বীজগণিত (মান নির্ণয়, উৎপাদক, সূচক)

প্রশ্ন: x² - 2x -1 = 0 হলে, x + 1/x = কত?

সমাধান: 
 x² - 2x -1 = 0
x² - 1 = 2x 
x²/x - 1/x = 2
x - 1/x = 2

এখন 
(x + 1/x)² = (x - 1/x)² + 4 x.1/x
(x + 1/x)² = 2² + 4
(x + 1/x)² = 4 + 4 
(x + 1/x)² = 8 
(x + 1/x) = √8
(x + 1/x) = √4 × 2
(x + 1/x) = 2√2

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয় সম্পর্কিত একটি গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা যা প্রায়ই শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষায় আসে। সমাধানটি দুটি ধাপে সম্পন্ন করতে হবে।

ধাপ ১: প্রদত্ত সমীকরণকে সরল করা।
প্রথমে প্রদত্ত সমীকরণ $x^2 - 2x - 1 = 0$ থেকে $x - 1/x$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।

আমরা লিখতে পারি: $x^2 - 1 = 2x$
উভয় পক্ষকে $x$ দ্বারা ভাগ করে পাই: $\frac{x^2}{x} - \frac{1}{x} = \frac{2x}{x}$

সুতরাং, $x - \frac{1}{x} = 2।

ধাপ ২: প্রয়োজনীয় সূত্র প্রয়োগ করে মান নির্ণয়।
আমরা মান নির্ণয়ের একটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র জানি: $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$।

এখানে $a=x$ এবং $b=1/x$ ধরে পাই:

মান বসিয়ে পাই: $(x + \frac{1}{x})^2 = 2^2 + 4 = 4 + 4 = 8$

অতএব, $x + \frac{1}{x} = \sqrt{8}$।
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2}।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো $2\sqrt{2}$।

প্রশ্ন: 6 - x - 9/x = 0 হলে x² ÷ (x² - x - 3) এর মান -

সমাধান:
6 - x - 9/x = 0
6 = x + 9/x
(x² + 9)/x = 6
x² + 9 = 6x
x² - 6x + 9 = 0
x² - 2.x.3 + 3² = 0
(x - 3)² = 0
x - 3 = 0
x = 3

x² ÷ (x² - x - 3) = 3² ÷ (3² - 3 - 3)
= 9 ÷ (9 - 6)
= 9 ÷ 3
= 3

এটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি ক্লাসিক্যাল প্রশ্ন। প্রথমে প্রদত্ত সমীকরণ থেকে $x$-এর মান নির্ণয় করতে হবে।

প্রদত্ত সমীকরণ: $6 - x - \frac{9}{x} = 0$

সমীকরণটিকে সাজিয়ে পাই: $6 = x + \frac{9}{x}$

উভয় পক্ষকে $x$ দ্বারা গুণ করলে: $6x = x^2 + 9$
বা, $x^2 - 6x + 9 = 0$

এটি $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ সূত্রের রূপান্তর। এখানে $a=x$ এবং $b=3$।
সুতরাং, $(x - 3)^2 = 0$
বা, $x - 3 = 0$
অতএব, $x = 3$।

এখন নির্ণেয় রাশিতে ($x^2 \div (x^2 - x - 3)$) $x=3$ বসিয়ে পাই:

$= 9 \div 3 = 3।

দেয়া আছে,
a² - b² = 8 এবং ab = 3

আমরা জানি
(a² + b²)² = (a² - b²)² + 4a²b²
               = 8² + 4.3²
                = 64 + 36
                = 100
a² + b² = ± 10

কিন্তু দুইটি বর্গের যোগফল কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না বলে -10 গ্রহণযোগ্য নয়।
তাই সঠিক উত্তর খ) 10

এই প্রশ্নটি সমাধানের জন্য আমাদের বীজগণিতের মৌলিক মান নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করতে হবে।

আমরা জানি যে, দুটি বর্গের যোগফলের বর্গকে তাদের পার্থক্য ও গুণফলের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:

সূত্র: $$(a^2 + b^2)^2 = (a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2$$

প্রদত্ত মানগুলো বসিয়ে পাই: $$a^2 - b^2 = 8$$ এবং $$ab = 3$$। যেহেতু $ab=3$, তাই $a^2b^2 = (ab)^2 = 3^2 = 9$$।

অতএব, $$(a^2 + b^2)^2 = (8)^2 + 4 \times (3)^2$$

এখন, $$a^2 + b^2 = \sqrt{100} = \pm 10$$।

যেহেতু দুইটি বর্গের যোগফল ($a^2 + b^2$) কখনও ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই ঋণাত্মক মান (-10) গ্রহণযোগ্য নয়।

সঠিক উত্তর হলো: 10।

প্রশ্ন: যদি x² + 1/x² = 38 হয়, তবে x - 1/x =?

