Ratio:

Ratio =

\frac{A_{rect}}{A_{sq}} = \frac{1.2b^2}{b^2} = 1.2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}

Therefore, the ratio is 6 : 5.

ব্যাখ্যা

We express length in terms of breadth, calculate both areas, and simplify the fraction.

The sum of the circumference of a circle and the perimeter of a rectangle is 130 cm. The area of the rectangle is 104 cm² and the length of the rectangle is 13 cm. What is the area of the circle?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
516 cm²
616 cm²
c
816 cm²
d
216 cm²

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী:

১. আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =

104

বর্গ সে.মি. এবং দৈর্ঘ্য =

13

সে.মি.

সুতরাং, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ =

\frac{104}{13} = 8

সে.মি.

২. আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা =

2(\text{Length} + \text{Width}) = 2(13 + 8) = 2 \times 21 = 42

সে.মি.

প্রশ্নানুসারে,

বৃত্তের পরিধি (Circumference) + আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা (Perimeter) =

130

বা,

2\pi r + 42 = 130

বা,

2\pi r = 130 - 42

বা,

2\pi r = 88

বা,

2 \times \frac{22}{7} \times r = 88

বা,

\frac{44}{7}r = 88

বা,

r = \frac{88 \times 7}{44} = 2 \times 7 = 14

সে.মি.

সুতরাং, বৃত্তের ক্ষেত্রফল (Area) =

\pi r^2

\frac{22}{7} \times (14)^2

\frac{22}{7} \times 196

22 \times 28

616

বর্গ সে.মি.

সঠিক উত্তর: 616 cm²

ব্যাখ্যা

প্রথমে আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ বের করে এর পরিসীমা নির্ণয় করা হয়েছে। এরপর মোট সমষ্টি থেকে পরিসীমা বাদ দিয়ে বৃত্তের পরিধি পাওয়া গেছে, যা থেকে ব্যাসার্ধ (

r

) এবং শেষে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা হয়েছে।

A box is made in the form of a cube. If a second cubical box has inside dimensions three times those of the first box, how many times as much does the second box contain?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

27
b
12
c
9
d
6

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

ধরি, ১ম ঘনকটির এক বাহুর দৈর্ঘ্য =

x

সুতরাং, ১ম ঘনকটির আয়তন (Volume) =

x^3

প্রশ্নানুসারে, ২য় ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য ১ম টির ৩ গুণ।

সুতরাং, ২য় ঘনকটির বাহুর দৈর্ঘ্য =

3x

সুতরাং, ২য় ঘনকটির আয়তন =

(3x)^3 = 27x^3

এখন, তুলনা করলে দেখা যায়:

\frac{\text{২য় ঘনকের আয়তন}}{\text{১ম ঘনকের আয়তন}} = \frac{27x^3}{x^3} = 27

অর্থাৎ, ২য় বক্সটি ১ম বক্সের চেয়ে ২৭ গুণ বেশি ধারণ ক্ষমতা সম্পন্ন।

ব্যাখ্যা

ঘনকের আয়তন বাহুর ঘনফলের সমান (

V = a^3

)। বাহু ৩ গুণ বাড়লে আয়তন

3^3

বা ২৭ গুণ বাড়বে।

If the length of each of the sides of three square garden's plots is increased by 50 percent, by what percent is the sum of the areas of the three plots increased?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
125%
b
150%
c
200%
375%

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

সঠিক উত্তর: 375% (বইয়ের উত্তর অনুযায়ী)।

তবে গাণিতিক সঠিক উত্তর হওয়া উচিত 125%। নিচে ব্যাখ্যা দেওয়া হলো:

গাণিতিক ব্যাখ্যা:

বর্গক্ষেত্রের বাহু

50\%

বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়:

A + B + \frac{A \times B}{100}

= 50 + 50 + \frac{50 \times 50}{100} = 100 + 25 = 125\%

যেহেতু ৩টি প্লটের প্রত্যেকটির ক্ষেত্রফল একই হারে (

125\%

) বাড়ে, তাই তাদের সমষ্টিও একই হারে (

125\%

) বাড়ার কথা।

বইয়ের যুক্তি (Note):

বইটিতে ৩টি প্লটের মোট বৃদ্ধিকে যোগ করে উত্তর দেওয়া হয়েছে:

