সমাধান
U

User

User

ওয়ালেট ব্যালেন্স

স্টুডেন্ট ড্যাশবোর্ড আমার প্রোফাইল আমার তৈরি প্রশ্ন রেফার করো, আয় করো
সমাধান
💼
NTRCA - School Level

পরিমিতি ও ত্রিকোণমিতি

NTRCA (Teacher Registration) · NTRCA - School Level — বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক পেজে।

নিচে NTRCA (Teacher Registration) নিয়োগ পরীক্ষার NTRCA - School Level বিষয়ের "পরিমিতি ও ত্রিকোণমিতি" অধ্যায়ের বাছাইকৃত ১১টি বহুনির্বাচনি প্রশ্ন — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ। সবই বিনামূল্যে।

1

একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল 192 বর্গমিটার। মেঝের দৈর্ঘ্য 4 মিটার কমালে এবং প্রস্থ 4 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। মেঝের দৈর্ঘ্য কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 16 মিটার
  2. খ
    12 মিটার
  3. গ
    4 মিটার
  4. ঘ
    6 মিটার

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: একটি আয়তাকার ঘরের মেঝের ক্ষেত্রফল 192 বর্গমিটার। মেঝের দৈর্ঘ্য 4 মিটার কমালে এবং প্রস্থ 4 মিটার বাড়ালে ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে। মেঝের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
ধরি
দৈর্ঘ্য = x মিটার এবং প্রস্থ = y মিটার
∴ xy = 192
আবার , (x - 4)(y + 4) = 192
⇒ xy - 4y + 4x - 16 = 192
⇒ 192 - 4y + 4x - 16 = 192
⇒ 4(x - y) = 16
⇒ x - y = 4
∴ x + y = 28
∴ x = 16 মিটার

ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর হলো: 16 মিটার। এটি পরিমিতির একটি উচ্চমানের বীজগাণিতিক সমস্যা।
ধরি, মেঝের দৈর্ঘ্য xx মিটার এবং প্রস্থ yy মিটার।
প্রথম শর্তানুসারে, ক্ষেত্রফল xy=<strong>192</strong>xy = <strong>192</strong> বর্গমিটার।
দ্বিতীয় শর্তানুসারে, দৈর্ঘ্য 4 মিটার কমালে (x−4x-4) এবং প্রস্থ 4 মিটার বাড়ালে (y+4y+4) ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত থাকে।
সুতরাং, (x−4)(y+4)=192(x-4)(y+4) = 192
⇒xy+4x−4y−16=192\Rightarrow xy + 4x - 4y - 16 = 192
আমরা জানি xy=192xy = 192, মান বসিয়ে পাই:
⇒192+4x−4y−16=192\Rightarrow 192 + 4x - 4y - 16 = 192
⇒4x−4y=16\Rightarrow 4x - 4y = 16
⇒4(x−y)=16\Rightarrow 4(x - y) = 16
⇒<strong>x−y=4</strong>\Rightarrow <strong>x - y = 4</strong> (দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের পার্থক্য)
এখন, আমরা জানি (x+y)2=(x−y)2+4xy(x+y)^2 = (x-y)^2 + 4xy সূত্রটি।
মান বসিয়ে পাই: (x+y)2=(4)2+4(192)=16+768=784(x+y)^2 = (4)^2 + 4(192) = 16 + 768 = 784
সুতরাং, x+y=784=<strong>28</strong>x+y = \sqrt{784} = <strong>28</strong> (দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের যোগফল)
দুইটি সমীকরণ যোগ করে পাই: (x−y)+(x+y)=4+28(x-y) + (x+y) = 4 + 28
⇒2x=32\Rightarrow 2x = 32
⇒x=<strong>16</strong>\Rightarrow x = <strong>16</strong> মিটার। (দৈর্ঘ্য)
2

 একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 26 মিটার, 28 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 182 বর্গমিটার হলে, বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় করুন। 

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    60°
  2. 30°
  3. গ
    45°
  4. ঘ
    90°

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 26 মিটার, 28 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 182 বর্গমিটার হলে, বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
মনেকরি,
ত্রিভুজের বাহুদ্বয় যথাক্রমে a = 26 সে.মি. ও b = 28 সে.মি. এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ θ = ?

