সমাধান
U

User

User

ওয়ালেট ব্যালেন্স

স্টুডেন্ট ড্যাশবোর্ড আমার প্রোফাইল আমার তৈরি প্রশ্ন রেফার করো, আয় করো
সমাধান
💼
NTRCA - School Level

লগারিদম ও সূচক (Logarithms & Indices)

NTRCA (Teacher Registration) · NTRCA - School Level — বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক পেজে।

নিচে NTRCA (Teacher Registration) নিয়োগ পরীক্ষার NTRCA - School Level বিষয়ের "লগারিদম ও সূচক (Logarithms & Indices)" অধ্যায়ের বাছাইকৃত ৯টি বহুনির্বাচনি প্রশ্ন — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ। সবই বিনামূল্যে।

1

a-n = 1/an কোন শর্তে সত্য?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    a = 0
  2. খ
    a > 0
  3. গ
    a < 0
  4. a ≠ 0

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান

ব্যাখ্যা

সূচকের মৌলিক সূত্র অনুযায়ী, কোনো ভিত্তি (base) aa এর ঋণাত্মক সূচক (negative index) কে ধনাত্মক করতে হলে সেটিকে ভিত্তি সহ ভগ্নাংশের নিচে (denominator) লিখতে হয়। সূত্রটি হলো: a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}।
এই সূত্রটির শর্ত বোঝার জন্য আমাদের ডান পাশটি দেখতে হবে। ডান পাশে রয়েছে 1an\frac{1}{a^n}। আমরা জানি, গণিতে কোনো ভগ্নাংশের হর (denominator) কখনোই শূন্য হতে পারে না।
যদি আমরা a=0a = 0 ধরি, তাহলে ডান পাশের মান দাঁড়ায় 10n=10\frac{1}{0^n} = \frac{1}{0}, যা অনির্ণেয় বা Undefined।
সুতরাং, সমীকরণটি সত্য হওয়ার একমাত্র শর্ত হলো ভিত্তি aa এর মান শূন্য হবে না। অর্থাৎ, a≠0a \neq 0। এই কারণেই অপশন (ঘ) সঠিক।
2

 log10 x = - 2 হলে, x এর মান কত হবে?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 0.01
  2. খ
    0.001
  3. গ
    0.02
  4. ঘ
    0.002

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

log10x = - 2
x = 10- 2
x = 1/102
x = 1/100
z = 0.01

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সমাধানের জন্য লগারিদমের মূল সংজ্ঞা জানতে হবে, যা NTRCA পরীক্ষার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি log⁡ba=c\log_b a = c হয়, তবে সেটিকে সূচক আকারে প্রকাশ করা যায় a=bca = b^c। এটিই হলো লগ এবং সূচকের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক।
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো log⁡10x=−2\log_{10} x = - 2।
এখানে, ভিত্তি (bb) হলো 10, মান (aa) হলো x এবং সূচক (cc) হলো - 2।
এই সংজ্ঞানুযায়ী, xx এর মান হবে: x=10−2x = 10^{-2}।
ঋণাত্মক সূচকের (Negative Index) নিয়ম ব্যবহার করে, আমরা পাই: x=1102x = \frac{1}{10^2}।
সুতরাং, x=1100x = \frac{1}{100} বা 0.01।
সঠিক উত্তর হলো অপশন (0.01)।
3

log√2 16 = কত ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    9
  2. 8
  3. গ
    6
  4. ঘ
    4

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন: log√216 = কত? 