125 + 125 + 125 = 375\%

। এটি গাণিতিকভাবে ত্রুটিপূর্ণ হলেও অপশন 'd' কে সঠিক ধরা হয়েছে।

ব্যাখ্যা

প্রতিটি প্লটের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার

125\%

।

সুতরাং, মোট ক্ষেত্রফলের বৃদ্ধির হারও

125\%

হওয়াই যুক্তিযুক্ত।

কিন্তু প্রশ্নে সম্ভবত প্রশ্নকর্তা 'Sum of percentage increases' জানতে চেয়েছেন, যা অপশন (d) নির্দেশ করে।

The length and breadth of a square are increased by 40% and 30% respectively. The area of the resulting rectangle exceeds the area of the square by?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
62%
b
42%
82%
d
None of the above

সঠিক উত্তর: c

সমাধান

Detailed Solution:

Let the side of the square be $10$ units.

Original Area = $10 \times 10 = 100$ sq units.

New length after 40% increase = $10 + (10 \times 40\%) = 14$ units.

New breadth after 30% increase = $10 + (10 \times 30\%) = 13$ units.

New Area (Rectangle) = $14 \times 13 = 182$ sq units.

Area increased by = $182 - 100 = 82$ sq units.

Since the base area was 100, the percentage increase is 82%.

ব্যাখ্যা

A square is a special type of rectangle where length equals breadth. When dimensions change by percentages, the area changes by a compounded percentage.

A circular wheel 28 inches in diameter rotates the same number of inches per second as a circular wheel 35 inches in diameter. If the smaller wheel makes x revolutions per second, how many revolutions per minutes does the larger wheel make in terms of x?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
12x
b
24x
c
36x
48x

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

প্রশ্ন বিশ্লেষণ: ২৮ ইঞ্চি ব্যাসের একটি চাকা প্রতি সেকেন্ডে যে দূরত্ব অতিক্রম করে, ৩৫ ইঞ্চি ব্যাসের একটি চাকাও তাই করে। ছোট চাকাটি প্রতি সেকেন্ডে x বার ঘুরলে, বড় চাকাটি প্রতি মিনিটে কত বার ঘুরবে?

সমাধান:
ছোট চাকার পরিধি = $\pi d_1 = 28\pi$ ইঞ্চি।
বড় চাকার পরিধি = $\pi d_2 = 35\pi$ ইঞ্চি।

ছোট চাকা ১ সেকেন্ডে যায় = $28\pi \times x$ ইঞ্চি।
যেহেতু উভয় চাকা একই দূরত্ব অতিক্রম করে (linear speed সমান), তাই বড় চাকা ১ সেকেন্ডে অতিক্রম করে $28\pi x$ ইঞ্চি।

বড় চাকা ১ বার ঘুরলে অতিক্রম করে $35\pi$ ইঞ্চি।
$\therefore$ বড় চাকা ১ সেকেন্ডে ঘোরে = $\frac{28\pi x}{35\pi} = \frac{4x}{5}$ বার।

$\therefore$ বড় চাকা ১ মিনিটে (৬০ সেকেন্ডে) ঘোরে = $\frac{4x}{5} \times 60$
$= 4x \times 12$
$=$ 48x বার।

ব্যাখ্যা

চাকার অতিক্রান্ত দূরত্ব = পরিধি × ঘূর্ণন সংখ্যা।

উভয় চাকার রৈখিক গতিবেগ (Linear Velocity) সমান হওয়ায়,

N_1 D_1 = N_2 D_2

সূত্র প্রয়োগ করা যায় (যেখানে N = ঘূর্ণন হার)।

এখানে সেকেন্ড থেকে মিনিটে রূপান্তর করা হয়েছে (× 60)।

The length and breadth of a square are increased by 40% and 30% respectively. The area of the resulting rectangle exceeds the area of the square by?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
62%
b
42%
82%
d
None of the above

সঠিক উত্তর: c

সমাধান

বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয়ই সমান থাকে। কিন্তু এখানে একটি বাহু ৪০% এবং অন্যটি ৩০% বৃদ্ধি করা হয়েছে, ফলে এটি একটি আয়তক্ষেত্রে পরিণত হয়েছে।

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির শর্টকাট সূত্র (a-b formula):
বৃদ্ধি $\% = A + B + \frac{A \times B}{100}$

