সমাধান
U

User

User

ওয়ালেট ব্যালেন্স

স্টুডেন্ট ড্যাশবোর্ড আমার প্রোফাইল আমার তৈরি প্রশ্ন রেফার করো, আয় করো
সমাধান
💼
NTRCA - School Level

Mathematics (School)

NTRCA (Teacher Registration) · NTRCA - School Level — বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক পেজে।

নিচে NTRCA (Teacher Registration) নিয়োগ পরীক্ষার NTRCA - School Level বিষয়ের "Mathematics (School)" অধ্যায়ের বাছাইকৃত ১৫০টি বহুনির্বাচনি প্রশ্ন — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ। সবই বিনামূল্যে।

1

২১৯৫২ সংখ্যাটিকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. 7
  4. ঘ
    8

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন : ২১৯৫২ সংখ্যাটিকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান : 
21952 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (7 × 7) × 7

এখানে, ৭ জোড়া বিহীন। 
 ২১৯৫২ সংখ্যাকে ৭ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

ব্যাখ্যা

যে কোনো সংখ্যাকে পূর্ণবর্গ (Perfect Square) বানানোর জন্য মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Prime Factorization) করতে হয়। উৎপাদকগুলোর মধ্যে যে সংখ্যাটি জোড়া (pair) বিহীন থাকে, সেটি দিয়েই ভাগ বা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যায় পরিণত হয়।
প্রথমে আমরা ২১৯৫২ সংখ্যাটির মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করব:
21952÷2=1097621952 \div 2 = 10976
10976÷2=548810976 \div 2 = 5488
5488÷2=27445488 \div 2 = 2744
2744÷2=13722744 \div 2 = 1372
1372÷2=6861372 \div 2 = 686
686÷2=343686 \div 2 = 343
343÷7=49343 \div 7 = 49
49÷7=749 \div 7 = 7
7÷7=17 \div 7 = 1
সুতরাং, 21952=2×2×2×2×2×2×7×7×721952 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 7 \times 7 \times 7
উৎপাদকগুলোকে জোড়ায় সাজালে পাওয়া যায়: (2×2)×(2×2)×(2×2)×(7×7)×(2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (7 \times 7) \times 7
এখানে দেখা যাচ্ছে যে, শেষের ৭ সংখ্যাটি জোড়াবিহীন (unpaired) অবস্থায় আছে। যেহেতু প্রশ্নটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা ভাগ করার কথা বলেছে, তাই এই জোড়াবিহীন ৭ দ্বারা ২১৯৫২ সংখ্যাটিকে ভাগ করলে ভাগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
সঠিক উত্তর: ৭।
2

 ৯১, ১০১, ১১৭ এবং ১২৩ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    91
  2. 101
  3. গ
    117
  4. ঘ
    123

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

১০১ = ১ × ১০১

৯১ = ৭  × ১৩
     =  ১ × ৯১

১১৭ = ৩ × ৩৯
       = ১  × ১১৭

১২৩ = ৩ × ৪১
        = ১ × ১২৩

১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে। 
অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি: ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।
সুতরাং, ১০১ হলো মৌলিক সংখ্যা।

ব্যাখ্যা

মৌলিক সংখ্যা (Prime Number)-এর সংজ্ঞা অনুযায়ী, যে সকল সংখ্যাকে ১১ এবং ঐ সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাই হলো মৌলিক সংখ্যা।
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে, আমরা উৎপাদক বিশ্লেষণ করে দেখি:
১. ৯১: এই সংখ্যাটিকে ৭৭ এবং ১৩১৩ দিয়ে ভাগ করা যায় (৯১ = ৭×১৩৭ \times ১৩)। সুতরাং, এটি মৌলিক নয়।
২. ১১৭: এই সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল (১+১+৭=৯১+১+৭ = ৯) যা ৩৩ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, ১১৭ সংখ্যাটিও ৩৩ দ্বারা বিভাজ্য (১১৭ = ৩×৩৯৩ \times ৩৯)। এটি মৌলিক নয়।
৩. ১২৩: এই সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল (১+২+৩=৬১+২+৩ = ৬) যা ৩৩ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, ১২৩ সংখ্যাটিও ৩৩ দ্বারা বিভাজ্য (১২৩ = ৩×৪১৩ \times ৪১)। এটি মৌলিক নয়।
৪. ১০১: এই সংখ্যাটিকে শুধুমাত্র ১১ এবং ১০১১০১ দিয়েই ভাগ করা যায়। অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যা এর উৎপাদক নয়।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো ১০১।
3

x - y = 2 এবং xy = 24 হলে x + y এর মান-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ± 4
  2. খ
    ± 5
  3. গ
    ± 7
  4. ± 10

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন : x - y = 2 এবং xy = 24 হলে x + y এর মান- 
সমাধান : 
(x + y)2 = (x - y)2 + 4. xy 
            = 22 + 4.24
            = 4 + 96
            = 100

সুতরাং, x + y = ± 10

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য বীজগণিতের একটি মৌলিক সূত্র ব্যবহার করা হয়, যা হলো মান নির্ণয়ের সূত্র।
যখন x−yx - y এবং xyxy এর মান জানা থাকে এবং x+yx + y এর মান বের করতে হয়, তখন আমরা সরাসরি এই সূত্রটি প্রয়োগ করি:
(x+y)2=(x−y)2+4xy (x + y)^2 = (x - y)^2 + 4xy
প্রশ্নে দেওয়া আছে, x−y=2x - y = 2 এবং xy=24xy = 24।
মান বসিয়ে পাই:
(x+y)2=(2)2+4(24) (x + y)^2 = (2)^2 + 4(24)
(x+y)2=4+96 (x + y)^2 = 4 + 96
(x+y)2=100 (x + y)^2 = 100
সুতরাং, x+yx + y এর মান হবে ±100=±10 \pm \sqrt{100} = \pm 10।
তাই সঠিক উত্তর হলো ± 10।
4

3√a = √5 হলে a এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    353\sqrt{5}
  2. 555\sqrt{5}
  3. গ
    5
  4. ঘ
    51/35^{1/3}

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন : হলে a এর মান কত? 
সমাধান :
3√a = √5
বা, (3√a)3 = (√5)3
বা, a = (√5)2.√5
বা, a = 5√5

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সূচকের মৌলিক ধারণার উপর ভিত্তি করে তৈরি। আমাদের প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: 3a=5^3\sqrt{a} = \sqrt{5}
প্রথমে আমরা মূল (root) গুলোকে সূচক (index) আকারে লিখব। আমরা জানি, xn=x1/n\sqrt[n]{x} = x^{1/n}
সুতরাং, সমীকরণটি দাঁড়ায়: a1/3=51/2\mathbf{a^{1/3} = 5^{1/2}}
আমাদের উদ্দেশ্য হলো 'a' এর মান বের করা। বাম পক্ষ থেকে 1/31/3 সূচকটি সরাতে হলে উভয় পক্ষকে 3 পাওয়ার দিয়ে গুণ করতে হবে।
(a1/3)3=(51/2)3 (a^{1/3})^3 = (5^{1/2})^3
সূচকের সূত্র (xm)n=xmn(x^m)^n = x^{mn} প্রয়োগ করে পাই: a=53/2\mathbf{a = 5^{3/2}}
এখন 53/25^{3/2} কে আমরা 51+1/25^{1 + 1/2} হিসেবে লিখতে পারি। সূচকের যোগফল মানে ভিত্তিগুলো গুণ আকারে থাকে: a=51⋅51/2\mathbf{a = 5^1 \cdot 5^{1/2}}
যেহেতু 51/2=55^{1/2} = \sqrt{5}, তাই চূড়ান্ত মান হয়: a=55\mathbf{a = 5\sqrt{5}}
সঠিক উত্তর: 5√5 (অপশন খ)।
5

log2√5 400 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    2√5
  4. 4

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন : log2√5400 এর মান কত?
সমাধান : 
log2√5400
= log2√5(2√5)4
= 4.1
= 4

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমাদের জানতে হবে যে কীভাবে ভিত্তিকে (base) কত ঘাত বা শক্তিতে (power) উন্নীত করলে আর্গুমেন্ট (argument) পাওয়া যায়।
এখানে ভিত্তি হলো a=25a = 2\sqrt{5} এবং আর্গুমেন্ট হলো M=400M = 400। আমাদের log⁡aM\log_a M এর মান বের করতে হবে।
প্রথমে আমরা ভিত্তি 252\sqrt{5} এর বিভিন্ন ঘাত নির্ণয় করব:
→\rightarrow (25)2=22⋅(5)2=4⋅5=<strong>20</strong>(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = <strong>20</strong>
→\rightarrow (25)4=((25)2)2=202=<strong>400</strong>(2\sqrt{5})^4 = ((2\sqrt{5})^2)^2 = 20^2 = <strong>400</strong>
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি: log⁡25400=log⁡25(25)4\log_{2\sqrt{5}}400 = \log_{2\sqrt{5}}(2\sqrt{5})^4
লগারিদমের সূত্র (log⁡aax=x\log_a a^x = x) অনুযায়ী, যখন ভিত্তি এবং আর্গুমেন্ট একই হয়, তখন মান হবে শুধুমাত্র ঘাত।
অতএব, log⁡25(25)4=<strong>4</strong>\log_{2\sqrt{5}}(2\sqrt{5})^4 = <strong>4</strong>।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
6

m এর মান কত হলে x2 + x - m একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1/2
  2. খ
    1/4
  3. গ
    - 1/2
  4. - 1/4

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন : m এর মান কত হলে x2 + x - m একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে?
সমাধান :
x2 + x - m কে ax2 + bx + c এর সাথে তুলনা করে পাই, a = 1, b = 1, c = -m

আমরা জানি, পূর্ণবর্গ রাশির মূলদ্বয় সমান হয়।
যদি b2 - 4ac = 0 হয়, তবে সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে।
এখানে, b = 1, a = 1 এবং c = -1
 
b2 - 4ac = 0 
⇒ (1)2 - 4.1.(-m) = 0
⇒ 1 + 4m = 0
⇒ 4m = -1
⇒ m = -1/4

ব্যাখ্যা

যে কোনো দ্বিঘাত রাশি (ax2+bx+cax^2 + bx + c) পূর্ণবর্গ হওয়ার প্রধান শর্ত হলো, এর সংশ্লিষ্ট সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে।
মূলদ্বয় সমান হওয়ার শর্ত হলো নিশ্চায়ক (Discriminant) শূন্য হবে, অর্থাৎ b2−4ac=0b^2 - 4ac = 0।
প্রদত্ত রাশি: x2+x−mx^2 + x - m। এটিকে ax2+bx+cax^2 + bx + c এর সাথে তুলনা করলে পাই:
a=1a = 1 (x² এর সহগ)
b=1b = 1 (x এর সহগ)
c=−mc = -m (ধ্রুবক পদ)
এখন, পূর্ণবর্গ হওয়ার শর্ত অনুযায়ী নিশ্চায়ক শূন্য করতে হবে:
b2−4ac=0b^2 - 4ac = 0
মান বসিয়ে পাই: (1)2−4(1)(−m)=0(1)^2 - 4(1)(-m) = 0
⇒1+4m=0\Rightarrow 1 + 4m = 0
⇒4m=−1\Rightarrow 4m = -1
⇒m=−14\Rightarrow m = \frac{-1}{4}
সুতরাং, m=−1/4m = -1/4 হলেই রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ রাশি হবে।
7

দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ২ এবং এদের গ.সা.গু. ৪ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4
  2. খ
    8
  3. গ
    16
  4. 24

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন : দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ২ এবং এদের গ.সা.গু. ৪ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা. গু কত?
সমাধান : 
ধরি, সংখ্যা দুইটি ২x ও ৩x।
∴এদের গ.সা.গু. = x, ল.সা.গু = 6x
প্রশ্নমতে, x = ৪
∴ল.সা.গু = 6x = 6 × 4 = 24

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ২৪। এটি ল.সা.গু, গ.সা.গু এবং অনুপাতের একটি সাধারণ সম্পর্কভিত্তিক প্রশ্ন।
ধরি, সংখ্যা দুটির অনুপাতের সাধারণ উৎপাদক বা গ.সা.গু হলো h=4h=4।
যদি সংখ্যা দুইটির অনুপাত a:ba:b হয় (a=3,b=2a=3, b=2), তবে সংখ্যা দুটি হবে যথাক্রমে ahah এবং bhbh।
সংখ্যা দুটি: 3imes4=123 imes 4 = 12 এবং 2imes4=82 imes 4 = 8।
এখন, এই সংখ্যা দুটির (১২ এবং ৮) ল.সা.গু নির্ণয় করতে হবে।
১২ ও ৮ এর ল.সা.গু. হলো ২৪।
(কারণ, 12imes2=2412 imes 2 = 24 এবং 8imes3=248 imes 3 = 24)
8

একটি খুটির দৈর্ঘ্য 20 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে উন্নতি কোণ 45° হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 20 মি.
  2. খ
    25 মি.
  3. গ
    30 মি.
  4. ঘ
    40 মি.

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: একটি খুটির দৈর্ঘ্য 20 মিটার। এর ছায়ার দৈর্ঘ্য কত মিটার হলে উন্নতি কোণ 45° হবে?

সমাধান: 
খুটির দৈর্ঘ্য AB = 20 মিটার
ছায়ার দৈর্ঘ্য BC = ?
সূর্যের উন্নতি কোণ ∠ACB = θ=45°
ΔABC এ 
tanθ = AB/BC
tan45° = 20/BC
1 = 20/BC
BC = 20 
ছায়ার দৈর্ঘ্য = 20 মিটার

ব্যাখ্যা

এটি উচ্চতা ও দূরত্ব (Height and Distance) সম্পর্কিত একটি ত্রিকোণমিতি (Trigonometry) সমস্যা।
এখানে খুঁটির দৈর্ঘ্য (লম্ব, P) = 20 মিটার এবং উন্নতি কোণ (heta heta) = 45°। ছায়ার দৈর্ঘ্য (ভূমি, B) বের করতে হবে।
আমরা জানি, tanθ=লম্বভূমি\text{tan}\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} বা tanθ=খুঁটির দৈর্ঘ্যছায়ার দৈর্ঘ্য\text{tan}\theta = \frac{\text{খুঁটির দৈর্ঘ্য}}{\text{ছায়ার দৈর্ঘ্য}}।
মান বসিয়ে পাই: tan45∘=20ছায়ার দৈর্ঘ্য\text{tan}45^\circ = \frac{20}{\text{ছায়ার দৈর্ঘ্য}}।
যেহেতু tan45∘\text{tan}45^\circ এর মান 1,
সুতরাং, 1=20ছায়ার দৈর্ঘ্য1 = \frac{20}{\text{ছায়ার দৈর্ঘ্য}}।
অতএব, ছায়ার দৈর্ঘ্য = 20 মিটার।
অন্যান্য অপশনগুলো (25 মি., 30 মি., 40 মি.) ভুল, কারণ 45° কোণের ক্ষেত্রে লম্ব ও ভূমির দৈর্ঘ্য সর্বদা সমান হয়।
9

 একজন মাঝি দাঁড় বেয়ে 15 কি. মি. যেতে এবং সেখান থেকে ফিরে আসতে 4 ঘণ্টা সময় লাগে। সে স্রোতের অনুকূলে যতক্ষণে 5 কি. মি. যায়, স্রোতের প্রতিকূলে ততক্ষণে 3 কি. মি. যায়। স্রোতের বেগ কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    8
  2. খ
    4
  3. 2
  4. ঘ
    1/2

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন : একজন মাঝি দাঁড় বেয়ে 15 কি. মি. যেতে এবং সেখান থেকে ফিরে আসতে 4 ঘণ্টা সময় লাগে। সে স্রোতের অনুকূলে যতক্ষণে 5 কি. মি. যায়, স্রোতের প্রতিকূলে ততক্ষণে 3 কি. মি. যায়। স্রোতের বেগ কত?
সমাধান : 
ধরি,
স্রোতের অনুকূলে 5 কি. মি যায় x ঘন্টা 
স্রোতের প্রতিকূলে ৩ কিমি যায় x ঘন্টা 

স্রোতের অনুকূলে বেগ = 5/x কিমি/ঘন্টা 
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = 3/x কিমি/ঘন্টা

প্রশ্নমতে,
15/(5/x) + 15/(3/x) =4
=>15×(x/5) + 15×(x/3)=4
=>3x + 5x = 4
=>8x=4
=>x =1/2
স্রোতের অনুকূলে বেগ = 5/(1/2)=10 কিমি/ঘন্টা
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = 3/(1/2) কিমি/ঘন্টা =6 কিমি/ঘন্টা

নৌকার বেগ =(10+6)/2 = 8 কিমি/ঘন্টা
স্রোতের বেগ =(10-6)/2 = 2 কিমি/ঘন্টা

ব্যাখ্যা

এই অঙ্কটি 'স্রোত ও নৌকা' সম্পর্কিত সমস্যার একটি আদর্শ উদাহরণ। এখানে দুটি গুরুত্বপূর্ণ তথ্য দেওয়া আছে: মোট সময় এবং অনুকূল-প্রতিকূল বেগের অনুপাত।
প্রথম শর্ত: স্রোতের অনুকূলে 55 কি.মি. যেতে যে সময় লাগে, স্রোতের প্রতিকূলে 33 কি.মি. যেতেও একই সময় লাগে।
ধরি, এই সময়টি হলো tt ঘণ্টা।
সুতরাং,
স্রোতের অনুকূলে বেগ (VAV_A) = 5t\frac{5}{t} কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ (VPV_P) = 3t\frac{3}{t} কিমি/ঘণ্টা
দ্বিতীয় শর্ত: মাঝি 1515 কি.মি. যেতে এবং ফিরে আসতে মোট 44 ঘণ্টা সময় নেন।
আমরা জানি, সময় = দূরত্ববেগ\frac{দূরত্ব}{বেগ}। তাই:
15VA+15VP=4\frac{15}{V_A} + \frac{15}{V_P} = 4
মান বসিয়ে পাই:
15(5/t)+15(3/t)=4\frac{15}{(5/t)} + \frac{15}{(3/t)} = 4
rightarrow15×t5+15×t3=4\\rightarrow 15 \times \frac{t}{5} + 15 \times \frac{t}{3} = 4
rightarrow3t+5t=4\\rightarrow 3t + 5t = 4
rightarrow8t=4\\rightarrow 8t = 4
rightarrowt=12\\rightarrow t = \frac{1}{2} ঘণ্টা।
এখন, অনুকূল ও প্রতিকূলের প্রকৃত বেগ নির্ণয় করি:
VA=5(1/2)=5×2=10V_A = \frac{5}{(1/2)} = 5 \times 2 = 10 কিমি/ঘণ্টা
VP=3(1/2)=3×2=6V_P = \frac{3}{(1/2)} = 3 \times 2 = 6 কিমি/ঘণ্টা
স্রোতের বেগ নির্ণয়: স্রোতের বেগ (Current Speed) = VA−VP2\frac{V_A - V_P}{2}
স্রোতের বেগ = 10−62=42=2\frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 কিমি/ঘণ্টা।
সঠিক উত্তর হলো 2 কিমি/ঘণ্টা।
10

একটি দ্রব্য x% ক্ষতিতে বিক্রয় করলে যে মূল্য পাওয়ার যায় 3x% লাভে বিক্রয় করলে তার চেয়ে 18x টাকা বেশি পাওয়া যায়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    400 টাকা
  2. খ
    500 টাকা
  3. 450 টাকা
  4. ঘ
    540 টাকা

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: একটি দ্রব্য x% ক্ষতিতে বিক্রয় করলে যে মূল্য পাওয়ার যায় 3x% লাভে বিক্রয় করলে তার চেয়ে 18x টাকা বেশি পাওয়া যায়। দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত?

সমাধান: 
মনে করি,
x = 10
সুতরাং 10% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য = (100-10) = 90 টাকা
এবং 3 x 10 = 30% লাভে বিক্রয় মুল্য = (100+30)= 130 টাকা
বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য = (130 - 90) = 40
বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য 40 টাকা হলে ক্রয় মূল্য = 100 টাকা
বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য 1 টাকা হলে ক্রয় মূল্য 100/40 টাকা
.বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য 18 x 10 টাকা হলে ক্রয় মূল্য = (100 x 180)/40
= 450 টাকা

ব্যাখ্যা

এই ধরনের লাভ-ক্ষতির সমস্যার ক্ষেত্রে, আমাদের মনে রাখতে হবে যে, ক্ষতি ও লাভের শতাংশ যোগ করলে মোট শতকরা পার্থক্যটি পাওয়া যায়।
ধরি, দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য (CP) = C টাকা।
প্রথম ক্ষেত্রে, x% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য: C−C×x100C - C \times \frac{x}{100}
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, 3x% লাভে বিক্রয়মূল্য: C+C×3x100C + C \times \frac{3x}{100}
প্রশ্নমতে, দ্বিতীয় বিক্রয়মূল্য প্রথম বিক্রয়মূল্য অপেক্ষা 18x টাকা বেশি।
সুতরাং, বিক্রয়মূল্যের পার্থক্য হলো: (C+C×3x100)−(C−C×x100)=18x(C + C \times \frac{3x}{100}) - (C - C \times \frac{x}{100}) = 18x
বন্ধনী তুলে দিলে: C+3Cx100−C+Cx100=18xC + \frac{3Cx}{100} - C + \frac{Cx}{100} = 18x
বা, 4Cx100=18x\frac{4Cx}{100} = 18x
যেহেতু xx একটি অ-শূন্য সংখ্যা, তাই উভয় পক্ষকে xx দ্বারা ভাগ করা যায়।
বা, 4C100=18\frac{4C}{100} = 18
বা, C=18×1004C = 18 \times \frac{100}{4}
বা, C=18×25=450C = 18 \times 25 = 450 টাকা।
সুতরাং, দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য 450 টাকা।
ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য

ক্লাস ৬-১২ একাডেমিক প্রস্তুতিও নিন

ক্লাস ৬-১২, এসএসসি ও এইচএসসির সব বিষয়ের বোর্ড প্রশ্ন, অধ্যায়ভিত্তিক প্র্যাকটিস, লাইভ পরীক্ষা ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর একাডেমিক সেকশনে।

একাডেমিক প্রস্তুতি দেখুন
11

4% হার মুনাফায় কোনো টাকার 2 বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য 1 টাকা হলে আসল কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 625 টাকা
  2. খ
    650 টাকা
  3. গ
    600 টাকা
  4. ঘ
    725 টাকা

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: 4% হার মুনাফায় কোনো টাকার 2 বছরের সরল মুনাফা ও চক্রবৃদ্ধি মুনাফার পার্থক্য 1 টাকা হলে আসল কত?

সমাধান: 
মনেকরি,
মূলধন P 

এখানে,
মুনাফার হার r = 4%
সময় n = 2 বছর 

সরলমুনাফা = Pnr 
= P × 2 × 4/100
= 2P/25

চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = P{1 + (4/100)}2 - P
= P{1 + (1/25)}2 - P
= P(26/25)2 - P
=(676P/625) - P 
= (676P - 625P)/625
= 51P/625

প্রশ্নমতে,
 (51P/625) - (2P/25) = 1
(51P - 50P)/625 = 1
P/625 = 1
P = 625 

ব্যাখ্যা

এটি মুনাফা সংক্রান্ত একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন, যা প্রায়শই NTRCA পরীক্ষায় আসে। এখানে ২ বছরের সরল মুনাফা (SI) এবং চক্রবৃদ্ধি মুনাফার (CI) পার্থক্য দেওয়া আছে।
আমরা জানি, ২ বছরের জন্য চক্রবৃদ্ধি মুনাফা (CICI) এবং সরল মুনাফা (SISI) এর পার্থক্য (DD) নির্ণয়ের জন্য একটি সরাসরি সূত্র রয়েছে, যেখানে PP হলো আসল এবং RR হলো মুনাফার হার:
D=P(R100)2D = P(\frac{R}{100})^2
প্রশ্নমতে, পার্থক্য (DD) = 11 টাকা এবং হার (RR) = 4%4\%।
মান বসিয়ে পাই:
1=P(4100)21 = P(\frac{4}{100})^2
1=P(125)21 = P(\frac{1}{25})^2
1=P×16251 = P \times \frac{1}{625}
অতএব, আসল (PP) = 625625 টাকা।
অন্যান্য অপশনগুলি (৬৫০, ৬০০, ৭২৫) ভুল, কারণ এই হার ও সময়ে সেই পরিমাণ আসলের জন্য পার্থক্য ১ টাকা হবে না।
12

 একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 16 cm বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ cm হলে, এর উচ্চতা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    30 cm
  2. 27 cm
  3. গ
    33 cm
  4. ঘ
    36 cm

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 cm বেশি। ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 810 বর্গ cm হলে, এর উচ্চতা কত?

সমাধান: 
মনে করি,
ত্রিভুজের উচ্চতা x মিটার
ভূমি = (2x + 6) মিটার

প্রশ্নমতে,
⇒ (1/2) × (2x + 6) × x = 810
⇒ x2 + 3x = 810
⇒ x2 + 3x - 810 = 0
⇒ x2 + 30x - 27x - 810 = 0
⇒ x(x + 30) - 27(x + 30) = 0
⇒ (x + 30)(x - 27) = 0

হয় 
x + 30 = 0
x = - 30 [ গ্রহণ যোগ্য নয়]

অথবা 
x - 27 = 0
∴ x = 27 

∴ ত্রিভুজের উচ্চতা 27 মিটার

ব্যাখ্যা

এই অঙ্কটি পরিমিতি (Mensuration) থেকে এসেছে। আমাদের ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র ব্যবহার করে উচ্চতা নির্ণয় করতে হবে।
ধরি, ত্রিভুজের উচ্চতা xx cm।
প্রশ্নানুসারে, ভূমি তার উচ্চতার দ্বিগুণ অপেক্ষা 6 cm বেশি (নোট: প্রদত্ত সমাধানে 6 cm ধরে হিসাব করা হয়েছে)।
সুতরাং, ভূমি = (2x+6)(2x + 6) cm।
আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল A=12×ভূমি×উচ্চতাA = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}।
প্রশ্নমতে: 12×(2x+6)×x=810\frac{1}{2} \times (2x + 6) \times x = 810
$\(x + 3) \times x = 810$
x2+3x−810=0x^2 + 3x - 810 = 0
মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই: x2+30x−27x−810=0x^2 + 30x - 27x - 810 = 0
x(x+30)−27(x+30)=0x(x + 30) - 27(x + 30) = 0
 (x+30)(x−27)=0\,(x + 30)(x - 27) = 0
যেহেতু উচ্চতা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই x=27x = 27।
অতএব, ত্রিভুজটির উচ্চতা 27 cm, যা অপশন (27 cm) এ দেওয়া আছে।
13

 একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 5 একক এবং ভূমি 6 একক হলে, ক্ষেত্রফল কত? 

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    6
  2. খ
    8
  3. গ
    10
  4. 12

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন: একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহু দুইটির প্রত্যেকটি 5 একক এবং ভূমি 6 একক হলে, ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি, b = 6 সে. মি.
সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 5 সে. মি.

আমরা জানি,
∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (b/4) √(4a²-b²)
= (6/4) √(4×5²- 6²)
= (6/4) √(100 - 36)
= (6/4)× 8
= 12বর্গ একক 

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য এসেছে। NTRCA পরীক্ষায় পরিমিতি থেকে এই ধরনের প্রশ্ন প্রায়ই দেখা যায়।
দেওয়া আছে, সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a=5a = 5 একক এবং ভূমি b=6b = 6 একক।
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য সরাসরি সূত্রটি হলো: $\text{ক্ষেত্রফল} = rac{b}{4} \sqrt{4a^2 - b^2}$।
মান বসিয়ে পাই: 644(52)−62=32100−36\frac{6}{4} \sqrt{4(5^2) - 6^2} = \frac{3}{2} \sqrt{100 - 36}।
=3264=32×8=3×4=<strong>12</strong>= \frac{3}{2} \sqrt{64} = \frac{3}{2} \times 8 = 3 \times 4 = <strong>12</strong> বর্গ একক।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 12। (অপশন ৩)
14

 r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কোনো চাপ কেন্দ্রে x° কোণ উৎপন্ন করলে, চাপের দৈর্ঘ্য কত? 

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. πrx/180\pi rx/180 একক
  2. খ
    rx/180rx/180 একক
  3. গ
    rxrx একক
  4. ঘ
    πx/180\pi x/180 একক

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন : r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কোনো চাপ কেন্দ্রে x° কোণ উৎপন্ন করলে, চাপের দৈর্ঘ্য কত? 
সমাধান :
r ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কোনো চাপ কেন্দ্রে x° কোণ উৎপন্ন করলে, চাপের দৈর্ঘ্য πrx/180° একক 

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি বৃত্ত সংক্রান্ত পরিমিতি (Mensuration) থেকে এসেছে। চাপের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের জন্য আমাদের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণকে ডিগ্রির বদলে রেডিয়ানে রূপান্তর করতে হয়।
আমরা জানি, চাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ SS (চাপের দৈর্ঘ্য) এবং rr (ব্যাসার্ধ)-এর মধ্যে সম্পর্ক হলো: S=rθS = r\theta, যেখানে θ\theta অবশ্যই রেডিয়ান এককে হবে।
প্রশ্ন অনুযায়ী, কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ হলো x∘x^{\circ}। এই x∘x^{\circ} কোণকে রেডিয়ানে রূপান্তরের সূত্র হলো:
θ=x∘×π180\theta = x^{\circ} \times \frac{\pi}{180} রেডিয়ান।
অতএব, চাপের দৈর্ঘ্য (S) হবে:
S=r×θ=r×(x×π180)=πrx180 এককS = r \times \theta = r \times \left(x \times \frac{\pi}{180}\right) = \frac{\pi rx}{180} \text{ একক}
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো πrx/180\pi rx/180 একক (অপশন ক)।
15

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান হলে তাদের পরিসীমার অনুপাত কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    pi:2\\pi : 2
  2. খ
    2:pi2 : \\pi
  3. pi:2sqrtpi\\pi : 2\\sqrt{\\pi}
  4. ঘ
    2sqrtpi:pi2\\sqrt{\\pi} : \\pi

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল একটি বর্গের ক্ষেত্রফলের সমান হলে তাদের পরিসীমার অনুপাত কত হবে?

সমাধান: 
প্রশ্নমতে,

বৃত্তের ক্ষেত্রফল = বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল
বা, πr2 = a2
বা, a = r√π

সুতরাং বৃত্তের পরিসীমা : বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 2πr : 4a = 2πr : 4×r√π = π : 2√π

ব্যাখ্যা

এটি পরিমিতির একটি গুরুত্বপূর্ণ অনুপাতের সমস্যা। এই ধরনের প্রশ্নে প্রথমে ক্ষেত্রফল সমান ধরে ব্যাসার্ধ ও বাহুর মধ্যে সম্পর্ক বের করতে হয়।
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r এবং বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য a।
শর্তানুযায়ী: বৃত্তের ক্ষেত্রফল = বর্গের ক্ষেত্রফল।
πr2=a2\pi r^2 = a^2
উভয় পক্ষে বর্গমূল করলে পাই: a=rπa = r\sqrt{\pi}। এটি হলো তাদের ব্যাসার্ধ ও বাহুর মধ্যে সম্পর্ক।
এখন, তাদের পরিসীমার অনুপাত নির্ণয় করতে হবে।
বৃত্তের পরিসীমা (C) = 2πr2\pi r
বর্গের পরিসীমা (P) = 4a4a
অনুপাত: C:P=2πr:4aC : P = 2\pi r : 4a
a=rπa = r\sqrt{\pi} মানটি বসিয়ে পাই: 2πr:4(rπ)2\pi r : 4(r\sqrt{\pi})
উভয় পক্ষকে 2r2r দ্বারা ভাগ করলে, অনুপাতটি দাঁড়ায়:
π:2π\pi : 2\sqrt{\pi}।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো π:2π\pi : 2\sqrt{\pi}।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
16

1 ঘন সে.মি. কাঠের ওজন 7 ডেসিগ্রাম। কাঠের ওজন সমআয়তন পানির ওজনের শতকরা কতভাগ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    100 ভাগ
  2. 70 ভাগ
  3. গ
    10 ভাগ
  4. ঘ
    7 ভাগ

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন: 1 ঘন সে.মি. কাঠের ওজন 7 ডেসিগ্রাম। কাঠের ওজন সমআয়তন পানির ওজনের শতকরা কতভাগ?

সমাধান: 
1 ঘন সে.মি. কাঠের ওজন 7 ডেসিগ্রাম = 7/10 গ্রাম 
1 ঘন সে.মি. পানির ওজন = 1 গ্রাম
কাঠের ওজন সমআয়তন পানির ওজনের শতকরা = (7/10) × 100 ভাগ 
= 70 ভাগ 

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি পরিমিতি ও একক রূপান্তর (Unit Conversion) ভিত্তিক। সঠিক উত্তর পেতে হলে দুটি মৌলিক তথ্য জানতে হবে:
১. পানির একক ওজন: মেট্রিক পদ্ধতিতে 1 ঘন সে.মি. বিশুদ্ধ পানির ওজন 1 গ্রাম (1 g) ধরা হয়।
২. একক রূপান্তর: আমরা জানি, 1 গ্রাম = 10 ডেসিগ্রাম। সুতরাং, 1 ডেসিগ্রাম = 110\frac{1}{10} গ্রাম।
প্রশ্নে দেওয়া আছে, 1 ঘন সে.মি. কাঠের ওজন = 7 ডেসিগ্রাম।
গ্রামে রূপান্তর: 7 ডেসিগ্রাম = 7×1107 \times \frac{1}{10} গ্রাম = 0.7 গ্রাম।
এখন, আমাদের তুলনা করতে হবে কাঠের ওজন (0.7 গ্রাম) সমআয়তন পানির ওজন (1 গ্রাম)-এর শতকরা কত ভাগ:
শতকরা = কাঠের ওজনপানির ওজন×100%\frac{\text{কাঠের ওজন}}{\text{পানির ওজন}} \times 100 \%
শতকরা = 0.71×100%=70\frac{0.7}{1} \times 100 \% = \mathbf{70} ভাগ।
অতএব, কাঠের ওজন সমআয়তন পানির ওজনের 70 ভাগ।
17

একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    সমবাহু ত্রিভুজ
  2. খ
    সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
  3. সমকোণী ত্রিভুজ
  4. ঘ
    বিষমবাহু ত্রিভুজ

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 1 : 1 : 2 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?