আমরা জানি, 
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2)ab sinθ
182 = (1/2) × 26 × 28 × sinθ
182 = 364 × sinθ
sinθ = 1/2 
sinθ = sin30°
θ =30°

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য (a, b) এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ (θ\theta) জানা থাকলে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র হলো:
Area=12absin⁡θArea = \frac{1}{2}ab \sin\theta.
এখানে, বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a=26a = 26 মিটার এবং b=28b = 28 মিটার। ক্ষেত্রফল = 182 বর্গমিটার।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি: 182=12×26×28×sin⁡θ182 = \frac{1}{2} \times 26 \times 28 \times \sin\theta.
গণনা করে পাই: 182=13×28×sin⁡θ182 = 13 \times 28 \times \sin\theta
182=364sin⁡θ182 = 364 \sin\theta.
অতএব, sin⁡θ=182364=12\sin\theta = \frac{182}{364} = \frac{1}{2}.
ত্রিকোণমিতির মান অনুযায়ী, sin⁡30∘=12\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}।
সুতরাং, অন্তর্ভুক্ত কোণ θ=30∘\theta = 30^{\circ}.
অন্যান্য অপশনগুলো (যেমন 60∘60^{\circ}, 45∘45^{\circ}, 90∘90^{\circ}) ভুল, কারণ এগুলোর ক্ষেত্রে sin⁡\sin এর মান 12\frac{1}{2} হয় না।
3

3 cotA = 4 হলে sinA এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4/5
  2. 3/5
  3. গ
    3/4
  4. ঘ
    4/3

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

দেয়া আছে,
3 cotA = 4 
বা, cot = 4/3
বা, cot2A = 16/9
বা, cosec2A  - 1  = 16/9
বা, cosec2A = (16/9) + 1
বা, cosec2A = (16 + 9)/9
বা, cosec2A = 25/9
বা, cosecA = 5/3
বা, 1/sinA = 5/3
  sinA = 3/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্নে দেওয়া আছে: 3cot⁡A=43 \cot A = 4
সুতরাং, cot⁡A=43\cot A = \frac{4}{3}।
আমরা জানি, cot⁡A\cot A হলো একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি (Adjacent) এবং লম্ব (Opposite) এর অনুপাত।
cot⁡A=ভূমিলম্ব=43\cot A = \frac{ভূমি}{লম্ব} = \frac{4}{3}।
যদি ভূমি 4k4k এবং লম্ব 3k3k হয়, তবে পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী অতিভুজের (Hypotenuse) মান হবে:
অতিভুজ =(ভূমি)2+(লম্ব)2=(4k)2+(3k)2=16k2+9k2=25k2=5k= \sqrt{(ভূমি)^2 + (লম্ব)^2} = \sqrt{(4k)^2 + (3k)^2} = \sqrt{16k^2 + 9k^2} = \sqrt{25k^2} = 5k
এখন, sin⁡A\sin A এর মান নির্ণয় করতে হবে। আমরা জানি:
sin⁡A=লম্বঅতিভুজ=3k5k=35\sin A = \frac{লম্ব}{অতিভুজ} = \frac{3k}{5k} = \frac{3}{5}
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো 3/5, যা বিকল্প (2) এ আছে।
4

একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা এর কর্ণের দৈর্ঘ্যের কত গুণ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    22\frac{\sqrt{2}}{2}
  2. খ
    2\sqrt{2}
  3. 222\sqrt{2}
  4. ঘ
    2

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a 
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4a
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা/ কর্ণের দৈর্ঘ্য= 4/√2
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা/ কর্ণের দৈর্ঘ্য= (√2 × 2√2)/√2

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা=2√2(কর্ণের দৈর্ঘ্য)