এখানে,
$A = 40$
$B = 30$

$\therefore$ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = $40 + 30 + \frac{40 \times 30}{100}$
$= 70 + \frac{1200}{100}$
$= 70 + 12$
= 82%

ব্যাখ্যা

সূত্র প্রয়োগ করে খুব দ্রুত এই অঙ্কটি করা যায়। সাধারণ নিয়মে ১০০ ধরে করলেও একই উত্তর আসবে।

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
12x
b
24x
c
36x
48x

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

দেওয়া আছে,

ছোট চাকার ব্যাস,

d_1 = 28

ইঞ্চি।

বড় চাকার ব্যাস,

d_2 = 35

ইঞ্চি।

১ সেকেন্ডে ছোট চাকাটি ঘোরে

x

বার।

১ সেকেন্ডে ছোট চাকা কর্তৃক অতিক্রান্ত দূরত্ব = পরিধি

\times

ঘূর্ণন সংখ্যা

= (\pi \times 28) \times x = 28\pi x

ইঞ্চি।

প্রশ্নে বলা হয়েছে, দুটি চাকা একই গতিতে দূরত্ব অতিক্রম করে।

ধরি, বড় চাকাটি ১ সেকেন্ডে

n

বার ঘোরে।

\therefore

বড় চাকার অতিক্রান্ত দূরত্ব

= (\pi \times 35) \times n = 35\pi n

ইঞ্চি।

শর্তমতে,

35\pi n = 28\pi x

\Rightarrow n = \frac{28x}{35} = \frac{4x}{5}

(প্রতি সেকেন্ডে ঘূর্ণন)

আমাদের বের করতে হবে বড় চাকাটি ১ মিনিটে (৬০ সেকেন্ডে) কত বার ঘোরে।

\therefore

১ মিনিটে ঘূর্ণন সংখ্যা

= n \times 60 = \frac{4x}{5} \times 60

= 4x \times 12 =

48x

ব্যাখ্যা

চাকার ব্যাসের অনুপাতের ব্যস্তানুপাতে ঘূর্ণন সংখ্যা পরিবর্তিত হয়। এখানে মূল প্যাঁচটি হলো 'per second' থেকে 'per minute'-এ রূপান্তর করা।

If the length of each of the sides of three square garden's plots is increased by 50 percent, by what percent is the sum of the areas of the three plots increased?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

125%
b
150%
c
200%
d
375%

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

সঠিক উত্তর: 125%

গাণিতিক ব্যাখ্যা:

বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য

50\%

বৃদ্ধি পেলে, ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির সূত্র:

Area\ Increase = (A + B + \frac{A \times B}{100})\%

এখানে

A = 50, B = 50

(যেহেতু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয়ই বাড়ে)।

\therefore

প্রতিটি প্লটের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি =

(50 + 50 + \frac{50 \times 50}{100})\% = (100 + 25)\% = 125\%

।

যেহেতু প্রতিটি প্লটের ক্ষেত্রফল

125\%

হারে বাড়ে, তাই মোট ক্ষেত্রফলের (Sum of areas) বৃদ্ধির হারও

125\%

হবে।

উদাহরণস্বরূপ: ধরি প্রতিটি প্লটের আদি ক্ষেত্রফল

100

। ৩টির মোট ক্ষেত্রফল

300

।

প্রতিটি বেড়ে হয়

225

। ৩টির মোট নতুন ক্ষেত্রফল

675

।

মোট বৃদ্ধি =

675 - 300 = 375

।

শতকরা বৃদ্ধি =

\frac{375}{300} \times 100\% = 1.25 \times 100\% = 125\%

।

ব্যাখ্যা

প্রশ্নটিতে তিনটি প্লটের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির বৃদ্ধির হার জানতে চাওয়া হয়েছে। গাণিতিক নিয়মে সমষ্টির বৃদ্ধির হার এবং এককের বৃদ্ধির হার সমান থাকে যদি সবগুলোর বৃদ্ধির হার একই হয়।

⚠️ সতর্কতা: কিছু গাইডে (যেমন ছবিতে প্রদত্ত হিন্টস) ভুলবশত তিনটি প্লটের বৃদ্ধির হার যোগ করে

(125+125+125) = 375\%

উত্তর দেওয়া হয়েছে, যা গাণিতিকভাবে সঠিক নয়।

What would be the measure of the diagonal of a square whose area is equal to 578 cm²?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