সমাধান:
log√216 
= log√224
= log√2(√2)8
= 8 log√2(√2)
= 8 .1 
= 8

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সমাধানের জন্য আমাদের লগারিদমের ভিত্তি (base) এবং মান (value) উভয়কেই একই ভিত্তির শক্তিতে প্রকাশ করতে হবে।
ধাপ ১: প্রদত্ত রাশিটি হলো log216log_{\sqrt{2}} 16। এখানে ভিত্তি হলো 2\sqrt{2} এবং মান হলো 1616।
ধাপ ২: আমরা জানি, 16=2416 = 2^4।
ধাপ ৩: আবার, আমরা জানি যে 2=21/2\sqrt{2} = 2^{1/2}। তাই 2=(2)22 = (\sqrt{2})^2 লেখা যায়।
ধাপ ৪: 1616-কে 2\sqrt{2}-এর শক্তিতে প্রকাশ করলে দাঁড়ায়: 16=24=(22)4=(2)2×4=(2)816 = 2^4 = (\sqrt{2}^2)^4 = (\sqrt{2})^{2 \times 4} = (\sqrt{2})^8
ধাপ ৫: এখন লগারিদমের সূত্রে প্রয়োগ করি:
log216=log2(2)8log_{\sqrt{2}} 16 = log_{\sqrt{2}} (\sqrt{2})^8
ধাপ ৬: লগারিদমের মূল সূত্র (logbMk=klogbMlog_b M^k = k log_b M) অনুসারে, শক্তি 88 সামনে চলে আসবে:
8⋅log2(2)8 \cdot log_{\sqrt{2}} (\sqrt{2})
ধাপ ৭: যেহেতু ভিত্তি ও মান একই (logbb=1log_b b = 1), তাই log2(2)=1log_{\sqrt{2}} (\sqrt{2}) = 1।
অতএব, ফলাফল হলো 8×1=<strong>8</strong>8 \times 1 = <strong>8</strong>।
4

4√x = 0.1 হলে, x =কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    0.1
  2. খ
    0.01
  3. গ
    0.001
  4. 0.0001

সঠিক উত্তর: ঘ

সমাধান



সমাধান: 
x1/4 = 0.1 
x = (0.1)4
x = 0.0001

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমস্যাটি সূচক (Indices) সংক্রান্ত। আমাদের দেওয়া আছে: x4=0.1\sqrt[4]{x} = 0.1
সূচকের সূত্র অনুযায়ী, nn তম মূলকে (n-th root) আমরা 1/n1/n পাওয়ার হিসাবে লিখতে পারি। অর্থাৎ, an=a1/n\sqrt[n]{a} = a^{1/n}।
সুতরাং, আমরা লিখতে পারি: x1/4=0.1x^{1/4} = 0.1
এখন xx-এর মান বের করার জন্য, আমরা উভয় পক্ষকে 44 ঘাত (power of 4) দ্বারা গুণ করব।
(x1/4)4=(0.1)4\left(x^{1/4}\right)^4 = (0.1)^4
x=(0.1)×(0.1)×(0.1)×(0.1)x = (0.1) \times (0.1) \times (0.1) \times (0.1)
দশমিক গুণনের ক্ষেত্রে, আমরা দশমিক বিন্দুগুলো উপেক্ষা করে গুণফল নির্ণয় করব (1×1×1×1=11 \times 1 \times 1 \times 1 = 1)। এরপর দশমিকের পর মোট যতগুলো অঙ্ক আছে, গুণফলের ডানদিক থেকে ততগুলো অঙ্ক বামে দশমিক বসাতে হবে। এখানে মোট চারটি দশমিক স্থান রয়েছে।
অতএব, x=0.0001x = 0.0001।
অন্যান্য অপশনগুলো ভুল, কারণ 0.11=0.10.1^1=0.1, 0.12=0.010.1^2=0.01 এবং 0.13=0.0010.1^3=0.001।
5

(√3)x+1 = (3√3)2x-1 হলে, x =কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    3
  2. খ
    4
  3. 5
  4. ঘ
    6

সঠিক উত্তর: গ

সমাধান

 

সমাধান:
(31/2)x + 1 = (31/3)2x - 1
3(x + 1)/2 = 3(2x - 1)/3
(x + 1)/2 = (2x - 1)/3
4x - 2 = 3x + 3
4x - 3x = 3 + 2
x = 5

ব্যাখ্যা

এটি সূচকের একটি গুরুত্বপূর্ণ সমস্যার, যেখানে উভয় পক্ষের ভিত্তি (Base) সমান করে x এর মান নির্ণয় করতে হবে।
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: (3)x+1=(33)2x−1(\sqrt{3})^{x+1} = (\sqrt[3]{3})^{2x-1}।
প্রথমেই রুট চিহ্নগুলোকে ভগ্নাংশীয় শক্তিতে (Fractional Power) রূপান্তর করতে হবে। আমরা জানি, a=a1/2\sqrt{a} = a^{1/2} এবং a3=a1/3\sqrt[3]{a} = a^{1/3}।
অতএব, সমীকরণটি দাঁড়ায়: (31/2)x+1=(31/3)2x−1(3^{1/2})^{x+1} = (3^{1/3})^{2x-1}।
সূচকের সূত্রানুসারে, (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}। তাই পাওয়ারগুলো গুণ হয়ে যাবে:
3x+12=32x−133^{\frac{x+1}{2}} = 3^{\frac{2x-1}{3}}।
যেহেতু উভয় পক্ষের ভিত্তি সমান (Basis = 3), তাই তাদের সূচকগুলিও সমান হবে:
x+12=2x−13\frac{x+1}{2} = \frac{2x-1}{3}
এখন বজ্রগুণ (Cross-multiplication) করে পাই: 3(x+1)=2(2x−1)3(x+1) = 2(2x-1)।
3x+3=4x−23x + 3 = 4x - 2
x কে একপাশে ও ধ্রুবক সংখ্যাকে অন্যপাশে নিয়ে গেলে পাই: 3+2=4x−3x3 + 2 = 4x - 3x, অর্থাৎ x=5x = 5।
সঠিক উত্তরটি হলো ৫।
গৃহশিক্ষকদের জন্য