সমাধান: 
x² + 1/x² = 38
(x - 1/x)² + 2x.1/x = 38
(x - 1/x)2 = 38 - 2
(x - 1/x)2 = 36
x - 1/x = ±√36
x - 1/x= ± 6

এই প্রশ্নটি বীজগণিতের মান নির্ণয়ের একটি মৌলিক সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করতে হবে। এখানে আমাদের $x^2 + \frac{1}{x^2}$ এর মান দেওয়া আছে এবং $x - \frac{1}{x}$ এর মান বের করতে হবে।

আমরা জানি, বর্গের একটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র হলো: $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$।

এখানে $a = x$ এবং $b = \frac{1}{x}$ ধরে সূত্রটি প্রয়োগ করলে পাই:

বা, $\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 2$

প্রশ্নমতে, $x^2 + \frac{1}{x^2} = 38$। এই মানটি বসালে:

উভয় পক্ষকে বর্গমূল করলে:

অতএব, $x - \frac{1}{x} = \pm 6$।
সঠিক উত্তর হলো ± ৬।

 প্রশ্ন: a = √3 + √2 হলে, a³ + 3a + 3a^{- 1} + a^{- 3}  এর মান কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
a = √3 + √2
1/a = 1/(√3 + √2)
1/a = 1(√3 - √2)/(√3 + √2)(√3 - √2)
1/a = (√3 - √2)/(√3)² - (√2)²
1/a = (√3 - √2)/(3 - 2)
1/a = (√3 - √2)

a + 1/a = √3 + √2 + √3 - √2 = 2√3

প্রদত্ত রাশি = a³ + 3a + 3a^{- 1} + a^{- 3}
                  =  a³ + 1/a³ + 3a + 31/a
                   = (a + 1/a)³ - 3.a.(1/a)(a + 1/a) + 3(a + 1/a)
                    =( 2√3)³ - 0 
                    = 8 × 3√3 = 24√3

এই প্রশ্নটি মূলত বীজগণিতের একটি পরিচিত ঘন নির্ণয়ের সূত্র $(a+b)^3$ এর প্রয়োগ। প্রথমে আমাদের $a + a^{-1}$ এর মান বের করতে হবে, যেখানে $a^{-1} = \frac{1}{a}$।

দেওয়া আছে, $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$।

সুতরাং, $a^{-1} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$। আমরা নিচে $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ দ্বারা গুণ করে হরকে মূলদ সংখ্যায় পরিণত করি (Rationalization):
$a^{-1} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$।

এখন $a + a^{-1}$ এর মান নির্ণয় করি:
$a + a^{-1} = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{3} + \sqrt{3} = <strong>2\sqrt{3}</strong>$।

প্রদত্ত রাশিটি হলো: $a^3 + 3a + 3a^{-1} + a^{-3}$। এই রাশিটিকে আমরা সাজিয়ে লিখলে পাই:

$a^3 + 3a + \frac{3}{a} + \frac{1}{a^3}$।

আমরা জানি, $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$।
এখানে $x=a$ এবং $y=\frac{1}{a}$ ধরলে, রাশিটি সরাসরি $(a + \frac{1}{a})^3$ বা $<strong>(a + a^{-1})^3$ এর সূত্র।

অতএব, প্রদত্ত রাশির মান = $(a + a^{-1})^3 = (2\sqrt{3})^3$

$(2\sqrt{3})^3 = 2^3 \times (\sqrt{3})^3 = 8 \times (3\sqrt{3}) = <strong>24\sqrt{3}$।

অন্যান্য অপশনগুলো ভুল, কারণ তারা $a + a^{-1}$ এর সঠিক ঘনফল (Cube) উপস্থাপন করে না।

প্রশ্ন: 2x + 2/x = 3 হলে, x³ + 1/x³ + 2 -এর মান কত?

সমাধান: 
2x + 2/x = 3
2(x + 1/x) = 3
(x + 1/x) = 3/2
 
x³ + 1/x³ + 2 = (x + 1/x)³ - 3x.1/x(x + 1/x) + 2
                      = (3/2)³ - 3(3/2) + 2
                     = (27/8) - (9/2) + 2
                     = (27 - 36 + 16)/8
                      = 7/8

এই মান নির্ণয়ের অঙ্কটি করার জন্য আমাদের প্রধানত দুটি ধাপ অনুসরণ করতে হবে।

প্রথম ধাপ: প্রদত্ত রাশিকে সরলীকরণ করা।
প্রশ্নমতে, $2x + \frac{2}{x} = 3$
উভয় পক্ষ থেকে $2$ কমন নিলে পাই: $2(x + \frac{1}{x}) = 3$
অতএব, $(x + \frac{1}{x}) = \frac{3}{2}$।

দ্বিতীয় ধাপ: নির্ণেয় রাশিতে সূত্র প্রয়োগ ও মান বসানো।
আমাদের মান বের করতে হবে $x^3 + \frac{1}{x^3} + 2$ এর।
বীজগণিতের ঘনফলের সূত্র অনুযায়ী, $a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b)$।
এখানে $a=x$ এবং $b=\frac{1}{x}$।
$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x)(\frac{1}{x})(x + \frac{1}{x})$
মান বসিয়ে পাই: $(\frac{3}{2})^3 - 3(\frac{3}{2})$

ভগ্নাংশের বিয়োগ করলে (লসাগু $8$): $\frac{27 - 36}{8} = \frac{-9}{8}$।

এখন সম্পূর্ণ রাশিটির মান: $x^3 + \frac{1}{x^3} + 2 = \frac{-9}{8} + 2$

$= \frac{-9 + (2 \times 8)}{8} = \frac{-9 + 16}{8} = \frac{7}{8}$।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 7/8।