34 cm
b
38 cm
c
32 cm
d
42 cm

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল,

a^2 = 578

^2

।

আমরা জানি, বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য,

d = \sqrt{2 \times \text{Area}}

\therefore d = \sqrt{2 \times 578}

= \sqrt{1156}

= 34

ব্যাখ্যা

সরাসরি সূত্র প্রয়োগ:

Diagonal = \sqrt{2A}

How many iron rods, each of length 7 m and diameter 2 cm can be made out of 0.88

m^3

of iron?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

400
b
200
c
300
d
100

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

দেওয়া আছে,
Total Volume of Iron =

0.88

m^3

Length of rod (h) =

7

Diameter of rod =

2

cm
So, Radius (r) =

1

cm =

0.01

আমরা জানি, লোহার রডের আকৃতি বেলনাকার (Cylindrical)।
Volume of one rod =

\pi r^2 h

= \frac{22}{7} \times (0.01)^2 \times 7

= 22 \times 0.0001

= 0.0022

m^3

Number of rods =

\frac{\text{Total Volume}}{\text{Volume of 1 rod}}

= \frac{0.88}{0.0022} = \frac{8800}{22} =

400

ব্যাখ্যা

লোহার মোট আয়তনকে একটি রডের আয়তন দিয়ে ভাগ করলে মোট রডের সংখ্যা পাওয়া যাবে। এখানে এককগুলো একই এককে (মিটারে) রূপান্তর করা জরুরি।

একটি বাড়ি ৪০ ফুট উঁচু। একটি মইয়ের তলদেশ মাটিতে বাড়িটির দেয়াল থেকে ৯ ফুট দূরে রাখা আছে। উপরে মইটি বাড়িটির ছাদ ছুঁয়ে আছে। মইটি কত ফুট লম্বা?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
৪৮ ফুট
৪১ ফুট
c
৪৪ ফুট
d
৪৩ ফুট

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

ধরি, বাড়ির তলদেশ হতে ছাদটি $AB = ৪০$ ফুট উঁচু এবং বাড়ির তলদেশ B বিন্দু হতে মইটির দূরত্ব, $BC = ৯$ ফুট।

অতএব, মইটির উচ্চতা, $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}$

$\Rightarrow AC = \sqrt{(৪০)^2 + (৯)^2}$

$\Rightarrow AC = \sqrt{১৬০০ + ৮১}$

$\Rightarrow AC = \sqrt{১৬৮১} = ৪১$ ফুট।

ব্যাখ্যা

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, অতিভুজ

^2 =

লম্ব

^2 +

ভূমি

^2

। এখানে মইটি অতিভুজ হিসেবে কাজ করছে।

100

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধকে যদি r থেকে বৃদ্ধি করে r+n করা হয়, তাহলে তার ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ হয়। r-এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

$\frac{n}{\sqrt{2}-1}$
b
$n+\sqrt{2}$
c
$\sqrt{2n}$
d
$\sqrt{2}(n+1)$

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ হলে, এর ক্ষেত্রফল $= \pi r^2$ বর্গ একক।

ব্যাসার্ধ $(r+n)$ হলে, এর ক্ষেত্রফল $= \pi(r+n)^2$ বর্গ একক।

প্রশ্নমতে, $\pi(r+n)^2 = 2\pi r^2$

উভয় পক্ষকে $\pi$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\Rightarrow (r+n)^2 = 2r^2$

$\Rightarrow (r+n)^2 = (\sqrt{2}r)^2$

$\Rightarrow r+n = \sqrt{2}r$

$\Rightarrow \sqrt{2}r - r = n$

$\Rightarrow r(\sqrt{2}-1) = n$

$\Rightarrow r = \frac{n}{\sqrt{2}-1}$

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন অনুযায়ী নতুন ক্ষেত্রফল আগের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ। সমীকরণটি সমাধান করলেই

r

-এর মান পাওয়া যাবে।

101

The perimeter of a rectangular field is 104 meters. If the length of the field is 10 meters more than twice the width, what is the area of that field in square meters?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
530
532
c
580
d
588
e
None

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

ধরি,
আয়তক্ষেত্রটির প্রস্থ = $x$ মি.
$\therefore$ আয়তক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য = $(2x + 10)$ মি.
প্রশ্নমতে, $2(2x + 10 + x) = 104$
$\Rightarrow 6x + 20 = 104 \Rightarrow 6x = 84 \Rightarrow x = 14$
$\therefore$ আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = 14 মি.
এবং আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = $(2 \times 14 + 10)$ মি. = 38 মি.
$\therefore$ আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = $(14 \times 38)$ বর্গমি. = 532 বর্গমি.