টিউশনির শিক্ষার্থীদের পরীক্ষার প্রশ্ন বানান মাত্র ১ মিনিটে

চাকরি প্রস্তুতির পাশাপাশি টিউশনি করান? আপনার ক্লাস ৬-১২ শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নপত্র তৈরি করুন আমাদের প্রশ্ন তৈরি সফটওয়্যার দিয়ে — লক্ষাধিক বোর্ড প্রশ্ন থেকে বেছে নিয়ে মিনিটেই বানান প্রিন্ট-রেডি প্রশ্নপত্র ও উত্তরপত্র।

প্রশ্নপত্র তৈরি করুন
6

25√5 এর 5 ভিত্তিক লগ কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 5/2
  2. খ
    1/2
  3. গ
    125/2
  4. ঘ
    25/\sqrt{5}

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

25√5 এর 5 ভিত্তিক লগ
= log525√5
= log5(52.51/2)
= log555/2 
= 5/2 log55
= (5/2) × 1
= 5/2

ব্যাখ্যা

এই প্রশ্নটি সূচক এবং লগারিদমের মৌলিক সূত্রগুলোর সঠিক প্রয়োগ নিশ্চিত করে।
আমাদের নির্ণয় করতে হবে 25525\sqrt{5} এর 5 ভিত্তিক লগ, যা গাণিতিকভাবে log⁡5255\log_5 25\sqrt{5} হিসেবে লেখা যায়।
প্রথমত, আমরা 25525\sqrt{5} সংখ্যাটিকে ভিত্তি 5 এর ঘাত (Power) হিসেবে প্রকাশ করব।
আমরা জানি, 25=5225 = 5^2 এবং 5=51/2\sqrt{5} = 5^{1/2}।
সুতরাং, 255=52×51/225\sqrt{5} = 5^2 \times 5^{1/2}। সূচকের সূত্র (am×an=am+na^m \times a^n = a^{m+n}) অনুসারে, ঘাতগুলো যোগ হবে:
255=52+1/2=54/2+1/2=55/225\sqrt{5} = 5^{2 + 1/2} = 5^{4/2 + 1/2} = 5^{5/2}।
এখন লগারিদম প্রয়োগ করে পাই: log⁡555/2\log_5 5^{5/2}।
লগারিদমের মূল সূত্র log⁡aMr=rlog⁡aM\log_a M^r = r \log_a M অনুযায়ী, ঘাত (r) সামনে চলে আসে। তাই আমরা পাই: 52log⁡55\frac{5}{2} \log_5 5।
যেহেতু log⁡aa=1\log_a a = 1, তাই log⁡55=1\log_5 5 = 1।
চূড়ান্ত উত্তর: 52×1=5/2\frac{5}{2} \times 1 = \mathbf{5/2}।
7

m√an এর মান নিচের কোনটি?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক

    amn

  2. an/m

  3. গ

    am/n

  4. ঘ

    a-n/m

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

প্রশ্ন: m√an এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
m√an 
= (an)1/m
= an/m

