শতকরা, লাভ-ক্ষতি ও সুদকষা

প্রশ্ন: 6% হারে নয় মাসে 10,000 টাকার উপর মুনাফা-মূলধন কত হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি,
I = pnr
I = 10000 × (9/12) × 6/100
  = 450 টাকা
মুনাফা-মূলধন = 10,000 + 450 = 10450 টাকা

এই প্রশ্নটি সরল সুদ (Simple Interest) নির্ণয়ের। এখানে আমাদেরকে মুনাফা-মূলধন বা সবৃদ্ধিমূল (Amount, A) বের করতে হবে।

আমরা জানি, সরল সুদের সূত্র: $I = Prn$
যেখানে,
$P$ = আসল বা মূলধন (Principal) = ১০,০০০ টাকা
$r$ = বার্ষিক সুদের হার (Rate) = ৬% বা $\frac{6}{100}$
$n$ = সময় (Time) = ৯ মাস। যেহেতু সুদের হার বার্ষিক, তাই সময়কে বছরে নিতে হবে। $n = \frac{9}{12}$ বছর।

প্রথমে মুনাফা ($I$) নির্ণয় করি:

$$I = 10000 \times \frac{6}{100} \times \frac{9}{12}$$$$

$$I = 100 \times 6 \times \frac{3}{4}$$$$

$$I = 600 \times 0.75$$
সুতরাং, মুনাফা ($I$) = ৪৫০ টাকা।

মুনাফা-মূলধন (সবৃদ্ধিমূল, $A$) = আসল ($P$) + মুনাফা ($I$)
$A = 10,000 + 450 = ১০,৪৫০ টাকা।

অতএব, সঠিক উত্তরটি হলো ১০,৪৫০ টাকা (অপশন খ)।

প্রশ্ন: একই হার মুনাফার কোনো আসল ৭ বছরে মুনাফা - আসলে দ্বিগুণ হলে, কত বছরে মুনাফা-আসলে তিনগুণ হবে?

সমাধান:
মনে করি,
আসল = ১০০টাকা

১০০ টাকা ৭ বছরে সুদে আসলে দ্বিগুণ = ২০০ টাকা
∴ ৭ বছরে সুদ = (২০০ - ১০০)টাকা = ১০০ টাকা 

সুদে -আসলে তিনগুণ = (১০০ × ৩) টাকা = ৩০০ টাকা
∴ সুদ = (৩০০ - ১০০)টাকা = ২০০ টাকা 

১০০ টাকা সুদ হয় ৭ বছরে 
∴ ১ টাকা সুদ হয় ৭/১০০ বছরে 
∴ ২০০ টাকা সুদ হয় (৭ × ২০০)/১০০ বছরে 
= ১৪ বছরে

এই ধরনের অঙ্কে হার (Rate) একই থাকলে, সুদ (Interest) এবং সময়ের (Time) সম্পর্ক হয় সরল সমানুপাতিক (Directly Proportional)।

ধরি, আসল (Principal) $P = A$ টাকা।

প্রথম ক্ষেত্রে, আসল দ্বিগুণ হলে মুনাফা-আসল হয় $2A$।
সুতরাং, প্রথম ক্ষেত্রে সুদ $I_1 = 2A - A = A$ টাকা।
এই সুদ ($A$) পেতে সময় লাগে $T_1 = ৭ বছর।

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, আসল তিনগুণ হলে মুনাফা-আসল হয় $3A$।
সুতরাং, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে সুদ $I_2 = 3A - A = 2A$ টাকা।

লক্ষ্য করুন, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে সুদ প্রথম ক্ষেত্রের সুদের দ্বিগুণ ($2A / A = 2$ গুণ)।

যেহেতু সুদ দ্বিগুণ হয়েছে এবং হার স্থির, তাই সময়ও দ্বিগুণ হবে।
প্রয়োজনীয় সময় $T_2 = 7 imes 2 = ১৪ বছর।