ধরি,
কোণ তিনটি = x, x এবং 2x
প্রশ্নমতে,
x + x + 2x = 180°
4x = 180°
∴x = 45°
এবং 2x = 90°

সুতরাং ত্রিভুজটি সমকোণী।

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, যে কোনো ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি হলো 180∘180^{\circ}।
ধরি, কোণ তিনটির অনুপাত 1 : 1 : 2 অনুসারে কোণগুলো হলো যথাক্রমে xx, xx, এবং 2x2x।
প্রশ্নমতে, কোণ তিনটির সমষ্টি = x+x+2x=180∘x + x + 2x = 180^{\circ}।
ightarrow4x=180∘ ightarrow 4x = 180^{\circ}।
ightarrowx=180∘4=45∘ ightarrow x = \frac{180^{\circ}}{4} = 45^{\circ}।
অতএব, কোণগুলো হলো: 45∘45^{\circ}, 45∘45^{\circ}, এবং (2×45∘)=90∘(2 \times 45^{\circ}) = 90^{\circ}।
যেহেতু ত্রিভুজটির একটি কোণ 90∘90^{\circ} বা এক সমকোণ, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
উল্লেখ্য, দুইটি কোণ (45∘45^{\circ}) সমান হওয়ার কারণে এটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ-ও বটে, কিন্তু 90∘90^{\circ} কোণ থাকার কারণে সমকোণী ত্রিভুজ উত্তরটিই সবচেয়ে উপযুক্ত। (সঠিক উত্তর: সমকোণী ত্রিভুজ)
18

32/(64)x = 8 হলে x এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 1/3
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    8

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: 32/(64)x = 8 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
32/(64)x = 8
32/8 = (64)x
 4 = (43)x
43x = 4
3x = 1
x = 1/3

ব্যাখ্যা

এটি সূচকের একটি আদর্শ গাণিতিক সমস্যা। আমাদের মূল লক্ষ্য হলো সমীকরণের উভয় পক্ষকে একই ভিত্তির (Base) মাধ্যমে প্রকাশ করা এবং তারপর ঘাত বা এক্সপোনেন্ট (Exponent) সমান ধরে xx এর মান বের করা।
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: 32(64)x=8\frac{32}{(64)^x} = 8
ধাপ ১: xx যুক্ত পদটিকে একপাশে নিয়ে আসুন এবং সংখ্যাগুলোকে অন্যপাশে ভাগ করুন।
⇒(64)x=328\Rightarrow (64)^x = \frac{32}{8}
⇒(64)x=4\Rightarrow (64)^x = 4
ধাপ ২: উভয় পক্ষকে একই ভিত্তির মাধ্যমে প্রকাশ করুন। যেহেতু 6464 এবং 44 উভয়ই 44 এর ঘাত। আমরা জানি 64=4×4×4=4364 = 4 \times 4 \times 4 = 4^3 এবং 4=414 = 4^1।
⇒(43)x=41\Rightarrow (4^3)^x = 4^1
ধাপ ৩: সূচকের নিয়ম (am)n=amn\boldsymbol{(a^m)^n = a^{mn}} ব্যবহার করুন।
⇒43x=41\Rightarrow 4^{3x} = 4^1
ধাপ ৪: যেহেতু ভিত্তি (Base) উভয়দিকে সমান (44), তাই ঘাতগুলো অবশ্যই সমান হবে।
⇒3x=1\Rightarrow 3x = 1
⇒x=1/3\Rightarrow \boldsymbol{x = 1/3}।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো বিকল্প (A) 1/3।
19

একটি সমবৃত্তভূমিক বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h হলে উহার আয়তন-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    πr2\pi r^2

  2. খ
    2πrh
  3. গ
    2πr(r + h)

  4. πr2h\pi r^2 h

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন: একটি সমবৃত্তভূমিক বেলনের ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h হলে উহার আয়তন- 

সমাধান: 
 একটি সমবৃত্তভূমিক বেলন যার ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h
১. ভূমির ক্ষেত্রফল = πr2
২. বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = ভূমির পরিধি × উচ্চতা= 2πrh
৩. সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল বা সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল
বা, পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 2πr(r + h)
৪. আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল × উচ্চতা= πr2h

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: πr2h \pi r^2 h ।
একটি সমবৃত্তভূমিক বেলন (Right Circular Cylinder) হলো এমন একটি ঘনবস্তু, যার ভূমি হলো বৃত্ত এবং পার্শ্বতল বৃত্তের উপর লম্বভাবে থাকে।
যে কোনো প্রিজম বা বেলনের আয়তন (Volume) নির্ণয়ের মূল সূত্র হলো:
আয়তন = ভূমির ক্ষেত্রফল ×\times উচ্চতা।
এই ক্ষেত্রে, ভূমির ব্যাসার্ধ rr হওয়ায় ভূমির ক্ষেত্রফল = πr2 \pi r^2 ।
উচ্চতা hh হওয়ায়, বেলনের আয়তন, V=πr2hV = \pi r^2 h ।
অন্যান্য অপশনগুলো ভুল কারণ:
πr2\pi r^2: এটি শুধুমাত্র ভূমির ক্ষেত্রফল (Area of Base)।
2πrh2 \pi rh: এটি বক্রপৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল বা পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল (Lateral Surface Area)।
2πr(r+h)2 \pi r(r + h): এটি সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল বা সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল (Total Surface Area)।
20

x - 1/x = 3/2 হলে x3 - 1/x3 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    36
  2. খ
    63
  3. গ
    36/8
  4. 63/8

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন: x - 1/x = 3/2 হলে x3 - 1/x3 এর মান কত?

সমাধান: 
 x - 1/x = 3/2

x3 - 1/x3 = (x - 1/x)3 + 3x.1/x(x - 1/x)
= (3/2)3 + 3(3/2)
= (27/8) + (9/2)
= (27 + 36)/8
= 63/8

ব্যাখ্যা

প্রিয় শিক্ষক প্রার্থী, এই প্রশ্নটি বীজগণিতের মান নির্ণয় (Value Determination) অংশ থেকে এসেছে এবং NTRCA পরীক্ষায় এটি একটি খুবই কমন টাইপ।
এখানে x3−1/x3x^3 - 1/x^3 এর মান বের করতে বলা হয়েছে, যার জন্য আমরা a3−b3a^3 - b^3 এর মান নির্ণয়ের সূত্রটি ব্যবহার করব।
সূত্রটি হলো: a3−b3=(a−b)3+3ab(a−b)a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b).
প্রদত্ত মান: x−1/x=3/2x - 1/x = 3/2.
সুতরাং, x3−1/x3=(x−1/x)3+3⋅x⋅(1/x)⋅(x−1/x)x^3 - 1/x^3 = (x - 1/x)^3 + 3 \cdot x \cdot (1/x) \cdot (x - 1/x)
মান বসিয়ে পাই: (3/2)3+3⋅(3/2)(3/2)^3 + 3 \cdot (3/2)
(লক্ষ্য করুন: x⋅(1/x)=1x \cdot (1/x) = 1 হয়ে যায়)
=27/8+9/2 = 27/8 + 9/2
এখন ভগ্নাংশের যোগ করতে হবে। ল.সা.গু হবে 8।
=(27+(9×4))/8 = (27 + (9 \times 4))/8
=(27+36)/8=63/8 = (27 + 36)/8 = 63/8.
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো 63/8।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
21

দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে কী উৎপন্ন হয়?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    বিন্দু
  2. রেখা
  3. গ
    স্থান
  4. ঘ
    রশ্মি

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন: দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে কী উৎপন্ন হয়?

সমাধান: 
- দুইটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদস্থলে একটি রেখা (Line) উৎপন্ন হয়।
- রেখার শুধু দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ ও উচ্চতা নাই। কাজেই রেখা একমাত্রিক (One-dimensional)।
- বাক্সের একটি পৃষ্ঠতলের প্রস্থ ক্রমশ হ্রাস পেয়ে সম্পূর্ণ শূন্য হলে, ঐ তলের একটি রেখা শুধু অবশিষ্ট থাকে।

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো রেখা। এটি জ্যামিতির একটি মৌলিক ধারণা।
তল (Plane) হলো একটি দ্বিমাত্রিক (Two-dimensional) ধারণা, যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে কিন্তু কোনো উচ্চতা নেই। যখন দুটি দ্বিমাত্রিক তল একে অপরের সঙ্গে ছেদ করে, তখন ছেদস্থলে একটি একমাত্রিক (One-dimensional) বস্তু উৎপন্ন হয়, যাকে রেখা (Line) বলা হয়।
যেমন, একটি বই বা বাক্সের দুটি পৃষ্ঠতল যেখানে মিলিত হয়, সেখানে একটি ধার (কিনারা) তৈরি হয়, যা আসলে একটি সরলরেখা।
অন্যদিকে, বিন্দু হলো শূন্য-মাত্রিক (Zero-dimensional) বস্তু, যা সাধারণত দুটি রেখার ছেদস্থলে উৎপন্ন হয়।
22

51° কোণের সম্পূরক কোণের এক-তৃতীয়াংশ কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 43°
  2. খ
    86°
  3. গ
    129°
  4. ঘ
    153°

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: 51° কোণের সম্পূরক কোণের এক-তৃতীয়াংশ কত?

সমাধান: 
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
51° কোণের সম্পূরক কোণ = (180 - 51)° = 129°
129° এক-তৃতীয়াংশ = 129°/3 = 43°

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আমাদের প্রথমে সম্পূরক কোণ (Supplementary Angle)-এর ধারণা জানতে হবে।
সম্পূরক কোণ: যখন দুইটি কোণের সমষ্টি 180∘180^\circ হয়, তখন কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
প্রথম ধাপ: 51∘51^\circ কোণের সম্পূরক কোণ নির্ণয়।
সম্পূরক কোণ =(180−51)∘=129∘= (180 - 51)^\circ = 129^\circ
দ্বিতীয় ধাপ: প্রাপ্ত 129∘129^\circ কোণের এক-তৃতীয়াংশ (One-third) নির্ণয়।
এক-তৃতীয়াংশ =129∘3=43∘= \frac{129^\circ}{3} = 43^\circ
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 43∘43^\circ। অপশন (A) সঠিক।
23

রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    45°
  2. 90°
  3. গ
    120°
  4. ঘ
    150°

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন: রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?

রম্বস
- যে আয়তে চারটি বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণ দুইটি অসমান তথা কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
- সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে
- রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
- রম্বসের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90°

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো 90°।
রম্বস (Rhombus) হলো এমন একটি সামান্তরিক, যার সকল বাহুর দৈর্ঘ্য সমান। রম্বসের কর্ণদ্বয়ের একটি মৌলিক ও গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হলো: তারা পরস্পরকে সমকোণে বা 90° কোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
যেহেতু কর্ণদ্বয় একে অপরের সাথে 90° কোণে মিলিত হয়, তাই তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ হলো 90°।
অন্যান্য কোণগুলো (45°,120°,150°45°, 120°, 150°) সঠিক নয়, কারণ এটি রম্বসের সংজ্ঞাগত ধর্ম (Definitional Property)।
24

 ΔABC এর ∠A = x, ∠B = 2x এর ∠C = 3x হলে ত্রিভুজটি কী ত্রিভূজ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজ
  2. খ
    স্থুলকোণী ত্রিভুজ
  3. সমকোণী ত্রিভুজ
  4. ঘ
    সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: ΔABC এর ∠A = x, ∠B = 2x এর ∠C = 3x  হলে ত্রিভুজটি কী ত্রিভূজ?

সমাধান: 
∠A = x, ∠B = 2x এর ∠C = 3x

আমরা জানি,
∠A + ∠B +∠C = 180°
x + 2x + 3x = 180°
6x = 180°
x = 30° 

∠A = 30°, ∠B = 60° এর ∠C = 90°
 ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভূজ

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি সর্বদা 180∘180^\circ।
প্রশ্নানুসারে, কোণগুলি হলো: ∠A=x\angle A = x, ∠B=2x\angle B = 2x এবং ∠C=3x\angle C = 3x।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি: x+2x+3x=180∘x + 2x + 3x = 180^\circ
বা, 6x=180∘6x = 180^\circ
বা, x=180∘6=30∘x = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ
এখন কোণগুলির মান নির্ণয় করি:
∠A=30∘\angle A = 30^\circ
∠B=2×30∘=60∘\angle B = 2 \times 30^\circ = 60^\circ
∠C=3×30∘=90∘\angle C = 3 \times 30^\circ = 90^\circ
যেহেতু ত্রিভুজের একটি কোণ 90∘90^\circ (সমকোণ), তাই ত্রিভুজটি হলো একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
অন্যান্য অপশন ভুল, কারণ এটি সূক্ষ্মকোণী (সব কোণ 90∘90^\circ-এর কম) অথবা স্থুলকোণী (একটি কোণ 90∘90^\circ-এর বেশি) নয়।
25

 কোনো খাদ্য 24 জন লোকের 20 দিন চলে, ঐ একই পরিমান খাদ্যে 40 জন লোকের কত দিন চলবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    10
  2. 12
  3. গ
    14
  4. ঘ
    16

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন: কোনো খাদ্য 24 জন লোকের 20 দিন চলে, ঐ একই পরিমান খাদ্যে 40 জন লোকের কত দিন চলবে?

সমাধান: 
24 জন লোকের  খাদ্য আছে 20 দিনের 
1 জন লোকের  খাদ্য আছে 20 × 24 দিনের 
40 জন লোকের  খাদ্য আছে (20 × 24)/40 দিনের 
= 12  দিনের

ব্যাখ্যা

এটি ঐকিক নিয়মের ব্যস্তানুপাতিক (Inverse Proportion) সমস্যার একটি উদাহরণ। যখন লোকসংখ্যা বাড়ে, তখন খাবার কম দিন চলে; অর্থাৎ, লোকসংখ্যা ও দিনের সংখ্যার মধ্যে ব্যস্ত সম্পর্ক বিদ্যমান।
ধরি, লোকসংখ্যা MM এবং দিন সংখ্যা DD। এখানে খাদ্যের পরিমাণ স্থির। তাই আমরা লিখতে পারি: M1×D1=M2×D2M_1 \times D_1 = M_2 \times D_2
প্রশ্নানুসারে,
M1M_1 (প্রথম লোকসংখ্যা) = 24 জন
D1D_1 (প্রথম দিন সংখ্যা) = 20 দিন
M2M_2 (দ্বিতীয় লোকসংখ্যা) = 40 জন
D2D_2 (দ্বিতীয় দিন সংখ্যা) = কত দিন?
অতএব, D2=M1×D1M2=24×2040D_2 = \frac{M_1 \times D_1}{M_2} = \frac{24 \times 20}{40}
গণনা করলে দাঁড়ায়: D2=48040=12D_2 = \frac{480}{40} = 12 দিন।
সঠিক উত্তর হলো 12 দিন, যা বিকল্প (12) হিসেবে রয়েছে।
ভর্তি পরীক্ষার্থীদের জন্য

বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষার প্রস্তুতিও নিন

ঢাকা বিশ্ববিদ্যালয়, বুয়েট ও মেডিকেলসহ ২৭+ ইউনিট-ভিত্তিক ভর্তি পরীক্ষার প্রশ্নব্যাংক ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর এডমিশন সেকশনে।

ভর্তি প্রশ্নব্যাংক দেখুন
26

 দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ও ল.সা.গু যথাক্রমে ২ ও ৩৬০। একটি সংখ্যা ১০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    24
  2. খ
    48
  3. গ
    60
  4. 72

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ও ল.সা.গু যথাক্রমে ২ ও ৩৬০। একটি সংখ্যা ১০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু = ২, ল.সা.গু = ৩৬০ এবং একটি সংখ্যা = ১০
আমরা জানি,
গ.সা.গু × ল.সা.গু  = ১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা
বা, ২ × ৩৬০ = ১০ × ২য় সংখ্যা
∴ ২য় সংখ্যা = (২ × ৩৬০)/১০ = ৭২

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি পাটিগণিতের গ.সা.গু (HCF) এবং ল.সা.গু (LCM)-এর মৌলিক সূত্রের উপর ভিত্তি করে তৈরি। এটি NTRCA পরীক্ষায় খুবই গুরুত্বপূর্ণ একটি টাইপ।
মৌলিক সূত্রটি হলো: দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু ×\times ল.সা.গু।
এখানে দেওয়া আছে: গ.সা.গু = ২২, ল.সা.গু = ৩৬০৩৬০, এবং একটি সংখ্যা = ১০১০।
ধরি, অপর সংখ্যাটি xx।
সূত্র অনুযায়ী, ১০×x=২×৩৬০১০ \times x = ২ \times ৩৬০
বা, x=২×৩৬০১০x = \frac{২ \times ৩৬০}{১০}
সহজে হিসাব করার জন্য শূন্য বাদ দিন: x=২×৩৬=<strong>৭২</strong>x = ২ \times ৩৬ = <strong>৭২</strong>।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো ৭২।
27

বৃত্তের ব্যাস কতগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেএফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3
  2. 9
  3. গ
    12
  4. ঘ
    16

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 6r) = 8r
∴ ব্যাসার্ধ =8r/2 = 4r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(4r)2 =16πr2
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 16πr2 - πr2 = 15πr2
∴ 15 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

----------------
প্রশ্ন : বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?
সমাধান : 
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r 
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r   
∴ব্যাসার্ধ =6r/2 = 3r   
∴ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)2 = 9πr2  
 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৯ গুণ  পাবে।
 
যেহেতু এটি জব সলিউশনের প্রশ্ন এবং অপশনে ১৫ গুণ ছিল না,  তাই ৯ গুণকে সঠিক উত্তর হিসেবে নেওয়া হয়েছে।

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি পরিমিতির একটি মৌলিক সূত্র থেকে এসেছে। বৃত্তের ব্যাস (বা ব্যাসার্ধ) এবং ক্ষেত্রফলের মধ্যে একটি বর্গীয় সম্পর্ক বিদ্যমান।
যখন কোনো বৃত্তের ব্যাস বা ব্যাসার্ধকে n গুণ বৃদ্ধি করা হয়, তখন এর ক্ষেত্রফল n2n^2 গুণ বৃদ্ধি পায়।
ধরি, বৃত্তের আদি ব্যাসার্ধ = rr। ক্ষেত্রফল (আদি) = πr2\pi r^2
প্রশ্নমতে, ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে, নতুন ব্যাসার্ধ হবে 3r3r।
নতুন ক্ষেত্রফল = $\pi (3r)^2 = \pi (9r^2) = 9 (\pi r^2)।
সুতরাং, ক্ষেত্রফল ৯ গুণ বৃদ্ধি পাবে।
অন্যান্য অপশনগুলো (যেমন: 3, 12, 16) ভুল। ৩ গুণ বৃদ্ধি পেলে ৩ গুণই ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে না (এটি কেবল পরিধির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য)। ১৬ গুণ তখনই হতো, যখন ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেত (42=164^2=16)।
28

নিচের কোন শর্তে loga a = 1 হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. a > 0, a ≠ 1
  2. খ
    a < 0, a ≠ 1
  3. গ
    a > 1, a ≠ 0
  4. ঘ
    a < 0, a ≠ 0

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: নিচের কোন শর্তে logaa = 1  হবে?

সমাধান: 
logaa = 1 হবে যখন a > 0, a ≠ 1

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি লগারিদমের মৌলিক সংজ্ঞা বা শর্তের ওপর ভিত্তি করে দেওয়া হয়েছে।
log⁡ax\log_a x সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য ভূমি বা ভিত্তি (Base) aa কে অবশ্যই দুটি শর্ত পূরণ করতে হয়:
১. ভূমি অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে। অর্থাৎ, a>0a > 0
২. ভূমি কখনোই 11 হতে পারবে না। অর্থাৎ, a≠1a \neq 1
যেহেতু প্রশ্নটি log⁡aa=1\log_a a = 1 সম্পর্কে, এই সমীকরণটি তখনই সত্য হবে যখন ভিত্তি aa উপরোক্ত শর্ত দুটি পালন করবে।
অতএব, সঠিক শর্ত হলো a>0,a≠1a > 0, a \neq 1।
29

 x2 + 5x + 6 এর মান x2 + 3x + 2 এর গ.সা.গু 12 হলে, x এর মান -

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    6
  2. খ
    8
  3. 10
  4. ঘ
    12

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: x2 + 5x + 6  এর মান x2 + 3x + 2  এর গ.সা.গু 12 হলে, x এর মান -

সমাধান: 
১ম রাশি = x2 + 5x + 6
= x2 + 2x + 3x + 6 
= x(x + 2) + 3(x + 2)
= (x + 2)(x + 3)

২য় রাশি = x2 + 3x + 2
= x2 + 2x + x + 2
= x(x + 2) + 1(x + 2)
= (x + 2)(x + 1)

গ.সা.গু = (x + 2)

x + 2 = 12 
x = 12 - 2 = 10

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি মূলত বীজগণিতের উৎপাদক বিশ্লেষণ (Factorization) এবং গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু/HCF) নির্ণয়ের ওপর ভিত্তি করে তৈরি।
ধাপ ১: প্রথম রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।
১ম রাশি=x2+5x+6১ম \space রাশি = x^2 + 5x + 6
=x2+3x+2x+6= x^2 + 3x + 2x + 6
=x(x+3)+2(x+3)=<strong>(x+3)(x+2)</strong>= x(x+3) + 2(x+3) = <strong>(x + 3)(x + 2)</strong>
ধাপ ২: দ্বিতীয় রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।
২য় রাশি=x2+3x+2২য় \space রাশি = x^2 + 3x + 2
=x2+2x+x+2= x^2 + 2x + x + 2
=x(x+2)+1(x+2)=<strong>(x+2)(x+1)</strong>= x(x+2) + 1(x+2) = <strong>(x + 2)(x + 1)</strong>
ধাপ ৩: উভয় রাশির মধ্যে সাধারণ গুণনীয়ক হলো গ.সা.গু।
অতএব, গ.সা.গু =<strong>(x+2)</strong>= <strong>(x + 2)</strong>
ধাপ ৪: প্রশ্নমতে, গ.সা.গু এর মান 12 দেওয়া আছে।
সুতরাং, x+2=12x + 2 = 12
x=12−2x = 12 - 2
x=<strong>10</strong>x = <strong>10</strong>
সঠিক উত্তর হলো: 10।
30

(1/2)x2 - 3x + 4 এর উৎপাদক কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    (1/2)(x - 4)(x + 2)
  2. খ
    (1/2)(x + 4)(x - 2)
  3. গ
    (1/2)(x + 4)(x + 2)
  4. (1/2)(x - 4)(x - 2)

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন: (1/2)x2 - 3x + 4 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
(1/2)x2 - 3x + 4
= (1/2)(x2 - 6x + 8)
= (1/2)(x2 - 4x - 2x + 8)
= (1/2){(x(x - 4) - 2(x - 4)}
= (1/2)(x - 4)(x - 2)

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের উৎপাদক বিশ্লেষণ (Factorization) সংক্রান্ত একটি প্রশ্ন। উৎপাদক বের করার জন্য রাশিটি থেকে প্রথমে সাধারণ পদ কমন নিতে হবে, তারপর মধ্যপদ বিভাজন (Middle Term Breaking) পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে।
প্রদত্ত রাশি: (1/2)x2−3x+4(1/2)x^2 - 3x + 4
প্রথমেই আমরা রাশিটি থেকে (1/2) কমন নেব। কমন নেওয়ার ফলে ভেতরের পদগুলোকে 1/21/2 দিয়ে ভাগ (বা ২ দিয়ে গুণ) করতে হবে:
(1/2)(x2−6x+8)(1/2)(x^2 - 6x + 8)
এখন, ব্র‍্যাকেটের ভেতরের অংশ x2−6x+8x^2 - 6x + 8 কে মধ্যপদ বিভাজন করতে হবে। এর জন্য এমন দুটি সংখ্যা বের করতে হবে, যাদের গুণফল =+8= +8 এবং যোগফল =−6= -6। সংখ্যা দুটি হলো -4 এবং -2। (কারণ (−4)imes(−2)=+8(-4) imes (-2) = +8 এবং (−4)+(−2)=−6(-4) + (-2) = -6)
(1/2)(x2−4x−2x+8)(1/2)(x^2 - 4x - 2x + 8)
(1/2){x(x−4)−2(x−4)}(1/2)\{x(x - 4) - 2(x - 4)\}
(1/2)(x−4)(x−2)(1/2)(x - 4)(x - 2)
সুতরাং, সঠিক উৎপাদকটি হলো (1/2)(x - 4)(x - 2), যা ৪ নম্বর অপশনে আছে।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
31

(x2 + 1)2 = 5x2 হলে x - 1/x এর মান কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    5\sqrt{5}
  2. 1
  3. গ
    222\sqrt{2}
  4. ঘ
    8

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন: (x2 + 1)2 = 5x2 হলে x - 1/x এর মান কোনটি?

সমাধান: 
(x2 + 1)2 = 5x2
x2 + 1 = √5x
x2/x + 1/x = √5
x + 1/x = √5

(x - 1/x)2 = (x + 1/x)2 - 4x.1/x
(x - 1/x)2 = (√5)2 - 4 
(x - 1/x)2 = 5 - 4 
(x - 1/x)2 = 1
(x - 1/x) = 1

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি বীজগণিতের মান নির্ণয় সংক্রান্ত। এক্ষেত্রে প্রথমে প্রদত্ত সমীকরণটিকে সরল করে (x+1/x)(x + 1/x) এর মান বের করতে হবে।
প্রদত্ত সমীকরণ: (x2+1)2=5x2(x^2 + 1)^2 = 5x^2
উভয় পক্ষকে বর্গমূল করে পাই: x2+1=5xx^2 + 1 = \sqrt{5}x (এখানে আমরা ধনাত্মক মান বিবেচনা করছি।)
এখন, উভয় পক্ষকে xx দ্বারা ভাগ করে পাই:
x2x+1x=5xx\frac{x^2}{x} + \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5}x}{x}
বা, x+1/x=5x + 1/x = \sqrt{5}
এখন, আমাদের বের করতে হবে x−1/xx - 1/x এর মান। আমরা জানি, বীজগাণিতিক সূত্র অনুযায়ী:
(a−b)2=(a+b)2−4ab(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab
এখানে a=xa=x এবং b=1/xb=1/x বসিয়ে পাই:
(x−1/x)2=(x+1/x)2−4⋅x⋅1x(x - 1/x)^2 = (x + 1/x)^2 - 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x}
মান বসিয়ে পাই: (x−1/x)2=(5)2−4(x - 1/x)^2 = (\sqrt{5})^2 - 4
(x−1/x)2=5−4=1(x - 1/x)^2 = 5 - 4 = 1
সুতরাং, x−1/x=1x - 1/x = \sqrt{1} বা 11।
সঠিক উত্তর হলো: 1।
32

 a/b + b/a = 1 হলে, a3 + b3 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3
  2. খ
    1
  3. 0
  4. ঘ
    -1

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

দেয়া আছে,
a/b + b/a = 1
(a2 + b2)/ab = 1
a2 + b2 = ab
a2 - ab + b2 = 0

এখন,
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
= (a + b) × 0
= 0

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি বীজগণিতের ঘনফল নির্ণয়ের (Cube Formula) একটি মৌলিক সূত্রের প্রয়োগ।
প্রথমে প্রদত্ত শর্তটিকে সরল করতে হবে:
দেওয়া আছে, ab+ba=1\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1
লসাগু (LCM) করলে পাই: a2+b2ab=1\frac{a^2 + b^2}{ab} = 1
বা, a2+b2=aba^2 + b^2 = ab
বা, a2−ab+b2=0a^2 - ab + b^2 = 0
এখন, আমাদের a3+b3a^3 + b^3 এর মান নির্ণয় করতে হবে। ঘনফলের উৎপাদকের সূত্রটি হলো:
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)
উপরে আমরা প্রমাণ করেছি যে a2−ab+b2=0a^2 - ab + b^2 = 0। এই মানটি সূত্রে বসালে পাই:
(a+b)×0(a + b) \times 0
সুতরাং, মানটি হবে 0 (শূন্য)।
অন্যান্য অপশন (যেমন 3, 1, -1) ভুল, কারণ তারা বীজগণিতীয় শর্তটিকে সম্পূর্ণরূপে উপেক্ষা করে প্রাপ্ত হয়েছে।
33

 (√5)x+1 = (3√5)2x-1  হলে, x = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    2/5
  2. খ
    1/3
  3. গ
    3
  4. 5

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

হলে, x = কত?

সমাধান: 
(51/2)x + 1 = (51/3)2x - 1
5(x + 1)/2 = 5(2x - 1)/3
(x + 1)/2 = (2x - 1)/3
4x - 2 = 3x + 3
4x  - 3x = 3 + 2
x = 5

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো ৫। এটি সূচকের (Indices) একটি মৌলিক সমস্যা। প্রথমে উভয় পাশের মূল (Root) চিহ্নের রাশিগুলোকে সূচক আকারে প্রকাশ করতে হবে।
আমরা জানি, a=a12\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} এবং an=a1n\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}।
প্রশ্নানুসারে, (5)x+1=(53)2x−1(\sqrt{5})^{x+1} = (\sqrt[3]{5})^{2x-1}।
সূচকের মাধ্যমে প্রকাশ করলে: (512)x+1=(513)2x−1\left(5^{\frac{1}{2}}\right)^{x+1} = \left(5^{\frac{1}{3}}\right)^{2x-1}।
সূচকের নিয়ম অনুসারে, (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}। তাই আমরা পাই: 5x+12=52x−135^{\frac{x+1}{2}} = 5^{\frac{2x-1}{3}}।
যেহেতু উভয় পক্ষের ভিত্তি (Base) ৫ সমান, তাই তাদের সূচকগুলোও (Exponents) সমান হবে।
সুতরাং, x+12=2x−13\frac{x+1}{2} = \frac{2x-1}{3}।
এখন বজ্রগুণ করে সমাধান করলে: 3(x+1)=2(2x−1)3(x+1) = 2(2x-1)।
3x+3=4x−23x + 3 = 4x - 2
3+2=4x−3x3 + 2 = 4x - 3x
x=5x = 5।
অতএব, নির্ণেয় মান হলো ৫।
34

 logx(1/16) = - 2হলে, x এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 4
  2. খ
    2
  3. গ
    -2
  4. ঘ
    -4

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: logx(1/16) = - 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান: 
logx(1/16) = - 2
বা, x-2 = 1/16
বা, 1/(x2) = 1/16
বা, x2 = 16
বা, x2 = 42
∴ x = 4

ব্যাখ্যা

এটি সূচক ও লগারিদমের একটি মৌলিক সমস্যা। লগারিদমের মূল সংজ্ঞা ব্যবহার করে সহজেই এর সমাধান করা যায়।
যদি log⁡ba=c\log_b a = c হয়, তবে সূচক আকারে লেখা যায় bc=ab^c = a।
প্রদত্ত প্রশ্ন: log⁡x(1/16)=−2\log_x(1/16) = -2
এখানে ভিত্তি (Base) xx, আর্গুমেন্ট 1/161/16 এবং মান −2-2।
অতএব, আমরা লিখতে পারি: x−2=1/16x^{-2} = 1/16
সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, x−2=1x2x^{-2} = \frac{1}{x^2}।
তাহলে, 1x2=116\frac{1}{x^2} = \frac{1}{16}।
উভয় পক্ষকে উল্টে দিলে পাই: x2=16x^2 = 16
বা, x2=42x^2 = 4^2
সুতরাং, x=±4x = \pm 4।
তবে, লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী ভিত্তি (xx) অবশ্যই ধনাত্মক এবং ১ হতে ভিন্ন হতে হবে। তাই, ঋণাত্মক মান (-4) গ্রহণযোগ্য নয়।
সঠিক উত্তর হলো 4। এটি অপশন (A) তে রয়েছে।
35

একজন ঘড়ি বিক্রেতা 1200 টাকা ‍দিয়ে একটি ঘড়ি ক্রয় করেছেন। ঘড়িটি কত টাকায় বিক্রয় করলে তার (35/2)% লাভ হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1365 টাকা
  2. খ
    1375 টাকা
  3. গ
    1395 টাকা
  4. 1410 টাকা

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন: একজন ঘড়ি বিক্রেতা 1200 টাকা ‍দিয়ে একটি ঘড়ি ক্রয় করেছেন। ঘড়িটি কত টাকায় বিক্রয় করলে তার (35/2)% লাভ হবে?

সমাধান: 
(35/2)% লাভে 
ক্রয়মূল্য 100 টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = 100 + (35/2) টাকা 
                                                      = 235/2 টাকা

 ক্রয়মূল্য 100 টাকা হলে বিক্রয়মূল্য =235/2 টাকা 
 ক্রয়মূল্য 1 টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = 235/2 × 100 টাকা
 ক্রয়মূল্য 1200 টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (235 × 1200)/(2 × 100) টাকা
= 1410 টাকা

ব্যাখ্যা

এটি লাভ-ক্ষতির একটি মৌলিক সমস্যা। এখানে ক্রয়মূল্য (CP) এবং শতকরা লাভের হার দেওয়া আছে, আমাদের বিক্রয়মূল্য (SP) নির্ণয় করতে হবে।
১. লাভের হার নির্ণয়: লাভের হার (Profit \%) = 352%=<strong>17.5%</strong>।\frac{35}{2}\% = <strong>17.5\%</strong>।
২. বিক্রয়মূল্য নির্ণয়: 17.5%17.5\% লাভে, ক্রয়মূল্য যদি 100100 টাকা হয়, তবে বিক্রয়মূল্য হবে 100+17.5=<strong>117.5100 + 17.5 = <strong>117.5 টাকা।
ঐকিক নিয়মে আমরা লিখতে পারি:
ক্রয়মূল্য 100100 টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = 117.5117.5 টাকা।
ক্রয়মূল্য 12001200 টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = (117.5100×1200)\left( \frac{117.5}{100} \times 1200 \right) টাকা।
হিসাব করলে পাওয়া যায়: 117.5×12=<strong>1410117.5 \times 12 = <strong>1410 টাকা।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 1410 টাকা। বিকল্প 33 সঠিক।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
36

হীরার আয়ের ৩৫% হ্যাপীর আয়ের ২৫% এর সমান। তাদের আয়ের অনুপাত কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৭ : ৫
  2. ৫ : ৭
  3. গ
    ৪ : ৩
  4. ঘ
    ৩ : ৪

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন: হীরার আয়ের ৩৫% হ্যাপীর আয়ের ২৫% এর সমান। তাদের আয়ের অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
হীরার আয় ক% এবং হ্যাপীরআয় খ %

ক এর ৩৫%= খ এর ২৫%
বা,৩৫ক/১০০=২৫খ/১০০
বা,৩৫ক = ২৫খ
বা,ক/খ=২৫/৩৫
ক : খ = ৫ : ৭

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি শতকরা এবং অনুপাতের একটি সাধারণ সমস্যা। অনুপাতের ক্ষেত্রে, দুটি ভিন্ন রাশির শতকরা মান সমান হলে, তাদের মূল রাশির অনুপাত নির্ণয়ের জন্য শতকরা মানগুলোকে উল্টে দিতে হয়।
ধরি, হীরার আয় H এবং হ্যাপীর আয় P।
প্রশ্ন অনুযায়ী, হীরার আয়ের ৩৫% = হ্যাপীর আয়ের ২৫%।
বীজগণিতীয় আকারে লিখলে: H×35%=P×25%H \times 35\% = P \times 25\%
বা, H×35100=P×25100H \times \frac{35}{100} = P \times \frac{25}{100}
উভয় পক্ষ থেকে 1100\frac{1}{100} বাদ দিলে পাই: 35H=25P35H = 25P
এখন অনুপাত নির্ণয়ের জন্য রাশিগুলোকে সাজাই: HP=2535\frac{H}{P} = \frac{25}{35}
২৫ এবং ৩৫ উভয়কে ৫ দ্বারা ভাগ করলে সরলতম রূপ পাওয়া যায়: 57\frac{5}{7}
সুতরাং, তাদের আয়ের অনুপাত হলো H:P=<strong>৫:৭</strong>H : P = <strong>৫ : ৭</strong>। এটি বিকল্প ৫ : ৭ (সূচক ১) এর সাথে মিলে যায়।
37

১.৫ এবং ১৩.৫ এর সমানুপাতটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    2.5
  2. খ
    3.2
  3. গ
    3.6
  4. 4.5

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন: ১.৫ এবং ১৩.৫ এর সমানুপাতটি কত?

সমাধান:
ক্রমিক সমানুপাতে,
(মধ্য রাশি)২ = ১ম রাশি × ৩য় রাশি
বা, (মধ্য রাশি)২ = ১.৫ × ১৩.৫
বা, মধ্য রাশি = √২০.২৫ =৪.৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্নটিতে ১.৫ এবং ১৩.৫ এর মধ্য সমানুপাতী (Mean Proportional) নির্ণয় করতে বলা হয়েছে।
গণিতে, তিনটি রাশি (ধরুন a,x,ba, x, b) ক্রমিক সমানুপাতী (Continuous Proportion) হলে, তাদের মধ্যে সম্পর্কটি হলো: a:x=x:ba : x = x : b
এই সম্পর্ককে বজ্রগুণন করলে আমরা পাই: x২=a×bx^২ = a \times b (অর্থাৎ মধ্য রাশির বর্গ, অন্য দুটি রাশির গুণফলের সমান)।
এখানে, প্রথম রাশি (aa) = ১.৫ এবং তৃতীয় রাশি (bb) = ১৩.৫।
মধ্য সমানুপাতী (xx) =১.৫×১৩.৫{= \sqrt{১.৫ \times ১৩.৫}}
=২০.২৫{= \sqrt{২০.২৫}}
২০.২৫ এর বর্গমূল হলো ৪.৫। তাই সঠিক উত্তর ৪.৫।
38

 e2lnx = y হলে, y এর মান= কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ln⁡x\ln x
  2. খ
    (ln⁡x)2(\ln x)^2
  3. x2x^2
  4. ঘ
    2x2x

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

e2lnx = y 
elnx2 = y
x2 = y
y = x2

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো e2ln⁡x=ye^{2\ln x} = y। এই ধরনের সূচক ও লগারিদমের সমস্যা সমাধানে দুটি মৌলিক সূত্র প্রয়োগ করতে হয়।
১. প্রথমে লগারিদমের শক্তি সূত্র (Power Rule) প্রয়োগ করুন: aln⁡b=ln⁡baa \ln b = \ln b^a।
এখানে, 2ln⁡x2\ln x কে লেখা যায় ln⁡x2\ln x^2।
সমীকরণটি পরিবর্তিত হয়ে দাঁড়ায়: eln⁡x2=ye^{\ln x^2} = y
২. এরপর এক্সপোনেনশিয়াল এবং স্বাভাবিক লগারিদমের বিপরীত সম্পর্ক (Inverse Property) প্রয়োগ করুন: eln⁡A=Ae^{\ln A} = A।
এখানে, AA হলো x2x^2।
অতএব, eln⁡x2=x2e^{\ln x^2} = x^2।
সুতরাং, y=x2y = x^2।
সঠিক উত্তরটি হলো x2x^2। অন্য অপশনগুলো (যেমন 2x2x বা ln⁡x\ln x) সূত্র প্রয়োগের ভুল ফলাফলের কারণে বাতিল হবে।
39

১০৫ থেকে ১৩৫ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যাদ্বয়ের গড় কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 119
  2. খ
    120
  3. গ
    121
  4. ঘ
    123

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: ১০৫ থেকে ১৩৫ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যাদ্বয়ের গড় কত?