ব্যাখ্যা

এটি পরিমিতি (Mensuration) অংশের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন। সঠিক উত্তর বের করতে আমাদের বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ও কর্ণের দৈর্ঘ্যের সূত্র জানতে হবে।
ধরি, বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য aa একক।
তাহলে, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা হবে: P=<strong>4aP = <strong>4a।
এবং বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে: D=<strong>2aD = <strong>\sqrt{2}a।
প্রশ্নমতে, পরিসীমা কর্ণের কত গুণ? অর্থাৎ, আমাদের অনুপাত বের করতে হবে: পরিসীমাকর্ণ\frac{\text{পরিসীমা}}{\text{কর্ণ}}।
পরিসীমাকর্ণ=4a2a=42\frac{\text{পরিসীমা}}{\text{কর্ণ}} = \frac{4a}{\sqrt{2}a} = \frac{4}{\sqrt{2}}
এখন, আমরা এটিকে সরলীকরণ করব। লব ও হরকে 2\sqrt{2} দিয়ে গুণ করে পাই:
42=4×22×2=422=<strong>22\frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = <strong>2\sqrt{2}
সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা তার কর্ণের দৈর্ঘ্যের 222\sqrt{2} গুণ।
বাকি অপশনগুলো ভুল, কারণ তারা পরিসীমা এবং কর্ণের অনুপাতকে সঠিকভাবে প্রকাশ করে না।
5

 ১৮ ফুট উঁচু একটি গাছ এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির মাথে ৩০০ কোণ উৎপন্ন করল। গাছটি মাটি থেকে কত উঁচুতে ভেঙ্গে ছিল?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ১২ ফুট
  2. খ
    ৯ ফুট
  3. গ
    ১৫ ফুট
  4. ৬ ফুট

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

প্রশ্ন : ১৮ ফুট উঁচু একটি গাছ এমনভাবে ভেঙ্গে গেল যে, ভাঙা অংশটি বিচ্ছিন্ন না হয়ে ভূমির মাথে ৩০<sup>০</sup> কোণ উৎপন্ন করল। গাছটি মাটি থেকে কত উঁচুতে ভেঙ্গে ছিল? 
সমাধান :
ধরি,
খুঁটিটি মাটি হতে x ফুট উঁচুতে ভেঙেছিল।
ভাঙা অংশের দৈর্ঘ্য = (18 - x) ফুট
এখানে,
sinθ = AB/AC
sin30° = x/(18 - x)
1/2 = x/(18 - x)
2x = 18 - x
2x + x = 18
3x = 18
x = 6

সুতরাং, খুঁটিটি মাটি হতে 6 ফুট উঁচুতে ভেঙে ছিল।
 

ব্যাখ্যা

এটি উচ্চতা ও দূরত্ব (Height and Distance) সংক্রান্ত একটি সমস্যা যা ত্রিকোণমিতির সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা হয়।
ধরি, গাছটির মোট উচ্চতা H=18H = 18 ফুট। গাছটি মাটি থেকে xx ফুট উঁচুতে ভেঙেছিল।
যেহেতু গাছটির মোট উচ্চতা ১৮ ফুট এবং এটি xx ফুট উঁচুতে ভেঙেছে, তাই ভাঙা অংশটির দৈর্ঘ্য হলো (18−x)(18 - x) ফুট। এই ভাঙা অংশটিই সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ।
গাছটি উল্লম্বভাবে দাঁড়িয়ে ছিল, তাই এটি ভূমির সাথে 90∘90^\circ কোণ তৈরি করে। ভাঙার পর গাছের খাড়া অংশটি হলো বিপরীত বাহু (xx) এবং ভাঙা অংশটি অতিভুজ।
এখানে ভূমির সাথে উৎপন্ন কোণ θ=30∘\theta = 30^\circ। আমরা জানি, ত্রিকোণমিতিক অনুপাত অনুযায়ী:
sin⁡θ=বিপরীত বাহু (উচ্চতা)অতিভুজ (ভাঙা অংশ)\sin \theta = \frac{\text{বিপরীত বাহু (উচ্চতা)}}{\text{অতিভুজ (ভাঙা অংশ)}}
sin⁡30∘=x18−x\sin 30^\circ = \frac{x}{18 - x}
যেহেতু sin⁡30∘=12\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, আমরা পাই:
12=x18−x\frac{1}{2} = \frac{x}{18 - x}
বজ্রগুণন করে পাই: 2x=18−x2x = 18 - x
3x=183x = 18
x=6x = 6
সুতরাং, গাছটি মাটি থেকে ৬ ফুট উঁচুতে ভেঙেছিল, যা সঠিক উত্তর।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
6

 একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৫২ বর্গ সে. মি. হলে, এর কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    ২৬ বর্গ সে. মি.
  2. খ
    ৫২ বর্গ সে. মি.
  3. ১০৪ বর্গ সে. মি.
  4. ঘ
    ১০৮ বর্গ সে. মি.

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

প্রশ্ন: একটি রম্বসের ক্ষেত্রফল ৫২ বর্গ সে. মি. হলে, এর কর্ণদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
রম্বসের ক্ষেত্রফল = ১/২ × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, ৫২ = (১/২) × কর্ণদ্বয়ের গুণফল
বা, কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ৫২ × ২ 
 ∴ কর্ণদ্বয়ের গুণফল = ১০৪ বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি পরিমিতি (Mensuration) অংশের একটি সরাসরি সূত্রনির্ভর সমস্যা। NTRCA পরীক্ষায় জ্যামিতি ও পরিমিতি থেকে এই ধরনের প্রশ্ন প্রায়ই আসে।
আমরা জানি, রম্বসের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের মূল সূত্রটি হলো:
ক্ষেত্রফল A=১২×A = \frac{১}{২} \times (কর্ণদ্বয়ের গুণফল)।
প্রশ্নমতে, রম্বসের ক্ষেত্রফল A=৫২A = ৫২ বর্গ সে. মি.।
সূত্র অনুযায়ী আমরা লিখতে পারি: ৫২=১২×৫২ = \frac{১}{২} \times (কর্ণদ্বয়ের গুণফল)।
বা, কর্ণদ্বয়ের গুণফল $= ৫২ \times ২ = ১০৪ বর্গ সে. মি.।
বিকল্প (ক) ২৬ বর্গ সে. মি. (যা ৫২ এর অর্ধেক) এবং বিকল্প (খ) ৫২ বর্গ সে. মি. (যা ক্ষেত্রফলের সমান, কিন্তু কর্ণদ্বয়ের গুণফলের অর্ধেক) হওয়া সম্ভব নয়। তাই সঠিক উত্তর হলো ১০৪ বর্গ সে. মি.।
7

১৮ মিটার দীর্ঘ একটি মই ভূমির সাথে ৩০° কোণে উন্নীত করে দেয়ালের ছাদ স্পর্শ করে। দেয়ালটির উচ্চতা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ৯ মিটার
  2. খ
    ১০ মিটার
  3. গ
    ১২ মিটার
  4. ঘ
    ১৩ মিটার

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: ১৮ মিটার দীর্ঘ একটি মই ভূমির সাথে ৩০° কোণে উন্নীত করে দেয়ালের ছাদ স্পর্শ করে। দেয়ালটির উচ্চতা কত?
সমাধান:
দেয়ালটির উচ্চতা AB = ?
মইয়ের দৈর্ঘ্য AC = 18 