ব্যাখ্যা

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা সূত্র: ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)।

শর্তানুসারে সমীকরণ গঠন করে প্রথমে প্রস্থ ও পরে দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।

সবশেষে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ গুণ করে ক্ষেত্রফল পাওয়া যাবে।

102

ত্রিভুজের একটি বাহু ৭ সে.মি. এবং অপর বাহু ৪ সে.মি. হলে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য কত সে.মি. হতে পারে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
২
b
৩
৪
d
১১
e
১২

সঠিক উত্তর: c

সমাধান

আমরা জানি, ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর অন্তর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর এবং সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

অন্তরফল = $৭ - ৪ = ৩$

সমষ্টি = $৭ + ৪ = ১১$

সুতরাং তৃতীয় বাহু $x$ হলে, $৩ < x < ১১$ হবে।

অপশনগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র ৪ এই শর্তটি পূরণ করে। তাই উত্তর (c) ৪।

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।

ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর অন্তর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।

103

আয়তক্ষেত্র A এর পরিধি ২০০ মিটার। আয়তক্ষেত্র B এর দৈর্ঘ্য আয়তক্ষেত্র A এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে ১০ মিটার কম এবং আয়তক্ষেত্র B এর প্রস্থ আয়তক্ষেত্র A এর প্রস্থের চেয়ে ১০ মিটার বেশি। আয়তক্ষেত্র B একটি বর্গক্ষেত্র হলে, আয়তক্ষেত্র A এর প্রস্থ মিটারে কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

৪০
b
৩০
c
২৫
d
২০
e
১০

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

ধরি, বর্গক্ষেত্র B-এর প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য $x$ মিটার।
তাহলে, আয়তক্ষেত্র A-এর দৈর্ঘ্য = $(x + 10)$ মিটার এবং প্রস্থ = $(x - 10)$ মিটার।
প্রশ্নমতে, আয়তক্ষেত্র A-এর পরিধি = $200$
$\Rightarrow 2(x + 10 + x - 10) = 200$
$\Rightarrow 2(2x) = 200$
$\Rightarrow 4x = 200$
$\Rightarrow x = 50$
অতএব, আয়তক্ষেত্র A-এর প্রস্থ = $50 - 10 =$ ৪০ মিটার।

ব্যাখ্যা

বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ সমান হয়। একে ভিত্তি ধরে আয়তক্ষেত্রটির মাত্রাগুলো সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে।

এরপর পরিধির সূত্রে মানগুলো বসালে অজানা চলকের মান বেরিয়ে আসবে।

104

The perimeter of a rectangular garden is 54 yards and the width is 36 feet. What is the length of the garden?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
12 yards
15 yards
c
15 feet
d
27 feet

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

এখানে, $3$ ফিট $= 1$ ইয়ার্ড।
$\therefore 36$ ফিট $= \frac{36}{3} = 12$ ইয়ার্ড।
আয়তাকার বাগানের পরিসীমা $= 2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + \text{প্রস্থ})$
$\Rightarrow 54 = 2 \times (\text{দৈর্ঘ্য} + 12)$
$\Rightarrow \text{দৈর্ঘ্য} + 12 = \frac{54}{2}$
$\Rightarrow \text{দৈর্ঘ্য} = 27 - 12$
$\therefore \text{দৈর্ঘ্য} = 15$ ইয়ার্ড।

ব্যাখ্যা

প্রথমে এককের সমতা আনতে হবে। যেহেতু পরিসীমা এবং অপশনগুলো ইয়ার্ডে আছে, তাই প্রস্থকে ফিট থেকে ইয়ার্ডে রূপান্তর করে নিতে হবে।

105

A circular garden with a diameter of 20 meters is surrounded by a walkway of width 1 meter. What is the area of the walkway?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
$41\pi m^2$
b
$41m^2$
$21\pi m^2$
d
$21m^2$