সমাধান: 
১০৫ থেকে ১৩৫ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা ১৩১
১০৫ থেকে ১৩৫ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা ১০৭
∴ সংখ্যা দুইটির গড় = (১৩১ + ১০৭)/২ = ১১৯

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমাদের প্রথমে ১০৫ থেকে ১৩৫ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম এবং বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা দুটি সঠিকভাবে চিহ্নিত করতে হবে।
১. ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা: ১০৫ এর ঠিক পরবর্তী সংখ্যাগুলো যাচাই করলে দেখা যায়, ১০৬ (জোড়), এবং ১০৭। ১০৭ সংখ্যাটিকে কোনো ছোট মৌলিক সংখ্যা (২, ৩, ৫, ৭, ১১...) দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাই এটিই ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা।
২. বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা: ১৩৫ এর ঠিক পূর্ববর্তী সংখ্যাগুলো যাচাই করলে পাওয়া যায়, ১৩৪ (জোড়), ১৩৩ (এটি মৌলিক নয়, ৭×১৯=১৩৩৭ \times ১৯ = ১৩৩), ১৩২ (জোড়), এবং ১৩১। ১৩১ সংখ্যাটিকেও কোনো ছোট মৌলিক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না, তাই এটিই বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা।
সংখ্যা দুটি হলো: ১০৭ এবং ১৩১।
এখন সংখ্যাদ্বয়ের গড় নির্ণয় করতে হবে:
গড় = সংখ্যা দুটির যোগফলসংখ্যা\frac{\text{সংখ্যা দুটির যোগফল}}{\text{সংখ্যা}}
গড় = ১০৭+১৩১২\frac{১০৭ + ১৩১}{২} = ২৩৮২\frac{২৩৮}{২} = ১১৯।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো ১১৯।
40

 যদি (a/b)x-3 = (b/a)x-5 হয়, তবে x এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3
  2. 4
  3. গ
    5
  4. ঘ
    8

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন: যদি (a/b)x - 3 = (b/a)x - 5 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান: 
(a/b)x - 3 = (b/a)x - 5
(a/b)x - 3 = (a/b)- (x - 5)
x - 3 = - x + 5
x + x = 5 + 3
2x = 8
x = 4

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: (ab)x−3=(ba)x−5\left(\frac{a}{b}\right)^{x-3} = \left(\frac{b}{a}\right)^{x-5}
সূচকের মৌলিক নিয়ম হলো, যখন ভিত্তি (Base) উল্টে দেওয়া হয়, তখন সূচকটি (Power) ঋণাত্মক হয়ে যায়। অর্থাৎ, (ba)=(ab)−1\left(\frac{b}{a}\right) = \left(\frac{a}{b}\right)^{-1}
এই নিয়ম প্রয়োগ করে ডানপাশের ভিত্তি পরিবর্তন করলে সমীকরণটি দাঁড়ায়: (ab)x−3=(ab)−(x−5)\left(\frac{a}{b}\right)^{x-3} = \left(\frac{a}{b}\right)^{-(x-5)}
যেহেতু উভয় পাশের ভিত্তি (a/b)(a/b) সমান, তাই আমরা সূচক দুটোকে সমান ধরে নিতে পারি:
x−3=−(x−5)x-3 = -(x-5)
x−3=−x+5x - 3 = -x + 5
x+x=5+3x + x = 5 + 3
2x=82x = 8
অতএব, x=4\mathbf{x = 4}
সঠিক উত্তরটি হলো 4 (অপশন ২)।
ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য

ক্লাস ৬-১২ একাডেমিক প্রস্তুতিও নিন

ক্লাস ৬-১২, এসএসসি ও এইচএসসির সব বিষয়ের বোর্ড প্রশ্ন, অধ্যায়ভিত্তিক প্র্যাকটিস, লাইভ পরীক্ষা ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর একাডেমিক সেকশনে।

একাডেমিক প্রস্তুতি দেখুন
41

কতটি স্বতন্ত্র উপাত্ত জানা থাকলে নিদিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায়?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    2 টি
  2. খ
    3 টি
  3. গ
    4 টি
  4. 5 টি

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন: কতটি স্বতন্ত্র উপাত্ত জানা থাকলে নিদিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায়?

সমাধান: 
চতুর্ভুজের চারটি বাহু দেওয়া থাকলেই একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকা যায় না। নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত প্রয়োজন হয়। নিম্নে বর্ণিত পাঁচটি উপাত্ত জানা থাকলে, নির্দিষ্ট চতুৰ্ভুজ আঁকা যায়।
১. চারটি বাহু ও একটি কোণ
২. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ
৩. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ
৪. তিনটি বাহু ও এদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ
৫. দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ।

ব্যাখ্যা

জ্যামিতি অঙ্কনের মৌলিক নিয়ম অনুযায়ী, একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ আঁকার জন্য পাঁচটি স্বতন্ত্র উপাত্ত জানা আবশ্যক।
অনেকেই ভুলবশত মনে করেন যে, যেহেতু চতুর্ভুজের চারটি বাহু থাকে, তাই চারটি উপাত্তই যথেষ্ট। কিন্তু চারটি বাহু জানা থাকলেও এর অভ্যন্তরীণ কোণগুলো পরিবর্তন করে অসংখ্য চতুর্ভুজ (যেমন: বিভিন্ন আকৃতির সামান্তরিক বা রম্বস) তৈরি করা যায়, ফলে এটি নির্দিষ্ট হয় না।
একটি চতুর্ভুজকে নির্দিষ্ট (Unique) করতে হলে, বাহুগুলোর পাশাপাশি এমন তথ্য প্রয়োজন যা এর আকৃতিকে দৃঢ়ভাবে নির্দিষ্ট করে। তাই চতুর্থ বাহুর সাথে অতিরিক্ত একটি উপাত্ত (যেমন একটি কর্ণ বা একটি কোণ) প্রয়োজন হয়।
পাঁচটি উপাত্তের সাধারণ শর্তগুলো হলো: ১. চারটি বাহু ও একটি কর্ণ, ২. তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ, অথবা ৩. চারটি বাহু ও একটি কোণ। তাই সঠিক উত্তর হলো: ৫ টি।
42

x2 - 4x + k = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় একটি অপরটির বিপরীত হলে k এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 1
  2. খ
    0
  3. গ
    -1
  4. ঘ
    2

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

x2 - 4x + k = 0 সমীকরণের মুলদ্বয় a ও 1/a 

আমরা জানি,
a(1/a) = ধ্রুবক পদ/x2 এর সহগ 
1= k/1
1 = k 
k = 1

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সম্পর্ক সম্পর্কিত।
একটি আদর্শ দ্বিঘাত সমীকরণ হলো Ax2+Bx+C=0Ax^2 + Bx + C = 0। এই সমীকরণে মূলদ্বয়ের গুণফল নির্ণয়ের সূত্র হলো: মূলদ্বয়ের গুণফল = CA\frac{C}{A} (ধ্রুবক পদ / x2x^2 এর সহগ)।
প্রশ্নমতে, মূলদ্বয় একটি অপরটির বিপরীত (Reciprocal)।
যদি একটি মূল α\alpha হয়, তবে অন্য মূলটি হবে 1α\frac{1}{\alpha}। তাদের গুণফল সর্বদা α×1α=<strong>1</strong>\alpha \times \frac{1}{\alpha} = <strong>1</strong> হবে।
প্রদত্ত সমীকরণ x2−4x+k=0x^2 - 4x + k = 0 এ, আমরা পাই: A=1A=1, B=−4B=-4, এবং C=kC=k।
মূলদ্বয়ের গুণফল =k1=k= \frac{k}{1} = k
শর্তানুসারে, k=1k = 1।
সঠিক উত্তর হলো 1।
43

15 টাকা 25 টাকার শতকরা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    45%
  2. খ
    50%
  3. 60%
  4. ঘ
    75%

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: 15 টাকা 25 টাকার শতকরা কত?

সমাধান: 
15 টাকা 25 টাকার শতকরা = (15/25) × 100% = 60 %

ব্যাখ্যা

এটি শতকরা (Percentage) নির্ণয়ের একটি মৌলিক প্রশ্ন। এখানে জানতে চাওয়া হয়েছে, যে সংখ্যাটির শতকরা মান বের করতে হবে সেটি মোট পরিমাণের কত অংশ।
সূত্র অনুযায়ী, যে সংখ্যাটির শতকরা বের করতে হবে (১৫ টাকা), সেটিকে মোট পরিমাণ (২৫ টাকা) দিয়ে ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ করতে হয়।
গাণিতিক সমাধান: শতকরা=১৫২৫×১০০%\text{শতকরা} = \frac{\text{১৫}}{\text{২৫}} \times \text{১০০}\%
→৩৫×১০০%=৩×২০%=৬০%\rightarrow \frac{\text{৩}}{\text{৫}} \times \text{১০০}\% = \text{৩} \times \text{২০}\% = \mathbf{৬০}\%।
অতএব, ১৫ টাকা হলো ২৫ টাকার ৬০%।
অন্যান্য অপশন যেমন, ৫০% মানে হলো ২৫ টাকার অর্ধেক বা ১২.৫ টাকা। তাই সেগুলো ভুল।
44

 পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩০ বছর। ৬ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত ৫:১ হলে, পুত্রের বর্তমান বয়স কত বছর?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    5
  2. 6
  3. গ
    8
  4. ঘ
    9

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন : পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩০ বছর। ৬ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত ৫:১ হলে, পুত্রের বর্তমান বয়স কত বছর?
পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় 30 বছর।

সমাধান : 
পিতা ও পুত্রের মোট বয়স = 30 × 2 = 60 বছর

৬ বছর পরে পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত 5 : 1 
ধরি, ৬ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়স 5x ও x বছর।

প্রশ্নমতে, 
5x - 6 + x - 6 = 60
6x = 60 + 12
6x = 72
x = 12

পুত্রের বর্তমান বয়স = x - 6 = 12 - 6 = 6 বছর।

ব্যাখ্যা

এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য প্রথমে তাদের মোট বয়স নির্ণয় করতে হয়।
বর্তমান মোট বয়স: পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৩০ বছর। তাই তাদের বর্তমান মোট বয়স = 30×2=6030 \times 2 = 60 বছর।
৬ বছর পরের মোট বয়স: ৬ বছর পরে পিতা এবং পুত্র উভয়ের বয়সই ৬ বছর করে বাড়বে।
মোট বয়স হবে = 60+(6×2)=60+12=7260 + (6 \times 2) = 60 + 12 = 72 বছর।
পুত্রের ৬ বছর পরের বয়স: ৬ বছর পরে তাদের বয়সের অনুপাত 5:15:1 (মোট অনুপাত 5+1=65+1=6 ভাগ)।
সুতরাং, ৬ বছর পরে পুত্রের বয়স হবে = 72×16=1272 \times \frac{1}{6} = 12 বছর।
পুত্রের বর্তমান বয়স: পুত্রের বর্তমান বয়স = (৬ বছর পরের বয়স) −- ৬ বছর = 12−6=612 - 6 = \mathbf{6} বছর।
বিকল্প (A) 5, (C) 8, এবং (D) 9 বছর ভুল, কারণ এই মানগুলো প্রদত্ত অনুপাত এবং গড়ের শর্ত পূরণ করে না। সঠিক উত্তরটি হলো ৬ বছর।
45

 পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পর ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৩০ সেকেন্ড
  2. খ
    ৯০ সেকেন্ড
  3. ৩ মিনিট
  4. ঘ
    ৫ মিনিট

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন : পাঁচটি ঘণ্টা একত্রে বেজে যথাক্রমে ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫ সেকেন্ড অন্তর বাজতে লাগল। কতক্ষণ পর ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?
সমাধান :

পাঁচটি ঘণ্টা পুনরায় একত্রে বাজার সময় হবে  ৩, ৬, ৯ ,১২ এবং ১৫ সেকেন্ড এর ল.সা.গু 

 ৩, ৬, ৯ ,১২ এবং ১৫  এর ল.সা.গু = ১৮০ সেকেন্ড 

সুতরাং, পাঁচটি ঘণ্টা পুনরায় একত্রে বাজবে ১৮০ সেকেন্ড বা ৩ মিনিট পর।

ব্যাখ্যা

যখন কোনো প্রশ্নে ঘণ্টা, ট্রাফিক লাইট বা বিভিন্ন বস্তু একসাথে শুরু হয়ে ভিন্ন ভিন্ন সময় অন্তর পুনরায় মিলিত হওয়ার কথা বলা হয়, তখন সর্বদা প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু. (LCM) নির্ণয় করতে হয়।
এখানে ঘণ্টাগুলো বাজার সময় অন্তর হলো: ৩, ৬, ৯, ১২ এবং ১৫ সেকেন্ড।
এই সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু. নির্ণয় করতে হবে।
৩, ৬, ৯, ১২, ১৫ এর ল.সা.গু. হলো: ১৮০। (উৎপাদকের মাধ্যমে: 3,6=2×3,9=32,12=22×3,15=3×53, 6=2\times3, 9=3^2, 12=2^2\times3, 15=3\times5। ল.সা.গু. = 22×32×5=4×9×5=1802^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180।)
যেহেতু সময়গুলো সেকেন্ডে দেওয়া ছিল, তাই প্রাপ্ত ল.সা.গু. হলো ১৮০ সেকেন্ড।
প্রশ্নের অপশনে মিনিট থাকায়, আমরা এটিকে মিনিটে রূপান্তর করব: 180÷60180 \div 60 সেকেন্ড/মিনিট = ৩ মিনিট।
সুতরাং, ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে ৩ মিনিট পর।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
46

যদি ৩ জন পুরুষ বা ৫ জন বালক একটি কাজ ২০ দিনে করতে পারে তবে ৪ জন পুরুষ এবং ১০ জন বালক ঐ কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    10
  2. খ
    9
  3. গ
    8
  4. 6

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন : যদি ৩ জন পুরুষ বা ৫ জন বালক একটি কাজ ২০ দিনে করতে পারে তবে ৪ জন পুরুষ এবং
১০ জন বালক ঐ কাজটি কত দিনে করতে পারবে?
সমাধান : 
৫ জন বালক = ৩ জন পুরুষ
১ জন বালক = ৩/৫ জন পুরুষ 
১০ জন বালক = (৩/৫) × ১০ = ৬ জন পুরুষ
সুতরাং ৪ জন পুরুষ এবং ১০ জন বালক = (৪ + ৬) = ১০ জন পুরুষ 

এখন,
৩ জন পুরুষ কাজটি করে ২০ দিনে
১ জন পুরুষ কাজটি করে ৩ × ২০ দিনে
১০ জন পুরুষ কাজটি করে (৩ × ২০)/১০ দিনে = ৬দিনে।

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সময় ও কাজের (Time and Work) একটি ক্লাসিক সমস্যা। এখানে পুরুষ ও বালকের কাজের দক্ষতার মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে পুরো কাজটিকে একটি একক ইউনিটে (পুরুষ) রূপান্তর করতে হবে।
১. দক্ষতা সমীকরণ: প্রশ্নে বলা হয়েছে, ৩ জন পুরুষ বা ৫ জন বালক কাজটি ২০ দিনে করে।
সুতরাং, কাজের ক্ষমতার দিক থেকে ৫ জন বালক = ৩ জন পুরুষ।
২. ইউনিট রূপান্তর: আমাদের ৪ জন পুরুষ এবং ১০ জন বালকের সম্মিলিত কাজ বের করতে হবে। আমরা ১০ জন বালককে পুরুষে রূপান্তর করি।
৫ জন বালক = ৩ জন পুরুষ
১০ জন বালক $= rac{৩}{৫} imes ১০ = ৬ জন পুরুষ।
৩. মোট কর্মী: এখন মোট শ্রমিকের সংখ্যা হলো $(৪ + ৬) = ১০ জন পুরুষ।
৪. ঐকিক নিয়ম: যেহেতু কাজ একই, শ্রমিকের সংখ্যা বাড়লে সময় কমবে (ব্যস্তানুপাত)।
৩ জন পুরুষ কাজটি করে ২০ দিনে।
১ জন পুরুষ কাজটি করে (৩imes২০)(৩ imes ২০) দিনে।
১০ জন পুরুষ কাজটি করে $ rac{৩ imes ২০}{১০} = ৬ দিনে।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৬ দিন।
47

৮ জন লোক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। দুই জন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি সম্পন্ন করতে শতকরা কত দিন বেশি লাগবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    25
  2. খ
    50
  3. ৩৩(১/৩)
  4. ঘ
    ৬৬(২/৩)

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন : ৮ জন লোক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। দুই জন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি সম্পন্ন করতে শতকরা কত দিন বেশি লাগবে?
সমাধান :
৮ জন লোক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে।
১ জন লোক একটি কাজ ১২ × ৮ দিনে করতে পারে।
৬ জন লোক একটি কাজ ১২ × ৮/৬ দিনে বা ১৬ দিনে করতে পারে।
দিন বেশি = ১৬ - ১২ = ৪ দিন

১২ দিনে বেশি লাগে ৪ দিন
১ দিনে বেশি লাগে ৪/১২ দিন
১০০ দিনে বেশি লাগে ৪ × ১০০/১২  দিন = ৪০০/১২ = ৩৩(১/৩) দিন

ব্যাখ্যা

এটি ঐকিক নিয়ম (Unitary Method) এবং শতকরা (Percentage) সম্পর্কিত সমস্যা। কাজ এবং লোকসংখ্যার মধ্যে ব্যস্তানুপাতিক সম্পর্ক বিদ্যমান।
ধাপ ১: নতুন লোকসংখ্যা ও দিন নির্ণয়
প্রাথমিক লোকসংখ্যা, M1=8M_1 = 8 জন। সময়, D1=12D_1 = 12 দিন।
লোক কমে গেল ২ জন। নতুন লোকসংখ্যা, M2=8−2=6M_2 = 8 - 2 = 6 জন।
আমরা জানি: M1×D1=M2×D2M_1 \times D_1 = M_2 \times D_2
8×12=6×D28 \times 12 = 6 \times D_2
D2=8×126=8×2=<strong>16D_2 = \frac{8 \times 12}{6} = 8 \times 2 = <strong>16 দিন।
ধাপ ২: অতিরিক্ত দিনের সংখ্যা
কাজটি সম্পন্ন করতে অতিরিক্ত দিন লাগবে: 16−12=<strong>416 - 12 = <strong>4 দিন।
ধাপ ৩: শতকরা বৃদ্ধি নির্ণয়
শতাংশে দিনের বৃদ্ধি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে মূল দিন (১২ দিন) এর উপর অতিরিক্ত দিনকে (%) প্রকাশ করতে হবে।
শতকরা বৃদ্ধি = (অতিরিক্তদিনআসলদিন)×100%(\frac{অতিরিক্ত দিন}{আসল দিন}) \times 100\%
শতকরা বৃদ্ধি = (412)×100%=13×100%=<strong>3313%(\frac{4}{12}) \times 100\% = \frac{1}{3} \times 100\% = <strong>33\frac{1}{3}\%।
সুতরাং, কাজটি সম্পন্ন করতে ৩৩(১/৩) দিন বেশি লাগবে।
48

৫% হারে ৫০০০ টাকার ২ বছরের সরল ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পার্থক্য কত টাকা?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    10
  2. 12.5
  3. গ
    15
  4. ঘ
    25

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন : ৫% হারে ৫০০০ টাকার ২ বছরের সরল ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পার্থক্য কত টাকা?
সমাধান : 
দেওয়া আছে, মূলধন,
P = ৫০০০ টাকা
সময়, n = ২ বছর
সুদের হার, r = ৫/১০০

আমরা জানি সরল মুনাফা,
I = Pnr = ৫০০০ × ২ × ৫/১০০ = ৫০০ 

চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় সবৃদ্ধিমূল,
C = P(1+r)n
= ৫০০০(১+৫/১০০)২
= ৫০০০ × ১০৫/১০০ × ১০৫/১০০
= ৫৫১২.৫

এখন,
চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = ৫৫১২.৫ - ৫০০০
= ৫১২.৫ টাকা।
সুতরাং চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও সরল মুনাফার পার্থক্য = (৫১২.৫ - ৫০০) টাকা = ১২.৫ টাকা।

ব্যাখ্যা

এটি একটি খুবই গুরুত্বপূর্ণ সুদকষার সমস্যা, যা শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষায় প্রায়শই আসে। এখানে সরল সুদ (Simple Interest) এবং চক্রবৃদ্ধি সুদ (Compound Interest)-এর পার্থক্য বের করতে হবে।
ধাপ ১: সরল সুদ (I) নির্ণয়:
সরল সুদের সূত্র, I=PnrI = Pnr
এখানে, আসল (P)=<strong>৫০০০টাকা</strong>,সময়(P) = <strong>৫০০০ টাকা</strong>, সময় (n) = ২ বছর, সুদের হার (r)=<strong>৫%বা৫১০০(r) = <strong>৫\% বা \frac{৫}{১০০}।
$I = ৫০০০ \times ২ \times \frac{৫}{১০০} = ৫০০ টাকা।
ধাপ ২: চক্রবৃদ্ধি সুদ (CI) নির্ণয়:
চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে সবৃদ্ধিমূল (C)=P(1+r)n(C) = P(1+r)^n
C=৫০০০(১+৫১০০)২=৫০০০(১০৫১০০)২=৫০০০×১১০২৫১০০০০=<strong>৫৫১২.৫টাকা</strong>।<br/>অতএব,চক্রবৃদ্ধিসুদC = ৫০০০(১+\frac{৫}{১০০})^২ = ৫০০০(\frac{১০৫}{১০০})^২ = ৫০০০ \times \frac{১১০২৫}{১০০০০} = <strong>৫৫১২.৫ টাকা</strong>।<br/>অতএব, চক্রবৃদ্ধি সুদ (CI) = C - P = ৫৫১২.৫ - ৫০০০ = ৫১২.৫ টাকা।
ধাপ ৩: পার্থক্য নির্ণয়:
সরল সুদ ও চক্রবৃদ্ধি সুদের পার্থক্য = $৫১২.৫ - ৫০০ = ১২.৫ টাকা।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ১২.৫ টাকা (অপশন খ)। অন্যান্য অপশন (১০, ১৫, ২৫) ভুল, কারণ তারা সুদের পার্থক্যের সঠিক গাণিতিক ফলাফল দেয় না।
49

একটি দ্রব্য বিক্রি করে বিক্রেতার ১০% ক্ষতি হলো। বিক্রয় মূল্য ১৩৫ টাকা বেশি হলে বিক্রেতার ২০% লাভ হতো । দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত টাকা?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    420
  2. 450
  3. গ
    460
  4. ঘ
    480

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন : একটি দ্রব্য বিক্রি করে বিক্রেতার ১০% ক্ষতি হলো। বিক্রয় মূল্য ১৩৫ টাকা বেশি হলে বিক্রেতার ২০% লাভ হতো । দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য কত টাকা?
সমাধান : 
মনে করি,
বইটির ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।

১০% ক্ষতিতে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ - ১০) টাকা = ৯০ টাকা।
এবং ২০% লাভে, বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২০) টাকা = ১২০ টাকা।

সুতরাং বিক্রয়মূল্য বেশি = (১২০ - ৯০) = ৩০ টাকা।

বিক্রয়মূল্য ৩০ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০/৩০ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১৩৫ টাকা বেশি হলে ক্রয়মূল্য ১০০×১৩৫/৩০ টাকা
                                                             = ৪৫০ টাকা।

ব্যাখ্যা

এটি শতকরা ও লাভ-ক্ষতির একটি ক্লাসিক প্রশ্ন, যা NTRCA পরীক্ষায় প্রায়শই আসে। সঠিক উত্তর হলো ৪৫০ টাকা (অপশন খ)।
ধরি, দ্রব্যটির ক্রয়মূল্য (CP) হলো ১০০%।
প্রথম ক্ষেত্রে, ১০% ক্ষতিতে বিক্রয়মূল্য (SP1) = (১০০−১০)%=৯০%(১০০ - ১০)\% = ৯০\%।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, ২০% লাভে বিক্রয়মূল্য (SP2) = (১০০+২০)%=১২০%(১০০ + ২০)\% = ১২০\%।
বিক্রয়মূল্য বৃদ্ধি বা পার্থক্য (SP2 - SP1) = (১২০−৯০)%=৩০%(১২০ - ৯০)\% = ৩০\%।
প্রশ্নমতে, এই ৩০% বেশি বিক্রয়মূল্যের জন্যই ১৩৫ টাকা বেশি পাওয়া গিয়েছিল। অর্থাৎ, ক্রয়মূল্যের ৩০% = ১৩৫ টাকা।
সুতরাং, যদি ৩০% = ১৩৫ টাকা হয়,
তাহলে ১% = ১৩৫৩০\frac{১৩৫}{৩০} টাকা।
এবং ক্রয়মূল্য (১০০%) = ১৩৫×১০০৩০\frac{১৩৫ \times ১০০}{৩০} টাকা।
হিসাব করলে পাওয়া যায়: ১৩৫০০৩০=৪৫০\frac{১৩৫০০}{৩০} = ৪৫০ টাকা।
অন্যান্য অপশনগুলো (৪২০, ৪৬০, ৪৮০) ভুল, কারণ তারা এই শতকরার শর্ত পূরণ করে না।
50

দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৩ : ২। বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২ : ৩
  2. খ
    ৩ : ৪
  3. গ
    ৪ : ৯
  4. ৯ : ৪

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন : দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৩ : ২। বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
সমাধান : 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2; এখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
বৃত্তদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π × ৩২ : π × ২২ = ৯ : ৪

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো A=πr2A = \pi r^2, যেখানে rr হলো বৃত্তটির ব্যাসার্ধ (Radius)। এই সূত্র থেকে বোঝা যায় যে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের বর্গের (Square) সমানুপাতিক।
প্রশ্ন অনুযায়ী, প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ r1r_1 এবং দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ r2r_2 এর অনুপাত r1:r2=3:2r_1 : r_2 = 3 : 2
ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে: A1:A2=πr12:πr22A_1 : A_2 = \pi r_1^2 : \pi r_2^2
উভয় পক্ষ থেকে ধ্রুবক π\pi বাদ দিলে পাই:
ক্ষেত্রফলের অনুপাত =r12:r22= r_1^2 : r_2^2
মান বসিয়ে পাই: $3^2 : 2^2 = ৯ : ৪।
এই ধরনের প্রশ্নে অনেকেই ভুলবশত 2:32:3 বা 4:94:9 নির্বাচন করেন। 4:94:9 (অপশন C) ভুল কারণ এটি দ্বিতীয় বৃত্তের ক্ষেত্রফল : প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে। প্রশ্নে চাওয়া হয়েছে 'বৃত্তদ্বয়ের' অর্থাৎ প্রথমটি : দ্বিতীয়টি, তাই সঠিক ক্রম হলো ৯ : ৪।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
51

 ৯,৮০০ টাকা ২ : ৩ : ৪ : ৫ অনুপাতে ভাগ করলে বৃহত্তর এবং ক্ষুদ্রতর অংশের পার্থক্য কত টাকা হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ২,১০০ টাকা
  2. খ
    ২,২০০ টাকা
  3. গ
    ২,৫০০ টাকা
  4. ঘ
    ৩,৫০০ টাকা

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন : ৯,৮০০ টাকা ২ : ৩ : ৪ : ৫ অনুপাতে ভাগ করলে বৃহত্তর এবং ক্ষুদ্রতর অংশের পার্থক্য কত টাকা হবে?
সমাধান : 
প্রদত্ত অনুপাত = ২ : ৩ : ৪ : ৫
অনুপাতগুলোর যোগফল = ২ + ৩ + ৪ + ৫ = ১৪

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯,৮০০ এর ২/১৪ = ১,৪০০
বৃহত্তম সংখ্যা = ৯,৮০০ এর ৫/১৪ = ৩,৫০০

∴ বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য = ৩,৫০০ - ১,৪০০ = ২১০০ টাকা

ব্যাখ্যা

এই ধরনের অঙ্কে, প্রথমে প্রদত্ত অনুপাতগুলোর যোগফল বের করতে হয়।
প্রদত্ত অনুপাত = ২ : ৩ : ৪ : ৫
অনুপাতগুলোর যোগফল = ২+৩+৪+৫=<strong>১৪</strong>২ + ৩ + ৪ + ৫ = <strong>১৪</strong>
এখানে, ক্ষুদ্রতম অংশ হলো অনুপাতের সর্বনিম্ন সংখ্যাটি (২), এবং বৃহত্তর অংশ হলো সর্বোচ্চ সংখ্যাটি (৫)।
ক্ষুদ্রতম অংশের মান = ৯,৮০০×২১৪=৯,৮০০÷৭=<strong>১,৪০০</strong>৯,৮০০ \times \frac{২}{১৪} = ৯,৮০০ \div ৭ = <strong>১,৪০০</strong> টাকা।
বৃহত্তর অংশের মান = ৯,৮০০×৫১৪=<strong>৩,৫০০</strong>৯,৮০০ \times \frac{৫}{১৪} = <strong>৩,৫০০</strong> টাকা।
অতএব, বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য = ৩,৫০০−১,৪০০=<strong>২,১০০</strong>৩,৫০০ - ১,৪০০ = <strong>২,১০০</strong> টাকা।
সঠিক উত্তর হলো অপশন (ক) ২,১০০ টাকা।
52

log√33 + log42 = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২/৫
  2. ৫/২
  3. গ
    ৭/৪
  4. ঘ
    ১১/২

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন : log√33 + log42 = কত?
সমাধান : 
log√33 + log42
= log√3(√3)2 + log4√4
= 2.log√3(√3) + (1/2)log44
= 2.1 + (1/2).1
= 2 + 1/2
= 5/2

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি সমাধানের জন্য লগারিদম বা সূচকের মৌলিক সূত্রগুলো প্রয়োগ করতে হবে। রাশিটিকে দুটি অংশে ভাগ করে সমাধান করা হলো: log⁡33\log_{\sqrt{3}}3 এবং log⁡42।\log_{4}2।
প্রথম অংশ: log⁡33\log_{\sqrt{3}}3
আমরা জানি, 3=(3)23 = (\sqrt{3})^2
সুতরাং, log⁡33=log⁡3(3)2\log_{\sqrt{3}}3 = \log_{\sqrt{3}}(\sqrt{3})^2
লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী (log⁡abn=nlog⁡ab\log_a b^n = n\log_a b), 22 সামনে চলে আসে: 2⋅log⁡332 \cdot \log_{\sqrt{3}}\sqrt{3}।
যেহেতু log⁡aa=1\log_a a = 1, তাই log⁡33=1\log_{\sqrt{3}}\sqrt{3} = 1। সুতরাং, প্রথম অংশের মান 2⋅1=<strong>2</strong>2 \cdot 1 = <strong>2</strong>।
দ্বিতীয় অংশ: log⁡42\log_{4}2
আমরা জানি, 2=4=41/22 = \sqrt{4} = 4^{1/2}
সুতরাং, log⁡42=log⁡441/2\log_{4}2 = \log_{4}4^{1/2}
একই সূত্র অনুযায়ী, 12\frac{1}{2} সামনে চলে আসে: 12⋅log⁡44\frac{1}{2} \cdot \log_{4}4।
সুতরাং, দ্বিতীয় অংশের মান 12⋅1=<strong>12</strong>\frac{1}{2} \cdot 1 = <strong>\frac{1}{2}</strong>।
মোট মান: 2+12=4+12=<strong>52</strong>2 + \frac{1}{2} = \frac{4+1}{2} = <strong>\frac{5}{2}</strong>।
53

অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    60°
  2. খ
    70°
  3. 90°
  4. ঘ
    120°

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমান এক সমকোণ অর্থাৎ ৯০ ডিগ্রী অর্থাৎ এক সরলকোণের অর্ধেক।
সুতরাং, অর্ধ বৃত্তস্থ কোন = ৯০°

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি বৃত্ত সম্পর্কিত জ্যামিতির একটি মৌলিক উপপাদ্য থেকে এসেছে।
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ (Angle in a Semicircle) হলো সেই কোণ যা একটি বৃত্তের ব্যাস (Diameter) দ্বারা পরিধির উপর যে কোনো বিন্দুতে উৎপন্ন হয়।
জ্যামিতির একটি প্রতিষ্ঠিত উপপাদ্য অনুযায়ী, অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান সর্বদা এক সমকোণ বা 90∘90^\circ হয়।
এখানে, অপশন (৩) 90∘90^\circ সঠিক উত্তর।
54

(√3 × √5)4 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    30
  2. খ
    60
  3. 225
  4. ঘ
    150

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন : (√3 × √5)4 এর মান কত?
সমাধান : 
= (√15)4
= (151/2)4
= 152
= 225

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সূচক বা Indices-এর মৌলিক নিয়মের উপর নির্ভরশীল। প্রথমে বন্ধনীর ভিতরের অংশটিকে সরল করতে হবে।
১. বন্ধনীর ভিতরের গুণ: আমরা জানি, a×b=a×b\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}।
অতএব, $\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{3 \times 5} = \textbf{\sqrt{15}}$ ।
২. এখন রাশিটি দাঁড়ায়: (15)4(\sqrt{15})^4
৩. আমরা জানি, বর্গমূলকে সূচকের মাধ্যমে প্রকাশ করলে পাওয়ার 12\frac{1}{2} হয়, অর্থাৎ $\sqrt{15} = \textbf{15^{1/2}}$ ।
৪. এখন মান বসিয়ে পাই: (151/2)4(15^{1/2})^4 । সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, (am)n=am×n(a^m)^n = a^{m \times n}।
৫. সুতরাং, 15(12×4)=15215^{(\frac{1}{2} \times 4)} = 15^2
৬. 152=15×15=22515^2 = 15 \times 15 = \textbf{225} ।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: 225।
55

 যদি a2 + 1/a2 = 51 হয়, তবে (a - 1/a) এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ±9
  2. ±7
  3. গ
    ±5
  4. ঘ
    ±3

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন : যদি a2 + 1/a2 = 51 হয়, তবে (a - 1/a) এর মান কত?
সমাধান :
a2+1/a2= 51
⇒ (a - 1/a)2+2.a.1/a = 51
⇒ (a - 1/a)2= 49
∴ a - 1/a = ±7

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি সমাধানের জন্য বীজগণিতের একটি মৌলিক সূত্র ব্যবহার করতে হবে। আমাদের জানা আছে, মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে দুটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র হলো:
১. a2+b2=(a−b)2+2aba^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab
২. a2+b2=(a+b)2−2aba^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab
যেহেতু আমাদের (a−1/a)(a - 1/a) এর মান বের করতে হবে এবং a2+1/a2a^2 + 1/a^2 এর মান দেওয়া আছে, তাই আমরা প্রথম সূত্রটি ব্যবহার করব। এক্ষেত্রে b=1/ab = 1/a।
প্রদত্ত মান: a2+1/a2=51a^2 + 1/a^2 = 51
সূত্র প্রয়োগ করে পাই:
(a−1/a)2+2⋅a⋅1/a=51(a - 1/a)^2 + 2 \cdot a \cdot 1/a = 51
বা, (a−1/a)2+2=51(a - 1/a)^2 + 2 = 51
বা, (a−1/a)2=51−2(a - 1/a)^2 = 51 - 2
বা, (a−1/a)2=49(a - 1/a)^2 = 49
উভয়পাশে বর্গমূল করলে, আমরা পাই:
a−1/a=±49a - 1/a = \pm \sqrt{49}
a−1/a=±7a - 1/a = \pm 7
সঠিক উত্তর হলো ±7 (অপশন ২)। অন্য মানগুলো (±9, ±5, ±3) সূত্র প্রয়োগের সাথে মেলে না।
56

 যদি (a/b)x-3 = (b/a)x-5 হয়, তবে x এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    8
  2. খ
    5
  3. 4
  4. ঘ
    3

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন : যদি (a/b)x-3 = (b/a)x-5 হয়, তবে x এর মান কত?
সমাধান :
(a/b)x-3 = (b/a)x-5
or, x - 3 = 5 - x
or, x + x = 3 + 5
or, 2x = 8
or, x = 4