ব্যাখ্যা

এটি সূচক ও মূলের (Indices and Roots) একটি মৌলিক সম্পর্ক বিষয়ক প্রশ্ন।
সূচকের নিয়ম অনুযায়ী, কোনো সংখ্যার mm-তম মূলকে (m-th root) 1m\frac{1}{m} ঘাত হিসেবে লেখা যায়। অর্থ্যাৎ, xm=x1/m\sqrt[m]{x} = x^{1/m}।
এখানে, রাশিটি হলো anm\sqrt[m]{a^n}। প্রথমে ana^n কে ভিত্তি ধরে মূলকে ঘাত হিসেবে প্রকাশ করলে পাই: (an)1/m(a^n)^{1/m}।
এরপর সূচকের গুণের নিয়ম (xp)q=xpq\mathbf{(x^p)^q = x^{pq}} প্রয়োগ করলে পাওয়া যায়: an×1/m=an/ma^{n \times 1/m} = a^{n/m}।
অতএব, সঠিক উত্তর হলো an/m।
বাকি অপশনগুলো (যেমন: am/na^{m/n}) ভুলভাবে মূল ও ঘাতের স্থান পরিবর্তন করার ফল।
8

(√3)x+1 = (3√3)2x-1 এর সমাধান কত ?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. ক
    4
  2. 5
  3. গ
    6
  4. ঘ
    7

সঠিক উত্তর: খ

সমাধান

(31/2)x + 1 = (31/3)2x - 1

3(x+ 1)/2 = 3(2x - 1)/3

(x + 1)/2 = 2x - 1/3

3x +  3 = 4x - 2

4x - 3x = 3 + 2

x = 5

ব্যাখ্যা

এই সমস্যার সমাধান করার জন্য আমাদের উভয় পক্ষের ভিত্তি (base) একই করতে হবে। আমরা জানি, বর্গমূল a=a1/2\sqrt{a} = a^{1/2} এবং ঘনমূল a3=a1/3\sqrt[3]{a} = a^{1/3}।
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: (3)x+1=(33)2x−1(\sqrt{3})^{x+1} = (\sqrt[3]{3})^{2x-1}
সূচকের মাধ্যমে প্রকাশ করলে পাই: (31/2)x+1=(31/3)2x−1(3^{1/2})^{x+1} = (3^{1/3})^{2x-1}
সূচকের সূত্র অনুসারে, (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}, তাই:
→3x+12=32x−13\rightarrow 3^{\frac{x+1}{2}} = 3^{\frac{2x-1}{3}}
যেহেতু উভয় পক্ষের ভিত্তি (Base) একই (3), তাই আমরা সূচকগুলোকে সমান লিখতে পারি:
x+12=2x−13\frac{x+1}{2} = \frac{2x-1}{3}
বজ্রগুণন (Cross-multiplication) করে পাই:
→3(x+1)=2(2x−1)\rightarrow 3(x+1) = 2(2x-1)
→3x+3=4x−2\rightarrow 3x + 3 = 4x - 2
→3+2=4x−3x\rightarrow 3 + 2 = 4x - 3x
→5=x\rightarrow 5 = x
সুতরাং, সঠিক সমাধান হলো x = 5, যা অপশন (5) এ রয়েছে।
9

 log 2√5 400 = x হলে, x এর মান কত?

বহুনির্বাচনি প্রশ্ন
  1. 4
  2. খ
    5
  3. গ
    2√5
  4. ঘ
    4√5

সঠিক উত্তর: ক

সমাধান

প্রশ্ন: log 2√5 400 = x হলে, x এর মান কত?

সমাধান:                           এখানে 
log 2√5 400 = x               400
বা, (2√5)x  = 400            = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
বা,(2√5)x = (2√5)4          = 24 × 52 =
বা, x = 4                         = 24 × (√5)4
                                      = (2√5)4

ব্যাখ্যা

এটি একটি সাধারণ লগারিদমের মান নির্ণয়ের সমস্যা। লগারিদমের সংজ্ঞানুসারে, log⁡ba=x\log_b a = x হলে, একে সূচকে রূপান্তর করা যায়: bx=ab^x = a।
প্রশ্নানুসারে, log⁡25400=x\log_{2\sqrt{5}} 400 = x।
সূচকে রূপান্তর করলে আমরা পাই: (25)x=400(2\sqrt{5})^x = 400।
এখন, আমাদের লক্ষ্য হলো 400 সংখ্যাটিকে (25)(2\sqrt{5}) এর ঘাত হিসেবে প্রকাশ করা।
প্রথমে 400 কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি: 400=2×2×2×2×5×5=24×52400 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^4 \times 5^2।
আমরা জানি, 5=(5)25 = (\sqrt{5})^2। সুতরাং, 52=((5)2)2=(5)45^2 = ((\sqrt{5})^2)^2 = (\sqrt{5})^4।
অতএব, 400=24×(5)4400 = 2^4 \times (\sqrt{5})^4
সূচকের সূত্র অনুযায়ী (am×bm)=(ab)m(a^m \times b^m) = (ab)^m।
সুতরাং, 400=(2×5)4=(25)4400 = (2 \times \sqrt{5})^4 = (2\sqrt{5})^4।
সমীকরণটি দাঁড়ায়: (25)x=(25)4(2\sqrt{5})^x = (2\sqrt{5})^4।
যেহেতু ভিত্তি সমান, তাই ঘাতও সমান হবে। সুতরাং, x=4x = 4।
সঠিক উত্তর হলো অপশন (A) 4।