সঠিক উত্তর: c

সমাধান

বৃত্তাকার বাগানের ব্যাস $= 20\text{ m}$
ব্যাসার্ধ, $r_1 = \frac{20}{2} = 10\text{ m}$
বাগানের ক্ষেত্রফল $= \pi r_1^2 = \pi \times (10)^2 = 100\pi\text{ m}^2$
রাস্তাসহ বাগানের ব্যাসার্ধ, $R_1 = (10 + 1)\text{ m} = 11\text{ m}$
রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল $= \pi R_1^2 = \pi \times (11)^2 = 121\pi\text{ m}^2$
$\therefore$ রাস্তার ক্ষেত্রফল = (রাস্তাসহ ক্ষেত্রফল - বাগানের ক্ষেত্রফল)
$= (121\pi - 100\pi) =$ $21\pi\text{ m}^2$ ।

ব্যাখ্যা

রাস্তার ক্ষেত্রফল বের করতে হলে সম্পূর্ণ অংশের ক্ষেত্রফল থেকে ভেতরের অংশের ক্ষেত্রফল বাদ দিতে হয়।

106

A rectangle and a square have the same area. The square has a perimeter of 32 meters and the length of the rectangle is 4 meters. What is the width of the rectangle (in meters)?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
24
16
c
12
d
8

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

বর্গের পরিসীমা $= 32\text{ m}$
বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য, $a = \frac{32}{4} = 8\text{ m}$
বর্গের ক্ষেত্রফল, $a^2 = 8^2 = 64\text{ m}^2$
দেওয়া আছে, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = বর্গের ক্ষেত্রফল = $64\text{ m}^2$
ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ $= x$
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য $= 4\text{ m}$
শর্তমতে, $4 \times x = 64$
$\Rightarrow x = \frac{64}{4}$
$\therefore x =$ $16\text{ m}$ ।

ব্যাখ্যা

বর্গের পরিসীমা থেকে বাহুর দৈর্ঘ্য এবং তা থেকে ক্ষেত্রফল বের করে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান ধরে প্রস্থ নির্ণয় করা হয়েছে।

107

Find an equation of the horizontal line containing the point $(3, 2)$ .

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
$x = 3$
b
$y = 3$
$y = 2$
d
$x = 2$

সঠিক উত্তর: c

সমাধান

আমরা জানি, অনুভূমিক রেখা (horizontal line) $x$ -অক্ষের সমান্তরাল হয়।
$x$ -অক্ষের সমান্তরাল রেখার সমীকরণ হলো $y = k$ , যেখানে $k$ একটি ধ্রুবক।
যেহেতু রেখাটি $(3, 2)$ বিন্দুগামী, তাই রেখাটির উপরিস্থ সকল বিন্দুর কোটি বা $y$ -এর মান $2$ হবে।
$\therefore$ নির্ণেয় সমীকরণ: $y = 2$ ।

ব্যাখ্যা

যেকোনো অনুভূমিক রেখার সমীকরণ y = c আকারের হয়, যেখানে c হলো রেখাটির যেকোনো বিন্দুর y-স্থানাঙ্ক।

108

Find an equation for the line with $x$ -intercept $= 2$ , $y$ -intercept $= -1$ .

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
$2x - y = 1$
$x - 2y = 2$
c
$y = -1$
d
$x = 2$

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

সরলরেখার ছেদক আকৃতির সমীকরণ: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
দেওয়া আছে, $x$ -intercept, $a = 2$
এবং $y$ -intercept, $b = -1$
মানগুলো বসিয়ে পাই,
$\frac{x}{2} + \frac{y}{-1} = 1$
$\Rightarrow \frac{x}{2} - y = 1$
$\Rightarrow \frac{x - 2y}{2} = 1$
$\therefore$ $x - 2y = 2$ ।

ব্যাখ্যা

উভয় অক্ষের ছেদক জানা থাকলে সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়ের সরাসরি সূত্র ব্যবহার করা হয়েছে।

109

Choose the equation of a circle with radius 6 and center $(3, -5)$ .

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 6$
b
$(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 36$
c
$(x + 3)^2 + (y - 5)^2 = 6$
$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 36$

সঠিক উত্তর: d

সমাধান

$(h, k)$ কেন্দ্র এবং $r$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ:
$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$
এখানে কেন্দ্র $(h, k) = (3, -5)$ এবং ব্যাসার্ধ $r = 6$ ।
মানগুলো বসিয়ে পাই,
$(x - 3)^2 + (y - (-5))^2 = 6^2$
$\Rightarrow$ $(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 36$ ।

ব্যাখ্যা

কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ জানা থাকলে বৃত্তের আদর্শ সমীকরণের সূত্রে মান বসিয়ে সহজেই সমীকরণ নির্ণয় করা যায়।

110

Find the midpoint of the line segment joining the points $P_1 = (4, -3)$ and $P_2 = (6, 1)$ .