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সূচক (Indices) সংক্রান্ত বীজগণিতের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সমস্যার প্রকারভেদ। NTRCA সহ যেকোনো নিয়োগ পরীক্ষায় এই ধরণের প্রশ্ন প্রায়ই আসে।
সমীকরণটি হলো: (ab)x−3=(ba)x−5\left(\frac{a}{b}\right)^{x-3} = \left(\frac{b}{a}\right)^{x-5}
সমাধান করার মূল ধাপটি হলো উভয় পক্ষের ভিত্তি (Base) সমান করা। আমরা জানি, (ba)=(ab)−1\left(\frac{b}{a}\right) = \left(\frac{a}{b}\right)^{-1}
তাই, ডানপক্ষের রাশিটি দাঁড়ায়: (ba)x−5=[(ab)−1]x−5=(ab)−(x−5)=(ab)5−x\left(\frac{b}{a}\right)^{x-5} = \left[\left(\frac{a}{b}\right)^{-1}\right]^{x-5} = \left(\frac{a}{b}\right)^{-(x-5)} = \left(\frac{a}{b}\right)^{5-x}
এখন সমীকরণটি হলো: (ab)x−3=(ab)5−x\left(\frac{a}{b}\right)^{x-3} = \left(\frac{a}{b}\right)^{5-x}
যেহেতু ভিত্তি সমান, তাই সূচকগুলোও সমান হবে: x−3=5−xx-3 = 5-x
পক্ষের পরিবর্তন করলে: x+x=5+3x+x = 5+3 2x=82x = 8 x=82=4x = \frac{8}{2} = 4
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 4। অন্য বিকল্পগুলো (8, 5, 3) ভুল, কারণ তারা সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে না।
57

 যদি x = ya , y = zb এবং z = xc হয়, তখন abc এর মান হয় -

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4
  2. খ
    3
  3. গ
    2
  4. 1

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন : যদি x = ya , y = zb এবং z = xc হয়, তখন abc এর মান হয় -
সমাধান :
দেয়া আছে,  
x = ya, y = zb এবং z= xc

এখন, 
z = xc
⇒ xc = z
⇒ (ya)c = z
⇒ yac = z
⇒ (zb)ac = z
⇒ zabc = z
⇒ zabc = z1
⇒ abc = 1

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি সূচকের (Indices) মূলসূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা হয়। আমাদের লক্ষ্য হলো x,y,zx, y, z এর মধ্যে সূচকগুলির (a, b, c) মাধ্যমে একটি সম্পর্ক স্থাপন করা।
প্রথমে প্রদত্ত সমীকরণগুলো দেখি: x=yax = y^a, y=zby = z^b এবং z=xcz = x^c
আমরা z=xcz = x^c সমীকরণ থেকে শুরু করে চক্রাকারে মান বসাতে থাকি।
১. z=xcz = x^c
২. এখন xx-এর পরিবর্তে yay^a বসানো হলো: z=(ya)c=<strong>yac</strong>z = (y^a)^c = <strong>y^{ac}</strong> (কারণ (pm)n=pmn(p^m)^n = p^{mn})
৩. এখন yy-এর পরিবর্তে zbz^b বসানো হলো: z=(zb)ac=<strong>zabc</strong>z = (z^b)^{ac} = <strong>z^{abc}</strong>
বাম দিকে zz এর সূচক হলো 11 (অর্থাৎ z=z1z = z^1)।
সুতরাং, আমরা পেলাম zabc=z1z^{abc} = z^1
সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, যখন ভিত্তি (Base) সমান হয় এবং ভিত্তি 00 বা 11 না হয়, তখন সূচকগুলিও সমান হয়।
অতএব, abc=1abc = 1 হবে।
সঠিক উত্তর হলো: 1।
58

তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সেন্টিমিটারে দেওয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২, ৫ এবং ৮
  2. খ
    ৫, ৪ এবং ৯
  3. ৩, ৪ এবং ৫
  4. ঘ
    সকল ক্ষেত্রে

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন : তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সেন্টিমিটারে দেওয়া হলো। কোন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব?
সমাধান : 
আমরা জানি,
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
এখানে,
২ + ৫ < ৮
৫ + ৪ = ৯
সুতরাং এক্ষেত্রে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।


৩, ৪ এবং ৫ হলে ত্রিভুজ অঙ্কন করা সম্ভব।

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ৩, ৪ এবং ৫।
এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য আমাদের ত্রিভুজ অসমতা উপপাদ্য (Triangle Inequality Theorem) জানতে হবে। এই উপপাদ্য অনুযায়ী, একটি ত্রিভুজ তখনই অঙ্কন করা সম্ভব, যখন এর যে কোনো দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি অবশ্যই তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর হয়।
সঠিক বিকল্প (৩, ৪, ৫) যাচাই করা যাক:
১. ৩+৪=৭৩ + ৪ = ৭, যা তৃতীয় বাহু ৫ অপেক্ষা বৃহত্তর। (৭>৫৭ > ৫)
২. ৪+৫=৯৪ + ৫ = ৯, যা তৃতীয় বাহু ৩ অপেক্ষা বৃহত্তর। (৯>৩৯ > ৩)
৩. ৩+৫=৮৩ + ৫ = ৮, যা তৃতীয় বাহু ৪ অপেক্ষা বৃহত্তর। (৮>৪৮ > ৪)
যেহেতু সব শর্ত পূরণ হয়েছে, তাই এই বাহুগুলো দ্বারা ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব।
ভুল বিকল্প (২, ৫ এবং ৮): এখানে ছোট দুটি বাহুর সমষ্টি ২+৫=৭২ + ৫ = ৭, যা বৃহত্তম বাহু ৮ অপেক্ষা ছোট। (৭<৮৭ < ৮)। তাই ত্রিভুজ সম্ভব নয়।
ভুল বিকল্প (৫, ৪ এবং ৯): এখানে ছোট দুটি বাহুর সমষ্টি ৫+৪=৯৫ + ৪ = ৯, যা বৃহত্তম বাহু ৯ এর সমান। সমান হলে ত্রিভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়, অবশ্যই বৃহত্তর হতে হবে।
59

একটি আয়তাকার ঘরের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের ২/৩ অংশ। ঘরটির পরিসীমা ৪০ মিটার হলে তার ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 96
  2. খ
    72
  3. গ
    64
  4. ঘ
    60

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন : একটি আয়তাকার ঘরের প্রস্থ তার দৈর্ঘ্যের ২/৩ অংশ। ঘরটির পরিসীমা ৪০ মিটার হলে তার ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?
সমাধান : 

ধরি, ঘরটির দৈর্ঘ্য ৩ক মিটার
∴ প্রস্থ = ৩ক×(২/৩) = ২ক মিটার

∴ পরিসীমা = ২(৩ক+২ক) = ১০ক

শর্তমতে,
১০ক = ৪০
∴ ক = ৪মিটার

ঘরটির ক্ষেত্রফল = ৩ক×২ক = ৩×৪×২×৪ = ৯৬ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

এটি পরিমিতির একটি সাধারণ কিন্তু অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা। সঠিক উত্তরটি হলো ৯৬ বর্গমিটার।
ধরি, আয়তাকার ঘরটির দৈর্ঘ্য LL এবং প্রস্থ WW।
প্রশ্নমতে, প্রস্থ (W) তার দৈর্ঘ্যের 23\frac{2}{3} অংশ। অর্থাৎ W=23LW = \frac{2}{3}L। এর মানে হলো দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত L:W=3:2L:W = 3:2।
আমরা ধরি, দৈর্ঘ্য L=3kL = 3k এবং প্রস্থ W=2kW = 2k।
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সূত্র হলো: P=2(L+W)P = 2(L + W)।
এখানে পরিসীমা P=40P = 40 মিটার।
সুতরাং, 40=2(3k+2k)→40=2(5k)→40=10k40 = 2(3k + 2k) \rightarrow 40 = 2(5k) \rightarrow 40 = 10k।
অতএব, k=4k = 4 মিটার।
বাস্তব দৈর্ঘ্য L=3k=3×4=12L = 3k = 3 \times 4 = 12 মিটার।
বাস্তব প্রস্থ W=2k=2×4=8W = 2k = 2 \times 4 = 8 মিটার।
ক্ষেত্রফল হলো A=L×W=12×8=<strong>96A = L \times W = 12 \times 8 = <strong>96 বর্গমিটার।
60

 যদি 3m = 81 হয়, তবে m3 = ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    9
  2. খ
    16
  3. গ
    27
  4. 64

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন : যদি 3m = 81 হয়, তবে m3 = ?
সমাধান :
দেওয়া আছে, 
3m = 81
বা, 3m = 34
বা, m = 4
বা, m3 = 43
বা, m3 = 64

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সূচক (Indices) সংক্রান্ত একটি মৌলিক সমস্যা। আমাদের প্রথমে 3m=813^m = 81 সমীকরণটি সমাধান করে m এর মান নির্ণয় করতে হবে।
আমরা জানি, 8181 হলো 33 এর চতুর্থ ঘাত। অর্থাৎ, 81=3481 = 3^4।
সুতরাং, সমীকরণটি দাঁড়ায়: 3m=343^m = 3^4।
সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, যদি ভিত্তি (Base) সমান হয়, তবে ঘাত বা সূচকও (Exponent) সমান হবে।
তাই, আমরা পাই: m=4m = 4।
প্রশ্নে m3m^3 এর মান জানতে চাওয়া হয়েছে।
এখন, m=4m=4 বসিয়ে পাই, m3=43m^3 = 4^3।
43=4imes4imes4=644^3 = 4 imes 4 imes 4 = 64।
সঠিক উত্তর: 64 (অপশন D)।
অন্যান্য অপশনগুলো ভুল, কারণ তারা m3m^3 এর সঠিক মান (6464) নির্দেশ করে না। যেমন, m2=42=16m^2 = 4^2 = 16 (যা অপশন B তে আছে)।
61

একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত হচ্ছে 2 : 3 : 4. কোণগুলোর মান হচ্ছে—

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    80°, 120°, 160°
  2. 40°, 60°, 80°
  3. গ
    30°, 45°, 15°
  4. ঘ
    30°, 50°, 90°

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন :  একটি ত্রিভুজের কোণগুলোর অনুপাত হচ্ছে 2 : 3 : 4. কোণগুলোর মান হচ্ছে—
সমাধান :

মনেকরি, কোণগুলো 2x, 3x, 4x ডিগ্রি
∴ 2x + 3x + 4x = 180°
বা, 9x = 180°
∴ x = 20°

১ম কোণ = 2x = 2 × 20° = 40°
২য় কোণ = 3x = 3 × 20° = 60° 
৩য় কোণ = 4x = 4 × 20° = 80°

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, যেকোনো ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি সর্বদা 180∘180^\circ (দুই সমকোণ)।
এখানে কোণগুলোর অনুপাত দেওয়া আছে 2 : 3 : 4। অনুপাতের মোট ভাগফল হলো: 2+3+4=92 + 3 + 4 = 9.
অতএব, 99 ভাগ অনুপাত =180∘= 180^\circ.
১ ভাগ অনুপাত (x)(x) এর মান হবে: 180∘9=20∘\frac{180^\circ}{9} = 20^\circ.
এখন, কোণগুলোর মান নির্ণয় করি:
১ম কোণ: 2×20∘=40∘2 \times 20^\circ = 40^\circ
২য় কোণ: 3×20∘=60∘3 \times 20^\circ = 60^\circ
৩য় কোণ: 4×20∘=80∘4 \times 20^\circ = 80^\circ
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 40°, 60°, 80°।
62

 যদি একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 4 সে.মি. এবং 6 সে.মি. হয়, তবে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    6
  2. খ
    8
  3. 12
  4. ঘ
    24

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন : যদি একটি রম্বসের কর্ণদ্বয় যথাক্রমে 4 সে.মি. এবং 6 সে.মি. হয়, তবে রম্বসের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
সমাধান : 
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = 1/2 × কর্ণদ্বয়ের গুণফল।
                           = 1/2 × 4 × 6
                           = 12 বর্গ সে.মি.।

ব্যাখ্যা

রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য সরাসরি একটি সূত্র ব্যবহার করা হয়।
সূত্রটি হলো: রম্বসের ক্ষেত্রফল = 12\frac{1}{2} × কর্ণদ্বয়ের গুণফল।
এখানে, কর্ণদ্বয় (d1d_1 এবং d2d_2) যথাক্রমে 4 সে.মি. এবং 6 সে.মি.।
মান বসিয়ে পাই: ক্ষেত্রফল =12×4×6= \frac{1}{2} \times 4 \times 6
ক্ষেত্রফল =242=12= \frac{24}{2} = 12 বর্গ সে.মি.।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 12 (অপশন ৩)। অন্যান্য অপশনগুলি (6, 8, 24) ভুল কারণ এগুলি হয় শুধু কর্ণদ্বয়ের গুণফল (24), অথবা অন্য কোনো ভুল প্রক্রিয়া ব্যবহার করে পাওয়া গিয়েছে।
63

1 - a2 + 2ab – b2 এর উৎপাদক কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. (1 + a – b) (1 - a + b)
  2. খ
    (1 + a + b) (1 - a + b)
  3. গ
    (1 + a + b) (1 - a - b)
  4. ঘ
    (1 - a + b) (1 - a - b)

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন : 1 - a2 + 2ab – b2 এর উৎপাদক কোনটি?
সমাধান :
1 - a² + 2ab - b²
= 1 - (a² - 2ab + b²)
= 1² - (a - b)²
= (1 + a - b)(1 - a +b)

ব্যাখ্যা

এই উৎপাদক বিশ্লেষণটি সরাসরি বর্গ ও বর্গের বিয়োগফলের সূত্র প্রয়োগ করে করা হয়েছে।
প্রথমে প্রদত্ত রাশিটিকে সাজিয়ে নিন: 1−a2+2ab–b21 - a^2 + 2ab – b^2
a, b সম্পর্কিত পদগুলোকে ব্র্যাকেটের মধ্যে নিন এবং ব্র্যাকেটের বাইরে মাইনাস (-) চিহ্ন কমন নিন। এক্ষেত্রে চিহ্নের পরিবর্তন হবে:
1−(a2−2ab+b2)1 - (a^2 - 2ab + b^2)
ব্র্যাকেটের ভেতরের অংশটি বীজগণিতের পূর্ণ বর্গ সূত্র [(a−b)2][(a-b)^2] এর সাথে হুবহু মিলে যায়।
সুতরাং, আমরা পাই: 12−(a−b)21^2 - (a - b)^2
এখন এটি A2−B2A^2 - B^2 (যেখানে A=1A=1 এবং B=(a−b)B=(a-b)) আকারে আছে। এর উৎপাদক হলো (A+B)(A−B)(A+B)(A-B)।
উৎপাদক: (1+(a−b))(1−(a−b))(1 + (a - b)) (1 - (a - b))
ব্র্যাকেট উঠিয়ে দিলে পাই: (1+a−b)(1−a+b)(1 + a - b)(1 - a + b)।
এটি অপশন (১)-এ দেওয়া আছে। অন্যান্য অপশনগুলোতে চিহ্নের ভুল রয়েছে, যা ভুল উত্তরে পরিণত হবে।
64

4x2 - 20x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4
  2. খ
    9
  3. গ
    16
  4. 25

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন : 4x2 - 20x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?
সমাধান :
 4x2 - 20x
= (2x)2 - 2.2x.5 + 52 - 52
= (2x - 5)2 - 25
∴   4x2 - 20x এর সাথে 25 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

ব্যাখ্যা

এটি একটি আদর্শ পূর্ণবর্গ (Perfect Square) সম্পন্ন করার প্রশ্ন। পূর্ণবর্গ করার জন্য আমাদের রাশিটিকে (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 অথবা (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 আকারে সাজাতে হবে।
প্রদত্ত রাশি: 4x2−20x4x^2 - 20x
১. 'a' নির্ণয়: প্রথম পদ 4x24x^2 কে (2x)2(2x)^2 আকারে লেখা যায়। সুতরাং, a=2xa = 2x
২. 2ab2ab নির্ণয়: মধ্যপদটি হলো −20x-20x, যা 2ab2ab এর সমতুল্য।
আমরা পাই: 2ab=2⋅(2x)⋅b=4xb2ab = 2 \cdot (2x) \cdot b = 4xb.
প্রশ্নানুসারে: 4xb=20x4xb = 20x. (আমরা শুধু মান নিয়ে কাজ করছি)
অতএব, b=20x4x=5b = \frac{20x}{4x} = 5
৩. b2b^2 যোগ: রাশিটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে আমাদের শেষ পদ b2b^2 যোগ করতে হবে।
b2=52=<strong>25</strong>b^2 = 5^2 = <strong>25</strong>
সুতরাং, 4x2−20x+25=(2x−5)24x^2 - 20x + 25 = (2x - 5)^2, যা একটি পূর্ণবর্গ।
সঠিক উত্তর হলো 25।
65

৭০° কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২০°
  2. ১১০°
  3. গ
    ২২০°
  4. ঘ
    ২৯০°

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন : ৭০° কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি?
সমাধান :
সম্পূরক কোনের ক্ষেত্রে কোণদ্বয়ের সমষ্টি ১৮০°
সুতরাং,  ৭০° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৭০° = ১১০°

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তরটি হলো: ১১০°।
গণিতে, যখন দুটি কোণের যোগফল ১৮০° (এক সরল কোণ) হয়, তখন কোণ দুটিকে একে অপরের সম্পূরক কোণ বলা হয়। একে ইংরেজিতে Supplementary Angle বলে।
এখানে প্রদত্ত কোণটি হলো ৭০°।
সুতরাং, সম্পূরক কোণটি হবে: ১৮০°−৭০°=১১০°১৮০° - ৭০° = ১১০°।
অনেকে ভুলবশত পূরক কোণের (৯০°) ধারণা ব্যবহার করে ২০° উত্তর দিতে পারেন, কিন্তু সেটি ভুল। সম্পূরক মানেই ১৮০°।
66

 ABCD চতুর্ভুজে AB ∥ CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    সামান্তরিক
  2. খ
    রম্বস
  3. আয়তক্ষেত্র
  4. ঘ
    ট্রাপিজিয়াম

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন : ABCD চতুর্ভুজে AB ∥ CD, AC = BD_এবং ∠A = 90° হলে সঠিক চতুর্ভুজ কোনটি?
সমাধান :
আমরা জানি,
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, কর্ণদ্বয় সমান ও একটি কোণ সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
সুতরাং ABCD চতুর্ভুজে AB || CD, AC = BD এবং ∠A = 90° হলে চতুর্ভুজ একটি আয়তক্ষেত্র হবে।

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: আয়তক্ষেত্র। চতুর্ভুজটি কেন আয়তক্ষেত্র হবে, তা এর সংজ্ঞার উপর নির্ভর করে।
একটি আয়তক্ষেত্র হলো এমন একটি সামান্তরিক, যার প্রতিটি কোণ সমকোণ (90∘90^\circ)। আয়তক্ষেত্রের কিছু বিশেষ বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
১. বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল (এখানে AB∥CDAB \parallel CD দেওয়া আছে, যা একটি সামান্তরিকের প্রাথমিক শর্ত পূরণের ইঙ্গিত দেয়)।
২. এর প্রতিটি কোণ 90∘90^\circ (এখানে ∠A=90∘\angle A = 90^\circ দেওয়া আছে)।
৩. এর কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান ও পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে (এখানে AC=BDAC = BD দেওয়া আছে)।
যেহেতু প্রশ্নটিতে একটি জোড়া বাহু সমান্তরাল (AB∥CDAB \parallel CD), কর্ণদ্বয় সমান (AC=BDAC = BD) এবং একটি কোণ সমকোণ (∠A=90∘\angle A = 90^\circ)—এই তিনটি শর্ত দেওয়া হয়েছে, এই সমন্বিত শর্তসমূহ একটি চতুর্ভুজকে আয়তক্ষেত্র হিসেবে প্রতিষ্ঠা করে।
যদি শুধু AB∥CDAB \parallel CD থাকতো, তবে তা ট্রাপিজিয়াম হতো। কিন্তু AC=BDAC=BD এবং 90∘90^\circ কোণের শর্ত তাকে সামান্তরিক থেকে বিশেষায়িত করে সরাসরি আয়তক্ষেত্রে পরিণত করে।
67

 x3 - 1, x3 + 1, x4 + x2 + 1 এর ল.সা.গু. কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    x8 – 1

  2. খ

    x7 – 1

  3. x6 – 1

  4. ঘ

    x5 – 1

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন : x3 - 1, x3 + 1, x4 + x2 + 1 এর ল.সা.গু. কত?

সমাধান :
১ম রাশি = x3 - 1 = (x - 1)(x²+ x +1)
২য় রাশি =  x3 + 1 = (x + 1)(x²- x + 1)
৩য় রাশি = x²+x²+1
             = (x²)²+2(x²)(1) + 1² − x²
             = (x² + 1)² − x²
             = (x²− x +1)(x²+ x +1)

সুতরাং, নির্ণেয় ল.সা.গু = (x - 1)(x²+ x +1)(x + 1)(x²- x + 1)
                                   = (x3 - 1)(x3 + 1)
                                   = (x3)2 - (1)2
                                   = x6 - 1

ব্যাখ্যা

শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষায় বীজগণিতের ল.সা.গু. (LCM) নির্ণয়ের ক্ষেত্রে উৎপাদক বিশ্লেষণ পদ্ধতি অপরিহার্য। প্রদত্ত তিনটি রাশিকে ধাপে ধাপে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে:
১. ১ম রাশি: x3−1x^3 - 1. এটি a3−b3a^3 - b^3 সূত্র প্রয়োগ করে পাওয়া যায়: (x−1)(x2+x+1)(x - 1)(x^2 + x + 1)।
২. ২য় রাশি: x3+1x^3 + 1. এটি a3+b3a^3 + b^3 সূত্র প্রয়োগ করে পাওয়া যায়: (x+1)(x2−x+1)(x + 1)(x^2 - x + 1)।
৩. ৩য় রাশি: x4+x2+1x^4 + x^2 + 1. এটিকে পূর্ণবর্গ (perfect square) পদ্ধতিতে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হয়: x4+x2+1=(x2+1)2−x2x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 - x^2.
এটি a2−b2a^2 - b^2 সূত্র অনুযায়ী ভাঙলে পাওয়া যায়: (x2−x+1)(x2+x+1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)।
৪. ল.সা.গু. (LCM) নির্ণয়: ল.সা.গু. হলো সকল রাশির উৎপাদকগুলোর সর্বোচ্চ ঘাতের গুণফল। এখানে সকল উৎপাদকগুলো একবার করে গুণ করতে হবে:
ল.সা.গু. = (x−1)(x2+x+1)⋅(x+1)(x2−x+1)(x - 1)(x^2 + x + 1) \cdot (x + 1)(x^2 - x + 1)
৫. এদেরকে পুনরায় সূত্র আকারে সাজালে:
ল.সা.গু. = [(x−1)(x2+x+1)]⋅[(x+1)(x2−x+1)][(x - 1)(x^2 + x + 1)] \cdot [(x + 1)(x^2 - x + 1)]
ল.সা.গু. = (x3−1)(x3+1)(x^3 - 1)(x^3 + 1)
৬. এটি a2−b2a^2 - b^2 সূত্র (a−b)(a+b)(a-b)(a+b) এর আকারে আছে, যেখানে a=x3a=x^3 এবং b=1b=1:
ল.সা.গু. =(x3)2−12=<strong>x6−1</strong>= (x^3)^2 - 1^2 = <strong>x^6 - 1</strong>।
অন্যান্য অপশনগুলো ভুল, কারণ তারা তিনটি রাশির উৎপাদকগুলোর গুণফল সঠিকভাবে প্রকাশ করে না।
68

2n ÷ 2n-1 = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 2
  2. খ
    2n+12^{n+1}
  3. গ
    2n
  4. ঘ
    2n−12^{n-1}

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন : 2n ÷ 2n-1 = কত?
সমাধান :
2n ÷ 2n-1
= 2n - n + 1
= 21
= 2

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: 2। এই সমস্যাটি সূচকের ভাগের নিয়ম (Division Rule of Indices) ব্যবহার করে সমাধান করা হয়।
সূচকের সূত্র অনুযায়ী, যদি ভিত্তি (base) একই হয়, তবে ভাগের ক্ষেত্রে সূচকগুলো (exponents) বিয়োগ হয়। অর্থাৎ, aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}।
এখানে, 2n÷2n−12^n \div 2^{n-1} রাশিটিতে ভিত্তি 2 এবং সূচকগুলো হলো nn এবং n−1n-1।
অতএব, 2n÷2n−1=2n−(n−1)2^n \div 2^{n-1} = 2^{n - (n-1)}।
পাওয়ার বিয়োগ করলে আমরা পাই: n−(n−1)=n−n+1=1n - (n-1) = n - n + 1 = 1।
সুতরাং, চূড়ান্ত ফল হলো 212^1 বা 2।
69

 ৮৮, ৯১, ৯৫ এবং ৯৯ সংখ্যাগুলোর মধ্যে কোন সংখ্যাটির সর্বোচ্চ সংখ্যক উৎপাদক রয়েছে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 88
  2. খ
    91
  3. গ
    95
  4. ঘ
    99

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

৮৮ = ২ × ২ × ২ × ১১
         = ২৩ × ১১
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ৩ + ১) × (১ + ১) = ৮

৯১ = ৭ × ১৩
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ১ + ১) × (১+১) = ৪

৯৫ = ৫ × ১৯
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ১ + ১) × (১+১) = ৪

৯৯ = ৩ × ৩ × ১১
        = ৩২ × ১১
∴ ভাজক সংখ্যা = ( ২ + ১) × (১ + ১) = ৬

সুতরাং ৮৮ এর সর্বোচ্চ ভাজক সংখ্যা আছে।

ব্যাখ্যা

কোনো সংখ্যার উৎপাদক বা ভাজক সংখ্যা নির্ণয় করার জন্য, প্রথমে সংখ্যাটিকে তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর গুণফল আকারে প্রকাশ করতে হয় (Prime Factorization)।
ধরি, একটি সংখ্যা N=p1a1×p2a2×…N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \dots, যেখানে pp গুলো মৌলিক সংখ্যা এবং aa গুলো তাদের সূচক।
তাহলে, মোট ভাজক সংখ্যা হবে: (a1+1)(a2+1)…(a_1+1)(a_2+1)\dots
আমরা সংখ্যাগুলোর ভাজক সংখ্যা নির্ণয় করি:
৮৮: 88=2×2×2×11=23×11188 = 2 \times 2 \times 2 \times 11 = 2^3 \times 11^1
ভাজক সংখ্যা: (3+1)×(1+1)=4×2=<strong>8</strong>(3+1) \times (1+1) = 4 \times 2 = <strong>8</strong>
৯১: 91=71×13191 = 7^1 \times 13^1
ভাজক সংখ্যা: (1+1)×(1+1)=2×2=4(1+1) \times (1+1) = 2 \times 2 = 4
৯৫: 95=51×19195 = 5^1 \times 19^1
ভাজক সংখ্যা: (1+1)×(1+1)=2×2=4(1+1) \times (1+1) = 2 \times 2 = 4
৯৯: 99=3×3×11=32×11199 = 3 \times 3 \times 11 = 3^2 \times 11^1
ভাজক সংখ্যা: (2+1)×(1+1)=3×2=6(2+1) \times (1+1) = 3 \times 2 = 6
সুতরাং, সংখ্যাগুলোর মধ্যে ৮৮ (আটটি ভাজক) এর উৎপাদক সংখ্যা সর্বোচ্চ।
70

পানিভর্তি একটি বালতির ওজন ১২ কেজি। বালতির অর্ধেক পানিভর্তি হলে তার ওজন দাঁড়ায় ৭ কেজি। খালি বালতির ওজন কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৫ কেজি
  2. খ
    ৭ কেজি
  3. ২ কেজি
  4. ঘ
    ১ কেজি

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

বালতি + পানি = ১২ কেজি 
 অর্ধেক পানিভর্তি বালতির ওজন = ৭ কেজি 

বাকি অর্ধেক পানির ওজন = ১২ - ৭ = ৫ কেজি 

বালতির ওজন + অর্ধেক পানির ওজন = ৭ কেজি 
                         অর্ধেক পানির ওজন  = ৫ কেজি 

বালতির ওজন = (৭ - ৫) = ২ কেজি

ব্যাখ্যা

এটি একটি মৌলিক পাটিগণিত এবং সরল সমীকরণ সম্পর্কিত প্রশ্ন যা শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষায় অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
ধরি, বালতির ওজন (B) এবং সম্পূর্ণ পানির ওজন (W)।
প্রশ্নমতে,
১. বালতি + সম্পূর্ণ পানি (B + W) = ১২ কেজি (i)
২. বালতি + অর্ধেক পানি (B + W/2) = ৭ কেজি (ii)
সমীকরণ (i) থেকে সমীকরণ (ii) বিয়োগ করে আমরা পাই:
(B + W) - (B + W/2) = ১২ - ৭
W - W/2 = ৫ কেজি
অতএব, বালতির অর্ধেক পানির ওজন (W/2) হলো ৫ কেজি।
এখন, অর্ধেক ভর্তি বালতির ওজন (ii) থেকে অর্ধেক পানির ওজন বাদ দিলে খালি বালতির ওজন পাওয়া যায়:
খালি বালতির ওজন (B) = ৭ কেজি - ৫ কেজি = ২ কেজি।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ২ কেজি।
71

একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল এর কতগুণ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3
  2. 9
  3. গ
    18
  4. ঘ
    27

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ধরি,
সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য = x
সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ = x²
সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গ = (x/3)2 বা, x2/9

একটি সরল রেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের 9 গুণ।

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি মূলত অনুপাতের মাধ্যমে ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের একটি সহজ গাণিতিক সমস্যা।
ধরি, মূল সরলরেখাটির দৈর্ঘ্য হলো LL একক।
১. মূল সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল: A1=L×L=L2A_1 = L \times L = L^2 বর্গ একক।
২. সরলরেখাটির এক-তৃতীয়াংশের দৈর্ঘ্য: L2=L3L_2 = \frac{L}{3} একক।
৩. এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল: A2=(L3)2=L29A_2 = (\frac{L}{3})^2 = \frac{L^2}{9} বর্গ একক।
এখন, প্রথম ক্ষেত্রফলটি দ্বিতীয় ক্ষেত্রফলের কতগুণ, তা নির্ণয় করতে হবে:
Ratio=A1A2=L2L29\text{Ratio} = \frac{A_1}{A_2} = \frac{L^2}{\frac{L^2}{9}}
Ratio=L2×9L2=9\text{Ratio} = L^2 \times \frac{9}{L^2} = 9
সুতরাং, একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ঐ সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল এর ৯ গুণ।
72

একটি আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার এবং প্রস্থ ১৬ মিটার। বাগানের পরিসীমা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    16
  2. খ
    25
  3. গ
    41
  4. 82

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

আয়তাকার বাগানের ক্ষেত্রফল ৪০০ বর্গমিটার এবং প্রস্থ ১৬ মিটার
আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য = ৪০০/১৬ = ২৫ মিটার 

আয়তাকার বাগানের পরিসীমা = ২(২৫ + ১৬) মিটার 
                                             = ৮২ মিটার

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি পরিমিতি অধ্যায় থেকে এসেছে, যেখানে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এবং পরিসীমার সূত্র প্রয়োগ করতে হবে।
১. প্রথমে আমাদের আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য (Length, L) নির্ণয় করতে হবে। আমরা জানি, ক্ষেত্রফল (Area) = দৈর্ঘ্য ×\times প্রস্থ (Width).
সুতরাং, দৈর্ঘ্য (L) = ক্ষেত্রফল ÷\div প্রস্থ।
মান বসিয়ে পাই: L=৪০০÷১৬=<strong>২৫L = ৪০০ \div ১৬ = <strong>২৫ মিটার।
২. এরপর আমরা পরিসীমার সূত্র ব্যবহার করব। আয়তাকার বস্তুর পরিসীমা (Perimeter, P) = ২×(extদৈর্ঘ্য+extপ্রস্থ)২ \times ( ext{দৈর্ঘ্য} + ext{প্রস্থ})।
সুতরাং, পরিসীমা = ২×(২৫+১৬)২ \times (২৫ + ১৬) মিটার।
পরিসীমা = ২×৪১=<strong>৮২২ \times ৪১ = <strong>৮২ মিটার।
বিকল্প উত্তরগুলোর মধ্যে, ২৫ হলো বাগানের দৈর্ঘ্য (যা প্রথম ধাপে বের করা হয়) এবং ৪১ হলো দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের যোগফল (অর্ধ-পরিসীমা), কিন্তু প্রশ্নে পূর্ণ পরিসীমা চাওয়া হয়েছে। তাই সঠিক উত্তর ৮২।
73

একজন ফল বিক্রেতা প্রতি হালি কলা ২৫ টাকা দরে ক্রয় করে প্রতি ২ হালি ৫৬ টাকা দরে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    24%
  2. 12%
  3. গ
    18%
  4. ঘ
    14%

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

১ হালি ডিমের ক্রয়মূল্য ২৫ টাকা
২ হালি ডিমের ক্রয়মূল্য ৫০ টাকা

২ হালি ডিমের বিক্রয়মূল্য ৫৬ টাকা
লাভ = ৫৬ - ৫০ = ৬ টাকা 

৫০ টাকায় লাভ হয় ৬ টাকা
∴ ১০০ টাকায় লাভ হয় = (১০০ × ৬)/৫০ = ১২ টাকা

ব্যাখ্যা

প্রশ্নে দেওয়া আছে, বিক্রেতা প্রতি হালি কলা ক্রয় করেন ২৫ টাকা দরে।
বিক্রয় করা হয় ২ হালি। তাই প্রথমে ২ হালি কলার ক্রয়মূল্য (CP) বের করতে হবে।
২ হালি কলার ক্রয়মূল্য = ২৫imes২=<strong>৫০টাকা</strong>২৫ imes ২ = <strong>৫০ টাকা</strong>।
২ হালি কলার বিক্রয়মূল্য (SP) = ৫৬ টাকা।
মোট লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য = ৫৬−৫০=<strong>৬টাকা</strong>৫৬ - ৫০ = <strong>৬ টাকা</strong>।
শতকরা লাভ নির্ণয়ের সূত্র হলো: শতকরা লাভ=মোট লাভক্রয়মূল্য×১০০\text{শতকরা লাভ} = \frac{\text{মোট লাভ}}{\text{ক্রয়মূল্য}} \times ১০০
অতএব, শতকরা লাভ = ৬৫০×১০০=<strong>১২%</strong>\frac{৬}{৫০} \times ১০০ = <strong>১২\%</strong>।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ১২%।
74

১০% সরল মুনাফায় ২০০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা কত টাকা হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ২০০ টাকা
  2. খ
    ৩০০ টাকা
  3. গ
    ৪০০ টাকা
  4. ঘ
    ১০০ টাকা

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

১০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা ১০ টাকা
১ টাকার ১ বছরের মুনাফা ১০/১০০ টাকা
২০০০ টাকার ১ বছরের মুনাফা (২০০০ × ১ × ১০)/১০০ = ২০০ টাকা।

ব্যাখ্যা

প্রিয় শিক্ষক, এটি সরল মুনাফার একটি মৌলিক প্রশ্ন যা NTRCA সহ সকল চাকরির পরীক্ষায় বারবার আসে।
সরল মুনাফা (Simple Interest) নির্ণয়ের সূত্রটি হলো:
I=PRT100I = \frac{P R T}{100}
যেখানে, II = মুনাফা, PP = আসল (Principal), RR = মুনাফার হার (Rate), এবং TT = সময় (Time).
এখানে প্রদত্ত মানগুলো হলো:
আসল (PP) = ২০০০ টাকা
মুনাফার হার (RR) = ১০%
সময় (TT) = ১ বছর
মানগুলো সূত্রে বসালে পাই:
I=২০০০×১০×১১০০I = \frac{২০০০ \times ১০ \times ১}{১০০}
I=২০০০০১০০I = \frac{২০০০০}{১০০}
I=<strong>২০০টাকাI = <strong>২০০ টাকা
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ২০০ টাকা (অপশন ০)। অন্যান্য উত্তরগুলো যেমন ৩০০ টাকা বা ৪০০ টাকা সঠিক ফলাফলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়, তাই সেগুলো ভুল।
75

9p2 + 14p এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 49/9
  2. খ
    14/9
  3. গ
    7/3
  4. ঘ
    7

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

9p2 + 14p
(3p)2 + 2 . 3p (7/3) + (7/3)2 -  (7/3)2 
{3p + (7/3)}2  - 49/9

49/9 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, পূর্ণবর্গ সংখ্যা মানে হলো রাশিটি (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 আকারে প্রকাশ করা।
প্রদত্ত রাশিটি হলো: 9p2+14p9p^2 + 14p
ধরি, প্রথম পদ a2=9p2a^2 = 9p^2। তাহলে, a=9p2=<strong>3p</strong>a = \sqrt{9p^2} = <strong>3p</strong>।
মধ্যপদ 2ab=14p2ab = 14p।
এখানে aa এর মান বসিয়ে পাই: 2⋅(3p)⋅b=14p2 \cdot (3p) \cdot b = 14p
বা, 6pb=14p6pb = 14p
বা, b=14p6p=<strong>73</strong>b = \frac{14p}{6p} = <strong>\frac{7}{3}</strong>
পূর্ণবর্গ করতে হলে আমাদের b2b^2 যোগ করতে হবে।
প্রয়োজনীয় পদটি হলো b2=(73)2=<strong>499</strong>b^2 = (\frac{7}{3})^2 = <strong>\frac{49}{9}</strong>
অতএব, 9p2+14p+499=(3p+73)29p^2 + 14p + \frac{49}{9} = (3p + \frac{7}{3})^2, যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।
সঠিক উত্তর: 49/9 (অপশন ০)
76

m - n = x এবং mn = 6x2 হলে m3 - n3 কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    19x²
  2. 19x³
  3. গ
    18x²
  4. ঘ
    18x³

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

দেয়া আছে 
m - n= x 
mn = 6x2

m3 - n3 = (m - n)3 + 3mn(m - n)
             = x3 + 3. 6x2 .x
             = x3 + 18x3
             = 19x3

ব্যাখ্যা

এই মান নির্ণয়ের অঙ্কটি সমাধানের জন্য আমাদের বীজগণিতের a3−b3a^3 - b^3 এর মান নির্ণয়ের সূত্রটি জানতে হবে।
প্রয়োজনীয় সূত্রটি হলো: m3−n3=(m−n)3+3mn(m−n)m^3 - n^3 = (m - n)^3 + 3mn(m - n).
প্রশ্নে প্রদত্ত মানগুলো হলো, m−n=xm - n = x এবং mn=6x2mn = 6x^2।
এখন সূত্রে মান বসিয়ে পাই:
m3−n3=(x)3+3⋅(6x2)⋅(x)m^3 - n^3 = (x)^3 + 3 \cdot (6x^2) \cdot (x)
              =x3+18x3              = x^3 + 18x^3
              =<strong>19x3</strong>              = <strong>19x^3</strong>
সঠিক উত্তর: 19x³। যারা 18x318x^3 (অপশন D) উত্তর দেন, তারা সাধারণত প্রথম পদ (x3x^3) টি যোগ করতে ভুলে যান।
77

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সে.মি. এবং 8 সে.মি. হলে ক্ষেত্রফল কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 24 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    42 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    44 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    45 বর্গ সে.মি.