সঠিক উত্তর: ১৪।

প্রশ্ন: একটি লেবু ৪ টাকায় কিনে ৫ টাকায় বিক্রি করলে লাভ -

সমাধান:
লাভ = (৫ - ৪) টাকা = ১ টাকা

৪ টাকায় লাভ হয় ১ টাকা
১০০ টাকায় লাভ হয় ১০০/৪ টাকা
= ২৫ টাকা

∴ লাভ ২৫%

এই প্রশ্নটি লাভ-ক্ষতির (Profit and Loss) একটি মৌলিক গাণিতিক সমস্যা।

এখানে লেবুটির ক্রয়মূল্য (Cost Price, CP) = ৪ টাকা।

বিক্রয়মূল্য (Selling Price, SP) = ৫ টাকা।

অতএব, মোট লাভ = (বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য) = $৫ - ৪ = ১ টাকা।

লাভের হার বা শতকরা লাভ সবসময় ক্রয়মূল্যের উপর হিসাব করা হয়।

সূত্র অনুযায়ী, শতকরা লাভ = $\frac{\text{লাভ}}{\text{ক্রয়মূল্য}} \times ১০০$

মান বসিয়ে পাই: $\frac{১}{৪} \times ১০০$ = ২৫%।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো ২৫% (অপশন ক)।

অনেকে ভুল করে লাভের হার বিক্রয়মূল্যের উপর (১/৫ $\times$ ১০০ = ২০%) হিসাব করতে পারে, কিন্তু এটি সঠিক পদ্ধতি নয়।

প্রশ্ন: ১৫০ এর ১০% কত?

সমাধান:
১৫০ এর ১০%
= ১৫০ এর ১০/১০০
= ১৫

এই প্রশ্নটি শতকরা (Percentage) নির্ণয়ের একটি মৌলিক ধারণা। শতকরা মানে হলো প্রতি ১০০-এর মধ্যে কত। তাই, ১০% মানে হলো $10 \div 100$।

১৫০ এর ১০% নির্ণয়ের জন্য আমরা ১৫০ কে $\frac{10}{100}$ দ্বারা গুণ করব।

গণনা পদ্ধতি: $150 \times \frac{10}{100}$

আমরা সহজেই লব ও হরের শূন্যগুলো কেটে দিতে পারি: $150 \times \frac{1}{10} = 15$
সঠিক উত্তর হলো ১৫।

অন্যান্য বিকল্প ভুল: ১.৫ হলো ১৫০ এর ১%, এবং ১০ হলো শুধু শতকরা হারটি, ফলাফল নয়।

প্রশ্ন: টাকায় ১০ টি ও টাকায় ১৫ টি দরে সমান সংখ্যক লিচু কিনে সবগুলো লিচু টাকায় ১২ টি দরে বিক্রয় করলে শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হবে ?

সমাধান:
১০টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১ টাকা 
১টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১/১০ টাকা 

১৫টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১ টাকা 
১টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১/১৫ টাকা 

(১ + ১)টি বা ২টি লিচুর ক্রয়মূল্য = (১/১০) + (১/১৫) টাকা 
        ২টি লিচুর ক্রয়মূল্য =(৩ + ২)/৩০
        ২টি লিচুর ক্রয়মূল্য= ৫/৩০
        ২টি লিচুর ক্রয়মূল্য= ১/৬
        ১টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১/(২× ৬) = ১/১২


১২টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = ১ টাকা 
১টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = ১/১২ টাকা 

১টি লিচুর ক্রয়মূল্য = ১টি লিচুর বিক্রয়মূল্য
লাভ বা ক্ষতি কিছুই হবে না

এটি লাভ-ক্ষতির একটি গুরুত্বপূর্ণ ধরন, যেখানে সমান সংখ্যক জিনিস দুটি ভিন্ন দরে কিনে একটি নির্দিষ্ট দরে বিক্রি করা হয়।

ধরি, প্রথম দরে 'x' সংখ্যক লিচু কেনা হলো এবং দ্বিতীয় দরেও 'x' সংখ্যক লিচু কেনা হলো। মোট লিচুর সংখ্যা $2x$।

প্রথম দরের ক্রয়মূল্য (CP1): ১০টি লিচুর দাম ১ টাকা। তাই, x টি লিচুর দাম = $\frac{x}{10}$ টাকা।