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

$(5, -1)$
b
$(5, 1)$
c
$(-1, 5)$
d
$(0, 1)$

সঠিক উত্তর: a

সমাধান

এখানে, $(x_1, y_1) = (4, -3)$ এবং $(x_2, y_2) = (6, 1)$
বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু $= \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$
$= \left(\frac{4 + 6}{2}, \frac{-3 + 1}{2}\right)$
$= \left(\frac{10}{2}, \frac{-2}{2}\right)$
$= (5, -1)$

ব্যাখ্যা

দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক দেওয়া থাকলে তাদের সংযোগকারী রেখার মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক হয় ভুজদ্বয়ের গড় এবং কোটিদ্বয়ের গড়।

111

The slope of a line perpendicular to one with slop $2$ is :

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

a
$2$
$-\frac{1}{2}$
c
$\frac{1}{2}$
d
$-2$

সঠিক উত্তর: b

সমাধান

$m_1, m_2$ ঢালবিশিষ্ট দুটি লম্বরেখার ক্ষেত্রে আমরা জানি,
$m_1 \times m_2 = -1$
$\Rightarrow m_1 = -\frac{1}{m_2}$
$\Rightarrow m_1 = -\frac{1}{2}$ [ $\because$ একটি রেখার ঢাল, $m_2 = 2$ দেওয়া আছে]

ব্যাখ্যা

দুটি সরলরেখা পরস্পরের ওপর লম্ব হলে তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল সর্বদা

-1

হয়।

এই অধ্যায়ের প্রশ্ন টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করুন

এই পেজে বাছাইকৃত ১১১টি প্রশ্ন সমাধানসহ দেওয়া হয়েছে। প্র্যাকটিস মোডে এক-একটি করে উত্তর দিয়ে সঙ্গে সঙ্গে ফলাফল, স্কোর ও অগ্রগতি ট্র্যাক করুন।

প্র্যাকটিস মোডে যান সব অধ্যায়

Bank Math (English Medium)-এর অন্যান্য অধ্যায়

Arithmetic৪১৫ প্রশ্ন Algebra১৭৪ প্রশ্ন Advanced & Miscellaneous৫১ প্রশ্ন Time, Speed & Distance (Trains, Boats)৩ প্রশ্ন Profit, Loss & Discount২ প্রশ্ন Ratio, Proportion & Partnership১ প্রশ্ন Number System১ প্রশ্ন Percentage১ প্রশ্ন Mixture & Alligation১ প্রশ্ন

কেন Bank Jobs-এর জন্য “Geometry & Mensuration” অধ্যায়টি গুরুত্বপূর্ণ?

Bank Jobs নিয়োগ পরীক্ষার Bank Math (English Medium) অংশে “Geometry & Mensuration” থেকে প্রায় প্রতিবারই প্রশ্ন আসে। বিগত সালের প্রশ্নের ধরন বুঝে নিয়মিত অনুশীলন করলে এই অধ্যায়ের নম্বর নিশ্চিত করা সহজ হয় — এই পেজের বাছাইকৃত প্রশ্নগুলো ঠিক সেই প্রস্তুতির জন্যই সাজানো।

সচরাচর জিজ্ঞাসা

"Geometry & Mensuration" অধ্যায় থেকে কেমন প্রশ্ন আসে?

Bank Jobs নিয়োগ পরীক্ষায় Bank Math (English Medium) বিষয়ের "Geometry & Mensuration" অধ্যায় থেকে নিয়মিত MCQ আসে। এই পেজে বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক জায়গায় দেওয়া হয়েছে — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ।

উত্তর ও সমাধান কি বিনামূল্যে?

হ্যাঁ। প্রশ্ন, অপশন, সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যা — সবই লগইন ছাড়াই বিনামূল্যে দেখা যায়। টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করতে চাইলে একটি ফ্রি অ্যাকাউন্ট দিয়ে প্র্যাকটিস মোডে যান।