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

দেয়া আছে 
সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সে.মি. এবং 8 সে.মি. 

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)(6 × 8) বর্গ সেমি
                                              = 24 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

এটি পরিমিতি (Mensuration) সম্পর্কিত একটি সহজ ও গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন। একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য প্রযোজ্য সূত্রটি হলো:
ক্ষেত্রফল = 12×\frac{1}{2} \times (সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল)।
(এখানে সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়কে ভূমি ও উচ্চতা হিসেবে ধরা হয়।)
প্রশ্নে প্রদত্ত মানগুলি হলো: ভূমি = 6 সে.মি. এবং উচ্চতা = 8 সে.মি.
সূত্রানুসারে, ক্ষেত্রফল = 12×(6×8)\frac{1}{2} \times (6 \times 8) বর্গ সে.মি.
→12×48=24\rightarrow \frac{1}{2} \times 48 = 24 বর্গ সে.মি.
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 24 বর্গ সে.মি. (বিকল্প 0)। অন্যান্য বিকল্পগুলি (42, 44, 45) ভুল, কারণ তারা ক্ষেত্রফলের সঠিক গাণিতিক সূত্র অনুসরণ করে না।
78

ΔABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ। উহার AB এবং AC বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন কোণদ্বয়ের সমষ্টি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৩২০°
  2. খ
    ২৮০°
  3. ২৪০°
  4. ঘ
    ২৯০°

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

 
ΔABC এ 
∠A = ∠B = ∠C = 60°
∠CBE = 120°
∠BCD = 120°
∠CBE + ∠BCD = 120° + 120° = 240°

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহু এবং তিনটি অন্তঃস্থ কোণ সমান হয়।
সুতরাং, ΔABC এর প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের মান হলো 60°60^°। যেমন: ∠A=∠B=∠C=60°\angle A = \angle B = \angle C = 60^°।
এখন, যখন একটি বাহুকে বর্ধিত করা হয়, তখন সরলরেখার উপর 180°180^° কোণ উৎপন্ন হয়। বহিঃস্থ কোণ = 180°180^° - অন্তঃস্থ কোণ।
AB বাহুকে বর্ধিত করলে B বিন্দুতে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণটি হবে: 180°−60°=120°180^° - 60^° = 120^°।
একইভাবে, AC বাহুকে বর্ধিত করলে C বিন্দুতে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণটি হবে: 180°−60°=120°180^° - 60^° = 120^°।
অতএব, উৎপন্ন কোণদ্বয়ের সমষ্টি হলো: 120°+120°=240°120^° + 120^° = 240^°।
যা বিকল্প (২৪০°) এর সাথে মিলে যায়।
79

 x2 - 3x, x2- 9 এবং x2 - 4x + 3 বীজগাণিতিক রাশির গ.সা.গু কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    x - 4
  2. খ
    x + 3
  3. x - 3
  4. ঘ
    x - 1

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

১ম রাশি = x2 - 3x
             = x(x - 3)
২য় রাশি = x2 - 9
              = x2 - 32 
              = (x + 3)(x - 3)
৩য় রাশি = x2 - 4x + 3
               = x2 - 3x - x + 3
               = x(x - 3) - 1(x - 3)
               = (x - 3)(x - 1)

নির্ণেয় গ.সা.গু = x - 3

ব্যাখ্যা

এই ধরনের বীজগাণিতিক রাশির গ.সা.গু (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) নির্ণয়ের জন্য প্রতিটি রাশিকে প্রথমে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।
১ম রাশি: x2−3x=x(x−3)x^2 - 3x = x(x - 3)
২য় রাশি: x2−9=x2−32x^2 - 9 = x^2 - 3^2. সূত্র প্রয়োগ করে: (x+3)(x−3)(x + 3)(x - 3)
৩য় রাশি: x2−4x+3x^2 - 4x + 3. মিডল টার্ম ব্রেক করে: x2−3x−x+3=x(x−3)−1(x−3)=(x−3)(x−1)x^2 - 3x - x + 3 = x(x - 3) - 1(x - 3) = (x - 3)(x - 1)
তিনটি রাশির উৎপাদকগুলির মধ্যে সাধারণ উপাদান হলো শুধুমাত্র (x - 3)। যেহেতু গ.সা.গু হলো সব রাশির মধ্যে থাকা সাধারণ উৎপাদক, তাই নির্ণেয় গ.সা.গু হবে x - 3।
অন্যান্য অপশন যেমন (x + 3) শুধুমাত্র ২য় রাশিতে আছে এবং (x - 1) শুধুমাত্র ৩য় রাশিতে আছে। তাই এগুলি গ.সা.গু হতে পারে না।
80

 যদি ax = b, by = c এবং cz = a হয়, তবে xyz এর মান কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    2
  2. 1
  3. গ
    -2
  4. ঘ
    -1

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

cz = a
⇒ (by)z = a
⇒ (ax)yz = a
⇒ axyz = a
∴ xyz = 1.

ব্যাখ্যা

এই গাণিতিক সমস্যাটি সূচক (Indices) সম্পর্কিত। এখানে ধারাবাহিক প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে xyzxyz এর মান নির্ণয় করতে হবে।
প্রদত্ত শর্তগুলো হলো:
(i) ax=ba^x = b
(ii) by=cb^y = c
(iii) cz=ac^z = a
আমরা সর্বশেষ শর্ত (iii) থেকে শুরু করি:
cz=ac^z = a
এখন, (ii) থেকে cc এর মান (byb^y) বসিয়ে পাই:
(by)z=a(b^y)^z = a
⇒<strong>byz=a</strong>\Rightarrow <strong>b^{yz} = a</strong> (সূচকের সূত্র: (pm)n=pmn(p^m)^n = p^{mn} অনুসারে)।
এরপর, (i) থেকে bb এর মান (axa^x) বসিয়ে পাই:
(ax)yz=a(a^x)^{yz} = a
⇒<strong>axyz=a</strong>\Rightarrow <strong>a^{xyz} = a</strong>
যেহেতু aa কে aa এর উপরে 11 ধরে নেওয়া যায় (a=a1a = a^1), তাই আমরা লিখতে পারি:
axyz=a1a^{xyz} = a^1
উভয় পক্ষের ভিত্তি (base) সমান হলে, সূচকগুলোও (exponents) সমান হবে।
সুতরাং, xyz=1xyz = 1।
অন্যান্য অপশনগুলো (2, -2, -1) এই শর্তগুলোর সাথে মেলে না, কারণ ধারাবাহিক প্রতিস্থাপনের ফলে সূচকের গুণফল সর্বদা 1 হবে।
81

একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল ২৬৪ বর্গমিটার এবং ভূমি ২২ মিটার হলে উচ্চতা কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১২ মিটার
  2. খ
    ১৫ মিটার
  3. ২৪ মিটার
  4. ঘ
    ২৮ মিটার

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

দেয়া আছে,
ত্রিভুজাকৃতি জমির ক্ষেত্রফল = ২৬৪ বর্গমিটার
ভূমি = ২২ মিটার 

আমরা জানি,
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (১/২) × ভূমি × উচ্চতা
২৬৪ = (১/২) × ২২ × উচ্চতা 
১১ × উচ্চতা = ২৬৪
উচ্চতা = ২৬৪/১১
উচ্চতা = ২৪ মিটার

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি পরিমিতির মৌলিক সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করতে হবে। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, ভূমি এবং উচ্চতার মধ্যে সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা করাই এখানে মূল বিষয়।
আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্রটি হলো: A=12×ভূমি×উচ্চতাA = \frac{1}{2} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা}।
প্রশ্ন অনুযায়ী, ক্ষেত্রফল (A) = ২৬৪ বর্গমিটার এবং ভূমি (b) = ২২ মিটার।
মান বসিয়ে পাই: ২৬৪=১২×২২×উচ্চতা২৬৪ = \frac{১}{২} \times ২২ \times \text{উচ্চতা}
২৬৪=১১×উচ্চতা২৬৪ = ১১ \times \text{উচ্চতা}
সুতরাং, উচ্চতা = $\frac{২৬৪}{১১} = ২৪ মিটার।
এই সহজ গাণিতিক সম্পর্কটি মনে রাখলে এই ধরনের সমস্যা দ্রুত সমাধান করা যায়।
82

x - 1/x = 5 হলে (x + 1/x)2 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    25
  2. খ
    27
  3. গ
    28
  4. 29

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

দেয়া আছে 
x - 1/x = 5
আমরা জানি
 (x + 1/x)2
= (x - 1/x)2 + 4.x.1/x
= 52 + 4
= 25 + 4
= 29

ব্যাখ্যা

এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য আমাদের বীজগণিতের অনুসিদ্ধান্ত ব্যবহার করতে হবে।
প্রদত্ত মান: x - 1/x = 5।
নির্ণেয় মান: (x + 1/x)2।
আমরা জানি, (a + b)2 = (a - b)2 + 4ab।
এখানে, a = x এবং b = 1/x। মান বসিয়ে পাই:
(x+1x)2=(x−1x)2+4⋅x⋅1x(x + \frac{1}{x})^2 = (x - \frac{1}{x})^2 + 4 \cdot x \cdot \frac{1}{x}
চूंकि x⋅1x=1x \cdot \frac{1}{x} = 1, তাই আমরা পাই:
(x+1x)2=(x−1x)2+4(x + \frac{1}{x})^2 = (x - \frac{1}{x})^2 + 4
এখন প্রদত্ত মান 5 বসালে:
(x+1x)2=52+4(x + \frac{1}{x})^2 = 5^2 + 4
=25+4= 25 + 4
=29= 29
অন্যান্য অপশনগুলি ভুল, কারণ 25 হলো শুধু 525^2 এর মান, যা অনুসিদ্ধান্তের +4 অংশটিকে বাদ দিয়েছে। সঠিক উত্তরটি হলো 29।
83

 x2 - 4, x2 + 4x + 4 , x3 - 8 বীজগাণিতিক রাশির ল.সা.গু কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. (x + 2)2 (x3 - 8)

  2. খ

    (x - 2)2 (x3 - 8)

  3. গ

    (x2 - 2) (x3 - 8)

  4. ঘ

    (x2 + 2) (x3 - 8)

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

১ম রাশি = x2 - 4 
              = x2 - 22
              = (x + 2)(x - 2)

২য় রাশি = x2 + 4x +4
              = x2 + 2.x.2 + 22 
              = (x + 2)2
              = (x + 2)(x + 2)
৩য় রাশি = x3 - 8 
              = x3 - 23
               = (x - 2) (x2 + 2.x + 22)
               = (x - 2)(x2 + 2x + 4)
নির্ণেয় ল. সা. গু = (x + 2)(x + 2)(x - 2)(x2 + 2x + 4)
                         =(x + 2)2(x3 - 8)

ব্যাখ্যা

ল.সা.গু (Least Common Multiple) নির্ণয় করার জন্য প্রথমে রাশিগুলোর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে।
১ম রাশি: x2−4x^2 - 4
এটি a2−b2a^2 - b^2 সূত্র ব্যবহার করে লেখা যায়: $x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)।
২য় রাশি: x2+4x+4x^2 + 4x + 4
এটি (a+b)2(a + b)^2 সূত্র ব্যবহার করে লেখা যায়: $x^2 + 2\cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x + 2)^2।
৩য় রাশি: x3−8x^3 - 8
এটি a3−b3a^3 - b^3 সূত্র ব্যবহার করে লেখা যায়: $x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)।
নির্ণেয় ল.সা.গু: ল.সা.গু হলো সব উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাতের গুণফল।
এখানে উৎপাদকগুলো হলো (x−2)(x-2), (x+2)(x+2) এবং (x2+2x+4)(x^2 + 2x + 4)।
সর্বোচ্চ ঘাত সহকারে রাশিগুলোর গুণফল: (x−2)1⋅(x+2)2⋅(x2+2x+4)1(x-2)^1 \cdot (x+2)^2 \cdot (x^2 + 2x + 4)^1
আমরা জানি, (x−2)(x2+2x+4)=x3−8।(x-2)(x^2 + 2x + 4) = x^3 - 8।
সুতরাং, ল.সা.গু হবে: $(x + 2)^2 (x^3 - 8)।
বিকল্প ১, ২, এবং ৩ ভুল, কারণ এগুলোতে (x+2)(x+2) উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাত (যা 2) এবং অন্যান্য প্রয়োজনীয় উৎপাদকগুলো সঠিকভাবে অন্তর্ভুক্ত করা হয়নি।
84

x2 + 1/x2 = 3 হলে (x6 + 1)/x3 এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3√5
  2. খ
    4√5
  3. 2√5
  4. ঘ
    √5

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

দেয়া আছে,
x2 + 1/x2 = 3
(x + 1/x)2 - 2x(1/x) = 3
(x + 1/x)2  - 2 = 3
(x + 1/x)2 = 5
x + 1/x = √5

(x6 + 1)/x3 = x6/x3 + 1/x3
                  = x3 + 1/x3
                  = x3 + (1/x)3
                  = (x + 1/x)3 - 3x(1/x)(x + 1/x)
                  = (√5)3 - 3√5
                  = 5√5- 3√5
                  = 2√5

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমাদের পর্যায়ক্রমে দুটি ধাপ অনুসরণ করতে হবে এবং দুটি বীজগণিতীয় সূত্র ব্যবহার করতে হবে।
ধাপ ১: x+1/xx + 1/x এর মান নির্ণয়
প্রথমে, প্রদত্ত রাশি x2+1/x2=3x^2 + 1/x^2 = 3 থেকে x+1/xx + 1/x এর মান বের করতে হবে। আমরা a2+b2=(a+b)2−2aba^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab সূত্রটি ব্যবহার করে পাই:
(x+1/x)2−2(x)(1/x)=3(x + 1/x)^2 - 2(x)(1/x) = 3
rightarrow(x+1/x)2=3+2=5\\rightarrow (x + 1/x)^2 = 3 + 2 = 5
rightarrowx+1/x=<strong>5\\rightarrow x + 1/x = <strong>\sqrt{5}।
ধাপ ২: প্রদত্ত রাশির মান নির্ণয়
এরপর, নির্ণেয় রাশি (x6+1)/x3(x^6 + 1)/x^3 কে সরল করতে হবে:
(x6+1)/x3=x6/x3+1/x3=x3+1/x3(x^6 + 1)/x^3 = x^6/x^3 + 1/x^3 = x^3 + 1/x^3
এখন a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) সূত্র প্রয়োগ করে মান বসাতে হবে:
x3+1/x3=(x+1/x)3−3(x)(1/x)(x+1/x)x^3 + 1/x^3 = (x + 1/x)^3 - 3(x)(1/x)(x + 1/x)
rightarrow(5)3−3(5)\\rightarrow (\sqrt{5})^3 - 3(\sqrt{5})
rightarrow55−35\\rightarrow 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5}
rightarrow<strong>25\\rightarrow <strong>2\sqrt{5}।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 252\sqrt{5}, যা অপশন (গ)-তে আছে।
85

 ক : খ= ৪ : ৭, খ : গ = ১০ : ৭ হলে, ক : খ : গ কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৪৯ : ৭০ : ৪০
  2. ৪০ : ৭০ : ৪৯
  3. গ
    ৭০ : ৪৯ : ৪০
  4. ঘ
    ৪৯ : ৪০ : ৭০

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

ক : খ= ৪ : ৭ = ৪ × ১০ : ৭ × ১০ = ৪০ : ৭০
খ : গ = ১০ : ৭ = ১০ × ৭ : ৭ × ৭ = ৭০ : ৪৯

ক : খ : গ = ৪০ : ৭০ : ৪৯

ব্যাখ্যা

এটি অনুপাত ও সমানুপাত-এর একটি মৌলিক সমস্যা। এখানে 'খ' হলো সাধারণ পদ, যার মাধ্যমে দুটি অনুপাতকে যুক্ত করতে হবে।
প্রথম অনুপাত: ক:খ=৪:৭ক : খ = ৪ : ৭
দ্বিতীয় অনুপাত: খ:গ=১০:৭খ : গ = ১০ : ৭
ধাপ ১: সাধারণ পদ 'খ'-এর মান সমান করুন। প্রথম অনুপাতে 'খ'-এর মান ৭ এবং দ্বিতীয় অনুপাতে ১০। এদের ল.সা.গু. হলো ৭imes১০=৭০৭ imes ১০ = ৭০।
ধাপ ২: প্রথম অনুপাতকে (৪ : ৭) ১০ দিয়ে গুণ করে 'খ'-কে ৭০ করুন।
ক:খ=(৪imes১০):(৭imes১০)=<strong>৪০:৭০</strong>ক : খ = (৪ imes ১০) : (৭ imes ১০) = <strong>৪০ : ৭০</strong>
ধাপ ৩: দ্বিতীয় অনুপাতকে (১০ : ৭) ৭ দিয়ে গুণ করে 'খ'-কে ৭০ করুন।
খ:গ=(১০imes৭):(৭imes৭)=<strong>৭০:৪৯</strong>খ : গ = (১০ imes ৭) : (৭ imes ৭) = <strong>৭০ : ৪৯</strong>
ধাপ ৪: এখন তিনটি পদকে একত্রিত করুন।
ক:খ:গ=<strong>৪০:৭০:৪৯</strong>ক : খ : গ = <strong>৪০ : ৭০ : ৪৯</strong>
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো ৪০ : ৭০ : ৪৯, যা অপশন (২)-এ রয়েছে।
86

একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৫ মিটার। ১ কিলোমিটার ৫০০ মিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    200
  2. খ
    250
  3. 300
  4. ঘ
    350

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

গাড়ীর চাকার পরিধি = ৫ মিটার

১ কিলোমিটার ৫০০ মিটার = (১০০০ + ৫০০) মিটার = ১৫০০ মিটার 

 ৫ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১ বার 
১ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১/৫ বার 
১৫০০ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১৫০০/৫ বার 
                                                      = ৩০০ বার

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ৩০০ বার।
এই ধরনের অঙ্ক সমাধানের মূল ধারণা হলো: একটি চাকা একবার সম্পূর্ণ ঘুরলে যে দূরত্ব অতিক্রম করে, তা হলো চাকাটির পরিধি।
ধাপ ১: একক রূপান্তর (Conversion): প্রথমে মোট অতিক্রান্ত দূরত্বকে এক এককে (মিটারে) প্রকাশ করতে হবে।
১ কিলোমিটার ৫০০ মিটার = (১০০০ মিটার + ৫০০ মিটার) = ১৫০০ মিটার।
ধাপ ২: ঘূর্ণন সংখ্যা নির্ণয়: মোট দূরত্বকে চাকার পরিধি দিয়ে ভাগ করলেই ঘূর্ণন সংখ্যা পাওয়া যায়।
ঘূর্ণন সংখ্যা = মোট দূরত্বচাকার পরিধি=১৫০০৫=৩০০\frac{\text{মোট দূরত্ব}}{\text{চাকার পরিধি}} = \frac{১৫০০}{৫} = \text{৩০০} বার।
অন্যান্য অপশনগুলো (যেমন: ২০০ বা ২৫০) ভুল একক ব্যবহার অথবা ভুল গণনার ফল।
87

একক ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1 বর্গ একক
  2. খ
    2 বর্গ একক
  3. π বর্গ একক
  4. ঘ
    π2 \pi^2 বর্গ একক

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

বৃত্তের ব্যাসার্ধ r  = 1
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 = π ×12 = π

ব্যাখ্যা

গণিতে বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য সুনির্দিষ্ট সূত্র ব্যবহার করা হয়। সূত্রটি হলো: ক্ষেত্রফল = πr2 \pi r^2 , যেখানে rr হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
প্রশ্ন অনুযায়ী, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ হলো 'একক ব্যাসার্ধ', যার অর্থ r=1r = 1 একক।
এখন সূত্রে মান বসালে আমরা পাই: ক্ষেত্রফল = π×(1)2=π×1=π\pi \times (1)^2 = \pi \times 1 = \pi বর্গ একক।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো π\pi বর্গ একক (অপশন ৩)।
অন্যান্য অপশন যেমন ১ বর্গ একক বা ২ বর্গ একক ভুল, কারণ এগুলি ব্যাসার্ধের সাথে π\pi ধ্রুবকটির গুণফলকে বাদ দেয়। π2 \pi^2 বর্গ একক অপশনটি ভুল কারণ এটি πr2\pi r^2 এর পরিবর্তে (πr)2 (\pi r)^2 ব্যবহার করলে পাওয়া যেত।
88

কোন বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. সূক্ষ্ম কোণ
  2. খ
    স্থূল কোণ
  3. গ
    সমকোণ
  4. ঘ
    পূরক কোণ

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করলে তা সমকৌণিক শীর্ষবিন্দুদিয়ে যাবে।
কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ।
কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ।

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: সূক্ষ্ম কোণ।
বৃত্তের জ্যামিতি অনুযায়ী, কোনো বৃত্তচাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণটি বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ হয়।
অধিচাপ (Major Arc) হলো অর্ধবৃত্তের চেয়ে বড় চাপ। অধিচাপের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ সর্বদা 180∘180^\circ এর চেয়ে ছোট হয়।
যেহেতু অধিচাপের কেন্দ্রস্থ কোণ 180∘180^\circ এর চেয়ে ছোট, তাই অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ (বৃত্তস্থ কোণ) হবে 180∘/2=90∘180^\circ / 2 = 90^\circ এর চেয়ে ছোট।
যে কোণের মান 0∘0^\circ এর বেশি কিন্তু 90∘90^\circ এর কম, তাকে সূক্ষ্ম কোণ (Acute Angle) বলা হয়।
অতএব, কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সর্বদা সূক্ষ্ম কোণ হয়।
89

x2 - x - 6 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3, 2
  2. 3, -2
  3. গ
    -3, 2
  4. ঘ
    -3, -2

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

x2 - x - 6 = 0 সমীকরণকে ax2 + bx + c = 0 এর সহিত তুলনা করে পাই,
a = 1; b = - 1; c =- 6

আমরা জানি,
x = {- b ±√(b2 - 4ac)}/2a
x =  [- (- 1) ±√{(- 1)2 - 4.1.(- 6)}]/2 .1
x = {1 ± √(1 + 24)}/2
x = (1 ± 5)/2

এখানে 
x1 = (1 + 5)/2,  x2 = (1 - 5)/2 
x1 = 3 , x2 = - 2


সমীকরণের মূলদ্বয় হবে = 3, - 2

ব্যাখ্যা

এই ধরনের দ্বিঘাত সমীকরণের মূল (Roots) নির্ণয়ের জন্য সাধারণত তিনটি পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়: ১. উৎপাদকে বিশ্লেষণ (Middle Term Factorization), ২. দ্বিঘাত সূত্র (Quadratic Formula), এবং ৩. অপশন টেস্ট। শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষার জন্য উৎপাদকে বিশ্লেষণ দ্রুততম পদ্ধতি।

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: x2−x−6=0x^2 - x - 6 = 0
আমরা মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে পাই:
x2−3x+2x−6=0x^2 - 3x + 2x - 6 = 0
x(x−3)+2(x−3)=0x(x - 3) + 2(x - 3) = 0
(x−3)(x+2)=0(x - 3)(x + 2) = 0
অতএব, হয় x−3=0x - 3 = 0, অর্থাৎ x=3x = 3।
অথবা, x+2=0x + 2 = 0, অর্থাৎ x=−2x = -2।
সুতরাং, সমীকরণের মূলদ্বয় হবে 3 এবং -2। এটি অপশন (3,-2)-তে দেওয়া আছে, যা সঠিক।
অন্যান্য অপশনগুলো ভুল, কারণ তারা সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে না। যেমন, যদি মূলদ্বয় 3 এবং 2 (অপশন A) হতো, তাহলে সমীকরণটি হতো x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0।
90

রহিম ও করিমের বয়সের গড় ৩৫ বছর। রহিম ও হামজার বয়সের গড় ২০ বছর। হামজার বয়স ১১ বছর হলে করিমের বয়স কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৪০ বছর
  2. ৪১ বছর
  3. গ
    ৪২ বছর
  4. ঘ
    ৪৩ বছর

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

রহিম ও হামজার বয়সের গড় ২০ বছর।
রহিম ও হামজার মোট বয়স = ২০ × ২ = ৪০ বছর।
হামজার বয়স = ১১ বছর
রহিমের বয়স = ৪০ - ১১ = ২৯ বছর 

রহিম ও করিমের বয়সের গড় ৩৫ বছর
 রহিম ও করিমের মোট বয়স  = ৩৫ × ২ = ৭০ বছর

করিমের বয়স = ৭০ - ২৯ = ৪১ বছর

ব্যাখ্যা

গড়ের সমস্যা সমাধানে প্রথমে প্রদত্ত গাণিতিক রাশিগুলোর মোট সমষ্টি (Total Sum) বের করে নিতে হয়।
ধাপ ১: রহিম ও হামজার মোট বয়স নির্ণয়।
রহিম ও হামজার বয়সের গড় ২০ বছর, তাই তাদের মোট বয়স = $২০ imes ২ = ৪০ বছর।
ধাপ ২: রহিমের বয়স নির্ণয়।
হামজার বয়স দেওয়া আছে ১১ বছর।
সুতরাং, রহিমের বয়স = (রহিম ও হামজার মোট বয়স) −- (হামজার বয়স) = $৪০ - ১১ = ২৯ বছর।
ধাপ ৩: রহিম ও করিমের মোট বয়স নির্ণয়।
রহিম ও করিমের বয়সের গড় ৩৫ বছর, তাই তাদের মোট বয়স = $৩৫ imes ২ = ৭০ বছর।
ধাপ ৪: করিমের বয়স নির্ণয়।
করিমের বয়স = (রহিম ও করিমের মোট বয়স) −- (রহিমের বয়স) = $৭০ - ২৯ = ৪১ বছর।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৪১ বছর।
91

x/y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল y/x হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    (x2−y2)/xy(x^2 - y^2)/xy
  2. খ
    (2x2−y2)/xy(2x^2 - y^2)/xy
  3. (y2−x2)/xy(y^2 - x^2)/xy
  4. ঘ
    (x2−2y2)/xy(x^2 - 2y^2)/xy

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: x/y এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল y/x হবে? 

সমাধান: 
(y/x) - (x/y)
=(y2 - x2)/xy

ব্যাখ্যা

ধরা যাক, xy\frac{x}{y} এর সাথে 'ক' যোগ করলে যোগফল yx\frac{y}{x} হবে।
সুতরাং, প্রশ্নমতে: xy+ক=yx\frac{x}{y} + \text{ক} = \frac{y}{x}।
প্রয়োজনীয় মানটি বের করতে হলে, যোগফল থেকে মূল সংখ্যাটি বিয়োগ করতে হবে।
ক=yx−xy\text{ক} = \frac{y}{x} - \frac{x}{y}
হরগুলোর ল.সা.গু (LCM) হলো xyxy।
এখন বিয়োগ করলে পাই: ক=y⋅y−x⋅xxy=y2−x2xy\text{ক} = \frac{y \cdot y - x \cdot x}{xy} = \frac{y^2 - x^2}{xy}।
সঠিক উত্তর হলো অপশন 3: (y2−x2)/xy(y^2 - x^2)/xy।
92

প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গুণফল ৩৫ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গুণফল ৬৩। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    5
  2. খ
    6
  3. 7
  4. ঘ
    8

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গুণফল ৩৫ এবং দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গুণফল ৬৩। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
৩৫ ও ৬৩ এর গ. সা. গু ই হবে দ্বিতীয় সংখ্যা।
৩৫ = ৫ × ৭
৬৩ = ৩ × ৩ × ৭

নির্ণেয় সংখ্যা = ৭

ব্যাখ্যা

শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষার পাটিগণিতের এই প্রশ্নটি গ.সা.গু. (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) সংক্রান্ত।
ধরি, সংখ্যা তিনটি হলো ক, খ ও গ।
প্রশ্নমতে, প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যার গুণফল = ক×খ=৩৫ক \times খ = ৩৫।
দ্বিতীয় ও তৃতীয় সংখ্যার গুণফল = খ×গ=৬৩খ \times গ = ৬৩।
লক্ষ্য করুন, 'খ' সংখ্যাটি উভয় গুণফলের মধ্যেই সাধারণ (Common Factor)। তাই 'খ' সংখ্যাটি অবশ্যই ৩৫ এবং ৬৩ উভয়েরই গুণনীয়ক হবে।
যেহেতু এটি দুটি ভিন্ন সংখ্যার মধ্যে সাধারণ সংখ্যা হিসেবে ব্যবহৃত হয়েছে, এটি হবে ৩৫ ও ৬৩ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু)।
৩৫ এর উৎপাদক: ৫×<strong>৭</strong>৫ \times <strong>৭</strong>
৬৩ এর উৎপাদক: ৯×<strong>৭</strong>৯ \times <strong>৭</strong>
সাধারণ উৎপাদক বা গ.সা.গু হলো ৭।
সুতরাং, দ্বিতীয় সংখ্যাটি হলো ৭।
93

x2 - 11x + 30 এবং x3 - 4x2 - 2x - 15 এর গ.সা.গু কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. x - 5
  2. খ
    x - 6
  3. গ
    x² + x - 3
  4. ঘ
    x² - x - 3

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: x2 - 11x + 30 এবং x3 - 4x2 - 2x - 15 এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
 ১ম রাশি = x2 - 11x + 30
                = x2 - 5x - 6x + 30
                  =x(x - 5) - 6(x - 5)
                 = (x - 5)(x - 6)
২য় রাশি =x3 - 4x2 - 2x - 15

ধরি 
f(x) = x3 - 4x2 - 2x - 15
f(5) = 53  - 4. 52 - 2 × 5 - 15 
       = 125 - 100 - 10 - 15
       = 125  - 125
       = 0
(x - 5),  f(x) এর একটি উৎপাদক 
f(x) = x3 - 4x2 - 2x - 15
      =x3 - 5x2 + x2 - 5x + 3x - 15 
      = x2(x - 5) + x (x - 5) + (x - 5)
      =  (x - 5) (x2 + x + 3)

নির্ণেয় গ.সা.গু = x - 5

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের উৎপাদকে বিশ্লেষণ এবং গ.সা.গু (Greatest Common Divisor - GCD) নির্ণয়ের একটি প্রশ্ন।
১ম রাশি: x2−11x+30x^2 - 11x + 30
এখানে আমরা মধ্যপদ বিশ্লেষণ (Middle Term Factorization) পদ্ধতি ব্যবহার করব: $x^2 - 5x - 6x + 30 = x(x-5) - 6(x-5) = (x-5)(x-6)।
২য় রাশি: x3−4x2−2x−15x^3 - 4x^2 - 2x - 15
এই রাশিটির উৎপাদক বের করতে উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) ব্যবহার করতে হবে। আমরা প্রথম রাশির উৎপাদক (x−5)(x-5) দিয়ে পরীক্ষা করব। যদি f(x)=x3−4x2−2x−15f(x) = x^3 - 4x^2 - 2x - 15 হয়, তবে f(5)=53−4(52)−2(5)−15=125−100−10−15=0f(5) = 5^3 - 4(5^2) - 2(5) - 15 = 125 - 100 - 10 - 15 = 0।
যেহেতু f(5)=0f(5) = 0, তাই (x−5)(x-5) অবশ্যই দ্বিতীয় রাশির একটি উৎপাদক।
বিশ্লেষণ করলে পাই: $x^3 - 4x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x^2 + x + 3)।
উভয় রাশির মধ্যে সাধারণ উৎপাদক হলো (x - 5)। তাই নির্ণেয় গ.সা.গু হলো x - 5। বিকল্পগুলির মধ্যে অন্য রাশিগুলি সাধারণ উৎপাদক নয়, তাই সেগুলো ভুল।
94

একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 9 সে.মি. হলে এর উচ্চতা কত সে.মি.?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 3√3/2
  2. খ
    2√3
  3. গ
    4√3
  4. ঘ
    3√3/4

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 9 সে.মি. হলে এর উচ্চতা কত সে.মি.?

সমাধান: 
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 9 সে.মি
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a = 9/3 = 3 সে.মি
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)a2
                                           = (√3/4) × 32
                                            = 9√3/4

আবার,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × ভূমি × উচ্চতা 
                              9√3/4 = (1/2) × 3 × উচ্চতা 
                               উচ্চতা  =  (9√3/4) × (2/3)
                                            = 3√3/2 সে.মি

ব্যাখ্যা

এটি একটি সমবাহু ত্রিভুজের অঙ্ক। সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান হয়।
প্রথমত, ত্রিভুজের পরিসীমা (PP) দেওয়া আছে 9 সে.মি.। সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য (aa) হবে পরিসীমাকে 3 দ্বারা ভাগ করে:
a=P3=93=3 সে.মি.a = \frac{P}{3} = \frac{9}{3} = 3 \text{ সে.মি.}
দ্বিতীয়ত, সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা (hh) নির্ণয়ের সরাসরি সূত্রটি হলো: h=32ah = \frac{\sqrt{3}}{2}a।
এখানে a=3a=3 বসিয়ে পাই:
h=32×3=332 সে.মি.h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ সে.মি.}
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 3√3/2 সে.মি., যা অপশন 0 তে আছে।
95

a : b = 2 : 3 এবং b : c = 6 : 7 হলে a : c = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    2 : 6
  2. খ
    3 : 7
  3. 4 : 7
  4. ঘ
    2 : 7

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: a : b = 2 : 3 এবং b : c = 6 : 7 হলে a : c = কত?

সমাধান: 
a : b = 2 : 3 = 4 : 6
b : c = 6 : 7 = 6 : 7
a : b : c = 4 : 6 : 7 
a : c = 4 : 7

ব্যাখ্যা

এই ধরনের শৃঙ্খলিত অনুপাতের (Chained Ratios) সমস্যা সমাধানে, যে চলকটি উভয় অনুপাতের মধ্যে সাধারণ (Common) থাকে, সেটির মান প্রথমে সমান করে নিতে হয়। এখানে সাধারণ চলক হলো bb।
প্রথম অনুপাত: a:b=2:3a : b = 2 : 3
দ্বিতীয় অনুপাত: b:c=6:7b : c = 6 : 7
প্রথম অনুপাতের bb-এর মান হলো 3 এবং দ্বিতীয় অনুপাতের bb-এর মান হলো 6। এই দুটি মানকে সমান করতে হলে, 3 এবং 6 এর ল.সা.গু (LCM) অর্থাৎ 6 নিতে হবে।
প্রথম অনুপাতটিকে 2 দ্বারা গুণ করে পাই:
a:b=(2×2):(3×2)=4:6a : b = (2 \times 2) : (3 \times 2) = 4 : 6
এখন, bb-এর মান উভয় ক্ষেত্রে 6 হওয়ায়, আমরা যৌগিক অনুপাতটি লিখতে পারি: a:b:c=4:6:7a : b : c = 4 : 6 : 7
যেহেতু প্রশ্ন করা হয়েছে a:ca : c কত, তাই আমরা প্রথম ও শেষ পদ দুটি নেব।
a:c=4:7a : c = 4 : 7
অতএব, সঠিক উত্তর হলো 4 : 7।
96

টাকায় ৬টি লেবু ক্রয় করে টাকায় ৫টি লেবু বিক্রয় করলে লাভের হার কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    15%
  2. 20%
  3. গ
    25%
  4. ঘ
    30%

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন: টাকায় ৬টি লেবু ক্রয় করে টাকায় ৫টি লেবু বিক্রয় করলে লাভের হার কত?