 
Sin ∠ACB = AB/AC
Sin 30° = AB/18
1/2 = AB/18
2AB = 18
AB = 18/2
AB = 9

ব্যাখ্যা

এই সমস্যাটি ত্রিকোণমিতির (Trigonometry) মৌলিক ধারণা থেকে এসেছে। দেয়াল, ভূমি ও মই মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে।
এখানে, মইয়ের দৈর্ঘ্য হলো অতিভুজ (Hypotenuse) = ১৮ মিটার।
দেয়ালের উচ্চতা হলো কোণের বিপরীত বাহু (Opposite Side), যা আমাদের নির্ণয় করতে হবে।
যেহেতু বিপরীত বাহু এবং অতিভুজ দেওয়া আছে, তাই আমরা Sine (সাইন) সূত্রটি ব্যবহার করব:
Sin(θ)=বিপরীত বাহুঅতিভুজ\text{Sin}(\theta) = \frac{\text{বিপরীত বাহু}}{\text{অতিভুজ}}
প্রশ্ন অনুযায়ী, θ=30∘\theta = 30^{\circ}।
Sin30∘=দেয়ালের উচ্চতা18\text{Sin} 30^{\circ} = \frac{\text{দেয়ালের উচ্চতা}}{18}
আমরা জানি, Sin30∘=12\text{Sin} 30^{\circ} = \frac{1}{2}।
12=উচ্চতা18\frac{1}{2} = \frac{\text{উচ্চতা}}{18}
অতএব, উচ্চতা =182=<strong>৯মিটার</strong>= \frac{18}{2} = <strong>৯ মিটার</strong>।
8

বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 9
  2. খ
    12
  3. গ
    16
  4. ঘ
    4

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 6r) = 8r
∴ ব্যাসার্ধ =8r/2 = 4r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(4r)2 =16πr2
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 16πr2 - πr2 = 15πr2
∴ 15 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

----------------
প্রশ্ন : বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?
সমাধান : 
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r 
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r   
∴ব্যাসার্ধ =6r/2 = 3r   
∴ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)2 = 9πr2  
 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৯ গুণ  পাবে।
 
যেহেতু এটি জব সলিউশনের প্রশ্ন এবং অপশনে ১৫ গুণ ছিল না,  তাই ৯ গুণকে সঠিক উত্তর হিসেবে নেওয়া হয়েছে।

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত পরিমিতির একটি ক্লাসিক সমস্যা।
বৃত্তের ব্যাস (Diameter) বা ব্যাসার্ধ (Radius) যতগুণ বৃদ্ধি পায়, ক্ষেত্রফল তার বর্গের (Square) সমানুপাতিক হারে বৃদ্ধি পায়।
ধরি, বৃত্তের প্রাথমিক ব্যাসার্ধ r।
প্রাথমিক ক্ষেত্রফল A1=πr2A_1 = \pi r^2
প্রশ্নমতে, ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেয়েছে। যেহেতু ব্যাস (2r) তিনগুণ হলে ব্যাসার্ধও তিনগুণ হবে।
নতুন ব্যাসার্ধ r′=3rr' = 3r
নতুন ক্ষেত্রফল A2=π(r′)2=π(3r)2=9πr2A_2 = \pi (r')^2 = \pi (3r)^2 = 9\pi r^2
অতএব, ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে A2A1=9πr2πr2=9\frac{A_2}{A_1} = \frac{9\pi r^2}{\pi r^2} = 9 গুণ।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ৯ গুণ।
9

 একটি তালগাছ এর পাদবিন্দু হতে ১০ মিটার দূরবর্তী স্থানে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ ৬০° হলে, গাছটির উচ্চতা কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ১৭.৩২ মি.
  2. খ
    ১৭.৭২ মি.
  3. গ
    ১৬.৬৫ মি.
  4. ঘ
    ১৭.৭৫ মি.

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: একটি তালগাছ এর পাদবিন্দু হতে 10 মিটার দূরবর্তী স্থানে গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ 60° হলে, গাছটির উচ্চতা কত?