এই অধ্যায়ের প্রশ্ন টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করুন

এই পেজে বাছাইকৃত ৯টি প্রশ্ন সমাধানসহ দেওয়া হয়েছে। প্র্যাকটিস মোডে এক-একটি করে উত্তর দিয়ে সঙ্গে সঙ্গে ফলাফল, স্কোর ও অগ্রগতি ট্র্যাক করুন।

প্র্যাকটিস মোডে যানসব অধ্যায়

NTRCA - School Level-এর অন্যান্য অধ্যায়

Bangla (School)৬৬৭ প্রশ্নEnglish (School)৬৫৩ প্রশ্নMathematics (School)৭৪৪ প্রশ্নGeneral Knowledge (School)৫৯৩ প্রশ্নবাগধারা ও প্রবাদ প্রবচন৩ প্রশ্নশতকরা, লাভ-ক্ষতি ও সুদকষা৭ প্রশ্নসমার্থক ও বিপরীতার্থক শব্দ৩ প্রশ্নRight forms of Verb১ প্রশ্নইতিহাস ও সভ্যতা১ প্রশ্নবানান শুদ্ধি ও এককথায় প্রকাশ৩ প্রশ্নবাংলা সাহিত্যের ইতিহাস (সংক্ষিপ্ত)১১ প্রশ্নপরিমিতি ও ত্রিকোণমিতি১১ প্রশ্নজ্যামিতি (রেখা, কোণ, ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, বৃত্ত)১ প্রশ্নঅনুপাত ও সমানুপাত১ প্রশ্নলিঙ্গ ও বচন পরিবর্তন৩ প্রশ্নTranslation from Bengali to English১ প্রশ্নসমার্থক ও বিপরীত শব্দ১ প্রশ্নকারক, বিভক্তি ও সমাস১১ প্রশ্নবীজগণিত (মান নির্ণয়, উৎপাদক, সূচক)৬ প্রশ্নসন্ধি ও প্রত্যয়২০ প্রশ্ন

কেন NTRCA (Teacher Registration)-এর জন্য “লগারিদম ও সূচক (Logarithms & Indices)” অধ্যায়টি গুরুত্বপূর্ণ?

NTRCA (Teacher Registration) নিয়োগ পরীক্ষার NTRCA - School Level অংশে “লগারিদম ও সূচক (Logarithms & Indices)” থেকে প্রায় প্রতিবারই প্রশ্ন আসে। বিগত সালের প্রশ্নের ধরন বুঝে নিয়মিত অনুশীলন করলে এই অধ্যায়ের নম্বর নিশ্চিত করা সহজ হয় — এই পেজের বাছাইকৃত প্রশ্নগুলো ঠিক সেই প্রস্তুতির জন্যই সাজানো।

সচরাচর জিজ্ঞাসা

"লগারিদম ও সূচক (Logarithms & Indices)" অধ্যায় থেকে কেমন প্রশ্ন আসে?

NTRCA (Teacher Registration) নিয়োগ পরীক্ষায় NTRCA - School Level বিষয়ের "লগারিদম ও সূচক (Logarithms & Indices)" অধ্যায় থেকে নিয়মিত MCQ আসে। এই পেজে বিগত সালের ও বাছাইকৃত গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন এক জায়গায় দেওয়া হয়েছে — প্রতিটির সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যাসহ।

উত্তর ও সমাধান কি বিনামূল্যে?

হ্যাঁ। প্রশ্ন, অপশন, সঠিক উত্তর, ধাপে ধাপে সমাধান ও ব্যাখ্যা — সবই লগইন ছাড়াই বিনামূল্যে দেখা যায়। টাইমার ও স্কোরসহ প্র্যাকটিস করতে চাইলে একটি ফ্রি অ্যাকাউন্ট দিয়ে প্র্যাকটিস মোডে যান।