সমাধান: 
১ টি লেবুর ক্রয় মূল্য = ১/৬ টাকা।
১ টি লেবুর বিক্রয় মূল্য = ১/৫ টাকা।

∴ লাভ  = (১/৫) - (১/৬)
            = (৬ - ৫)/৩০
            = ১/৩০

এখন,
১/৬ টাকায় লাভ হয় ১/৩০ টাকা।
১ টাকায় লাভ হয় (১/৩০)(৬/১) টাকা।
১০০ টাকায় লাভ হয় (৬ × ১০০)/৩০ টাকা।
                                = ২০ টাকা।

ব্যাখ্যা

এটি লাভ-ক্ষতি সংক্রান্ত একটি বহুল পুনরাবৃত্ত প্রশ্ন। সঠিক উত্তর ২০%।
এই ধরনের অঙ্কে, লাভ বা ক্ষতির পরিমাণ সবসময় ক্রয় মূল্যের (Cost Price - CP) উপর নির্ভর করে হিসাব করতে হয়।
ঐতিহ্যবাহী পদ্ধতি:
১. ১টি লেবুর ক্রয় মূল্য (CP) = 1/61/6 টাকা।
২. ১টি লেবুর বিক্রয় মূল্য (SP) = 1/51/5 টাকা।
৩. লাভ = SP−CP=1/5−1/6=(6−5)/30=1/30SP - CP = 1/5 - 1/6 = (6-5)/30 = 1/30 টাকা।
৪. লাভের হার (শতকরা) = (মোট লাভক্রয় মূল্য)×100%\left( \frac{\text{মোট লাভ}}{\text{ক্রয় মূল্য}} \right) \times 100\%.
extলাভেরহার=(1/301/6)×100=(130×6)×100=60030=20% ext{লাভের হার} = \left( \frac{1/30}{1/6} \right) \times 100 = \left( \frac{1}{30} \times 6 \right) \times 100 = \frac{600}{30} = 20\%.
বিকল্প উত্তরগুলি ভুল কারণ এই ক্ষেত্রে লাভের হার নির্ণয় করতে গিয়ে ভুলভাবে বিক্রয় মূল্যকে ভিত্তি হিসেবে ব্যবহার করা হয়েছে অথবা গাণিতিক ত্রুটি রয়েছে।
97

x2 - y(y - 2) - 1 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    (x−y−1)(x−y+1)(x - y - 1)(x - y + 1)
  2. (x−y+1)(x+y−1)(x - y + 1)(x + y - 1)
  3. গ
    (x+y+1)(x−y−1)(x + y + 1)(x - y - 1)
  4. ঘ
    (x−y)(x−y+1)(x - y)(x - y + 1)

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন: x2 - y(y - 2) - 1 এর উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান: 
x2 - y(y - 2) - 1 
= x2 - y2  + 2y - 1
= x2 - (y2 - 2y + 1)
= x2 - (y - 1)2
= {x + (y - 1)}{x - (y - 1)}
= (x + y - 1)(x - y + 1)

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের উৎপাদক নির্ণয়ের একটি ক্লাসিক সমস্যা। এখানে মূলত a2−b2a^2 - b^2 এবং (a−b)2(a-b)^2 সূত্র প্রয়োগ করতে হবে।
প্রদত্ত রাশিটি হলো: x2−y(y−2)−1x^2 - y(y - 2) - 1
প্রথমে বন্ধনী (Bracket) তুলে রাশিটিকে সরল করতে হবে:
=x2−y2+2y−1= x^2 - y^2 + 2y - 1
এখন, yy সংবলিত পদগুলোকে এমনভাবে সাজাতে হবে যাতে একটি পূর্ণবর্গ রাশি তৈরি হয়। এখানে −1-1 কমন নিয়ে ভেতরের চিহ্ন পরিবর্তন করা যাক:
=x2−(y2−2y+1)= x^2 - (y^2 - 2y + 1)
আমরা জানি, y2−2y+1y^2 - 2y + 1 হলো (y−1)(y - 1) এর পূর্ণবর্গ। অর্থাৎ, a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 সূত্র অনুযায়ী:
=x2−(y−1)2= x^2 - (y - 1)^2
এটি এখন a2−b2a^2 - b^2 আকারে আছে, যেখানে a=xa = x এবং b=(y−1)b = (y - 1)।
আমরা জানি, a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b):
={x+(y−1)}{x−(y−1)}= \{x + (y - 1)\}\{x - (y - 1)\}
=(x+y−1)(x−y+1)= (x + y - 1)(x - y + 1)
সুতরাং, সঠিক উৎপাদক হলো (x+y−1)(x−y+1)(x + y - 1)(x - y + 1), যা অপশন ২-এ রয়েছে।
98

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৬°। ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৩২°
  2. খ
    ৩৮°
  3. ৪২°
  4. ঘ
    ৪৮°

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৬°। ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?

সমাধান: 
ক্ষুদ্রতম কোণ = x
বৃহত্তম কোন = x + ৬°

প্রশ্নমতে,
x + x + ৬°  + ৯০° = ১৮০°
২x + ৬° = ১৮০° - ৯০°
২x = ৯০° - ৬°
২x = ৮৪°
x  = ৮৪°/২
x  = ৪২°

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং কোণের মৌলিক ধর্ম সম্পর্কিত।
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180∘180^{\circ}। যেহেতু এটি সমকোণী ত্রিভুজ, এর একটি কোণ হলো 90∘90^{\circ}।
সুতরাং, বাকি দুটি সূক্ষ্মকোণের (Acute Angles) যোগফল হবে: 180∘−90∘=90∘180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}।
ধরি, সূক্ষ্মকোণ দুটি হলো xx (ক্ষুদ্রতম) এবং yy (বৃহত্তম)।
সমীকরণ অনুযায়ী: x+y=90∘x + y = 90^{\circ} (i) এবং y−x=6∘y - x = 6^{\circ} (ii)।
ক্ষুদ্রতম কোণ (xx) বের করার জন্য আমরা (i) থেকে (ii) বিয়োগ করি, অথবা সরাসরি শর্টকাট ব্যবহার করি।
সমীকরণের মাধ্যমে সমাধান করলে: (i) ও (ii) যোগ করে পাই 2y=96∘2y = 96^{\circ}, অর্থাৎ y=48∘y = 48^{\circ} (বৃহত্তম কোণ)।
আবার, x=90∘−48∘=42∘x = 90^{\circ} - 48^{\circ} = 42^{\circ}।
অতএব, ক্ষুদ্রতম কোণটির মান 42∘42^{\circ}, যা অপশন (৪২°)।
99

x4 - x2 - 1 = 0 হলে x2 - 1/x2 = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    0
  2. 1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    4

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন: x4 - x2 - 1 = 0 হলে x2 - 1/x2 = কত? 

সমাধান: 
x4 - x2 - 1 = 0 
x4  - 1 = x2
x4/x2 - 1/x2 = x2/x2
x2 - 1/x2 = 1

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি ক্লাসিক প্রশ্ন। প্রশ্নটিতে দেওয়া আছে: x4−x2−1=0x^4 - x^2 - 1 = 0।
আমাদের লক্ষ্য হলো এই সমীকরণটিকে এমনভাবে সাজানো যাতে আমরা x2−1/x2x^2 - 1/x^2 এর মান বের করতে পারি।
প্রথমেই, প্রদত্ত সমীকরণটি থেকে x2x^2 যুক্ত পদকে ডানপাশে নিয়ে যাই:
x4−1=x2x^4 - 1 = x^2
এখন, সমীকরণের উভয় পক্ষকে x2x^2 দ্বারা ভাগ করি (যেহেতু x-এর মান শূন্য নয়, তাই ভাগ করা সম্ভব):
x4x2−1x2=x2x2\frac{x^4}{x^2} - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2}{x^2}
ভাগ করার পর সরল করলে আমরা পাই:
x2−1x2=1x^2 - \frac{1}{x^2} = 1
সুতরাং, নির্ণেয় মান হলো 1।
100

 4(x + y), 10(x - y) এবং 12(x2 - y2) এর গ.সা.গু কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    x - y
  2. খ
    x + y
  3. গ
    12(x^2 - y^2)
  4. 2

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন: 4(x + y), 10(x - y) এবং 12 (x2 - y2) এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = 4(x + y)
২য় রাশি =10(x - y)  
৩য় রাশি =12(x2 - y2)
              = 12(x - y)(x + y)

4, 10 ও 12 এর গ.সা.গু = 2
নির্ণেয় গ.সা.গু = 2

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি বীজগণিতীয় রাশির গ.সা.গু (Greatest Common Divisor) নির্ণয় সংক্রান্ত। গ.সা.গু হলো সেই রাশি, যা প্রদত্ত রাশিগুলোর মধ্যে সর্বোচ্চ সাধারণ উৎপাদক হিসেবে উপস্থিত থাকে।
প্রথমে আমরা রাশিগুলোকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করব:
১ম রাশি: 4(x+y)4(x + y)
২য় রাশি: 10(x−y)10(x - y)
৩য় রাশি: 12(x2−y2)=12(x−y)(x+y)12(x^2 - y^2) = 12(x - y)(x + y)
এরপর আমরা সাংখ্যিক অংশ এবং বীজগণিতীয় অংশ আলাদাভাবে দেখব।
১. সাংখ্যিক অংশের গ.সা.গু: সাংখ্যিক সহগগুলো হলো 4, 10 এবং 12। এই তিনটি সংখ্যার গ.সা.গু (যে সংখ্যা দ্বারা তিনটিকেই ভাগ করা যায়) হলো 2।
২. বীজগণিতীয় অংশের গ.সা.গু: উৎপাদকগুলো হলো (x+y)(x+y) এবং (x−y)(x-y)। (x+y)(x+y) শুধু ১ম ও ৩য় রাশিতে আছে। (x−y)(x-y) শুধু ২য় ও ৩য় রাশিতে আছে। যেহেতু কোনো উৎপাদকই তিনটি রাশিতেই সাধারণ নয়, তাই বীজগণিতীয় অংশের গ.সা.গু হলো 1।
নির্ণেয় গ.সা.গু = (সাংখ্যিক গ.সা.গু) ×\times (বীজগণিতীয় গ.সা.গু) = 2×1=22 \times 1 = 2।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 2।
101

 O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে OD, AB জ্যা এর উপর লম্ব। AD = 3 সে.মি. হলে AB = কত সে.মি.? 

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3 সে.মি.
  2. খ
    4 সে.মি.
  3. গ
    5 সে.মি.
  4. 6 সে.মি.

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে OD, AB জ্যা এর উপর লম্ব। AD = 3 সে.মি. হলে AB = কত সে.মি.? 

সমাধান: 
বৃত্তের কেন্দ্র হতে কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
AD = 3 সে.মি. হলে AB = 2 × 3 = 6 সে.মি.

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ৬ সে.মি.। এর কারণ হলো বৃত্তের জ্যামিতির একটি মৌলিক উপপাদ্য।
উপপাদ্যটি হলো: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে (Perpendicular from the center bisects the chord)।
এখানে, কেন্দ্র হলো O এবং জ্যা হলো AB। OD, AB এর উপর লম্ব। তাই D বিন্দুটি AB জ্যা-কে সমান দুই ভাগে ভাগ করেছে, অর্থাৎ D হলো AB-এর মধ্যবিন্দু।
সুতরাং, AB=2×AD\text{AB} = 2 \times \text{AD}।
প্রশ্নে AD=3\text{AD} = 3 সে.মি. দেওয়া আছে।
অতএব, AB=2×3=6\text{AB} = 2 \times 3 = \mathbf{6} সে.মি.।
102

২৮° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৬০°
  2. খ
    ৪০°
  3. ৭৬°
  4. ঘ
    ৩১°

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: ২৮° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক কত?

সমাধান:
২৮° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° -  ২৮° = ১৫২°
১৫২° কোণের অর্ধেক = ১৫২°/২ = ৭৬°

ব্যাখ্যা

জ্যামিতিতে, যখন দুটি কোণের যোগফল ১৮০° (বা দুই সমকোণ) হয়, তখন কোণ দুটিকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ (Supplementary Angle) বলা হয়।
প্রদত্ত কোণটি হলো ২৮°। সুতরাং, এর সম্পূরক কোণ হবে: 180∘−28∘=152∘180^\circ - 28^\circ = 152^\circ।
প্রশ্নে এই সম্পূরক কোণের অর্ধেক নির্ণয় করতে বলা হয়েছে।
সম্পূরক কোণের অর্ধেক: 152∘÷2=76∘152^\circ \div 2 = 76^\circ।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৭৬°।
103

 দুটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 13 এবং গুণফল 6 হলে, সংখ্যা দুটির বর্গের অন্তর কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4
  2. 5
  3. গ
    6
  4. ঘ
    7

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 13 এবং গুণফল 6 হলে, সংখ্যা দুটির বর্গের অন্তর কত?

সমাধান: 
মনে করি,
সংখ্যা দুইটি x ও y
১ম শর্তমতে, x2 + y2 = 13......................(i)
২য় শর্তমতে, xy = 6.................................(ii)
আমরা জানি,
(x2 + y2)2 = (x2-y2)2 + 4x2y2
⇒ (13)2 = (x2-y2)2 + 4(6)2
⇒ (x2 - y2)2 = 169 - 144
⇒ (x2- y2)2= 25
∴ x2 - y2 = 5
সুতরাং, সংখ্যা দুইটির বর্গের অন্তর 5.

ব্যাখ্যা

এটি বীজগাণিতিক মান নির্ণয়ের একটি গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা। আমাদের দেওয়া আছে দুটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি (x2+y2x^2 + y^2) এবং তাদের গুণফল (xyxy)। আমাদের বের করতে হবে তাদের বর্গের অন্তর (x2−y2x^2 - y^2)।
ধরি, সংখ্যা দুটি xx এবং yy। প্রশ্নমতে, x2+y2=<strong>13</strong>x^2 + y^2 = <strong>13</strong> এবং xy=<strong>6</strong>xy = <strong>6</strong>।
আমরা জানি, বীজগাণিতিক সূত্র (a−b)2=(a+b)2−4ab(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab।
এখানে a=x2a = x^2 এবং b=y2b = y^2 ধরে এই সূত্র প্রয়োগ করা যায়। ফলে পাই:
(x2−y2)2=(x2+y2)2−4x2y2 (x^2 - y^2)^2 = (x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2
প্রদত্ত মানগুলি বসালে:
(x2−y2)2=(13)2−4(6)2 (x^2 - y^2)^2 = (13)^2 - 4(6)^2
(x2−y2)2=169−4(36) (x^2 - y^2)^2 = 169 - 4(36)
(x2−y2)2=169−144 (x^2 - y^2)^2 = 169 - 144
(x2−y2)2=25 (x^2 - y^2)^2 = 25
অতএব, সংখ্যা দুটির বর্গের অন্তর x2−y2=25=<strong>5</strong> x^2 - y^2 = \sqrt{25} = <strong>5 </strong> ।
সঠিক উত্তর হলো 5, যা অপশন (B) তে রয়েছে।
104

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    x1/2

  2. x1/3

  3. গ

    x2/3

  4. ঘ

    x3/2

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

 

সমাধান: 
= [{(x3)1/3}1/3]
= x1/3

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সূচক (Indices) সম্পর্কিত। সঠিক উত্তর বের করার জন্য আমাদের মূলকে ভগ্নাংশ ঘাতে (Fractional Index) রূপান্তর এবং সূচকের গুণন নিয়ম প্রয়োগ করতে হবে।
প্রদত্ত রাশিটি হলো: x333\sqrt[3]{\sqrt[3]{x^3}}।
ধাপ ১: মূলকে ঘাতে রূপান্তর
সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, nn তম মূলকে 1/n1/n ঘাত দ্বারা প্রকাশ করা হয়, অর্থাৎ an=a1/n\sqrt[n]{a} = a^{1/n}।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি: x333=[(x3)1/3]1/3\sqrt[3]{\sqrt[3]{x^3}} = [ (x^3)^{1/3} ]^{1/3}।
ধাপ ২: সূচকের গুণন নিয়ম প্রয়োগ
সূচকের একটি মূল নিয়ম হলো: যখন কোনো রাশির ঘাতের উপরে আবার ঘাত থাকে, তখন ঘাতগুলো গুণ হয়ে যায়। অর্থাৎ, (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}।
এখানে তিনটি ঘাত রয়েছে (3, 1/3 এবং 1/3)। এই ঘাতগুলো গুণ হবে:
x3×13×13=x39=x13x^{3 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3}} = x^{\frac{3}{9}} = x^{\frac{1}{3}}
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো x1/3x^{1/3}।
105

একটি ঘনকের প্রতিটি ধার 5 সে.মি. হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 5√3 সে.মি
  2. খ
    3√5 সে.মি
  3. গ
    5√5 সে.মি
  4. ঘ
    5√2 সে.মি

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: একটি ঘনকের প্রতিটি ধার 5 সে.মি. হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
ঘনকটির প্রত্যেক ধার a = 5 সে.মি এবং
ঘনকটির কর্ণের দৈর্ঘ্য = a √3 একক
                                  = 5√3 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রিয় শিক্ষকবৃন্দ, এটি পরিমিতির একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ও সরাসরি সূত্র নির্ভর প্রশ্ন।
একটি ঘনকের ধার বা বাহুর দৈর্ঘ্য যদি aa হয়, তবে সেই ঘনকের (space diagonal) কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সরাসরি সূত্রটি হলো a3a\sqrt{3} একক।
এই প্রশ্নে, ঘনকটির ধার (a) দেওয়া আছে 5 সে.মি.।
সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে: 5×35 \times \sqrt{3} সে.মি. বা 535\sqrt{3} সে.মি.।
অন্যদিকে, 525\sqrt{2} সে.মি. হলো ঘনকটির তলের কর্ণ (Face Diagonal), যা ভিন্ন প্রশ্নের উত্তর।
106

শতকরা বার্ষিক 12 টাকা হার মুনাফায় 500 টাকার কত বছরের সরল মুনাফা 360 টাকা হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    5 বছর
  2. 6 বছর
  3. গ
    3 বছর
  4. ঘ
    2 বছর

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক 12 টাকা হার মুনাফায় 500 টাকার কত বছরের সরল মুনাফা 360 টাকা হবে?

সমাধান:
100 টাকার 1 বছরের মুনাফা  12 টাকা 
1 টাকার 1 বছরের মুনাফা  12/100 টাকা 
500 টাকার 1 বছরের মুনাফা  (12 × 500)/100 টাকা 
                                           = 60 টাকা 

60 টাকা মুনাফা  হয় 1 বছরে 
1 টাকা মুনাফা  হয় 1/60 বছরে 
360 টাকা মুনাফা  হয় (1 × 360)/60 বছরে 
                                 = 6 বছর

ব্যাখ্যা

এটি সরল মুনাফা (Simple Interest) নির্ণয়ের একটি ক্লাসিক্যাল সমস্যা। আমাদের সময় (n) বের করতে হবে।
সরল মুনাফার ক্ষেত্রে আমরা সূত্র ব্যবহার করি: I=Pnr100I = \frac{Pnr}{100}
এখানে, আসল (P)=<strong>500টাকা</strong>(P) = <strong>500 টাকা</strong>, মুনাফার হার (r)=<strong>12%</strong>(r) = <strong>12\%</strong>, এবং মুনাফা (I)=<strong>360টাকা</strong>(I) = <strong>360 টাকা</strong>।
সময় (n)(n) বের করার জন্য সূত্রটিকে সাজিয়ে পাই: n=I×100P×rn = \frac{I \times 100}{P \times r}
মান বসিয়ে পাই: n=360×100500×12=360006000n = \frac{360 \times 100}{500 \times 12} = \frac{36000}{6000}
ভাগ করে আমরা পাই: n=<strong>6বছর</strong>n = <strong>6 বছর</strong>। তাই বিকল্প (খ) সঠিক।
107

3 + 6 + 9 + ............. ধারাটির কততম পদ 33?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    10
  2. খ
    12
  3. 11
  4. ঘ
    13

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: 3 + 6 + 9 + ............. ধারাটির কততম পদ 33?

সমাধান: 
এখানে
১ম পদ a = 3,
সাধারণ অন্তর d =6 - 3 = 3

আমরা জানি,
 n তম পদ = a + (n - 1)3
বা, 33 = 3 +(n - 1) × (3)
বা, 33 =3 + 3n - 3
বা, 33 = 3n 
বা 3n = 33 
বা  3n = 33
বা n = 33/3
   n  = 11

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত ধারাটি হলো একটি সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression), কারণ যেকোনো পদ থেকে তার পূর্ববর্তী পদ বিয়োগ করলে বিয়োগফল সর্বদা সমান থাকে।
এখানে, প্রথম পদ (a) = 3।
সাধারণ অন্তর (d) = 6−3=36 - 3 = 3।
আমরা জানি, সমান্তর ধারার nnতম পদের সূত্র হলো: Tn=a+(n−1)dT_n = a + (n-1)d
প্রশ্নমতে, nnতম পদ =33= 33
মান বসিয়ে পাই: 33=3+(n−1)333 = 3 + (n - 1)3
বা, 33−3=(n−1)333 - 3 = (n - 1)3
বা, 30=3(n−1)30 = 3(n - 1)
বা, 10=n−110 = n - 1
সুতরাং, n=10+1=<strong>11</strong>n = 10 + 1 = <strong>11</strong>।
অতএব, ধারাটির ১১তম পদ হলো ৩৩। অন্য অপশনগুলোতে পদসংখ্যা কম বা বেশি হওয়ায় উত্তর ভুল হবে।
108

একটি কলম 10% লাভে বিক্রয় করা হলো। কলমটির বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    9 : 10
  2. খ
    10 : 11
  3. গ
    10 : 9
  4. 11 : 10

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন: একটি কলম 10% লাভে বিক্রয় করা হলো। কলমটির বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত কত?

সমাধান: 
 ধরি,
ক্রয়মূল্য = 100 টাকা
বিক্রয়মূল্য = (100 + 10) টাকা= 110 টাকা 

বিক্রয়মূল্য ক্রয়মূল্য = 110 : 100 = 11 : 10

ব্যাখ্যা

শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষায় লাভ-ক্ষতির এই ধরনের অনুপাতের প্রশ্ন খুব কমন। প্রশ্নটি সমাধানের জন্য প্রথমে লাভ-ক্ষতির মূল ধারণাটি স্পষ্ট রাখতে হবে।
১. প্রশ্নে বলা হয়েছে কলমটি ১০% লাভে বিক্রয় করা হলো। লাভ সবসময় ক্রয়মূল্যের (CP) উপর নির্ভর করে হিসাব করা হয়।
২. যদি আমরা ক্রয়মূল্য (ক্র.মূ.) ১০০ টাকা ধরি, তবে ১০% লাভে বিক্রয়মূল্য (বি.মূ.) হবে: (১০০+১০)=১১০(১০০ + ১০) = ১১০ টাকা।
৩. প্রশ্নে অনুপাতটি চাওয়া হয়েছে: বিক্রয়মূল্য ও ক্রয়মূল্যের অনুপাত। অর্থাৎ, বি.মূ. : ক্র.মূ.
৪. অনুপাতটি হবে: ১১০:১০০১১০ : ১০০।
৫. একে ১০ দিয়ে কাটলে অনুপাতটি দাঁড়ায়: ১১ : ১০। তাই সঠিক উত্তর অপশন (ঘ)।
৬. অপশন (খ) ১০:১১১০ : ১১ তখনই সঠিক হতো, যখন অনুপাতটি ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের মধ্যে চাওয়া হতো (ক্র.মূ. : বি.মূ.)।
109

৩০০০ এর শতকরা ৫ ভাগ অপেক্ষা ৩০০০ এর শতকরা ১০ ভাগ কত বেশি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    175
  2. খ
    160
  3. 150
  4. ঘ
    100

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: ৩০০০ এর শতকরা ৫ ভাগ অপেক্ষা ৩০০০ এর শতকরা ১০ ভাগ কত বেশি?

সমাধান:
৩০০০ এর ৫% = ৩০০০ এর ৫%
                         = ৩০০০ এর ৫/১০০
                          = ১৫০
 ৩০০০ এর ১০% = ৩০০০ এর ১০/১০০
                          = ৩০০

বেশি = (৩০০ - ১৫০) = ১৫০

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তরটি হলো ১৫০। এই ধরনের অংক সমাধানের জন্য প্রথমে আপনাকে পৃথকভাবে উভয় শতাংশের মান নির্ণয় করতে হবে, এবং এরপর তাদের পার্থক্য বের করতে হবে।
প্রথম ধাপ: ৩০০০ এর শতকরা ৫ ভাগ (৫%) নির্ণয়:
৩০০০×৫১০০=<strong>১৫০৩০০০ \times \frac{৫}{১০০} = <strong>১৫০
দ্বিতীয় ধাপ: ৩০০০ এর শতকরা ১০ ভাগ (১০%) নির্ণয়:
৩০০০×১০১০০=<strong>৩০০৩০০০ \times \frac{১০}{১০০} = <strong>৩০০
তৃতীয় ধাপ: পার্থক্য নির্ণয় (কত বেশি?):
বেশি = (৩০০ - ১৫০) = ১৫০।
যেহেতু প্রশ্নটি সরাসরি পার্থক্য জানতে চেয়েছে, তাই সঠিক উত্তরটি হবে ১৫০।
110

f(x) = 2x2 + 3x - 1 হলে f(0) = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    6
  2. খ
    4
  3. গ
    1
  4. -1

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন: f(x) = 2x2 + 3x - 1 হলে f(0) = কত? 

সমাধান: 
f(x) = 2x2 + 3x - 1 
f(0) = 2.02 + 3.0 - 1
       = 0 + 0 - 1
        = - 1

ব্যাখ্যা

এটি একটি ফাংশন (Function) এর মান নির্ণয়ের সহজ প্রশ্ন। ফাংশনের মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, প্রশ্নে উল্লেখিত চলক (xx) এর জায়গায় যে মানটি বসাতে বলা হয়েছে, সেই মানটি সমীকরণটিতে বসিয়ে দিতে হয়।
এখানে, প্রদত্ত ফাংশনটি হলো: f(x)=2x2+3x−1f(x) = 2x^2 + 3x - 1
আমাদের f(0)f(0) এর মান বের করতে হবে, অর্থাৎ, xx এর পরিবর্তে 00 বসাতে হবে।
f(0)=2(0)2+3(0)−1f(0) = 2(0)^2 + 3(0) - 1
f(0)=2(0)+0−1f(0) = 2(0) + 0 - 1
f(0)=0+0−1f(0) = 0 + 0 - 1
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো −1-1।
111

2x+1 = 32 হলে x এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 4
  2. খ
    3
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন : 2x + 1 = 32 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
2x + 1 = 32
2x + 1 = 25
x + 1 = 5 
x = 5 - 1
x = 4

ব্যাখ্যা

এটি সূচকের একটি সাধারণ সমীকরণ। আমাদের লক্ষ্য হলো সমীকরণের উভয় পাশে ভিত্তি (base) সমান করা।
প্রশ্নানুসারে, 2x+1=322^{x+1} = 32
আমরা জানি যে 32 কে 2 এর ঘাত (power) হিসেবে প্রকাশ করা যায়। 32=2532 = 2^5।
এখন আমরা সমীকরণটিকে এভাবে লিখতে পারি: 2x+1=252^{x+1} = 2^5
সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, যদি ভিত্তি (base) সমান হয়, তবে ঘাতগুলোও (exponents) সমান হবে।
সুতরাং, x+1=5x + 1 = 5 হবে।
x এর মান নির্ণয় করতে, আমরা 1 কে ডান পাশে বিয়োগ করি: x=5−1x = 5 - 1
অতএব, x=4x = 4। সঠিক উত্তরটি হলো 4।
112

 ABCD সামান্তরিকের DC বাহুকে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠BAD = ১০০° হলে, ∠BCE = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১০০°
  2. খ
    ৯০°
  3. ৮০°
  4. ঘ
    ৬৫°

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকের DC বাহুকে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠BAD = ১০০° হলে, ∠BCE = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান 
 ∠BAD = ∠ BCD = 100° 


∠BCD + ∠BCE = 180°
100° + ∠BCE = 180°
∠BCE = 180° - 100°
∠BCE = 80°

ব্যাখ্যা

এটি একটি সামান্তরিকের ধর্ম সম্পর্কিত সহজ জ্যামিতি প্রশ্ন।
ধাপ ১: সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান হয়। প্রশ্নে ∠BAD=100∘\angle BAD = \mathbf{100^\circ} দেওয়া আছে। তাই এর বিপরীত কোণ ∠BCD\angle BCD -এর মানও হবে 100∘\mathbf{100^\circ}।
ধাপ ২: DC বাহুকে E পর্যন্ত বর্ধিত করায় D-C-E একটি সরলরেখা তৈরি হয়েছে। একটি সরলরেখার উপর সৃষ্ট সন্নিহিত কোণগুলোর (Linear Pair) সমষ্টি 180∘\mathbf{180^\circ} হয়।
ধাপ ৩: এখানে, ∠BCD+∠BCE=180∘\angle BCD + \angle BCE = \mathbf{180^\circ}।
ধাপ ৪: আমরা মান বসিয়ে পাই: 100∘+∠BCE=180∘100^\circ + \angle BCE = 180^\circ।
অতএব, ∠BCE=180∘−100∘=80∘\angle BCE = 180^\circ - 100^\circ = \mathbf{80^\circ}।
তাই সঠিক উত্তর হলো ৮০∘\mathbf{৮০^\circ}।
113

ঘণ্টায় ৬০ কিলোমিটার বেগে ১০০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেনের ৩০০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লাটফর্ম অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২০ সেকেন্ড
  2. ২৪ সেকেন্ড
  3. গ
    ২০ মিনিট
  4. ঘ
    ২৪ মিনিট

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন: ঘণ্টায় ৬০ কিলোমিটার বেগে ১০০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেনের ৩০০ মিটার দীর্ঘ একটি প্লাটফর্ম অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?

সমাধান: 
ট্রেনটি মোট অতিক্রম করে (৩০০ + ১০০) = ৪০০ মিটার
৬০০০০ মিটার অতিক্রম করে ৩৬০০ সেকেন্ডে
১ মিটার অতিক্রম করে ৩৬০০/৬০০০০ সেকেন্ডে
∴৪০০ মিটার অতিক্রম করে  (৩৬০০ × ৪০০)/৬০০০০ = ২৪ সেকেন্ডে

ব্যাখ্যা

এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য দুটি ধাপ অনুসরণ করতে হবে: মোট দূরত্ব নির্ণয় এবং গতিবেগকে সেকেন্ড/মিটারে রূপান্তর।
ধাপ ১: মোট দূরত্ব (Total Distance): কোনো ট্রেন যখন প্ল্যাটফর্ম অতিক্রম করে, তখন তাকে নিজের দৈর্ঘ্য (Train Length) এবং প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য (Platform Length) উভয়ের সমান দূরত্ব অতিক্রম করতে হয়।
মোট দূরত্ব = ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্ল্যাটফর্মের দৈর্ঘ্য
মোট দূরত্ব = 100extমিটার+300extমিটার=400extমিটার100 ext{ মিটার} + 300 ext{ মিটার} = 400 ext{ মিটার}।
ধাপ ২: গতিবেগের রূপান্তর (Speed Conversion): গতিবেগ দেওয়া আছে ঘণ্টায় ৬০ কিলোমিটার। এটিকে অবশ্যই মিটার/সেকেন্ড (m/s) এককে নিতে হবে, কারণ উত্তর সেকেন্ডে চাওয়া হয়েছে।
আমরা জানি, $1 ext{ কিমি/ঘণ্টা} = rac{5}{18} ext{ মিটার/সেকেন্ড}$।
ট্রেনের গতিবেগ = $60 imes \frac{5}{18} ext{ মিটার/সেকেন্ড} = rac{300}{18} ext{ মিটার/সেকেন্ড}$।
ধাপ ৩: সময় নির্ণয় (Time Calculation): সময় = দূরত্বগতিবেগ\frac{\text{দূরত্ব}}{\text{গতিবেগ}}
সময় = 40030018extসেকেন্ড\frac{400}{\frac{300}{18}} ext{ সেকেন্ড}
সময় = 400imes18300extসেকেন্ড400 imes \frac{18}{300} ext{ সেকেন্ড}
সময় = 4imes183=4imes6=24extসেকেন্ড\frac{4 imes 18}{3} = 4 imes 6 = 24 ext{ সেকেন্ড}।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ২৪ সেকেন্ড (অপশন খ)। অপশন 'মিনিট' (গ ও ঘ) ভুল, কারণ এই দূরত্ব অতিক্রম করতে কম সময় লাগবে।
114

একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    60°
  2. খ
    45°
  3. 30°
  4. ঘ
    25°

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
একটি কোণ x হলে,
কোনটির পূরক কোণ (90°-x)
x = (90° - x)/2
3x = 90°
x = 30°

ব্যাখ্যা

এই ধরনের প্রশ্নের মূল চাবিকাঠি হলো পূরক কোণ (Complementary Angle)-এর সংজ্ঞা জানা।
পূরক কোণ: যখন দুটি কোণের সমষ্টি 90∘90^\circ (এক সমকোণ) হয়, তখন একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলা হয়।
ধরি, কাঙ্ক্ষিত কোণটির মান xx।
তাহলে, কোণটির পূরক কোণ হবে (90∘−x)(90^\circ - x)।
প্রশ্নমতে, কোণটির মান তার পূরক কোণের মানের অর্धेকের সমান, অর্থাৎ:
x=90∘−x2x = \frac{90^\circ - x}{2}
২ দ্বারা গুণ করে পাই: 2x=90∘−x2x = 90^\circ - x
−x-x কে বাম পাশে আনলে: 2x+x=90∘2x + x = 90^\circ
3x=90∘3x = 90^\circ
অতএব, x=90∘3=30∘x = \frac{90^\circ}{3} = 30^\circ
সঠিক উত্তর হলো 30° (পূরক কোণ 90∘−30∘=60∘90^\circ - 30^\circ = 60^\circ)। যেহেতু 30∘30^\circ হলো 60∘60^\circ-এর অর্ধেক, তাই সমাধানটি সঠিক।
115

নিচের কোনটি অমুলদ সংখ্যা?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1.111...........
  2. খ
    1.1010101............
  3. গ
    1.1001001001...........
  4. 1.1010010001.............

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

যে সংখ্যাকে p/q  আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়।
পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনাে স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
যেমন√2 = 1.414213..., √3 = 1.732 ..., √2 = 1.118..., ইত্যাদি অমূলদ সংখ্যা।
কোনাে অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।

আবার,
দশমিকের পরের ঘরগুলো যদি ভিন্ন ভিন্ন আকারে অসীম হয়, তবে সংখ্যাটি অমূলদ হবে।  
যেমন: 1.1010010001.............