সমাধান: 
 

গাছটির উচ্চতা AB = ?
ΔABC এ 
tan60° = AB/BC
√3 = AB/10
AB = 10√3 
AB = 17.32

ব্যাখ্যা

এটি উচ্চতা ও দূরত্ব (Height and Distance) সম্পর্কিত একটি ক্লাসিক ত্রিকোণমিতির সমস্যা।
ধরি, তালগাছটির উচ্চতা AB=hAB = h মিটার এবং পাদবিন্দু BB থেকে ১০ মিটার দূরে অবস্থিত স্থানটি CC ।
সুতরাং, দূরত্ব BC=10BC = 10 মিটার।
গাছের শীর্ষের উন্নতি কোণ ∠ACB=60∘\angle ACB = 60^{\circ}। এখানে △ABC\triangle ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেখানে ∠B=90∘\angle B = 90^{\circ}।
আমরা জানি, ত্রিকোণমিতিতে লম্ব (গাছের উচ্চতা) এবং ভূমি (পাদবিন্দু থেকে দূরত্ব)-এর সম্পর্ক নির্ণয় করতে ট্যানজেন্ট (tan) ব্যবহার করা হয়: tanθ=লম্বভূমি\text{tan} \theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}
মান বসিয়ে পাই:
tan60∘=ABBC=h10\text{tan} 60^{\circ} = \frac{AB}{BC} = \frac{h}{10}
আমরা জানি, tan60∘=3\text{tan} 60^{\circ} = \sqrt{3}।
সুতরাং, 3=h10\sqrt{3} = \frac{h}{10}
h=103h = 10\sqrt{3}
3\sqrt{3} এর আনুমানিক মান 1.7321.732 ব্যবহার করে পাই:
h=10×1.732=<strong>17.32h = 10 \times 1.732 = <strong>17.32 মিটার।
10

Sin(- θ) = কত ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. - Sinθ
  2. খ
    Sinθ
  3. গ
    ±Sinθ
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: Sin(- θ) = কত ?

সমাধান: 
Sin(- θ) = - Sinθ

ব্যাখ্যা

এটি ত্রিকোণমিতির মৌলিক সূত্র সম্পর্কিত প্রশ্ন। ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের ক্ষেত্রে যখন কোণ (angle) ঋণাত্মক হয়, তখন ফাংশনের প্রকৃতি অনুযায়ী এর মান নির্ধারিত হয়।
আমরা জানি, Sin ফাংশন হলো একটি বিজোড় বা Odd ফাংশন।
বিজোড় ফাংশনের ক্ষেত্রে, যদি f(x)f(x) ফাংশন হয়, তবে f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) হয়।
এই সূত্র অনুযায়ী, Sin(−θ)=−Sinθ\text{Sin}(-\theta) = - \text{Sin}\theta হয়।
সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো - Sin\theta।
ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য

ক্লাস ৬-১২ একাডেমিক প্রস্তুতিও নিন

ক্লাস ৬-১২, এসএসসি ও এইচএসসির সব বিষয়ের বোর্ড প্রশ্ন, অধ্যায়ভিত্তিক প্র্যাকটিস, লাইভ পরীক্ষা ও মডেল টেস্ট — সবই এক জায়গায়, Somadhan-এর একাডেমিক সেকশনে।

একাডেমিক প্রস্তুতি দেখুন
11

 একটি বর্গক্ষেত্রের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 1 একক হলে, উহার কর্ণের দৈর্ঘ্য- 

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. √2
  2. খ
    1
  3. গ
    5
  4. ঘ
    2

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য x = 1
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = x√2
                                      = 1 × √2
                                       = √2

ব্যাখ্যা

প্রিয় শিক্ষকমণ্ডলী, জ্যামিতি ও পরিমিতির এই প্রশ্নটি অত্যন্ত সহজ কিন্তু NTRCA সহ সকল নিয়োগ পরীক্ষায় বহুবার এসেছে।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের মূল সূত্রটি হলো: d=a2d = a\sqrt{2}, যেখানে aa হলো বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য এবং dd হলো কর্ণ।
এই সূত্রটি মূলত পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে এসেছে, কারণ কর্ণ বর্গক্ষেত্রটিকে দুটি সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত করে (d2=a2+a2d^2 = a^2 + a^2)।
প্রদত্ত প্রশ্ন অনুযায়ী, বাহুর দৈর্ঘ্য (aa) = 1 একক।
সুতরাং, কর্ণের দৈর্ঘ্য (dd) হবে: 1×21 \times \sqrt{2} বা 2\sqrt{2} একক।
অন্যান্য অপশনগুলো (১, ৫, ২) বর্গক্ষেত্রের সূত্র অনুযায়ী সঠিক নয়, তাই সঠিক উত্তরটি হলো 2\sqrt{2}।