দ্বিতীয় দরের ক্রয়মূল্য (CP2): ১৫টি লিচুর দাম ১ টাকা। তাই, x টি লিচুর দাম = $\frac{x}{15}$ টাকা।

মোট ক্রয়মূল্য (Total CP): $\text{CP1} + \text{CP2} = \frac{x}{10} + \frac{x}{15}$।
ল.সা.গু (L.C.M) ৩০ ধরে, $\frac{3x + 2x}{30} = \frac{5x}{30} = \frac{x}{6}$ টাকা।

অর্থাৎ, মোট $2x$ টি লিচুর ক্রয়মূল্য $\frac{x}{6}$ টাকা।

মোট বিক্রয়মূল্য (Total SP): সবগুলো লিচু (মোট $2x$ টি) টাকায় ১২ টি দরে বিক্রি করা হয়।
১২টি লিচুর বিক্রয়মূল্য ১ টাকা। তাই, $2x$ টি লিচুর বিক্রয়মূল্য = $\frac{2x}{12} = \frac{x}{6}$ টাকা।

যেহেতু মোট ক্রয়মূল্য ($rac{x}{6}$ টাকা) এবং মোট বিক্রয়মূল্য ($rac{x}{6}$ টাকা) সমান, তাই শতকরা লাভ বা ক্ষতি কিছুই হবে না।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: লাভ বা ক্ষতি কিছুই হবে না।

প্রশ্ন: ৭৫ সংখ্যাটি কোন সংখ্যার ২৫% ?

সমাধান:
মনেকরি 
সংখ্যাটি = x 

প্রশ্নমতে 
x এর ২৫% = ৭৫
x এর ২৫/১০০ = ৭৫
২৫x= ৭৫০০
x  = ৭৫০০/২৫
x  = ৩০০

এটি শতকরার একটি মৌলিক সমস্যা। প্রশ্নটিতে বলা হয়েছে, ৭৫ সংখ্যাটি একটি অজ্ঞাত সংখ্যার ২৫%। অর্থাৎ, পুরো সংখ্যাটির চার ভাগের এক ভাগই হলো ৭৫।

ধরি, সংখ্যাটি হলো $x$
প্রশ্নানুসারে, $x$ এর ২৫% = ৭৫
বা, $x \times \frac{25}{100} = 75$
বা, $\frac{x}{4} = 75$
সুতরাং, $x = 75 \times 4 = 300$।

সঠিক উত্তর হলো ৩০০। কারণ, ৩০০ এর ২৫% (বা চার ভাগের এক ভাগ) হলো ৭৫।

অন্যান্য অপশনগুলো ভুল: ২০০ এর ২৫% হলো ৫০, ১০০ এর ২৫% হলো ২৫ এবং ৪০০ এর ২৫% হলো ১০০।

প্রশ্ন: শতকরা বার্ষিক কত হার সুদে কোনো আসল ১০ বছরে সুদে-মূলে তিনগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি,
আসল = ১ টাকা
সুদাসল = ৩ টাকা
সুদ = ৩ - ১ = ২ টাকা
সময় = ১০ বছর

আমরা জানি,
সুদ = (আসল × সময় × সুদের হার)/১০০
বা, সুদের হার = (১০০ × ২)/(১ × ১০)
∴ সুদের হার = ২০%

প্রশ্নানুযায়ী, আসল (Principal, $P$) সুদে-মূলে তিনগুণ হবে।
ধরি, আসল (P) = $100$ টাকা।

তাহলে সুদাসল (Amount, $A$) হবে $100 \times 3 = 300$ টাকা।

সুতরাং, প্রাপ্ত সুদ (Interest, $I$) হবে: সুদাসল - আসল = $300 - 100 = 200$ টাকা।

সময় ($T$) দেওয়া আছে ১০ বছর।

আমরা সরল সুদের হার ($R$) নির্ণয়ের সূত্রটি জানি: $R = \frac{I \times 100}{P \times T}$।

মান বসালে পাই: $R = \frac{200 \times 100}{100 \times 10}$।

হিসাব করলে পাওয়া যায় $R = \frac{20000}{1000} = 20$।

সুতরাং, বার্ষিক সুদের হার হবে ২০%।