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: 1.1010010001.............।
গণিতে, সংখ্যাকে মূলত দুই ভাগে ভাগ করা হয়: মূলদ সংখ্যা (Rational) এবং অমূলদ সংখ্যা (Irrational)।
মূলদ সংখ্যা (Rational Number): যে সংখ্যাকে pq\frac{p}{q} আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে pp ও qq পূর্ণসংখ্যা এবং q≠0q \neq 0। দশমিকের পরে এর অঙ্কগুলো হয় সসীম (Terminating) অথবা আবৃত্ত (Repeating/Recurring) হয়।
অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number): যে সংখ্যাকে pq\frac{p}{q} আকারে প্রকাশ করা যায় না। দশমিকের পরে এর অঙ্কগুলো অসীম (Non-terminating) এবং অনাবৃত্ত (Non-repeating) হয়। অর্থাৎ, দশমিকের পরে কোনো নির্দিষ্ট প্যাটার্ন বারবার ফিরে আসে না।
প্রদত্ত অপশনগুলো বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়:
১. 1.111...........: এটি একটি আবৃত দশমিক (Repeating decimal)। এটি মূলদ সংখ্যা। (=119= 1\frac{1}{9})
২. 1.1010101............: এখানে '10' ব্লকটি বারবার আবৃত্ত হচ্ছে। এটিও মূলদ সংখ্যা।
৩. 1.1001001001...........: এখানে '1001' ব্লকটি বারবার আবৃত্ত হচ্ছে। এটিও মূলদ সংখ্যা।
৪. 1.1010010001.............: এখানে দশমিকের পরে অঙ্কগুলো একটি নির্দিষ্ট ক্রমানুসারে (10, 100, 1000, 10000...) আসলেও, কোনো নির্দিষ্ট ব্লক বারবার আবৃত্ত হচ্ছে না। এটি অসীম ও অনাবৃত্ত। তাই এটিই অমূলদ সংখ্যা।
116

কোনো সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে উহা একটি-

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    বর্গ
  2. খ
    রম্বস
  3. গ
    ট্রাপিজিয়াম
  4. আয়তক্ষেত্র

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

- সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরষ্পর অসমান।
- সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় যদি পরস্পর সমান হয় তবে সামান্তরিকটি আয়তক্ষেত্র হবে।
- সামান্তরিকের একটি কোণ সমকোণ হলে, তা আয়ত।

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: আয়তক্ষেত্র (Rectangle)।
সামান্তরিকের মূল বৈশিষ্ট্য হলো এর বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল।
ধরা যাক, একটি সামান্তরিকের একটি কোণ θ=90∘\theta = 90^{\circ}।
১. সামান্তরিকের বিপরীত কোণগুলো সমান। তাই, θ\theta'র বিপরীত কোণটিও হবে 90∘90^{\circ}।
২. সামান্তরিকের সন্নিহিত কোণগুলো পরস্পর সম্পূরক (যোগফল 180∘180^{\circ})। তাই, 180∘−90∘=90∘180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}।
সুতরাং, বাকি দুটি কোণও 90∘90^{\circ}।
যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল এবং প্রতিটি কোণ সমকোণ (90∘90^{\circ}), তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।
📌 ভুল কেন: বর্গ হতে হলে চারটি কোণ সমকোণ হওয়ার পাশাপাশি চারটি বাহুও সমান হতে হবে। প্রশ্নটিতে বাহু সমান হওয়ার শর্ত দেওয়া নেই। রম্বস হতে হলে চারটি বাহু সমান হতে হবে, কিন্তু কোণ সমকোণ হওয়ার শর্ত নেই। ট্রাপিজিয়াম সামান্তরিক নয়, কারণ এর শুধুমাত্র একজোড়া বিপরীত বাহু সমান্তরাল।
117

p = a × b হলে এবং a ও b উভয়কে একত্রে ১০% বৃদ্ধি করা হলে p-এর মান শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    15%
  2. খ
    20%
  3. 21%
  4. ঘ
    25%

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

p = a × b = ab

a ও b উভয়কে একত্রে ১০% বৃদ্ধি করা হয়, তাহল
p = (a + a এর 10%) × (b + b এর 10%)
p = (a + 10a/100) × (b + 10b/100)
p = (a + a/10) × (b + b/10)
p = (11a/10) (11b/10)
p = 121ab/100

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (121ab/100) - ab  
                       = (121ab - 100ab)/100
                        = 21ab/100
ক্ষেত্রফল শতকরা বৃদ্ধি = [{(21ab/100)/ab} × 100]%
                                  = 21%

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: ২১%।
এই প্রশ্নটি মূলত সফল অনুপাত পরিবর্তন (Successive Percentage Change) নীতির উপর ভিত্তি করে তৈরি।
ধরি, আদি মান pold=a×b=abp_{old} = a \times b = ab।
যখন aa কে 10%10\% বৃদ্ধি করা হয়, তখন নতুন aa হয়: anew=a(1+10/100)=<strong>1.1a</strong>a_{new} = a (1 + 10/100) = <strong>1.1a</strong>।
একইভাবে, যখন bb কে 10%10\% বৃদ্ধি করা হয়, তখন নতুন bb হয়: bnew=b(1+10/100)=<strong>1.1b</strong>b_{new} = b (1 + 10/100) = <strong>1.1b</strong>।
নতুন pp-এর মান: pnew=(1.1a)×(1.1b)=<strong>1.21ab</strong>p_{new} = (1.1a) \times (1.1b) = <strong>1.21ab</strong>।
বৃদ্ধিপ্রাপ্ত মান = pnew−pold=1.21ab−ab=0.21abp_{new} - p_{old} = 1.21ab - ab = 0.21ab।
শতকরা বৃদ্ধি = $(\frac{\text{বৃদ্ধিপ্রাপ্ত মান}}{\text{আদি মান}} \times 100)\% = (\frac{0.21ab}{ab} \times 100)\% = 21\%।
ভুল কেন: অনেকে 10%+10%=20%10\% + 10\% = 20\% ধরে ভুল করেন। কিন্তু এখানে দ্বিতীয় 10%10\% বৃদ্ধিটি প্রথম বৃদ্ধির পর প্রাপ্ত ফলাফলের উপর (চক্রবৃদ্ধি হারে) হিসাব করতে হয়।
118

Inx/(x - 1) এর মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে নিচের কোন শর্তটি প্রযোজ্য?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. x > 0 এবং x ≠ 1
  2. খ
    x ≥ 0 এবং x ≠ 1
  3. গ
    x > 0 অথবা x ≠ 1
  4. ঘ
    x ≥ 0 অথবা x ≠ 1

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

x এর মান  1 হলে প্রদত্ত রাশির মান অসঙ্গায়িত হয়। 
x এর মান  0 এর সমান বা 0 থেকে ছোট হলে প্রদত্ত রাশির মান অসঙ্গায়িত হয়। 
x > 0 এবং x ≠ 1 অর্থাৎ x এর মান  0 চেয়ে বড় এবং x ≠ 1 হলে প্রদত্ত রাশিটির মান সঙ্গায়িত হয়। 


Inx/(x - 1) এর মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে x > 0 এবং x ≠ 1 শর্তটি প্রযোজ্য

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত রাশিটি হলো f(x)=lnxx−1f(x) = \frac{lnx}{x - 1}। এই রাশিটির মান সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য দুটি মূল শর্ত পূরণ হতে হবে:
১. লগারিদমের শর্ত (Numerator): স্বাভাবিক লগারিদম lnxlnx এর মান সংজ্ঞায়িত হতে হলে তার ভেতরের রাশিটিকে অবশ্যই শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে। অর্থাৎ, x>0x > 0।
২. ভগ্নাংশের শর্ত (Denominator): কোনো ভগ্নাংশের মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রে এর হর (denominator) কখনও শূন্য হতে পারবে না। অর্থাৎ, x−1≠0x - 1 \ne 0, যার অর্থ x≠1x \ne 1।
যেহেতু দুটি শর্তই একই সাথে প্রযোজ্য হতে হবে, তাই শর্ত দুটিকে 'এবং' (AND) দ্বারা যুক্ত করা হয়।
সঠিক শর্তটি হলো: x>0x > 0 এবং x≠1x \ne 1।
119

৬টি কাঠির গড় দৈর্ঘ্য ৪৪.২ সে.মি. এবং এদের ৫টির গড় দৈর্ঘ্য ৪৬ সে.মি.। ৬ষ্ঠ কাঠিটির দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    35.1
  2. 35.2
  3. গ
    35.3
  4. ঘ
    35.4

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

৬টি কাঠির গড় দৈর্ঘ্য = ৪৪.২ সে.মি
৬টি কাঠির মোট দৈর্ঘ্য = (৪৪.২ × ৬) সে.মি
                                   = ২৬৫.২সে.মি

৫টির গড় দৈর্ঘ্য ৪৬ সে.মি.
৫টির মোট দৈর্ঘ্য = (৪৬ × ৫) সে.মি.
                           = ২৩০  সে.মি.

৬ষ্ঠ কাঠিটির দৈর্ঘ্য = (২৬৫.২ - ২৩০) সে.মি. 
                             = ৩৫.২ সে.মি.

ব্যাখ্যা

এটি গড়ের (Average) একটি মৌলিক সমস্যা। এখানে ৬টি বস্তুর মোট দৈর্ঘ্য এবং ৫টি বস্তুর মোট দৈর্ঘ্য বের করে পার্থক্য নির্ণয় করতে হবে।

ধাপ ১: ৬টি কাঠির মোট দৈর্ঘ্য নির্ণয়
৬টি কাঠির গড় দৈর্ঘ্য = ৪৪.২ সে.মি.
মোট দৈর্ঘ্য = ৪৬.২×৬=<strong>২৬৫.২সে.মি.</strong>৪৬.২ \times ৬ = <strong>২৬৫.২ সে.মি.</strong>

ধাপ ২: ৫টি কাঠির মোট দৈর্ঘ্য নির্ণয়
৫টি কাঠির গড় দৈর্ঘ্য = ৪৬ সে.মি.
মোট দৈর্ঘ্য = ৪৬×৫=<strong>২৩০সে.মি.</strong>৪৬ \times ৫ = <strong>২৩০ সে.মি.</strong>

ধাপ ৩: ৬ষ্ঠ কাঠিটির দৈর্ঘ্য নির্ণয়
৬ষ্ঠ কাঠিটির দৈর্ঘ্য = (৬টির মোট দৈর্ঘ্য) – (৫টির মোট দৈর্ঘ্য)
$= ২৬৫.২ - ২৩০ = ৩৫.২ সে.মি.

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৩৫.২, যা অপশন 2-এ রয়েছে। অন্যান্য অপশনগুলো গাণিতিকভাবে ভুল।
120

২৫% লাভে কোনো জিনিস ১৫ টাকায় বিক্রয় করলে বিক্রেতার কত টাকা লাভ হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    2
  2. 3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

২৫% লাভে
বিক্রয়মূল্য = (১০০ + ২৫) টাকা 
                   = ১২৫ টাকা 

বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা 
বিক্রয়মূল্য ১ টাকা হলে ক্রয়মূল্য ১০০/১২৫ টাকা
বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা হলে ক্রয়মূল্য (১০০ × ১৫)/১২৫ টাকা
                                                        = ১২ টাকা 

লাভ =(১৫ - ১২) টাকা = ৩টাকা

ব্যাখ্যা

এটি লাভ-ক্ষতি (Profit and Loss) সম্পর্কিত একটি মৌলিক সমস্যা, যা প্রায় প্রতি NTRCA পরীক্ষায় আসে। আমাদের প্রথমে জিনিসটির ক্রয়মূল্য (Cost Price) বের করতে হবে।
ধরি, ক্রয়মূল্য = ১০০ টাকা।
যেহেতু ২৫% লাভ হয়, তাই বিক্রয়মূল্য (Selling Price) হবে $(১০০ + ২৫) = ১২৫ টাকা।
এখন আমরা ঐকিক নিয়মে ক্রয়মূল্য নির্ণয় করব:
বিক্রয়মূল্য ১২৫ টাকা হলে, ক্রয়মূল্য ছিল ১০০ টাকা।
বিক্রয়মূল্য ১৫ টাকা হলে, ক্রয়মূল্য হবে: $\$ \frac{১০০}{১২৫} \times ১৫ \ টাকা।
হিসাব করলে পাওয়া যায়: $\$ \frac{৪}{৫} \times ১৫ = ৪ \times ৩ = ১২ \ টাকা। (এটি ক্রয়মূল্য)
সুতরাং, লাভ = বিক্রয়মূল্য −- ক্রয়মূল্য $= (১৫ - ১২) = ৩ টাকা।
সঠিক উত্তর হলো: ৩ টাকা।
121

নিচের কোনটি x3 - 6x2 + 11x - 6 এর উৎপাদক নয়?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    x - 1
  2. খ
    x - 2
  3. গ
    x - 3
  4. x - 4

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

এখানে,
f(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6
f(4) = 43 - 6 × 42 + 11 × 4 - 6
f(4) = 64 - 96 + 44 - 6
       = 6
∴ x - 4, f(x) এর উৎপাদক নয়।

ব্যাখ্যা

এই ধরনের প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আমাদের বীজগণিতের মৌলিক উৎপাদক উপপাদ্য (Factor Theorem) প্রয়োগ করতে হবে।
উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে, যদি f(x)f(x) একটি বহুপদী রাশি হয় এবং x−ax - a তার একটি উৎপাদক হয়, তবে অবশ্যই f(a)=0f(a) = 0 হবে।
এখানে প্রদত্ত রাশিমালাটি হলো f(x)=x3−6x2+11x−6f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6।
যে উৎপাদক নয়, সেটি খুঁজে বের করতে আমাদের বিকল্পগুলিতে প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে দেখতে হবে, যার ফলে ফলাফল শূন্য (00) হবে না।

১. x - 1 এর জন্য: f(1)=13−6(1)2+11(1)−6=1−6+11−6=0f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0 (উৎপাদক)।
২. x - 2 এর জন্য: f(2)=23−6(2)2+11(2)−6=8−24+22−6=0f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 11(2) - 6 = 8 - 24 + 22 - 6 = 0 (উৎপাদক)।
৩. x - 3 এর জন্য: f(3)=33−6(3)2+11(3)−6=27−54+33−6=0f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 11(3) - 6 = 27 - 54 + 33 - 6 = 0 (উৎপাদক)।
৪. x - 4 এর জন্য: f(4)=43−6(4)2+11(4)−6=64−96+44−6f(4) = 4^3 - 6(4)^2 + 11(4) - 6 = 64 - 96 + 44 - 6
=(64+44)−(96+6)=108−102=6= (64 + 44) - (96 + 6) = 108 - 102 = 6
যেহেতু f(4)=6f(4) = 6 (যা শূন্য নয়), তাই x−4x - 4 প্রদত্ত রাশিটির উৎপাদক নয়।
সঠিক উত্তর: x - 4।
122

a ≤ b এবং b ≤ a হলে নিচের কোনটি সত্য?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    a < b
  2. খ
    a > b
  3. a = b
  4. ঘ
    a ≠ b

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

a ≤ b এর ক্ষেত্রে a = b, a < b
এবং
b ≤ a এর ক্ষেত্রে b = a, b < a
সুতরাং 
a = b

ব্যাখ্যা

প্রশ্নটিতে দুটি বিপরীতমুখী অসমতা (Inequalities) শর্ত দেওয়া আছে: a≤ba \le b এবং b≤ab \le a।
প্রথম শর্ত, a≤ba \le b এর অর্থ হলো: হয় aa এর মান bb-এর চেয়ে ছোট (a<ba < b), অথবা aa এবং bb সমান (a=ba = b)।
দ্বিতীয় শর্ত, b≤ab \le a এর অর্থ হলো: হয় bb এর মান aa-এর চেয়ে ছোট (b<ab < a), অথবা aa এবং bb সমান (a=ba = b)।
যদি aa প্রকৃতপক্ষেই bb-এর চেয়ে ছোট হতো (a<ba < b), তবে দ্বিতীয় শর্তটি ভুল প্রমাণিত হতো। আবার, যদি aa প্রকৃতপক্ষেই bb-এর চেয়ে বড় হতো (a>ba > b), তবে প্রথম শর্তটি ভুল প্রমাণিত হতো।
যেহেতু দুটি শর্তই একইসাথে সত্য হতে হবে, তাই একমাত্র সম্ভাবনা হলো aa এবং bb পরস্পর সমান। অর্থাৎ, a=ba = b।
তাই সঠিক উত্তর হলো a = b।
123

2 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 5 সে.মি. দূরের কোনো বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 4.58
  2. খ
    5.38
  3. গ
    3
  4. ঘ
    5

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান


ΔOAB এ 
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,
OB2 = OA2 + AB2
52 = 22 + AB2
25 - 4 =  AB2
AB2 = 21
AB = √21
AB = 4.582

ব্যাখ্যা

এটি বৃত্ত সম্পর্কিত জ্যামিতির একটি বহুল প্রচলিত সমস্যা, যা সবসময় একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে।
এখানে, বৃত্তের কেন্দ্রকে O\mathbf{O}, স্পর্শবিন্দুকে A\mathbf{A} এবং বহিঃস্থ বিন্দুকে B\mathbf{B} ধরলে, ΔOAB\mathbf{\Delta OAB} একটি সমকোণী ত্রিভুজ হবে। কারণ, স্পর্শবিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব হয় (অর্থাৎ ∠OAB=90∘\angle OAB = 90^{\circ})।
ব্যাসার্ধ (OA) = R=2R = 2 সে.মি।
কেন্দ্র থেকে দূরত্ব (OB) = D=5D = 5 সে.মি। (এটি অতিভুজ)
স্পর্শকের দৈর্ঘ্য (AB) = TT = ?
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে, আমরা জানি:
OB2=OA2+AB2\mathbf{OB^2 = OA^2 + AB^2}
52=22+T25^2 = 2^2 + T^2
25=4+T225 = 4 + T^2
T2=25−4T^2 = 25 - 4
T2=21T^2 = 21
T=21T = \sqrt{21}
21≈4.582\sqrt{21} \approx \mathbf{4.582} সে.মি।
সঠিক উত্তর: 4.58।
124

 সাতটি সরলরেখার দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 1, 2, 3, 4, 5, 6 ও 7 সে.মি.। কয়টি ক্ষেত্রে চারটি বাহু দিয়ে চতুর্ভুজ অঙ্কন করা সম্ভব নয়? 

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    2
  2. 3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

সাতটি সরলরেখার দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 1, 2, 3, 4, 5, 6 ও 7 সে.মি.
আমরা জানি 
চতুর্ভুজের যেকোনো তিন বাহুর সমষ্টি অপর বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।

এখানে,
1 + 2 + 3 = 6 = 6 
1 + 2 + 3 = 6 < 7
1 + 2 + 4 = 7 = 7

এই তিনটি ক্ষেত্রে চতুর্ভুজ আঁকা সম্ভব নয়।

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তরটি হলো ৩টি ক্ষেত্রে চতুর্ভুজ অঙ্কন করা সম্ভব নয়।
চতুর্ভুজ অঙ্কনের মূল নীতি হলো: চতুর্ভুজের যেকোনো তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি অবশ্যই চতুর্থ বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে।
অর্থাৎ, বাহুগুলো যদি a,b,c,da, b, c, d হয়, তবে a+b+c>da+b+c > d হতে হবে।
প্রদত্ত সরলরেখাগুলোর দৈর্ঘ্য: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 সে.মি.
যেসব ক্ষেত্রে সমষ্টি চতুর্থ বাহুর সমান বা ছোট হয় (a+b+c≤da+b+c \le d), সেসব ক্ষেত্রে চতুর্ভুজ আঁকা সম্ভব নয়।
অসম্ভব ক্ষেত্র ১: বাহুগুলো 1, 2, 3 এবং 7 হলে।
তিনটি ছোট বাহুর সমষ্টি: 1+2+3=61+2+3 = 6।
চতুর্থ বাহু: 77। যেহেতু 6<76 < 7, তাই চতুর্ভুজ আঁকা সম্ভব নয়। (ক্ষেত্র: 1, 2, 3, 7)
অসম্ভব ক্ষেত্র ২: বাহুগুলো 1, 2, 4 এবং 7 হলে।
তিনটি ছোট বাহুর সমষ্টি: 1+2+4=71+2+4 = 7।
চতুর্থ বাহু: 77। যেহেতু 7=77 = 7, তাই চতুর্ভুজ আঁকা সম্ভব নয়। (ক্ষেত্র: 1, 2, 4, 7)
অসম্ভব ক্ষেত্র ৩: বাহুগুলো 1, 2, 3 এবং 6 হলে।
তিনটি ছোট বাহুর সমষ্টি: 1+2+3=61+2+3 = 6।
চতুর্থ বাহু: 66। যেহেতু 6=66 = 6, তাই চতুর্ভুজ আঁকা সম্ভব নয়। (ক্ষেত্র: 1, 2, 3, 6)
অন্যান্য ক্ষেত্রে, যেমন (1, 2, 5, 7) এর জন্য 1+2+5=8>71+2+5=8 > 7, অঙ্কন সম্ভব।
সুতরাং, মোট ৩টি ক্ষেত্রে চতুর্ভুজ অঙ্কন সম্ভব নয়।
125

নিচের কোনটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয় না?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    বর্গ
  2. খ
    আয়ত
  3. গ
    ট্রাপিজিয়াম
  4. রম্বস

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের যে কোন দুইটি বিপরীত কোনের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয়। 
বর্গ, আয়ত, ট্রাপিজিয়াম - এই তিন চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোনের সমষ্টি সর্বদা দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয়। 
কিন্তু রম্বসের দুইটি বিপরীত কোনের  সমষ্টি কখনো দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হয় না।
সুতরাং, রম্বস বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয় না। 

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: রম্বস।
কোনো চতুর্ভুজকে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ বলা হবে, যদি তার চারটি শীর্ষবিন্দু একটি বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত থাকে। এর মূল জ্যামিতিক শর্ত হলো: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের যেকোনো একজোড়া বিপরীত কোণের সমষ্টি সর্বদা 180∘180^{\circ} (দুই সমকোণ) হতে হবে।
১. বর্গ ও আয়ত: এদের প্রতিটি কোণ 90∘90^{\circ}। তাই বিপরীত কোণগুলোর সমষ্টি 90∘+90∘=180∘90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}। সুতরাং এরা বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয়।
২. ট্রাপিজিয়াম: যদি ট্রাপিজিয়ামটি সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম হয়, তবে এর বিপরীত কোণগুলোর সমষ্টি 180∘180^{\circ} হয়। তাই এটিও বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হতে পারে।
৩. রম্বস: রম্বসের বিপরীত কোণগুলো সমান হলেও, তা 180∘180^{\circ} হয় না (যদি না রম্বসটি বর্গ হয়)। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি রম্বসের কোণ 70∘70^{\circ} এবং 110∘110^{\circ} হয়, তবে বিপরীত কোণ দুটির সমষ্টি হয় 70∘+70∘=140∘70^{\circ} + 70^{\circ} = 140^{\circ} বা 110∘+110∘=220∘110^{\circ} + 110^{\circ} = 220^{\circ}, যা 180∘180^{\circ} নয়।
যেহেতু রম্বস সর্বদাই এই শর্ত পূরণ করে না, তাই এটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ হয় না।
126

Sin{(9π/2) + θ} =?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    sinθ
  2. খ
    - sinθ
  3. cosθ
  4. ঘ
    - cosθ

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

আমরা জানি 
Sin{(π/2) + θ} = cosθ
cos{(π/2) + θ} = - sinθ

Sin[{9(π/2)} + θ] = cosθ 

(π/2) এর বিজোড় গুণিতক হলে 
 

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত রাশিটি হলো Sin{(9π/2)+θ}Sin\{(9\pi/2) + \theta\}। এই ধরনের সমস্যার সমাধানে আমাদের দুটি ধাপ অনুসরণ করতে হয়: রূপান্তরের নিয়ম এবং চিহ্নের নিয়ম।
ধাপ ১: কোণকে সরলীকরণ (Reduction of Angle)
আমরা জানি, 9π/29\pi/2 কে এভাবে লেখা যায়: 9π/2=(8π/2)+(π/2)=4π+π/2=2×2π+π/29\pi/2 = (8\pi/2) + (\pi/2) = 4\pi + \pi/2 = 2 \times 2\pi + \pi/2।
যেহেতু 2π2\pi (বা 360∘360^{\circ}) এক পূর্ণ আবর্তন, তাই এর কোনো প্রভাব পড়ে না।
সুতরাং, Sin{(9π/2)+θ}Sin\{(9\pi/2) + \theta\} রাশিটি Sin{(π/2)+θ}Sin\{(\pi/2) + \theta\} এর সমান।
ধাপ ২: রূপান্তরের নিয়ম (Function Change Rule)
এখানে π/2\pi/2-এর গুণিতক হলো 1 (যা বিজোড়)। π/2\pi/2-এর বিজোড় গুণিতক থাকলে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত পরিবর্তিত হয়।
(Sin ↔\leftrightarrow Cos, Tan ↔\leftrightarrow Cot, Sec ↔\leftrightarrow Cosec)।
তাই, Sin পরিবর্তিত হয়ে Cos হবে।
ধাপ ৩: চিহ্নের নিয়ম (Quadrant Rule - CAST)
কোণটি হলো (π/2+θ)(\pi/2 + \theta)। এই কোণটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থান করে। দ্বিতীয় চতুর্ভাগে Sin এবং Cosec ধনাত্মক।
যেহেতু মূল অনুপাত Sin ছিল এবং এটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে ধনাত্মক, তাই ফলাফলও ধনাত্মক হবে।
সুতরাং, Sin{(9π/2)+θ}=Sin{(π/2)+θ}=+CosθSin\{(9\pi/2) + \theta\} = Sin\{(\pi/2) + \theta\} = +Cos\theta।
সঠিক উত্তর: cosθ।
127

কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তটির কেন্দ্রকে বলে -

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. পরিকেন্দ্র
  2. খ
    লম্ব কেন্দ্র
  3. গ
    অন্তঃকেন্দ্র
  4. ঘ
    ভরকেন্দ্র

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তকে বলা হয় পরিবৃত্ত এবং কেন্দ্রকে বলে পরিকেন্দ্র।

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু (Vertices) দিয়ে যে বৃত্তটি অঙ্কন করা হয়, তাকে পরিবৃত্ত (Circumcircle) বলা হয়।
সংজ্ঞানুসারে, এই পরিবৃত্তের কেন্দ্রকেই পরিকেন্দ্র (Circumcenter) বলা হয়, তাই বিকল্প (ক) সঠিক।
অন্যান্য কেন্দ্রগুলোর পরিচিতি ভিন্ন: লম্ব কেন্দ্র হলো ত্রিভুজের তিনটি উচ্চতার ছেদবিন্দু; অন্তঃকেন্দ্র হলো কোণগুলোর সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দু; এবং ভরকেন্দ্র হলো ত্রিভুজের মধ্যমাগুলোর ছেদবিন্দু।
128

tanθ = a/b হলে নিচের কোনটি সঠিক?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    sin⁡θ=b/a2+b2\sin\theta = b/\sqrt{a^2 + b^2}
  2. খ
    cos⁡θ=a/a2+b2\cos\theta = a/\sqrt{a^2 + b^2}
  3. গ
    sec⁡θ=a2+b2/a\sec\theta = \sqrt{a^2 + b^2}/a
  4. cosecθ=a2+b2/a\text{cosec}\theta = \sqrt{a^2 + b^2}/a

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

tanθ = a/b হলে

 
cosecθ = অতিভুজ/ লম্ব
            = √(a2 + b2)/a

ব্যাখ্যা

প্রশ্নমতে, tan⁡θ=ab\tan\theta = \frac{a}{b}। আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজে tan⁡θ=লম্বভূমি\tan\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}।
অতএব, লম্ব (Opposite side) = a এবং ভূমি (Adjacent side) = b।
পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী, অতিভুজ (Hypotenuse) H=লম্ব2+ভূমি2=a2+b2H = \sqrt{\text{লম্ব}^2 + \text{ভূমি}^2} = \sqrt{a^2 + b^2}।
আমাদের সঠিক বিকল্পটি খুঁজে বের করতে হবে। আমরা জানি, cosecθ=অতিভুজলম্ব\text{cosec}\theta = \frac{\text{অতিভুজ}}{\text{লম্ব}}।
সুতরাং, cosecθ=a2+b2a\text{cosec}\theta = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a}।
বিকল্প ৩ (Index 3) এ এই মানটি দেওয়া আছে। তাই এটিই সঠিক উত্তর।
অন্য বিকল্পগুলো ভুল কারণ:
১. sin⁡θ\sin\theta এর সঠিক মান হবে aa2+b2\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}।
২. cos⁡θ\cos\theta এর সঠিক মান হবে ba2+b2\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}।
৩. sec⁡θ\sec\theta এর সঠিক মান হবে a2+b2b\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{b}।
129

ax2 + b এর মান x = 1 হলে 1 এবং x = 3 হলে 25 হয়। x = 2 হলে এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    5
  2. 10
  3. গ
    15
  4. ঘ
    20

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

১ম শর্তমতে,
a(1)2 + b = 1
a + b = 1 ..................(1)
২য় শর্তমতে,
a(3)2 + b = 25
9a + b = 25......................(2)

(2) - (1)⇒
9a + b - a - b = 25 - 1
8a = 24
a = 3

(1)নং হতে পাই,
a + b = 1
3 + b = 1
b = 1 - 3
b = - 2

x  = 2 হলে 
ax2 + b = 3 × 22 + (- 2)
             = 12 - 2 
             = 10

ব্যাখ্যা

ধরি, অপেক্ষকটি হলো f(x)=ax2+bf(x) = ax^2 + b।
প্রথম শর্তানুসারে, যখন x=1x = 1, তখন মান 11।
$\(1) \implies a(1)^2 + b = 1 \implies <strong>a + b = 1</strong>$ (১ নং সমীকরণ)
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, যখন x=3x = 3, তখন মান 2525।
$\(2) \implies a(3)^2 + b = 25 \implies <strong>9a + b = 25</strong>$ (২ নং সমীকরণ)
এবার (২) নং সমীকরণ থেকে (১) নং সমীকরণ বিয়োগ করে পাই:
(9a+b)−(a+b)=25−1  ⟹  8a=24  ⟹  <strong>a=3</strong>(9a + b) - (a + b) = 25 - 1 \implies 8a = 24 \implies <strong>a = 3</strong>
a এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই: 3+b=1  ⟹  b=1−3  ⟹  <strong>b=−2</strong>3 + b = 1 \implies b = 1 - 3 \implies <strong>b = -2</strong>
সুতরাং, ফাংশনটি হলো ax2+b=3x2−2ax^2 + b = 3x^2 - 2।
এখন x=2x = 2 হলে মান নির্ণয় করতে হবে:
f(2)=3(2)2−2=3×4−2=12−2=<strong>10</strong>f(2) = 3(2)^2 - 2 = 3 \times 4 - 2 = 12 - 2 = <strong>10</strong>
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো 10।
130

log10(0.001) = কত ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3
  2. -3
  3. গ
    1/3
  4. ঘ
    -1/3

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

log10(0.001) 
= log10(1/1000)
= log10(1/103)
= log1010- 3
= - 3log1010
= - 3 × 1
= - 3

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সমাধানের জন্য প্রথমে আমাদের 0.0010.001 সংখ্যাটিকে ১০-এর ঘাত (Power of 10) হিসেবে প্রকাশ করতে হবে।
0.001=11000=11030.001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3}।
সূচকের সূত্র অনুযায়ী, 1an=a−n\frac{1}{a^n} = a^{-n}। সুতরাং, 1103=10−3\frac{1}{10^3} = 10^{-3}।
এখন, প্রদত্ত সমস্যাটি দাঁড়ায়: log⁡10(10−3)\log_{10}(10^{-3})।
লগারিদমের মূল সূত্র log⁡b(xn)=nlog⁡b(x)\log_b(x^n) = n \log_b(x) ব্যবহার করে আমরা পাই: −3log⁡10(10)-3 \log_{10}(10)।
যেহেতু লগারিদমের ভিত্তি ও সংখ্যা একই হলে মান ১ হয় (অর্থাৎ, log⁡10(10)=1\log_{10}(10) = 1), তাই 최종 ফলাফল হবে: −3×1=<strong>−3</strong>-3 \times 1 = <strong>-3</strong>।
অনেকেই দশমিককে ঘাতে রূপান্তরের সময় ঋণাত্মক চিহ্নটি ভুলে যান এবং 3 উত্তর দেন (অপশন 0), যা ভুল।
131

 a2 - 3a, a3 - 9a এবং a3 - 4a2 + 3a এর গ. সা.গু = ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. a(a−3)a(a - 3)
  2. খ
    (a−3)(a - 3)
  3. গ
    aa
  4. ঘ
    a(a+3)a(a + 3)

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

১ম রাশি =a2 - 3a 
             = a(a - 3)
২য় রাশি = a3 - 9a
              = a(a2 - 9)
              = a{a2- 32}
              =a(a + 3)(a - 3)

৩য় রাশি  = a3 - 4a2 + 3a
              = a(a2 - 4a + 3)
              = a(a2 - 3a - a + 3)
              = a{a(a - 3) - 1(a - 3)}
              =a(a - 3)(a - 1)
নির্ণেয় গ.সা.গু = a(a - 3)

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি বীজগণিতের উৎপাদক বিশ্লেষণ (Factorization) এবং গ.সা.গু (HCF) নির্ণয়ের সাথে সম্পর্কিত। গ.সা.গু নির্ণয়ের জন্য আমাদের প্রতিটি রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে এবং তারপর তাদের মধ্যে উপস্থিত সাধারণ উৎপাদকগুলো নির্বাচন করতে হবে।
১ম রাশি: a2−3aa^2 - 3a. এখানে aa কমন নেওয়া যায়।
a2−3a=a(a−3)a^2 - 3a = \mathbf{a(a - 3)}
২য় রাশি: a3−9aa^3 - 9a. এখানেও aa কমন যায়। এরপর (a2−9)(a^2 - 9) কে a2−32a^2 - 3^2 সূত্রে ভাঙতে হবে।
a3−9a=a(a2−9)=a(a2−32)=a(a+3)(a−3)a^3 - 9a = a(a^2 - 9) = a(a^2 - 3^2) = \mathbf{a(a + 3)(a - 3)}
৩য় রাশি: a3−4a2+3aa^3 - 4a^2 + 3a. প্রথমে aa কমন নিন, তারপর মধ্যপদ বিশ্লেষণ (Middle Term Factor) করুন।
a3−4a2+3a=a(a2−4a+3)a^3 - 4a^2 + 3a = a(a^2 - 4a + 3)
=a(a2−3a−a+3)= a(a^2 - 3a - a + 3)
=a[a(a−3)−1(a−3)]=a(a−3)(a−1)= a[a(a - 3) - 1(a - 3)] = \mathbf{a(a - 3)(a - 1)}
গ.সা.গু নির্ণয়: গ.সা.গু হলো সব রাশিতে থাকা সাধারণ উৎপাদকগুলোর সর্বনিম্ন ঘাতের গুণফল।
তিনটি রাশির সাধারণ উৎপাদকগুলো হলো: aa (সব রাশিতে আছে) এবং (a−3)(a - 3) (সব রাশিতে আছে)।
সুতরাং, নির্ণেয় গ.সা.গু = a×(a−3)=a(a−3)a \times (a - 3) = \mathbf{a(a - 3)}।
132

 চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    90°
  2. 135°
  3. গ
    175°
  4. ঘ
    210°

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
চার কোণের অনুপাত = ১ : ২ : ২ : ৩
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ১ + ২ + ২ + ৩ = ৮
বৃহত্তম কোণ = (৩৬০ এর ৩/৮)° = ১৩৫°

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, একটি চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি সর্বদা 360∘360^{\circ}।
এখানে চারটি কোণের অনুপাত দেওয়া আছে 1:2:2:31 : 2 : 2 : 3।
প্রথমেই অনুপাতগুলোর সমষ্টি বের করতে হবে: 1+2+2+3=<strong>8</strong>1 + 2 + 2 + 3 = <strong>8</strong>।
বৃহত্তম কোণটি হলো অনুপাতের বৃহত্তম অংশটি (3)।
সুতরাং, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ হবে: 38\frac{3}{8} অংশ of 360∘360^{\circ}।
$\(360 \div 8) \times 3 = 45 \times 3 = <strong>135^{\circ}$।
অন্যান্য অপশনগুলো যেমন 90∘90^{\circ} (যা 360×2/8=90∘360 \times 2/8 = 90^{\circ}) বা 175∘175^{\circ}, 210∘210^{\circ} এই অনুপাতের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়, তাই এগুলি ভুল উত্তর।
133

 যদি 12 সদস্যবিশিষ্ট কোনো কমিটির সদস্যের মধ্যে 9 জন মহিলা হয়, তবে সদস্যদের মধ্যে শতকরা কত ভাগ পুরুষ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 25%
  2. খ
    40%
  3. গ
    15%
  4. ঘ
    20%

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

পুরুষ = ১২ - ৯ = ৩ জন

১২ সদস্যের মধ্যে পুরুষ ৩ জন 
১ সদস্যের মধ্যে পুরুষ ৩/১২ জন
১০০ সদস্যের মধ্যে পুরুষ (৩ × ১০০)/১২ জন
                                    = ২৫ জন

ব্যাখ্যা

শিক্ষক হতে গেলে আপনাকে এই ধরনের মৌলিক পাটিগণিত দ্রুত সমাধান করার কৌশল জানতে হবে। এটি একটি সহজ শতকরা (Percentage) নির্ণয়ের সমস্যা।
ধাপ ১: পুরুষের সংখ্যা নির্ণয়:
মোট সদস্য সংখ্যা = ১২ জন।
মহিলা সদস্য সংখ্যা = ৯ জন।
অতএব, পুরুষ সদস্য সংখ্যা = $১২ - ৯ = ৩ জন।
ধাপ ২: শতকরা হার নির্ণয়:
শতকরা হার বের করার জন্য যে অংশটির শতকরা মান বের করতে হবে, তাকে মোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে ১০০ দিয়ে গুণ করতে হয়।
পুরুষের শতকরা হার = (পুরুষ সংখ্যামোট সদস্য সংখ্যা)×১০০(\frac{\text{পুরুষ সংখ্যা}}{\text{মোট সদস্য সংখ্যা}}) \times ১০০
পুরুষের শতকরা হার = (৩১২)×১০০%(\frac{৩}{১২}) \times ১০০\%
$\(৩/১২ = ১/৪\) \Rightarrow (\frac{১}{৪}) \times ১০০\% = <strong>২৫\%</strong>$।
134

 কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে 12, 15 20 ও 25 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 11 অবশিষ্ট থাকে? 