এই অধ্যায়ের প্রশ্ন টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করুন

এই পেজে বাছাইকৃত ১১টি প্রশ্ন সমাধানসহ দেওয়া হয়েছে। প্র্যাকটিস মোডে এক-একটি করে উত্তর দিয়ে সঙ্গে সঙ্গে ফলাফল, স্কোর ও অগ্রগতি ট্র্যাক করুন।

প্র্যাকটিস মোডে যানসব অধ্যায়

NTRCA - School Level-এর অন্যান্য অধ্যায়

Bangla (School)৬৬৭ প্রশ্নEnglish (School)৬৫৩ প্রশ্নMathematics (School)৭৪৪ প্রশ্নGeneral Knowledge (School)৫৯৩ প্রশ্নবাগধারা ও প্রবাদ প্রবচন৩ প্রশ্নশতকরা, লাভ-ক্ষতি ও সুদকষা৭ প্রশ্নসমার্থক ও বিপরীতার্থক শব্দ৩ প্রশ্নRight forms of Verb১ প্রশ্নইতিহাস ও সভ্যতা১ প্রশ্নবানান শুদ্ধি ও এককথায় প্রকাশ৩ প্রশ্নবাংলা সাহিত্যের ইতিহাস (সংক্ষিপ্ত)১১ প্রশ্নজ্যামিতি (রেখা, কোণ, ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, বৃত্ত)১ প্রশ্নঅনুপাত ও সমানুপাত১ প্রশ্নলিঙ্গ ও বচন পরিবর্তন৩ প্রশ্নTranslation from Bengali to English১ প্রশ্নসমার্থক ও বিপরীত শব্দ১ প্রশ্নকারক, বিভক্তি ও সমাস১১ প্রশ্নবীজগণিত (মান নির্ণয়, উৎপাদক, সূচক)৬ প্রশ্নলগারিদম ও সূচক (Logarithms & Indices)৯ প্রশ্নসন্ধি ও প্রত্যয়২০ প্রশ্ন

কেন NTRCA (Teacher Registration)-এর জন্য “পরিমিতি ও ত্রিকোণমিতি” অধ্যায়টি গুরুত্বপূর্ণ?

NTRCA (Teacher Registration) নিয়োগ পরীক্ষার NTRCA - School Level অংশে “পরিমিতি ও ত্রিকোণমিতি” থেকে প্রায় প্রতিবারই প্রশ্ন আসে। বিগত সালের প্রশ্নের ধরন বুঝে নিয়মিত অনুশীলন করলে এই অধ্যায়ের নম্বর নিশ্চিত করা সহজ হয় — এই পেজের বাছাইকৃত প্রশ্নগুলো ঠিক সেই প্রস্তুতির জন্যই সাজানো।

সচরাচর জিজ্ঞাসা

"পরিমিতি ও ত্রিকোণমিতি" অধ্যায় থেকে কেমন প্রশ্ন আসে?

NTRCA (Teacher Registration) নিয়োগ পরীক্ষায় NTRCA - School Level বিষয়ের "পরিমিতি ও ত্রিকোণমিতি" অধ্যায় থেকে নিয়মিত MCQ আসে। এই পেজে বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক জায়গায় দেওয়া হয়েছে — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ।

উত্তর ও সমাধান কি বিনামূল্যে?

হ্যাঁ। প্রশ্ন, অপশন, সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যা — সবই লগইন ছাড়াই বিনামূল্যে দেখা যায়। টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করতে চাইলে একটি ফ্রি অ্যাকাউন্ট দিয়ে প্র্যাকটিস মোডে যান।