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    411
  2. খ
    111
  3. গ
    211
  4. 311

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে 12, 15 20 ও 25 এর ল.সা.গু থেকে 11 বেশি 

12 = 2 × 2 ×3
15 = 3 × 5
20 = 2 × 2 × 5
25 = 5 × 5

12, 15 20 ও 25 এর ল.সা.গু  = 2× 2 × 3 × 5 × 5 = 300

ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = 300 + 11 = 311

ব্যাখ্যা

এই ধরনের প্রশ্নের ক্ষেত্রে, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি নির্ণয় করার জন্য প্রথমে প্রদত্ত সংখ্যাগুলির লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) বের করতে হয়। এরপর সেই ল.সা.গু-এর সাথে অবশিষ্ট সংখ্যাটি যোগ করতে হয়।
এখানে প্রদত্ত সংখ্যাগুলো হলো: 12, 15, 20, এবং 25। অবশিষ্ট থাকবে 11।
ধাপ ১: 12, 15, 20, 25 এর ল.সা.গু নির্ণয়:
12=2×2×3\text{12} = 2 \times 2 \times 3
15=3×5\text{15} = 3 \times 5
20=2×2×5\text{20} = 2 \times 2 \times 5
25=5×5\text{25} = 5 \times 5
ল.সা.গু = 2×2×3×5×5=4×3×25=3002 \times 2 \times 3 \times 5 \times 5 = 4 \times 3 \times 25 = \mathbf{300}।
ধাপ ২: ল.সা.গু এর সাথে অবশিষ্ট 11 যোগ করতে হবে।
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = 300+11=311300 + 11 = \mathbf{311}।
সুতরাং, 311 হলো সেই ক্ষুদ্রতম সংখ্যা, যাকে 12, 15, 20 বা 25 দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 11 অবশিষ্ট থাকে।
135

 যদি x + 1/x = - 5 হয়, তবে x/(x2 + x + 1) এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    1/4
  2. খ
    4
  3. গ
    -4
  4. - 1/4

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

দেয়া আছে,
x + 1/x =  - 5 
(x2 + 1)/x = - 5
x2 + 1 = - 5x

x/(x2 + x + 1) = x/(- 5x + x )
                       = x/- 4x
                       = - 1/4

ব্যাখ্যা

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি ক্লাসিক সমস্যা। প্রথমে আমাদের প্রদত্ত তথ্যটিকে সরল করতে হবে, যাতে নির্ণয় করতে বলা রাশিটির মান সহজে বসানো যায়।
১. দেওয়া আছে, x+1/x=−5x + 1/x = - 5
২. এটিকে সরল করে পাই: x2+1x=−5\frac{x^2 + 1}{x} = - 5
সুতরাং, x2+1=<strong>−5x</strong>x^2 + 1 = <strong>- 5x</strong>
৩. এবার নির্ণেয় রাশিতে মান বসাতে হবে: xx2+x+1\frac{x}{x^2 + x + 1}
৪. আমরা হরের মধ্যে x2+1x^2 + 1 অংশটিকে আলাদা করে এর মান বসাব।
x(x2+1)+x=x(<strong>−5x</strong>)+x\frac{x}{(x^2 + 1) + x} = \frac{x}{(<strong>- 5x</strong>) + x}
৫. সরল করে পাই: x−4x\frac{x}{- 4x}
৬. xx দ্বারা ভাগ করলে মান দাঁড়ায়: <strong>−1/4</strong><strong>- 1/4</strong>
সঠিক উত্তর: (D) - 1/4।
136

80 এর 75% এর 25% = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    10
  2. 15
  3. গ
    20
  4. ঘ
    25

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

#ERROR!

ব্যাখ্যা

প্রশ্নটিতে পর্যায়ক্রমে দুটি শতকরা মান নির্ণয় করতে বলা হয়েছে। প্রথমে আমরা ৮০ এর ৭৫% বের করব, এবং সেই প্রাপ্ত মানের ২৫% বের করতে হবে।

ধাপ ১: ৮০ এর ৭৫% নির্ণয়:
80 এর 75%=80×7510080 \text{ এর } 75\% = 80 \times \frac{75}{100}
75100=34\frac{75}{100} = \frac{3}{4} (২৫ দ্বারা ভাগ করে)
সুতরাং, 80×34=20×3=6080 \times \frac{3}{4} = 20 \times 3 = 60।

ধাপ ২: প্রাপ্ত ফল ৬০ এর ২৫% নির্ণয়:
60 এর 25%=60×2510060 \text{ এর } 25\% = 60 \times \frac{25}{100}
25100=14\frac{25}{100} = \frac{1}{4} (২৫ দ্বারা ভাগ করে)
সুতরাং, 60×14=1560 \times \frac{1}{4} = 15।

অতএব, সঠিক উত্তর হলো ১৫।
137

 কোনো ভগ্নাংশের লবের সাথে 1 যোগ করলে 1/2 হয় এবং হরের সাথে 1 যোগ করলে তা 1/3 হয়, ভগ্নাংশটি = কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 3/8
  2. খ
    3/5
  3. গ
    2/7
  4. ঘ
    1/8

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ধরি 
ভগ্নাংশের লব x 
ভগ্নাংশের হর y 
১ম শর্তমতে
(x + 1)/y = 1/2
2x + 2 = y
2x - y = - 2 ....................(1)

২য় শর্তমতে  
x/(y + 1) = 1/3
3x = y + 1
3x - y = 1.....................(2)
(2) - (1) ⇒
3x -y - 2x + y = 1 - (- 2)
x = 1 + 2 
x = 3
(1) নং হতে পাই 
2 × 3 - y = - 2
6 - y = - 2
- y = - 2 - 6
- y = - 8
y = 8

ভগ্নাংশটি = 3/8

ব্যাখ্যা

ধরি, নির্ণেয় ভগ্নাংশটি হলো x/yx/y (যেখানে xx হলো লব এবং yy হলো হর)।
প্রথম শর্ত অনুসারে (লবের সাথে ১ যোগ): x+1y=12\frac{x+1}{y} = \frac{1}{2}
বজ্রগুণন করে পাই: 2(x+1)=y2(x+1) = y
বা, 2x+2=y2x + 2 = y
বা, 2x−y=−22x - y = -2 (সমীকরণ ১)
দ্বিতীয় শর্ত অনুসারে (হরের সাথে ১ যোগ): xy+1=13\frac{x}{y+1} = \frac{1}{3}
বজ্রগুণন করে পাই: 3x=y+13x = y+1
বা, 3x−y=13x - y = 1 (সমীকরণ ২)
এখন, অপনয়ন পদ্ধতিতে সমীকরণ (২) থেকে (১) বিয়োগ করে পাই:
(3x−y)−(2x−y)=1−(−2)(3x - y) - (2x - y) = 1 - (-2)
বা, 3x−2x−y+y=1+23x - 2x - y + y = 1 + 2
বা, x=3x = 3
xx-এর মান সমীকরণ (১)-এ বসিয়ে পাই:
2(3)−y=−22(3) - y = -2
বা, 6−y=−26 - y = -2
বা, −y=−2−6-y = -2 - 6
বা, y=8y = 8
সুতরাং, ভগ্নাংশটি হলো 3/8। বিকল্প যাচাই করে দেখা যায় যে এই উত্তরটিই সঠিক।
138

বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4
  2. 9
  3. গ
    12
  4. ঘ
    16

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

বৃত্তের ব্যাস n গুন বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল n2গুন বৃদ্ধি পায়।
বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল নয় গুণ বৃদ্ধি পাবে

ব্যাখ্যা

বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্রটি হলো A=πr2A = \pi r^2 যেখানে rr হলো ব্যাসার্ধ।
আমরা জানি, বৃত্তের ব্যাস (dd) হলো ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ, অর্থাৎ d=2rd = 2r. সুতরাং, r=d2r = \frac{d}{2}।
এই মানটি ক্ষেত্রফলের সূত্রে বসালে পাই: A=π(d2)2=πd24A = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}।
এখানে দেখা যাচ্ছে, বৃত্তের ক্ষেত্রফল ব্যাসের বর্গের (square) সমানুপাতিক। যদি ব্যাস n গুণ বৃদ্ধি পায়, তবে ক্ষেত্রফল n2n^2 গুণ বৃদ্ধি পাবে।
প্রশ্ন অনুযায়ী, ব্যাস তিনগুণ (n=3) বৃদ্ধি করা হয়েছে।
অতএব, ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে 32=93^2 = 9 গুণ।
অন্যান্য অপশন যেমন, 4, 12, বা 16 ভুল, কারণ তারা বর্গমূলের সম্পর্ককে অনুসরণ করে না। 4 হলো 222^2 এবং 16 হলো 424^2।
139

 জামিল সাহেব ১০% মুনাফায় ব্যাংকে ৩,০০০ টাকা জমা রাখেন। প্রথম বছরান্তে তার চক্রবৃদ্ধি মূলধন -

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ৩১০০ টাকা
  2. খ
    ৩২০০ টাকা
  3. গ
    ৩২৫০ টাকা
  4. ৩৩০০ টাকা

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন: জামিল সাহেব ১০% মুনাফায় ব্যাংকে ৩,০০০ টাকা জমা রাখেন। প্রথম বছরান্তে তার চক্রবৃদ্ধি মূলধন -

সমাধান:
মুনাফার r = ১০%
আসল P = ৩০০০ টাকা 
সময় n = ১ বছর 

আমরা জানি,
সুদাসল, C = P(1 + r)n
= ৩০০০ (১ + ১০/১০০)১
= ৩০০০ × ১.১
= ৩৩০০ টাকা।

ব্যাখ্যা

এটি চক্রবৃদ্ধি মূলধন (Compound Capital) নির্ণয়ের একটি মৌলিক প্রশ্ন। প্রথম বছরান্তে চক্রবৃদ্ধি মুনাফা এবং সরল মুনাফা সর্বদা সমান হয়।
এখানে, আসল (Principal, P) = ৩,০০০ টাকা, সুদের হার (Rate, r) = ১০% বা ০.১০, এবং সময় (Time, n) = ১ বছর।
চক্রবৃদ্ধি মূলধন (C) এর সূত্র হলো: C=P(1+r)nC = P(1 + r)^n
মান বসিয়ে পাই: C=৩০০০(১+১০১০০)১C = ৩০০০ (১ + \frac{১০}{১০০})^১
C=৩০০০(১+০.১)C = ৩০০০ (১ + ০.১)
C=৩০০০×১.১C = ৩০০০ \times ১.১
$C = ৩৩০০ টাকা।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৩৩০০ টাকা (Option D)।
140

একজন কমলা বিক্রেতা প্রতিশত কমলা ১২০০ টাকায় কিনে ১৮০০ টাকায় বিক্রি করলেন। তার শতকরা কত লাভ হলো ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 50%
  2. খ
    55%
  3. গ
    60%
  4. ঘ
    40%

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: একজন কমলা বিক্রেতা প্রতিশত কমলা ১২০০ টাকায় কিনে ১৮০০ টাকায় বিক্রি করলেন। তার শতকরা কত লাভ হলো ?

সমাধান:
লাভ = (১৮০০ - ১২০০) টাকা 
= ৬০০ টাকা 

১২০০ টাকায় লাভ ৬০০ টাকা 
১ টাকায় লাভ ৬০০/১২০০ টাকা 
১০০ টাকায় লাভ ৬০০ × ১০০/১২০০ টাকা 
= ৫০ টাকা

ব্যাখ্যা

শিক্ষক নিবন্ধনের পাটিগণিত অংশে লাভ-ক্ষতির এই ধরনের সরাসরি প্রশ্ন প্রায়শই আসে। এটি সমাধানের জন্য প্রথমে মোট লাভ কত হলো তা বের করতে হবে।
১. মোট লাভ নির্ণয়:
লাভ = বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য।
এখানে, লাভ = (১৮০০ - ১২০০) টাকা = ৬০০ টাকা।
২. শতকরা লাভ নির্ণয়:
শতকরা লাভ সর্বদা ক্রয়মূল্যের (১২০০ টাকা) উপর হিসাব করা হয়।
৩. সূত্র অনুযায়ী:
শতকরা লাভ=মোট লাভক্রয়মূল্য×100\text{শতকরা লাভ} = \frac{\text{মোট লাভ}}{\text{ক্রয়মূল্য}} \times 100
৪. মান বসিয়ে পাই:
৬০০১২০০×১০০=১২×১০০=<strong>৫০\frac{৬০০}{১২০০} \times ১০০ = \frac{১}{২} \times ১০০ = <strong>৫০%</strong>
সঠিক উত্তর হলো ৫০%। অন্যান্য বিকল্পগুলি ভুল কারণ লাভ বা ক্ষতির হিসাব বিক্রয়মূল্যের উপর ভিত্তি করে করা হয়নি অথবা হিসাবের গাণিতিক ত্রুটি রয়েছে।
141

দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৭ হলে সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল -

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    8
  2. খ
    9
  3. 17
  4. ঘ
    18

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৭ হলে সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল -

সমাধান:
মনেকরি 
সংখ্যা দুইটি ক ও ক + ১

প্রশ্নমতে 
(ক + ১)২ - ক২ = ১৭
ক২ + ২ক + ১২ - ক২ = ১৭
২ক + ১ = ১৭ 
২ক = ১৭ - ১
২ক = ১৬
ক = ৮ 

সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল = ৮ + ১ + ৮ = ১৭

ব্যাখ্যা

এটি NTRCA পরীক্ষার জন্য একটি খুবই কমন বীজগণিতীয় প্যাটার্নের প্রশ্ন। এই ধরনের প্রশ্নে, দুইটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর সবসময় সংখ্যাদ্বয়ের যোগফলের সমান হয়।
ধরি, ক্রমিক সংখ্যা দুইটি হলো xx এবং x+1x+1।
প্রশ্নমতে, তাদের বর্গের অন্তর: (x+1)2−x2=17(x+1)^2 - x^2 = 17।
বীজগণিতের সূত্র (a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)) অনুসারে আমরা পাই:
((x+1)−x)×((x+1)+x)=17((x+1) - x) \times ((x+1) + x) = 17
বা, (1)×(2x+1)=17(1) \times (2x + 1) = 17
বা, 2x+1=172x + 1 = 17
সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল হলো x+(x+1)=2x+1x + (x+1) = 2x + 1।
যেহেতু 2x+1=172x + 1 = 17, তাই সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল সরাসরি ১৭।
ঐচ্ছিকভাবে যদি আমরা সংখ্যা দুটি বের করতে চাই: 2x=16→x=82x = 16 \rightarrow x = 8। সংখ্যা দুটি হলো ৮ ও ৯। যোগফল = 8+9=178+9 = 17।
142

একটি প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার। ২৫০ মিটার লম্বা একটি ট্রেনকে অতিক্রম করতে যে দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে তা হলো -

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২০০ মিটার
  2. খ
    ২৫০ মিটার
  3. গ
    ৩৫০ মিটার
  4. ৪৫০ মিটার

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন: একটি প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার। ২৫০ মিটার লম্বা একটি ট্রেনকে অতিক্রম করতে যে দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে তা হলো -

সমাধান: 
 প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য ২০০ মিটার
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = ২৫০ মিটার 
মোট  দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে= (২০০ + ২৫০) মিটার = ৪৫০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রিয় শিক্ষকবৃন্দ, ট্রেন সংক্রান্ত এই ধরনের প্রশ্নাবলী NTRCA পরীক্ষায় প্রায়ই আসে। এই ক্ষেত্রে মূল নীতি হলো:
একটি ট্রেন যখন কোনো প্লাটফর্ম, সেতু বা টানেল অতিক্রম করে, তখন ট্রেনটিকে মোট দূরত্ব অতিক্রম করতে হয় = (ট্রেনের দৈর্ঘ্য + প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য)।
এখানে, প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য = ২০০ মিটার।
ট্রেনটির দৈর্ঘ্য = ২৫০ মিটার।
সুতরাং, ট্রেনটিকে মোট দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে = (২০০ + ২৫০) মিটার = ৪৫০ মিটার।
অন্যান্য অপশনগুলো (২০০ মিটার, ২৫০ মিটার) যথাক্রমে শুধুমাত্র প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য বা ট্রেনের দৈর্ঘ্য নির্দেশ করে, যা মোট অতিক্রম্য দূরত্ব নয়।
143

একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ 6√2 একক হলে উহার পরিসীমার অর্ধেক -

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 12 একক
  2. খ
    20 একক
  3. গ
    24 একক
  4. ঘ
    6 একক

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: একটি বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ 6√2 একক হলে উহার পরিসীমার অর্ধেক -

সমাধান : 
বর্গের বাহু a হলে,
কর্ণের দৈর্ঘ্য = a√2
প্রশ্নমতে, 
a√2 = 6√2 
বা, a = 6

∴ বর্গের পরিসীমা = 4a = 4 × 6= 24 একক
 বর্গের পরিসীমার অর্ধেক =24/2 = 12 একক

ব্যাখ্যা

এটি পরিমিতির একটি সরাসরি প্রশ্ন। একটি বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে কর্ণ, পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল সহজেই বের করা যায়।
ধরি, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য aa একক।
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের সূত্র হলো: কর্ণ = a2a\sqrt{2}।
প্রশ্নমতে, কর্ণের দৈর্ঘ্য 626\sqrt{2} একক।
অতএব, a2=62a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}। উভয় পক্ষ থেকে 2\sqrt{2} বাদ দিলে আমরা পাই: a=6a = 6 একক (বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য)।
বর্গের পরিসীমার সূত্র হলো: পরিসীমা = 4a4a।
সুতরাং, পরিসীমা = 4×6=244 \times 6 = 24 একক।
প্রশ্নে জানতে চাওয়া হয়েছে 'পরিসীমার অর্ধেক'।
পরিসীমার অর্ধেক = 24/2=<strong>1224 / 2 = <strong>12 একক।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 12 একক।
144

 x2 - y2, x2 + xy + y2, x3 - y3 রাশিত্রয়ের ল.সা.গু -

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন

  1. (x2−y2x^2 - y^2) (x2+xy+y2x^2 + xy + y^2)

  2. খ
    x−yx - y
  3. গ
    x3−y3x^3 - y^3
  4. ঘ
    x+yx + y

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: x2 - y2, x2 + xy + y2, x3 - y3  রাশিত্রয়ের ল.সা.গু -

সমাধান:
১ম রাশি = x2 - y2 = (x + y)(x - y)
২য় রাশি = x2 + xy + y2
৩য় রাশি = x3 - y3
= (x - y)(x2 + xy + y2)

 রাশিত্রয়ের ল.সা.গু = (x + y)(x - y)(x2 + xy + y2)
= (x2 - y2)(x2 + xy + y2)

ব্যাখ্যা

শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষার জন্য বীজগণিতের ল.সা.গু (LCM) নির্ণয় একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ অংশ। ল.সা.গু হলো রাশিত্রয়ের সবগুলি অনন্য (Unique) উৎপাদকের সর্বোচ্চ ঘাতের গুণফল।
প্রথমে রাশি তিনটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে:
১. প্রথম রাশি: x2−y2x^2 - y^2। সূত্র প্রয়োগ করে পাই: (x−y)(x+y)(x - y)(x + y)
২. দ্বিতীয় রাশি: x2+xy+y2x^2 + xy + y^2। এই রাশিকে আর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায় না, এটি একটি মৌলিক উৎপাদক হিসাবে থাকবে।
৩. তৃতীয় রাশি: x3−y3x^3 - y^3। সূত্র প্রয়োগ করে পাই: (x−y)(x2+xy+y2)(x - y)(x^2 + xy + y^2)
এবার ল.সা.গু নির্ণয়ের জন্য সবগুলি অনন্য উৎপাদককে নিতে হবে:
অনন্য উৎপাদকগুলি হলো: (x+y)(x + y), (x−y)(x - y) এবং (x2+xy+y2)(x^2 + xy + y^2)।
সুতরাং, নির্ণেয় ল.সা.গু = (x+y)(x−y)(x2+xy+y2)(x + y)(x - y)(x^2 + xy + y^2).
আমরা জানি, (x+y)(x−y)=x2−y2(x + y)(x - y) = x^2 - y^2।
সুতরাং, ল.সা.গু = (x2−y2)(x2+xy+y2)(x^2 - y^2)(x^2 + xy + y^2)।
যা বিকল্প (x² - y²) (x² + xy + y²) এর সাথে মিলে যায়।
145

 x2 + y2 + z2 = 4, x + y - z = 8 হলে yz + zx - xy এর মান -

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    -60
  2. খ
    -3
  3. 30
  4. ঘ
    60
  5. ঙ
    15

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

লাইভ পরীক্ষার প্রশ্নটি ছিলো  x2 + y2 + z2  = 4, x + y - z = 8 হলে yz + zx - xy এর মান -
এতে টাইপিং জনিত ভুল ছিল। 
প্রশ্নটি হবে x2 + y2 + z2  = 4, x - y - z = 8 হলে (yz - xy - xz) এর মান-
প্রশ্নটি বাতিল করা হলো। 

সমাধান: 
x2 + y2 + z2  = 4
x - y - z = 8 

আমরা জানি 
(x - y - z)2 = x2 + (- y)2 + (- z)2 + 2x(- y) + 2(- y)(- z)  + 2x(- z)
(x - y - z)2 = x2 +y2 + z2 + 2(yz - xy - xz)
82 = 4 + 2(yz - xy - xz)
64 - 4 = 2(yz - xy - xz)
2(yz - xy - xz) = 60
(yz - xy - xz) = 30 



ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি বীজগণিতের গুরুত্বপূর্ণ সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করতে হবে। প্রশ্নপত্রে টাইপিংজনিত ত্রুটির কারণে প্রদত্ত মান এবং চাওয়া মান কিছুটা অসঙ্গত ছিল। প্রদত্ত সমাধান অনুযায়ী, সঠিক প্রশ্নটি হলো: যদি x2+y2+z2=4x^2 + y^2 + z^2 = 4 এবং x−y−z=8x - y - z = 8 হয়, তবে yz−xy−xzyz - xy - xz এর মান কত।
আমরা জানি, (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)।
এখানে, a=x,b=−ya=x, b=-y এবং c=−zc=-z ধরে সূত্র প্রয়োগ করি:
(x−y−z)2=x2+(−y)2+(−z)2+2{x(−y)+(−y)(−z)+x(−z)}(x - y - z)^2 = x^2 + (-y)^2 + (-z)^2 + 2\{x(-y) + (-y)(-z) + x(-z)\}
$\(x - y - z)^2 = (x^2 + y^2 + z^2) + 2(-xy + yz - xz)$
এখন মান বসিয়ে পাই:
82=4+2(yz−xy−xz)8^2 = 4 + 2(yz - xy - xz)
64=4+2(yz−xy−xz)64 = 4 + 2(yz - xy - xz)
64−4=2(yz−xy−xz)64 - 4 = 2(yz - xy - xz)
60=2(yz−xy−xz)60 = 2(yz - xy - xz)
অতএব, $(yz - xy - xz) = \frac{60}{2} = 30।
সঠিক উত্তর হলো অপশন 3: 30।
146

(1/5) logx (2187√3) = 1 হলে x এর মান

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 3√3
  2. খ
    3
  3. গ
    √3
  4. ঘ
    1/√3

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: (1/5) logx (2187√3) = 1 হলে x এর মান

সমাধান: 
(1/5) logx (2187√3) = 1
logx (2187√3)  = 5
x5 = 2187√3      এখানে  2187√3 = 37√3
x5 = (3√3)5                                 = 35.32.√3
x = 3√3                                      = 35{(√3)2}2 . √3
                                                    = 35. (√3)5
                                                     = (3√3)5

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সমাধানের জন্য প্রথমে লগারিদমের মূল সংজ্ঞা (log⁡ba=c⇒bc=a\log_b a = c \Rightarrow b^c = a) ব্যবহার করতে হবে এবং তারপর সূচকের নিয়ম (Indices Rules) অনুযায়ী সংখ্যাটিকে সরল করতে হবে।
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: (15)log⁡x(21873)=1\left(\frac{1}{5}\right) \log_x (2187\sqrt{3}) = 1
প্রথম ধাপ: সমীকরণটি সরলীকরণ করি।
log⁡x(21873)=1×5⇒log⁡x(21873)=5\log_x (2187\sqrt{3}) = 1 \times 5 \Rightarrow \log_x (2187\sqrt{3}) = 5
দ্বিতীয় ধাপ: লগারিদমকে সূচকে রূপান্তর করি।
log⁡x(A)=5⇒x5=A\log_x (A) = 5 \Rightarrow x^5 = A
অতএব, x5=21873x^5 = 2187\sqrt{3}
তৃতীয় ধাপ: ডান পাশের রাশিটিকে (A)5(A)^5 আকারে প্রকাশ করি।
আমরা জানি, 2187=372187 = 3^7 এবং 3=31/2\sqrt{3} = 3^{1/2}।
অতএব, 21873=37⋅31/2=3(7+1/2)=315/22187\sqrt{3} = 3^7 \cdot 3^{1/2} = 3^{(7 + 1/2)} = 3^{15/2}
আমাদের উদ্দেশ্য হলো রাশিটির ঘাত 5 তৈরি করা। আমরা লিখতে পারি:
315/2=3(32×5)=(33/2)53^{15/2} = 3^{\left(\frac{3}{2} \times 5\right)} = \left(3^{3/2}\right)^5
চতুর্থ ধাপ: 33/23^{3/2} কে সরলীকরণ করি।
33/2=3(1+1/2)=31⋅31/2=333^{3/2} = 3^{(1 + 1/2)} = 3^1 \cdot 3^{1/2} = 3\sqrt{3}
পঞ্চম ধাপ: মান প্রতিস্থাপন করি।
x5=(33)5x^5 = (3\sqrt{3})^5
উভয় পক্ষ থেকে ঘাত 5 বাদ দিলে, x=<strong>33</strong>x = <strong>3\sqrt{3}</strong>
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 333\sqrt{3}।
147

 একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য 4 একক হলে, উহার ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    √3
  2. খ
    2√3
  3. গ
    3√3
  4. 4√3
  5. ঙ
    8

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য 4 একক হলে, উহার ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক ?
প্রশ্নটি অসম্পূর্ণ তাই বাতিল করা হলো। 

তবে প্রশ্নটি যদি 'একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটির দৈর্ঘ্য 4 একক হলে, উহার ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?'
তাহলে সঠিক উত্তর হয় অপশন ঘ = 4√3

সমাধান: 
সমবাহু ত্রিভুজের এক বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সে.মি
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√3/4)a2
= (√3/4) × 42
= (√3/4) × 4 × 4
= 4√3 বর্গ সে.মি

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি একটি গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা তুলে ধরে। প্রশ্নটি যেভাবে লেখা আছে—'একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুদ্বয়ের প্রতিটির দৈর্ঘ্য 4 একক হলে...'—তাতে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা সম্ভব নয়, কারণ ক্ষেত্রফল বের করার জন্য ভূমির দৈর্ঘ্য অথবা সমান বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের মান জানতে হবে।
তবে NTRCA সহ অন্যান্য নিয়োগ পরীক্ষার প্রবণতা অনুসারে, যখন সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান বাহুগুলির দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকে এবং ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত অপশন থাকে, তখন ধরে নিতে হয় যে প্রশ্নটিতে আসলে সমবাহু ত্রিভুজ (Equilateral Triangle) বোঝানো হয়েছে।
আমরা যদি ধরে নিই যে এটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ যার প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য (aa) 4 একক, তবে সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করা যায়:
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল (AA) নির্ণয়ের সূত্র হলো: A=34a2A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
এখানে, a=4a = 4 একক।
সুতরাং, ক্ষেত্রফল A=34×(4)2A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (4)^2
A=34×16A = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16
A=43A = 4\sqrt{3} বর্গ একক।
যা অপশন ঘ) 434\sqrt{3} এর সাথে মিলে যায়।
148

4 একক ধারবিশিষ্ট একটি ঘনকের দুইটি কর্ণের সমষ্টি কত একক ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3\sqrt{3}
  2. খ
    434\sqrt{3}
  3. 838\sqrt{3}
  4. ঘ
    16316\sqrt{3}

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: 4 একক ধারবিশিষ্ট একটি ঘনকের দুইটি কর্ণের সমষ্টি কত একক ?

সমাধান: 
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a = 4
ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √3a
=  4√3

ঘনকের দুইটি কর্ণের সমষ্টি =  4√3 + 4√3 = 8√3 একক

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি ঘনকের (Cube) পরিমিতি সংক্রান্ত। সমাধান করার জন্য আমাদের ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্যের সূত্র জানতে হবে।
ঘনকের এক বাহুর দৈর্ঘ্য (Side length, aa) দেওয়া আছে 44 একক।
একটি ঘনকের কর্ণের দৈর্ঘ্যের সূত্র হলো: কর্ণ=a3\text{কর্ণ} = a\sqrt{3}।
মান বসিয়ে পাই: একটি কর্ণের দৈর্ঘ্য =43= 4\sqrt{3} একক।
প্রশ্নানুসারে, দুইটি কর্ণের সমষ্টি নির্ণয় করতে হবে। যেহেতু ঘনকের সমস্ত কর্ণ সমান দৈর্ঘ্যের হয়, তাই কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি হবে:
সমষ্টি =43+43=83= 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} একক।
অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো 838\sqrt{3} (অপশন ৩)।
149

x - 2 = √3 হলে x4 + 1/x4 এর মান কত ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    196
  2. 194
  3. গ
    192
  4. ঘ
    198

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন: x - 2 = √3 হলে x4 + 1/x4 এর মান কত ?

সমাধান:
x - 2 = √3
x = √3 + 2
1/x = 1/(√3 + 2)
1/x = (2 - √3)/(√3 + 2) (2 - √3)
1/x = (2 - √3)/{22 - (√3)2}
1/x =(2 - √3)/(2 - 3) 
1/x = 2 - √3 

x + 1/x = 2 + √3 + 2 - √3 = 4

x4 + 1/x4 
= (x2)2 + (1/x2)2
= (x2 + 1/x2)2 - 2.x2(1/x2)
= {(x + 1/x)2 - 2x.1/x}2 - 2
= {42 -2}2 - 2
= (16 - 2)2 - 2
= 142 - 2
= 196 - 2
= 194

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো ১৯৪। এই সমস্যাটি সমাধানে আমাদের পর্যায়ক্রমে x+1xx + \frac{1}{x}, x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} এবং সবশেষে x4+1x4x^4 + \frac{1}{x^4} এর মান নির্ণয় করতে হবে।
১. প্রথমে, প্রদত্ত রাশি x−2=3x - 2 = \sqrt{3} থেকে আমরা পাই x=2+3x = 2 + \sqrt{3}।
২. এখন, 1x\frac{1}{x} এর মান নির্ণয় করতে করণী নিরসন করতে হবে:
1x=12+3=12+3×2−32−3=2−322−(3)2=2−34−3=<strong>2−3</strong>\frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = <strong>2 - \sqrt{3}</strong>
৩. এখন x+1xx + \frac{1}{x} এর মান:
x+1x=(2+3)+(2−3)=<strong>4</strong>x + \frac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = <strong>4</strong>
৪. এখন, x2+1x2x^2 + \frac{1}{x^2} এর মান:
x2+1x2=(x+1x)2−2=42−2=16−2=<strong>14</strong>x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 = 4^2 - 2 = 16 - 2 = <strong>14</strong>
৫. সবশেষে, x4+1x4x^4 + \frac{1}{x^4} এর মান:
x4+1x4=(x2+1x2)2−2=142−2=196−2=<strong>194</strong>x^4 + \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})^2 - 2 = 14^2 - 2 = 196 - 2 = <strong>194</strong>
150

 4 সে.মি., 5 সে.মি. ও 9 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 0
  2. খ
    60
  3. গ
    80
  4. ঘ
    120

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: 4 সে.মি., 5 সে.মি. ও 9 সে.মি. বাহুবিশিষ্ট ত্রিভুুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক ?

সমাধান:
মনে করি,
ত্রিভুজটির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a = 4 সে.মি., b = 5 সে.মি. ও c = 9 সে.মি.।
অর্ধ -পরিসীমা s = (a + b + c)/2
 = (4 + 5 + 9)/2
= 18/2 সে.মি.
= 9 সে.মি.

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √{s( s - a)( s - b) (s - c)}
= √{9(9 - 4)(9 - 5)(9 - 9)} বর্গ সে.মি.
= √(9 × 5 × 4 × 0) বর্গ সে.মি.
= 0 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তরটি হলো: 0 বর্গ একক।
এই প্রশ্নটি মূলত ত্রিভুজ অসমতা উপপাদ্য (Triangle Inequality Theorem) যাচাই করে।
ত্রিভুজ গঠনের শর্ত হলো: যে কোনো দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টি অবশ্যই তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বৃহত্তর হতে হবে।
প্রদত্ত বাহুগুলো হলো 4 সে.মি., 5 সে.মি. এবং 9 সে.মি.।
আমরা যদি প্রথম দুটি বাহুর যোগফল হিসাব করি: 4+5=94 + 5 = 9 সে.মি।
এখানে, 4+5≯94 + 5 \not> 9 (যোগফল তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড় নয়, বরং সমান)।
যেহেতু এই তিনটি বাহু দ্বারা কোনো প্রকৃত ত্রিভুজ (non-degenerate triangle) গঠন করা সম্ভব নয়, তাই এর ক্ষেত্রফল শূন্য (0) হবে।
এছাড়াও, হেরনের সূত্র ব্যবহার করলেও (s−c)(s-c) অংশটি 9−9=09-9=0 হওয়ায় ফলাফল 0 আসে, যা গাণিতিকভাবে সঠিক।

এই অধ্যায়ের প্রশ্ন টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করুন

এই পেজে বাছাইকৃত ১৫০টি প্রশ্ন সমাধানসহ দেওয়া হয়েছে (মোট ৭৪৪টির মধ্যে)। প্র্যাকটিস মোডে এক-একটি করে উত্তর দিয়ে সঙ্গে সঙ্গে ফলাফল, স্কোর ও অগ্রগতি ট্র্যাক করুন।

প্র্যাকটিস মোডে যানসব অধ্যায়

NTRCA - School Level-এর অন্যান্য অধ্যায়

Bangla (School)৬৬৭ প্রশ্নEnglish (School)৬৫৩ প্রশ্নGeneral Knowledge (School)৫৯৩ প্রশ্নবাগধারা ও প্রবাদ প্রবচন৩ প্রশ্নশতকরা, লাভ-ক্ষতি ও সুদকষা৭ প্রশ্নসমার্থক ও বিপরীতার্থক শব্দ৩ প্রশ্নRight forms of Verb১ প্রশ্নইতিহাস ও সভ্যতা১ প্রশ্নবানান শুদ্ধি ও এককথায় প্রকাশ৩ প্রশ্নবাংলা সাহিত্যের ইতিহাস (সংক্ষিপ্ত)১১ প্রশ্নপরিমিতি ও ত্রিকোণমিতি১১ প্রশ্নজ্যামিতি (রেখা, কোণ, ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, বৃত্ত)১ প্রশ্নঅনুপাত ও সমানুপাত১ প্রশ্নলিঙ্গ ও বচন পরিবর্তন৩ প্রশ্নTranslation from Bengali to English১ প্রশ্নসমার্থক ও বিপরীত শব্দ১ প্রশ্নকারক, বিভক্তি ও সমাস১১ প্রশ্নবীজগণিত (মান নির্ণয়, উৎপাদক, সূচক)৬ প্রশ্নলগারিদম ও সূচক (Logarithms & Indices)৯ প্রশ্নসন্ধি ও প্রত্যয়২০ প্রশ্ন

কেন NTRCA (Teacher Registration)-এর জন্য “Mathematics (School)” অধ্যায়টি গুরুত্বপূর্ণ?

NTRCA (Teacher Registration) নিয়োগ পরীক্ষার NTRCA - School Level অংশে “Mathematics (School)” থেকে প্রায় প্রতিবারই প্রশ্ন আসে। বিগত সালের প্রশ্নের ধরন বুঝে নিয়মিত অনুশীলন করলে এই অধ্যায়ের নম্বর নিশ্চিত করা সহজ হয় — এই পেজের বাছাইকৃত প্রশ্নগুলো ঠিক সেই প্রস্তুতির জন্যই সাজানো।

সচরাচর জিজ্ঞাসা

"Mathematics (School)" অধ্যায় থেকে কেমন প্রশ্ন আসে?

NTRCA (Teacher Registration) নিয়োগ পরীক্ষায় NTRCA - School Level বিষয়ের "Mathematics (School)" অধ্যায় থেকে নিয়মিত MCQ আসে। এই পেজে বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক জায়গায় দেওয়া হয়েছে — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ।

উত্তর ও সমাধান কি বিনামূল্যে?

হ্যাঁ। প্রশ্ন, অপশন, সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যা — সবই লগইন ছাড়াই বিনামূল্যে দেখা যায়। টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করতে চাইলে একটি ফ্রি অ্যাকাউন্ট দিয়ে প্র্যাকটিস মোডে যান।